Ejercicios termometria dilatacion_pp1-28
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Ejercicios termometria dilatacion_pp1-28 Ejercicios termometria dilatacion_pp1-28 Document Transcript

  • Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmán CAPÍTULO 5. TermodinámicaINTRODUCCION. consistentes con las leyes de Newton delSistemas Termodinámicos movimiento.Variables termodinámicas macroscópicas. En la termodinámica la atención se dirige al exteriorConsideremos un gas encerrado en un tubo del sistema. Se determinan experimentalmente: lascilíndrico cerrado a uno de sus extremos y provisto cantidades macroscópicas que son necesarias yde una tapa deslizante (pistón) en el otro. Como se suficientes para describir el estado interno delmuestra en la figura. sistema, estas son llamadas coordenadas termodinámicas. El propósito de la termodinámica es encontrar las relaciones entre las coordenadas termodinámicas consistentes con las leyes fundamentales de la termodinámica. Finalmente, puntualizaremos que dentro de la física, las leyes que relacionan las cantidades macroscópicas, se denomina termodinámica clásicaEl sistema descrito ocupa determinado volumen el o simplemente termodinámica y, las fórmulascuál puede conocerse en determinado momento por matemáticas que relacionan las cantidadesla posición del pistón, otra cantidad indispensable microscópicas, constituyen la Mecánica Estadística,para la descripción del sistema es la presión del gas o Teoría atómica del calor, o bien, cuando se usanen el cilindro, que también se puede conocer, técnicas simples estadístico-matemáticas se le llamamediante un manómetro. Finalmente, para tener una teoría cinética.idea completa de lo que sucede en el cilindro hayque conocer la temperatura, la cual puede medirse LEY CERO DE LA TERMODINÁMICA Yen forma simple al igual que las otras dos EQUILIBRIO TÉRMICO.cantidades. Estas cantidades obtenidas por medición Supongamos que tenemos dos sistemas A y B,directa, que describen al sistema, nos proporcionarán separados cada uno y definidos por las coordenadaslo que se conoce como la Descripción microscópica (presión y temperatura) p, T y p’, T’del sistema. respectivamente.Otro punto de vista de describir el sistema es El estado de un sistema en el cual las velocidadesasumiendo que el gas esta formado por un gran macroscópicas tienen valores que permanecennúmero de partículas, moléculas o átomos, todos de constantes mientras que las condiciones externas noigual masa y cada uno moviéndose con una se cambien, se conoce como estado de equilibriovelocidad independiente de las otras es imposible térmico.aplicar las leyes de Newton del movimiento a cadamolécula por separado e incluso tabular las Equilibrio térmico. Los experimentos demuestrancoordenadas de cada molécula, en este caso es que la existencia de un estado de equilibrio dependenecesario usar métodos estadísticos las cantidades de la proximidad de otros sistemas y de la naturalezaque lo especifican no están directamente asociadas, de la pared que los separa. Si cuando un sistemacon nuestro sentido de percepción, esta descripción está en un estado de equilibrio y este no cambia cones conocida como Descripción microscópica del cualquier cambio en el ambiente, el sistema se diceSistema. que está “Aislado” o rodeado por una pared “ParedLa descripción macroscópica o sea las propiedades Adiabática”. Cuando las variables macroscópicas deapreciadas por nuestros sentidos son el punto de dos sistemas que se encuentran conectadas por unapartida para todas las investigaciones y aplicaciones pared diatérmica no varían, se dice que seprácticas. Por ejemplo, en la mecánica do un cuerpo encuentran equilibrios térmicos entre ellas.rígido, considerando los aspectos, externos, Imaginemos a los sistemas A y B separados enespecificamos su centro de masa con referencia a un contacto, o separados por una pared diatérmica, coneje de coordenadas en un tiempo particular. un sistema C.La posición y e1 tiempo y la combinación de ambos,tal como la. Velocidad, constituyen algunas de lascantidades macroscópicas usadas en mecánica y sonllamadas coordenadas mecánicas y estas sirven paradeterminar la energía potencial y cinética del cuerporígido. Estos dos tipos de energía, constituyen laenergía mecánica o externa del cuerpo rígido. Elpropósito de la mecánica es encontrar relacionesentre las coordenadas de posición y el tiempo 1
  • Calor y Termodinámica Hugo Medina GuzmánEl sistema A estará en equilibrio con el sistema C y Donde las constantes a y b se evalúan de acuerdo ael sistema B también estará en equilibrio con el un conjunto definido de reglas. Asignemos númerossistema C, luego los sistemas A y B estarán en arbitrarios a dos puntos fijos.equilibrio térmico uno con el otro.Esto se conoce como la Ley cero de la Escala Celsius o centígrada.termodinámica, En la escala Celsius o centígrada uno de ellos el"Si dos sistemas se encuentran en equilibrio térmico punto de congelación del agua, es decir el punto encon un tercer sistema, los dos sistemas se encuentran que el agua y el hielo están en equilibrio a la presiónen equilibrio entre sí". atmosférica, a esta temperatura le damos el valorEsta ley está de acuerdo a nuestra experiencia diaria cero grados Celsius o grados centígrados (0°C).de nuestros sentidos, es sencilla pero no obvia, es un t = ayc + b = 0o Checho que sucede pero podría no haber sido así. Nosexpresa la idea fundamental de temperatura. Cuando El otro punto, el de ebullición del agua a presióndecimos que las variables macrosc6picas no varían, atmosférica, a este le llamamos Cien gradosnos hace falta definir una propiedad que asegure (100°C).esto. t = aye + b = 100o C Esta propiedad la llamaremos Temperatura. Al resolver las dos ecuaciones simultáneamenteNosotros queremos asignar un número de cada encontramos los valores de a y b.estado de equilibrio de un sistema que tenga lapropiedad que dos sistemas con el mismo número 100o C 100o C a= y b=− ycestén en equilibrio térmico entre ellos. ye − yc ye − yc"La temperatura de un sistema es una propiedad que Sustituyendo la expresión originaldetermina si un sistema está en equilibrio o no conotros sistemas". t = 100o C ( y − yc ) ( ye − yc )TEMPERATURA Y ESCALAS Para un termómetro a gas a Volumen Constante laLa temperatura se determina por la medición de expresión seríaalguna cantidad mecánica, eléctrica u óptica cuyovalor se correlaciona con la temperatura. t = 100o C ( p − pc )Generalmente la temperatura de una sustancia, sino ( pe − pc )en el termómetro el cual, se pone en contacto íntimo y para un termómetro a gas a presión constante lacon la instancia y adquiere la misma temperatura. expresión seríaSe llama TERMOMETRO, a un aparato que permitemedir la temperatura por medio de su propiedad t = 100o C (V − Vc )termométrica o variable macroscópica que es (Ve − Vc )sensible al estado térmico de la sustancia. Los El termómetro a gas a volumen constante consiste enprincipales termómetros y sus propiedades un balón B 1 lleno de gas (hidrógeno por ejemplo)termométricas se muestran en la tabla. ligado a un tubo en forma de U lleno de mercurio, elTERMOMETRO PROPIEDAD volumen de gas en el balón se mantiene constante TERMOMETRICA subiendo o bajando B 3 hasta que el mercurio en B 2Gas a volumen constante Presión se encuentra en la marca cero.Gas a presión constante VolumenResistencia eléctrica Resistencia eléctricaTermocupla Fuerza electromotrizColumna líquida en un tubo LongitudcapilarConstruyamos una escala de temperatura, para estotomemos como termómetro una columna líquida demercurio en un tubo capilar de vidrio, observamosque la columna de mercurio aumentará cuandoaumenta la temperatura, como la compresibilidad del La presión p que equilibra la presión del gas esmercurio es tan pequeña podemos considerar comosi fuera a presión constante. La relación más simple p = 76 cm + hentre temperatura y longitud de la columna que La experiencia muestra que la dependencia de lapodemos elegir, es una relación lineal de y. presión con relación a la temperatura es lineal cont ( y ) = ay + b esto se obtiene la escala de un termómetro colocando el balón en un baño de hielo en fusión, marcando pc y después repitiendo la operación con vapor de agua, marcando pe. 2
  • Calor y Termodinámica Hugo Medina GuzmánLa distancia entre esos dos puntos se toma, porconvención igual a 100°.Medidas usando el gas hidrógeno como sustanciatermométrica muestra que pe = 1,366 pco sea que la relación con la temperatura, sería: ⎛ p ⎞ Solución. ⎜ p − 1⎟ ⎜ ⎟ Considerando el comportamiento del termómetro ⎠ = 100 C ⎛ p − 1⎞ ot = 100 o C ⎝ c con la linealidad mostrada en la figura. ⎜ ⎟ ⎛ pe ⎞ (1,366 − 1) ⎜ p c ⎝ ⎟ ⎠ Para la presión del gas es 227 mm de Hg ⎜ ⎜p − 1⎟ ⎟ corresponde una temperatura 100 + 273,5 =373,15 K ⎝ c ⎠ Para la presión 162 mm de Hg corresponde 373,15 ⎛ p ⎞ x= 162 = 266,30 K o -6,85°Ct = 273,15⎜ − 1⎟o C ⎜p ⎟ 227 ⎝ c ⎠En esta expresión se ve que cuando la temperatura es Ejemplo 2. En un lugar en que la presión-273.15 la presión es Cero. Como no es posible para atmosférica es 760 mm de mercurio introducimos unla presión tomar valores menores que cero, a este termómetro centígrado en hielo fundente y luego envalor de la temperatura se le torna como origen de vapor de agua hirviendo. El termómetro, maluna nueva escala de temperatura, escala graduado, marca 2° para el primero y 102,5° para elABSOLUTA de Temperaturas en grados KELVIN. segundoT (K ) = t (o C) + 273,15o C a) ¿Qué fórmula de reducción deberemos emplear para calcular la temperatura real en todos losEn realidad para calibrar el termómetro, no se toma casos? Si el termómetro marca 50°,como referencia el punto de fusión del hielo, sino b) ¿cuál es la verdadera temperatura?que se especifica corno "punto fijo patrón” al c) ¿A qué temperatura sería correcta la lectura delllamado "Punto triple de agua", único punto en el termómetro?que coexisten en equilibrio hielo, líquido y vapor de Solución.agua, dándose solamente a la presión de 4,58 mm a) El cero de un termómetro correcto corresponde alHg. 2 del mal graduado, y el 100 corresponde 102,5°.Obteniéndose: El intervalo fundamental está, por tanto, divididot = 0,01 °C en: 102,5 - 2 = 100,5T = 273,16 K Llamando A a la temperatura marcada por el p incorrecto y C a la del centígrado perfecto, laT = 273,16 K pc fórmula será:El termómetro de gas a volumen constante se toma C A−2 =como standard porque es el que experimentalmente 100 100,5mas nos conviene, pues es el que nos da lasvariaciones más pequeñas y también porque cuando C 50 − 2el termómetro contiene gas a baja presión, la b) = ⇒diferencia de lectura en temperatura usando 100 100,5diferentes gases es reducida. 48 × 100 C= = 47,76o CEjemplo 1. Cuando el bulbo de un termómetro de 100,5gas a volumen constante se coloca en un recipiente c) Si la indicación fuese correcta, se verificaría:con agua a 100 oC, la presión del gas es 227 mm de C C−2Hg. Cuando el bulbo se mueve a una mezcla de hielo = ⇒ 100,5C = 100C − 200- sal la presión del gas cae a 162 mm de Hg. 100 100,5Asumiendo el comportamiento ideal, como en la − 200figura, ¿cuál es la temperatura Celsius de la mezcla ⇒C= = −400o Cde hielo – sal? 0,5 Lo cual es imposible, puesto que el cero absoluto es - 273,16 °C, menor temperatura a la que puede aproximar un sistema. Ejemplo 3. Un termómetro centígrado mal graduado marca 8° en el punto de fusión del hielo y 99° en el de ebullición del agua, en un lugar en que la presión 3
  • Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmánatmosférica es 760 mm. Resolver para este 5termómetro las preguntas del problema anterior. a) Como TC = (TF − 32) ySolución. 91) El intervalo fundamental será: 99 - 8 = 91 TC = TK − 273,15 , igualando ambas expresiones,Luego la fórmula de reducción es: encontramos para la temperatura Fahrenheit: C A−8 9 = TF = ⋅ (TK − 255,37 ) = 10340,33º F .100 91 5 C 50 − 8 4200 52) = ⇒C= 46,15 o C b) TC = (TF − 32 ) = 37°C 100 91 91 9 C C −8 53) = ⇒ 91C − 800 = 100C c) TC = (TF − 32 ) = 73,89º C. 100 91 9 800 9⇒C= = 88,9o C d) TF = TC + 32 = −297,4º C . 9 5Otras escalas de temperatura. DILATACION TERMICA.Así como la escala Celsius (Centígrado) y su Efectos frecuentes en los materiales al presentarsecorrespondiente en la escala absoluta Kelvin, existen cambios de temperatura, son variaciones en susotras escalas en el sistema inglés. dimensiones y cambios de estado. En primer lugar consideraremos aquí, las variaciones de dimensiones que ocurren sin cambios de estado. Cuando la temperatura de un cuerpo aumenta, este por lo general se dilata. Una excepción es el agua que se contrae entre 0ºC y 4°C, este comportamiento es crítico en la manera como los lagos y los océanos polares se congelan de la superficie hacia abajo, en lugar de hacerlo del fondo hacia la superficie, ya que el agua mas fría que 4°C se eleva en lugar de hundirse y el agua a 0°C está en la superficie en lugar de estar en el fondo. (La densidad del agua aLa escala FAHRENHEIT, al cero de la escala 4°C es máxima, = 1 g/cm3).Celsius corresponde a 32° F y los 100°Ccorresponden a 9 divisiones de °F, la relación de Expansión lineal.equilibrio es: El cambio de una dimensión lineal de un sólido tal 9 como el largo, el ancho, alto o una distancia entret (°F) = t (°C) + 32°F dos marcas se conoce como la expansión lineal. 5y 5t (°C ) = t (°F) − 32°F 9 Experimentalmente se encuentra, para un amplioLa escala absoluta correspondiente a la escala rango de temperaturas, que el cambio de longitudesFahrenheit es la escala RANKINE. Δl , es proporcional al cambio de temperatura Δt y ( )T (R ) = t o F + 459,67(R ) a la longitud l, de tal manera que podemos escribir: 9T (R ) = T (K ) Δl = α lΔt , donde α es el coeficiente de 5 expansión lineal. Este coeficiente tiene diferentes valores para los diferentes materiales y tiene porEjemplo 4. a) La temperatura de la superficie del unidad l/grado.Sol es de unos 600 ºC. Exprésese esa temperatura en O bien,la escala Fahrenheit. Δlb) Exprese la temperatura normal del cuerpo = α Δthumano 98,6 ºF, en la escala Celsius. lc) exprese la temperatura de pasteurización, 165 ºF, Para encontrar la longitud final después de unen la escala Celsius. dl cambio de temperatura Δt , escribimos = α dt ,d) Exprese el punto normal de ebullición del lOxígeno –183 ºC, en la escala Fahrenheit. e integramos considerando la longitud l para t = t1,Solución. y l para t = t2, siendo t 2 − t1 = Δt 4
  • Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmán dl l t2 Expansión de volumen.∫ = α ∫ dt ⇒ ln l l = α t t2 ⇒ l t l l t1 1 Usando el mismo argumento se demuestra que el cambio de volumen de un sólido de volumen V, al l l elevarse la temperatura Δt esln = α (t 2 − t1 ) ⇒ ln = αΔt l l ΔV = 3αVΔt = β VΔtl Donde β = 3α es el coeficiente de expansión de = e αΔt ⇒ l = le αΔt l volumen. αΔtDesarrollando e en series de Taylor Coeficiente de dilatación lineal de algunos de los⎡ x x x2 x3 ⎤ materiales más usuales.⎢e = 1 + + + + ......... − ∞ < x < ∞ ⎥⎣ 1! 2! 3! ⎦ Sólidos α (° C-1)Obtenemos: Concreto 0,7 – 1,2 x 10-5 ⎡ αΔt (αΔt )2 (αΔt )3 ⎤ Plata 2,0 x 10-5l = le αΔt = l ⎢1 + + + + ....⎥ 1! 2! 3! Oro 1,5 x 10-5 ⎣ ⎦ Invar 0,04 x 10-5Como a es una cantidad muy pequeña podemos no Plomo 3,0 x 10-5considerar los términos con α2, α3, ….. Zinc 2,6 x 10-5y finalmente Hielo 5,1 x 10-5l ´ = l ( 1 + αΔt) = l + Δl Aluminio 2,4 x 10-5 Latón 1,8 x 10-5Expansión de superficie. Cobre 1,7 x 10-5Consideremos ahora el área al elevar la temperatura Vidrio 0,4 – 0,9 x 10-5Δt , para esto tomamos una superficie como se Hierro 1,2 x 10-5muestra en la figura, antes de la expansión su área es Cuarzo 0,04 x 10-5A = ab. Acero 1,2 x 10-5 Líquidos β (° C-1) Glicerina 5,1 x 10-5 Alcohol etílico 7,5 x 10-5 Mercurio 1,8 x 10-5 Bisulfuro de 11,5 x 10-5 carbono Agua (20 ° C ) 2,0 x 10-5a se expande en Δa = α 1 aΔt Ejemplo 5. En el comparador de la figura se mide lab se expande en Δb = α 2 bΔt dilatación de una barra de hierro, de 1 m de longitudLuego a = a + Δa = a(1 + α 1 Δt ) y a 0 °C, obteniéndose para los 50 °C una dilatación de 0,06 cm.b = b + Δb = b(1 + α 2 Δt )A = a b = a (1 + α 1 Δt )b(1 + α 2 Δt ) [A = a b = ab 1 + (α 1 + α 2 )Δt + α 1α 2 Δt 2 ]En esta expresión el último término se puededespreciar ya que α 1 y α 2 son valores muypequeños, y A = ab tenemosA = A[1 + (α 1 + α 2 )Δt ]En el caso de ser un cuerpo isotrópico, loscoeficientes de expansión lineal α 1 y α 2 soniguales a α , luego Calcular: a) El coeficiente de dilatación lineal del hierro.A = A(1 + 2αΔt ) b). Si tiene una sección de 10 cm2 a 0°C, ¿cuáles sonComo A = A + ΔA , tenemos: su sección y su volumen a 100 °C?ΔA = 2αAΔt = γAΔt Solución.Donde γ = 2α es el coeficiente de expansión de L′ − L0 0,060 a) α= =área. L0 × ΔT 100 × 50 −6 = 12 × 10 °C −1 5
  • Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmánb) γ = 2α = 24 × 10 °C −6 −1 = − 83,2 C oComo T ′′ = T + ΔT ′ = 20 − 83,2 = −63,2°CA′ = A0 (1 + γ ΔT ) = 10(1 + 24 ×10 × 100) −6 Ejemplo 8. La varilla de un reloj de lenteja sin = 10,024cm 2 compensar, que bate segundos a 0° C, es de latón.Siendo β = 3α = 36 × 10 C −6 o −1 Averiguar cuánto se retrasa el reloj en un día si seObtenemos: introduce en un ambiente a 200° C. Coeficiente de dilatación del latón: α = 17 x 10-6 °C-1. (ConsiderarV ′ = V0 (1 + β ΔT ) = 10 ×100(1 + 36 × 10 −6 × 100) el péndulo como simple, de longitud la misma que la = 1003,6cm3 varilla.) Solución.Ejemplo 6. Un herrero ha de colocar una llanta l0circular de 1 m de diámetro a una rueda de madera A 0° el semiperíodo (1 s) será: 1 = π gde igual diámetro. Con objeto de poder ajustarla,calienta la llanta hasta conseguir que su radio supere l 0 (1 + αΔT )en 2 mm al de la rueda. Sabiendo que la temperatura A 200°: τ = πambiente es de 20 °C y su coeficiente de dilatación glineal es 12,2 x 10- 6 °C-1, calcular la temperatura en Dividiendo:grados centígrados a que debe calentarse la llantapara cumplir las condiciones expuestas. τ = 1 + αΔT = 1 + 17 × 10 −6 × 200Solución. = 1,0034 s =1,0017 s l ′ = l(1 + αΔT ) = 2πr ′(1 + αΔT ) Como un día dura 86400 segundos el péndulo darád ′ = d (1 + αΔT ) 86400 = 86253 semioscilacionesLuego 1,0017 d′ − d 4 × 10 −3 El péndulo da en 1 día 86 400 - 86 253 = 147ΔT = = = 327 o C semioscilaciones menos que en su marcha correcta: αd 12,2 × 10 − 6 × 1 El reloj se retrasará en 147 s = 2 min 27 s⇒ T = 20 + ΔT = 347o C Ejemplo 9. Una varilla de cobre de densidadEjemplo 7. Un anillo de acero, de 75 mm de uniforme y de sección constante oscila como undiámetro interior a 20 °C, ha de ser calentado e péndulo colgada de uno de sus extremos, con unintroducido en un eje de latón de 75,05 mm de periodo de 1,6 s cuando se encuentra a unadiámetro a 20 °C. determinada temperatura ambiente. Siendo ela) ¿A qué temperatura ha de calentarse el anillo? coeficiente de dilatación lineal del cobreb) ¿A qué temperatura tendríamos que enfriar el 19 x 10- 6 °C-1, determínese el incremento deconjunto para que el anillo saliera él solo del eje? temperatura que habría que darle al ambiente para(Coeficiente de dilatación del acero: 12 x 10-6 °C-1; que el período aumente en 3 milésimas de s.coeficiente de dilatación del latón: 20 x 10-6 °C-1) Solución.Solución. El período a la temperatura inicial T es:a) D′ = D(1 + αΔT ) 1 2 Ml⇒ 75,05 = 75(1 + 12 × 10−6 ΔT ) I 3 2l τ = 2π = 2π = 2π 75,05 − 75 Mgd l 3g⇒ ΔT = = 55o C Mg 75 × 12 × 10 −6 2⇒T ′ = T + ΔT = 20 + 55 = 75o C y a la temperatura T + ΔT será:b) Los diámetros a la temperatura que nos piden 2l(1 + αΔT )deberán ser iguales: T ′ = 2π 3gD(1 + α a ΔT ′) = D ′′(1 + α l ΔT ′) dividiendo los dos:D = diámetro del anillo a 20° C; T′D’’= diámetro del eje a 20 °C; = (1 + αΔT ) ⇒α a y α l , coeficiente de dilatación del acero y del T 2 2latón, respectivamente). Luego: ⎛T′⎞ ⎛ 1,603 ⎞ ⎜ ⎟ −1 ⎜ ⎟ −1 ΔT = ⎝T ⎠ = ⎝ 1,6 ⎠ D − D ′′ = 197ºCΔT ′ = α 19 × 10 −6 D ′′ × 20 × 10 −6 − 75 × 12 × 10 −6 6
  • Calor y Termodinámica Hugo Medina GuzmánEjemplo 10. La densidad del mercurio a 0°C es El volumen del mercurio que se derrama 100 °C es:13,6 g/cm3; su coeficiente de dilatación, 182 x 10- 6 Vx = V ′ − VHg = 5091 - 5043,5 ′°C-l. Calcular la densidad del mercurio a 100 °C.Solución. = 47,5cm3 ρ 13,6ρ′ = = Ejemplo 13. Dos barras de longitudes LA, LB 1 + β ΔT 1 + 182 × 10− 6100 coeficientes de dilatación lineal αA y αB = 13,36 g/cm3 respectivamente se sujetan en un extremo, existiendo en el extremo libre una diferencia de longitud ΔL.Ejemplo 11. Una vasija de cinc (coeficiente de Qué relación debe existir entre sus coeficientes dedilatación lineal: 29 x 10-6 °C-l) está llena de dilatación lineal tal que dicha diferencia de longitudmercurio a 100 °C, teniendo entonces una capacidad se mantenga constante cuando el conjunto se sometede 10 l . Se enfría hasta 0°C. Calcular la masa de a una variación de temperatura.mercurio, medida a 0 °C, que hay que añadir para Solución.que la vasija quede completamente llena.Coeficiente de dilatación del mercurio, 182 x 10-6°C-l.Densidad del mercurio a 0 °C, 13,6 g/cm3.Solución.El volumen de la vasija a 0° quedará determinado Como ΔL = constantepor la ecuación: LB − L A = L B − L A ,V ′ = V (1 − βΔT ) LB − L A = LB (1 + α B ΔT ) − L A (1 + α A ΔT ) V⇒ V= , De aquí: LBα B ΔT = L Aα A ΔT (1 − βΔT )en la que: β = 3 x 29 x10-6°C-1 = 87 x10-6 °C-1 α L Finalmente: B = AV ′ = 1000 cm3 ΔT = (0 − 100) = - 100°C α A LB 1000Por tanto: V = −6 = 991,38 cm3 Ejemplo 14. Un tubo de acero, cuyo coeficiente de 1 + 87 × 10 × 100 expansión lineal es α = 18 x 10-6, contiene mercurio, cuyo coeficiente de expansión de volumen es β =El volumen del mercurio a 0° quedará determinado 180 x 10-6 °C-1; el volumen de mercurio contenidopor la misma ecuación en la que en el tubo es 10-5 m3 a 0 °C, se desea que la columnaβ Hg = 182 × 10 −6 o C −1 : de mercurio permanezca constante para un rango normal de temperaturas. Esto se logra insertando en V′ 1000 la columna de mercurio una varilla de silicio, cuyoVHg = = = 1 + β Hg ΔT 1 + 182 × 10− 6 × 100 coeficiente de dilatación es despreciable. Calcular el volumen de la varilla de silicio.982,13 cm3La diferencia es el volumen que queda por llenar:V - VHg = 991,38 – 982,13 = 9,25 cm3La masa del mercurio que hay que agregar es:ΔM = ρ Hg ΔV = 13,6 x 9,25 = 125,8 gEjemplo 12. Una vasija de Zn está llena demercurio a 0°C, teniendo una capacidad de 5 l .Calcular el volumen de mercurio que se derrama a Solución.100 °C por efecto de la mayor dilatación de este A 0°C, sea Vo el volumen de la varilla de silicio y Vúltimo. (Tomar los datos necesarios del problema el volumen de mercurio, a esta condición tenemosanterior.) l 0 A0 = V + V0Solución. A una temperatura t la sección Ao se incrementa aβ = 87 x10-6 °C-1 Ao (1 +2αt).Vasija: V ′ = V (1 + β ΔT ) = 5000(1 + 87x 10-6 x Similarmente el volumen de mercurio cambia de V a100) = 5043,5 cm3 V(1 +βt).El volumen del mercurio a 100 °C es: Como se requiere que l o permanezca constante, se ′VHg = 5000 (1 + 182 x 10-6 x 100) tiene = 5091 cm3 l o Ao (1 +2αt) = (V + Vo) (1 + 2αt) 7
  • Calor y Termodinámica Hugo Medina GuzmánPor otro lado este volumen es: V(1 +βt ) + Vo d = 4,99 mm (a 0 °C). ¿Hasta que temperatura hayigualando ambas expresiones que calentar al disco para que por el orificio empiece(V + Vo) (1 + 2αt) = V(1 + βt ) + Vo a pasar una bola de diámetro D = 5,00 mm? El ⇒ Vo (1 + 2αt-1) = V(1 + βt - 2αt) coeficiente de dilatación lineal del acero es α = 1,1 x 10-5 K-1.⇒ V0 = V ( β - 2α )t = V( β - 2α ) Solución. 2αt 2α -6 d (1 + αΔT ) = D , reemplazando valores: V (180 - 36)10 = = 4V 4,99(1 + 1,1 × 10 −5 ΔT ) = 5,00 36 x10− 6 = 4 x 10-5m3 Resolviendo encontramos ΔT = 182 , como laLa varilla de silicio ocupa los 4/5 del volumen total temperatura inicial es 0°C, es necesario elevar laa 0°C. temperatura hasta 182°C.Ejemplo 15. Ejemplo 18. Una bola de vidrio de coeficiente de dilatación cúbica es β, se pesa tres veces en el aire yUna barra de acero, α ACERO = 11 × 10 /º C , −6 en un líquido a las temperaturas t1 y t2. Lastiene un diámetro de 3 cm a la temperatura de 25 ºC. indicaciones de las balanzas para las tres pesadasUn anillo de bronce, α BRONCE = 17,10 −6 /º C , son: P, P1 y P2. Determinar el coeficiente de dilatación cúbica del líquido.tiene un diámetro interior de 2,992 cm a la misma Solución.temperatura. ¿A qué temperatura común entrará Supongamos que el volumen de la bola a lajustamente el anillo en la varilla? temperatura t1 es igual a V, entonces a la temperaturaSolución. t2 será igual a V (1 + βΔt), donde Δt = t2 – t1Puesto que los diámetros son cantidades lineales, Escribamos las indicaciones de las balanzas para laséstas se dilatarán con la temperatura. Como la tres pesadas:temperatura inicial es de 25 ºC y la final T dondelos diámetros deben coincidir, se tiene: P = ρVg ,d A = d 0 A [1 + α ACERO (T − 25)] P1 = P − ρ1Vg ,d B = d 0 B [1 + α BRONCE (T − 25)] (1 + βΔt ) P2 = P − ρ 1Vg .Despejando T , encontramos: (1 + β 1 Δt ) d (1 − 25α A ) + d 0 B (25α B − 1) Donde ρ es la densidad del vidrio y ρ1 la densidadT = 0A del líquido (ambas a la temperatura t1). (d 0 Bα B − d 0 Aα A ) En la fórmula de P despreciamos la fuerza de = 472,83 ºC. empuje por ser pequeña la densidad del aire. Por eso no tiene importancia la temperatura a que hizo estaEjemplo 16. Un vaso de vidrio de 75 cm3 se llena pesada.completamente de mercurio a la temperatura De las tres ecuaciones se obtiene β1 en función de P,ambiente de 25 ºC. A la temperatura de 20 ºC, ¿Cuál P1 , P2, t1, t2 y β que son conocidos:será el volumen de mercurio derramado? P2 − P1 + ( P − P1 ) β (t 2 − t1 ) β Hg = 18,21 x 10-5 / ºC, β1 = ( P − P2 )(t 2 − t1 )αV = 9,6 x 10-6 / ºC . En la práctica se suele utilizar una bola de vidrio deSolución. cuarzo cuyo coeficiente de dilatación cúbica esEl volumen derramado V D corresponde a la mucho menor que el coeficiente de dilatación cúbica de la inmensa mayoría de los líquidos. En este casodiferencia entre el volumen de mercurio VHg menos la respuesta se puede simplificar:el volumen del vaso VV , es decir: ( P2 − P1 ) β1 =VD = VHg − VV ( P − P2 )(t 2 − t1 ) = V0 (1 + β Hg ΔT ) − V0 (1 + 3α V ΔT ) Ejemplo 19. Dos láminas, una de acero y otra de = V0 ΔT (β Hg − 3α V ) bronce, de igual espesor a = 0,2 mm, están remachadas entre sí por sus extremos de manera que = (75)(− 5)(18,21 − 2,88) × 10 −5 a la temperatura T1 = 293 K forman una lámina = - 0,058 cm3 bimetálica plana. ¿Cuál será el radio de flexión deSe derraman 0,058 cm3 de mercurio esta lámina a la temperatura T2 = 393 K? El coeficiente de dilatación lineal:Ejemplo 17. En el centro de un disco de acero hay Acero es α 1 = 1,1 × 10 −5 Κ −1 y delun orificio de diámetro Bronce es α 1 = 2 × 10 Κ . −5 −1 8
  • Calor y Termodinámica Hugo Medina GuzmánSolución. Solución. En el esquema se muestran las dilataciones que se producirían en cada barra si no estuvieran soldadas (a) y las deformaciones por estarlo (b).Vamos a suponer que la línea medía de cada láminaconserva la longitud que tendría en estado nocurvado. El radio r se determina por las condiciones aϕ (r − ) = l + Δl 1 , Δl 1 = lα1ΔT , 2 aϕ (r + ) = l + Δl 2 , Δl 2 = lα 2 ΔT , 2 a a(1 + α 1 ΔT )(r + ) = (1 + α 2 ΔT )(r − ) , 2 2Por consiguiente a[2 + (α1 + α 2 )ΔT ]r= = 22,5cm 2(α 2 − α1 )ΔT También se tiene que la distribución de fuerzas elásticas que igualan la longitud del sistema, porFATIGA DE ORIGEN TÉRMICO. simetría se puede considerar de la siguiente formaConsideremos una barra de sección A sujeta en siguiente:ambos extremos F2 = 2 F1Al aumentar la temperatura Δt , debería producirse De este esquema tenemos las siguientes relacionesun cambio de longitud geométricas entre las deformaciones:Δl Dividiendo esta expresión entre L0 , tenemos una = αΔtl relación entre las deformaciones unitariaspero como no se puede dilatar por estar sujeta, la ΔL2 ΔL 2 ΔL1 ΔL1tensión debe aumentar hasta un valor suficiente para − = +producir el mismo cambio pero de sentido inverso, L L L Leste esfuerzo es: Como:F Δl ΔL1 ΔL1 F =Y , reemplazando obtenemos: = α 1 Δt y = 1A l L L AY1F ΔL2 ΔL 2 F = YαΔt = α 2 Δt y = 2A L L AY2 Reemplazando se tiene:Ejemplo 20. Una platina de cobre se suelda con dosplatinas de acero, como se muestra en la figura. Las F1 F2tres platinas son iguales, teniendo exactamente la α 1 Δt − = α 2 Δt + AY1 AY2misma longitud a temperatura ambiente. Calcular lasfatigas que se producirán al aumentar la temperatura Con F2 = 2 F1en Δ t grados. F 2 F1 α 1 Δt − 1 = α 2 Δt + AY1 AY2 9
  • Calor y Termodinámica Hugo Medina GuzmánDespejando F1 A Resolviendo (1) y (2) obtenemos (l Aα A + l Bα B ) 40 Δl A =F1 (α 2 − α 1 )Δt l Y (1 + B A ) =A ⎛1 2⎞ l A YB ⎜ + ⎟ ⎜Y Y ⎟ (l α + l Bα B ) 40 ⎝ 1 2 ⎠ Δl B = A A l YY las fatigas serán: (1 + A B ) F1 (α 2 − α 1 )Δt l B YAS1 = = y Reemplazando valores tenemos: A ⎛1 2⎞ ⎜ + ⎟ ⎜Y Y ⎟ Δl A = 2,1 x 10 -2 cm y ⎝ 1 2 ⎠ Δl B = 2,1 x 10-2 cm. F 2F 2(α 2 − α 1 )ΔtS2 = 2 = 1 = y el esfuerzo en cada varilla A A ⎛1 2⎞ F YA Δl A YB Δl B ⎜ + ⎟ ⎜Y Y ⎟ = = ⎝ 1 2 ⎠ A lA lBNota: Por sencillez de exposición, se ha omitidoprecisar que al determinar las deformaciones dina 2,1 x 10 -2 cm 11 = 10 x 10 x ΔL1 ΔL 2 cm 2 25 cmunitarias y se han despreciado los dina L L = 0,84 x 10 9términos de segundo orden. cm 2 ΔL1 ΔL1 F ≈ = 1 y Ejemplo 22. Una barra de bronce se enfría enL + ΔL1 L AY1 nitrógeno líquido hasta la temperatura T1 = 72 K. ΔL 2 ΔL 2 F Así enfriada, esta barra se introduce ajustadamente ≈ = 2 en la abertura rectangular de una abrazadera rígida,L + ΔL2 L AY2 que está a la temperatura T2 = 293 K, de manera queDebido a L >> ΔL1 y L >> ΔL2 . la holgura entre los extremos de la barra y los planos correspondientes de la abertura de la abrazadera puede considerarse nula. ¿Qué presión ejercerá laEjemplo 21. Dos varillas del mismo diámetro, una barra sobre la abrazadera cuando se caliente hasta lade bronce de 25 cm. de longitud, y la otra de acero temperatura T2 = 293 K? El coeficiente de dilataciónde 50 cm. De longitud se colocan extremo a extremo lineal del bronce es α = 1,75 x10-5 K-l y el módulo dey aseguradas entre dos soportes rígidos. Young Y = 1,04 x 1011 Pa.La temperatura de las varillas se eleva 40°C. Solución.¿Cuál es el esfuerzo en cada varilla? Al enfriarse, la barra se contrae. Su longitud se hace [ ] 11 −2Módulo de Young del acero 20 x 10 dina cm igual a l = l 0 1 − α (T2 − T1 ) , de donde 11 −2Módulo de Young del bronce: 10 x 10 dina cm (l 0 − l )Coeficiente de dilatación térmica acero 1,2x10 −5 = α (T2 − T1 ) , Después de calentar lapor °C l0Coeficiente de dilatación térmica bronce 1,8x10 −5 barra, apretada en la abrazadera, su longitud siguepor °C siendo l , y la compresión (l − l 0 ) estará ahoraSolución. motivada por las fuerzas elásticas.Al elevarse la temperatura las varillas deberían (l 0 − l ) pexpandirse si les fuera permitido, pero al no ser así Escribamos la ley de Hooke: = , dondesufren esfuerzo de compresión, las fuerzas en las dos lo Yvarillas debe ser la misma. Por lo tanto, la unión p es la presión que ejerce 1a abrazadera sobre ladebe de desplazarse hasta alcanzar el equi1ibrio. barra en la dirección del eje de ésta.Entonces los esfuerzos son iguales. (l 0 − l ) F YA Δl A YB Δl B Comparando las expresiones de hallamos = = (1) lo A lA lB que 1a presión que buscábamos:Pero la longitud (Δl A + Δl B ) es igual a la p = Yα (T2 − T1 ) = 4 × 108 Pa .cantidad que no se deje expandir por dilatación Conviene advertir que la presión no depende de laΔl´A + Δl´B = l Aα AΔt + l Bα B Δt longitud de la barra.Luego:Δl A + Δl B = ( l Aα A + l Bα B ) 40 (2) Ejemplo 23. Entre dos paredes se encuentra una barra, de sección A, compuesta de dos partes de 10
  • Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmánigual longitud l/2 que tienen los coeficientes de l 1 = l 2 [1 + α (T1 − T2 )] , (l1 − l 2 ) = α (T − T2 ) ,dilatación lineal αl y α2 y los módulos de Young Yl y 1 l2Y 2. A 1a temperatura T1 los extremos de la barraapenas tocan las paredes. Donde l 1 y l 2 son las longitudes de la¿Con qué fuerza presionará dicha barra sobre las circunferencia interna a las temperaturas T1 = 573 Kparedes si se calienta hasta la temperatura T2. y T2= 291 K. Despreciando la disminución delDespréciese la deformación de las paredes. ¿Cuánto diámetro del cilindro de acero bajo la acción de losse desplazará la junta de las partes de la barra? esfuerzos compresoras por parte del anillo,Solución. consideraremos que, después de enfriarse el anillo,Cuando la barra se calienta desde la temperatura T1 la longitud do su circunferencia interna sigue siendohasta la temperatura T2, sin paredes que la limiten, se igual a l1 y el anillo resulta estirado por las fuerzasalarga en la magnitud elásticas. Como en nuestro caso el grosor del anillo ⎛l⎞ es pequeño en comparación con su diámetro seΔl = Δl 1 + Δl 2 = ⎜ ⎟(α1 + α 2 )(T2 − T1 ) . puede suponer que el alargamiento relativo de todas ⎝2⎠Con las paredes limitadoras la barra calentada (l 1 − l 2 ) sus capas es el mismo e igual a .resulta comprimida en esta misma magnitud. Por la l2ley de Hooke (la fuerza compresora F es la misma Entonces la extensión del anillo se puede relacionaren ambas partos de la barra) con el esfuerzo de tracción por medio de la ley de l1F l 2 F l ⎛ 1 1 ⎞ F (l 1 − l 2 ) FΔl = + ≈ ⎜ + ⎟ = Y1S Y2 S 2 ⎜ Y1 Y2 ⎟ A Hooke: , donde F es el esfuerzo do ⎝ ⎠ l2 YAEsta relación, en términos generales, es aproximada, tracción; A, la sección del anillo, y Y, el módulo deya que las longitudes l1 y l2 de !as partes de la barra Young. En definitiva se obtiene quea la temperatura T2 las hemos sustituido por su F = Yα (T1 - T2) = 3360 N.longitud l/2 a la temperatura T1. No obstante, se Esta solución no es exacta totalmente debido o sólocomprende fácilmente que el error relativo que se a que hemos sustituido la deformación nocomete al determinar Δl por esta f6rmula será del homogénea del anillo por su alargamiento uniforme,orden do Δl/l y, por lo tanto, nuestra aproximación sino también a que las tensiones radiales provocan en el anillo la variación de la longitud de sues muy buena (Δl << l) De las relaciones antes circunferencia. Cuanto menor sea el espesor delescritas hallamos. anillo en comparación con su diámetro, tanto (α 1 + α 2 ) menores serán las correcciones a introducir por estasF= Y Y A(T − T ) . (Y1 + Y2 ) 1 2 2 1 circunstancias.El desplazamiento Δl de la junta de las partes de la Ejemplo 25. Un tubo de acero de 28,0 m debarra se puedo determinar tomando en consideración longitud, se instaló cuando la temperatura era de 15ºque éste se compone del desplazamiento debido a la C, se usa para transportar vapor sobrecalentado a ladilatación (por ejemplo, de la primera parte de la temperatura e 110º C. El coeficiente de expansiónbarra) y del desplazamiento inverso causado por lineal del acero es 1,2 x 10-5 K-1, el módulo decompresión: Young es 2,0 x 1011 Pa, y el esfuerzo de ruptura es l⎡ F ⎤ 5,0 x 108 Pa.Δl = ⎢α1 (T2 − T1 ) − Y A ⎥ 2⎣ a) El tubo puede expandirse libremente cuando 1 ⎦ transporta vapor. ¿En cuánto incrementa su l (α1Y1 − α 2Y2 ) longitud? = (T2 − T1 ) b) A la temperatura de 15º C la tubería se aseguró al 2 (Y1 + Y2 ) piso de concreto tal que se impide la expansión lineal. ¿Cuál es la relación entre el esfuerzo térmicoEjemplo 24. Un anillo de latón de varios en el tubo y el esfuerzo de ruptura del acero, cuandocentímetros de diámetro se calienta hasta la se transporta el vapor?temperatura T1 = 573 K y se encaja ajustadamente Solución.sobre un cilindro de acero cuya temperatura es T2 = a)291 K. ¿Qué esfuerzo de rotura experimentará el α =1,2 x 10-5 K-1, L = 28,0 manillo una vez enfriado hasta 291 K? .El coeficiente Δθ = 110 − 15 = 95º C .de dilatación lineal del latón es α = 1,84 x 10-6 K-l y ΔL = αLΔθsu módulo de Young Y = 6,47 x 1010 Pa. Lasdimensiones de la sección del anillo son 2 x 5 mm2. ( ) ⇒ ΔL = 1,2 × 10 −5 (28)(95) = 3,192 x 10-2 mSolución. ΔL F SAl ser calentada, la longitud de la circunferencia b) = =interna del anillo aumentó: L YA Y 11
  • Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmán ΔL ⎛ αLΔθ ⎞ entre la cantidad de trabajo hecho contra la fricción⇒ S =Y = Y⎜ ⎟ = YαΔθ y el calor producido. L ⎝ L ⎠ En 1843 James Prescott Joule empleó un aparato enEste es el esfuerzo térmico el cual el agua se agitaba por un conjunto de paletas ( )S = 2,0 × 1011 1,2 × 10 −5 (95) = 2,28 x 108 Pa giratorias y la energía mecánica suministrada para rotar las paletas podía medirse con aproximación. El esfuerzo térmico 2,28 × 10 8 efecto térmico del trabajo mecánico hecho sobre el = = 0,456 agua, era la elevación de la temperatura. Elesfuerzo de rúptura 5,0 × 10 8 experimento de Joule demostró que la elevación de la temperatura era proporcional a la cantidad deEjemplo 26. Una esfera hueca del metal está trabajo hecho sobre el agua. Por consiguiente elflotando en el agua a 0 ºC. Si la temperatura del trabajo realizado en agitar el agua es equivalente alagua se eleva a θ ºC, la esfera se sumerge calor añadido al agua.completamente en el agua sin hundirse. Desprecie la A pesar de que no necesitamos unidades especialesexpansión de la esfera. Encuentre la expresión para para el calor, una vez reconocido que es una formadeterminar coeficiente de dilatación cúbica del de energía medible en Joules, o cualquier otraagua. unidad de energía, se sigue utilizando la unidadSolución. histórica del calor, es decir la CALORIA. La caloríaDados: se define cuantitativamente como la cantidad de ρ e , la densidad de la esfera, energía necesaria para elevar la temperatura de un gramo de agua desde 14,5°C a 15,5°C. La cantidadρ0 , la densidad del líquido de energía para elevar la temperatura de unβ, Coeficiente de dilatación cúbica del líquido kilogramo de agua desde 14,5°C a 15,5°C es la kilocaloría. La “caloría” utilizada para medir el( ρ θ ) agua = ( ρ e ) esfera equivalente energético de los alimentos es realmente la kilocaloría. En el sistema ingles la unidad es el British thermal unit (BTU)Como Vaθ = Va 0 (1 + βθ ) ⇒ 1 BTU = 252 calorías El equivalente exacto entre el trabajo realizado y elma ma 1 1 = (1 + βθ ) ⇒ = (1 + βθ ) ⇒ calor añadido está dado por la relación experimental.ρθ ρ0 ρθ ρ0 1 cal = 4,186 Joules 1 BTU = 778 libra pie Esta relación es conocida como el EQUIVALENTEρθ = ρ 0 (1 − βθ ) MECANICO DE CALOR ρ 0 (1 − βθ ) = ρ e CAPACIDAD CALORIFICA. CALORIgualando ESPECÍFICO La cantidad de calor necesario para producir un aumento de temperatura en una cierta masa depende ρ0 − ρeFinalmente β= de la sustancia. Definamos primero: θρ e La CAPACIDAD CALORIFICA. (C) de un cuerpo es la cantidad de calor requerido para elevar la temperatura de un cuerpo en un grado,CALOR Y TRABAJOCuando dos sistemas a diferente temperatura se dQ C=hallan en contacto térmico, el calor fluye del sistema dTmas caliente al más frío, hasta que alcanzan el Sus unidades son: Caloría/°C, BTU/°F.equilibrio a una temperatura común, la cantidad de Luego, definamos:calor que sale de un cuerpo es igual a la cantidad de El CALOR ESPECIFICO (c) es la capacidadcalor que entra en el otro. Inicialmente se elaboró la calorífica por unidad de masa:teoría del calórico, para explicar este flujo, esta C dQ / dT dQsustancia no podía ser creada ni destruida, pero si c= = =transferida de un cuerpo a otro. La teoría del m m mdtcalórico servía para describir la transferencia de Sus unidades son cal/gr x °C ó BTU/libra x °Fcalor, pero se descartó al observar que el calórico se kcal calcreaba por fricción y no habría una desaparición Observe que: 1 =1correspondiente de ca1órico en ningún otro sitio. kg°C g°CEn 1778 el Conde Rumford, como punto de sus Y que:observaciones en el taladro de cañones propuso que 1 BTU 250 cal cal kcal = =1 =1él calor debe estar asociado con el movimiento. Pero 1 libra°F 453,6 g 5/9°C g°C kg°Cno se estableció sino hasta medio siglo después de O sea que el valor numérico del calor específico esesta observación que había una relación definida el mismo en esas tres unidades. 12
  • Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmán m1c1 (t − t1 ) = m2 c 2 (t − t 2 )A pesar que el calor específico de la sustancias varía o bienligeramente con la temperatura, será adecuado paranuestra discusión, asumir que el calor específico es − m1c1 (t − t1 ) + m2 c 2 (t − t 2 ) = 0constante independiente de la temperatura. Luego o sea: Calor perdido = calor ganadopodemos determinara el calor Q necesario para m1c1t1 − m1c1t = m2 c 2 t − m2 c 2 t 2elevar la temperatura de la masa m de una sustancia Δt grados, de la siguiente manera: m1c1t1 + m2 c 2 t 2 = (m1c1 + m2 c 2 )t Despejando el valor de la temperatura final t:Q = m ∫ cdt = mc(T f − Ti )mcΔT Tf m1c1t1 + m2 c 2 t 2 Ti t= m1c1 + m2 c 2 CALOR ESPECIFICO Determinación del calor específico de un sólido Aluminio 0,212 Hielo 0,48 La experiencia se realiza en un calorímetro Acero 0,11 Carbón 0,3 consistente en un vaso (Dewar) o en su defecto Bronce 0,090 Concreto 0.16 convenientemente aislado. El vaso se cierra con una Cobre 0,094 Vidrio 0,12 - 0,20 tapa hecha de material aislante, con dos orificios por Oro 0,031 Parafina 0,69 los que salen un termómetro y el agitador. Plata 0,056 Caucho 0,48 Platino 0,032 Madera 0,3 – 0,7 Plomo 0,031 Agua 1,00 Tungsteno 0,032 Alcohol 0,6 Zinc 0,094 Petróleo 0,51 Agua de mar 0,93La capacidad calorífica depende del tipo de procesoque se realiza durante la transferencia de calor. Se pesa una pieza de material sólido de calorTiene valores definidos solamente para procesos específico c desconocido, resultando m su masa. Sedefinidos. pone la pieza en agua casi hirviendo a la temperatura T.En particular manteniendo la presión constante se Se ponen M gramos de agua en el calorímetro, sedenomina capacidad calorífica a presión constante agita, y después de un poco de tiempo, se mide suCp y si se mantiene el volumen constante se temperatura T0. A continuación, se deposita la piezadenomina capacidad calorífica a volumen constante de sólido rápidamente en el calorímetro. Se agita, yCv. En general Cp y Cv son diferentes y se después de un cierto tiempo se alcanza laanalizarán con algún detalle más adelante. temperatura de equilibrio Te.Ejemplo 27. Dos sustancias m1 y m2 de calores mc es la masa del vaso del calorímetro y c c suespecíficos c1 y c2 están a temperatura t1 y t2 calor específico.respectivamente (t1 > t2). mt la masa de la parte sumergida del termómetro yCalcular la temperatura final que alcanzan alponerlos en contacto, sabiendo que no se presentan ct su calor específicocambios de estado. ma la masa de la parte sumergida del agitador y c aSolución. su calor específico M la masa de agua que contiene el vaso, su calor específico es la unidad Por otra parte: Sean m y c las masa y el calor específico del cuerpo problema a la temperatura inicial T. En el equilibrio a la temperatura Te se tendrá la siguiente relación. (M + k )(Te − T0 ) + mc(Te − T ) = 0 La capacidad del calorímetro dada por k = mc cc + mt ct + ma c a , se le denominaPor conservación de energía: equivalente en agua del calorímetro, y se expresa en∑Q = 0 gramos de agua, y es una constante para cada calorímetro.Como: Q = mc (t f -tf) El calor específico desconocido del será por tantoSe tiene: 13
  • Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmánc= (M + k )(Te − T0 ) Solución. Tomemos como calor específico del aluminio m(T − Te ) c = 0,215 cal/g ºC, entoncesEn esta fórmula tenemos una cantidad desconocida Q = mcΔt = 3000 x 0,215 x (50 - 20) = 1,935 x 104k, que debemos determinar experimentalmente. calDeterminación del equivalente en agua del Ejemplo 30. Un trozo de 300 g de cobre se calientacalorímetro en un horno y en seguida se deja caer en unSe ponen M gramos de agua en el calorímetro, se calorímetro de 500 g de aluminio que contiene 300 gagita, y después de un poco de tiempo, se mide su de agua. Si la temperatura del agua se eleva de 15ºCtemperatura T0. A continuación se vierten m gramos a 30ºC ¿cuál era la temperatura inicial del cobre?de agua a la temperatura T. Se agita la mezcla y (Suponga que no se pierde calor.) ¿Cuánto calor sedespués de un poco de tiempo, se mide la debe agregar a 20 g de aluminio a 20ºC para fundirlotemperatura de equilibrio Te. completamente?Como el calorímetro es un sistema aislado Solución.tendremos que cAl = 0,215 cal/g.ºC(M + k )(Te − T0 ) + m(Te − T ) cH2O = 1 cal/g.ºC cCu = 0,0924 cal/g.ºC (T − Te ) Qabsorbido = 300 x 1 x (30 - 15) + 500 x 0,215 x (30 - ⇒ k= m−M (Te − T0 ) 15) Qcedido = 300 x 0,0924 x (ti - 30) EntoncesEjemplo 28. Calcule el calor específico de un metal 300 x 1 x (30 - 15) + 500 x 0,215 x (30 - 15) = 300 xcon los siguientes datos. Un recipiente 0,0924 x (ti - 30), de donde la temperatura inicial del(“calorímetro”) hecho de metal cuya masa es 3,64 Cobre resulta ser ti = 250,51 ºC.kg contiene 13,6 kg de agua. Un pedazo de metal de Para saber las calorías necesarias para fundir 201,82 kg de masa, del mismo material del recipiente y gramos de aluminio a 20 ºC, de las tablas obtenemoscon temperatura de 176,7 ºC se echa en el agua. El para el calor de fusión:agua y el recipiente tienen inicialmente una Lf (Al) = 3,97x105 J/kg a t = 660 ºC, de modo que eltemperatura de 15,5 ºC y la temperatura final de todo calor necesario seráel sistema llega a ser de 18,33 ºC. Como 1 J = 0,24 cal de modo queSolución. Lf (Al) = 3,97 x 102 x 0,24 = 95,28 cal/gDebido a que se trata de un problema de intercambiode calor, el calor entregado por el metal = calor Entonces Q = mcΔt + mLf Q = 20 x 0,215(660 - 20) + 20 x 95,28 = 4657,6 calrecibido por el (agua y recipiente). Llamando Q1 alcalor liberado por el metal, Q 2 , Q3 a los recibidos Ejemplo 31. Una moneda de cobre de 3 g a 25ºC, cae al piso desde una altura de 50 m.por el agua y recipiente respectivamente: a) Sí 60% de su energía potencial inicial se gasta en Q1 + Q 2 + Q3 = 0. aumentar su energía interna, determine suConsiderando que el metal y recipiente tienen un temperatura final.calor específico c m , reemplazando en la expresión b) ¿Depende el resultado de la masa del centavo? Explique.anterior:Q1 = mmetal cm (T final − Tmetal ) , Solución. cCu = 0,0924 cal/g ºCQ2 = magua cagua (T final − Tagua ) y mCu = 3 g a) La energía potencial seráQ3 = mrecipientecm (T final − Trecipiente ) U = mgh = 0,003 x 9,8 x 50 = 1,47 J = 0,35 cal Entoncesmmcm (T f − Tm ) + ma ca (T f − Ta ) + mr cm (T f − Tr ) = 0 , Q 0,6 × 0,35 t f = ti + = 25 + = 25,76 ºCEs decir: mcCu 3 × 0,0924 − ma ca (T f − Ta ) b) No depende de m: porque Q es proporcional m y cm = mm (T f − Tm ) + mr (T f − Tr ) el aumento de temperatura es inversamente proporcional a m. −2 ⎡ cal ⎤ = 1,38 × 10 ⎢ ⎥. Ejemplo 32. Para medir el calor específico de un ⎣g º C⎦ líquido se emplea un calorímetro de flujo. Se añade calor en una cantidad conocida a una corriente delEjemplo 29. ¿Cuántas calorías se requieren para líquido que pasa por el calorímetro con un volumenelevar la temperatura de 3 kg de aluminio de 20ºC a conocido. Entonces, una medición de la diferencia50ºC? de temperatura resultante entre los puntos de entrada y salida de la corriente de líquido nos permite 14
  • Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmáncalcular el calor específico del líquido. Un líquido de Volumen definido.0,85 g/cm3 de densidad fluye a través de uncalorímetro a razón de 8,2 cm3/s. Se añade calor por Puede ser orgánico o inorgánicomedio de un calentador eléctrico en espiral de 250W, y se establece una diferencia de temperatura de15oC en condiciones de estado estacionario entre lospuntos de entrada y salida del flujo. Halle el calorespecífico (c) del líquido.Solución. •El flujo de calor Q = 250 W que se pone produceuna elevación de temperatura ΔT = 15oC. LÍQUIDO. Incrementando la temperatura el sólido se va "descomponiendo" hasta desaparecer laEl calor absorbido por una masa m es Q = mcΔT , estructura cristalina alcanzándose el estado líquido,Como es masa que fluye y la entrada de calor es cuya característica principal es la capacidad de fluirestacionariamente y adaptarse a la forma del recipiente que lo contiene. En este caso, aún existe una cierta ligazón entre losdQ • dm átomos del cuerpo, aunque de mucha menor =Q= cΔT . intensidad que en el caso de los sólidos. El estadodt dt líquido presenta las siguientes características:De aquí • Fuerza de cohesión menor (regular) Qc= , como m = ρV , dm Movimiento-energía cinética. ΔT dt Sin forma definida.dm dV g =ρ = 0,85 × 8,2 = 6,97dt dt s Toma el volumen del envase que lo contiene.Reemplazando valores, tenemos: En frío se comprime. 250 Jc= o −3 = 2391 o 15 C × 6,97 × 10 kg C Posee fluidez.FASES DE LA MATERIA Puede presentar fenómeno de difusión.Otro de los efectos comunes de los cambios detemperatura son los cambios de estado de losmateriales (sólido, líquido, gaseoso, plasma y CBE).SÓLIDO. Manteniendo constante la presión, a bajatemperatura los cuerpos se presentan en forma sólidatal que los átomos se encuentran entrelazadosformando generalmente estructuras cristalinas, loque confiere al cuerpo la capacidad de soportarfuerzas sin deformación aparente. Son, por tanto, Gaseoso. Por último, incrementando aún más laagregados generalmente rígidos, duros y resistentes. temperatura se alcanza el estado gaseoso. LosEl estado sólido presenta las siguientes átomos o moléculas del gas se encuentrancaracterísticas: virtualmente libres de modo que son capaces de ocupar todo el espacio del recipiente que lo contiene,Fuerza de cohesión (atracción). aunque con mayor propiedad debería decirse que se distribuye o reparte por todo el espacio disponible.Vibración. El estado gaseoso presenta las siguientes características:Tiene forma propia. Fuerza de cohesión casi nula.Los sólidos no se pueden comprimir. Sin forma definida.Resistentes a fragmentarse. 15
  • Calor y Termodinámica Hugo Medina GuzmánSin volumen definido.Se puede comprimir fácilmente.Ejerce presión sobre las paredes del recipiente quelos contiene.Los gases se mueven con libertad. CONDENSADO DE BOSE-EINSTEIN (CBE). Otro estado de la materia es el condensado de Bose- Einstein (CBE), predicho en 1924 por Satyendra Nath Bose y Albert Einstein, y obtenido en 1995 (los físicos Eric A. Cornell, Carl E. Wieman y Wolfgang Ketterle compartieron el Premio Nobel de Física de 2001 por este hecho). Este estado se consigue a temperaturas cercanas al cero absoluto y sePLASMA. Al plasma se le llama a veces "el cuarto caracteriza porque los átomos se encuentran todos enestado de la materia", además de los tres "clásicos", el mismo lugar, formando un superátomo.sólido, líquido y gas. Es un gas en el que los átomosse han roto, que está formado por electrones La figura siguiente muestra la Condensación denegativos y por iones positivos, átomos que han Bose-Einstein a 400, 200, y 50 nano-Kelvinsperdido electrones y han quedado con una cargaeléctrica positiva y que están moviéndoselibremente.La lámpara fluorescente, muy usada en el hogar yen el trabajo, contiene plasma (su componenteprincipal es el vapor de mercurio) que calienta yagita la electricidad, mediante la línea de fuerza a laque está conectada la lámpara. El Condensado de Bose-Einstein se ve como unaLa línea hace positivo eléctricamente a un extremo y pequeña masa en el fondo de una trampa magnética.el otro negativo causa que los iones (+) se aceleren Esta masa de condensado es como una gota de aguahacia el extremo (-), y que los electrones (-) vayan que se condensa del aire cuando éste es enfriado.hacia el extremo (+). Las partículas aceleradas ganan Cuando se forma inicialmente, el condensado estáenergía, colisionan con los átomos, expulsan rodeado todavía de átomos normales de gas, así queelectrones adicionales y así mantienen el plasma, parece la semilla dentro de una cereza.incluso aunque se recombinen partículas. Lascolisiones también hacen que los átomos emitan luzy, de hecho, esta forma de luz es más eficiente quelas lámparas tradicionales. Los letreros de neón y lasluces urbanas funcionan por un principio similar ytambién se usan (o usaron) en electrónica.La lámpara de plasma (también llamada "globo de ¿Para qué sirve la Condensación de Bose-Einstein?plasma" o "esfera de plasma") es un objeto Es muy reciente y sabemos muy poco a cerca de ellanovedoso, que alcanzó su popularidad en los años para dar una respuesta. Es algo así como si1980. Fue inventada por Nikola Tesla tras su viviéramos en una isla tropical hace 400 años y unexperimentación con corrientes de alta frecuencia en pedazo de iceberg llegara a la costa. Sin que nadieun tubo de cristal vacío con el propósito de hubiera visto hielo antes, pasaría algún tiempo antesinvestigar el fenómeno del alto voltaje. de que alguien se diera cuenta de que puede usarse para hacer helados. 16
  • Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmán Sublimación. También bajo ciertas condiciones de temperatura y presión se puede pasar directamente de sólido a gas son pasar por líquido y se denomina sublimación, Ls (calor de sublimación). Ejemplo 33. Se añade calor a una sustancia pura en un recipiente cerrado a una razón constante. El gráfico muestra la temperatura de la sustancia como una función del tiempo. Si Lf es el calor latente deTambién hay ciertos problemas de ingeniería que fusión y Lv es el calor latente de vaporización. ¿Cuáldeben ser resueltos antes de que la CBE pueda es el valor de la relación Lv/Lf para esta sustancia?usarse para mucho.Sin embargo las similitudes entre CBE y la luz deláser sugieren que probablemente lo sea. Solución. La relación de los tiempos empleados en absorber calor para la vaporización y la fusión es 5/2, como se trata de la misma masa en ambos casos, esta relaciónCAMBIOS DE ESTADO - CALOR LATENTE será igual a la relación de los calores latentes; estoCuando la temperatura de un cuerpo aumenta por LV 5causa de un calor suministrado, se origina un es: =aumento de la energía cinética del movimiento de LF 2las moléculas. Cuando un material pasa de la formalíquida a la fase gaseosa, las moléculas, que, por Ejemplo 34. Determinar el calor necesario paracausa de sus atracciones naturales se mantenían vaporizar 200 gr. De hielo que se encuentra a laoriginalmente en contacto, se alejan más de las otras. temperatura de –5°C.Esto requiere se realice un trabajo en contra de las Solución.fuerzas de atracción, es decir hace falta que se Como ocurren cambios de estado debemos calcularsuministre una energía a las moléculas para las calorías requeridas en cada proceso.separarlas. De este modelo podemos deducir que un Utilicemos los siguientes valores:cambio de fase de líquido a gas requiere calor aún Calor específico del hielo: 0,5 cal/g°Ccuando no se produzca elevación de la temperatura, Calor específico del agua: 1 cal/g°Clo mismo sucede para sólido a líquido. Calor de fusión del agua: 80 cal/gPara sustancias puras", los cambios de fase se Calor de vaporización del agua: 540 cal/gproducen a cualquier presión, pero a determinadastemperaturas. Se requiere una determinada cantidad Calor para elevar la temperatura del hielo de –5°C ade calor para cambios de fase de una cantidad de 0°Csustancia dada. Q1 = m x c x Δ t = m x 0,5 x [0 - (-5)]Esto es, el calor es proporcional a la masa de la = m x 2,5 calsustancia.Q = mL Calor para pasar de hielo a agua (fusión)Donde L es una constante característica de la Q2 = m x L = m x 80 calsustancia y de cambio de fase que se produce. Calor para elevar la temperatura del Agua de 0°C aSi el cambio es de sólido a líquido, será L f (calor 100°Clatente de fusión) y si el cambio el de líquido a gas, Q3 = m x c x Δ t = m x 1 x (100-0)será Lv (calor latente de vaporización). = m x 100 calEn el caso del agua a presión atmosférica la fusión Calor para pasar de Agua a Vapor (vaporización)se produce a 0°C y L f vale 79,7 cal/gr. Y la Q4 = m x 540 calvaporización se produce a 100°C y Lv vale 539.2 Finalmente,cal/gr.Similarmente ocurre para los procesos inversos de Q= ∑Q = Q 2 + Q2 + Q3 + Q4solidificación y condensación. = m(2,5+80+100+540) = 200 x722,5 = 144500 cal. 17
  • Calor y Termodinámica Hugo Medina GuzmánEjemplo 35. Calcular la temperatura final cuando se Calor necesario para convertir el Hielo en Agua amezclan 2 kg. de hielo a -20°C con 10 kg. de agua a °C.60°C. Q1 = mH x cH x Δ t = 0, 55 x 16 = 4,4 kcalSolución. Q 2 = mH x L = 0,5 x 80 = 40,0 kcalComo ocurren cambios de estados es precisoprimero, hacer un balance de energía para QH = ∑ Q = Q1 + Q 2 = 44,4 kcal (1)determinar si el agua se convierte en hielo o el hielo Calor liberado para llevar el Agua a °C (incluyendoen agua, u ocurre una conversión parcial. el recipiente)Trabajemos en Kilocalorías utilizando los siguientes Q’1 = ma x ca x Δ t = 1 x 1 x 20 = 20,0 kcalvalores:Calor específico del hielo : 0,55 kcal/kg °C Q’2 = mc x cc x Δ t = 0,5 x 0,09 x 20 = 0,9 kcalCalor específico del agua : 1Calor de fusión del agua : 80 kcal/kg °C kcal/kg Qac = ∑ Q´ = Q’1 + Q’2 = 20,9 kcal (2) Comparando (1) y (2), como Qac < Q H , nos indicaCalor necesario para convertir el hielo en que no se dispone de las calorías necesarias paraagua a 0 °C. convertir el hielo en agua a °C. Pero, como Qac >Q1 = mH x cHx Δ t = 2 x 20 = 22 kcal Q 1 si se elevara la temperatura del hielo a 0°C yQ2 = mH x L = 2 x 80 = 160 kcal solo parte del hielo se podrá convertir en agua.QH = ∑Q = Q 1 + Q2 = 182 kcal (1) Luego, la temperatura final es 0°C, t = 0°C ¿Cuáles serán las masas finales de hielo y Agua? La energía que resta después de elevar laCalor liberado al llevar el agua de 60°C a 0ºC. temperatura del hielo a 0°C es:Q 1 = max cH Δ t = ´ 10 x 1 x 60 = 600 kcal Qac - Q1 = 20,9 – 4,4 = 16,5 kcal.Qa = ∑ Q = Q = 600 kcal 1 (2) Con estas calorías se convertirá en agua: Q = MxL ⇒ 16,5 = M x 80 ⇒ M = 0,21 Kg.Comparando (1) y (2), como Qa > QH, nos indica que y se quedarán como hielo a 0°C:el agua dispone de las calorías necesarias para (0,50 – 0,21) = 0,29 kg.convertir todo el hielo en agua y más aún elevar su Por lo tanto, se tendrá finalmente,temperatura a más de 0°C. Esto es, la temperatura 1,21 kg. de Agua y 0,29 kg. de Hielofinal t estará entre, 0°C < t < 60°C y se determinará Por supuesto todo a 0°C, incluyendo el calorímetro.igualando el calor ganado al calor perdido. Ejemplo 37. Un trozo de hielo de 10 g yCalor ganado temperatura –10 ºC se introducen en 1,5 kg de aguaQ1 = 22 (valor ya determinado) a 75 ºC. Determine la temperatura final de la mezcla.Q2= 160 (valor ya determinado) chielo = 0,45 cal g º C ,Q3 = m c Δ t = 2 x 1 x (t-0) = 2tQG = Q1 + Q2 + Q3 L fusión, hielo = 80 cal g = 22 + 160 + 2t = 182 + 2t (3) Solución. El calor cedido por el agua es igual al ganado por elCalor perdido hielo. El hielo gana una porción calor desde laQP = m c Δ t temperatura –10 ºC hasta 0 ºC, otra para cambiar de = 10 x 1x (60-t) = 10(60 - t) (4) estado manteniendo la temperatura constante de 0 ºC y otra cuando se ha convertido en agua al cambiar laFinalmente, igualando (3) y (4) temperatura de 0 ºC hasta la temperatura deQG = QP equilibrio Te . De este modo:182 + 2t = 10(60 - t)Despejando t, se obtiene la temperatura final de la mh ch [0 − (−10)] + mh L fmezcla (agua)T = 34,8°C + mh ca (Te − 0) + ma ca (Te − 75) = 0 . Despejando Te encontramos:Ejemplo 36. Determinar la temperatura final cuandose mezclan 1/2 kg de hielo a -16°C con 1 kg de agua T e= 73,94º Ca 20°C que se encuentra contenida en un recipiente ocalorímetro de cobre de 1/2 kg. Ejemplo 38. Un recipiente de cobre de masa 0.5 kgSolución. contiene 1 kg de agua a 20°C se le añade 0,5 kg deComo en el ejemplo anterior es necesario hacer un hielo a –16°Cbalance de energía. a) encontrar la temperatura de equilibrioNuevamente trabajando en kilocalorías y con b) Cuanto hielo y cuanta agua quedan.Calor específico del cobre = 0,09 kcal/kg °C 18
  • Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmán J J De aquí se concluye que no puede condensarse todoccobre = 390 , cagua = 4190 el vapor, pero sí fundirse todo el Hielo. De modo kg K kg K que la temperatura final, en presencia de vapor debe J 3 J ser tF = 100 ºC: Supongamos entonces que condensachielo = 2100 , L fusión hielo = 334 x10 m gramos de vapor kg K kg Qcedido = 542,4 x m calSolución. Qabsorbido = 20 x 80 + 20 x 1 x 100 = 3600 calCalor cedido por el agua y el calorímetro al llevarlo 3600de 20ºC a 0ºC 542,4 x m = 3600 ⇒ m= = 6,6 gQ1 = (mc c c + ma c a )Δθ 542,4 Luego el estado final consiste en una mezcla a 100 = (0,5 × 390 + 1,0 × 4190 )20 = 87700 J ºC de 4,4 g de vapor y 26,6 g de agua líquida.Calor para llevar el hielo -18ªC a 0ºCQ2 = mh c h Δθ = 0,5x2100x16 = 16800 J Ejemplo 41. Un recipiente de cobre de 0,1 kg contiene 0,16 kg de agua y 0,018 kg de hielo enCalor para fundir el hielo equilibrio térmico a presión atmosférica. Si seQ3 = L f mh = 334x103x0,5 = 167x103 J introduce un trozo de plomo de 0,75 kg de masa aAnálisis: 255°C, ¿qué temperatura final de equilibrio seTenemos 87700 J , esa cantidad puede elevar la alcanza? (Considere que no hay intercambio de calortemperatura del hielo hasta los 0ºC con el entorno)Nos quedan 87700 -16800 = 70900 J cPb = 130 J kgKEsto no puede fundir todo el hielo, solamente cCu = 390 J kgK 70,900 × 103 Jalcanza para fundir = 0,212 kg cagua = 4190 J kgK 334 × 103 J kga) Temperatura de equilibrio 0ºC c fusión agua = 334 × 10 3 J kgb) Finalmente quedan 1 + 0,212 = 1,212 kg de agua Solución.y 0,5 – 0,212 = 0,288 kg de hieloEjemplo 39. Un recipiente metálico de masa 200 g,aislado del exterior, contiene 100 g de agua enequilibrio térmico a 22º C. Un cubo de hielo de 10 g,en el punto de fusión, se suelta en el agua, cuando sealcanza el equilibrio térmico la temperatura es 15º C.Asumir que no hay intercambio de calor con el ⎧mcu = 0,1kg ⎧magua = 0,16kgexterior. Cobre ⎨ , Agua ⎨ ,Para el agua el calor específico es 4190 J/kg K y el ⎩t cu = 0º C ⎩t cu = 0º Ccalor de fusión es 3,34 x 105 J/kg. ⎧mhielo = 0,018kg¿Cuál es el calor específico del metal? Hielo ⎨Solución. ⎩t cu = 0º CCalor cedido = Calor ganadoc x (0,2 )(22 − 15) + 4190(0,1)(22 − 15) ⎧m Pb = 0,75kg Plomo ⎨ ( = 0,01 3,34 × 10 5 ) + 4190(0,01)(15 − 0) ⎩t Pb = 255º C Para fundir el hielo = 334x103 (0,018) = 6012 J J magua = 0,16 + 0,018 = 0,178 kg⇒ cx = 739,64 kg K El plomo puesto a 0ºC nos proporciona = 130 (0,75)(255) = 24862,5 JEjemplo 40. Determine el estado final cuando se Nos quedarían 24862,5 – 6012 = 18850,5 Jmezclan 20 g de hielo a 0 ºC con 10 g de vapor a Los que se emplearía para elevar la temperatura del100 ºC. sistema:Solución. (mc + mc + mc )Δt = QdisponibleCagua = 1 cal/g. ºCLf = 3,33 x 105 J/kg = 80 cal/g (0,178 × 4190 + 0,1 × 390 + 0,75 × 130)Δt = 18850,5Lv = 2,26 x 106 J/kg = 542,4 cal/gMhielo = 20 g 18850,5 Δt =Mvapor = 10 g (745,82 + 39 + 97,5)Si se condensa todo el vapor cede 5424 cal.Si se funde todo el Hielo absorbe 80x20 = 1600 cal 18850,5 = = 21,36º Cquedando agua que para ser llevada a 100 ºC 882,32absorbería a lo más 20 x 100 = 2000 cal. 19
  • Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmán Solución. La temperatura final de equilibrio del sistema es t. Calor cedido por el aluminio = Calor ganado por el cobre maluminio × c aluminio (100 − t ) = mcobre × ccobre (t − 0 ) Poniendo valores maluminio × 0,212(100 − t ) = 21,6 × 0,094t Diámetro final de la esfera de aluminio = diámetroEjemplo 42. Un trozo de hierro se deja caer en agua final del anillo de cobretal como se muestra en la figura. Determine latemperatura y fase del agua en el equilibrio. En caso Dalu min io [1 − α alu min io (100 − t )]de coexistir 2 fases del agua determine la masa final = Dcobre [1 + α cobre (t − 0 )]en cada fase.chierro = 0,107 cal/g ºC, crecipiente ≈ 0 Poniendo valores [ 2,5433 1 − 24 × 10 −6 (100 − t ) ] [ = 2,54 1 + 17 × 10 t −6 ] 2,5433 = 1 + 17 × 10 t[ −6 ] ⇒ 2,54 [ 1 − 24 × 10 −6 (100 − t ) ] El primer término por el binomio de Newton se puede escribir como:Solución.Agua de 4ºC a 0ºC ⇒ 2,5433 2,54 0,0033 = + = 1 + 2,1×10 −3Q1 = 200 × 1 × 4 = 800 calorías 2,54 2,54 2,54Hierro de – 15ºC a 0ºC ⇒ El segundo término por el binomio de Newton se puede escribir como:Q2 = 600 × 0,107 × 15 = 963 caloríasEn el balance 963 – 800 = 163 calorías, las que [1 + 17 ×10 t ][1 + 24 ×10 (100 − t )] −6 −6convertirán en hielo a una parte del agua [1 + 17 ×10 t ][1 + 24 ×10 (100 − t )] −6 −6 163 = 1 + 2,4 × 10 − 7 × 10 t -3 −6m= = 2,04 gramos 80 Luego:La temperatura de equilibrio es 0ºC, 2,04 gramos dehielo y 197,6 gramos de agua. 1 + 2,1× 10-3 = 1 + 2,4 × 10-3 − 7 × 10 −6 t Resolviendo t:Ejemplo 43. Dilatación térmica y equilibrio 0,3 × 10−3térmico. t= −6 = 42,2o CUn anillo de cobre de 21,6 g tiene un diámetro de 7 × 102,54000 cm a la temperatura de 0oC. Una esfera de Finalmente la masa de la esfera de aluminio seráaluminio tiene un diámetro de 2,54533 cm a la 21,6 × 0,094t malu min io = = 7,17 gramostemperatura de 100oC. La esfera se sitúa sobre el 0,212 × (100 − 42,8)anillo, y se deja que ambos lleguen al equilibrio Es una esfera hueca.térmico, sin que se disipe calor alguno al entorno. Laesfera pasa justamente a través del anillo a la TRANSFERENCIA DE CALORtemperatura de equilibrio. Halle la masa de la esfera. En este capítulo veremos en forma breve las formas en la cual la energía térmica fluye de u punto a otroCalor específico del aluminio: 0,212 cal/gºC en un medio dado, existen tres modos deCalor específico del cobre: 0,094 cal/gºC transferencia, conducción, convección y radiación.Coeficiente de dilatación del aluminio: 24 x 10-6 °C-1Coeficiente de dilatación del cobre: 17 x 10-6 °C-1 CONDUCCIÓN. Cuando hay transporte de energía entre elementos de volumen adyacentes en virtud a la diferencia de temperatura entre ellas, se conoce como conducción de calor. 20
  • Calor y Termodinámica Hugo Medina GuzmánLa expresión matemática fundamental de la •conducción de calor es la generalización de los • (t -t ) l Q Q = - k1 A 1 0 ⇒ t0 - t1 = 1resultados de los experimentos en el flujo lineal de l1 k1 Acalor a través de una lámina de material de espesor En la segunda capaΔx y de área A, una de las caras se mantienen a •temperatura θ + Δθ, los resultado muestran que Q es • (t -t ) l Qproporcional al tiempo Δt. Q = - k 2 A 2 1 ⇒ t1 - t2 = 2 l2 k2 A ΔθQ∝ A Δt En la Capa n Δx •Este resultado podemos generalizar, en el límite: • (t -t ) l QdQ • dθ Q = - k n A n n −1 ⇒ tn −1 - tn = n = Q = −kA ln kn A dt dx Sumando miembro a miembroDonde k es la CONDUCTIVIDAD TERMICA del •material. l l l Q to − tn = ( 1 + 2 + ..... n )El signo menos se introduce dado que Q fluye en la k1 k2 kn Adirección de la disminución de la temperatura (del Luegolado caliente al lado frío). • A(to - tn ) Q= VALORES DE LA l1 l 2 l CONDUCTIVIDAD TERMICA + + ... + n k1 k 2 knSustancias kilocal k en • A(t − t ) s m °C Q= n o n ⎛l ⎞AceroBronce 0,011 0,026 ∑ ⎜ ki ⎟ ⎜ ⎟ i =1 ⎝ i ⎠Aluminio 0,040Ladrillo 1,7 x 10 −4 Ejemplo 45. Flujo estacionario a través de unaConcreto 4,1 x 10 −4 pared compuesta. Capas en “paralelo” •Madera 0,3 x 10 −4 Determinación de la cantidad de calor Q que fluyeVidrio 1,4 x 10 −4 en la dirección normal a un medio múltiple formadoHielo 5,3 x 10 −4 por placas paralelas como se muestra en la figura.Lana de vidrio o 0,09 x 10 −4mineralCaucho 0,10 x 10 −4Agua 1,43 x 10 −4Aire 0,056 x 10 −4Ejemplo 44. Flujo estacionario a través de unapared compuesta. Capas en “serie”Determinación de la cantidad de calor que fluye en Solución.la dirección normal a través de un medio de capas • • •múltiples entre las temperaturas externas t0 y tn El Flujo Q es la suma de los flujos Q1 , Q 2 ,constantes, como se muestra en la figura. • ….. Q n a través de cada una de las placas, de tal modo • Q=− (k1 A1 + k2 A2 + ...kn An )(tb − ta ) l n • (tb − ta )∑ ki AiSolución. Q=− i =1Sea t1 la temperatura entre la capa 1 y 2, t2 la ltemperatura entre las capas 2 y 3 y así Ejemplo 46. Dos cuartos comparten una pared desucesivamente, luego tenemos: ladrillos de 12 cm de grosor, pero estánEn la primera capa perfectamente aislados en las demás paredes. Cada cuarto es un cubo de 4,0 m de arista. Si el aire de 21
  • Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmánuno de los cuartos está a 10 ºC y el otro a 30 ºC. 9,672θ = 423,6¿Cuántos focos de 100 W se necesitarán tenerencendidas en el cuarto más caliente para mantener θ = 43,79º Cla misma diferencia de temperatura? El flujo es; •Solución.Coeficiente de conductividad térmica del ladrillo Q = 5,436θ = 5,436 x 43,79 = 238,1 Wk = 1,0 W/(m K). •Q = − kA Δθ = (1)(4,0 × 4,0 ) (30 − 10) Ejemplo 48.- Un excursionista usa prendas de vestir de 3,5 cm de grueso, cuya área superficial total es de L 0,12 1,7 m2. La temperatura de la superficie de las 20 prendas es de –20 ºC y la de la piel de 34 ºC. = (1)(4,0 × 4,0 ) = 2666,67 W Calcular el flujo de calor por conducción a través de 0,12 la ropaNúmero de focos de 100 W que se necesitarán tener a) Suponiendo que ésta está seca y que laencendidos en el cuarto más caliente para mantener conductividad térmica k es la del plumón igual ala misma diferencia de temperatura 0,06x10-4 kcal/s m K2666,67 b) Suponiendo que la ropa está mojada, de modo que = 26,7 k es la del agua (1,4x10-4 kcal/s m K) y que la ropa 100 se ha comprimido hasta un espesor de 0,50 cm.Se necesitan 27 focos de 100 W. Solución.Ejemplo 47. Dos barras metálicas, cada una de • a) Q = − kA Δθ = 0,06 × 10 − 4 (1,7 ) (34 + 20)longitud 5 cm y sección transversal rectangular de L 3,5 × 10 − 2lados 2 y 3 cm, están encajadas entre dos paredes = 0,01,5737 Wuna a 100 ºC y otra a 0 ºC. Las barras son de Pb yAg. Determinar: • b) Q = − kA Δθ = 1,4 × 10 − 4 (1,7 ) (34 + 20)a) El flujo térmico total a través de las barras y L 0,50 × 10 − 2b) La temperatura en la interfase. = 2,5704 WDATOS: k(Pb) = 353 W/m K; k(Ag) = 430 W/m K. Ejemplo 49. Flujo a través de un cilindro de radio interior r1 y radio exterior r2, conductividad térmica k, temperatura interior t1 y temperatura exterior t2. Solución. Tomemos una longitud L, y a una distancia r un elemento diferencial dr como se muestra en laSolución. figura,PbA = 6 x 10-4 m, L = 5x10-2 m k = 353 W/m K; El flujo a través del elemento diferencial esAgA = 6 x10-4 m, L = 5x10-2 m k = 453 W/m K; • dt Q = − kAFlujo de calor en el plomo dr• ⎛ 6 × 10−4 ⎞ • ⎜ 5 × 10 − 2 ⎟(100 − θ )Q = 353⎜ ⎟ Q es constante a través de cualquier sección ⎝ ⎠ cilíndrica coaxial. = 4,236(100 − θ ) A = 2 π rLFlujo de calor en la plata. Luego • dt • ⎛ 6 × 10 −4 ⎞ Q = −k 2πrL ⎜ 5 × 10 − 2 ⎟(θ − 0 )Q = 453⎜ ⎟ dr ⎝ ⎠ Despejando dt = 5,436θ • Q drIgualando los flujos dt = −4,236(100 − θ ) = 5,436θ 2πkL r Integrando423,6 − 4,236θ = 5,436θ 22
  • Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmán • De la igualación de (2) y (3) tenemos: t2 Q r2 dr∫t1 dt = − 2πkL ∫r1 r 3 T1 + 3 • T2 = 2 . (5) Q r 52t1 − t2 = − ln 2 2πkL r1 Por otro lado, de la diferencia de las ecuaciones (4) y (5), hallamos:De aquí T1 = 13,63º C y T2 = 13,63º C. • 2πkLQ= (t − t ) r 1 2 Reemplazando en ecuación (1): ln 2 ΔQ = kV A (20 − T1 ) = 4,25 cal r1 Δt 0,006 s b) Si la ventana está formada por un solo vidrio:Ejemplo 50. Una ventana de un metro de alto por 2de ancho tiene un vidrio cuyo espesor es de 0,006 m,conduce calor desde el interior a 20 ºC al exterior de3 ºC. Encuentre la diferencia porcentual de laconducción del calor, cuando se pone dos vidrios delmismo espesor anterior, dejando una separación deaire entre los vidrios de 0,012 m. Considere que:kVidrio = kV = 2 × 10−6 kcal/smº C ,k Aire = k A = 6 × 10−6 kcal/smº C .Solución. ΔQ = kV A (30 − 3) = 11,3 cal ,a) Al poner los dos vidrios: Δt ΔX s Es decir, la diferencia con respecto a ΔQ Δt = 7,05 cal/s. De este modo hay una diferencia de un 62,4%, con lo cuál, cuándo se coloca aire entre los dos vidrios se pierde un 62,4% menos de energía calórico que cuándo se usa un solo vidrio. Ejemplo 51. Una ventana de un metro de alto por dos de ancho, está construida con láminas de vidrio cuyo espesor es de 0,006 m. La ventana puede ser ensamblada con un solo vidrio en ese caso el flujo • de calor es Q 1 o puede construirse con dos vidriosSean T1 y T2 las temperaturas a la derecha del vidrio dejando una separación de 0,012 m de aire izquierdo e izquierda del vidrio derecho, confinado entre las dos láminas de vidrio, en este respectivamente: • caso el flujo de calor es Q 2 . Encontrar la relaciónΔQ1 (20 − T1 ) = kV A , (1) entre los flujos de calor. Δt 0,006 kvidrio = 2 × 10−6 kcal / s m°C ,ΔQ 2 (T − T2 ) kaire confinado = 6 × 10−6 kcal / s m°C = kAA 1 , (2) Δt 0,012ΔQ3 (T − 3) = kV A 2 . (3) Δt 0,006En el estado de régimen estable, es decir, cuándo latemperatura en cada punto es constante en eltranscurso del tiempo, por lo cuál ΔQ Δt es lamisma en todas las secciones transversales:ΔQ ΔQ1 ΔQ 2 ΔQ3 Solución. = = = . Al poner los dos vidrios:Δt Δt Δt ΔtIgualando ecuaciones (1) y (2), encontramos: • A Q1 = − Δθ ⎛ 2 ⎞ 40 ⎛ L1 L2 ⎞T2 = T1 ⎜1 + ⎟ − . (4) ⎜2 + ⎟ ⎜ k ⎟ ⎝ 3⎠ 3 ⎝ 1 k2 ⎠ 23
  • Calor y Termodinámica Hugo Medina GuzmánAl poner un solo vidrio x y R • A Por semejanza de triángulos: = ⇒x= yQ2 = − Δθ R L L ⎛ L1 ⎞ 2 ⎜ ⎟ • ⎛ R ⎞ dT ⎜k ⎟ Luego: Q = − kπ ⎜ R + y⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ L ⎠ dyLa relación entre los flujos de calor es: dy kπR 2 A ⇒ = • dT Δθ − ( y + L )2 Q L2 ⎛ L1 ⎞• ⎜ ⎟ ⎜k ⎟Q2 ⎝ 1⎠ L dy kπR 2 T2• = A Integrando ∫ 0 = • ( y + L )2 Q L2 ∫ T1 dTQ1 − Δθ ⎛ L1 L2 ⎞ L ⎜2 + ⎟ ⎜ k ⎟ 1 kπR 2 T2 ⎝ 1 k2 ⎠ ⇒− =− • T ( y + L) 0 QL2 T1 ⎛ L1 L2 ⎞ ⎜2 + • ⎟ kπR 2Q 2 ⎜ k1 k 2 ⎟ 1 1 =⎝ ⎠ = 2 + L 2 k1 ⇒ − + = • (T − T ) • ⎛ L1 ⎞ L1 k 2 (L + L ) (0 + L ) Q L2 1 2Q1 ⎜ ⎟ ⎜k ⎟ 1 kπR 2 ⎝ 1⎠ ⇒ = • (T1 − T2 ) 2 L Q L2 ⎛ 12 ⎞⎛ 2 × 10 ⎞ −6 = 2+⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ −6 ⎟ ⎝ 6 ⎠⎝ 6 × 10 ⎠ • 2kπR 2 Finalmente: Q = (T1 − T2 ) 2 8 L = 2 + = = 2,66 3 3 CONVECCION.Ejemplo 52. El sólido de la figura tiene bases Es el proceso de transferencia de calor de un lugar acirculares de radio R y 2R, altura L y conductividad otro por el movimiento de la masa calentada.térmica k. Si las bases se ponen en contacto conreservorios de temperatura T1 y T2 .Determine lacorriente calorífica cuando el flujo es estacionario.Considere las paredes laterales forradas con unaislante térmico. Las leyes que rigen el flujo de calor por convección son muy complejas porque involucra fenómenos de fluidos en movimiento y el cual todavía puede ser forzado o natural por diferencia de densidades. SinSolución. embargo, se tiene una relación empírica dada por Newton, para un cuerpo dado: dQ • = Q = hAΔθ dt Donde h es el coeficiente de convección, A es el área de la pared, Δθ es la diferencia de temperatura entre la superficie de la pared y el fluido.El flujo a través de la porción de ancho dy y área •A = πr 2 = π (R + x ) , es también igual a Q 2 EL COEFICIENTE DE CONVECCION h depende de la posición de la pared y de las características del• dT 2 dT fluido y su movimiento.Q = −kA = − kπ (R + x ) dy dy COEFICIENTE DE CONVECCION EN AIRE A PRESION ATMOSFERICA 24
  • Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmán ( ) kcal • kcalDISPOSICION h( ) Q = 2,71 × 10 −3 (1)(80) = 0,217 s m 2 °C s 0,576x10-3 (Δt )Pared horizontal Mirando 14 y el calor que se pierde en una hora será:arriba Q = 0,217 x 3600 = 782 calPared horizontal Mirandoabajo 0,314x10-3 (Δt )1 4 Ejemplo 54. El aire sobre la superficie de un lagoPared vertical 0,424x10-3 (Δt )1 4 está a una temperatura θ A mientras que el agua estáTubo horizontal o vertical ⎛ Δt ⎞ 14 en su punto de congelación θ c (θ A < θ C ). 1,00x10 -3 ⎜ ⎟ ¿Cuál es el tiempo T que ha de transcurrir para que ⎝D⎠ se forme una capa de hielo de espesor y Asumir que el calor liberado cuando el agua seEjemplo 53. Una pared plana se mantiene a congela fluye a través del hielo por conducción y detemperatura constante de 100°C, y el aire sobre la superficie al aire por convección natural.ambas cara está a la presión atmosférica y a 20°C. DATOS:¿Cuánto calor se pierde por convección de un metro h = coeficiente de convección del hielocuadrado de superficie en ambas caras en 1 hora?a) Si la pared es vertical ρ = densidad del hielob) Si la pared e horizontal L = calor de fusión del hieloSolución. k = conductividad térmica del hieloa) Si la pared es vertical. Solución.El flujo de calor de ambas caras es •Q = −2hAΔtDonde kcalh = 0,42 × 10 −3 (Δt ) 14 s m2 º CΔt = 80 y (Δt ) 14 = 2,98 2A=1m En la figura observamos como se va formando lade aquí capa de hieloh = 0,42 × 10−3 × 2,98 Calor de solidificación de la capa de hielo en formación de área A y espesor dy. −3 kcal dQ = dmL = ρAdyL = 1,12 × 10 (1) s m2 º C Éste calor se conduce a la superficie • • dQ (θ − θ S )Q = 2 × 1,12 × 10− 3 × 80 Q= = − kA C dt y kcal = 0,179 (θ − θ C ) s dQ = kA S dt (2)EL calor que se pierde en una hora será yQ = 0,179 x 3600 = 645 kcal Igualando calores (1) y (2)b) Si la pared es horizontal. (θ S − θ C )En este caso tenemos los valores para h: ρAdyL = kA dtPara la cara que mira arriba y kh1 = 0,596 x 10 −3 (Δt )1/4 (θ S − θ C )∫0 dt Y T ∫0 ydy = ρL −3 kcal = 1,77 x 10 s m 2 °C Y2 k = (θ S − θ C )TPara la cara que mira abajo 2 ρLh2 = 0,314 x 10 −3 (Δt )1/4 Y 2 ρL = (θ S − θ C )T (3) 2k −3 kcal = 0,94 x 10 s m 2 °C El flujo de calor de la superficie al medio ambiente • se produce por convección, o seaLuego: Q = - h1 A Δt − h2 A Δt • dQ Q= = − hA(θ S − θ A ) • dt⇒ Q = − (h1 + h2 ) A Δt 25
  • Calor y Termodinámica Hugo Medina GuzmándQ = hA(θ A − θ S )dt c) Para encontrar el grosor de su vestido de la persona en Puno para que tenga la misma pérdida de calor que una persona en Lima, aplicamos laEste es el mismo calor y por lo tanto misma ecuación.ρAdyL = hA(θ A − θ S )dt 1,5(37 + 20) h 9,85 = ⇒dy = (θ A − θ S )dt 0,03 + e + 1 ρL 0,01 0,0209 9Integrando ⎡1,5(57 ) 0,03 1 ⎤ h e = 0,0209⎢ − −∫0 dy = ρL (θ A − θ S )∫0 dt Y T = 0,116 m ⎣ 9.85 0,01 9 ⎥ ⎦ hY= (θ A − θ S )T Ejemplo 56. Se construye un iglú en forma de ρL hemisferio con un radio interno de 1,8 m y paredes de nieve compactada de 0,5 m de espesor. En elYρL = (θ A − θ S )T (4) interior del iglú el coeficiente de transferencia de h calor por convección es 6 W/m2·K; en el exterior, enSumando las expresiones (3) y (4) obtenemos condiciones normales de viento, es 15 W/m2K. La conductividad térmica de la nieve compactada es⎛Y 2 Y ⎞⎜ 2k + h ⎟ ρL = (θ A − θ C )T⎜ 2,33 W/m K. La temperatura de la capa de hielo ⎟⎝ ⎠ sobre la que se asienta el iglú es de -20 ºC y tiene laFinalmente, misma conductividad térmica que la nieve compactada. ρL ⎛ Y 2 Y ⎞ a) Que calor debe proporcionar una fuente continuaT= ⎜ + ⎟ (θ A − θ C ) ⎜ 2k h ⎟ ⎝ ⎠ dentro del iglú, para que la temperatura del aire interior sea 1º C cuando la del aire exterior es - 40 ºC. Considere las pérdidas de calor a través delEjemplo 55. El interior del ser humano se encuentra suelo.a 37°C, el espesor efectivo de la piel puede b) ¿Cómo afecta el duplicar el espesor de lasconsiderarse como de 3cm. paredes?a) Para una persona cubierta de pies a cabeza por unvestido de lana de 0,5cm de espesor. Calcular elflujo de calor que pierde en Lima (tamb = 15°C) y enlas madrugadas de Puno (tamb = -20°C).b) ¿Cuál debería ser el grosor de su vestido de lapersona en Puno para tener la misma pérdida decalor que una persona en Lima? Solución.Datos: a)kpiel = 0,01W/m°CÁrea del cuerpo humano persona promedio = 1,5m2klana = 0,0209 W/ºCh (del cuerpo vestido) = 9 W/m2·K,Solución.a) El flujo de calor atraviesa la piel y el vestido porconducción y de la superficie del vestido al ambientepor convección.Este flujo a través de este conjunto es: • A(t piel − t ambiente ) Pérdida por convección en el pisoQ= Q 2 = − hi A p (θ p − θ i ) , A p = πR12 • Lpiel Llana 1 + + k piel k lana h ( ) Q 2 = − hi πR12 (θ p − θ i ) • • 1,5(37 − 15)En Lima: Q = = −[6](π 1,8 )(− 20 − 1) = 1388,02W = 9,85 W • 0,03 0,005 1 Q2 2 + + 0,01 0,0209 9 • 1,5(37 + 20) Pérdida de calor por el domoEn Puno: Q = = 23,74 W 0,03 0,05 1 Por convección del aire interior a la pared interior + + • 0,01 0,0209 9 Q 1 = −hi A1 (θ1 − θ i ) 26
  • Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmán 1 •A1 = 4πR12 = 0,018 Q1 2 • 39 ( )(θ − θ ) ⇒ Q1 = = 2166,67 W •Q 1 = −hi 2πR 1 2 1 i 0,029 = −6(2π 1,8 )(θ − 1) = − 122,08(θ •Q1 2 1 1 − 1) Salida total de calor • 1388,02 + 2166.67 = 3554,69 W Q1⇒ (θ 1 − 1) = (1) La fuente debe proporcionar 3,554 kW 122,08 b) Si se duplica el espesor de la pared del domoPor conducción en la pared del iglú: • 1 ⎛ ⎞A = 4π r 2 (θ1 − θ 2 ) = Q1 ⎜ 1 − 1 ⎟ 2 2πk ⎜ R1 R2 ⎟ ⎝ ⎠ • • • dθ Q dr Q1 ⎛ 1 1 ⎞Q 1 = −k 2π r 2 ⇒ dθ = − 1 2 ⇒ (θ1 − θ 2 ) = ⎜ − ⎟ dr 2πk r 2π (2,33)⎝ 1,8 2,8 ⎠ • θ2 Q R2 dr •⇒ ∫θ 1 dθ = − 2πk ∫R1 r 2 ⇒ (θ 1 − θ 2 ) = Q1 (2a) • 31,65 Q1 ⎛ 1 1⎞⇒ θ 2 − θ1 = ⎜ − ⎟ ⎜R R ⎟ Sumando (1), (2a) y (3): 2πk ⎝ 2 1⎠ • • • Q (40 − 1) = 1 + Q1 + Q1 • Q1 ⎛ 1 1 ⎞⇒ (θ1 − θ 2 ) = ⎜ − ⎟ 122,08 31,65 498,32 2πk ⎜ R1 R2 ⎟ ⎝ ⎠ ⇒ • • •⇒ (θ1 − θ 2 ) = Q1 ⎛ 1 ⎜ − 1 ⎞ ⎟ 39 = Q 1 (0,008 + 0,032 + 0,002 ) = 0,042 Q 1 2π (2,33)⎝ 1,8 2,3 ⎠ • 39 • ⇒ Q1 = = 928, 57 W Q1 0,042 ⇒ (θ 1 − θ 2 ) = (2) 120,93 Salida total de calor 1388,02 + 928,57 = 2316,59 WPor convección de la pared exterior al aire exterior La fuente debe proporcionar 2,316 kW •Q 1 = −he A2 (θ e − θ 2 ) RADIACION. 1 Es el proceso de transferencia de calor por medio deA2 = 4πR2 . 2 ondas electromagnéticas durante el cual la masa del 2 medio no interviene puesto que no se refiere a la ( ) • convección, ni a la conducción, por ejemplo laQ 1 = −he 2πR2 (θ e − θ 2 ) 2 transferencia de energía del sol de la tierra. ( ) •⇒ Q1 = −(15) 2π 2,3 2 (− 40 − θ 2 ) ( = (15) 2π 2,3 (θ 2 + 40 ) 2 ) = 498,32(θ 2 + 40 ) • Q1⇒ (θ 2 + 40 ) = (3) 498,32 Una sustancia puede ser estimulada a emitir radiación electromagnética en varias formas, comoSumando (1), (2) y (3): por ejemplo un conductor eléctrico con corriente • • • alterna de alta frecuencia emite ondas de radio, una Q(40 − 1) = 1 + Q1 + Q1 placa bombardeada por electrones con alta velocidad emite rayos X, un líquido o sólido caliente emite 122,08 120,93 498,32 • radiación térmica, etc.⇒ 39 = Q1 (0,008 + 0,008 + 0,002) 27
  • Calor y Termodinámica Hugo Medina GuzmánEn esta parte trataremos solamente la radiación = 56,8 Wtérmica. b) 2,846 kcal/día.Experimentalmente STEFAN y BOLTZMAN El gasto energético por día es:encontraron la ley que rige la radiación, mostraron (56,8 + 81) J/s x 3600x24 s/día = 4907520 Jque la radiación emitida, energía por unidad de Como 1 kcal = 4186 Jtiempo y por unidad de área, por un cuerpo negro El gasto energético en kcal/día:(Sustancia Capaz de absorber toda la energía que 4907520 J/día x 1 kcal /4186 J = 2,846 kcal/día.llega a él) a una temperatura T (Temperaturaabsoluta) θ es R = σT 4 Ejemplo 59. Calcular la pérdida neta de energíaDonde σ es la llamada constante de Boltzman. radiante de una persona desnuda en una habitación a 20 ºC, suponiendo que la persona se comporta como kcal un cuerpo negro. El área del cuerpo es igual a 1,4 m2σ = 4,88 x 10 -8 m hora K 4 2 y la temperatura de su superficie es de 33 ºC. W Solución. -8 = 5,67 x 10 ( ) • m K4 2 Q rad = σ eA TC4 − T A4 = (5,67x10-8El calor transferido por radiación de un cuerpo a una W/m2.K4)(1)( 1,4 m2 )(3064K-2934K) = (5,67x10-8temperatura T al medio que lo rodea a una W/m2.K4)(1)( 1,4 m2 )(13,98x108K) = 110, 97 Wtemperatura T0 , es: Ejemplo 60. Los cables de calefacción de una estufa ( ) •Q = Aeσ T 4 − T04 eléctrica de 1kW se encuentran al rojo a una temperatura de 900 K. Suponiendo que el 100% delDonde e es el factor de emisividad del cuerpo a calor emitido es debido a la radiación y que lostemperatura T , siendo igual a 1 para el cuerpo cables actúan como radiadores ideales. ¿Cuál es elnegro. área efectiva de la superficie radiante? Suponer la temperatura ambiente de 20 ºC.Ejemplo 57. La temperatura de trabajo del filamento Solución.de tungsteno de una lámpara incandescente es 2450 ( ) •K, y su emisividad es 0,30. ¿Cuál es la superficie del Q rad = σ eA TC4 − T A4filamento de una lámpara de 25 watts? 1000 = (5,67 x 10 )(1)( A )(11734-2934) ⇒ -8Solución. 1000 = (5,67 x 10-8)(1)( A )(1885 x 108) ⇒ • 1000 = 10687,95 A ⇒ • QComo Q = AeσT ⇒ A= 4 1000 eσT 4 A= = 0,094 m2 • W 10687,95Donde: Q = 25 W , σ = 5,67 × 10 −8 , m 2 .K Ejemplo 61. a) ¿Cuánta potencia irradia una esferae = 0,30 y T = 2450 K de tungsteno (emisividad = 0,35) de 18 cm de radioReemplazando valores obtenemos la superficie: a una temperatura de 25 º? 25 b) Si la esfera está encerrada en un recinto cuyasA= = 0,408 x 10-4 m2 paredes se mantienen a –5 ºC ¿Cuál es el flujo neto 5,67 × 10 −8 (2450) 4 de la energía liberada de la esfera? = 0,408 cm2 Solución. a) A = πR = π (0,18) = 0,101736m 2 2 2Ejemplo 58. Una persona desvestida tiene una •superficie de 1,5 m2 expuesta a un ambiente y a unos Q rad = σ eAT 4alrededores de 27 ºC. La temperatura de su piel es de33 ºC y se puede considerar un emisor de radiación = (5,67x10-8)(0,35)(0,10173)(2984)perfecto. Si el coeficiente de transferencia de calor = 15,92 Wpor convección es de 9 W/m2K, hállese: b) ( ) •a) Las pérdidas de calor por convección y porradiación. Q rad = σ eA TC4 − T A4b) El gasto energético en kcal/día. = (5,67x10 )(0,35)( 0,10173)(2984K-2784) -8Solución. = 3,86 W •a) Q conv = − hAΔθ Ejemplo 62. La Tierra recibe aproximadamente 430 = (9)(1,5)(33-27) = 81 W. W/m2 del Sol, promediados sobre toda su superficie, e irradia una cantidad igual de regreso al espacio (es ( ) •Q rad = σ eA TC4 − T A4 decir la Tierra está en equilibrio). Suponiendo nuestro planeta un emisor perfecto (e = 1,00), estime = (5,67x10 )(1)( 1,5 )(3064-3004) -8 su temperatura superficial promedio. = (5,67x10-8 )(1)( 1,5)(6,68x108) 28