Maths Holy Grail will not bring disaster to the Internet

Em como fiz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre a a a para a Internet Paula Cristina Valen¸a c 14 de Mar¸o de 2007 c Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como fiz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Em como fiz batota mas o π ´ transcendente. . . e Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como fiz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Em como fiz batota mas o π ´ transcendente. . . e π? probabilidade de dois n´meros aleat´rios serem co-primos: u o 6/π 2 . . . Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como fiz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Em como fiz batota mas o π ´ transcendente. . . e π? probabilidade de dois n´meros aleat´rios serem co-primos: u o 6/π 2 . . . π? probabilidade de um n´mero ser “square-free”: 6/π 2 . . . u Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como fiz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Em como fiz batota mas o π ´ transcendente. . . e π? probabilidade de dois n´meros aleat´rios serem co-primos: u o 6/π 2 . . . π? probabilidade de um n´mero ser “square-free”: 6/π 2 . . . u ou podia falar da hip´tese de Riemann e da distribui¸õ dos o ca n´meros primos. A fun¸õ chama-se π(x). . . u ca Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como fiz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Os primos: de Eratosthenes a Gauss Os primos, a tabela peri´dica o Primos. . . ? sim, n´meros divisivís s´ por 1 e eles pr´prios. u e o o Ok, e depois? Theorem Teorema Fundamental da Aritm´tica Todo o n´mero inteiro e u positivo pode ser escrito de uma forma unica como o produto de ´ primos. Ah, alicerces! Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como ﬁz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Os primos: de Eratosthenes a Gauss O “corte” de Eratosthenes Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica n˜o trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como ﬁz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Os primos: de Eratosthenes a Gauss A f´rmula m´gica o a h´ padr˜es? a o Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica n˜o trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como ﬁz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Os primos: de Eratosthenes a Gauss A f´rmula m´gica o a h´ padr˜es? a o h´ alguma f´rmula m´gica que me dˆ todos os primos? a o a e Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica n˜o trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como ﬁz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Os primos: de Eratosthenes a Gauss A f´rmula m´gica o a h´ padr˜es? a o h´ alguma f´rmula m´gica que me dˆ todos os primos? a o a e n . . . e s´ alguns? Eu ouvi falar dos primos de Fermat (22 + 1) o e de Mersenne. . . Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica n˜o trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como ﬁz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Os primos: de Eratosthenes a Gauss Mudando de estrat´gia e Gauss e as suas tabelas de logaritmos e primos Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica n˜o trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como ﬁz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Os primos: de Eratosthenes a Gauss Mudando de estrat´gia e Gauss e as suas tabelas de logaritmos e primos e se eu contar o n´mero de primos at´ x? u e Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica n˜o trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como ﬁz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Os primos: de Eratosthenes a Gauss Mudando de estrat´gia e Gauss e as suas tabelas de logaritmos e primos e se eu contar o n´mero de primos at´ x? u e vou chamar “o n´mero de primos at´ x” de π(x)! u e Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica n˜o trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como ﬁz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Os primos: de Eratosthenes a Gauss Mudando de estrat´gia e Gauss e as suas tabelas de logaritmos e primos e se eu contar o n´mero de primos at´ x? u e vou chamar “o n´mero de primos at´ x” de π(x)! u e x ...∼ log x ? Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica n˜o trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como ﬁz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Os primos: de Eratosthenes a Gauss Mudando de estrat´gia e Gauss e as suas tabelas de logaritmos e primos e se eu contar o n´mero de primos at´ x? u e vou chamar “o n´mero de primos at´ x” de π(x)! u e x ...∼ log x ? π(x) x/ log x →1! Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica n˜o trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como ﬁz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Os primos: de Eratosthenes a Gauss Mudando de estrat´gia e Gauss e as suas tabelas de logaritmos e primos e se eu contar o n´mero de primos at´ x? u e vou chamar “o n´mero de primos at´ x” de π(x)! u e x ...∼ log x ? π(x) x/ log x →1! . . . mas o erro ainda ´ grande. . . e Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica n˜o trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como ﬁz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Os primos: de Eratosthenes a Gauss Mudando de estrat´gia e Gauss e as suas tabelas de logaritmos e primos e se eu contar o n´mero de primos at´ x? u e vou chamar “o n´mero de primos at´ x” de π(x)! u e x ...∼ log x ? π(x) x/ log x →1! . . . mas o erro ainda ´ grande. . . e x dt . . . ∼ Li(x) = 2 log t ? Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica n˜o trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como ﬁz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Os primos: de Eratosthenes a Gauss testemos. . . Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica n˜o trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como fiz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Riemann, o aluno de Gauss A misteriosa fun¸õ Zeta de Riemann. . . ca ∞ 1 ζ(s) = , Re(s) > 1 (1) ns n=1 Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como fiz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Riemann, o aluno de Gauss A misteriosa fun¸õ Zeta de Riemann. . . ca ∞ 1 ζ(s) = , Re(s) > 1 (1) ns n=1 1 ζ(1) = n - s´ries harmonianas, → ∞ e Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como fiz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Riemann, o aluno de Gauss A misteriosa fun¸õ Zeta de Riemann. . . ca ∞ 1 ζ(s) = , Re(s) > 1 (1) ns n=1 1 ζ(1) = n - s´ries e harmonianas, → ∞ 1 ζ(2) = n2 - s´rie e de Basel , converge. . . para π 2 /6 (disse o Euler!) Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como fiz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Riemann, o aluno de Gauss A misteriosa fun¸õ Zeta de Riemann. . . ca ∞ 1 ζ(s) = , Re(s) > 1 (1) ns n=1 1 ζ(1) = n - s´ries e harmonianas, → ∞ 1 ζ(2) = n2 - s´rie e de Basel , converge. . . para π 2 /6 (disse o Euler!) ζ(s) converge! Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como fiz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Riemann, o aluno de Gauss A misteriosa fun¸õ Zeta de Riemann. . . ca ∞ 1 ζ(s) = , Re(s) > 1 (1) ns n=1 1 ζ(1) = n - s´ries e harmonianas, → ∞ 1 ζ(2) = n2 - s´rie e de Basel , converge. . . para π 2 /6 (disse o Euler!) ζ(s) converge! 1 . . . e ´ igual a e p (1−p −s ) Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como fiz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Riemann, o aluno de Gauss A misteriosa fun¸õ Zeta de Riemann. . . ca ∞ 1 ζ(s) = , Re(s) > 1 (1) ns n=1 1 ζ(1) = n - s´ries e harmonianas, → ∞ 1 ζ(2) = n2 - s´rie e de Basel , converge. . . para π 2 /6 (disse o Euler!) ζ(s) converge! 1 . . . e ´ igual a e p (1−p −s ) . . . e depois? Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como ﬁz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Riemann, o aluno de Gauss Olha o π ! Probabilidade de dois n´meros aleat´rios serem co-primos? u o 1/ζ(2) Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica n˜o trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como ﬁz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Riemann, o aluno de Gauss Olha o π ! Probabilidade de dois n´meros aleat´rios serem co-primos? u o 1/ζ(2) Probabilidade de um n´mero aleat´rio ser square-free? 1/ζ(2) u o Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica n˜o trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como ﬁz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Riemann, o aluno de Gauss Olha o π ! Probabilidade de dois n´meros aleat´rios serem co-primos? u o 1/ζ(2) Probabilidade de um n´mero aleat´rio ser square-free? 1/ζ(2) u o . . . mas que tem isto a ver com o outro π, o π(x)? Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica n˜o trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como fiz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Riemann, o aluno de Gauss Riemann e as suas abstraç˜es co . . . se o gr´fico diz uma coisa, e a equa¸õ diz outra, em quem a ca acreditar? Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como fiz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Riemann, o aluno de Gauss Riemann e as suas abstraç˜es co extender a defini¸õ para Re(s) < 1 ca Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como fiz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Riemann, o aluno de Gauss Riemann e as suas abstraç˜es co extender a defini¸õ para Re(s) < 1 ca ζ(s) = 2s π s−1 Γ(1 − s)ζ(1 − s)sin(πs/2) (2) Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como fiz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Riemann, o aluno de Gauss Riemann e as suas abstraç˜es co extender a defini¸õ para Re(s) < 1 ca ζ(s) = 2s π s−1 Γ(1 − s)ζ(1 − s)sin(πs/2) (2) zeros triviais quando sin(πs/2) = 0: −2, −4, −6, . . . Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como fiz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Riemann, o aluno de Gauss Riemann e as suas abstraç˜es co extender a defini¸õ para Re(s) < 1 ca ζ(s) = 2s π s−1 Γ(1 − s)ζ(1 − s)sin(πs/2) (2) zeros triviais quando sin(πs/2) = 0: −2, −4, −6, . . . Re(s) < 0? simples! Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como fiz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Riemann, o aluno de Gauss Riemann e as suas abstraç˜es co extender a defini¸õ para Re(s) < 1 ca ζ(s) = 2s π s−1 Γ(1 − s)ζ(1 − s)sin(πs/2) (2) zeros triviais quando sin(πs/2) = 0: −2, −4, −6, . . . Re(s) < 0? simples! 0 ≤ Re(s) ≤ 1? a tira cr´ ıtica. . . onde todos os zeros nõ a triviais estõ a Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como fiz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Riemann, o aluno de Gauss Riemann e as suas abstraç˜es co extender a defini¸õ para Re(s) < 1 ca ζ(s) = 2s π s−1 Γ(1 − s)ζ(1 − s)sin(πs/2) (2) zeros triviais quando sin(πs/2) = 0: −2, −4, −6, . . . Re(s) < 0? simples! 0 ≤ Re(s) ≤ 1? a tira cr´ ıtica. . . onde todos os zeros nõ a triviais estõ a Desafio para a audiˆncia: prove que todos os zeros tem e Re(s) = 1/2, isto ´, sõ da forma s = 1/2 + it, para um t e a qualquer. . . Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como ﬁz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Riemann, o aluno de Gauss Imagens talvez ajudem. . . Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica n˜o trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como fiz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Riemann, o aluno de Gauss E depois?! Riemann mostra que h´ uma expressõ que relaciona π(x) e a a ζ(s) precisamente! Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como fiz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Riemann, o aluno de Gauss E depois?! Riemann mostra que h´ uma expressõ que relaciona π(x) e a a ζ(s) precisamente! da´ definiu 2 fun¸˜es, R(x) e Rω (x). . . ı, co Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como fiz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Riemann, o aluno de Gauss E depois?! Riemann mostra que h´ uma expressõ que relaciona π(x) e a a ζ(s) precisamente! da´ definiu 2 fun¸˜es, R(x) e Rω (x). . . ı, co R(x) ´ parecida com Li(x). . . e Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como fiz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Riemann, o aluno de Gauss E depois?! Riemann mostra que h´ uma expressõ que relaciona π(x) e a a ζ(s) precisamente! da´ definiu 2 fun¸˜es, R(x) e Rω (x). . . ı, co R(x) ´ parecida com Li(x). . . e Rω (x) ´ o erro, calculado com base nos zeros ω de ζ(s) e Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como fiz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Riemann, o aluno de Gauss uma melhor aproxima¸õ do erro ca sem a hip´tese de Riemann? o ∼ O(x exp(−A log(x)3/5 /(log log(x)1/5 ))) Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como fiz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Riemann, o aluno de Gauss uma melhor aproxima¸õ do erro ca sem a hip´tese de Riemann? o ∼ O(x exp(−A log(x)3/5 /(log log(x)1/5 ))) √ com a hip´tese de Riemann? ≤ C x log x o Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como fiz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Mas falemos de coisas pr´ticas a RSA e a dificuldade de factorizar n = pq, p, q primos de 512 bits. . . Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como fiz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Mas falemos de coisas pr´ticas a RSA e a dificuldade de factorizar n = pq, p, q primos de 512 bits. . . testar se um n´mero ´ primo? u e Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como fiz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Mas falemos de coisas pr´ticas a RSA e a dificuldade de factorizar n = pq, p, q primos de 512 bits. . . testar se um n´mero ´ primo? u e a hip´tese generalisada. . . a diferen¸a entre procurar ao calha o c e procurar por ordem. . . um n´mero gerador u Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como fiz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Mas falemos de coisas pr´ticas a RSA e a dificuldade de factorizar n = pq, p, q primos de 512 bits. . . testar se um n´mero ´ primo? u e a hip´tese generalisada. . . a diferen¸a entre procurar ao calha o c e procurar por ordem. . . um n´mero gerador u matrizes aleat´rias e o GUE. . . mas nõ me perguntem. . . o a Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre para a Inter a a a

Em como ﬁz batota Os primos: de Erasthotenes a Gauss Riemann, o aluno de Gauss Perguntas E uma boa noite de sono. . . Paula Cristina Valen¸a c O Santo Graal da Matem´tica n˜o trar´ o desastre para a Inter a a a

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