Ipaee capitulo6

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Material integrante do curso "Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos" - Prof. Pedro Ferreira Filho e Profa. Estela Maris P. Bereta - UFSCar

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Ipaee capitulo6

  1. 1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICAINTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTO E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS CAPÍTULO # 6 EXPERIMENTOS FATORIAIS PROF. PEDRO FERREIRA FILHO PROFa. ESTELA MARIS P. BERETA 1º SEMESTRE DE 2011
  2. 2. Capítulo 6 – Experimentos Fatoriais6. EXPERIMENTOS FATORIAIS:6.1. INTRODUÇÃO: Um experimento é somente um teste ou uma serie de testes. Experimentos são feitos em todasas disciplinas cientificas e de engenharia e são uma importante parte da maneira de aprendemossobre como sistemas e processos funcionam. A validade das conclusões que são retiradas de umexperimento depende, em grande extensão, de como o experimento foi conduzido.Conseqüentemente, o planejamento do experimento desenvolve o papel principal na soluçãofutura do problema que inicialmente motivou tal experimento. Neste capítulo, focamos os experimentos com dois ou mais fatores, os quais o profissional julgaserem importantes. O planejamento fatorial de experimentos será introduzido como uma técnicapoderosa para esse tipo de problema. Geralmente, em um planejamento fatorial de experimentos,tentativas ou corridas experimentais são feitas em todas as combinações dos níveis dos fatores.Por exemplo, se um engenheiro químico estiver interessado em investigar os efeitos do tempo dereação e da temperatura de reação no rendimento de um processo, e se dois níveis do tempo (1he 1,5h) e dois níveis da temperatura (125°F e 150°F) forem considerados importantes, então umplanejamento fatorial consistiria em fazer as corridas experimentais em cada uma das quatrocombinações possíveis desses níveis de tempo e da temperatura de reação. A maioria dos conceitos estatísticos introduzidos no Cap. 5 para experimentos com um únicofator pode ser estendida aos planejamentos fatoriais deste capítulo. A análise de variância, emparticular, continuará a ser usada como uma das ferramentas primárias para a análise estatísticade dados. Introduziremos também, vários métodos gráficos na analise de dados provenientes dosexperimentos planejados. Um experimento fatorial pode ser conduzido tanto num experimento completamentealeatorizado, quanto num experimento aleatorizado em blocos, ou ainda, em quadrado latino,entre outros. A escolha de um destes experimentos deve ser feita em função das condiçõesexperimentais, particularmente, das características das unidades experimentais. Quando o número de fatores cresce, cresce o número de combinações entre os níveis dosfatores dificultando, muitas vezes, a instalação do experimento. Um procedimento alternativo paraa resolução destas situações será apresentado no próximo capítulo.Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos –1o Semestre de 2011 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 2
  3. 3. Capítulo 6 – Experimentos Fatoriais6.2. EXPERIMENTOS F ATORIAIS C OM FATORES C RUZAD OS:Situação: Os níveis de um fator são combinados com todos os níveis do outro (dos outros) fator(es).Exemplo:Fator A : Tempo de Reação  A1, A2, A3.Fator B : Temperatura de Reação  B1, B2.Fatores Cruzados: Fator A A1 A2 A3 Fator B B1 B2Tratamentos: Combinações dos diferentes níveis dos fatores. 6 tratamentos: 3 x 2 = 6: A1B1, A1B2, A2B1, A2B2, A3B1 e A3B2.Efeitos Fatoriais:Consideremos a seguinte situação:Fator 1: A1, A2.Fator 2: B1, B2. Resultados observados: F2 F1 Total B1 B2 A1 20 30 50 A2 40 52 92 Total 60 82 142Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos –1o Semestre de 2011 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 3
  4. 4. Capítulo 6 – Experimentos FatoriaisQuestões: 1. Os fatores F1 e F2 apresentam efeito conjunto ou são “independentes”? 2. O Fator F1 apresenta efeito significativo? 3. O Fator F2 apresenta efeito significativo?Solução: Estudo dos efeitos do modelo:  Efeito de Interação.  Efeito Principal de F1 (1º Fator).  Efeito Principal de F2 (2º Fator).Efeitos Principais: Efeito específico de cada fator, ou ainda, a alteração que ocorre na variável resposta apartir da troca de níveis do fator.No exemplo: A = [(40+52)/2] – [(30+20)/2] = 21 B = [(30+52)/2] – [(40+20)/2] = 11Interpretação: A mudança do nível A1 para o nível A2 do fator 1 produz um acréscimo de 21 unidades na variável resposta. A mudança do nível B1 para o nível B2 do fator 2 produz um acréscimo de 11 unidades na variável resposta.Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos –1o Semestre de 2011 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 4
  5. 5. Capítulo 6 – Experimentos FatoriaisEfeitos da Interação: Alteração produzida na variável resposta a partir da mudança de níveis de um fator dentrodos diferentes níveis do outro fator. AB1   40  20  20  AB2   52  30  22  valores são próximos para cada fator B A1   30  20  10  B A2   52  40  12  Interpretação: O comportamento com um fator é praticamente o mesmo nos diferentes níveis do outrofator, isto é: A(B1)= 20  22 = A(B2), por outro lado: B(A1)= 10  12 = B(A2).Conclusão: Neste caso, não existe interação  Um fator não influência nos resultadosobtidos pelo outro fator. O efeito principal de A é [(20+22)/2] = 21, desconsiderandoo fator B, e o efeito de B é [(10+12)/2]= 11, independente do efeito de A.Graficamente:Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos –1o Semestre de 2011 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 5
  6. 6. Capítulo 6 – Experimentos FatoriaisUma segunda situação: F2 F1 Total B1 B2 A1 20 40 60 A2 50 12 62 Total 70 52 122Efeito Principal: A = [(50+12)/2] – [(20+40)/2] = 1 B = [(40+12)/2] – [(50+20)/2] = -9Efeito da Interação: A (B1) = 50 – 20 = 30 A (B2) = 12 – 40 = -28 B (A1) = 40 – 20 = 20 B (A2) = 12 – 50 = -38Interpretação: O comportamento de um fator não é o mesmo para os diferentes níveis do outro fator.Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos –1o Semestre de 2011 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 6
  7. 7. Capítulo 6 – Experimentos FatoriaisGeometricamente:Forma Padrão:  Curvas paralelas  não existe interação.  Curvas não paralelas  existe interação.Importante: Os gráficos de interação podem apresentar diferentes comportamentos. Em geral, quandoas retas são paralelas, não existe interação. Quando as retas se cruzam ou não são paralelas,pode ser que exista interação. Tudo depende da magnitude da interação e do erro experimental.Nem sempre retas cruzadas indicam interação. Algumas possíveis situações para o caso de um fatorial 2 x 2:Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos –1o Semestre de 2011 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 7
  8. 8. Capítulo 6 – Experimentos Fatoriais Outra abordagem para o efeito de interação no caso de fatores quantitativos: Sem efeito de Interação:Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos –1o Semestre de 2011 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 8
  9. 9. Capítulo 6 – Experimentos Fatoriais Com efeito de interação:6.2.1. EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS:TWOWAYExemplo: Um agrônomo está interessado em investigar o efeito da adubação nitrogenada em doisníveis (N0 e N1), e da adubação fosfatada, também em dois níveis (P1 e P2), numa determinadacultura. Os resultados do experimento são apresentados na tabela abaixo: Fosfato Nitrogênio P0 P1 1.00 1.60 3.20 4.50 N0 1.20 1.30 5.60 5.50 1.30 -- 4.40 -- 1.50 2.30 3.80 5.00 N1 1.10 1.40 6.00 6.20 1.60 -- 4.80 --Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos –1o Semestre de 2011 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 9
  10. 10. Capítulo 6 – Experimentos FatoriaisQuestões: a) O rendimento da cultura dado um nível de fosfato independe do nível de nitrogênio? b) Existe efeito de nitrogênio e de fosfato no rendimento da cultura?Do ponto de vista estatístico: a) Existe interação entre os fatores? b) Os efeitos principais são significativos?Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos –1o Semestre de 2011 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 10
  11. 11. Capítulo 6 – Experimentos Fatoriais C A S O G E R A L : D O I S F A T OR E SConsideremosFator A  a níveis i = 1,..., aFator B  b níveis i = 1,..., bnij = número de observações para cada nível i do fator A e j do fator B.Caso Particular: nij = n  ij  experimento balanceadoDados: Fator B Fator A 1 2 … b 1 y111, y112,…,y11n y121, y122,…,y12n … y1b1, y1b2,…,y11n 2 Y211, y212,…,y21n Y221, y222,…,y22n … Y2b1, y2b2,…,y2bn … … … … … a Ya11, ya12,…,ya1n Ya21, ya22,…,ya2n … Yab1, yab2,…,yabnObservação: A estrutura é a mesma de um experimento com um fator aleatorizado em blocos. Porém,temos objetivos e interpretações diferentes.Efeitos: Num experimento com dois fatores, podemos ter que cada um dos mesmos pode ser fixoou aleatório, podemos, portanto encontrar as seguintes situações: Fator Efeito Efeito Efeito A Fixo Aleatório Fixo Aleatório B Fixo Aleatório Aleatório Fixo Modelo I Modelo II Modelo III Modelo Efeitos Fixos Efeitos Aleatórios Efeitos Mistos No caso específico de efeitos fixos, o experimento tem por objetivo a análise especifica dosníveis dos fatores utilizados no experimento, ou seja, identificar dentre os níveis (ou combinaçõesdos níveis dos fatores), aquele que apresenta a melhor resposta na característica de interesse.Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos –1o Semestre de 2011 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 11
  12. 12. Capítulo 6 – Experimentos FatoriaisModelo: yijk =  + i +  j + ( )ij + ijksendo:yijk= variável resposta de comparação; = efeito comum independente dos fatores;i = efeito principal do i-ésimo nível de A: i = 1,..., aj = efeito principal do j-ésimo nível de B: j = 1,..., b()ij = efeito da ij-ésima interação: i = 1,..., a; j = 1,..., bijk = erro aleatório: i = 1,..., a; j = 1,..., b; k = 1, 2,..., nSuposição: 2 ijk ~ N(0,  )Modelo com blocos: yijk =  + i +  j + ( )ij + K + ijksendo:k = efeito do k-ésimo bloco. k: i = 1,..., kObs.: considerando-se uma observação por tratamento por bloco.Hipóteses de Interesse:Efeito de Interação:  H o :  β ij  0  i, j I)  H 1 :  β ij  0 p/ pelo menos um i e jEfeitos Principais: H o :  i  0  H 1 :  i  0 p/ pelo menos um i  II )  H :β  0  o j  H 1 : β i  0 p/ pelo menos um j Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos –1o Semestre de 2011 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 12
  13. 13. Capítulo 6 – Experimentos FatoriaisProcedimento para Análise  Analisar inicialmente o efeito de interação do modelo:  Significante: verificar o efeito de um fator dentro dos diferentes níveis do outro fator. Efeitos principais devem ser desconsiderados.  Não Significante: analisar os efeitos principais.Análise da Variância: Considerando nij = n para todo i e j (experimentos balanceados).Notação: b n y y i..   y ijk  y i..  bn i.. j1 k 1 a n y . j. y . j.   y ijk  y . j.  an j1 k 1 n y ij. y ij.   y ijk  y ij.  n k 1 a b n y y ...   y ijk  y ...  abn ... i1 j1 k 1Partição Soma de Quadrados:SQT = SQM + SQE = SQA + SQB + SQAB + SQEExpressões: a b n SQT   y ijk  y ... 2 i1 j1 k 1  bn  y i..  y ... 2  an y i.j.  y ... 2     a b a b n + n   yij  yi ..  y. j .  y...     yijk  yij . 2 2 i 1 j 1 i 1 j 1 k 1Graus de Liberdade:Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos –1o Semestre de 2011 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 13
  14. 14. Capítulo 6 – Experimentos Fatoriais Componente GL Total abn - 1 A a-1 B b-1 AB (a - 1)(b - 1) Erro ab(n - 1)Esperanças de Quadrados Médios: bn a 2 E QMA  σ 2   i a  1 i 1 an a 2 E QMB  σ 2   βi b  1 j 1   a b E QMAB  σ 2  n   βij 2 a  1b  1 i 1i 1 E QME  σ 2 Portanto, considerando-se o conjunto de hipóteses fixadas anteriormente, temos que, emtodos os casos, sob Ho, o quadrado médio do efeito é um estimador não viciado de 2 tal como oquadrado médio do erro. Logo, todas as estatísticas de teste terão conseqüentemente nodenominador o QME, dado  ~ N (0, 2). QMAB FAB  ~ F( a 1 )( b 1 ),ab( n1 ) QME QMA FA  ~ F( a 1,ab( n 1 ) QME QMB FA  ~ Fb 1,ab( n 1 ) QMEObservação:Expressões Simplificadas: a 2 ni 2 y... 1 a 2SQT    y  y... y2 SQA   yi..  abn 1 b 2  2 ijk SQB  y. j ..  ... i 1 j1 abn bn i 1 an j1 abn 1 a b y2SQAB   n i 1 j 1 yij .  ...  SQA  SQB 2 abn SQE  SQT  SQA  SQB  SQABIntrodução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos –1o Semestre de 2011 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 14
  15. 15. Capítulo 6 – Experimentos Fatoriais 2 y..Nota: é usualmente chamado de fator de correção (FC). n Tabela ANOVA Fonte de Graus de Soma de Quadrados E(QM)* F Variação Liberdade Quadrados Médios Modelo ab - 1 SQM SQM/ab - 1 SQA bn a 2 QMA A a-1 SQA σ2   i a-1 a  1 i 1 QME SQB an a 2 QMB B b-1 SQB σ2   βi a-1 b  1 j 1 QME   SQAB n a b QMAB   βij 2 AB (a - 1)(b - 1) SQAB σ2  a - 1b  1 a  1b  1 i 1i 1 QME SQE Erro N-a SQE abn - 1 σ2 - Total N-1 SQT - - -Estimação dos Parâmetros: ˆ μ  y ... ; ˆ  y i..  y ... ;  ˆ β j  y .j.  y ...  ij  yij .  yi ..  y. j .  y... ˆˆ ijk  y ij.y (valor predito para ijk-ésima das observações é a média das n observações nascombinações i e j).    ˆ ijk  μ  ˆi  β j  ˆβij  y ...  y i..  y ...   y ij  y ...  y ij.  y i..  y . j.  y ...  y ij. y ˆ  ˆ  Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos –1o Semestre de 2011 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 15
  16. 16. Capítulo 6 – Experimentos FatoriaisAdequabilidade do Modelo:Problema:  ε ijk ~ N 0, σ 2  Procedimentos já vistos:  Gráfico Normal Probabilístico (aleatoriedade);  Gráfico de Resíduos x Predito (verificar a homocedasticidade);  Gráfico de Resíduos x Fatores.Comparações múltiplas:Problema: Quando rejeitado Ho, como identificar diferenças?  Interação não significativa  não se rejeita Ho  β ij  0  ij  Analisar cada um dos efeitos principais, considerando os procedimentos de um experimento de 1 fator.  Interação significativa  rejeita-se Ho  β ij  0  alternativas:  comparar as médias de um fator dentro dos níveis do outro fator;  aplicar comparações múltiplas para as combinações dos tratamentos.Retornando ao Exemplo:Dependent Variable: Y Y Source DF Sum of Squares Mean Square F Value Pr > F Model 3 61.10550000 20.36850000 37.98 < .0001 Error 16 8.58000000 0.53625000 - - Corrected Total 19 69.68550000 - - -Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos –1o Semestre de 2011 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 16
  17. 17. Capítulo 6 – Experimentos Fatoriais R-Square Coeff Var Root MSE Y Mean 0.876875 23.13715 0.732291 3.165000 Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F Nitrogênio 1 0.84050000 0.84050000 1.57 0.2286 Fosfato 1 60.20450000 60.20450000 112.27 < .0001 Nitro*Fosfato 1 0.06050000 0.06050000 0.11 0.7413 Y Level of Nitrogênio N Mean Std Dev 1 10 2.96000000 1.89220624 2 10 3.37000000 2.01717624 Y Level of Fosfato N Mean Std Dev 1 10 1.43000000 0.36530049 2 10 4.90000000 0.95916630 Y Level of Nitrogênio Level of Fosfato N Mean Std Dev 1 1 5 1.28000000 0.21679483 1 2 5 4.64000000 0.97621719Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos –1o Semestre de 2011 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 17
  18. 18. Capítulo 6 – Experimentos Fatoriais Y Level of Nitrogênio Level of Fosfato N Mean Std Dev 2 1 5 1.58000000 0.44384682 2 2 5 5.16000000 0.973652926.2.2. EXPERIMENTOS FATORIAIS: CASO GERAL:Situação: O número de fatores a serem investigados no experimento é maior que 2. Todos estesfatores são cruzados, isto é, os níveis de um fator “combinam” com os níveis de todos os demaisfatores. As diferentes combinações obtidas definem os “tratamentos” a serem aleatorizados àsunidades experimentais. O número de tratamentos é dado pelo produto do número de níveis decada fator. No caso de experimentos completamente aleatorizados, cada unidade experimentalreceberá aleatoriamente um dos “tratamentos” acima, enquanto que nos casos de experimentosaleatorizados em blocos, a distribuição aleatória ocorre dentro de cada bloco. Consideremos uma situação onde três fatores (A, B e C) estão presentes, com:  A : 2 níveis = a1, a2;  B : 3 níveis = b1, b2, b3;  Fatorial 2 x 3 x 2  C : 2 níveis = c1, c2. Fatores Cruzados  Tratamentos = 2 x 3 x 2 = 12  a1b1c1, a1b1c2, a1b2c1, a1b2c2, a1b3c1, a1b3c2, a2b1c1, a2,b1c2, a2b2c1, a2b2c2,a2b3c1 e a2b3c2. Neste caso, os efeitos a serem estudados são:  Efeitos Principais  A, B, C;  Efeitos de interação de 2 fatores  AB, AC, BC;  Efeito de interação de 3 fatores  ABC.Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos –1o Semestre de 2011 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 18
  19. 19. Capítulo 6 – Experimentos FatoriaisNuma situação geral, onde k fatores são investigados, teremos que:k   j efeitos com a presença de j fatores. No caso acima: 3  1  três efeitos principais (somente j=1 fator presente)  A, B, C;  3 2  três efeitos com iteração de dois fatores (j=2)  AB, AC, BC;  3  3  um efeito com interação de todos fatores (j=k=3)  ABC. Problema:  À medida que cresce o número de fatores e o número de níveis por fator, podemos ter dificuldade com relação ao número de unidades experimentais para se realizar o experimento.  O número de fatores estudados em um único experimento deve ser o menor possível. É desaconselhável, por exemplo, estudar cinco fatores ao mesmo tempo. Torna-se difícil interpretar uma interação quíntupla (ABCDE) significante. Usualmente, como será visto mais à frente, quando é necessária a utilização de experimentos com muitos fatores, as interações de maior ordem são desconsideradas.Alternativas:  Fatoriais 2k e 3k;  Fatoriais Fracionários;  EVOP;  Superfície de Resposta (Fatores Quantitativos).Procedimento para análise  Iniciar o teste dos efeitos sempre por eles, com a presença de um maior número de fatores (interação de maior ordem):Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos –1o Semestre de 2011 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 19
  20. 20. Capítulo 6 – Experimentos Fatoriais  rejeição de Ho: não devem ser observados os efeitos com menor número de fatores;  não-rejeição de Ho: testar efeitos com menor número de fatores.ANOVA: A análise de variância é feita de forma usual, com a devida partição da variabilidade total ecom as estatísticas F, tendo como denominador o QME.Adequabilidade do Modelo, Comparações Múltiplas e Estimação dos Parâmetros: Também seguem os procedimentos vistos para o caso de dois fatores (twoway).Caso de Três Fatores: A, B e C A = i i = 1,..., a (a níveis) B = j j = 1,…, b (b níveis) C = k k = 1,…, c (c níveis)Modelo: yijkl =  + i + j + ()ij + k + ()ik + ()jk + ()ijk + ijklonde:yijk= variável resposta de comparação = efeito comum independente dos fatoresi = efeito principal do i-ésimo nível de A: i = 1,..., aj = efeito principal do j-ésimo nível de B: j = 1,..., b()ij = efeito da ij-ésima interação de AB: i = 1,..., a; j = 1,..., bk = efeito principal do k-ésimo nível de C: k= 1,..., c()ik = efeito da ik-ésima interação de AC: i = 1,...,a; k = 1,...,c()jk = efeito da jk-ésima interação de BC: j = 1,...,b; k = 1,...,c()ijk = efeito da ijk-ésima interação de ABC: i = 1,...,a; j = 1,...,b; k= 1,...,cijk = erro aleatório: i = 1,..., a; j = 1,..., b; k = 1,...,c; l = 1,...,nSuposição: 2 ijk ~ N(0,  )Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos –1o Semestre de 2011 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 20
  21. 21. Capítulo 6 – Experimentos FatoriaisModelo com blocos: yijkl =  + l + i + j + ( )ij + k + ()ik + ()jk + ()ijk + ijklonde:l = efeito do l-ésimo bloco k: i = 1,..., lObs: Considerando uma observação por tratamento por bloco.Partição da Soma de Quadrados e Respectivas Expressões: Ver Montgomery (Cap. 13,página 300-302).Hipóteses de Interesse:Efeito de Interação de Três Fatores: H o :  β ijk  0  i, j, k I)   H1 :  β ijk  0 p/ pelo menos um i, j e kEfeito de Interação de Dois Fatores: H o :  β ij  0  i, j II .1)   H1 :  β ij  0 p/ pelo menos um i, j H :   ik  0  i, kII .2)  o  H1 :   ik  0 p/ pelo menos um i, k H o : β jk  0  j, k II .3)   H1 : β jk  0 p/ pelo menos um j e kEfeitos Principais:  Ho : i  0  H1 :  i  0 p/ pelo menos um i   Ho : β j  0 III )   H1 : βi  0 p/ pelo menos um j  Ho :  k  0   H o :  k  0 p/ pelo menos um kIntrodução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos –1o Semestre de 2011 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 21
  22. 22. Capítulo 6 – Experimentos Fatoriais Tabela ANOVAFonte de Graus de Soma de Quadrados E(QM)* FVariação Liberdade Quadrados Médios Modelo abc - 1 SQM SQM/ab - 1 SQA bcn a 2 QMA A a-1 SQA σ2   i a-1 a  1 i 1 QME SQB acn a 2 QMB B b-1 SQB σ2   βi a-1 b  1 j 1 QME   SQAB cn a b QMAB   βij 2 AB (a-1)(b-1) SQAB σ2  a - 1b  1 a  1b  1 i 1i 1 QME SQC abn c 2 QMC C c-1 SQC σ2   k a-1 c  1 k 1 QME SQAC a c    ik  bn 2 QMAC AC (a-1)(c-1) SQAC σ2  a - 1c  1 a  1c  1 i 1k 1 QME   SQBC an b c QMBC     jk 2 BC (b-1)(c-1) SQBC σ2  b - 1c  1 b  1c  1 j 1 k 1 QME   SQABC n a b c QMABC (a-1)(b-    ijk 2 ABC SQABC σ2  1)(c-1) a - 1b  1( c  1 ) a  1b  1c  1 i 1 j 1 k 1 QME SQE Erro abc(n-1) SQE σ2 - abc n - 1 Total abcn - 1 SQT abcn - 1 - - Exemplo: Certa indústria química está estudando uma dada reação. Três fatores são considerados importantes na composição desta reação: Temperatura, Concentração e Catalisador. Um experimento fatorial, completamente aleatorizado com fatores cruzados, foi realizado para se verificar o efeito destes fatores na qualidade final da reação. Em função de estudos anteriores, os seguintes níveis dos fatores foram fixados: Temperatura 160ºC e 180ºC; Concentração 20% e 40%; Catalisador C1 e C2. O tempo de reação para duas reações de cada uma das combinações dos níveis dos fatores foi observado e os resultados, obtidos. São apresentados na tabela abaixo. Quanto menor o tempo de reação, melhor é a qualidade da reação. Temperatura (ºC) Concentração (%) Catalisador Y C1 59 61 20 160 C2 50 64 40 C1 50 58 Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos –1o Semestre de 2011 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 22
  23. 23. Capítulo 6 – Experimentos Fatoriais C2 46 44 C1 74 70 20 C2 81 85 180 C1 69 67 40 C2 79 81 Source DF Sum of Squares Mean Square F Value Pr > F Model 7 2635.000000 376.428571 47.05 <.0001 Error 8 64.000000 8.000000 - - Corrected Total 15 2699.000000 - - - R-Square Coeff Var Root MSE y Mean 0.976288 4.402221 2.828427 64.25000 Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F temp 1 2116.000000 2116.000000 264.50 <.0001 conc 1 100.000000 100.000000 12.50 0.0077 temp*conc 1 9.000000 9.000000 1.13 0.3198 cata 1 9.000000 9.000000 1.13 0.3198 temp*cata 1 400.000000 400.000000 50.00 0.0001 conc*cata 1 0.000000 0.000000 0.00 1.0000 temp*conc*cata 1 1.000000 1.000000 0.13 0.7328Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos –1o Semestre de 2011 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 23
  24. 24. Capítulo 6 – Experimentos FatoriaisINTERAÇÃO TEMP*CONC*CATAIntrodução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos –1o Semestre de 2011 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 24
  25. 25. Capítulo 6 – Experimentos Fatoriais temp Cata y LSMEAN LSMEAN Number 160 C1 57.0000000 1 160 C2 48.5000000 2 180 C1 70.0000000 3 180 C2 81.5000000 4 y Level of conc N Mean Std Dev 20 8 66.7500000 12.7363372 40 8 61.7500000 14.4593025Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos –1o Semestre de 2011 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 25

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