VECTORES EN R2

  • 22,945 views
Uploaded on

Vectores en el plano cartesiano de ejes X e Y

Vectores en el plano cartesiano de ejes X e Y

More in: Education
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
No Downloads

Views

Total Views
22,945
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
4

Actions

Shares
Downloads
149
Comments
0
Likes
2

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. ÁLGEBRA MATRICIALPROF. MARIELA SARMIENTOSESIÓN 1: VECTORES EN EL PLANOEnfoque Geométrico:Definición: Un vector es un segmento de recta orientado que va desde un punto Phasta un punto Q.Notación: Denotamos al vector con punto inicial P y punto final Q, por PQ Elementos de un Vector Los vectores tienen longitud (medida del segmento PQ ), dirección (la misma que tiene la recta que los contiene) y sentido (según lo indica la flecha).Definición: Dos vectores representados por PQ y RS son iguales si tienen lamisma longitud, dirección y sentido. PQ RS .Observación: De acuerdo a la definición anterior, para cada vector en el planopodemos dibujar un vector igual a él con punto inicial en el origen de algúnsistema de coordenadas cartesianas, esto me determina un punto (x , y) del planoque es el correspondiente punto final del vector. Así, todo vector en el plano sepuede definir analíticamente en términos de números reales.
  • 2. Enfoque Analítico:Definición: Un vector en el plano es un par ordenado de números reales (x , y).Los números x y y son las componentes del vector.Observación: Existe una correspondencia uno a uno entre los vectores del planoy los puntos del planoEjemplo: Sea A = (a1 , a2) entonces el vector A se puede representar por el segmento OADefinición: La representación de un vector que tenga su punto inicial en el origense denomina representación posicional del vector.Ejemplo: El vector (2 , 3) tiene como representación posicional el vector OA . La representación de (2 , 3) con punto inicial (h , k) tiene como punto final a (h+2 , k+3)Definición: El vector (0 , 0) se denomina vector nulo y se denota por O = (0 , 0)
  • 3. Observación: Cualquier punto es una representación del vector nulo.Definición: La magnitud (o norma) de un vector A es la longitud de cualquiera desus representaciones y se denota por A . Teorema : Si A = (a1 , a2) entonces A a12 a 22 . La demostración de este teorema se basa en el Teorema de Pitágoras.Ejemplo: El vector A = (4 , 3) tiene magnitud A 42 32 25 5 El vector A es la representación posicional, por ejemplo, del vector con punto inicial P = (-1 , 2) y punto final Q = (-1+4 , 2+3) = (3 , 5) Hallemos la magnitud de PQ , para ello usamos la fórmula de distancia entre dos puntos. Esto es PQ (3 ( 1)) 2 (5 2) 2 42 32 25 5
  • 4. Definición: Elángulo director de cualquier vector distinto del vector nulo es elángulo medido desde el lado positivo del eje x en sentido contrario a las agujasdel reloj. Si A = (a1 , a2) entonces a tg 2 , a1 0 a1 a arctg 2 a1 Si a1 0 y a2 0 2 3 Si a1 0 y a2 0 2 Observación: Dada la magnitud y el a1 Cos a1 A Cos ángulo director de un vector A A = (a1, a2), podemos hallar sus a2 componentes, de la siguiente manera: Sen a2 A Sen AEjemplo: Halle el ángulo director del vector (1 , -2)
  • 5. 2 tg 2 1 arctg ( 2) 63,43 Estamos midiendo el ángulo en sentido de las agujas del reloj, por ello es negativo ( ). Para medir a , como indica la figura, hacemos: 360o 63, 43o 296 , 56 oOPERACIONES CON VECTORES 1. SUMA Analíticamente GeométricamenteLa suma de dos Usamos el Método del Paralelogramovectores A =(a1 , a2) Por el extremo de A trazamos una paralela a B y viceversa.y B =(b1 , b2) es el Como observas en la figura, las paralelas y los vectores hanvector formado un paralelogramo, cuya diagonal es el vector sumaA+B=(a1+b1 , a2+b2) A+B.Como has podidoobservar, hemossumado lascorrespondientescomponentes de losvectores A y B.Definición: Si A = ( a1 , a2) entonces el vector (–a1 , –a2) se denomina el negativo(u opuesto) de A y se denota por –A.
  • 6. Si el vector A se representa por PQ QP representa al vector –A 2. RESTADefinición: La diferencia o resta de dos vectores A y B se denota por A – B y sedefine por el vector que se obtiene al sumar a A el negativo de B, esto es,A– B = A + (-B)Si A = (a1 , a2) y B = (b1 , b2) entoncesA – B = (a1– b1 , a2– b2)Observación: Para obtener A-B enforma geométrica, basta con unir elextremo de A con el extremo de B (verla figura). 3. MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALARDefinición: S es un escalar y A = (a1 , a2) es un vector entonces el producto de por A es el vector A = (a1 , a2) = ( a1 , a2)Ejemplo: O = (0 , 0) = ( 0 , 0) = (0 , 0) = O 0A = 0 (a1 , a2) = (0a1 , 0a2) = (0 , 0) = O En la siguiente figura podemos observar dos vectores que se han obtenido luego de multiplicar al vector A por los escalares -2 y 3:
  • 7. EJERCICIOS EJERCICIOS PAGINAS RESUMEN AUTOEVALUACIÓN RESUELTOS PROPUESTOS SIMILARESRESUMENUn vector es un segmento de recta orientado que va desde un punto inicial Phasta un punto final Q.Al trasladar el vector al origen, obtenemos su representación posicional, que noes más que el vector con punto inicial en el origen del plano y punto final enA(a1,a2) tal que PQ y OA , o simplemente A, tienen la misma longitud (magnitud),dirección y sentido.La magnitud del vector A viene dada por: A a12 a 22La dirección del vector A viene dada por elángulo director (ángulo medido desde ael eje positivo x hasta el vector A, en sentido positivo): arctg 2 , a1 0 a1Los vectores pueden sumarse, restarse o multiplicarse por un escalar, así:Suma : A + B = (a1 , a2) + (b1 , b2) = (a1+b1 , a2+b2)Resta: A – B = (a1– b1 , a2– b2)Multiplicación por un escalar: A = (a1 , a2) = ( a1 , a2)EJERCICIOS RESUELTOS 1. Halle el vector de posición correspondiente a. P(1,4) , Q(5,3) b. P(7,-3), Q(-2,4) Respuesta: Supongamos que el vector posición tiene componentes A = (a, b) y que
  • 8. P = (h, k), entonces Q = (h+a, k+b).Sustituyendo las componentes de P y Q, tenemos: P (h, k) (1, 4) h 1yk 4 Q (1 a,4 b) 1 a 5y 4 b 3 a 4y b -1 a. b. 2. Para los vectores A = (3 , 7), B = (-2 , -1) y C = (-4 , 2); calcule las expresiones vectoriales siguientes: a. A + B b. 2A–B c. 5A–2B+6C d. A– [(B–A)+C] 3. Con los vectores anteriores, halle escalares y de modo que se satisfaga: a. B– A=C b. (A–B) = 3 C (-2 , -1) – (3 , 7) = (-4 , 2) (3+2, 7+1) = 3 (-4 , 2) (-2 , - ) – (3 , 7 ) = (-4 , 2); (5 , 8 ) = (-12 ,6 ) (-2 – 3 , - – 7 ) = (-4 , 2); 5 12 -2 – 3 = -4 (1) 8 6 -–7 = 2 (2) 12 De (1) Sustituyo en (2): Multiplicando (2) por -2 y sumándola a 5 (1), tenemos: 11 = -8
  • 9. 8 12 8 6 0 11 5 Sustituimos en (1): 126 8 5 34 2 3 4 0 11 11 4. Halle un vector que tenga punto inicial en A = (2 , -1) y la misma dirección del vector B =(7 , 6).El vector tiene punto inicial P (h, k) = (2, -1), ladirección de B (b1, b2) y punto final está dado por:Q = (h+b1, k+b2) = (2+7, -1+6) = (9, 5) 5. Halle un vector con dirección contraria al vector A = (-2 , 4) y con punto final Q =(2 , 0). El vector tiene punto inicial P (h, k) , la dirección contraria de A, esto es, la dirección de -A -A = (-a1, -a2) = (2 , -4) y punto final está dado por: Q = (h+(-a1), k+(-a2)) = (2, 0) (h+2, k-4) = (2, 0) h+2 = 2 h=0 k-4 = 0 k=4 Luego P = (0, 4)