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    Inetres compuesto Inetres compuesto Presentation Transcript

    • S EMINARIO DE DES ARROLLO ECONOMICO I Mtro. Celso Garrido Febrero 2003 Introducción Matemáticas Financieras Ana María Hernández Méndez Alejandro Apolinar Rojas
    • Introducción FINANZASAsignación de recursos Tiempo Al poner en práctica sus decisiones financieras, las personas se sirven del Sistema Financiero... Conjunto de mercados e instituciones mediante las cuales se realizan los contratos financieros y el intercambio de activos
    • Contenido de la sesión1a sesión -Equivalencia financiera -Interés simple Valor presente simple Valor futuro simple -Base mixta -Cálculo del tiempo -Descuento bancario o comercial -Diagrama de tiempo valor y de flujo de caja -Interés compuesto -Diferencia entre interés simple e -Tasa de interés nominal, real y efectiva -Anualidades -Amortización
    • Equivalencia Financiera El valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés ayudan a desarrollar el concepto de Equivalencia Financiera y esto significa que sumas diferentes de dinero en momentos diferentes de tiempo son iguales en valor económico. Por ejemplo, si la tasa de interés es de 7% anual, $100 (tiempo presente)Serían equivalentes a $107 dentro de un año a partir de hoy, entonces para un individuo es lo mismo tener $100 hoy a $ 107 el día de mañana.Y este incremento se dio debido a la tasa de interés. Por lo tanto es el mismo valor económico o equivalente.
    • Interés Simple Interés que se carga al final del período y que no gana interés en el período o períodos subsiguientes El interés simple se calcula utilizando sólo el principal, ignorando cualquier interés causado en los períodos de interés anteriores Ejemplo: Un capital de 100 pesos al 10% en tres periodosTiempo 0 1 2 3 Total en los 3 periodos $30 $100 $10 $10 $10
    • Denominación de Variables Nomenclatura InglesaI = interés generado ($)P = es el capital o principal que se da o se recibe en préstamoi = tasa de interés anual (%)n = número de años o períodos, tiempoF = monto o valor futuro a fin del período Nomenclatura Española I=interés simple C=capital o principal i=tasa (tipo de interés tanto por ciento) t=tiempo M=monto
    • Los intereses: I=Pin (1) El monto “final” del período correspondería al capital inicial más los intereses F=P+I (2) Sustituyendo (1) en (2) el pago al final del período es igual al capital inicial más los intereses generados, esto es: F=P+(Pin) F=P+Pin (3) Factorizando la expresión anterior: F=P(1+in) (4) En estás fórmulas básicas del interés simple (1) y ( 3) se tienen cinco variables que son F, P,I, i y n de las cuales se puede obtener cualquiera de ellas a partir de las tres restantes, así de la fórmula de interés simple: I=Pin P=I/in i= I/Pn n=I/Pn De la fórmula de monto simple se obtiene F=p(1+in) P=F/ (1+in) i=[(F/P)-1]/n n=[(F/P)-1]/i
    • Capitalización y ActualizaciónEl planteamiento de los problemas económicos-financieros se desarrolla en torno a dos conceptosbásicos: capitalización y actualización. El concepto de capitalización se refiere al estudiodel valor en fecha futura o monto que se obtendrá oen que se convertirán los capitales en fechascolocados en fechas anteriores.El concepto de actualización se refiere al estudiodel valor en la fecha actual o presente de capitales
    • Valor Presente SimpleEl valor actual o presente de una suma, que vence en fecha futura, es aquelcapital que, a una tasa dada y en el período comprendido hasta la fecha de vencimiento, alcanzará un monto igual a la suma debida: I=Pin (1) El monto “final” del período correspondería al capital inicial más los intereses F=P+I (2)Sustituyendo (1) en (2) el pago al final del período es igual al capital inicial más los intereses generados, esto es: F=P+(Pin) F=P+Pin (3) Factorizando la expresión anterior: F=P(1+in) (4)De la fórmula de monto simple despejamos P para obtener el valor presente simple F=P(1+in) P= F/ (1+in)
    • Ejemplo de Valor presente simple Un miroempresario desea innovar su equipo de trabajo y recurre a una institución crediticia, que le cobra el 16% de interés simple, ¿Qué cantidad le prestaron si tendrá que pagar $52,600 dentro de 5 meses? Tiempo 1 2 5 Meses 0 3 4¿Valor? $52,600
    • Valor PresenteDATOSTasa de interes 16 %Valor futuro 52600Tiempo 5 meses P=F/(1+ni)Sustitución P= 52600/(1+0.16*5/12) ¡Esta es la cantidad que le prestaron!Valor presente $ 49,312.50 $ 49,312.50 Tiempo 1 2 5 Meses 0 3 4 $52,600 $ 49,312.50
    • Valor Futuro SimpleEl concepto de capitalización se refiere al estudio del valor en fecha futura o monto que se obtendrá o en que se convertirán los capitales en fechas colocados en fechas anteriores. I=Pin (1) El monto “final” del período correspondería al capital inicial más los intereses F=P+I (2) Sustituyendo (1) en (2) el pago al final del período es igual al capital inicial más los intereses generados, esto es: F=P+(Pin) F=P+Pin (3) Factorizando la expresión anterior: se obtiene la fórmula de monto simple F=P+I = P+Pin=P(1+in)
    • Ejemplo de Valor futuro simple Una institución crediticia otorga un préstamo de $ 49 312.50 pesos a una tasa de interés simple de 16% ¿Cuál será el monto de ese préstamo, después de 5 meses?Tiempo 0 1 2 3 4 5 Meses$ 49 312.50 ¿Valor?
    • Valor FuturoDATOSTasa de interes 16 %Valor presente 49312.5Tiempo 5 meses F=P(1+ni)Sustitución F= 49312.50*(1+0.16*5/12) Monto que pagaráValor Futuro $ 52,600.00 dentro de 5 meses Tiempo 1 2 5 Meses 0 3 4 $ 49,312.50 $ 52, 600
    • Base Mixta P=capital o suma prestada t=Tiempo I= interés o réditoSe tiene de acuerdo con las leyes de variación proporcional I=PnK (1) Donde k es una constante, cuyo valor depende únicamente de las condiciones contractuales de préstamo. Si las condiciones son del i% anual(año comercial de 360 días). P= 100 unidades n=360 días ( año comercial ) I=i unidades( i%=i unidades por cada 100 en 360 días)Mediante la aplicación de la fórmula 1 se tiene: i= 100(360) k se despeja k=i/100(360)
    • Al reemplazar en la fórmula 1 se tiene: I= Pin/100(360)para el año de 365 días, el año real , el mismo desarrollo conduce a: I=Pin/ 100(365)y para años bisiestos, el año real es de 366 días.El interés simple ordinario o comercial es el que se calcula considerando el año de 360 días.El interés simple real o exacto es el que se calcula con año calendario de 365 días o de366 , si se trata de año bisiesto.Los bancos acostumbran calcular los intereses, tomando como base el año de 360 días ; peropar la duración de tiempo de préstamos a corto plazo (plazos menores que un año), cuentaslos días efectivos calendario.
    • Ejemplo Base Mixta¿Cuáles son los intereses que se genera un capital de$ 12,500 a una tasa de referencia de 19.75 en un periodo de30 días? Tiempo 0 1 2 3 4 30 días $ 12,500 ¿Intereses + el principal?
    • SoluciónDatos FórmulaP= 12500i= 19.75 anual I=Pin/360n= 30 díasI= ¿? la tasa de interés se toma en decimalesSustituciónI=12500(.1975)(30)/360 I= 205.73
    • Ejemplo Base Mixta¿Cuáles son los intereses que se genera un capital de$ 12,500 a una tasa de referencia de 19.75 en un periodo de30 días? Capital o principal Intereses I=$205.73+ P= $12,500 Tiempo 0 5 10 15 20 30 días $ 12,500 Este es monto total al final del periodo $12705.73
    • Ejemplo de Base MixtaINF. FINANCIERASALDO PROMEDIO 6036.50DIAS DEL PERIODO 30TASA BRUTA % 2.00TASA ISR % 0.40INTERESES A FAVOR (+) 8.05I.S.R. RETENIDO (-) 2.01COMPORTAMIENTO DE SU CUENTASALDO INICIAL 6030DEPOSITOS ABONOS (+) 16.56RETIROS/CARGOS (-) 2.01SALDO FINAL 6044.55
    • Ejemplo de Base MixtaINF. FINANCIERA Depositos y abonosSALDO PROMEDIO 6036.50 Intereses del mes anterior= 6.50DIAS DEL PERIODO 30 Intereses ganados= 10.06TASA BRUTA % 2.00 Total 16.56TASA ISR % 0.40 I =Pin/360INTERESES A FAVOR (+) 8.05 RendimientoI.S.R. RETENIDO (-) 2.01 I= 6036.50*30*0.02/360 I= 10.06 ISRCOMPORTAMIENTO DE SU CUENTA ISR 6036.50*30*0.004/360SALDO INICIAL 6030 ISR= 2.01DEPOSITOS ABONOS (+) 16.56RETIROS/CARGOS (-) 2.01SALDO FINAL 6044.55 Intereses a Favor Intereses - ISRSaldo Promedio I=10.06-2.01Saldo inicial 6030 I= 8.05Intereses anteriores 6.05 SP= 6036.1
    • Descuento Simple Descuento bancario o comercialSe define como el interés simple de una deuda, que se paga por adelantado.Para el banquero, “descuento” significa “interés simple”, pagado de antemano. Los bancos emplean esta clase de descuento porque reporta ventaja. Si F es una deuda contraída es decir valor nominal, n es el intervalo de tiempo fracción de un año para cubrirla y d, la tasa de interés, el descuento es: D=Fnd Por lo tanto el valor presente de una deuda es: P=F-Fnd= F(1-nd) se usa el descuento bancario simple para períodos menores a aun año ya que la aplicación de la fórmula p=f(1-nd) puede ser ruinosa para el deudor, cuando n es suficientemente grande Donde: Dc= descuento bancario F=valor nominal del descuento d=tasa nominal del descuento n=tiempo P= valor presente
    • Ejemplo de descuento comercial Si el banco realiza operaciones de descuento de 20% anualy si el señor Julio López desea descontar el documento el 5 de julio,los $11 500 (el valor nominal del pagaré) devengaran los siguientes intereses (descuento) durante los tres meses en que se adelanta el valor actual del documento. D=Fnd
    • Solución D=Fnddonde d es el descuento D= 11500(3/12)(0.20) D= 575$ 575 son el descuento que se aplica Entonces el señor LópezValor nominal 11500 recibe $10 925 que es el valor comercial delMenos el descuento 575 documento hasta la fecha que anticipo el pago; elValor anticipado 10925 descuento de calculó en base al valor nominal del pagaré
    • Descuento comercialEn el comercio se acostumbra ofrecer una rebaja sobre el precio de lista por algunarazón, ejemplo promociones especiales de venta, compra al por mayor, pronto pago, etc.El descuento como la comisiones se expresan al tanto por ciento y en su valor nointerviene el tiempo. Sea i% el descuento concedido sobre la factura de valor $ S,entonces se tiene: Descuento => D= Si Descuento en cadena o en serieCon frecuencia ocurre que dentro de una misma factura se hacen una serie dedescuentos sucesivos independientes entre si. % Valor neto de una factura Descuento Valor neto de la factura S d1 VN1=S(1-i1) VN1 d2 VN2=S(1-i1)(1-i2) VN2 d3 VN3=S(1-i1)(1-i2)(1-i3) VN3 ... ... ... dn. VNn=S(1-i1)(1-i2)...(1-in) VNnD=P(100-d)/100*(100-d ’ /100)*(100-d n /100)
    • Descuento simpleSi un cliente firma un documento por $ 2500 acuatro meses. Un banco otorga un descuento de8% anual ¿qué cantidad le dará el banco? Descuento en cadena o en serie Sobre una factura de $50000 se conceden los siguientes descuentos: a) por compra al por mayor 8% b)por promoción especial de ventas 5% c) por despacho sin empaques 6% Calcular el valor neto a pagar
    • Solución d 0.08 Sust it ución n 4 meses 0.33333333 D ¿? D= 1000(0.08)(4/ 12) D= 26.6666667Ejer cicio 2Dat os Fór mulaP 50000 D= P[(100-d)/ 100* (100-d/ 100)* (100-d´ ´ ´ / 100)...]D ¿d´ 8%d´ ´ 5% Sust it uciónd´ ´ ´ 6% D= 50000[ (100-8)/ 100* (100-5/ 100)* (100-6/ 100)] NOTA:Como se puede observar D= 41078 en la sustitución tomamos el porcentaje tal cual sin el valor neto a pagar es convertirlo a decimales, esto se $41078 hace porque la fórmula lo permite y al restar el porcentaje y luego dividir entre cien automaticamente estamos convirtiendo ese porcentaje en décimales y podemos realizar la operación.
    • Diagramas de Tiempo Valor Un diagrama, el tiempo puede medirse de dos maneras diferentes en sentido positivo (de izquierda a derecha), si se tiene fecha inicial y se cuenta conun valor futuro, en sentido negativo (de derecha a izquierda), si se tiene un fecha de vencimiento o final , y un valor antes del vencimiento Tiempo 0 1 3 4 2 5 Valor P F presente Valor futuro 4 Tiempo 5 3 2 1 0 Valor P F presente Valor futuro
    • Diagrama de Flujo de Caja A C B+ 1 2 3 4 6 7 Tiempo 5 0- F D E A,B y C ingresos (+) D,E y F egresos (-) Al colocar en un diagrama de tiempo-valor flechas arriba para los ingresos y flechas hacia abajo para los egresos
    • Interés Compuesto Los intereses generados en un período devengan un interés generado anteriormente. El interés compuesto es el interés devengado por el principal al final de un período y que devenga interés en el período o períodos subsiguientesAño Cantidad Interés Cantidad acumulada acumulada pagado al final del periodo1 P Pi P+Pi=P(1+i)2 P(1+i) P(1+i)i P(1+i) +P(1+i)1i= P(1+i)23 P(1+i)2 P(1+i)2i P(1+i)2 +P(1+i)2 i=P(1+i)3. . . .. . . .n P(1+i)n-1 P(1+i)n-1i P(1+i)n-1 +P(1+i)n-1 i=P(1+i)n
    • Comparación entre Interés simple e interés compuesto La mejor forma de comparar los valores futuros de interés simple e interés compuesto es mediante la elaboración de gráficas correspondientes a una misma tasa Por ejemplo, la tasa del 20% y un capital de $ 1000. Los montos son F= 1000(1+n0.20) para interés simple y F= 1000(1+0.20) n para el interés compuestoFunción discreta a= valor futuro de $ 1000 al interés del 20% b= Valor futuro de $1000 al interés compuesto del 20%función continua A línea recta F = 100[1+0.20] B función exponencial F= 1000(1.2)nEl valor futuro a interés compuesto crece en razón geométrica y su gráficacorresponde a la de una futura función exponencial. Por su parte , el monto a interés simple crece en progresión aritmética
    • Comparación entre Interés simple e Interés compuestoLa mejor forma de comparar los valores futuros de interés simple e interés compuesto es mediante al fórmula elaboración de gráficas correspondientes una misma tasa B b 2000 b a A b b a a 1000 a a 0 1 2 3 4 5 años
    • Como se observa la suma acumulada al final del período n es: F=P(I+i) n Esta fórmula relaciona una cantidad (presente con una cantidad futuro (f) De esta fórmula se deduce: P= F(1/1+n)n = F(1+n)-n ó bien: P=F/(1+i)n I= (f/P)1/n-1 ó bien I= n (f/p) - 1 n= log F - log P / log (1+i)
    • Período de Capitalización El interés puede ser convertido en capital anual, semestral trimestral, y mensual así como diario,dicho período es denominado período de capitalización. Al número de veces que el interés capitaliza durante un año se le denomina frecuencia de conversión.Por ejemplo, ¿cuál es el período de capitalización de un depósito bancario quepaga el 5% de interés capitalizable trimestralmente? Un año = 12 meses/3 meses= 4 4 es el período de capitalización trimestral
    • Tasa de Interés Nominal, Efectiva (o real) y EquivalenteCuando se realiza una operación financiera, se pacta unatasa de interés anual que rige durante el lapso que dure laoperación, ésta es denominada tasa de interés nominal.Sin embargo, si el interés se capitaliza en forma semestral ,trimestral o mensual, la cantidad efectiva pagada o ganadaes mayor que si se compone en forma anual. Cuando estosucede, se puede determinar una tasa efectiva deinterés.Dos tasas de interés anuales con diferentes periodos decapitalización serán equivalentes si al cabo de un añoproducen el mismo interés compuesto, es decir si dos tasasanuales de interés con diferentes períodos de capitalizaciónes se dice que son equivalentes, si el rendimientoobtenido por capitalización es igual al final del año.
    • Partiendo de la fórmula F= P(1+in/n)nla tasa efectiva es el rendimiento anual “ie”, esel rendimiento anual que se obtendría al finaldel período cuando la tasa nominal “in” secapitaliza “n” veces. Para una inversiónunitaria anual se tiene lo siguiente:1(1+1e)=1(1+in/n)n-1 -->i e=(1+i n/n) n-1despejando in se tiene la tasa nominal porperiodo: i n =n[(1+i e ) 1/n -1
    • Cuando la tasa nominal se capitaliza por “m” años , seobtienen para un añose despeja: (1+in/n)m=[(1+in/n)n]m= F=P(+in/n)nm i n =m[(1+i e ) n/m -1
    • Ejemplo¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se recibe de undepósito bancario de $ 1000.00 pactado al 48% de interésanual convertible mensualmente? F=1000(1+0.04)12 F=1000(1.601032) F=1601.0322 I=F-P I=1601.0322-1000 i=I/P i=601.0322/1000 i=0.6010la tasa efectiva de interés ganada es de 60.10%
    • Usando la formula directamente se tiene: i e =(1+i n /n) n - 1 i e=(1+0.48/12) 12 - 1 i e=(1.601032)- 1 i e=.601032 i e=60.10%
    • Ejemplo de tasa nominalHallar la tasa nominal im capitalizablemensualmente equivalente a la tasa del 8%capitalizable o convertible semestralmente.Sustituyendo en la fórmula:i n =m[(1+i e ) 1/m -1]i n =12[(1+0.08/2) 2/12 -1]i n =12(0.0065)=0.078696i n =7.869%
    • Anualidades Una anualidad es una serie de pagos periódicos a intervalos de tiempo iguales y generalmente del mismo monto los conceptos básicos para las anualidades son: * La renta * La renta anual * La plazo de la anualidad * El intervalo de pago o período * La tasa de una anualidad Clasificación Ciertas Contingentes Anualidades a plazo fijo y rentas perpetuasPor fecha de pago:anualidades vencidas u ordinariasanualidades anticipadasAnualidades diferidasanualidades perpetuas
    • Criterio Tipos de anualidada) A) Tiempo Ciertas ContigentesB) Intereses Simples Generalesc) c)Pagos Vencidas AnticipadasD) Inicio Inmediatas diferidas
    • A)a) Anualidad cierta: sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Por ejemplo: Al realizar una compra a crédito se fija tanto la fecha que se debe de hacer el primer pago así como la fecha en que se realiza el último.a) Anualidad contigente: tanto la fecha del primer pago como la fecha del último pago no se fijan con antelación sino que esta sucede por un hecho fortuito, por ejemplo las rentas vitalicias que se otorgan cuando fallece el conyuge, por lo que no se sabe cuando morirá.b) B)c) Cuando el periodo de pago coincide con el de la capitalización de los intereses, por ejemplo el pago de una renta determinada a una cierta tasa de interés.
    • •Anualidades generales. En esta el periodo depago no coincide con el periodo de capitalización C) de acuerdo con los pagos anualidad vencida: los pagos se realizan al periodo de vencimiento .... 0 1 2 3anualidad anticipada: los pagos se realizan antesde la fecha de vencimiento .... 0 1 2 3
    • D) Anualidad inmediata:Es el caso más común y la realización de loscobros o pagos tiene lugar en el periodoinmediatamente siguiente ala formación del tratoAnualidad diferida:Se pospone la realización de los cobros opagos. Se adquiere hoy un artículo a crédito,para pagar con abonos mensuales , el primerpago habrá de hacerse por ejemplo seis mesesdespués de haber adquirido la mercancía.
    • Valor Presente de una anualidadA=P[i/(1+(1+i)-n] Despejando P=A[1-(1+i) -n /i
    • AMORTIZACIONESEn las finanzas, la expresión amortizar se utiliza paradenominar un proceso financiero mediante el cual se extingue, gradualmente, una deuda por medio de pagos periódicos, que pueden ser iguales o diferentes.En la amortización de una deuda, cada pago o cuota que se entrega sirve para pagar los intereses y reducir el importe de la duda.
    • Recomendaciones para elaborar el laboratorio1. No es lo mismo tasa de interés que interés o intereses, la primera está expresadaen (%) porcentaje y la segunda en el tipo de moneda que se este manejando (pesos, dólares, etc.)2. La tasa de interés y el tiempo debe de ir expresado en las mismas unidades, por ejemplo si tenemosperiodos semestrales, la tasa de interés debe estar expresada en una tasa de interés semestral.3. No confundir periodo de capitalización con el término capitalización, porque el primero essólo la frecuencia de conversión y el segundo esta relacionado con el valor futuro.4. En esta presentación vienen insertadas hojas de cálculo; para que puedan activar la hojas sólo den doble click, y se activará, pero esto sólo se puede realizar en Windows 95 , 98,y Mileniun; en Windows XP no se pueden activar.5. Consultar la siguiente bibliografía:-Portus, Lincoyan. Matemáticas Financieras. Mc Graw Hill, México. 1998-Díaz Mata, Matemáticas Financieras. Tercera edición. Edit Mc Graw Hill.6. Si tienen alguna otra duda por favor dirigirse con los Asistentes.