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Material integrante do curso "Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos" - Prof. Pedro Ferreira Filho e Profa. Estela Maris P. Bereta - UFSCar

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  • 1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOSCENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICAINTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTO E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS CAPÍTULO # 5EXPERIMENTOS COM UM ÚNICO FATOR (ONEWAY) PROF. PEDRO FERREIRA FILHO PROFa. ESTELA MARIS P. BERETA 2º SEMESTRE DE 2010
  • 2. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway)5. EXPERIMENTOS COM ÚNICO FATOR (ONEWAY)5.1. INTRODUÇÃO: Experimentos com um único fator são aqueles onde existe uma única variável de interesseno estudo . Os testes de hipótese para comparação de duas médias (ou dois tratamentos) vistosno capítulo 3 são um caso particular desse tipo de situação. No entanto, os procedimentos vistosanteriormente somente podem ser utilizados em situações onde o número de tratamentos emestudos é no máximo igual a dois. Usualmente os estudos experimentais tem por objetivo comparar três ou mais tratamentos,ou ainda, nessa situação, estudar um fator de interesse que apresenta três ou mais possíveisvalores (tratamentos). Por exemplo, num exemplo anterior, havia interesse e, estudar orendimento de uma dada reação química considerando três diferentes tipos de catalisadores.Nesse caso existe um único fator: Catalisadores e três tratamentos que são os três (ou mais) tiposde catalisadores a serem investigados. Abordaremos os experimento com único fator nsa situaçãoonde não existe restrição a aleatorização (experimentos completamente aleatorizados) e napresença de uma única fonte de restrição (experimentos aleatorizados em blocos).5.2. EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS:5.2.1. INTRODUÇÃO: Um experimento completamente aleatorizado com um único fator (ONEWAY) é umplanejamento experimental que envolve apenas um fator com “a” níveis onde os tratamentos sãoatribuídos as unidades experimentais sem qualquer restrição, ou ainda, toda unidade experimentaltem a mesma probabilidade de receber qualquer um dos tratamentos (níveis do fator) em estudo.A eficiência deste tipo de planejamento esta diretamente relacionada a homogeneidade dasunidades experimentais com respeito aos objetivos do estudo. Quanto maior for ahomogeneidade melhores serão os resultados obtidos nesse tipo de planejamento experimental. Consideremos o seguinte exemplo: Um experimento foi realizado para verificar a produtividade de 4 tipos de variedade demilho. A produção em cada unidade experimental (lotes homogêneos) foi a seguinte:Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 2
  • 3. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway) Varie- Repetições dade 1 2 3 4 5 A 25 26 20 23 21 B 31 25 28 27 24 C 22 26 28 25 29 D 33 29 31 34 28Problema:Existe uma variedade que apresenta produtividade melhor que as demais?Visualizando os dados observados:Situação: Experimento:  Completamente Aleatorizado  Um único fator – Variedades de milho  Efeitos Fixos (interesse em identificar qual das quatro variedades é a melhor).  Balanceado: todos os tratamentos foram aplicados ao mesmo número de unidades experimentais;Questão:Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 3
  • 4. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway) Como definir um teste para verificação da hipótese de existência ou não de diferença entreos tratamentos?5.2.2. ANÁLISE ESTATÍSTICA:5.2.2.1. NOTAÇÃO:Seja: Yij = variável resposta observada no i-ésimo tratamento e j-ésima unidade experimental;i = 1, 2, …, a (tratamentos)j = 1, 2, ..., ni (número de unidades experimentais por tratamento) a N= ni i 1 (número total de unidades experimentais)No exemplo:Yij = produtividade da i-ésima variedade na j-ésima unidade experimental.i = A, B, C, Dj = 1,2, 3, 4, 5 (para todo i)e n1 = n2 = ... = na = n n.a = N 5*4= 20 Neste caso temos um experimento balanceado, isto é, todos os tratamentos sãoaplicados no mesmo número de unidades experimentais.APRESENTAÇÃO DOS DADOS: Tratamentos Observações Totais Médias 1 y11 y12 ... y1n1 y1. y 1. 2 y21 y22 ... y2n2 y2. y 2.     a ya1 ya2 ... yan ya. y a. y..Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 4
  • 5. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway) ni y i. y ij (total do i-ésimo tratamento) j 1 ni 1 yi. y i. y ij (média do i-ésimo tratamento) ni j 1 ni a ni y .. y ij (total das observações) i 1 j 1No exemplo: Varie- Repetições yi. y i. dade 1 2 3 4 5 A 25 26 20 23 21 115 23 B 31 25 28 27 24 135 27 C 22 26 28 25 29 130 26 D 33 29 31 34 28 155 31 Totais y.. y .. = 26.755.2.2.2. MODELO ESTATÍSTICO: A análise estatística para verificar o problema em estudo (igualdade ou não dostratamentos) passa pelo ajuste de um modelo linear estatístico definido da seguinte forma: yij = + i + ij (chamado modelo de desvio médio) (5.1)ondeYij = variável resposta observada no i-ésimo tratamento e j-ésima unidade experimental;µ = efeito comum a todos os tratamentos, parte da resposta que não depende dos tratamentos; i = efeito específico do i-ésimo tratamento i = erro aleatório (parte da resposta não representada pelo modelo)Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 5
  • 6. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway)Interpretação: A resposta yiz é devida a um “efeito comum” mais um efeito específico do i-ésimotratamento mais um efeito aleatório.Do ponto de vista do modelo temos na forma matricial:Situação a = 3; ni = 3, todo i;Problemas:  Estimar os parâmetros  Teste de Hipótese  Verificar a adequabilidade do modelo5.2.2.3. ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS:Alternativas: Estimadores de Máxima Verossimilhança Estimadores de Mínimos Quadrados a Usando o métodos dos mínimos quadrados coma restrição de que ciτi 0 , temos: i 1 ˆ μ y .. ˆi y i. y i.. i= 1,2,....aInterpretação: O efeito comum é estimado pela média geral dos dados observados; O efeito específico é estimado pela diferença entre a média das observações do especifico tratamento em relação a média geral.Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 6
  • 7. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway)No Exemplo:Estimativa dos Parâmetros: ˆ μ 26.75 ˆ1 3 . 75 ˆ2 0 . 25 ˆ3 0 . 75 ˆ4 4.25Interpretação: O tratamento 1 (adubo A) tem em média um rendimento médio 3.75 unidades a menos que o efeito comum (efeito obtido independente dos tratamentos). O tratamento 2 (adubo B) tem em média um rendimento médio 0.25 unidades a mais que o efeito comum (efeito obtido independente dos tratamentos). O tratamento 3 (adubo C) tem em média um rendimento médio 0.75 unidades a menos que o efeito comum (efeito obtido independente dos tratamentos). O tratamento 4 (adubo D) tem em média um rendimento médio 4.25 unidades a mais que o efeito comum (efeito obtido independente dos tratamentos).Observação: Alguns autores preferem o modelo estatístico dado por: Yij= i + ijOnde i = + idefinido anteriormente. Alguns resultados apresentam diferenças em relação ao modelo apresentado, porém asconclusões obtidas usando qualquer uma das alternativas são exatamente as mesmas.5.2.2.4. TESTE DE HIPÓTESES: O interesse no estudo é o de comparar os tratamentos que estão sendo investigados.Como agora, três ou mais tratamentos, a hipótese inicial a ser investigada é a de que se todos ostratamentos são iguais, ou seja, se todos são igualmente “eficientes”. No caso de não rejeiçãodesta hipótese, concluí-se pela igualdade dos tratamentos envolvidos, ou ainda, que não existe umIntrodução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 7
  • 8. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway)tratamento com maior efeito que os demais. No caso de rejeição de hipótese de igualdade,conclui-se que pelo dois tratamentos são diferentes e, nesse caso, novos procedimentos devemser realizado para se identificar os tratamentos diferem, ou ainda, que tratamento ou tratamentossão mais eficientes. O teste de igualdade de tratamentos utilizando o modelo definido em (5.1) implica no testeda seguinte hipótese. Ho : i =0 i = 1, ..., a H1 : i 0 para pelo menos um i.Interpretação: Se a hipótese Ho não é rejeitada todos os parâmetros i são iguais a zero, ou seja, osefeitos específicos de todos os tratamentos são iguais a zero (não existem), portanto o modelo(5.1) fica: yij = + ijque não depende dos tratamentos, ou ainda, mudança nos níveis do fator não tem efeito sobre aresposta. Se a hipótese Ho é rejeitada todos os parâmetros, pelo menos um i diferente de zero,ou seja, os existe pelo menos um dos tratamentos com um efeito específico que o torna melhor(ou pior) que os demais tratamentos. Vamos considerar alguns pressupostos sobre a componente aleatória ij do modelo 5.1.: a) E[ ij] = 0 (os erros têm valor esperado igual a zero, ou a média dos erros é zero) 2 2 b) V[ ij] = (a variância do erros éconstante e igual a uma dados valor ) c) ij são não correlacionados. (o que não é ajustado pelo modelo para uma unidade experimental, não esta relacionado com o que não é explicado para uma unidade de observação j)Conseqüência:E(Yi) = E ( + i + i) = + i + E( ij )= + iIntrodução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 8
  • 9. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway) 2V(Yi) = E ( + i + i) = V( ij )=Se considerarmos ainda que: 2 ij ~ N (0, )isto é, erros aleatórios, distribuídos segundo um modelo normal com média zero e variânciaconstante. Portanto temos que: 2 Yij ~ N ( + i , ) Desta forma, sob a suposição acima, podemos representar nossa hipótese da seguinteforma: Ou seja, o teste de hipóteses, considerando as suposições acima, significa que cada tratamento segue um modelo normal com uma dada média específica ( + i) e uma 2 mesma variância constante . O teste de hipóteses tem por objetivo verificar se estas diferentes médias especificas são iguais, ou ainda se todos efeitos específicos i são iguais a zero.Problema: Como testar as hipóteses acima? 1) No caso de dois tratamentos: Teste t 2) Dois ou mais tratamentos: Teste F – ANOVA = Análise de VariânciaIntrodução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 9
  • 10. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway)5.2.2.5. ANOVA – ANÁLISE DE VARIÂNCIA: O princípio da ANOVA é o de estudar a variabilidade dos dados de forma a identificar queparcela desta variabilidade é devida ao efeitos dos diferentes tratamentos e que parcela dela édevida aos erros aleatórios não controláveis.Proposta: Particionar a variabilidade total dos valores observados para a medida de comparação Yiz,em duas componentes: uma devida ao modelo (parte não aleatória) e outra devida aos errosaleatórios, isto é: Variabilidade Total = Variabilidade Modelo + Variabilidade dos Erros Vamos considerar como medida de variabilidade total, a soma de quadrados de desvios emtorno da média para cada uma das observações, ou seja: a ni 2 Variabilid ade Total SQT y ij - y .. i 1 j 1 A partir de alguns procedimentos algébricos temos: a ni 2SQT y ij - y .. i 1 j 1 a ni 2 y ij y i. y i. y .. i 1 j 1 a ni 2 y ij y i. yi y .. i j a ni a ni a ni 2 2 y i. y .. y ij y i. 2 y ij y i. y i. y .. i j i j i 1 j 1 a ni a ni 2 2 y i. y .. y ij y i. 0 i j i j a a ni 2 2 ni yi . y .. y ij y i. i i jSQT SQTr SQEIntrodução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 10
  • 11. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway)onde: SQTr = SQM = Soma de Quadrados Tratamentos (modelo) : quantifica a variabilidade entre tratamentos; SQE = Soma quadrados dos erros: quantifica a variabilidade dos erros;Idéia Geométrica:Interpretando: SQE : soma dos quadrados dos desvios das observações em relação a média de cada tratamentos; SQTr : soma dos quadrados dos desvios da média de cada tratamento em relação a média geral; A medida que cresce a soma de quadrados de tratamentos temos uma maior variabilidade entre os tratamentos, conseqüentemente temos que existe diferença entre os tratamentos. Caso contrário, maior variabilidade dentro dos tratamentos e menor variabilidade entre tratamentos, temos a não existência de diferença entre tratamentos.Problema: Como quantificar o quanto “pequeno” é a soma de quadrados de tratamentos?Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 11
  • 12. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway)Expressões: a ni a ni 2 2 2 y ..SQT y ij - y .. y ij i 1 j 1 i 1 j 1 n a 2 2 1 a 2 y ..SQTr ni yi . y .. yi . i 1 ni 1 nSQE SQT SQTr 2 y ..Nota: é usualmente chamado de fator de correção (FC) nConsideremos o seguinte quadro: Tabela ANOVA Fonte de Graus de Soma de Quadrados E(QM)* F Variação Liberdade Quadrados Médios Modelo a-1 SQTr SQ Tr/a-1 σ 2 1 ni τ i 2 QMTr a 1 (Tratamentos) QME Erro N-a SQE SQE/N-a σ 2 Total N-1 SQT - -* Esta coluna não é usualmente apresentada. A tabela acima nos mostra que se a hipótese H0 é verdadeira ( todos i = 0) emmédia(E(QM)) o quadrado médio de tratamentos e o quadrado médio de erros são iguais a um 2mesmo valor ( no caso!). Portanto, se a hipótese H0 é verdadeira a razão entre QMTr/QMEdeve ser próxima de 1.Problema: Como quantificar o quanto “próxima de 1” esta razão?Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 12
  • 13. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway) 2 Considerando que a suposição: ij ~ N (0, ) é verdadeira podemos provar que(ver Mongomery páginas 270 a 273) que: QMTr Fc ~ Fa 1, N a QMEConsequentemente: Rejeitamos H0 com u m nível se significância (erro tipo I) se: QMTr Fc Ft Fa 1, N a ( ) QMEGraficamente: Gráfico 1 – Região Critica para o Teste F.Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 13
  • 14. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway)Uma alternativa usando softwares estatísticos é: Valor P = P[ Fa-1,N-a > Fc] = cIsto é: Gráfico 2 – Valor para estatística F calculadaLogo: Se c > não se rejeita H0 Se c < rejeita-se H0 Retornando ao exemplo: Source DF Sum of Squares Mean Square F Value Pr > F Model 3 163.7500000 54.5833333 7.80 0.0020 Error 16 112.0000000 7.0000000 Corrected Total 19 275.7500000Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 14
  • 15. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway) R-Square Coeff Var Root MSE Y Mean 0.593835 9.890659 2.645751 26.75000 Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F F 3 163.7500000 54.5833333 7.80 0.0020Temos Fc = 7.80Considerando = 5% temos F3,16(5%) = 3.24Logo: QMTr Fc 7 . 80 3 . 24 Ft F 3 ,16 ( 5 %) QME Portanto REJEITA-SE Ho, isto é, pelo menos dois tratamentos diferem, ou ainda existepelo menos um tratamento que é mais eficiente que outro (maior produtividade no caso!).De outra forma:Da tabela da Anova (obtida através de um software estatístico) temos que: c Pr F 0 . 0020 0 . 05 ( 5 %) )Portanto REJEITA-SE Ho.Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 15
  • 16. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway)Complementação:O ajuste do modelo : yij = + i + ija partir dos dados do experimentos é dado pela estimativa dos parâmetros : ˆ μ 26.75 ˆ1 3 . 75 ˆ2 0 . 25 ˆ3 0 . 75 ˆ4 4.25Consequentemente temos a seguinte decomposição dos valores observados: 25 31 22 33 26 . 75 26 . 75 26 . 75 26 . 75 3 . 75 0 . 25 0 . 75 4 . 25 2 .0 4 .0 4 .0 2 .0 26 25 26 29 26 . 75 26 . 75 26 . 75 26 . 75 3 . 75 0 . 25 0 . 75 4 . 25 3 .0 2 .0 0 .0 2 .0 20 28 28 31 26 . 75 26 . 75 26 . 75 26 . 75 3 . 75 0 . 25 0 . 75 4 . 25 3 .0 1 . 75 2 .0 0 .0 23 27 25 34 26 . 75 26 . 75 26 . 75 26 . 75 3 . 75 0 . 25 0 . 75 4 . 25 0 .0 0 .0 1 .0 3 .0 21 24 29 28 26 . 75 26 . 75 26 . 75 26 . 75 3 . 75 0 . 25 0 . 75 4 . 25 2 .0 3 .0 3 .0 3 .0Ou ainda:O Valor observado yij é decomposto em um efeito comum (não depende dos tratamento) +efeito especifico i do tratamento aplicado a unidade experimental mais uma aquilo que nãopode ser incorporado pelo modelo, erro observado ij chamado de RESIDUOS do modelo e queobtidos e denotados por: ˆ ij Y ij - ˆ - ˆiPor sua vez: ˆ Y ij ˆ ˆiÉ chamado valor estimado ou valor PREDITO pelo modelo.Consequentemente: ˆij ˆ Y ij - YijResíduos = Valor Observado – Valor PreditoIntrodução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 16
  • 17. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway)PROBLEMA: 2 Inferências foram realizadas a partir da hipótese de que i são iid N (0, )ou seja: a) E[ ij] = 0 (os erros têm valor esperado igual a zero, ou a média dos erros é zero) 2 2 b) V[ ij] = (a variância do erros é constante e igual a uma dados valor ) c) ij são não correlacionados. (o que não é ajustado pelo modelo para uma unidade experimental, não esta relacionado com o que não é explicado para uma unidade de observação j) d) ij seguem os padrão de um modelo de probabilidade Normal.  Como verificar se as suposições acima são verdadeiras para os dados observados no experimento?5.2.3. DIAGNÓSTICO DE MODELO:Objetivo: Verificar se as suposições estabelecidas para obtenção do ajuste e teste dos parâmetros,são satisfeitas.Suposição: 2 i são iid N (0, )Questões:  Presença de Valores Extremos (Dados aberrantes-discrepantes)  Independência (Aleatoriedade)  Normalidade  Homocedasticidade (Variância Constante)Instrumentos: Histograma e Box-Plot dos resíduos Gráfico normal probabilístico Gráfico de resíduos em ordem temporal (para situações onde existe uma seqüência temporal na coleta dos dados) Gráfico de resíduos versus preditoIntrodução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 17
  • 18. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway) Gráfico de resíduos versus fatores Testes de Igualdade de Variâncias5.2.3.1. IDENTIFICAÇÃO DE VALORES EXTREMOS – PONTOS DISCREPANTES(ABERRANTES): A identificação de valores extremos (dados discrepantes ou aberrantes) faz parte daanálise descritiva e exploratória dos dados. No caso de planejamento de experimentos algunsprocedimentos específicos podem ser destacados na busca da verificação da existência de valoresextremos. Procedimentos usuais que auxiliam na análise descritiva e exploratória destes dados são:Ramos e Folhas, Diagrama de Pontos e Box Plot.Consideremos os seguintes dados:Tabela: Dados provenientes de um Experimento Completamente Aleatorizado – Oneway (Exemplo Anterior) Varie- Repetições dade 1 2 3 4 5 A 25 26 20 23 21 B 31 25 28 27 24 C 22 26 28 25 29 D 33 29 31 34 28Dados Originais: Para se verificar a presença de valores extremos(ou dados discrepantes) podemos utilizarprocedimentos simples, como gráfico de dispersão e Box-Plots. Devemos verificar, neste caso,valores que se destacam dos demais na apresentação dos valores observados. O Ramo e Folhaspode ser uma outra alternativa para identificação destes valores. Nos dados abaixo, podemosobservar claramente a não presença de valores extremos.Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 18
  • 19. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway)Resíduos: Uma alternativa para identificação de valores extremos é a utilização dos resíduos domodelo estimado, ou seja: ˆ ij e ij y ij ˆ ij y Os procedimentos acima descritos podem ser utilizados, agora não mais com os dadosoriginais mas sim com os resíduos estimados. Observando as figuras abaixo podemos observar que, também neste caso, não existeevidências da existência de algum valor extremo.Nota: Diversos autores propõem o uso dos chamados resíduos padronizados no lugar dos resíduos ordinários acima definidos. Os resíduos padronizados são definidos por: ˆ ij ˆ ij Var ˆ ij QMEIntrodução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 19
  • 20. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway) Figura – Identificando Valores Extremos a partir dos Resíduos EstimadosPROCEDIMENTO ALTERNATIVO; Considerando que os erros têm distribuição N(0, 2), pode-se esperar que a médiacontém aproximadamente 68% dos dados, a média 2 contém aproximadamente 95% dosdados e a média 3 contém aproximadamente 99% dos dados. Desta forma, podem serconsiderados valores extremos aqueles que forem superiores a 3 .CONCLUSÃO: Identificado um valor extremo, usualmente ele é excluído da análise. Porém, na pratica, éo pesquisador quem deve determinar se um valor extremo pode realmente ser assim considerado.Pois os valores extremos podem fornecer informações importantes sobre o experimento eestatisticamente podem demonstrar que uma outra distribuição deve melhor representar ocomportamento dos dados.5.2.3.2. VERIFICANDO A INDEPENDÊNCIA: (ERROS NÃO CORRELACIONADOS) A independência dos resíduos, é usualmente avaliada através de um gráfico dos resíduosvs valores preditos. Na hipótese de ser satisfeita a suposição de independência não deverá existirnenhum padrão neste gráfico, ou seja, nenhum comportamento não aleatório dos valoresobservados. No exemplo temos: Figura – IndependênciaIntrodução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 20
  • 21. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway) Figura – Situações de Não IndependênciaNOTAS:Existindo o registro da ordem de obtenção dos valores, recomenda-se o uso do gráfico dosresíduos vs a ordem de coleta de forma a verificar algum padrão na resposta e,conseqüentemente uma dependência entre as observações.5.2.3.3 VERIFICANDO A NORMALIDADE: A suposição de normalidade dos resíduos pode ser verificada graficamente ou através detestes. Graficamente é usualmente utilizado o gráfico normal probabilístico e os testes maisutilizados e implementados em softwares são: Teste de Shapiro-Wilk, Anderson-Darling,Kolmogorov-Smirnov, Cramer-von Mises, Liliefors. O gráfico de probabilidade e um método para determinar se os dados da amostra (errosestimados, nessa situação) seguem uma distribuição hipotética, baseada no exame visual dosdados. O procedimento geral e muito simples e pode ser feito rapidamente. Gráfico deIntrodução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 21
  • 22. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway)probabilidade usa tipicamente um papel gráfico especial, conhecido como papel de probabilidade,que tem sido projetado para a distribuição hipotética. A papel de probabilidade e largamentedisponível para as distribuições normal, lognormal, Weibull e varias distribuições quadrado egama. Softwares estatísticos atualmente substituem o uso destes papéis, necessários durantelongo tempo. Para construir um gráfico de probabilidade, as observações na amostra são primeiro ordenadasda menor para a maior. Ou seja, a amostra X1., X2, .. .Xn e arrumada como x(1),x(2) ...,x(n) emque x(I) é a menor observação, X(2) e a segunda menor observaçao e assim por diante, com x(n)sendo a maior. As observações ordenadas Xa(U) sao então grafadas contra suas freqüênciascumulativas observadas (j - 0,5)/n em um papel apropriado de probabilidade. Se a distribuiçãohipotética descrever adequadamente os dados, os pontos picotados cairão, aproximadamente, aolongo de uma linha reta; se os pontos plotados desviarem significativamente de uma linha reta,então o modelo hipotético não será apropriado. Geralmente, determinar se os dados plotadosseguem ou nao a linha reta e algo subjetivo. O procedimento e ilustrado no seguinte exemplo.Um Exemplo: Dez observações sobre o tempo (em minutos) efetivo de vida de serviço de baterias usadas em um computador pessoal sao: 176,191,214,220,205, 192,201,190, 183,185. Imaginemos que a vida da bateria seja modelada adequadamente por uma distribuição normal. Para usar o gráfico de probabilidade de modo a investigar essa hipótese, arranje primeiro as observações em ordem crescente e calcule suas freqüências cumulativas (j- 0,5)/10 conforme segue. j X9i) (j - 0,5)/10 1 176 0,05 2 183 0,15 3 185 0,25 4 190 0,35 5 191 0,45 6 192 0,55 7 201 0,65 8 205 0,75 9 214 0,85 10 220 0,95Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 22
  • 23. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway) Os pares de valores x(i) e (j - 0,5)/10 são agora plotados em um papel de probabilidadenormal. Esse gráfico é mostrado na figura abaixo. A maioria dos papeis de probabilidade normalplotam 100(j - 0,5)/n na escala vertical da esquerda e 100[ 1 - (j - 0,5)/n] na escala vertical dadireita, com o valor da variável plotada na escala horizontal. Uma linha reta, escolhidasubjetivamente, foi desenhada através dos pontos plotados. Desenhando a linha reta, você deveestar mais influenciado pelos pontos perto do meio do gráfico do que pelos pontos extremos. Umaboa regra pratica e desenhar a linha aproximadamente entre 0 25.0 e 0 75.0 pontos percentis.Essa é a maneira como a linha na foi determinada. Na estimação de quão perto os pontos estãoda linha reta, imagine um "lápis grosso" repousando ao longo da linha. Se todos os pontos foremcobertos por esse lápis imaginário, então distribuição normal descreverá adequadamente osdados. Uma vez que os pontos na Figura abaixo passaram no teste do "lápis gordo", conc1uimosque a distribuição normal é um modelo apropriado. Um gráfico de probabilidade normal pode também ser construído em um papel gráfico normal,plotando os escores normais padrões Zj contra x(i), em que os escores normais padrões satisfazem: j 0 .5 P[Z z] (z j ) n Por exemplo, se (j-0.5)/n = 0.05 então (zj) = -1.64. Para ilustrar, consideremos os dadosdo exemplo acima.Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 23
  • 24. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway) j X9i) (j - 0,5)/10 Zj 1 176 0,05 -1.64 2 183 0,15 -1.04 3 185 0,25 -0.67 4 190 0,35 -0.39 5 191 0,45 -0.13 6 192 0,55 0.13 7 201 0,65 0.39 8 205 0,75 0.67 9 214 0,85 1.04 10 220 0,95 1.64O gráfico normal probabilístico é então dado pela seguinte figura: Retornando ao exemplo das variedades de milho temos:Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 24
  • 25. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway)Gráfico Normal Probabilístico: Figura – Gráfico Normal Probabilístico dos Resíduos Neste gráfico, se os valores observados formarem uma reta, portanto os erros seguemuma distribuição normal. A maioria dos dados deve também estar concentrada no meio da retapara satisfazerem a suposição de normalidade. Os valores das caudas da distribuição não devemser considerados com tanto rigor, mas sim analisados para se verificar se são valores extremos ounão.5.2.3.4. VERIFICANDO A HOMOCEDASTICIDADE: A suposição de homocedasticidade significa que a variabilidade entre repetições de ummesmo tratamento deve ser semelhante a dos demais tratamentos. A verificação desta suposiçãopode ser feita através do uso de testes ou por meio de análise gráfica.Testes para Verificação de Homocedasticidade:Hipóteses: 2 2 2 Ho : 1 = 2 = ... = a 2 2 H1 : i = i para pelo menos i j, Diferentes testes são propostos na literatura para teste da hipótese acima. Os testes maisconhecidos são: a) Teste de Hartley: Exige um mesmo número de repetições entre os tratamentos.Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 25
  • 26. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway) b) Teste de Bartlett: Pode ser utilizado para qualquer número de repetições nos tratamentos. c) Teste de Cochran: Pode ser utilizado para qualquer número de repetições nos tratamentos. d) Teste de Levene: Anova para resíduos . TESTE DE HARTLEY : F máximo O teste de Hartley também é conhecido como teste do F máximo. A estatística do teste édada por: 2 S max F max 2 S minonde:S max = maior variância dentre os “a” tratamentos; 2S min = menor variância dentre os “a” tratamentos; 2 Fmax é comparado com o valor tabelado para H(g,r-1) da tabela de Pearson e Hartley, ondeg=número de tratamentos e r= número de repetições (mesmo para todos os tratamentos). Se Fmax > H(g,r-1) rejeita-se H0 e conclui-se que não existe homogeneidade de variânciaentre os tratamentos. Caso contrário H0 não é rejeitada.Análise Gráfica para Verificação da Homocedasticidade: Box-Plot dos Tratamentos vs Resíduos: Se existe homocedasticidade, espera-se que os Box-plots seja semelhantes, ou seja,apresentem um variabilidade muito próxima nas “caixas” dos diferentes tratamentos. Se existeheterocedasticidade, a variabilidade é diferente entre as caixas. As vezes, a heterocedasticidadepode ser também um indicio da falta de normalidade.Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 26
  • 27. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway) Figura – Box Plot para ResiduosProblema: Pequenas Amostras. Gráfico de Dispersão de Resíduos vs Predito: O gráfico de resíduos vs predito é, no caso de experimentos com um fator (ONEWAY),semelhante ao gráfico de resíduos vs tratamento. Este não será o caso quando dois ou maisfatores estiverem envolvidos na análise. Se existe homocedasticidade, espera-se que os desvios se distribuam de forma homogêneadentre de um mesmo intervalo. Se os desvios apresentarem variação com diferentes amplitudes,temos a situação de heterocedasticidade.Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 27
  • 28. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway) Figura – Variância Constante Situação ideal: A variabilidade é constante, isto é, aproximadamente a mesma nos diferentes tratamentos. Figura – Variância não Constante Situação de não homocedasticidade: A variabilidade cresce a medida que cresce o valor predito.Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 28
  • 29. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway) Figura – Variância não Constante Situação de não homocedasticidade: A variabilidade decresce a medida que cresce o valor predito. Figura – Variância não Constante Situação de não homocedasticidade: A variabilidade cresce para valores próximos a média o valor predito.Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 29
  • 30. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway) Figura – Variância não Constante Situação de não homocedasticidade: A variabilidade decresce para valores próximos a média o valor predito.QUESTÃO: O que fazer quando alguma das suposições ( normalidade e/ou homocedasticidade) não são satisfeitas? O procedimento usualmente nestes casos é o uso de transformações na variável resposta.O uso de transformações é um artifício matemático com bons resultados quando existe umarelação entre média e variância (heterocedasticidade regular). Nos demais casos, astransformações dificilmente apresentam resultados satisfatórios. Atualmente, novos procedimentos estatísticos são propostos como alternativa ao uso detransformação dos dados. Além dos já tradicionais procedimentos de métodos nãoparamétricos, hoje estão disponíveis, inclusive em todos os softwares mais conhecidos, osmétodos de Modelos Lineares Generalizados, que levam em conta a natureza da distribuiçãoda variável em estudo.Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 30
  • 31. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway)5 . 2 . 4 . COMPARAÇÕES MULTIPLAS:5 . 2 . 4 . 1 . INTRODUÇÃO: A análise estatística de um problema de comparação de “a” médias nem sempre chega aoseu final com os resultados da tabela da Análise de Variância. Se não rejeitamos H0 não existemais nada a ser investigado, porém se rejeitamos Ho estamos concluindo pela evidencia de quepelo menos dois dos tratamentos em estudo, diferem significativamente. Desta forma é deinteresse prosseguir a análise a fim de se identificar as diferenças entre as médias dos diferentestratamentos. Esta continuação da análise é feita através de técnicas estatísticas denominadas“Comparações Múltiplas”.Objetivo: Identificar, quando rejeitamos Ho numa ANOVA, que tratamentos diferemsignificativamente.Proposta: Estabelecer uma “diferença mínima significativa(d.m.s)” entre duas médias. Toda vezque o valor absoluto da diferença entre duas médias for maior ou igual d.m.s., as médias sãoconsideradas estatisticamente diferentes, ao nível de significância estabelecido. Foram propostas diversas maneiras de estabelecer uma d.m.s. Cada proposta é narealidade, um teste que, em geral, leva o nome do seu autor. Não existe um procedimento para acomparação de médias que seja definitivamente o “melhor”. Vários trabalhos são encontrados naliteratura fazendo estudos comparativos dos diferentes métodos que, incluindo-se novas propostasque freqüentemente são apresentadas. Em geral é possível mostrar a existência de procedimentosmais eficientes para situações especificas, porém não se mostrou, até hoje, um método que sejamais eficaz para um caso geral. Procedimentos gráficos também são propostos, mais como uma forma descritiva deinvestigar as diferenças entre tratamentos (ou grupos de tratamentos).5.2.4.2. TESTE T- TESTE LSD (LEAST SIGNIFICANT DIFFERENCE):Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 31
  • 32. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway) Teste proposto por Fisher que também propos a expressão diferença mínimasignificativa (least significant difference). É provavelmente, o teste menos usado.Características: A d.m.s. é definida por: QME LSD t ,N a 2 (dados balanceados) 2 n 1 1 LSD t QME (dados não balanceados) ,N a ni nj 2Rejeita-se a igualdade entre dois tratamentos se:  yi . y j. LSD5.2.4.3. TESTE DE TUKEY: O teste proposto por Tukey (1953) permite testar qualquer contraste, sempre, entre duasmédias de tratamentos, ou seja, não permite comparar grupos entre si. A d.m.s. é neste casodefinido por: QME q (a, f ) (dados balanceados) n q (a, f ) 1 1 QME (dados não balanceados) 2 ni njonde q é chamada de amplitude total studentizada que depende do número de tratamentos (a) edo número de graus de liberdade dos erros (f). (tabela encontrada em Montogomery ). O testepreserva o nivel de significância para todos os contrastes.Rejeita-se a igualdade entre dois tratamentos se:  yi . y j.Nota: O teste de Tukey foi proposto depois do teste t. O autor denominou a diferença mínimasignificativa que obteve pelo teste de diferença honestamente significante. Deste fato resultaque alguns softwares denominam este teste de HSD (honestly significant difference).5.2.4.4. APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS:Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 32
  • 33. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway) Os resultados de um teste de comparações múltiplas, qualquer que seja o métodoutilizado, é usualmente apresentado através de um método de letras, da seguinte forma: Inicialmente ordena-se as médias de tratamentos em ordem crescente (ou decrescente).Coloca-se uma letra do alfabeto na primeira média e em seguida compara-se com as médiasseguintes. Se a diferença for superior ao valor da d.m.s. a diferença é considerada significativa eportanto é atribuída uma outra letra a média que foi comparada. Ao final temos que médias de tratamentos que não diferem significativamente tem emcomum uma letra enquanto que médias que diferem não tem nenhuma letra em comum. Consideremos as seguintes situações onde as médias estão ordenadas em ordemdecrescente ( A > C > D > B): Situações Tratamentos Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5 A a a a a a C a b b b a b D a c c b c b c B a d c c cInterpretando: Caso 1: Situação onde não foi rejeitado H0 na tabela de ANOVA, ou seja, não existem diferenças entre quaisquer dois tratamentos. Caso 2: Outra situação extrema, todos os tratamentos diferem entre si. Caso 3: Temos que A C diferem de todos os tratamentos e D e B são estatisticamente iguais entre si. Caso 4: A difere de todos os demais tratamentos, C e D são estatisticamente iguais mas C difere de todos os demais enquanto que D é também estatisticamente igual a B. Caso 5: A é estatisticamente igual a C mas difere dos demais, enquanto que C é estatisticamente também igual a D e diferente de B. Por sua vez D é estatisticamente igual a B.Exemplo das Variedades de Milho:Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 33
  • 34. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway)Diferenças Mínimas Significativas: QME 7LSD t 2 2 . 119 * 2* 3 . 547 ,N a 2 n 5 QME 7Tukey q (a, f ) 4 . 04 * 4 . 787 n 5 Variedades y i. Fisher Tukey A 23 A A C 26 A B A B B 27 B A B D 31 C BPor exemplo:C – A = 26 – 23 = 3 < 3.54 = LSD C e A não diferem significativamenteD – A = 31 – 23 = 8 > 3.54 = LSD D e A diferem significativamente e D é superior a AD – A = 31 – 23 = 8 > 4.78= Tukey D e A diferem significativamente e D é superior a A..........Conclusão: Pelo método de Fisher temos que a Variedades que apresenta maior rendimento são é a Dque é estatisticamente superior as demais. B e C e também A e C São também estatisticamenteiguais. Pelo método de Tukey D, B e C , B, C e A são estatisticamente iguais. D, B e C apresentamos melhores rendimentos porém B e C também são iguais a D, logo apenas D e A sãoestatisticamente iguais conseqüentemente D seria a variedade recomendada para uso. Portanto ambos os métodos apontam para uma mesma variedade a ser utilizada.Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 34
  • 35. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway)5.3. EXPERIMENTOS EM BLOCOS ALEATORIZADOS:5.3.1. INTRODUÇÃO: Existem situações experimentais onde as unidades experimentais são heterogêneas devidoa presença de uma (ou mais) fonte(s) de variação(ões) conhecida(s) e que pode(m) sercontrolada(s) quando da realização do experimento. Nestes casos o processo de aleatorizaçãodeve ser realizado após o agrupamento das unidades experimentais em subconjuntoshomogêneos. Portanto temos uma restrição no processo de aleatorização, ou seja, a atribuiçãodos tratamentos às unidades experimentais deve ser realizada somente após a identificação dossubconjuntos homogêneos, usualmente chamado de “blocos”. Desta forma, espera-se que existauma variabilidade entre unidades experimentais de diferentes blocos, explicada pela fonte devariação conhecida, e uma homogeneidade (baixa variabilidade) entre as unidades experimentaisde um mesmo “bloco”. O uso de “blocos” pode também facilitar a condução do experimento. Pode-se porexemplo, existir uma limitação de tempo para realização do experimento (intervalo de tempo,dia, semana...) não sendo possível, necessariamente, garantir as mesmas condições experimentaisa cada período. Nestes casos cada período pode ser considerado como um bloco de forma a isolara eventuais fontes de variabilidade derivadas do fato de todos experimentos não serem realizadosao mesmo tempo. . De acordo com o número de fontes de variabilidade conhecidas que tornam as unidadeshomogêneas, temos diferentes tipos de planejamento com restrições na aleatorização.Uma fonte de Variação Conhecida: Planejamento Aleatorizado em BlocosDuas Fontes de Variação Conhecidas: Planejamento em Quadrado LatinoTrês Fontes de Variação Conhecidas: Planejamento em Quadrado Greco-Latino5 . 3 . 2 . PLANEJAMENTO ALEATORIZADO EM BLOCOS:Problema: As unidades experimentais são heterogêneas devido a presença de uma fonte devariabilidade conhecida e que pode ser controlada na realização do experimento de forma a seobter subgrupos homogêneos.Objetivo:Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 35
  • 36. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway) Agrupar as unidades experimentais em subgrupos homogêneos de forma a manter sob controle a fonte de variabilidade conhecida garantindo desta forma que os resultados a serem obtidos serão devidos somente aos efeitos dos tratamentos em estudo. Exemplo: Um professor conduziu um experimento cujo objetivo era o de com comparar quatro diferentes fontes de informação ( A – Jornal; B – Televisão; C – Revistas; D – Rádio). Para verificar este objetivo, foi escolhido aleatoriamente um conjunto de 24 alunos dentre os quais 12 cursavam a 1a série do ensino médio (Grupo II) e 12 a 6a série do ensino fundamental (Grupo I). Os alunos foram então divididos em 2 grupos, segundo a série que cursavam e para cada um foi atribuído aleatoriamente uma fonte de informação. Os alunos tomaram então conhecimento de certa noticia através da sua fonte de informação sendo então submetidos a um teste de conhecimento sobre o assunto, cujos resultados são apresentados abaixo: Fonte de Informação A B C D Grupo I 65 56 58 38 69 49 65 30 73 54 57 34 Grupo II 72 73 76 71 79 77 69 65 80 69 71 62 Representação Gráfica: N o ta s p o r F o n te s d e In fo rm a ç ã o N o ta s p o r G ru p o s d e A lu n o s 85 85 75 75 65 65 55 55 N o ta sN o ta s 45 45 35 35 25 25 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 F o n te s d e In fo rm a ç ã o G ru p o s d e A lu n o s Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 36
  • 37. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway) N o ta s p o r F o n te s d e In fo rm a ç õ e s e G ru p o s d e A lu n o s 85 2 2 2 2 75 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 65 2 1 1 1 1 55 1 N o ta s 45 1 1 35 1 25 0 .5 1 .0 1 .5 2 .0 2 .5 3 .0 3 .5 4 .0 4 .5 F o n te s d e In fo r m a ç ã oDefinições:Blocos: sub-grupos de unidades experimentais homogêneasBlocos Completos: em cada bloco podemos ter pelo menos uma unidade experimentalsubmetida a cada tratamento.Blocos Incompletos: o número de unidades experimentais é inferior, em um ou mais blocos, aonúmero de tratamentos, logo nem todos os tratamentos são aplicados em todos os blocos.Aleatorização: Processo de atribuição aleatória dos tratamentos às unidades experimentaisdentro de cada bloco.Importante: Um bloco deve ser entendido como uma restrição a aleatorização. Se nãofor considerado este principio, ele provavelmente deve ser um outro fator edeve ser tratado como tal, ou seja, como um experimento fatorial (próximocapítulo).Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 37
  • 38. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway)5.3.2.1. ANÁLISE ESTATÍSTICA: Consideremos um experimento onde se deseja comparar “a” tratamentos sujeito àunidades experimentais heterogêneas segundo uma fonte de variação com “b” possíveis situações. “a” tratamentos e “b” blocos. Blocos Tratamentos 1 2 … B 1 y111 y112 y121 y122 ... y1b1 y1b2 y113 y114 y123 y124 y1b3 y1b4 …. …… …… …… ….. a ya11 ya12 ya21 ya22 ... yab1 yab2 ya13 ya1n ya23 ya2n yab3 yabnOnde: yijk : i = 1, 2, ..., a tratamentos j = 1, 2, ..., b blocos k = 1, 2, ...,nij unidades experimentais por tratamentos em cada bloco.Observação: Se nij é o mesmo ( =n ) para todo i e j temos experimento balanceado.Neste caso na : número total de unidades experimentais por blocos nab : número total de unidades experimentais no experimento nb : número de unidades experimentais que receberam cada tratamento.Simplificação (Caso Usual): Consideremos a situação em que existe somente uma unidade experimental submetida acada tratamento em todos os blocos, isto é, n = 1 N = ab.Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 38
  • 39. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway)Modelo: yij = + i + j + ij : efeito comum que independe de blocos ou tratamentos i : efeito de tratamentos; i = 1, ..., a j: efeito de blocos; j = 1, ..., b ij : Erros aleatóriosEstimadores : ˆ y .. ˆi yi . y .. ˆ βj y.j y .. ˆ ij y ˆ ˆi ˆ J y .. yi . y .. y.j y .. yi . y.j y ..Teste de Hipóteses:Modelo: yij = + i + j + ijProblema:  Verificar a igualdade de tratamentos. Ho : i 0 iHipótese de interesse: H1 : i 0 para pelo menos um iPartição da Soma de Quadrados (n=1): 2 a b a b 2 y ij y .. y yi . yi . y.j y.j y .. y y .. ij .. i 1j 1 i 1j 1 a b 2 yi . y .. y.j y .. y yi . y.j y .. ij i 1 j 1 .......... ... 2 a b a b 2 2 b yi . y .. a y.j y .. y ij yi . y.j y .. i 1 j 1 i 1 j 1Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 39
  • 40. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway)ou seja:SQT = SQModelo + SQE = SQTr + SQBloco + SQEGraus de liberdade: (n=1)Total: N – 1 ( N = nab = ab) tratamentos: a – 1 blocos: b – 1 erro: (a – 1) (b – 1)Esperança dos Quadrados Médios 2 E (QME) = a 2 b i 2 E (QMT) = + i 1 a 1 a 2 a i 2 i 1 E (QMB) = + b 1 2Sob Ho E (QME) = E (QMT) = E(QMB) =Tabela de ANOVA: ANOVA GL SQ QM Modelo a+b–2 SQM - . Blocos b–1 SQB SQB/b-1 . Tratam. a–1 SQTr SQTr/a-1 Erro (a – 1) (b – 1) SQE SQE/(a-1)(b-1) Total N-1Estatística de Teste: QMT Fc QME 2Sob a hipótese ij ~ N (0, )Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 40
  • 41. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway) Fc ~ Fa-1,(a-1)(b-1)E, rejeita-se H0 se Fc > Ft  Verificar a igualdade de blocos. Quando os blocos controlam uma causa de variação conhecida, o teste de efeitos de blocosé totalmente desnecessário. A definição do experimento com uma estrutura de blocos é devido aofato de que é conhecida a variabilidade existente nas unidades experimentais em função dascaracterísticas que definem os blocos Entretanto, o pesquisador, às vezes, organiza blocos para controlar uma fonte de variaçãosobre a qual tem duvidas sobre a sua significância. Nestes casos depois de realizado oexperimento, deseja-se verificar a diferença entre blocos, pois assim conclusões poderão sertomadas de forma a contribuir no planejamento de experimentos futuros.Neste caso, a hipótese a ser testada é dada por: Ho : j= 0 j H1 : j 0 para pelo menos um jTemos que sob Ho 2 E (QME) = E (QMB) =Logo: * QMB Fc ~ F b 1 ,( a 1 )( b 1 ) QMEe rejeita-se H0 se: F c* F b 1 ,( a 1 )( b 1 ) Se os pressupostos que levaram a fixar a estrutura de blocos estão corretos, o teste F*deve ser sempre significativo, ou seja, deve verificar a informação de diferença entre as unidadesexperimentais (olhar direto para o teste F para tratamentos e na para blocos).Importante: Os experimentos em blocos ao acaso são feitos essencialmente para comparartratamentos. Alguns autores aconselham até a não calcular o valor de F para blocos porque, comoos tratamentos são aleatorizados dentro dos blocos e os blocos são definidos de forma nãoaleatória. O teste F para blocos é, portanto, inadequado.Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 41
  • 42. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway)Adequabilidade do Modelo: Devem ser utilizados os mesmos procedimentos vistos para o caso de um único fator,devendo no entanto o gráfico de resíduos ser utilizado nas seguintes alternativas: - Gráfico de resíduos x predito - Gráfico de resíduos x tratamentos - Gráfico de resíduos x blocosContinuação do Exemplo:Duas Situações Ajuste do Modelo sem e com Blocos:Modelo sem Bloco: Source DF Sum of Squares Mean Square F Value Pr > F Model 3 1668.000000 556.000000 4.10 0.0203 Error 20 2714.000000 135.700000 Corrected Total 23 4382.000000Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 42
  • 43. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway) R-Square Coeff Var Root MSE Nota Mean 0.380648 18.49053 11.64903 63.00000 Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F Fonte 3 1668.000000 556.000000 4.10 0.0203Modelo com Blocos: Source DF Sum of Squares Mean Square F Value Pr > F Model 4 3612.000000 903.000000 22.28 <.0001 Error 19 770.000000 40.526316 Corrected Total 23 4382.000000 R-Square Coeff Var Root MSE Nota Mean 0.824281 10.10481 6.366028 63.00000 Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F Bloco 1 1944.000000 1944.000000 47.97 <.0001 Fonte 3 1668.000000 556.000000 13.72 <.0001Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 43
  • 44. Capítulo 5 – Experimentos com um Único Fator(Oneway) Tukeys Studentized Range (HSD) Test for NotaNOTE: This test controls the Type I experimentwise error rate, but it generally has a higher Type II error rate than REGWQ. Alpha 0.05 Error Degrees of Freedom 19 Error Mean Square 40.52632 Critical Value of Studentized Range 3.97655 Minimum Significant Difference 10.335 Means with the same letter are not significantly different. Tukey Grouping Mean N Fonte A 73.000 6 Jornal A 66.000 6 Revistas A 63.000 6 Televisão B 50.000 6 RádioIntrodução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 44

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