LAS RELACIONES HIPSOMÉTRICAS Y LAS FUNCIONES ESCALARES Facultad de Ciencias Forestales. Universidad Nacional de Santiago del Estero.

AUTORES Lic.Josefa Sanguedolce

AUTORES

Lic.Josefa Sanguedolce

Para el desarrollo de las competencias matemáticas, la cátedra de Matemática trata de proponer un contexto con referencia a situaciones reales, vinculadas al quehacer propio de la carrera, lo cual permite al estudiante integrar el conocimiento académico teórico-práctico de la matemática con el aspecto empírico del quehacer profesional.

Para el desarrollo de las competencias matemáticas, la cátedra de Matemática trata de proponer un contexto con referencia a situaciones reales, vinculadas al quehacer propio de la carrera, lo cual permite al estudiante integrar el conocimiento académico teórico-práctico de la matemática con el aspecto empírico del quehacer profesional.

Para lograr esta integración en las asignaturas Algebra y Geometría Analítica y Cálculo Diferencial e Integral de la Facultad de Ciencias Forestales de la Universidad de Santiago del Estero, en el desarrollo del tema funciones escalares, se recurre a investigaciones realizadas en al campo de las Ciencias Forestales .

Para lograr esta integración en las asignaturas Algebra y Geometría Analítica y Cálculo Diferencial e Integral de la Facultad de Ciencias Forestales de la Universidad de Santiago del Estero, en el desarrollo del tema funciones escalares, se recurre a investigaciones realizadas en al campo de las Ciencias Forestales .

En dichas investigaciones encontramos una amplia gama de relaciones definidas entre distintos parámetros que sirven para dar referencias a cuestiones medibles en especies arbóreas, que se adecuan a la aplicación de dichas funciones. Según Husch, investigador en Ciencias Forestales, et al (1982), la altura (h) y el diámetro del fuste a 1.30 m del suelo ( d.a.p) están correlacionados entre si. y dicha correlación puede ser expresada por funciones matemáticas.

En dichas investigaciones encontramos una amplia gama de relaciones definidas entre distintos parámetros que sirven para dar referencias a cuestiones medibles en especies arbóreas, que se adecuan a la aplicación de dichas funciones.

Según Husch, investigador en Ciencias Forestales, et al (1982), la altura (h) y el diámetro del fuste a 1.30 m del suelo ( d.a.p) están correlacionados entre si. y dicha correlación puede ser expresada por funciones matemáticas.

Friedl (1988) y Crechi (1988) identificaron a dichas correlaciones con el nombre de relaciones hipsométricas Los modelos matemáticos que se ajustan a las distintas investigaciones realizadas con diferentes especies arbóreas fueron propuestas por Husch ( 1982), Prodan (1997),Thren (1996), Inventario Forestal-Reflorestamento Rio Grande do Sul (1983) y Myers (1992), entre otros.

Friedl (1988) y Crechi (1988) identificaron a dichas correlaciones con el nombre de relaciones hipsométricas

Los modelos matemáticos que se ajustan a las distintas investigaciones realizadas con diferentes especies arbóreas fueron propuestas por Husch ( 1982), Prodan (1997),Thren (1996), Inventario Forestal-Reflorestamento Rio Grande do Sul (1983) y Myers (1992), entre otros.

La altura total (h) y el diámetro a 1.30 m (d.a.p.) de una especie arbórea, son dos variables correlacionadas entre si y esas relaciones pueden ser analizadas por modelos matemático-estadísticos. Esta correlación permite una economía muy importante en la práctica pues posibilita, midiendo solamente el diámetro, estimar la altura de un árbol, sin necesidad de medirla.

La altura total (h) y el diámetro a 1.30 m (d.a.p.) de una especie arbórea, son dos variables correlacionadas entre si y esas relaciones pueden ser analizadas por modelos matemático-estadísticos. Esta correlación permite una economía muy importante en la práctica pues posibilita, midiendo solamente el diámetro, estimar la altura de un árbol, sin necesidad de medirla.

L a Tabla siguiente muestra relaciones entre la altura (h) y diámetro (d.a.p.) en árboles de algarrobo negro en La Maria Santiago del Estero utilizados por investiga dores del área de las Ciencias Forestales .

L a Tabla siguiente muestra relaciones entre la altura (h) y diámetro (d.a.p.) en árboles de algarrobo negro en La Maria Santiago del Estero utilizados por investiga dores del área de las Ciencias Forestales .

Un análisis de cada uno de los modelos posibilita al estudiante, no sólo efectuar el estudio matemático del mismo, sino establecer las vinculaciones entre el modelo matemático y la situación real .

Un análisis de cada uno de los modelos posibilita al estudiante, no sólo efectuar el estudio matemático del mismo, sino establecer las vinculaciones entre el modelo matemático y la situación real .

Tratamiento de ejemplos concretos que vinculan las relaciones hipsométricas con las funciones exponencial y logarítmica . El modelo el de Henriksen : h(d)= -1.52+3.30*log(d) responde a la función logarítmica. Las especies Quebracho blanco (Aspidosperma quebracho) y Quebracho colorado (Schinopsis balansae Engler) se ajustan a este modelo. ( E stablecimiento Experimental Las Marías - Cátedra de Estadística de la Facultad de Ciencias Forestales. UNSE)

El modelo el de Henriksen :

h(d)= -1.52+3.30*log(d) responde a la función logarítmica.

Las especies Quebracho blanco (Aspidosperma quebracho) y Quebracho colorado (Schinopsis balansae Engler) se ajustan a este modelo. ( E stablecimiento Experimental Las Marías - Cátedra de Estadística de la Facultad de Ciencias Forestales. UNSE)

Función logaritmo Según los datos extraídos de la especie Quebracho blanco, resulta la siguiente tabla de valores :

Según los datos extraídos de la especie Quebracho blanco, resulta la siguiente tabla de valores :

Grafica de la función logaritmica

A partir de los valores obtenidos observamos lo siguiente: f’(x) > 0 para cualquier valor de x en [10;50] , f es una función creciente en todo el intervalo. f’’(x) <0, la gráfica de la misma tiene concavidad hacia abajo. f(10) es el mínimo y f(50) es el máximo en mismo [10;50] f’’(x)= 0 no tiene solución, la curva no tiene puntos de inflexión.

A partir de los valores obtenidos observamos lo siguiente:

f’(x) > 0 para cualquier valor de x en [10;50] , f es una función creciente en todo el intervalo.

f’’(x) <0, la gráfica de la misma tiene concavidad hacia abajo.

f(10) es el mínimo y f(50) es el máximo en mismo [10;50]

f’’(x)= 0 no tiene solución, la curva no tiene puntos de inflexión.

Como la derivada segunda de la función, no tiene raíces podemos deducir que no se encontrarán puntos de inflexión en la curva. La curva corta al eje de las abscisas en el punto 1.585 y para valores comprendidos entre cero y éste último, se aproxima asintóticamente al eje negativo de las ordenadas. Para valores mayores que la curva crece siguiendo el trazado de una función logaritmo natural.

Como la derivada segunda de la función, no tiene raíces podemos deducir que no se encontrarán puntos de inflexión en la curva.

La curva corta al eje de las abscisas en el punto 1.585 y para valores comprendidos entre cero y éste último, se aproxima asintóticamente al eje negativo de las ordenadas. Para valores mayores que la curva crece siguiendo el trazado de una función logaritmo natural.

En cuanto a la investigación podemos inferir lo siguiente A partir del gráfico se observa el comportamiento de la variable dependiente d con relación a la altura h de la especie forestal se corresponde con el comportamiento de la función logaritmo, representando una función creciente en todo su dominio, siendo su dominio un conjunto de los números reales positivos. En términos de la experiencia realizada esto significa que la altura del árbol crece a medida de que crece su diámetro, con un crecimiento sostenido pero en forma más lenta que si se tratara de un crecimiento exponencial.

En cuanto a la investigación podemos inferir lo siguiente

A partir del gráfico se observa el comportamiento de la variable dependiente d con relación a la altura h de la especie forestal se corresponde con el comportamiento de la función logaritmo, representando una función creciente en todo su dominio, siendo su dominio un conjunto de los números reales positivos.

En términos de la experiencia realizada esto significa que la altura del árbol crece a medida de que crece su diámetro, con un crecimiento sostenido pero en forma más lenta que si se tratara de un crecimiento exponencial.

La función exponencial Para la especie Pinus radiata , de datos obtenidos en otro lote, se deduce que la relación entre el diámetro y la altura responde a una función exponencial de la forma: h(d)= e 3.258-9.2486 (1/d) cuyo gráfico aproximado, en el intervalo [10;60] es el siguiente:

Para la especie Pinus radiata , de datos obtenidos en otro lote, se deduce que la relación entre el diámetro y la altura responde a una función exponencial de la forma: h(d)= e 3.258-9.2486 (1/d) cuyo gráfico aproximado, en el intervalo [10;60] es el siguiente:

El gráfico aproximado , en el intervalo [10;60] es el siguiente:

El gráfico aproximado , en el intervalo [10;60] es el siguiente:

Otros modelos describen los crecimientos e incrementos en altura y diámetro de algunos árboles según la edad de los mismos. Se ejemplifica con el modelo de Chapman-Richards como el mejor modelo que se ajusta a la relación edad-altura para la especie Pinus herrerae [1] , cuya expresión y gráfico son los siguientes. Alt= 37.18067157[1-exp(-0.03863296 edad)]1.88674927 [1] Extraído de Calvillo Garcia, J; Cornejo Oviedo, E; Valencia Manzo, S y Flores Lopez, S. Crecimiento en altura y diámetro de árboles de Pinus herrerae Martinez en cd. Hidalgo, Michoacán.

Otros modelos describen los crecimientos e incrementos en altura y diámetro de algunos árboles según la edad de los mismos.

Se ejemplifica con el modelo de Chapman-Richards como el mejor modelo que se ajusta a la relación edad-altura para la especie Pinus herrerae [1] , cuya expresión y gráfico son los siguientes.

Alt= 37.18067157[1-exp(-0.03863296 edad)]1.88674927

[1] Extraído de Calvillo Garcia, J; Cornejo Oviedo, E; Valencia Manzo, S y Flores Lopez, S. Crecimiento en altura y diámetro de árboles de Pinus herrerae Martinez en cd. Hidalgo, Michoacán.

Alt= 37.18067157[1-exp-0.03863296 edad]1.88674927

Alt= 37.18067157[1-exp-0.03863296 edad]1.88674927

El modelo de Gompertz se toma como el mejor modelo para representar la relación edad-diámetro a 2.84 m de la especie Pinus herrerae [1] ya que presentó el menor valor del CME ( 26.8730) y el valor mas alto del R2 (0.9697). Una curva de Gompertz es la gráfica de una función de la forma G(x)=a exp(.Be-kx) para x>0, donde A y B son constantes positivas. [1] Extraído de Calvillo Garcia, J; Cornejo Oviedo, E; Valencia Manzo, S y Flores Lopez, S. Crecimiento en altura y diámetro de árboles de Pinus herrerae Martinez en cd. Hidalgo, Michoacán.

El modelo de Gompertz se toma como el mejor modelo para representar la relación edad-diámetro a 2.84 m de la especie Pinus herrerae [1] ya que presentó el menor valor del CME

( 26.8730) y el valor mas alto del R2 (0.9697).

Una curva de Gompertz es la gráfica de una función de la forma G(x)=a exp(.Be-kx) para x>0, donde A y B son constantes positivas.

[1] Extraído de Calvillo Garcia, J; Cornejo Oviedo, E; Valencia Manzo, S y Flores Lopez, S. Crecimiento en altura y diámetro de árboles de Pinus herrerae Martinez en cd. Hidalgo, Michoacán.

Del estudio de estas dos últimas funciones se deduce que el crecimiento en altura es lento en los primeros cinco años, después, es más rápido hasta los 50 años alcanzando una altura de 26 metros, luego se presenta un punto de inflexión de los 50 a los 70 años a una altura de 30 m, a partir de los 70 años, la curva se estabiliza hasta los 110 años. El crecimiento en diámetro es continuo desde los primeros cinco años hasta los 60, alcanzando un diámetro de 38 cm, posteriormente, la curva es convexa de los 60 hasta los 80 y a partir de esta edad se estabiliza hasta los 110 años.

Del estudio de estas dos últimas funciones se deduce que el crecimiento en altura es lento en los primeros cinco años, después, es más rápido hasta los 50 años alcanzando una altura de 26 metros, luego se presenta un punto de inflexión de los 50 a los 70 años a una altura de 30 m, a partir de los 70 años, la curva se estabiliza hasta los 110 años.

El crecimiento en diámetro es continuo desde los primeros cinco años hasta los 60, alcanzando un diámetro de 38 cm, posteriormente, la curva es convexa de los 60 hasta los 80 y a partir de esta edad se estabiliza hasta los 110 años.

CONCLUSIONES A partir de las investigaciones realizadas en el campo de las ciencias forestales el alumno puede comprender e interpretar la realidad dentro de un contexto específico y cambiante, empleando los conceptos y procedimientos matemáticos que provee la modelización de fenómenos. Teniendo en cuenta los casos considerados, es decir el estudio de las correlaciones existentes entre el diámetro y la altura de los árboles con datos extraídos de los bosques naturales, nos permite acercar los conocimientos específicamente matemáticos con el conocimiento empírico propio del quehacer profesional.

A partir de las investigaciones realizadas en el campo de las ciencias forestales el alumno puede comprender e interpretar la realidad dentro de un contexto específico y cambiante, empleando los conceptos y procedimientos matemáticos que provee la modelización de fenómenos.

Teniendo en cuenta los casos considerados, es decir el estudio de las correlaciones existentes entre el diámetro y la altura de los árboles con datos extraídos de los bosques naturales, nos permite acercar los conocimientos específicamente matemáticos con el conocimiento empírico propio del quehacer profesional.

Además , estas relaciones definidas como relaciones hipsométricas posibilitan que el alumno aplique sus saberes previos para acceder a nuevos conocimientos , desarrollando competencias en un contexto de situaciones reales, integrando los saberes en el marco de la interdisciplinariedad

Además , estas relaciones definidas como relaciones hipsométricas posibilitan que el alumno aplique sus saberes previos para acceder a nuevos conocimientos , desarrollando competencias en un contexto de situaciones reales, integrando los saberes en el marco de la interdisciplinariedad

BIBLIOGRAFÍA CALVILLO GARCÍA, J; CORNEJO OVIEDO, E; VALENCIA MANZO, S; FLORES LOPEZ, C. Crecimiento en altura y diámetro de árboles de Pinus herrerae Martinez en cd. Hidalgo. Michoacán. Universidad Autónoma Agraria Antonio Navarro. COSTAS, R; RODRIGUEZ, G. Relaciones Hipsométricas para Pinus Alliotti ENGL. En Misiones y NE de Corrientes. El Dorado. Misiones. PECE, M; BENITEZ, C; JUAREZ, M; MARIOT, V;SANGUEDOLCE, J; PRANZONI, O. (2006) Modelación de la altura total para Quebracho colorado Santiagueño . Facultad de Ciencias Forestales. UNSE. PECE, M; BENITEZ, C; JUAREZ, M; MARIOT, V;SANGUEDOLCE, J; MAZZUCO,R. (2006). Ecuaciones altura-diámetro para Ziziphus mistol, Griseb en Santiago del Estero ..Facultad de Ciencias Forestales. UNSE. BRADLEY, G; SMITH K. (1998) Cálculo de una Variable. Editorial Preentice Hall. LARSON-HOSTETLER-EDWARDS(2002). Cálculo I. Editorial Pirámide. LEITHOLD, L. (1994). El Cálculo. Oxford University Press. STRANG, G. (1982). Algebra Lineal y sus Aplicaciones. Editoral Addison Wesley Iberoamericana. PUIG, LUIS (1987 ) la didáctica de la matemática como tarea investigativa. Universidad de Valencia. RICO ROMERO, L.(2003) Marco teórico de evaluación en Pisa sobre matemática y resolución de problemas SUAREZ ARROYO, B. la formación en competencia: un desafía para la educación superior del futuro. Universidad Politécnica de Cataluña.

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