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Circonferenza e     cerchio Antonello PiluIndice                     TeoremaCirconferenza ecerchio              L’angolo a...
Circonferenza e     cerchio Antonello PiluIndiceCirconferenza ecerchio              Alcuni esempi.DefinizioniCordePropriet`...
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Circonferenza e cerchio

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Circonferenza e cerchio

  1. 1. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndiceCirconferenza ecerchioDefinizioniCordePropriet` dellecorde a Circonferenza e cerchioParti dellacirconferenza Corso di geometriaAngoli e archiSettori circolariCirconferenza erette Antonello PiluRetta esternaRetta tangenteRetta secante Liceo Scientifico G.SpanoPosizioni relative http://www.liceospano.orgdi duecirconferenzecirconferenzeconcentricheAngoli al centro ealla circonferenzaAngoli allacirconferenzaTangenti
  2. 2. Circonferenza e cerchio Antonello Pilu IndiceIndice 1 Circonferenza e cerchioCirconferenza ecerchio DefinizioniDefinizioniCorde 2 CordePropriet` delle acorde Propriet` delle corde aParti dellacirconferenza 3 Parti della circonferenzaAngoli e archiSettori circolari Angoli e archiCirconferenza e Settori circolariretteRetta esterna 4 Circonferenza e retteRetta tangenteRetta secante Retta esternaPosizioni relativedi due Retta tangentecirconferenze Retta secantecirconferenzeconcentriche 5 Posizioni relative di due circonferenzeAngoli al centro ealla circonferenza 6 circonferenze concentricheAngoli allacirconferenza 7 Angoli al centro e alla circonferenzaTangenti Angoli alla circonferenza 8 Tangenti
  3. 3. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndiceCirconferenza e Circonferenzacerchio Si chiama circonferenza di centro O e di raggio r, il luogoDefinizioni geometrico dei punti del piano che hanno da O distanza uguale a r.CordePropriet` delle acordeParti dellacirconferenzaAngoli e archiSettori circolariCirconferenza eretteRetta esternaRetta tangenteRetta secantePosizioni relativedi duecirconferenzecirconferenzeconcentricheAngoli al centro ealla circonferenza I segmenti che congiungono i punti della circonferenza con il centroAngoli allacirconferenza O si dicono raggi della circonferenza.Tangenti
  4. 4. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndiceCirconferenza ecerchio CerchioDefinizioni Si chiama cerchio di centro O e di raggio r il luogo geometrico deiCorde punti del piano la cui distanza da O ` minore o ` uguale a r. e ePropriet` delle acordeParti dellacirconferenzaAngoli e archiSettori circolariCirconferenza eretteRetta esternaRetta tangenteRetta secantePosizioni relativedi duecirconferenzecirconferenzeconcentricheAngoli al centro ealla circonferenzaAngoli alla La circonferenza costituisce il contorno del cerchio.circonferenzaTangenti
  5. 5. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndiceCirconferenza ecerchioDefinizioniCordePropriet` delle acordeParti della TeoremacirconferenzaAngoli e archi Due circonferenze o due cerchi uguali hanno raggi ugualiSettori circolariCirconferenza erette TeoremaRetta esterna Due circonferenze o due cerchi di uguale raggio sono ugualiRetta tangenteRetta secantePosizioni relativedi duecirconferenzecirconferenzeconcentricheAngoli al centro ealla circonferenzaAngoli allacirconferenzaTangenti
  6. 6. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndice CordaCirconferenza ecerchio Si chiama corda il segmento che unisce due punti di unaDefinizioni circonferenza.CordePropriet` delle acorde DiametroParti dellacirconferenza Si chiama diametro ogni corda passante per il centro dellaAngoli e archi circonferenza.Settori circolariCirconferenza eretteRetta esternaRetta tangenteRetta secantePosizioni relativedi duecirconferenzecirconferenzeconcentricheAngoli al centro ealla circonferenzaAngoli allacirconferenzaTangenti
  7. 7. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndiceCirconferenza ecerchio TeoremaDefinizioni Ogni diametro ` maggiore di qualsiasi corda non passante per il eCorde centro.Propriet` delle acordeParti dellacirconferenzaAngoli e archiSettori circolariCirconferenza eretteRetta esternaRetta tangenteRetta secantePosizioni relativedi duecirconferenzecirconferenzeconcentricheAngoli al centro ealla circonferenzaAngoli allacirconferenzaTangenti
  8. 8. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndice TeoremaCirconferenza e L’asse di una corda passa per il centro.cerchioDefinizioniCordePropriet` delle acordeParti dellacirconferenzaAngoli e archiSettori circolariCirconferenza eretteRetta esternaRetta tangenteRetta secantePosizioni relativedi duecirconferenzecirconferenzeconcentricheAngoli al centro ealla circonferenza TeoremaAngoli alla Il diametro perpendicolare ad una corda divide questa in due particirconferenzaTangenti uguali.
  9. 9. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndice TeoremaCirconferenza e L’asse di una corda passa per il centro.cerchioDefinizioniCordePropriet` delle acordeParti dellacirconferenzaAngoli e archiSettori circolariCirconferenza eretteRetta esternaRetta tangenteRetta secantePosizioni relativedi duecirconferenzecirconferenzeconcentricheAngoli al centro ealla circonferenza TeoremaAngoli alla Il diametro perpendicolare ad una corda divide questa in due particirconferenzaTangenti uguali.
  10. 10. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndice TeoremaCirconferenza ecerchio In una stessa circonferenza (o in circonferenze uguali) corde ugualiDefinizioni distano ugualmente dal centro. Viceversa, corde ugualmente distantiCordePropriet` delle a dal centro sono uguali.cordeParti dellacirconferenzaAngoli e archiSettori circolariCirconferenza eretteRetta esternaRetta tangenteRetta secantePosizioni relativedi duecirconferenzecirconferenzeconcentricheAngoli al centro ealla circonferenzaAngoli allacirconferenzaTangenti
  11. 11. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndice TeoremaCirconferenza e Per tre punti, non allineati, passa una e una sola circonferenza.cerchioDefinizioniCordePropriet` delle acordeParti dellacirconferenzaAngoli e archiSettori circolariCirconferenza eretteRetta esternaRetta tangenteRetta secantePosizioni relativedi duecirconferenze Corollariocirconferenze Due circonferenze distinte non possono avere pi` di due punti uconcentricheAngoli al centro e comuni.alla circonferenzaAngoli allacirconferenza CorollarioTangenti Una circonferenza non pu` avere tre punti allineati. o
  12. 12. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndice DefinizioneCirconferenza ecerchio Si dice angolo al centro un angolo con il vertice nel centro di unaDefinizioni circonferenza.CordePropriet` delle acorde DefinizioneParti dellacirconferenza Si dice arco di circonferenza la figura intersezione di unaAngoli e archiSettori circolari circonferenza con un suo angolo al centro.Circonferenza eretteRetta esternaRetta tangenteRetta secantePosizioni relativedi duecirconferenzecirconferenzeconcentricheAngoli al centro ealla circonferenzaAngoli allacirconferenzaTangenti
  13. 13. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndiceCirconferenza ecerchioDefinizioni DefinizioneCorde Si dice settore circolare la figura intersezione di un cerchio e di unPropriet` dellecorde a suo angolo al centro.Parti dellacirconferenzaAngoli e archiSettori circolariCirconferenza eretteRetta esternaRetta tangenteRetta secantePosizioni relativedi duecirconferenzecirconferenzeconcentricheAngoli al centro ealla circonferenzaAngoli allacirconferenzaTangenti
  14. 14. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndice DefinizioneCirconferenza e Si dice segmento circolare ad una base la figura intersezione di uncerchioDefinizioni cerchio e di un semipiano la cui origine contiene una corda AB delCorde cerchio stesso.Propriet` delle acordeParti della DefinizionecirconferenzaAngoli e archi Si dice segmento circolare a due basi la figura intersezione di unSettori circolari cerchio e di una striscia con i lati contenenti due corde parallele.Circonferenza eretteRetta esternaRetta tangenteRetta secantePosizioni relativedi duecirconferenzecirconferenzeconcentricheAngoli al centro ealla circonferenzaAngoli allacirconferenzaTangenti
  15. 15. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndiceCirconferenza ecerchioDefinizioniCordePropriet` dellecorde a TeoremaParti dellacirconferenza Nello stesso cerchio, o in cerchi uguali, ad archi uguali corrispondonoAngoli e archi angoli al centro uguali, settori uguali e corde uguali.Settori circolariCirconferenza erette TeoremaRetta esternaRetta tangente Nello stesso cerchio, o in cerchi uguali, ad angoli al centro ugualiRetta secante corrispondono archi uguali, settori uguali e corde uguali.Posizioni relativedi duecirconferenzecirconferenzeconcentricheAngoli al centro ealla circonferenzaAngoli allacirconferenzaTangenti
  16. 16. Circonferenza e cerchio Antonello Pilu TeoremaIndice Una retta, la cui distanza dal centro di una circonferenza ` maggiore eCirconferenza ecerchio del raggio, ha tutti i suoi punti esterni alla circonferenza.DefinizioniCordePropriet` delle acordeParti dellacirconferenzaAngoli e archiSettori circolariCirconferenza eretteRetta esternaRetta tangenteRetta secantePosizioni relativedi duecirconferenzecirconferenzeconcentricheAngoli al centro ealla circonferenza DefinizioneAngoli allacirconferenza Una retta che ha tutti i suoi punti esterni ad una circonferenza e,Tangenti quindi, nessun punto ad essa comune, dicesi esterna alla circonferenza.
  17. 17. Circonferenza e cerchio Antonello Pilu TeoremaIndice Una retta, la cui distanza dal centro di una circonferenza ` uguale al eCirconferenza ecerchio raggio, ha un solo punto comune con la circonferenza.DefinizioniCordePropriet` delle acordeParti dellacirconferenzaAngoli e archiSettori circolariCirconferenza eretteRetta esternaRetta tangenteRetta secantePosizioni relativedi duecirconferenzecirconferenzeconcentricheAngoli al centro e Definizionealla circonferenzaAngoli alla Una retta che ha uno ed un solo punto comune con una circonferenzacirconferenza si dice tangente alla circonferenza in quel punto e questo ` il eTangenti punto di tangenza o di contatto della retta.
  18. 18. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndiceCirconferenza ecerchio PostulatoDefinizioni Il segmento, che congiunge un punto interno con un punto esterno adCorde una circonferenza, la interseca in un punto.Propriet` delle acordeParti dellacirconferenzaAngoli e archiSettori circolariCirconferenza eretteRetta esternaRetta tangenteRetta secantePosizioni relativedi duecirconferenzecirconferenzeconcentricheAngoli al centro ealla circonferenzaAngoli allacirconferenzaTangenti
  19. 19. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndice TeoremaCirconferenza ecerchio Una retta, la cui distanza dal centro di una circonferenza ` minore eDefinizioni del raggio, ha due punti comuni con la circonferenza.CordePropriet` delle acordeParti dellacirconferenzaAngoli e archiSettori circolariCirconferenza eretteRetta esternaRetta tangenteRetta secantePosizioni relativedi duecirconferenzecirconferenzeconcentricheAngoli al centro e Definizionealla circonferenza Una retta che ha in comune con una circonferenza due punti siAngoli allacirconferenza chiama secante.Tangenti
  20. 20. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndiceCirconferenza ecerchio PostulatoDefinizioni Un arco di circonferenza che unisce un punto interno con un puntoCordePropriet` delle a esterno rispetto ad una circonferenza, la interseca in un punto.cordeParti dellacirconferenzaAngoli e archiSettori circolariCirconferenza eretteRetta esternaRetta tangenteRetta secantePosizioni relativedi duecirconferenzecirconferenzeconcentricheAngoli al centro ealla circonferenzaAngoli allacirconferenzaTangenti
  21. 21. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndiceCirconferenza ecerchioDefinizioni TeoremaCorde Se due circonferenze sono tali che una di esse ha un punto interno ePropriet` delle acorde uno esterno rispetto all’altra, esse hanno due punti comuni.Parti dellacirconferenzaAngoli e archiSettori circolariCirconferenza eretteRetta esternaRetta tangenteRetta secantePosizioni relativedi duecirconferenzecirconferenzeconcentricheAngoli al centro ealla circonferenzaAngoli allacirconferenzaTangenti
  22. 22. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndiceCirconferenza e Teoremacerchio Se due circonferenze hanno un punto in comune, non appartenenteDefinizioniCorde alla retta dei loro centri, fra la distanza d di questi e i raggi a, bPropriet` dellecorde a (a ≥ b) delle circonferenze sussistono le relazioniParti dellacirconferenza a−b <d <a+bAngoli e archiSettori circolariCirconferenza eretteRetta esterna TeoremaRetta tangente Se fra la distanza d dei centri di due circonferenze ed i raggi a, bRetta secantePosizioni relative (con a ≥ b) non sussistono le relazionidi duecirconferenzecirconferenze a−b <d <a+bconcentricheAngoli al centro e le due circonferenze non hanno punti comuni fuori della retta deialla circonferenzaAngoli alla centri.circonferenzaTangenti
  23. 23. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndiceCirconferenza ecerchioDefinizioniCordePropriet` delle acordeParti dellacirconferenzaAngoli e archiSettori circolariCirconferenza eretteRetta esternaRetta tangenteRetta secantePosizioni relativedi duecirconferenzecirconferenzeconcentricheAngoli al centro ealla circonferenzaAngoli allacirconferenzaTangenti
  24. 24. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndiceCirconferenza ecerchioDefinizioniCordePropriet` delle acordeParti dellacirconferenzaAngoli e archiSettori circolariCirconferenza eretteRetta esternaRetta tangenteRetta secantePosizioni relativedi duecirconferenzecirconferenzeconcentricheAngoli al centro ealla circonferenzaAngoli allacirconferenzaTangenti
  25. 25. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndiceCirconferenza ecerchioDefinizioniCordePropriet` delle acordeParti dellacirconferenzaAngoli e archiSettori circolariCirconferenza eretteRetta esternaRetta tangenteRetta secantePosizioni relativedi duecirconferenzecirconferenzeconcentricheAngoli al centro ealla circonferenzaAngoli allacirconferenzaTangenti
  26. 26. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndiceCirconferenza ecerchioDefinizioniCordePropriet` delle acordeParti dellacirconferenzaAngoli e archiSettori circolariCirconferenza eretteRetta esternaRetta tangenteRetta secantePosizioni relativedi duecirconferenzecirconferenzeconcentricheAngoli al centro ealla circonferenzaAngoli allacirconferenzaTangenti
  27. 27. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndiceCirconferenza ecerchioDefinizioniCordePropriet` delle acordeParti dellacirconferenzaAngoli e archiSettori circolariCirconferenza eretteRetta esternaRetta tangenteRetta secantePosizioni relativedi duecirconferenzecirconferenzeconcentricheAngoli al centro ealla circonferenzaAngoli allacirconferenzaTangenti
  28. 28. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndiceCirconferenza ecerchioDefinizioniCordePropriet` delle acordeParti dellacirconferenzaAngoli e archiSettori circolariCirconferenza eretteRetta esternaRetta tangenteRetta secantePosizioni relativedi duecirconferenzecirconferenzeconcentricheAngoli al centro ealla circonferenzaAngoli allacirconferenzaTangenti
  29. 29. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndice DefinizioneCirconferenza e Due circonferenze si dicono concentriche se hanno lo stesso centro.cerchioDefinizioniCordePropriet` delle acordeParti dellacirconferenzaAngoli e archiSettori circolariCirconferenza eretteRetta esternaRetta tangenteRetta secantePosizioni relativedi duecirconferenzecirconferenzeconcentriche DefinizioneAngoli al centro ealla circonferenza Dati due cerchi concentrici e disuguali, si dice corona circolareAngoli allacirconferenza l’insieme dei punti del cerchio di raggio maggiore non interni all’altroTangenti cerchio.
  30. 30. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndice DefinizioneCirconferenza ecerchio Si dice angolo alla circonferenza un angolo convesso col verticeDefinizioni sulla circonferenzaed i lati entrambi secanti, o uno secante e unoCorde tangente, alla circonferenza.Propriet` delle acordeParti dellacirconferenzaAngoli e archiSettori circolariCirconferenza eretteRetta esternaRetta tangenteRetta secantePosizioni relativedi duecirconferenzecirconferenzeconcentricheAngoli al centro e Definizionealla circonferenzaAngoli alla L’angolo alla circonferenza ` corrispondente all’arco che contiene. ecirconferenza Esso si dice anche inscritto nell’arco che non contiene.Tangenti
  31. 31. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndiceCirconferenza ecerchioDefinizioni Esempio di angolo alla circonferenza che ha un lato tangente allaCordePropriet` delle a circonferenza.cordeParti dellacirconferenzaAngoli e archiSettori circolariCirconferenza eretteRetta esternaRetta tangenteRetta secantePosizioni relativedi duecirconferenzecirconferenzeconcentricheAngoli al centro ealla circonferenzaAngoli allacirconferenzaTangenti
  32. 32. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndice TeoremaCirconferenza ecerchio L’angolo al centro ` doppio di ogni angolo alla circonferenza che eDefinizioni insiste sullo stesso arco.CordePropriet` delle acordeParti dellacirconferenzaAngoli e archiSettori circolariCirconferenza eretteRetta esternaRetta tangenteRetta secantePosizioni relativedi duecirconferenzecirconferenzeconcentricheAngoli al centro ealla circonferenzaAngoli allacirconferenzaTangenti
  33. 33. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndiceCirconferenza ecerchio Alcuni esempi.DefinizioniCordePropriet` delle acordeParti dellacirconferenzaAngoli e archiSettori circolariCirconferenza eretteRetta esternaRetta tangenteRetta secantePosizioni relativedi duecirconferenzecirconferenzeconcentricheAngoli al centro ealla circonferenzaAngoli allacirconferenzaTangenti
  34. 34. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndiceCirconferenza ecerchioDefinizioni CorollarioCorde Tutti gli angoli alla circonferenza, inscritti nello stesso arco, sonoPropriet` dellecorde a uguali.Parti dellacirconferenzaAngoli e archi CorollarioSettori circolari Angoli che insistono su archi uguali sono uguali.Circonferenza eretteRetta esterna CorollarioRetta tangenteRetta secante Un angolo inscritto in una semicirconferenza ` retto. ePosizioni relativedi duecirconferenze Corollariocirconferenze Se c ` una circonferenza di diametro AB, ad essa appartiene il vertice econcentriche C di ogni angolo retto ACB.Angoli al centro ealla circonferenzaAngoli allacirconferenzaTangenti
  35. 35. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndiceCirconferenza ecerchio TeoremaDefinizioni Per un punto esterno ad una circonferenza si possono tracciare due eCordePropriet` delle a due sole tangenti.cordeParti dellacirconferenzaAngoli e archiSettori circolariCirconferenza eretteRetta esternaRetta tangenteRetta secantePosizioni relativedi duecirconferenzecirconferenzeconcentricheAngoli al centro ealla circonferenzaAngoli allacirconferenzaTangenti
  36. 36. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndiceCirconferenza ecerchioDefinizioniCorde CorollarioPropriet` delle a I segmenti tangenti AB, AD, condotti da un punto A ad unacordeParti della circonferenza, sono uguali.circonferenzaAngoli e archiSettori circolari CorollarioCirconferenza e La semiretta AC , di origine A e che passa per il centro C dellaretteRetta esterna circonferenza, ` bisettrice dell’angolo formato dalle tangenti condotte eRetta tangenteRetta secante da A alla circonferenza.Posizioni relativedi duecirconferenze Corollariocirconferenze La retta AC ` l’asse della corda BD che unisce i punti di contatto. econcentricheAngoli al centro ealla circonferenzaAngoli allacirconferenzaTangenti
  37. 37. Circonferenza e cerchio Antonello PiluIndiceCirconferenza ecerchioDefinizioniCordePropriet` delle acordeParti dellacirconferenzaAngoli e archiSettori circolari Fine della lezioneCirconferenza eretteRetta esternaRetta tangenteRetta secantePosizioni relativedi duecirconferenzecirconferenzeconcentricheAngoli al centro ealla circonferenzaAngoli allacirconferenzaTangenti
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