Coordenadas polares
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Coordenadas polares

on

  • 2,001 views

 

Statistics

Views

Total Views
2,001
Views on SlideShare
2,001
Embed Views
0

Actions

Likes
0
Downloads
37
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Coordenadas polares Coordenadas polares Document Transcript

  • GEOMETRÍA ANALÍTICA COORDENADAS POLARESCONTENIDO1. Coordenadas polares de un punto2. Coordenadas polares geralizadas 2.1 Relación entre coordenadas polares y rectangulares de un punto3. Cambio de sistema de coordenadas cartesianas a polares y viceversa 3.1 Ejercicios4. Trazado de una curva dada su ecuación polar5. Ecuación de las curvas de segundo grado en coordenadas polares Este sistema consiste en señalar unpunto que es el origen de las coordenadas y apartir de él se señala un segmento de rectahorizontal denominado línea inicial o eje polar,en el cual se marca la escala que se desee,para medir distancias. Una vez hecho esto, paraindicar la posición de un punto cualquiera delplano, trazamos la recta desde el punto encuestión hasta el origen del sistema y se mideel ángulo por el eje polar y la recta. La medidadel ángulo y de la distancia del punto alorigen son las coordenadas polares delpunto. Lo especificado lo representamos en lafigura adjunta.1. Coordenadas polares de un punto Consideremos sobre un plano, un rayo(0x) con origen en el punto 0. Llamaremos ejepolar al rayo; polo al punto 0, El eje polar serepresentara por 0x. Sea M un punto arbitrario del plano, comose observa en la figura adjunta. La longitud delsegmento 0M, se llamará longitud del radiopolar del punto M y se representará por r. Elángulo que deba rotarse el eje polar, en el 11. COORDENADAS POLARES 11-1AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLOEDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
  • GEOMETRÍA ANALÍTICAsentido opuesto a las manecillas del reloj, para hacerlo coincidir con el radio polar, 0M se llamaráángulo polar del punto M y se representará por θ. Si el punto M coincide con el polo, r = 0 y elángulo θ no tendrá un valor determinado. El par de números r y θ reciben elnombre de coordenadas polares delpunto M. Lo denotamos como: M ( r, θ ) El radio vector es positivo.EJEMPLO 1. Construir los puntos cuyascoordenadas polares son:  3π   π   7π A 4,  ; B 3,-  y C 2,   2   4   4  SOLUCIÓN Por lo expuesto, los datos los llevamos a la figura adjunta.EJEMPLO 2. Determinar las coordenadas polares de las vértices de un hexágono regular A, B, C, D, E, y F, tomando como polo al punto 0, centro del hexágono y como eje polar al rayo OC , según la figura. SOLUCIÓN Tomando O C = 1 π π π πC(1,0), D(1,π/3), E(1,2π/3), F(1,π), A(1,4π/3) πy B(1,5π/3)2. Coordenadas polares generalizadas En la situación de ciertos problemas es conveniente considerar sobre una recta que pasapor el polo, dos puntos M y N que se encuentran en diferentes semi-rectas con relación al punto 0.Como se observa en la figura siguiente: En este caso se toma por ángulo polar de los puntos M y N el mismo ángulo, y r, para elpunto M, se considerara positivo y para el punto N será negativo. Las coordenadas θ y r < 0 se llaman coordenadas polares generalizadas del punto N. 11. COORDENADAS POLARES 11-2AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLOEDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
  • GEOMETRÍA ANALÍTICAEJEMPLO 3. Determinar las coordenadas polares de los puntos que se indican en la figura adjunta: SOLUCIÓN Como el radio vector r es positivo cuando se mide sobre el lado terminal del ángulo y negativo cuando se mide sobre la prolongación de este, tendremos que: De acuerdo a la figura, para los puntos M, N, P y Q pueden tomarse como coordenadas polares.  π   π   π   π  M 3,  ; N - 4 ,  , P 4,  y Q -2,   2   4   4   4 2.1. Relación entre coordenadas polares y rectangulares de un punto Para transformar las coordenadasde un punto de un sistema decoordenadas rectangulares a un sistemade coordenadas polares o viceversa,hacemos coincidir los orígenes de los dossistemas y el eje polar con el eje positivode las abscisas o de las x, como se ve enla figura adjunta en la cual consideramosun punto P, cualquiera. Las coordenadas en ambossistemas del punto P son: P (x, y) y P (r, φ)3. Cambio de sistema de coordenadas cartesianas a polares y viceversa. Para la solución de ciertos problemas es necesario saber como pasar de un sistema decoordenadas a otro. Por ello deduciremos las relaciones necesarias. De la figura anterior, se tiene el triángulo rectángulo 0PD y de acuerdo a la definición de lasfunciones trigonométricas, obtenemos: y sen φ = ∴ y = r sen φ .................................................................................................(1) r 11. COORDENADAS POLARES 11-3AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLOEDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS View slide
  • GEOMETRÍA ANALÍTICA x cos φ = ∴ x = r cos φ .................................................................................................(2) r Que son las ecuaciones de cambio, para cambiar las coordenadas de un punto o de unaecuación cartesiana en polar y viceversa. Ahora, de acuerdo al teorema de Pitágoras según la misma figura nos queda: 2 2 2 2 r =x +y ∴ r= 2 x +y ..........................................................................................(3) Las expresiones anteriores (1), (2) y (3) son válidas para todos los puntos del plano, esdecir, podemos convertir con facilidad las ecuaciones rectangulares de las curvas en el plano a suforma polar o viceversa.3.1 Ejercicios1. Dadas las coordenadas cartesianas del punto P ( 1 , - 3 ) , determinar las coordenadas polares del mismo. SOLUCIÓN 2 2 Se sabe que r = x +y , sustituyendo las coordenadas conocidas del punto tenemos: r= 2 1 + - ( 3 ) 2 = 1+ 3 = 4 =2 ∴ r =2 Por otra parte se tiene que: y - 3 sen φ = = r 2  3  5π 5π ϕ = ang sen  -   = 3000 = ∴ φ=  2   3 3 Por lo que las coordenadas polares de P son:  5 π  P 2,   3 2. Dada la ecuación polar r ( 3 - 2 cos θ ) = 2 . Obtener la ecuación cartesiana de la curva. SOLUCIÓN De la ecuación dada se tiene: 3 r - 2 r cos θ = 2 2 2 Aplicando las ecuaciones de cambio: x = r cos θ y r = x +y . 11. COORDENADAS POLARES 11-4AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLOEDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS View slide
  • GEOMETRÍA ANALÍTICA Sustituyendo queda: 2 2 3 x +y -2 x=2 2 2 3 x +y =2 x+2 Elevando al cuadrado ambos miembros y desarrollando: 2 9 x2+9 y =4 x2+8x+4 Simplificando y ordenando: 2 5 x2 +9 y -8x- 4=0 La ecuación representa a una elipse.3. Obtener la ecuación polar de la curva cuya ecuación es: 3 x + 4 y + 1 = 0 . SOLUCIÓN Se sabe que x = r cos θ , y = r sen θ Sustituyendo en la ecuación dada: 3 ( r cos θ ) + 4 ( r sen θ ) = - 1 3 r cos θ + 4 r sen θ = - 1 r ( 3 cos θ + 4 sen θ ) = - 1 Despejando a r: -1 r= 3 cos θ + 4 sen θ 44. Obtener la ecuación rectangular de la curva cuya ecuación es: r = . cos θ + 1 SOLUCIÓN Rearreglando la ecuación dada: r ( cos θ + 1 ) = 4 r cos θ + r = 4 Pero: x = r cos θ 2 2 r= x +y 11. COORDENADAS POLARES 11-5AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLOEDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
  • GEOMETRÍA ANALÍTICA Sustituyendo: 2 2 x+ x +y =4 2 2 x +y =4-x Elevando al cuadrado y simplificando: 2 2 2 2 x + y = ( 4 - x ) = 16 - 8 x + x Despejando: 2 y = 16 - 8 x = 8 ( 2 - x ) Por tanto: 2 y =8 (2- x) La ecuación representa a la curva de una parábola.5. Obtener la ecuación cartesiana de la línea: r ( 5 cos θ + 3 sen θ ) = 6 . SOLUCIÓN Haciendo las operaciones: 5 r cos θ + 3 r sen θ = 6 Haciendo el cambio sabiendo que: x = r cos θ y y = r senθ Sustituyendo queda: 5 x +3 y=6 La ecuación representa a una línea recta. 26. Obtener la ecuación polar de la parábola, cuya ecuación es: y = 2 p x SOLUCIÓN En la ecuación dada sustituimos las ecuaciones: x = r cos θ y = r sen θ Por lo que: 2 2 r sen θ = 2 p r cos θ 11. COORDENADAS POLARES 11-6AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLOEDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
  • GEOMETRÍA ANALÍTICA Simplificando: r sen 2 θ = 2 p cos θ Despejando: cos θ 1 cos θ r =2p 2 =2p sen θ sen θ sen θ Pero: 1 cos θ = csc θ y = cot θ sen θ sen θ Sustituyendo queda: r = 2 p csc θ cot θ7. Determinar la nueva ecuación polar de la curva r 2 cos θ sen θ = 8 , referida al mismo polo, ° pero cuando el eje polar gira un ángulo de 45°. SOLUCIÓN Previamente, tenemos que pasar al sistema cartesiano la ecuación dada para poder hacer el giro. La ecuación dada puede expresarse como: r cos θ r sen θ = 8 Sustituyendo: x = r cos θ y y = r sen θ : La ecuación dada tiene la forma: x y = 8 ...............................................................................................................................(1) Las ecuaciones de giro en este caso son, sabiendo que: 1 1 sen 450 = y cos 450 = 2 2 x− y x = x ′ cos 45° - y ′ sen 45° = 2 x′ + y′ y = x ′ sen 45° + y ′ cos 45° = 2 11. COORDENADAS POLARES 11-7AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLOEDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
  • GEOMETRÍA ANALÍTICA Sustituyendo en (1) queda:  x′ - y ′   x ′ + y ′    =8  2  2  Haciendo operaciones: 2 2 x′ - y′ =8 2 2 2 x′ - y′ = 16 Esta es la ecuación transformada, pero en sistema cartesiano; habrá que regresar nuevamente a polares para obtener la solución definitiva. Al aplicar las correspondientes ecuaciones de cambio, resulta: r ′ cos θ′ - r ′ sen θ′ = 16 2 2 2 2 r ′ ( cos θ′ - sen } = 16 2 2 2 Pero se sabe que: cos 2 θ ′ - sen 2 θ ′ = cos 2 θ′ . Por tanto: r ′ cos 2 θ ′ = 16 2 1 r′ = 16 2 = 16 sec 2 θ ′ cos 2 θ ′ 1 Sabiendo que: = sec 2 θ cos 2 θ Extrayendo raíz cuadrada a ambos miembros se tiene: r′ = ± 4 sec 2 θ ′ Que es la nueva ecuación polar.4. Trazado de una curva dada su ecuación polar. Para localizar puntos o parabosquejar las gráficas, se hace en papelcoordenado polar, que se construye de lasiguiente forma: A partir de un punto que es el polo,se trazan círculos concéntricosigualmente espaciados. Los puntossituados sobre el lado terminal del ángulocorresponden a valores positivos de lasdistancias y los puntos situados sobre laprolongación del lado terminal del ángulo 11. COORDENADAS POLARES 11-8AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLOEDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
  • GEOMETRÍA ANALÍTICAserán para los valores negativos de las distancias, como se muestra en la figura anterior. Para graficar una ecuación polar, procedemos igualmente que con las ecuaciones ° °cartesianas, dando valores al ángulo θ entre 0° y 360°, haciendo uso de preferencia del papelcoordenado polar.EJEMPLO 1. Trazar la curva cuya ecuación polar es: r = 8 cos θ . SOLUCIÓN Se hacen las operaciones para cada valor de θ según la ecuación. Para obtener las correspondientes a r, obteniéndose la siguiente tabla de tabulación La figura siguiente muestra los resultados gráficos obtenidos. θ r 00 = 00 8 π/6 = 300 4 3 = 6.9 π/3 = 600 4 π/2 = 900 02π/3 = 1200 -45π/6 = 1500 - 4 3 = - 6.9 π = 1800 -8EJEMPLO 2. Trazar la curva llamada cardiode, cuya ecuación polar es: r = a ( 1 + cos θ ) . SOLUCIÓN Para la efectuar las operaciones haremos a = 4. Procediendo en forma ordenada, asignando los valores al ángulo θ, partiendo de 00 y aumentando de 300 en 300. Efectuando las operaciones indicadas por la ecuación dada para cada uno de los valores del ángulo. De esta manera se tiene la siguiente tabla de tabulación. 11. COORDENADAS POLARES 11-9AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLOEDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
  • GEOMETRÍA ANALÍTICA La siguiente figura muestra los resultados gráficos θ r obtenidos. 00 a ( 1+ 1) = 4 ( 2 ) = 8  3 π/6 = 300 a  1+   = 4 ( 1.86 ) = 7  2    1   3  π/3 = 600 a  1+ =4 =6  2   2  π/2 = 900 a ( 1+ 0 ) = 4 ( 1) = 42π/3 = 1200  1   1 a  1- =4 =2  2   2   35π/6 = 1500 a  1-   = 4 ( 0.13 ) = 0.5  2   π = 1800 a ( 1- 1 ) = 4 ( 0 ) = 03π/2 = 2700 a ( 1+ 0 ) = 4 ( 1) = 4 2π = 3600 a ( 1+ 1) = 4 ( 2 ) = 8EJEMPLO 3. Un segmento de longitud constante a se desplaza con sus extremos sobre los lados de un ángulo recto. Del vértice de este ángulo se traza la perpendicular del segmento dado. Encontrar el lugar geométrico de las bases de estas perpendiculares. SOLUCIÓN Según el enunciado tenemos la figura adjunta: La ecuación del lugar geométrico dado puede establecerse fácilmente en un sistema de coordenadas polares como se puede ver en la figura adjunta. Sea la longitud, AB = 2 a y M en un punto cualquiera del lugar geométrico. Del triangulo 0MA se tiene: r = 0A cos θ (1) 11. COORDENADAS POLARES 11-10AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLOEDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
  • GEOMETRÍA ANALÍTICA Del triangulo 0AB se tiene: 0A = AB sen θ = 2 a sen θ Por lo tanto, sustituyendo en (1): r = 2 a sen θ cos θ Luego: r = a sen 2θ Estudiando la dependencia de r con respecto a θ puede afirmarse que la curva buscada tiene la forma que se muestra en la figura adjunta. Esta curva se llama rosa de cuatro pétalos.5. Ecuación de las curvas de segundo grado en coordenadas polares Hemos visto que la elipse, lahipérbola y la parábola tienen unapropiedad común. Son el lugargeométrico de los puntos para loscuales la relación entre su distancia aun punto F (foco) y su distancia auna recta dada (directriz) es igual ala excentricidad de la curva como seve en la figura adjunta: Dicha propiedad comúnpermite deducir, para las tres curvasuna ecuación general en el sistemade coordenadas polares. Según la figura: F M1 = e < 1 ELIPSE M1 N1 F M2 = e = 1 PARÁBOLA M2 N2 F M3 = e > 1 HIPÉRBOLA M3 N3 Considerando, según la figura anterior, que F es el foco de la izquierda de la elipse, o el 11. COORDENADAS POLARES 11-11AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLOEDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
  • GEOMETRÍA ANALÍTICAfoco de la parábola, o el foco de la rama derecha de la hipérbola. Ahora tomando el foco Fcomo el polo de un sistema polar decoordenadas, y sea N el punto deintersección de la directriz con larecta F N que pasa por el punto F yes perpendicular a la directriz,como se ve en la figura adjunta: En la figura tenemos, comoeje polar el rayo F X y suprolongación F N . Sea M0 el punto deintersección de la perpendicular aleje polar en el punto F con la curva. Representemos al segmentoF M0 por P. Es decir: F M0 = P , al que llamaremos parámetro focal. Sea M(θ, r) un punto cualquiera de la curva. De acuerdo a la propiedad tenemos: FM = e ............................................................................................................................(1) M N′ F M0 = e .........................................................................................................................(2) M0 N0 De la segunda igualdad tenemos, si sustituimos: F M0 = P P P = e ∴ M0 N0 = M0 N0 e Se observa en la figura que: M N′ = N′ Z + Z M Pero: N′ Z = M0 N0 Por lo que: P M N′ = M0 N0 + Z M = + Z M .........................................................................................(3) e En el triangulo rectángulo: ZM cos θ = ∴ Z M = r cos θ r 11. COORDENADAS POLARES 11-12AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLOEDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
  • GEOMETRÍA ANALÍTICA Sustituyendo este valor en (3). P M N′ = + r cos θ e Sustituyendo los valores de F M y M N′ en la primera igualdad (1) tenemos: r =e p + r cos θ e Despejando a r:  P  r =e + r cos θ  = P + e r cos θ  e  r ( 1 - e cosθ ) = P De donde: P r= ...................................................................................................................... I 1 - e cos θ1. Si e < 1, la ecuación define una elipse. Mediante ella se obtienen todos los puntos de la elipse haciendo variar θ de 0 a 2π.2. Si e = 1, la ecuación nos define una parábola, haciendo variar θ de 0 a 2π3. Si e > 1, la ecuación nos define una hipérbola para los ángulos θ que cumplan: θ0 < θ < 2π - θ0 b Donde 2θ0 es el ángulo entre las asíntotas, o sea, tan θ0 = adquiere valores positivos apara r ya que no es difícil demostrar que para todos estos ángulos 1 - e cos θ > 0. A estos valoresde θ y r corresponderán puntos de larama derecha de la hipérbola. Para ángulos θ tales que: - θ0 < θ < θ0 La ecuación I dará valoresnegativos de r. Demostraremos que, si en estecaso se emplean coordenadas polaresse obtienen los puntos de la ramaizquierda de la hipérbola. Deduciremos la ecuación de larama izquierda de la hipérbola,considerando r > 0, y la figura adjunta: 11. COORDENADAS POLARES 11-13AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLOEDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
  • GEOMETRÍA ANALÍTICA De acuerdo a la propiedad se tiene la relación: FM = e .............................................................................................................................(1) MN Donde, observando la figura anterior: F M = r ...............................................................................................................................(2) M N = M L - N L ...................................................................................................................(3) Según el triangulo rectángulo FML. ML - cos θ = ∴ M L - r cos θ ..........................................................................................(4) r Por la propiedad de las directrices de la hipérbola que dice: La relación entre la distancia de un punto cualquiera de la hipérbola a un foco y ladistancia de ese punto a la directriz correspondiente es una cantidad constante igual a laexcentricidad, aplicada en este caso se tiene que: P P = e ∴ NL = ...........................................................................................................(5) NL e Sustituyendo (4) y (5) en (3) queda: P M N = - r cos θ - .............................................................................................................(6) e Según (1), sustituyendo (2) y (6) se tiene: r =e P - r cos θ - e Despejando:  P  r = e  - r cos θ -  = - e r cos θ - P  e  r + e r cos θ = P r ( 1 + e cos θ ) = P P r= .................................................................................................................... II 1 + e cos θ 11. COORDENADAS POLARES 11-14AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLOEDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
  • GEOMETRÍA ANALÍTICA Para poder obtener que r > 0 es necesario que: π - θ0 < θ < π + θ0 Así pues, la ecuación II será la ecuación de la rama izquierda de la hipérbola si en ellaseleccionamos θ dentro del intervalo indicado. 144EJEMPLO 1. Hallar la curva determinada por la ecuación r = y escribir su ecuación 13 - 5 cos θ canónica. SOLUCIÓN Llevando la ecuación dada a la forma I. P r= 1 - e cos θ Dividiendo numerador y denominador entre 13 tenemos: 144 r= 13 5 1- cos θ 13 De esta ecuación vemos que: 5 e= <1 13 Por lo que la curva será una elipse Para encontrar su ecuación es necesario conocer los semi - ejes a y b. Como el parámetro P de la curva es: 2 144 b c P= y P= ; e= 13 a a Resulta: 2 b 144 c 5 = ; = a 13 a 13 Además se sabe la relación para la elipse 2 2 2 a -c =b 11. COORDENADAS POLARES 11-15AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLOEDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
  • GEOMETRÍA ANALÍTICA Como: a = 13 ∴ a2 = 169 b2 = 144 ∴ b = 12 Por lo que la ecuación canónica de la elipse es: 2 2 x y + =1 169 144 2 2 x yEJEMPLO 2. Se tiene la ecuación de la hipérbola: - = 1 . Establecer su ecuación en 16 9 coordenadas polares sabiendo que el eje polar coincide en dirección y sentido con la parte positiva del eje 0x y que el polo se encuentra en el foco derecho de la hipérbola. SOLUCIÓN La hipérbola en el sistema de coordenadas polares tendrá por ecuación: P r= ...................................................................................................................... I 1 - e cos θ Por lo que es necesario encontrar los valores de e y P. De la ecuación dada tenemos: a = 16 ∴ a = 4 2 b =9 ∴ b=3 2 Pero: b = c - a ∴ c = a + b = 16 + 9 = 25 2 2 2 2 2 2 Por lo tanto. c=5 De esta manera. c 5 e= = 4a 2 b 9 P= = a 4 11. COORDENADAS POLARES 11-16AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLOEDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
  • GEOMETRÍA ANALÍTICA Sustituyendo valores en I, la ecuación de la hipérbola en coordenadas polares será: 9 9 r= 4 = 4 5 4 - 5 cos θ 1- cos θ 4 4 Por tanto: 9 r= 4 - 5 cos θ 11. COORDENADAS POLARES 11-17AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLOEDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
  • Nombre de archivo: coordenadas polaresDirectorio: C:Geometria_analiticaPlantilla: C:WINDOWSApplication DataMicrosoftPlantillasNormal.dotTítulo: XIAsunto:Autor: Pablo Fuentes RamosPalabras clave:Comentarios:Fecha de creación: 11/04/02 12:12 P.M.Cambio número: 61Guardado el: 19/06/02 10:21 A.M.Guardado por: Pablo Fuentes RamosTiempo de edición: 1,416 minutosImpreso el: 19/06/02 10:22 A.M.Última impresión completa Número de páginas: 17 Número de palabras: 2,309 (aprox.) Número de caracteres: 13,162 (aprox.)