สมดุลกล1

1. สมดุลกล
4.1 ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับแรง
4.1.1 ประเภทของแรงชนิดต่างๆ
1.แรงในระนาบเดียวกัน(coplanar force)คือ แรงย่อยหลายๆ แรงที่อยู่ในระนาบเดียวกัน ดัง
รูป
2.แรงคนละระนาบ (Non-coplanar force) คือ แรงย่อยหลายๆ แรงที่กระจัดกระจายอยู่คน
ละระนาบดังรูป
3.แรงที่ตัดกันที่จุดเดียวกัน(concurrent force) คือ แรงหลายแรงที่ตัดกันที่จุดเดียวกัน ดังรูป

2. 4.แรงที่ตัดกันคนละจุด(Non-concurrent force) คือ แรงย่อยหลายแรงที่ไม่ได้ตัดกันที่จุด
เดียวกัน ดังรูป
5.แรงขนาน (parallel force) คือ แรงย่อยหลายแรงที่มีแนวแรงขนานกัน แบ่งออกเป็น 2
ประเภทคือ
5.1แรงขนานพวกเดียวกัน คือ แรงขนานที่มีทิศไปทางเดียวกัน
5.2แรงขนานต่างพวกกัน คือแรงขนานที่มีทิศตรงข้ามกัน
6.แรงคู่ควบ (Couple force) คือแรงขนานต่างพวกที่มีขนาดของแรงเท่ากัน
7.แรงลัพธ์ (resultant force) คือ แรงเดี่ยวที่เกิดจากการรวมกันของแรงย่อยหลายๆ แรง
8.แรงกู่ หรือ แรงที่ทาให้วัตถุสมดุล (Equilibrium force) คือ แรงเดี่ยวที่มีขนาดเท่ากับแรง
ลัพธ์ แต่มีทิศทางตรงข้ามในแนวเดียวกัน

3. 4.1.2.การแยกแรง
การแยกแรง คือ การแยกแรงหนึ่งแรงให้เป็นแรงย่อ ย 2 แรง โดยแรงย่อยทั้งสองต้องตั้งฉาก
กันดังรูป แรง F ทามุม  กับแกน X ถูกแยกให้อยู่ในแกน X และแกน Y ได้ FX และ FY ตามลาดับ
จากรูป FX = Fcos
FY = Fsin
4.1.3การรวมแรง
การรวมแรง คือ การรวมแรงย่อยหลายๆ แรงให้เป็นแรงเดียว ซึ่งมีวิธีการรวมได้หลายกรณี
ด้วยกันคือ
1.3.1 การรวมแรงย่อย เพื่อความสะดวกในการรวมแรงเราสามารถแยกพิจารณาออกเป็น
ประเภทต่างๆ ได้ดังนี้
1. แรงย่อยในแนวเดียวกัน จะได้
ก. ถ้าแรงย่อยมีทิศทางไปทางเดียวกัน แรง ลัพธ์มีค่าเท่ากับผลบวกของแรงย่อย
เหล่านั้น และมีทิศเดียวกับแรงย่อย
ข. ถ้าแรงย่อยมีทิศตรงข้ามกัน แรงลัพธ์มีค่าเท่ากับผลต่างของแรงย่อยเหล่านั้นโดย
มีทิศตามแรงที่มาก
2. แรงย่อยอยู่คนละแนว จะได้
ก. แรงย่อย 2 แรง แรงลัพธ์มีค่าเท่ากับเส้นทะแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานดังรูป
F1 และ F2 ทามุม  กัน จะได้  F คือแรงลัพธ์ของ F1 และ F2
หาขนาดของแรงลัพธ์ จากรูป

4. จาก ABD จะได้ AB2 = AD2 + BD2
AB2 = (AC + CD)2 + BD2
= AC2 + 2AC.CD + CD2 + BD2
แทนค่าแรงจะได้  F = F12 + 2F1.F1cos + (F1cos)2 + (F2sin)2
= F12 + 2F1F2cos + F22(cos2+sin2)
= F12 + 2F1F2cos + F22
F = F  F  2 F F cos 
1
2 2
2 1 2
หาทิศทางของแรงลัพธ์
จาก ABD tan = BD = BD
AD AC  CD
F 2 sin 
แทนค่าแรง tan =
F1  F 2 cos 
 สรุปขนาดของแรงลัพธ์จะได้ F = F1  F2  2 F1 F2 cos 
2 2
F 2 sin 
ทิศทางของแรงลัพธ์ tan =
F1  F 2 cos 
ข. แรงย่อยมากกว่า 2 แรง เราหาแรงลัพธ์โดยวิธีการแตกแรงดังรูป แรง F1 F2 และ F3 ทา
มุม ,  และ  กับแกน x และ y ตามลาดับ แตกแรง F1 , F2 และ F3 ให้อยู่ในแกน x และ y
แล้วทาการรวมแรงแกน x และ y ได้  F และ  F ตามลาดับก็จะหา  F ได้
x y

5. 1.3.2การรวมแรงในระบบ ระบบที่ประกอบด้วยมวลหลายก้อน เราจะหาแรงลัพธ์ของ
ระบบได้ต่อเมื่อ มวลทุกก้อนในระบบนั้นเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว หรือ อัตราเร่งเท่ากัน จะได้แรงลัพธ์
ในระบบมีค่าเท่ากับ ผลรวมของแรงที่อยู่ในแนวการเคลื่อนที่ ของมวลแต่ละก้อน ดังตัวอย่างในรูป
หมายเหตุ สาหรับระบบที่ประกอบด้วยมวลวัตถุหลายก้อน ซึ่งแต่ละก้อนเคลื่อนที่ด้วย
อัตราเร็วไม่เท่ากัน เราหาแรงลัพธ์ของระบบไม่ได้ การคานวณให้ดึงวัตถุออกมาคิดที่ละก้อน
1.3.3การหาแรงลัพธ์โดยวิธีเขียนรูป จะได้แรงลัพธ์คือ เวกเตอร์ ด้านสุดท้ายของรูป
เวกเตอร์ของแรงและมีทิศทวน เวกเตอร์ของแรงย่อยๆ ดังนั้นเวกเตอร์ ของแรงลัพธ์จึงมีหัวลูกศร
จรดหัวลูกศรและหางลูกศรจรดหัวลูกศร ดังรูป
จากรูป วัตถุอันหนึ่งถูกกระทาด้วยแรง F1, F2 และ F3 ดังรูป จะได้แรงลัพธ์ ตามรูป
เวกเตอร์ ของแรงทางขวามือ
เพราะฉะนั้นจากรูป b. จะได้  F = F1 + F2 + F3
หมายเหตุ : ตัวหนาแสดงว่า เป็น ปริมาณเวกเตอร์

6. ถ้าเวกเตอร์ของแรงมีทิศวนไปทางเดียวกันหมด จะได้แรงลัพธ์ของระบบนั้นเป็นศูนย์ดังรูป
เพราะฉะนั้นจากรูป b. จะได้  F = F1 + F2 + F3 = 0
แสดงว่าวัตถุอยู่ในภาวะสมดุล
4.2 สมดุลต่อการเลื่อนตาแหน่ง
คือสภาพการอยู่นิ่งของวัตถุหรือการเคลื่อนที่ของวัตถุด้วยความเร็วคงที่ การสมดุลทั้งสอง
กรณีจะอยู่ภายใต้เงื่อนไขแรงลัพธ์เป็นศูนย์
กรณีวัตถุอยู่นิ่งเรียก สภาพสมดุลสถิต ส่วนใหญ่ได้แก่การสมดุลของแรงตัดกันที่จุด
เดียวกัน
สาหรับกรณีวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่เรียก สภาพสมดุลจลน์ เช่น รถยนต์วิ่งด้วย
ความเร็วคงที่ ลิฟท์ขึ้นด้วยความเร็วคงที่ เป็นต้น
4.3 การสมดุลของแรงสามแรง
ถ้าแรงสามแรงกระทาต่อวัตถุ แล้ววัตถุอยู่ในภาวะสมดุล เมื่อต่อแนวแรงทั้งสาม มันจะตัด
กันที่จุดเดียวกันเสมอ ดังรูปต่อไปนี้
1 ก่อนหินวางอยู่บนฐาน A และ B

7. จากรูปก้อนหินอยู่นิ่งภายใต้แรงกระทาสามแรง คือ แรงปฏิกิริยาที่ A (RA) แรงปฏิกิริยาที่
B (RB) และน้าหนักก้อนหิน (mg) ซึ่งแนวแรงทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียวกัน
2.กรอบรูปแขวนด้วยเชือกสองเส้นและหยุดนิ่ง
แรงทั้งสามที่เกิดกับกรอบรูปจะตัดกันที่จุดเดียวกัน
4.4 การคานวณการสมดุลต่อการเลื่อนตาแหน่ง
การคานวณการสมดุลต่อการเลื่อนตาแหน่ง แยกพิจารณาโจทย์ได้ 2 ลักษณะด้วยกัน คือ
4..4.1 การสมดุลของแรงตัดกันที่จุดเดียวกัน ส่วนใหญ่ได้แก่ การสมดุลของแรงสามแรง
การคานวณให้ใช้วิธีการแตกแรงโดยตั้งแกน x และ y ที่จุดตัดของแรง แล้วแตกแรงให้อยู่ในแกน x
และ y จึงคานวณหาค่าที่ต้องการจากสมการ  F = 0 และ  F = 0
x y
ตัวอย่างที่ 1 วัตถุอันหนึ่งมวล 3.2 กิโลกรัม แขวนห้อยอยู่ด้วยเชือก 2 เส้น เส้นหนึ่งอยู่ในแนวราบ
อีกเส้นหนึ่งทามุม 600 กับแนวดิ่ง จงหาแรงดึงของเชือกทั้งสอง
วิธีทา เขียนแรงกระทาที่จุด A แล้วแตกแรงในแกน x และ y
จาก  F x = 0  แทนค่าจะได้
0
T2cos60 = 32
1
T2 x = 32
2
T2 = 64 นิวตัน
จาก  Fy = 0  แทนค่าจะได้
T1 = T2sin600
T1 = 64 x 3
= 32 3 นิวตัน
2

8. ตัวอย่างที่ 2 เชือกเบาเส้นหนึ่งยาว 8 นิ้ว มีปลายข้างหนึ่งผูกกับจุดๆ หนึ่งบนผิวทรงกลมลูกหนึ่งและ
ปลายข้างหนึ่งผูกไว้กับจุดบนกาแพง ซึ่งปราศจากความเสียดทาน ถ้าทรงกลมรัศมี 21 นิ้วและหนัก
5 กิโลกรัม จงหาแรงตึงในเชือก
วิธีทา เขียนแรงกระทาที่ทรงกลม
จาก AOB ; AB = 29  21 2 2
= ( 29  21 )( 29  21 )
= 8 x 50 = 20
จาก  F y = 0  แทนค่าจะได้
Tsin = 50
T( 20 ) = 50
29
T = 50 x
29
= 72.5 นิวตัน
20
ตัวอย่างที่ 3 รูปภาพมีน้าหนัก 4 นิวตันใช้เชือกผูกที่มุมบนของกรอบรูปทั้งสองมุม ไปคล้องผ่าน
ตะปูลื่น ตัวหนึ่ง ขอบบนของกรอบรูปอยู่ในแนวระดับ เส้นเชือกทามุม 600 ซึ่งกันและกันดังรูป ถ้า
เชือกไม่ยืด จงหาความตึงของเชือกแต่ละเส้น
วิธีทา เขียนแรงที่กระทาที่กรอบรูป
เพราะว่าแรงสมมาตรกับแนวดิ่ง ดังนั้นแรงตึงในเชือกทั้งสองมีค่าเท่ากัน
แตกแรง T ในแนวราบและแนวดิ่ง
จาก  F y = 0  แทนค่าจะได้
2Tsin = 4
2T( 3
) =4
2
T = 4
= 2.3 นิวตัน
3

9. ตัวอย่างที่ 4 ตามรูปทรงกระบอกหนัก 100 นิวตัน วางอยู่บนระนาบเอียงทามุม 300 กับแนวระดับ
และมีไม้ฉากที่ติดแน่นอยู่บนระนาบเอียงรองรับอยู่ ผิวทุกส่ วนเป็นผิวเกลี้ยง จงคานวณหาแรง
ปฏิกิริยาที่ A และ B
วิธีทา เขียนแรงกระทาที่ทรงกลม
แตกแรง 100 นิวตันในแกน x และ y
จาก  F x = 0  แทนค่าจะได้
RB = 100sin300
RB = 50
จาก  F y = 0  แทนค่าจะได้
RA = 100sin300
RA = 100 3
= 50 3 นิวตัน
2
ตัวอย่างที่ 5 ไม้ท่อนหนึ่งหนัก 30 นิวตัน แขวนห้อยด้วยเชือก 2 เส้น เชือกเส้นหนึ่งทามุม 450 กับ
แนวระนาบ และอีกเส้นหนึ่งทามุม 600 กับแนวดิ่ง จงหาแรงตึงในเชือกทั้งสอง
วิธีทา เขียนแรงกระทาต่างๆ ที่ท่อนไม้
แตกแรง T1 และ T2 ในแนวราบและแนวดิ่ง
จาก  F x = 0  แทนค่าจะได้

10. T1sin600 = T2sin450
3
T1 = 1
T2
2 2
T2 = 3
T1
2
จาก  Fy = 0  แทนค่าจะได้
T1cos60 + T2cos450 = 30
0
T1
+ 3
T1( 1
) = 30
2 2 2
T1
+ 3
T1 = 30
2 4
2 . 732 T1
= 30
2
T1 = 22 นิวตัน
T2 = 3
T1 = 3
x 22 = 26.9 นิวตัน
2 2
ตัวอย่างที่ 6 จากรูป แรงทั้งสามกระทาร่วมกันที่จุด O อยู่ในภาวะสมดุล จงหา
1.มุม  ที่ทาให้ T1 มีค่าน้อยที่สุด
2.T1 และ T2
วิธีทา เนื่องจากแรงทั้งสามทาให้วัตถุอยู่ในภาวะสมดุลและต้องการหาทิศของแรงที่มีค่าน้อยที่สุด
ให้ทาการเขียนรูปเวกเตอร์ของแรง จะได้รูปเวกเตอร์ ของแรงเป็นสามเหลี่ยมปิด โดยมีเวกเตอร์ตาม
กันดังรูป
จากรูปเวกเตอร์ของแรง T1 มีค่าน้อยที่สุดจะต้องตั้งฉาก กับเวกเตอร์ T2
เพราะฉะนั้นจากรูป

11. T1
= sin600
10
T1 = 10sin600
= 10 3
=5 3 นิวตัน
2
T2
= cos600
10
T2 = 10sin600
= 10
= 5 นิวตัน
2
ตัวอย่างที่ 7 แรง F จะต้องมีค่าเท่าไร ระบบเชือกและน้าหนักในรูปจึงอยู่ในภาวะสมดุล
วิธีทา เขียนแผนภาพของแรงที่จุด A
จากรูป  Fx = 0
 จะได้ Tsin = Fsin
T = F
F y = 0
 จะได้ Fcos + Tcos = 100
2 Fcos = 100
F = 50
cos 
= 50 26 นิวตัน

12. ตัวอย่างที่ 8 ก้อนหินวางอยู่บนฐานสองฐาน ทิศของแรงที่ฐานกระทากับก้อนหินเป็นไปดังรูป
ปรากฏว่าแรงที่ฐาน A ได้รับเท่ากับ 5.00 นิวตัน น้าหนักของก้อนหินจะเท่ากับกี่นิวตัน
วิธีทา เขียนแผนภาพของแรงที่ก้อนหินดังรูปขวามือเป็นการสมดุลของแรง 3 แรง
จากรูป  Fx = 0
 จะได้ RBcos60 = 5000cos30
1
RB x = 5000 3
2 2
RB = 5000 3 นิวตัน
 Fy = 0
 จะได้ Rasin30 + Rbsin60 = W
1
5000 x (5000 3 x 3
)=W
2 2
2500 + 7500 = W
W = 10,000 นิวตัน
ตัวอย่างที่ 9 วัตถุทรงกลมตัน 2 ก้อนขนาดเท่ากัน หนักก้อนละ 20 กิโลกรัม สมดุลอยู่บนพื้นเอียงที่
ไม่มีความเสียดทาน โดยเชือกที่ผูกอยู่ในระดับระหว่างจุดศูนย์กลางของวัตถุทั้งสองดังรูป จงหา
ความตึงเชือก

13. วิธีทา นาทรงกลมอันใดอันหนึ่งมาเขียนแผนภาพของแรงจะได้ทรงกลมสมดุลด้วยแรง 3 แรง
F = 0 จะได้ Ncos450 = 200
y
N = 200 2
F = 0 จะได้ T
x = Nsin450
T = 200 2 x 1
= 200 นิวตัน
2
ตัวอย่างที่ 10 ชายคนหนึ่งออกแรงฉุดรถเข็นตัดหญ้าที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางล้อยาว 20 นิ้ว และหนัก
20 กิโลกรัม ข้ามขอบถนนสูง 4 นิ้ว ถ้าไม่คิดแรงเสียดทานใดๆ จงหาโดยวิธีเขียนรูปประกอบว่า
ก. ชายคนนั้นจะต้องฉุดรถทามุมกับเส้นระดับนอนเท่าใดจึงออกแรงน้อยที่สุด
ข. แรงฉุดตามข้อ ก. เป็นเท่าใด ?
วิธีทา เนื่องจากทรงกลมสมดุลด้วยแรง 3 แรง และโจทย์ต้องการให้หาแรงฉุดน้อยสุด วิธีที่
เหมาะสมคือ การเขียนรูปเวคเตอร์ของแรง
ก. จากสามเหลี่ยม xyz ; yz สั้นที่สุด เมื่อ yz ตั้งฉากกับ xz
จากรูป sin = 6
= 0.6
10
 = 370
เพราะฉะนั้นจะต้องออกแรง P ทามุมกับแนวระดับ = 900 - 370 = 530 จึงจะออกแรง
น้อยที่สุด
ข. จากสามเหลี่ยม xyz จะได้
yz
= cos
xy
yz
= cos370 = 4
200 5
yz = 160 นิวตัน
เพราะฉะนั้นขนาดของแรง P น้อยที่สุด = 160 นิวตัน

14. ตัวอย่างที่ 11 ตามรูป เชือกที่โยงกาแพงแนวดิ่งกับคานเบามากจะต้องทนแรงดึงได้ไม่ต่ากว่ าเท่าไหร่
น้าหนัก 46 นิวตัน จึงจะทาให้ระบบสมดุล
วิธีทา พิจารณาแรงที่เกิดขึ้นที่ปลายคาน แล้วแตกแรงในแกน x และ y
F x = 0
จะได้ Rsin450 = Tsin300
R
= T
2 2
R = T
2
 Fy = 0
จะได้ Tcos30 + Rcos450
0
= 46
แทนค่า R; T 3
+ T
. 1
= 46
2 2 2
2 . 732 T
= 46
2
T = 33.7 นิวตัน
ตัวอย่างที่ 12 ถ้าสัมประสิทธิ์ของความเสียดทานสถิตระหว่างน้าหนัก 200 นิวตัน กับโต๊ะระดับราบ
เป็น 0.30 จงหาค่า W ที่มากที่สุดซึ่งเมื่อแขวนไว้ที่จุด O แล้วระบบสมดุลครั้งสุดท้าย กาหนด tan700
= 2.75

15. วิธีทา พิจารณาแรงที่ระบบ
จากรูป T1 = f = N = 0.3x 200 = 60 นิวตัน
พิจารณารงที่จุด O
F x = 0 จะได้ T2sin700 = T1 = 60 ………… (1)
F y = 0 จะได้ T2cos700 = W ………… (2)
(1)/(2) จะได้
tan 700 = 60
W
W = 21.8 นิวตัน
ตัวอย่างที่ 13 ก้อนน้าหนัก W ถูกแขวนด้วยเชือก AB และ AC ซึ่งมีความยาวเท่ากันดังรูป ถ้าเพิ่ม
น้าหนัก W ไปเรื่อยๆ ในกรณีใดที่เชือกจะขาดก่อนกัน
วิธีทา พิจารณาแรงที่จุด A ดังรูป
จากรูป  Fy = 0 จะได้
2Tsin = W
T = W
……………… (1)
2 sin 
จากรูปจะได้ ก < ข < ค
เพราะฉะนั้น sinก < sinข < sinค
จากสมการ (1) จะได้ Tก > Tข > Tค
ดังนั้น ถ้า W เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ เชือกในกรณี (ก) จะขาดก่อน

16. ตัวอย่างที่ 14 จงหาแรงอัดในคานทั้งสองอัน เมื่อจุดปลายทั้งหมดเป็นบานพับ และคานทั้งสองเบา
มาก
วิธีทา พิจารณาแรงที่ปลายคาน
F
x = 0 ; RBcos450 = Racos600
R B
= R A
2 2
RA = 2 RB
 Fy = 0 ; RA sin600 + Rbsin450 = 710
( 2 R B) 3
+ R B
= 710
2 2
1.225RB + 0.70 RB = 710
RB = 368 นิวตัน
แทนค่า RB ใน สมการ (1) ; RA = 2 368 = 520 นิวตัน
ตัวอย่างที่ 15 ถ้าเชือกทนแรงดึงได้เพียง 80 นิวตัน จงหาว่า W จะต้องหนักได้มากที่สุดเท่าไร
เชือกจึงจะขาดพอดี เมื่อเชือกเบามาก
วิธีทา
 Fx = 0; T1cos370 = T2cos530
4 T1
= 3T 2
5 5

17. จากสมการ T2 มากที่สุด = 80 N และ T1 = 3
x 80 = 60 N
4
 Fy = 0 ; T1sin370 + T2sin530 = W
แทนค่า T1 และ T2 ; 60 x 3 + 80 x 4
= W
5 5
W = 36 + 64 = 100 นิวตัน
ตัวอย่างที่ 16 ถ้าน้าหนักมากที่สุดที่เชือกทนได้เป็น 80 นิวตัน จงหาคาของน้าหนัก W ที่พอดีทา
ให้ระบบสมดุลเป็นครั้งสุดท้าย
วิธีทา พิจารณาแรงที่เชือก
Fx = 0 ; จะได้ T1sin370 = T2cos370
3 T1
= 4T2
5 5
T1 = 4
T2
3
เชือก T1 รับแรงมากสุด = 80 N , T2 = 60 N
F y = 0 จะได้ T1cos370 = T2sin370 + W
แทนค่า 80 x 4
= 60 x 3
+W
5 5
W = 64 - 36 = 28 นิวตัน
ตัวอย่างที่ 17 ตามรูป เชือกเบารอกทุกตัวหมุนคล่อง จงหาน้าหนัก W2 ในเทอมของ W1

18. วิธีทา พิจารณาแรงที่ก้อน W2
Fx = 0 ; W1sin370 = W3sin530
3W1
= 4W3
5 5
W3 = 3
W1
4
 Fy = 0; W1cos370 + W3cos530 = W2
แทนค่า; W1( 4 ) + 3 W1 x 3 = W2
5 4 5
16 W 1  9 W 1
= W2
20
W2 = 25 W 1
= 5
W1
20 4
ตัวอย่างที่ 18 ลูกตุ้มมวล m ถูกแขวนไว้ในตาแหน่งตามรูป ถ้าเชือก A ขาด ทิศทางของแรงลัพธ์ที่
กระทาต่อลูกตุ้มคือ
วิธีทา พิจารณาแรงที่เกิดกับมวล m เมื่อเชือก A ยังไม่ขาด มวลจะอยู่ในภาวะสมดุล จะได้แรงดังรูป
(a)
เมื่อเชือกขาด TA เป็นศูนย์ จึงเหลือแต่แรง T และ mg ทาให้เกิดแรงลัพธ์เท่ากับ 2F ดังรูป
(a) ตอบข้อ 4

19. ตัวอย่างที่ 19 จากรูปต่อไปนี้ในสภาวะสมดุลแรง F มีค่าเท่าใด ?
1. W
sin 
2. 2W
sin 
3.W
4.2W
วิธีทา เนื่องจากเชือกสมมาตรในแนวดิ่ง แสดงว่าแรงตึงในเชือกทั้งสองเท่ากัน
จากรูป  F y= 0 จะได้
Fsin + Fsin = 2W
2Fsin = 2W
F = W
ตอบข้อ 1.
sin 
ตัวอย่างที่ 20 หากต้องการใช้แรง P ดันหรือดึงลูกกลิ้งขึ้นทางชันดังรูป จะต้องใช้วิธีไหนต่อไปนี้จึง
จะใช้แรง P น้อยที่สุด
วิธีทา ถ้าถือว่าพื้นไม่มีความฝืดจะได้แรงกระทากับรูปทั้ง 4 ดังรูป

20. จากรูป 1. จะได้ Pcos = mgsin
mg sin 
P =
cos 
จากรูป 2. จะได้ Pcos = mgsin
mg sin 
P =
cos 
จากรูป 3. จะได้ P = mgsin
จากรูป 4. จะได้ Pcos = mgsin
mg sin 
P =
cos 
จากรูปทั้ง 4 แรง P น้อยที่สุดคือ รูปที่ 3.
ตัวอย่างที่ 21.ระบบดังรูป น้าหนักคานเท่ากับ 900 นิวตัน และความตึงเชือก T3 เท่ากับ 870 นิวตัน
จงหา T1 , T2 , W และแรงที่คานกดลงที่หมุด ถ้าหมุดและคานไม่มีแรงเสียดทาน
วิธีทา เขียนแรงกระทาทั้งระบบ
พิจารณาสมดุลของแรงที่จุด A
F x = 0 จะได้ T2sin600 = T3 = 870
T2 = 870 x 2
= 1004.6 นิวตัน
3

21.  Fy = 0 จะได้ T2cos600 = W
1
1004.6 x = W
2
W = 502.3 นิวตัน
พิจารณาสมดุลของแรงที่จุด B
F x = 0 จะได้ T1sin370 = T2sin600
T1 x 3
= 1004.6 x 3
5 2
T1 = 502.3 3 x 5 = 1450 นิวตัน
3
0 0
 Fy = 0 จะได้ R1 = T1cos37 + T2cos60
= 1450 x 4
+ 1004.6 x 1
5 2
= 1160 + 502.3 = 1662.3 นิวตัน
พิจารณาสมดุลของแรงที่คาน
F y = 0 จะได้ R2 = R1 + 900
R2 = 1662.3 + 900 = 2562.3 นิวตัน
ตัวอย่างที่ 22.จากรูปทรงกลมและครึ่งวงกลม มีรัศมี 5 เซนติเมตร ทรงกลมมีน้าหนัก 20 นิวตันและ
ครึ่งทรงกลมมีน้าหนัก 10 นิวตัน พื้นและครึ่ งทรงกลมมีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานเท่ากับ 0.5 จง
หาว่าถ้าระบบอยู่ในสมดุลระยะ x มีค่าเท่าไร ?
วิธีทา เขียนแรงกระทาที่เกิดกับระบบ
F
y = 0 จะได้ 2N = 10 + 20 + 10
N = 20 นิวตัน
f = N = 0.5 x 20 = 10 นิวตัน
พิจารณาแรงที่ทรงกลมและครึ่งทรงกลมดังรูป a และ b

22. จากรูป (a)  Fy = 0 จะได้ 2Rcos = 20
Rcos = 10 …………….. (1)
จากรูป (b)  F x = 0 จะได้ Rsin = 10 …………….. (2)
(2) / (1) จะได้ tan = 1 ;  = 450
ตรวจสอบ  F N - Rcos - 10 = 20 - 10 - 10 = 0
y
จากรูปทั้งระบบ จะได้ 2 = 900 ดังนั้น สามเหลี่ยม xyz เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
x = 10  10 = 10 2 = 14.14 เมตร
2 2
ตัวอย่างที่ 23 ผนังมีโคมไฟแขวนอยู่ โคมไฟมีน้าหนัก 20 3 นิวตัน โครงสร้างที่แขวนโคมไฟ
ประกอบด้วยชิ้นส่วน AC, AD และ AB ดังแสดงในรูป ถ้าสามเหลี่ยม ADC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า
แรงที่เกิดขึ้นในชิ้นส่วน AC มีค่ากี่นิวตัน
วิธีทา เขียนแรงที่กระทาที่จุด A

23. เนื่องจาก ADC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า ดังนั้นแรงในชิ้นส่วน AD เท่ากับ AC ให้เท่ากับ T
รวมแรง T ในแกน AC และ AD จะได้แรงลัพธ์อยู่ในแกน AE ซึ่งมีขนาด RAE = 2Tcos300 = 3 T
แรง RAE , RBA และ 20 3 N กระทาที่ A อยู่ในสมดุล เขียนรูปเวคเตอร์ของแรงได้ดังนี้
จากรูป R AE
= sin300
20 3
1
แทนค่า RAE จะได้ 3T
=
20 3 2
T = 20 N
ตัวอย่างที่ 24 ABC เป็นกรอบรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าอยู่ในระนาบระดับ มีเชือก AD, BD, CD ยาว
เท่ากันหมด และยาวเท่ากับด้านของสามเหลี่ยม แขวนมวล m ที่จุด D จงหาค่าความตึงในเส้นเชือก
เส้นใดเส้นหนึ่ง
วิธีทา ให้กรอบรูปสามเหลี่ยมและเชือกมีความยาว = a
จากรูป a/2
= cos300 = 3
OC 2
OC = a
3
จากรูป OD = CD
2
 OC
2
= a
2
(
a
)
2
3
OD = a 1
1
= 2
a
3 3
cos = OD
= 2 a
= 2
CD 3 a 3
 Fy = 0 จะได้ 3Tcos = mg
แทนค่า cos จะได้ 3T( 2
) = mg
3
T 6 = mg
จะได้ T = mg
ตอบ
6
*****************************************************************************