CONJUNTOS Y RELACIONES ENTRE CONJUNTOS<br />Estructura Discreta<br />
CONJUNTOS<br />Un conjunto esta constituido por una serie de elementos que poseen una característica o condición especial....
¿COMO DETERMINAMOS UN CONJUNTO?<br />Por EXTENCION<br />Cuando TODOS sus ELEMENTOS son ENUMERADOS uno a uno.<br />EjemploA...
SUBCONJUNTOS<br />Son conjuntos formados por elementos que al mismo tiempo forman parte de otros conjuntos, esto quiere de...
¿CUÁNDO UN CONJUNTO ES VACIO?<br /> Cuando no posee elementos y se denota ᵩA<br />ᵩA={x є A/ x ≠ x } entonces ᵩA  no tiene...
IGUALDAD DE CONJUNTOS<br />Dos conjuntos son iguales si y solo si los elementos de ambos son IGUALES.<br />Atreves de dife...
Propiedades de la UNION de Conjuntos A U B :<br />A U A= A<br />A U U= U<br />A U ᵩA = A<br />A U B = B U A<br />INTERSECC...
Diferencia de Conjuntos<br />Son todos aquellos elementos que estan en el conjunto A pero no en el conjunto B<br />Ejemplo...
¿Qué es Considerado Complemento de un Conjunto?<br />El complemento de un conjunto son los elementos que le faltan a el mi...
TEOREMA de LAS LEYES DE MORGAN(para Conjuntos)<br />C(AUB) = C(A) I C(B) <br />C(AIB) = C(A) U C(B)<br />Ejemplo<br />Hall...
ALGEBRA DE PRODUCTOS<br />Así como en las proposiciones existen las leyes del álgebra de proposicional, en la teoría de co...
Leyes asociativas
Leyes conmutativas
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Conjuntos y relacion entre conjuntos

  1. 1. CONJUNTOS Y RELACIONES ENTRE CONJUNTOS<br />Estructura Discreta<br />
  2. 2. CONJUNTOS<br />Un conjunto esta constituido por una serie de elementos que poseen una característica o condición especial.<br />Estos elementos se denotan con letras minúsculas (a,b,..) y se encierran entre corchetes {} o círculos , los conjuntos se identifican por ser denotados por una letra Mayúscula(A,B,C…).<br />El Conjunto Universal es un conjunto que posee todos los elementos, y se denota (U).<br />Ejemplo<br /><ul><li>El conjunto de los Números Reales (R), cuyos elementos son todos los números Naturales, Cero, Enteros negativos, Fraccionarios, Racionales, Irracionales.</li></ul>R= {-∞…,-2,-1,0,1,2,..∞}<br />
  3. 3. ¿COMO DETERMINAMOS UN CONJUNTO?<br />Por EXTENCION<br />Cuando TODOS sus ELEMENTOS son ENUMERADOS uno a uno.<br />EjemploA={z, w ,x} y D={3,6,9}<br />2. Por COMPRENCION<br />Cuando los elementos de un conjunto, cumplen con una función determinada, la cual esta expresada.<br /> EjemploD = {nє N/ n divide a 3} Lo que quiere decir que D son todos los números divisibles entre tres.<br />
  4. 4. SUBCONJUNTOS<br />Son conjuntos formados por elementos que al mismo tiempo forman parte de otros conjuntos, esto quiere decir que su condición cumple ambos conjuntos. <br />Un ejemplo claro de esto es: <br /> S es el conjunto formado por todos los perros de raza salchicha que existen mientras que P es el conjunto formado por todas la razas de perros que existen, entonces decimos claramente que S es un SUBCONJUNTO de P y se denota<br />S ⊂P , ya que los Perros salchichas pertenecen al subconjunto S pero al mismo tiempo pertenecen al conjunto P porque son perros.<br /> Diremos que S es subconjunto Propio de P , si se cumple = (S ⊂P) y ( S≠P)<br />Lo que quiere decir que TODOS los elementos de S (perros de raza salchicha) están dentro del conjunto P, pero que no todos los elementos de P (TODAS las razas de perros) esta dentro del conjunto S.<br />
  5. 5. ¿CUÁNDO UN CONJUNTO ES VACIO?<br /> Cuando no posee elementos y se denota ᵩA<br />ᵩA={x є A/ x ≠ x } entonces ᵩA no tiene elementos ya que no existe ningún x dentro de el.(debería satisfacer x=x y como es x ≠ x , quiere decir que no hay).<br /> CONJUNTO POTENCIA <br />Es el conjunto formado por todos los subconjuntos del mismo.<br />se denota S(P) o 2S<br />Usando el ejemplo anterior donde el conjunto {P} (son todas las razas de los perros),{S}(perros raza salchicha), {B} (perros raza Bóxer), {G} (perros raza Golden)<br />Decimos que: 2S {P} ={{S},{B},{G},{S,B}{S,G}{B,G},{S,B,G}}<br />
  6. 6. IGUALDAD DE CONJUNTOS<br />Dos conjuntos son iguales si y solo si los elementos de ambos son IGUALES.<br />Atreves de diferentes teoremas esto es posible demostrarse ya que:<br />A = B A C B ^ B C A<br />A es igual a B si y solo si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A.<br />UNION de Conjuntos<br />Considerando J y W dos conjuntos.<br /> {J}= {3,6,9} y {W} = {1,5,7}<br />la unión de {J} y{W}, se denota A U B = {xєU / x є J ᵛx є W }<br />Entonces:<br /> A U B = {1,3,5,6,7,9} es decir que todos los elementos o están en J o en W.<br />
  7. 7. Propiedades de la UNION de Conjuntos A U B :<br />A U A= A<br />A U U= U<br />A U ᵩA = A<br />A U B = B U A<br />INTERSECCION de Conjuntos A ∩ B<br />Significa que algunos elementos de A están presentes en B.<br />Propiedades de la INTERSECCION de Conjuntos A ∩ B:<br />A I A = A , ∀ A <br /> A I U = A , donde U es el conjunto universal<br />A I ᵩA = ᵩA<br />A I B = B I A<br /> <br />  <br />    <br />
  8. 8. Diferencia de Conjuntos<br />Son todos aquellos elementos que estan en el conjunto A pero no en el conjunto B<br />Ejemplo <br />Sean A = { 10,20,30,40,50,60} y B = {10,15,25,30, 45,60}<br />Entonces <br />A-B ={20,40,50} y B-A = {15,25,45}<br />Diferencia Simétrica<br />Se denota como ADB y ADB= (A-BU B-A)<br />Usando el ejemplo anterior podemos decir que la Diferencia Simétrica es <br />ADB= {20,40,50,15,25,45}<br />Propiedades de la Diferencia de Conjuntos<br />Sean A,B,C tres conjuntos, luego se cumple que:<br />(AUB) - C = (A - C) U (B - C)<br />(A I B) - C = (A - C) I (B - C)<br />(AD B) - C = (A - C) D (B - C)<br />A I ( B - C) = (A I B) - (A I C)<br />(B - C) I A = (B I A) - (C I A)<br />
  9. 9. ¿Qué es Considerado Complemento de un Conjunto?<br />El complemento de un conjunto son los elementos que le faltan a el mismo para para llegar a ser igual a U.<br />Se define C(F) = {xÎ U/ xÏF}<br />Así podemos decir xÎ C(B) Û xÏ B.<br />Ejemplo Si U = {22,32,42,52,62} y F = {22,32,52} entonces C(F) = {42,62}<br /><ul><li> Para el Complemento de un conjunto, se aplica:</li></ul>Considerando A y B dos conjuntos<br />A - B = AI C(B)<br />C(C(A)) = A <br />AUC(A) = U <br />AI C(A) = f <br />C(U) = f <br />C(f ) = U <br />AÌ B Û C(B) Ì C(A)<br />
  10. 10. TEOREMA de LAS LEYES DE MORGAN(para Conjuntos)<br />C(AUB) = C(A) I C(B) <br />C(AIB) = C(A) U C(B)<br />Ejemplo<br />Hallar los conjuntos A y B sabiendo que U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, C(A)I C(B) = {6} y A I B = {0,5,8}.<br />C(A) I C(B) = {6} por ley de De Morgan C(A)I C(B) = C(AUB), así podemos decir que:C(AUB) = {6} Þ AUB = C(C(AUB)) = {0,1,2,3,4,5,7,8,9}<br />Como A - B = = {7,9} entonces concluimos que A = {0,5,7,8,9} y B = {0,1,2,3,4,5,8}<br />
  11. 11. ALGEBRA DE PRODUCTOS<br />Así como en las proposiciones existen las leyes del álgebra de proposicional, en la teoría de conjuntos tenemos las leyes del álgebra de conjuntos que veremos a continuación<br /><ul><li>Leyes de idempotentes
  12. 12. Leyes asociativas
  13. 13. Leyes conmutativas
  14. 14. Leyes distributivas
  15. 15. Leyes de identidad
  16. 16. Leyes de dominación
  17. 17. Leyes de completacion
  18. 18. Leyes de Morgan</li></li></ul><li>Conjunto Producto o Producto Cartesiano<br />Consideramos los conjuntos A y B dos conjuntos, A x B = { (a,b) / aÎ B Ù bÎ B}<br />Ejemplo<br /> Si F = {a, b} y M = {2,9,7} <br />entonces F x M = {(a,2), (a,9), (a,7), (b,2), (b,9), (b,7)} <br /> y F x M = {(2,a), (2,b), (9,a), (9,b), (7,a),(7,b)}<br />Notamos que FxM ¹ Mx F<br /><ul><li> Para El Conjunto Producto se Cumple que:</li></ul>Si A,B,C son tres conjuntos entonces<br />A x B = F Û A = F Ú B = F<br />A x (BUC) = (Ax B) U (Ax C) <br />Ax (B I C) = (Ax B) I (Ax C) <br />Ax(B -C) = (AxB) - (Ax C)<br />
  19. 19. Operaciones Generalizadas<br /><ul><li>Familia Indizada de Productos</li></ul>Consideremos un conjunto de índices I={1, 2, 3, & , n} y una familia de <br />conjuntos {A1, A2, & , An}, donde cada Ai con iÎ I, representa un conjunto<br />h Al conjunto {A1, A2, & , An} lo llamaremos Familia Indizada de conjuntos; y lo denotaremos {Ai}iÎ I.<br />Las familias de conjuntos pueden ser finitas sin embargo, podemos también considerar familiar infinitas. Por ejemplo, consideremos el conjunto , donde n es un número natural cualquiera; luego la familia es una familia infinita, cuyo conjunto de índice es el conjunto de los números naturales .<br />¿Qué es una Partición?<br />Sea X un conjunto y {Ai}iÎ I una familia de subconjuntos de X. Se dice que {Ai}iÎ I es una partición de X, si y sólo si:<br />Cada Ai es una celda o bloque de la partición, es decir, una partición es una familia {Ai}iÎ I donde cada conjunto de la familia es no-vacío, la intersección entre dos miembros de la familia es vacía y la unión de todos los miembros da X.<br />Ejemplo<br />Si F={a, b, c, d, e, f, g} y A1={a, b}, A2{e, c, g}, A3={d, f} , entonces {A1, A2, A3} es una partición de X.<br />
  20. 20. TEORIA DE LA CARDINALIDAD DE CONJUNTOS<br />Diremos que un conjunto A es finito si A tiene n elemento, para algún número natural n, es decir, un conjunto es finito si se pueden contar sus elementos. En caso contrario se dice que es infinito. <br />Ejemplo<br />El conjunto {f,k,h,s,b} es finito porque contiene 5 elementos, el conjunto de los números reales, de los números naturales son ejemplos de conjuntos infinitos. <br />DefinimosA un conjunto finito, si: <br /> El cardinal de A es 0 si A = f<br /> El cardinal de A es n y lo denotaremos por #A = n si A tiene n elementos<br />   <br />Ejemplo<br />Si F = {0,1,3,5,8,9} entonces #A = 6 <br />Los siguientes teoremas son usados para resolver problemas de la vida cotidiana cuando los conjuntos con los que estamos trabajando son conjuntos finitos. <br />Teorema: Sean A y B dos conjuntos finitos, se cumple<br />       1. B - A) = #B - #(AI B) <br />       2. #(AUB) = #A + #B - #(AI B) <br /> Teorema: Si A;B y C son tres conjuntos finitos se cumple <br />#(AUBUC) = #A + #B +#C - #(AI B) - #(AI C) - #(BI C) + #(AI BI C). <br />

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