distribucion evaluacion segunda unidad

1. DISTRIBUCIONES
Pedro Lopez Montañez.
2 D.

2. DISTRIBUCION DE BERNOULLI.
• DEFINICION. La distribución consiste donde solamente existen 2 posibles resultados, que los
conocemos como Éxito y Fracaso, ambos resultados los podemos definir o expresar como 1 y 0.
• EXPLICACION BREVE. Esta distribución nos habla acerca sobre dos posibles resultados a
los cuales los llamamos o conocemos como Éxito y Fracaso, los cuales los podemos calcular con
una formula, un ejemplo muy sencillo seria el lanzamiento de una moneda.
• FORMULA. Podemos tomar en cuenta que P es la probabilidad lo podemos expresar como
P(X=1) si es un éxito y P(X=0) si es un fracaso.
• EJEMPLOS.
• PROBLEMAS.

3. EJEMPLO DE BERNOULLI.
• Cuando se lanza un dado hay una probabilidad de 1/6 de que caiga 2. Es X=1 si el
dado cae 2 seria X=0, ¿ Cual es la distribución de X ? Solución: la probabilidad de
éxito sea P(X=1)=1/6.
• Diez porciento de las tuercas que fabrica takata están defectuosas, se seleccionan 1
tuerca al azar, si sabemos que X=1 si el componente esta defectuoso y X=0 en
cualquier otro. Solución: la probabilidad de éxito es de P(X=1)=.1.
• Se prueba un experimento de lanzar una moneda al aire, sabemos que solamente
existen 2 posibles resultados, “SOL” y “AGUILA”, SOLUCION; X=1/2, entonces
P(X=!)=1/2.

4. PROBLEMAS DE BERNOULLI.
• Diez por ciento de los autos fabricados por Honda mediante determinado proceso está
defectuoso. Se selecciona un auto aleatoriamente. Sea X =1 si el auto está defectuoso y X = 0 en
cualquier otro caso. ¿Cuál es la distribución de X?
• En la planta de John Deere de torreón se seleccionan 2 tractores por día para verificar si
contiene algún defecto o tiene las especificaciones del cliente. ¿Cuál es la distribución de X?
• En un casino de las vegas se encuentran un par de amigos ellos quieren saber o calcular cual es
la probabilidad de que en un juego de arrojar dados caigan 1/6 ¿ cual es la distribución de X?
• En un juego de la feria de san marcos llamado las canicas ruedan por un premio, Pepito quiere
ganarse una alcancía para esto tiene que juntar 12 puntos si solo hay las opciones de puntos de
1,2…6. ¿ cual es la distribución de X?
• En el partido de futbol Santos vs Tijuana los capitanes pasan con el arbitro para escoger saque
o portería el arbitro lanza una moneda al aire si sabemos que P(x=1)=1/2, ¿Cuál es la
distribución de X?

5. RESULTADOS.
• 𝑃 𝑋 = 0 =
10!
0! 10−0 !
.10
(1 − .1)10−0
= .1.
• 𝑃 𝑋 = 2 =
10!
2! 10−2 !
.12
(1 − .1)10−2
= .45.
• 𝑃 𝑋 = 1 =1/6.
• 𝑃 𝑋 = 1 =
12!
1! 12−1 !
.0831
(1 − .083)12−1
= .9.9599.
• P(X=1/2)= la probabilidad de que el capitán del santos es de 1/2 ya que solo hay 2 posibles
resultados.

6. DISTRIBUCION BINOMIAL.
• DEFINICION. Es una distribución la cual podemos tomar en cuenta los Éxitos como
una variable aleatoria y discreta, en todos los posibles resultados será la misma
probabilidad de éxito, esta distribución nos ayuda a calcular los ensayos independientes
de Bernoulli cuando son mas de 1, se encarga de calcular el numero de Éxitos.
• EXPLICACION BREVE. Es una distribución con la cual podemos calcular el numero de
Éxitos independientes de Bernoulli.
• FORMULA.
• EJEMPLOS.
• PROBLEMAS.

7. EJEMPLOS DE BINOMIAL
• Un par de amigos lanzan al aire diez veces una moneda. Sea X el número de caras que
aparecen. ¿Cuál es la distribución de X? solución: Hay diez ensayos de Bernoulli
independientes, cada uno con probabilidad de éxito de p=0.5. La variable aleatoria X es igual
al número de éxitos en los diez ensayos. Por consiguiente, X Bin(10, 0.5).
• Un yonke contiene miles de tuercas, de éstos 10% están defectuosos. Se extraen siete
componentes de la población. Sea X el número de componentes defectuosos en la muestra.
¿Cuál es la distribución de X? Solución: Puesto que el tamaño muestral es pequeño en
comparación con la población (es decir, menor a 5%), su número de éxitos representa una
distribución binomial. Por tanto, se modela X con la distribución binomial Bin(7, 0.1).
• Se lanza al aire ocho veces un dado. Determine la probabilidad de que no salgan más de dos
números seis. Solución: Cada lanzamiento del dado es un experimento Bernoulli con una
probabilidad de éxito de 1/6. Sea X el número de seises en los ocho lanzamientos. Entonces
X=Bin(8, 1/6). Se necesita determinar a P(X=2). Con el uso de la función de masa de
probabilidad,

8. PROBLEMAS DE BINOMIAL.
• En cooper stand se toma una muestra de cinco elementos de una población grande en la cual
10% de los elementos está defectuoso. a) Determine la probabilidad de que ninguno de los
elementos de la muestra esté defectuoso.
• En un cargamento de la empresa Michelin de llantas de automóvil, 10% tiene cierta
imperfección. Se eligen aleatoriamente cuatro llantas para instalarlas en el automóvil. a) ¿Cuál
es la probabilidad de que ninguna de las llantas tenga imperfección?
• Un ingeniero de John Deere que supervisa el control de calidad, selecciona una muestra
aleatoria de 100 tuercas de acero de la producción del día, descubre que 92 de ellas satisfacen
las especificaciones. a) Estime la proporción, de la producción de ese día, que satisface las
especificaciones y determine la incertidumbre en la estimación.
• De los elementos producidos por la fabrica del ingeniero eduardo en determinado proceso, 20%
estaba defectuoso; de ellos, se puede reparar 60 por ciento. a) Determine la probabilidad de que
un elemento elegido de forma aleatoria esté defectuoso y no se pueda reparar.

9. RESULTADOS.
• 𝑃 𝑋 = 0 =
5!
0! 5−0 !
.10
(1 − .1)5−0
= .059049.
• 𝑃 𝑋 = 0 =
10!
0! 10−0 !
.10 (1 − .1)10−0= .034867844.
• 𝑃 𝑋 = 8 =
10!
8! 10−8 !
.018 (1 − .01)10−8= .0000176418.
• 𝑃 𝑋 = 1 =
20!
1! 20−1 !
.11 (1 − .1)20−1= .270170343.

10. DISTRIBUCION DE POISSON.
• DEFINICION. Es una de las distribuciones de probabilidad discreta, esta
distribución nos puede ayudar a calcular las probabilidades de un evento con la tasa
media en un determinado tiempo.
• EXPLICACION BREVE. Es una distribución que con su ayuda obtendremos la
probabilidad de un evento que ocurre en un determinado periodo.
• FORMULAS.
• EJEMPLOS.
• PROBLEMAS.

11. EJEMPLOS DE POISSON.
• En un línea telefónica se reciben 10 llamadas cada hora, calcular la probabilidad que
existe en que en una hora se reciban 5 llamadas. SOLUCION: P(X=5)=
• La fabrica de motores John Deere se fabrican 4 motores cada hora, calcular la
probabilidad de que en una hora se fabriquen 2 motores en una hora.
• En un restaurant un mesero despacha 20 clientes en una hora, calcula la
probabilidad que existe en que en una hora el mismo mesero atienda 15 personas

12. PROBLEMAS DE POISSON.
• En la central telefónica de quejas del Cable Laguna se reciben en promedio 4 llamadas por
hora, calcula las siguientes probabilidades. A) que se reciba 1 llamada en una hora.
• En John Deere se fabrican 8 motores promedio por hora, calcula la probabilidad de que en una
hora fabriquen 4 motores.
• Unos amigos de la universidad se ponen dos borracheras cada semana, calcula la probabilidad
de que en una semana se pongan 4 borracheras.
• En la central telefónica de en Familia Con Chávelo se reciben 4 llamadas por hora para
participar por un premio, calcula la probabilidad de que en 2 horas se reciban 3 llamadas.
• En Coppel se venden 15 productos cada hora, por cada uno de los vendedores que hay en esa
tienda, calcula la probabilidad de que en una hora vendan 10 productos.

13. RESULTADOS.
1.- P 𝑋 = 1 =
41
1!
𝑒−4 = .073262552.
2.- P 𝑋 = 4 =
84
4!
𝑒−8 = .0572522.
3.- P 𝑋 = 4 =
14
4!
𝑒−2 = .005638970.
4.- P 𝑋 = 3 =
83
3!
𝑒−8 = .028626144.
5.- P 𝑋 = 10 =
110
10!
𝑒−1
= .0001013777.

14. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
• DEFINICION. Es una distribución la cual es continua, esta distribución nos ayuda a
calcular un evento antes de que ocurra sin embargo a este tiempo se le conoce como
TIEMPO DE ESPERA.
• EXPLICACION BREVE.
• FORMULA.
• EJEMPLOS.
• PROBLEMAS.

15. EJEMPLOS DE EXPONENCIAL.
• El fabricante de Baterías para autos Juan Carlos Slim ofrece un año de garantía, ofrece
cambiar gratuitamente el producto si presenta problemas antes del año. Si la vida útil
de estas baterías es de promedio de 10 años ¿ que porcentaje de las baterías fallaran
antes de un año? SOLUCION. P(X<1)=1-e=1-.9048.
• La vida útil de un celular es aproximadamente 4 años ¿Cuál es la probabilidad de que un
componente falle antes de los 6 meses? SOLUCION. P(X<.5)=1-e=1-.7788=.221199.
• El numero de visitas a un sitio web sigue un proceso de poisson con una razón de tres
por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que no se reciba ninguna llamada en 1 minuto?

16. PROBLEMAS DE EXPONENCIAL.
• El tiempo de vida de un fusible en cierta aplicación tiene distribución exponencial con media de
dos años. a) ¿Cuál es el valor del parámetro λ? b) ¿Cuál es la mediana del tiempo de vida de
dicho fusible?
• Una investigadora de catalizadores afirma que los diámetros, en micrones, de los poros de un
nuevo producto que ella ha fabricado sigue una distribución exponencial con parámetro λ=0.25.
a) ¿Cuál es la media del diámetro de los poros?
• Alguien argumenta que el tiempo de espera, en minutos, entre las visitas a un sitio web tiene
una distribución exponencial con parámetro λ=1. a) Sea X el tiempo de espera hasta la siguiente
visita. Si la afirmación es verdadera, ¿a qué es igual P(X = 5)?
• Una masa radiactiva emite partículas de acuerdo con un proceso de Poisson a una razón media
de dos por segundo. Sea T el tiempo de espera, en segundos, entre las emisiones. c) Determine
P(T=2).
• El fabricante de celulares ofrece un año de garantía, ofrece cambiar gratuitamente el producto
si presenta problemas antes del año. Si la vida útil de estas baterías es de promedio de 10 años ¿
que porcentaje de las baterías fallaran antes de un año?

17. RESULTADOS.
• Lambda= .5, P(x<1)= 1 − 𝑒−.5(1)
=.393469.
• P(x<1)= 1 − 𝑒−.25(1)=.221199216.
• P(x=5)= 1 − 𝑒−1(5)= .993262053.
• P(T=2)= 1 − 𝑒−1(2)= .864664716.
• P(T=1)= 1 − 𝑒−10(1)
= .9999546.