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  1. 1. MATEMATICAS 1º Bachillerato MaTEX r=A+lu Proyecto A d B s=B+mv Vectores en el plano CIENCIAS MaTEX Fco Javier Gonz´lez Ortiz a −2v Vectores wDirectorio u Tabla de Contenido Inicio Art´ ıculo v −2uc 2004 javier.gonzalez@unican.es Doc DocD.L.:SA-1415-2004 ISBN: 84-688-8267-4 Volver Cerrar
  2. 2. MATEMATICAS 1º Bachillerato Tabla de Contenido A r=A+lu1. Vectores en el plano d 1.1. Vector fijo y libre B s=B+mv 1.2. Operaciones con vectores CIENCIAS 1.3. Combinaci´n lineal de vectores. Base o2. Coordenada cartesianas MaTEX 2.1. Base can´nica o3. Producto escalar de vectores Vectores 3.1. Vectores ortogonales 3.2. Producto escalar 3.3. M´dulo de un vector o ´ 3.4. Angulo de dos vectores Soluciones a los Ejercicios Soluciones a los Tests Doc Doc Volver Cerrar
  3. 3. MATEMATICASSecci´n 1: Vectores en el plano o 3 1º Bachillerato r=A+lu1. Vectores en el plano A1.1. Vector fijo y libre d BDefinici´n 1 o s=B+mv −− → CIENCIAS Llamamos vector fijo AB al segmento orientado que tiene su origen en el punto A y su extremo en el punto B. MaTEX M´dulo: Es la longitud del o Vectores vector. Lo representamos por − −→ y1 |AB| −→ B AB Direcci´n: Es la direcci´n o o de la recta que lo contiene. y0 A Si dos vectores son paralelos tienen la misma direcci´n. o x0 x1 Sentido: Es el que va del −→ origen al extremo. Lo rep- AB(x1 − x0 , y1 − y0 ) resentamos por la punta de la flecha. Una direcci´n tiene o dos sentidos. Doc Doc Volver Cerrar
  4. 4. MATEMATICASSecci´n 1: Vectores en el plano o 4 1º Bachillerato r=A+luDefinici´n 2 o A Vectores equipolentes son los vectores que tinen : mismo d m´dulo, direcci´n y sentido o o B s=B+mv CIENCIASTodos los vectores del gr´fico tienen la amisma direcci´n, sentido y magnitud, o B D MaTEX → − u → − u Fson todos ellos equipolentes. Tambi´n edecimos que son representantes del Vectores A C → −vector libre u. u − −→ − − → −→ − → − u EAs´ los vectores AB,CD y EF son ı,equipolentes y representantes del mis-mo vector libre u.En el paralelogramo ABDC, son C u D − −→ −→ −equipolentes los vectores AB y CD, yrepresentantes de u. v vTambi´n son equipolentes los vectores e−→ −→ −AC y BD, y representantes de v. A u B Doc Doc Volver Cerrar
  5. 5. MATEMATICASSecci´n 1: Vectores en el plano o 5 1º Bachillerato r=A+lu1.2. Operaciones con vectores ADefinici´n 3 o d El producto de un n´mero α por un vector u es otro vector u B s=B+mv libre representado por α · u CIENCIASEl vector α · u mantiene la direcci´n pero opuede cambiar el sentido o la magnitud delvector u. u 1 2u MaTEX Si α > 0, α·u tiene el mismo sentido que 2u Vectores u , y si α < 0 tienen sentido contrario. Si α > 1, el vector α · u se dilata o alarga y si α < 1, el vector α · u se contrae o acorta. −u El caso que α = 0, el vector α · u corre- sponde al vector nulo (0, 0) En el gr´fico se muestran los vectores m´ltiplos de u, la mitad de u con a u 1α = , el doble de u con α = 2 y el opuesto de u con α = −1. 2 Doc Doc Volver Cerrar
  6. 6. MATEMATICASSecci´n 1: Vectores en el plano o 6 1º Bachillerato r=A+luDefinici´n 4 La suma de los vectores libres u y v es otro vector libre o A u+v d B s=B+mvque se obtiene gr´ficamente, tomando repre- a CIENCIASsentantes de u y v con el mismo origen, ytrazando la diagonal del paralelogramo que de-terminan. Tambi´n se llama la resultante. e v u+v MaTEX Vectores uDefinici´n 5 La resta de los vectores libres u(u1 , u2 ) y v(v1 , v2 ) es otro vec- otor libre definido por u − v = (u1 − v1 , u2 − v2 )la interpretaci´n gr´fica de la resta se muestra o a uen el dibujo. El vector resta u−v es la diagonaldel paralelogramo construido con u y −v. u−v −v Doc Doc Volver Cerrar
  7. 7. MATEMATICASSecci´n 1: Vectores en el plano o 7 1º Bachillerato r=A+luEjemplo 1.1. Dados dos vectores no dependientes u y v hallar 3 · u + 2 v ASoluci´n: o d 3u B s=B+mv CIENCIAS u v w MaTEX Vectores 2v − −→Ejemplo 1.2. Expresar como combinaci´n lineal de los vectores AB = u y o−→−BC = v, los siguientes vectores: − −→ − → −→ − a) BA b) AC c) DBSoluci´n: o − −→ −−→ A u B a) BA = −AB = −u −→ − −→ −→− b) AC = AB + BC = u + v v −→ −→ −→ − − − c) DB = DC + CB = 2 u − v D 2u C Doc Doc Volver Cerrar
  8. 8. MATEMATICASSecci´n 1: Vectores en el plano o 8 1º Bachillerato r=A+luEjemplo 1.3. AConsidera el hex´gono regular de la figura. Expresar como combinaci´n lineal a o − −→ −→ dde los vectores AB = u y AC = v, los siguientes vectores: B −→ − −→ −→ − s=B+mv a) BC b) AO c) AD CIENCIAS −→ − −→ − −→ d ) DO e) CD f ) AESoluci´n: o MaTEX −→ − C B a) BC = −u + v Vectores −→ −→− b) AO = BC = −u + v u −→ − −→ c) AD = 2 AO = −2 u + 2 v v −→ − −→ − d ) DO = − BC = u − v D A −→ − − → −→ − O e) CD = CA + AD = −v + (−2 u + 2 v) −→ − CD = −2 u + v −→ −→ −→ − − f ) AE = AD + DE = (−2 u + 2 v) − u −→ E F AE = −3 u + 2 v Doc Doc Volver Cerrar
  9. 9. MATEMATICASSecci´n 1: Vectores en el plano o 9 1º Bachillerato r=A+luEjercicio 1. Dados dos vectores no dependientes u y v hallar −2 · u − 2 · v A −→ −Ejercicio 2. Expresar como combinaci´n lineal de los vectores BC = u y o d−→ −CD = v, los siguientes vectores: B s=B+mv CIENCIAS −→ − B u C a) BD −→ b) AC v MaTEX − −→ c) AB Vectores A 2u DEjercicio 3. Siendo M, N, P los puntos medios de los lados, expresar como −→ − −→combinaci´n lineal de los vectores AM = u y AP = v, los siguientes vectores: o −→ − − −→ C a) M B b) AB −→ − −→ − c) BC d ) AN P −→ − −→ − v e) P M f ) MC N A u M B Doc Doc Volver Cerrar
  10. 10. MATEMATICASSecci´n 1: Vectores en el plano o 10 1º Bachillerato r=A+lu1.3. Combinaci´n lineal de vectores. Base o A En los ejercicios anteriores, b´sicamente hemos hecho dos cosas con los a dvectores. Multiplicarlos por un n´mero y sumarlos (restarlos). Esas dos op- u B s=B+mveraciones constituyen lo que se llama una combinaci´n lineal, bien de uno o o CIENCIASm´s vectores. aDefinici´n 6 o Decimos que el vector v es combinaci´n lineal del vector u si o MaTEX existe un escalar α con v =α·u Vectores tambi´n decimos que u y v son dependientes o proporcionales. e Si u y v no son dependientes decimos que son independientes.Definici´n 7 o Decimos que el vector w es combinaci´n lineal de los vectores o u y v si existen escalares α y β con w =α·u+β·vDefinici´n 8 (Base) o Decimos que los vectores u y v forman una base en el plano R2 si son linealmente independientes. Esto significa que cualquier vector w ∈ R2 se obtiene por combinaci´n lineal de u y v. o Doc Doc Volver Cerrar
  11. 11. MATEMATICASSecci´n 2: Coordenada cartesianas o 11 1º Bachillerato r=A+lu2. Coordenada cartesianas A Tomando en el plano un punto cualquiera O como origen de referencia dvamos a introducir coordenadas para trabajar con los vectores. B s=B+mv CIENCIAS2.1. Base can´nica o De entre todas las bases elegimos la base can´nica determinada por los ovectores i(1, 0) y j(0, 1). As´ cualquier vector u(u1 , u2 ) se pude expresar como ı MaTEX (u1 , u2 ) = u1 · (1, 0) + u2 · (0, 1) Vectores u = u1 · i + u2 · jLos n´meros u1 y u2 por este orden son ulas componentes del vector. u = u1 i + u2 j u2 jLa magnitud o m´dulo del vector ou(u1 , u2 ) por el teorema de Pit´goras cor- aresponde a u2 |u| = u2 + u2 j u1 1 2 O i u1 i Doc Doc Volver Cerrar
  12. 12. MATEMATICASSecci´n 2: Coordenada cartesianas o 12 1º Bachillerato r=A+luEjemplo 2.1. Expresar los vectores del gr´fico en funci´n de la base can´nica a o o Ai(1, 0) y j(0, 1) y determinar el m´dulo de de los mismos. o dSoluci´n: o B s=B+mv − → v CIENCIAS v =2·i+4·j √ |v| = 22 + 42 = 20 MaTEX w = −3 · i + 2 · j − → w √ → − (−3)2 + 22 = j Vectores |v| = 13 n = −3 · i − ·j → − √ i |v| = (−3)2 + (−1)2 = 10 − → n c=4·i−2·j → − c √ |c| = (4)2 + (−2)2 = 20 A continuaci´n vamos a repasar los conceptos de dependencia, inde- opendencia, bases y combinaci´n lineal de vectores utilizando coorde- o Doc Docnadas. Volver Cerrar
  13. 13. MATEMATICASSecci´n 2: Coordenada cartesianas o 13 1º Bachillerato r=A+luEjemplo 2.2. Comprobar que el vector w(4, 8) es combinaci´n lineal del o Avector u(1, 2) dSoluci´n: Comprobamos si existe un escalar α con o B s=B+mv (4, 8) = α · (1, 2) CIENCIASIgualando componentes se tiene 4 = 1α MaTEX =⇒ α = 4 8 = 2α VectoresEjemplo 2.3. Dado el vector v(8, 12) hallar: 1 1 a) 3 · v b) −2 · v c) · v d) − · v 4 3Soluci´n: o a) 3 · v = 3 · (8, 12) = (24, 36) b) −2 · v = −2 · (8, 12) = (−16, −24) 1 1 c) · v = · (8, 12) = (2, 3) 4 4 1 1 8 d ) − · v = − · (8, 12) = (− , −4) 3 3 3 Doc Doc Volver Cerrar
  14. 14. MATEMATICASSecci´n 2: Coordenada cartesianas o 14 1º Bachillerato r=A+luTest. A 1. Los vectores u(2, 2) y v(3, 3) son..? d (a) Independientes (b) Dependientes B s=B+mv 2. Los vectores u(2, 2) y v(3, 4) son..? CIENCIAS (a) Independientes (b) Dependientes MaTEXEjemplo 2.4. Dados los vectores u(2, 1) y v(−1, 3) hallar: a) 3 · u + 2 v ˜ b) −2 · u + 3 · v c) −u + 2 · v VectoresSoluci´n: o a) 3 · u + v = 3 · (2, 1) + (−1, 3) = (5, 6) b) −2 · u + 3 · v = −2 · (2, 1) + 3 · (−1, 3) = (−7, 1) c) −u + 2 · v = −(2, 1) + 2 · (−1, 3) = (−4, 5)Ejemplo 2.5. Comprobar que el vector w(4, 7) es combinaci´n lineal de los ovectores u(2, 1) y v(0, 5).Soluci´n: Comprobamos si (4, 7) = α · (4, 7) + β · (0, 5) oIgualando componentes se tiene 4 = 2α + 0β =⇒ α = 2 β=1 7 = 1α + 5β Doc Doc Volver Cerrar
  15. 15. MATEMATICASSecci´n 2: Coordenada cartesianas o 15 1º Bachillerato r=A+luDefinici´n 9 (Base) o A Decimos que los vectores u(u1 , u2 ) y v(v1 , v2 ) forman una base d en el plano R2 si son linealmente independientes. Esto signifi- B ca que cualquier vector w ∈ R2 se obtiene por combinaci´n o s=B+mv CIENCIAS lineal de u(u1 , u2 ) y v(v1 , v2 ).Ejemplo 2.6. Comprobar que los vectores u(2, 1) y v(0, 5) forman una base. MaTEXSoluci´n: Los dos vectores u(2, 1) y v(0, 5) forman una base, pues son inde- opendientes ya que no hay ning´n escalar α tal que u(2, 1) = α · v(0, 5). uObserva que las componentes no son proporcionales: Vectores 0 5 = 2 1Ejemplo 2.7. ¿Forman una base los vectores u(2, 1) y v(4, 2)?Soluci´n: No forman una base, pues los vectores son dependientes, ya que: o v(4, 2) = 2 · u(2, 1)Otra forma es ver que las componentes son proporcionales: 2 1 = =⇒ son dependientes 4 2 Doc Doc Volver Cerrar
  16. 16. MATEMATICASSecci´n 2: Coordenada cartesianas o 16 1º Bachillerato r=A+luTest. Responde a las cuestiones: A 1. Los vectores u(2, 2) y v(3, 3) forman una base en R2 . d (a) Verdadero (b) Falso B s=B+mv 2. Los vectores u(1, 0) y v(2, 1) forman una base en R2 . CIENCIAS (a) Verdadero (b) Falso MaTEXEjercicio 4. Expresar el vector w(5, 2) como combinaci´n lineal de los vec- otores u(1, 2) y w(3, −2). Efectuar una representaci´n gr´fica. o a VectoresEjercicio 5. Dados los vectores u(1, −2) y w(2, 3), hallar v con w =2·u+3·vEjercicio 6. Sean los vectores u(1, 1) y w(−1, 1). Comprobar que formanuna base.Ejercicio 7. Sean los vectores u(2, a) y w(1, 1). Hallar los valores de a paraque formen una base. Doc Doc Volver Cerrar
  17. 17. MATEMATICASSecci´n 3: Producto escalar de vectores o 17 1º Bachillerato r=A+lu3. Producto escalar de vectores A3.1. Vectores ortogonales d B s=B+mv Supongamos dos vectores u y v en (figu- CIENCIAS ra). Diremos que son perpendiculares u ortogonales si se satisface el teorema de Pit´goras: a v MaTEX u−v |u|2 + |v|2 = |u − v|2 Vectores uAplicando la ecuaci´n, la condici´n se transforma en o o (u2 + u2 ) + (v1 + v2 ) = (u1 − v1 )2 + (u2 − v2 )2 1 2 2 2Simplificando t´rminos comunes queda e (u1 v1 + u2 v2 ) = 0As´ la igualdad es v´lida si el producto cruzado es cero. Diremos que dos ı avectores u y v son ortogonales u ⊥ v si u ⊥ v ⇐⇒ u1 v1 + u2 v2 = 0 (1) Doc Doc Volver Cerrar
  18. 18. MATEMATICASSecci´n 3: Producto escalar de vectores o 18 1º Bachillerato r=A+lu3.2. Producto escalar A Al producto anterior de las componentes de dos vectores le definimos como dproducto escalar de dos vectores B s=B+mv CIENCIAS u(u1 , u2 ) · v(v1 , v2 ) = u1 v1 + u2 v2 (2)Cuando el producto escalar de dos vectores es cero, los vectores son ortog-onales o perpendiculares. MaTEXPara hallar un vector perpendicular a u(u1 , u2 ) basta cambiar el orden y elsigno de una de las componentes. Vectores u(u1 , u2 ) · v(−u2 , u1 ) = −u1 u2 + u2 u1 = 0As´ ı, (1, 5) ⊥ (−5, 1) (2, 3) ⊥ (−3, 2) (8, 7) ⊥ (−7, 8)3.3. M´dulo de un vector o Observar que si multiplicamos escalarmente un vector u por si mismo seobtiene el cuadrado de su m´dulo o longitud: o u · u = u2 + u2 = |u|2 1 2 (3)o dicho de otra forma, el m´dulo de un vector es la ra´ positiva de su producto o ızescalar √ |u| = u · u (4) Doc Doc Volver Cerrar
  19. 19. MATEMATICASSecci´n 3: Producto escalar de vectores o 19 1º Bachillerato r=A+lu ´3.4. Angulo de dos vectores A d Del teorema del coseno en un tri´ngulo se tiene a B |v| s=B+mv CIENCIAS 2 2 2 |u − v| = |u| + |v| − 2 |u| |v| cos α (5) donde α es el ´ngulo determinado por u y v. a α |u − v| MaTEX 2 |u − v| =(u − v) · (u − v) =u · u − 2 u · v + v · v |u| Vectores =|u|2 − 2 u · v + |v|2Por otra parte, igualando las ecuaciones anteriores se tiene u · v = |u| · |v| cos α (6)que nos da una segunda definici´n del producto escalar. Por ello se obtiene oque el ´ngulo θ de dos vectores u y v viene dado por a u·v cos(u, v) = (7) |u| · |v| Doc Doc Volver Cerrar
  20. 20. MATEMATICASSecci´n 3: Producto escalar de vectores o 20 1º Bachillerato r=A+luEjemplo 3.1. Determinar el ´ngulo de los vectores de R2 , u = (2, 1) y v = a A(0, 1). dSoluci´n: Tenemos: o B s=B+mv (2, 1) · (0, 1) 1 CIENCIAS cos(u, v) = =√ √ |(2, 1)| cot |(0, 1)| 6 1y de esto bastar´ hallar ıa MaTEX 1 α = ∠(u, v) = arcos √ 6 VectoresEjercicio 8. Dados los vectores u = (2, −3) y v = (6, −1) hallar: 1. los m´dulos de u y v. o 2. El producto escalar de u y v 3. El coseno del ´ngulo que forman. a 4. Hallar m para que el vector w(m, 2) sea ortogonal a uEjercicio 9. Hallar todos los vectores w perpendiculares a u(u1 , u2 ) y conel mismo m´dulo. oEjercicio 10. Dados los vectores u(−4, 6) y v(5, m). Hallar m para que: a) Sean dependientes b) Sean perpendiculares Doc Doc Volver Cerrar
  21. 21. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 21 1º Bachillerato r=A+luSoluciones a los Ejercicios AEjercicio 1. d B s=B+mv w = −2 · u − 2 · v CIENCIAS −2v MaTEX w Vectores u v −2u Ejercicio 1 Doc Doc Volver Cerrar
  22. 22. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 22 1º Bachillerato r=A+luEjercicio 2. A −→ −→ −→ − − − B u C d a) BD = BC + CD = u + v B −→ −→ −→ − − v s=B+mv b) AC = AD + DC = 2 u − v CIENCIAS − −→ − → −→− c) AB = AC + CB = u − v A 2u D Ejercicio 2 MaTEX Vectores Doc Doc Volver Cerrar
  23. 23. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 23 1º Bachillerato r=A+luEjercicio 3. A − → −→ − − C d a) M B = AM = u B − −→ −→ − s=B+mv b) AB = 2 AM = 2 u CIENCIAS −→ − − − → − → P c) BC = BA + AC = −2 u + 2 v −→ − − → 1 −→ − v MaTEX d ) AN = AC + CB = u + v N 2 A −→ − − → −→ − e) P M = P A + AM = u − v Vectores u − → −→ − − − → f ) M C = M A + AC = −u + 2 v M B Ejercicio 3 Doc Doc Volver Cerrar
  24. 24. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 24 1º Bachillerato r=A+luEjercicio 4. Buscamos escalares α y β con A w =α·u+β·v d BIgualando componentes se tiene s=B+mv CIENCIAS 5 = 1α + 3β =⇒ α = 2 β=1 2 = 2α − 2β MaTEX 2u Vectores w u v Ejercicio 4 Doc Doc Volver Cerrar
  25. 25. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 25 1º Bachillerato r=A+luEjercicio 5. Igualando componentes se tiene A 2 = 2 (1) + 3 v1 7 d =⇒ v1 = 0 v2 = 3 = 2 (−2) + 3 v2 3 B s=B+mv CIENCIAS Ejercicio 5 MaTEX Vectores Doc Doc Volver Cerrar
  26. 26. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 26 1º Bachillerato r=A+luEjercicio 6. Basta comprobar que los vectores u(1, 1) y w(−1, 1) son lineal- Amente independientes. Como las componentes no son proporcionales: d 1 1 B = =⇒ son independientes s=B+mv −1 1 CIENCIAS Ejercicio 6 MaTEX Vectores Doc Doc Volver Cerrar
  27. 27. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 27 1º Bachillerato r=A+luEjercicio 7. Basta exigir que los vectores u(2, a) y w(1, 1) sean linealmente Aindependientes., es decir que las componentes no sean proporcionales. Como d 2 a B = =⇒ a = 2 s=B+mv 1 1 CIENCIASSi a = 2 son dependientes y no forman base. Para cualquier valor a = 2 sonindependientes y forman una base. Ejercicio 7 MaTEX Vectores Doc Doc Volver Cerrar
  28. 28. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 28 1º Bachillerato r=A+luEjercicio 8. A √ 1. |u| = 22 + (−3)2 = √ 13 d |v| = 62 + (−1)2 = 37 B s=B+mv 2. El producto escalar CIENCIAS u · v = (2, −3) (6, −1) = 2 . 6 + 3 . 1 = 15 3. Como u . v = ||u|| ||v|| cosα, tenemos, MaTEX 15 cos α = √ √ Vectores 13 37 4. w ortogonal a u si w . u = 0, luego, (m, 2) . (2, −3) = 0 ⇒ 2m − 6 = 0 ⇒ m = 3 Ejercicio 8 Doc Doc Volver Cerrar
  29. 29. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 29 1º Bachillerato r=A+luEjercicio 9. Los vectores w perpendiculares a u(u1 , u2 ) y con el mismo Am´dulo, son o d w(−u2 , u1 ) w(u2 , −u1 ) B s=B+mv Ejercicio 9 CIENCIAS MaTEX Vectores Doc Doc Volver Cerrar
  30. 30. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 30 1º Bachillerato r=A+luEjercicio 10. A a) los vectores u(−4, 6) y v(5, m) son dependientes si d −4 6 15 B s=B+mv = =⇒ m = − CIENCIAS 5 m 2 b) los vectores u(−4, 6) y v(5, m) son perpendiculares si MaTEX 10 (−4, 6) · (5, m) = 0 =⇒ −20 + 6m = 0 =⇒ m = 3 Vectores Ejercicio 10 Doc Doc Volver Cerrar
  31. 31. MATEMATICASSoluciones a los Tests 31 1º Bachillerato r=A+luSoluciones a los Tests ASoluci´n al Test: En efecto los vectores u(2, 2) y v(3, 3) son linealmente o ddependientes pues B s=B+mv 3 v(3, 3) = · u(2, 2) CIENCIAS 2 Final del Test MaTEX Vectores Doc Doc Volver Cerrar
  32. 32. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A´Indice alfab´tico e da´ngulo de dos vectores, 19 B s=B+mv CIENCIASbase, 10, 15combinaci´n lineal , 10 o MaTEXnorma, 18 Vectoresproducto escalar, 18vectores por un n´mero, 5 u resta, 6 suma, 6vectores ortogonales, 17 Doc Doc Volver Cerrar 32
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