Ipaee capitulo 5_slides_1
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Material integrante do curso "Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos" - Prof. Pedro Ferreira Filho e Profa. Estela Maris P. Bereta - UFSCar

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  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 CAPÍTULO 5 EXPERIMENTOS COM UM ÚNICO FATOR ONEWAY
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR SITUAÇÃO: UM FATOR FIXO - ONEWAY Um experimento completamente aleatorizado com um único fator (ONEWAY) é um planejamento experimental que envolve apenas um fator com `a` níveis onde os tratamentos são atribuídos as unidades experimentais sem qualquer restrição, ou ainda, toda unidade experimental tem a mesma probabilidade de receber qualquer um dos tratamentos (níveis do fator) em estudo.
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORPROBLEMA:Um experimento foi realizado para verificar aprodutividade de 4 tipos de variedade de milho. Aprodução em cada unidade experimental (loteshomogêneos) foi a seguinte:HIPÓTESE CIENTÍFICA: Existe uma variedade que apresentaprodutividade melhor que as demais?
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR DADOS: Varie- Repetições dade 1 2 3 4 5 A 25 26 20 23 21 B 31 25 28 27 24 C 22 26 28 25 29 D 33 29 31 34 28
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR DADOS:
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORCARACTERÍSTICAS DO EXPERIMENTO:•Completamente Aleatorizado•Um único fator – Variedades de milho•Efeitos Fixos (interesse em identificar qual das quatro variedades é amelhor).•Balanceado: todos os tratamentos foram aplicados ao mesmo númerode unidades experimentais;
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORPROBLEMA:Como definir um teste para verificação da hipótese de existênciaou não de diferença entre os tratamentos?
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORCASO GERALYij = variável resposta observada no i-ésimo tratamento e j-ésimaunidade experimental;i = 1, 2, …, a (tratamentos)j = 1, 2, ..., ni (número de unidades experimentais por tratamento) Número total de observações (u.e.)
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORNOTAÇÃOTratamentos Observações Totais Médias 1 y11 y12 ... y1n1 y1. y 1. 2 y21 y22 ... y2n2 y2. y 2.     a ya1 ya2 ... yan ya. y a. y..
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORNOTAÇÃO Varie- Repetições dade 1 2 3 4 5 A 25 26 20 23 21 B 31 25 28 27 24 C 22 26 28 25 29 D 33 29 31 34 28
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORNOTAÇÃO (TOTAL do i-ésimo tratamento) (MÉDIA do i-ésimo tratamento) (TOTAL GERAL) (MÉDIA GERAL)
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR NOTAÇÃO:
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR ANÁLISE ESTATÍSTICA: MODELO LINEAR:YN x 1 = vetor de variável resposta (variável dependente)XN x a = matriz de planejamentoa x 1 = vetor de parâmetros do modelo, isto é, efeitos dos tratamentos em estudoN x 1 = vetor de erros aleatórios não observáveis
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR ANÁLISE ESTATÍSTICA: PARAMETRIZAÇÃOyij =  + i + ij (modelo de desvio médio)Interpretação: A resposta yij é devida a um “efeito comum” maisum efeito específico do i-ésimo tratamento mais um efeitoaleatório.
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR ANÁLISE ESTATÍSTICA: FORMA MATRICIALyij =  + i + ija=3 ni = 3
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR ANÁLISE ESTATÍSTICA: PROBLEMAS: Estimar os parâmetros Teste de Hipótese Verificar a adequabilidade do modelo
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR ANÁLISE ESTATÍSTICA: MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO: Estimadores de Máxima Verossimilhança Estimadores de Mínimos Quadrados
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORANÁLISE ESTATÍSTICA: ESTIMAÇÃOMODELO DE DESVIOS MÉDIOS: Yij =  + i + ij (X’ X)-1 não existe estimadores não são únicos é uma inversa generalizada de X’X
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR Equações Normais
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORProblemas:Como obter a solução do sistema acima se orank(X) não é completo.Uso de inversa generalizada  Impor restriçõesao sistema de equações
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR RESTRIÇÕES MAIS UTILIZADAS: i = 0ESTIMADORES
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORESTIMADORESInterpretação:1. O efeito comum é estimado pela média geral dos dados observados;2. O efeito específico é estimado pela diferença entre a média das observações do especifico tratamento em relação a média geral.
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORNo Exemplo: Interpretação:Estimativa dos Parâmetros: 1. O tratamento 1 (adubo A) tem em média um rendimento médio 3.75 unidades a menos que o efeito comum (efeito obtido independente dos tratamentos). 2. O tratamento 2 (adubo B) tem em média um rendimento médio 0.25 unidades a mais que o efeito comum (efeito obtido independente dos tratamentos). 3. O tratamento 3 (adubo C) tem em média um rendimento médio 0.75 unidades a menos que o efeito comum (efeito obtido independente dos tratamentos). 4. O tratamento 4 (adubo D) tem em média um rendimento médio 4.25 unidades a mais que o efeito comum (efeito obtido independente dos tratamentos).
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORObservação:Alguns autores preferem o modelo estatístico dado por: Yij= i + ijcom i =  + idefinido anteriormente. Alguns resultados apresentam diferenças em relação aomodelo apresentado, porém as conclusões obtidas usando qualqueruma das alternativas são exatamente as mesmas.
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORTESTE DE HIPÓTESES•O interesse no estudo é o de comparar três ou mais tratamentos, ahipótese inicial a ser investigada é a de que se todos os tratamentossão iguais, ou seja, se todos são igualmente “eficientes”.•No caso de não rejeição desta hipótese, concluí-se pela igualdade dostratamentos envolvidos, ou ainda, que não existe um tratamento commaior efeito que os demais.•No caso de rejeição de hipótese de igualdade, conclui-se que pelomenos dois tratamentos são diferentes e, nesse caso, novosprocedimentos devem ser realizado para se identificar os tratamentosdiferem, ou ainda, que tratamento ou tratamentos são mais eficientes.
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORTESTE DE HIPÓTESESModelo de MédiasModelo de Desvios MédiosHo : i = 0  i = 1, ..., aH1 : i  0 para pelo menos um i.
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORInterpretação: Se a hipótese Ho não é rejeitada todos os parâmetros i sãoiguais a zero, ou seja, os efeitos específicos de todos os tratamentos sãoiguais a zero (não existem), portanto o modelo (5.1) fica: yij =  + ijque não depende dos tratamentos, ou ainda, mudança nos níveis dofator não tem efeito sobre a resposta.Se a hipótese Ho é rejeitada, pelo menos um i diferente de zero, ouseja, os existe pelo menos um dos tratamentos com um efeito específicoque o torna melhor (ou pior) que os demais tratamentos.
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORSuposições:E[ij] = 0 E(Yi) = E ( + i + i) =  + i + E(ij ) =  + i V(Yi) = V ( + i + i) = V(ij ) = 2V[ij] = 2
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR ij ~ N (0, 2) Yij ~ N ( +i , 2)
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR QUESTÃO : COMO TESTAR HO? ANÁLISE DE VARIÂNCIA - ANOVAPrincípio : Estudo das Fontes Variabilidade
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR ANÁLISE DE VARIÂNCIA - ANOVAProposta : Particionar a variabilidade total dos valoresobservados para a medida de comparação Yij, em duascomponentes: uma devida ao modelo (parte não aleatória) eoutra devida aos erros aleatórios VARIABILIDADE TOTAL = VARIABILIDADE MODELO + VARIABILIDADE DOS ERROS
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR ANÁLISE DE VARIÂNCIA - ANOVASQT = Soma deQuadrados Total
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORANÁLISE DE VARIÂNCIA - ANOVA SQTr = SQM = Soma de Quadrados Tratamentos (modelo) : quantifica a variabilidade entre tratamentos; SQE = Soma quadrados dos erros: quantifica a variabilidade dos erros;
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORInterpretando:A medida que cresce a soma de quadrados de tratamentos temos umamaior variabilidade entre os tratamentos, conseqüentemente temosque existe diferença entre os tratamentos. Caso contrário, maiorvariabilidade dentro dos tratamentos e menor variabilidade entretratamentos, temos a não existência de diferença entre tratamentos.
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOREXPRESSÕES:
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORPROBLEMA: TESTE DE HIPÓTESESHo : i = 0  i = 1, ..., aH1 : i  0 para pelo menos um i.
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORPROBLEMA: TESTE DE HIPÓTESESProblema: Como quantificar o quanto “pequeno” é asoma de quadrados de tratamentos?
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORTABELA - ANOVA Fonte de Graus de Soma de Quadrados E(QM)* F Variação Liberdade Quadrados MédiosModelo a-1 SQTr SQ Tr/a-1 σ 2   1 a 1  n i τ i 2 QMTr(Tratamentos) QMEErro N-a SQE SQE/N-a σ 2Total N-1 SQT - -A tabela acima nos mostra que se a hipótese H0 é verdadeira ( todos i = 0) emmédia(E(QM)) o quadrado médio de tratamentos e o quadrado médio de errossão iguais a um mesmo valor (2 no caso!).
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR PORTANTO SOB HO:QME e QMTr são estimadores não viciados de 2 e assim:
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR CONCLUSÃO:Quanto mais a razão estiver próxima de 1, estamos sob ahipótese H0. A medida que esta razão seja superior a 1, QMTr > QME,ou seja, a cresce a variabilidade entre tratamentos econseqüentemente temos que H0 não é verdadeira. PROBLEMA: Como definir o quanto a razão acima está próxima de 1?
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORSOB A HIPÓTESE DE NORMALIDADE DOS ERROS QMTr  a-1 QME  N-aLOGO:
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORREJEITA-SE HO :
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR TABELA ANOVA Fonte de Graus de Soma de Quadrados F Variação Liberdade Quadrados Médios Modelo a-1 SQTr SQ Tr/a-1 QMTr QME (Tratamentos) Erro N-a SQE SQE/N-a Total N-1 SQT - P-Valor = P[ Fa-1,N-a > Fc] = c
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR RETORNANDO AO EXEMPLO INICIAL Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model 3 163.7500000 54.5833333 7.80 0.0020 Error 16 112.0000000 7.0000000 Corrected 19 275.7500000 Total R-Square Coeff Var Root MSE Y Mean 0.593835 9.890659 2.645751 26.75000 FSource DF Type I SS Mean Square Value Pr > FF 3 163.7500000 54.5833333 7.80 0.0020
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR RETORNANDO AO EXEMPLO INICIALTemos Fc = 7.80Considerando  = 5% temos F3,16(5%) = 3.24Logo: Portanto REJEITA-SE Ho, isto é, pelo menos dois tratamentos diferem, ou ainda existe pelo menos um tratamento que é mais eficiente que outro (maior produtividade no caso!).
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR RETORNANDO AO EXEMPLO INICIALDe outra forma:Da tabela da Anova (obtida através de um software estatístico) temosque: Portanto REJEITA-SE Ho. ...........................................
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR DUAS QUESTÕES:1. O teste F acima definido é válido se a hipótese de que os dadosobservados nos diferentes grupos são independentes e podem serrepresentados pelo modelo normal. Como verificar que estassuposições são verdadeiras?2. Ao rejeitarmos que H0 é verdadeira, concluímos que pelo menosdois grupos (tratamentos) diferem. Como identificar que gruposdiferem?
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORCONSIDEREMOS O MODELO: Modelo estimado yij =  + i + ij
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORIMPORTANTE:Verificarmos a hipótese de independência enormalidade dos dados é possível a partir da análiseda independência, normalidade e variânciaconstante dos resíduos.
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR PROBLEMA: ADEQUABILIDADE DO MODELO Estatística de teste obtida a partir da hipótese de que i são iid N (0, 2) Como verificar se a hipótese acima é verdadeira?
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR DIAGNÓSTICO DO MODELO Objetivo: Verificar se as suposições estabelecidas para obtenção do ajuste e teste dos parâmetros, são satisfeitas. i são iid N (0, 2)
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR DIAGNÓSTICO DO MODELOQuestões:•Presença de Valores Extremos (Dados aberrantes-discrepantes)•Independência (Aleatoriedade)•Normalidade•Homocedasticidade (Variância Constante).
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR DIAGNÓSTICO DO MODELOInstrumentos:Histograma e Box-Plot dos resíduosGráfico normal probabilísticoGráfico de resíduos em ordem temporal (para situações ondeexiste uma seqüência temporal na coleta dos dados)Gráfico de resíduos versus preditoGráfico de resíduos versus fatoresTestes de Igualdade de Variâncias
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORVALORES EXTREMOS – PONTOS DISCREPANTES (ABERRANTES): DADOS ORIGINAIS:
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR VALORES EXTREMOS – PONTOS DISCREPANTES (ABERRANTES):RESÍDUOS “ORDINÁRIOS)RESÍDUOS PADRONIZADOS
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORPROCEDIMENTO ALTERNATIVO; Considerando que os erros têm distribuição N(0,2),pode-se esperar que a média   contém aproximadamente 68%dos dados, a média  2 contém aproximadamente 95% dosdados e a média  3 contém aproximadamente 99% dos dados.Desta forma, podem ser considerados valores extremos aquelesque forem superiores a  3.
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR CONCLUSÃO: Identificado um valor extremo, usualmente ele é excluído da análise. Porém, na prática, é o pesquisador quem deve determinar se um valor extremo pode realmente ser assim considerado. Pois os valores extremos podem fornecer informações importantes sobre o experimento e estatisticamente podem demonstrar que uma outra distribuição deve melhor representar o comportamento dos dados. Alternativas: Uso de métodos robustos ou modelos lineares generalizados, por exemplo.
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR VERIFICANDO A INDEPENDÊNCIA:
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR VERIFICANDO A INDEPENDÊNCIA: NOTAS: Existindo o registro da ordem de obtenção dos valores, recomenda-se o uso do gráfico dos resíduos vs a ordem de coleta de forma a verificar algum padrão na resposta e, conseqüentemente uma dependência entre as observações.
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR VERIFICANDO A INDEPENDÊNCIA: NOTAS: Experimentos cujo processo de aleatorização é adequadamente realizado dificilmente irão apresentar problemas com a falta de independência.
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR VERIFICANDO A INDEPENDÊNCIA: NÃO INDEPENDÊNCIA: Não adequabilidade do modelo utilizado (falta de algum componente do modelo, por exemplo) e necessidade de procedimentos estatísticos que considerem a existência de dependência entre observações (modelos de séries temporais).
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR VERIFICANDO A INDEPENDÊNCIA:
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR VERIFICANDO A NORMALIDADE TESTES: Teste de Shapiro-Wilk Anderson-Darling Kolmogorov-Smirnov Cramer-von Mises Liliefors.
  • Homocedasticidade: INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR VERIFICANDO A NORMALIDADE Gráfico Normal Probabilístico:
  • Homocedasticidade: INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR Gráfico Normal Probabilístico: O gráfico de probabilidade e um método para determinar se os dados da amostra (erros estimados, nessa situação) seguem uma distribuição hipotética, baseada no exame visual dos dados. O procedimento geral e muito simples e pode ser feito rapidamente. Gráfico de probabilidade usa tipicamente um papel gráfico especial, conhecido como papel de probabilidade, que tem sido projetado para a distribuição hipotética. O papel de probabilidade é largamente disponível para as distribuições normal, lognormal, Weibull e várias distribuições quadrado e gama. Softwares estatísticos atualmente substituem o uso destes papéis, necessários durante longo tempo.
  • Homocedasticidade: INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR Gráfico Normal Probabilístico: Para construir um gráfico de probabilidade: 1. As observações na amostra são primeiro ordenadas da menor para a maior. Ou seja, a amostra X1., X2, .. .,Xn e arrumada como x(1),x(2), ...,x(n) em que x(I) é a menor observação, X(2) e a segunda menor observaçao e assim por diante, com x(n) sendo a maior. 2. As observações ordenadas X(U) são então grafadas contra suas freqüências cumulativas observadas (j - 0,5)/n em um papel apropriado de probabilidade. 3. Se a distribuição hipotética descrever adequadamente os dados, os pontos picotados cairão, aproximadamente, ao longo de uma linha reta; 4. Se os pontos plotados desviarem significativamente de uma linha reta, então o modelo hipotético não será apropriado.
  • Homocedasticidade: INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR Gráfico Normal Probabilístico: Exemplo Dez observações sobre o tempo (em minutos) efetivo de vida de serviço de baterias usadas em um computador pessoal são: 176,191,214,220,205, 192,201,190, 183,185. Imaginemos que a vida da bateria seja modelada adequadamente por uma distribuição normal. Para usar o gráfico de probabilidade de modo a investigar essa hipótese, arranje primeiro as observações em ordem crescente e calcule suas freqüências cumulativas (j- -0,5)/10 conforme segue.
  • Homocedasticidade: INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR Gráfico Normal Probabilístico: Exemplo j X9i) (j - 0,5)/10 1 176 0,05 2 183 0,15 3 185 0,25 4 190 0,35 5 191 0,45 6 192 0,55 7 201 0,65 8 205 0,75 9 214 0,85 10 220 0,95
  • Homocedasticidade: INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR Gráfico Normal Probabilístico: Exemplo Os pares de valores x(i) e (j - 0,5)/10 são agora plotados em um papel de probabilidade normal. Esse gráfico é mostrado na figura abaixo. A maioria dos papeis de probabilidade normal plotam 100(j - 0,5)/n na escala vertical da esquerda e 100[ 1 - (j - 0,5)/n] na escala vertical da direita, com o valor da variável plotada na escala horizontal.
  • Homocedasticidade: INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR Gráfico Normal Probabilístico: Exemplo
  • Homocedasticidade: INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR Gráfico Normal ProbabilísticoALTERNATIVA Um gráfico de probabilidade normal pode também ser construído em um papel gráfico normal, plotando os escores normais padrões Zj contra x(i), em que os escores normais padrões satisfazem: Por exemplo, se (j-0.5)/n = 0.05 então (zj) = 0.05 zj =-1.64. Para ilustrar, consideremos os dados do exemplo acima.
  • Homocedasticidade: INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR Gráfico Normal ProbabilísticoALTERNATIVA j X9i) (j - 0,5)/10 Zj 1 176 0,05 -1.64 2 183 0,15 -1.04 3 185 0,25 -0.67 4 190 0,35 -0.39 5 191 0,45 -0.13 6 192 0,55 0.13 7 201 0,65 0.39 8 205 0,75 0.67 9 214 0,85 1.04 10 220 0,95 1.64
  • Homocedasticidade: INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR Gráfico Normal Probabilístico: EXEMPLO VARIEDADES DE MILHOS
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR VERIFICANDO A NORMALIDADE Modelos Lineares Generalizados Não Normalidade Transformações
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR VERIFICANDO A HOMOCEDASTICIDADE Hipóteses:Ho : 12 = 22 = ... = a2H1 : i2 ≠ j2 para pelo menos um i  j
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR VERIFICANDO A HOMOCEDASTICIDADE Alguns Testes:Teste de Hartley: Exige um mesmo número de repetiçõesentre os tratamentos.Teste de Bartlett: Pode ser utilizado para qualquer número derepetições nos tratamentos.Teste de Cochran: Pode ser utilizado para qualquer número derepetições nos tratamentos.Teste de Levene: Anova para resíduos “robustos”.
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR VERIFICANDO A HOMOCEDASTICIDADE TESTE DE HARTLETT 2 S max = maior variância dentre os “a” tratamentos; 2 S min = menor variância dentre os “a” tratamentos;Fmax é comparado com o valor tabelado para H(g,r-1) da tabela de Pearson e Hartley, ondeg=número de tratamentos e r= número de repetições (mesmo para todos os tratamentos).Se Fmax > H(g,r-1) rejeita-se H0 e conclui-se que não existe homogeneidade de variânciaentre os tratamentos. Caso contrário H0 não é rejeitada.
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR VERIFICANDO A HOMOCEDASTICIDADE Análise Gráfica
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR VERIFICANDO A HOMOCEDASTICIDADE Análise Gráfica
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR VERIFICANDO A HOMOCEDASTICIDADE Análise Gráfica
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR VERIFICANDO A HOMOCEDASTICIDADE Análise Gráfica
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR VERIFICANDO A HOMOCEDASTICIDADE Análise Gráfica
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR PROBLEMA: O que fazer quando alguma das suposições ( normalidade e/ou homocedasticidade) não são satisfeitas?
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORO procedimento usualmente nestes casos é o uso detransformações na variável resposta. O uso de transformações éum artifício matemático com bons resultados quando existe umarelação entre média e variância (heterocedasticidade regular).Atualmente, novos procedimentos estatísticos são propostoscomo alternativa ao uso de transformação dos dados. Além dos játradicionais procedimentos de métodos não paramétricos, hojeestão disponíveis, inclusive em todos os softwares maisconhecidos, os métodos de Modelos Lineares Generalizados, quelevam em conta a natureza da distribuição da variável em estudo.
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR DUAS QUESTÕES:1. O teste F acima definido é válido se a hipótese de que os dadosobservados nos diferentes grupos são independentes e podem serrepresentados pelo modelo normal. Como verificar que estassuposições são verdadeiras?2. Ao rejeitarmos que H0 é verdadeira, concluímos que pelo menosdois grupos (tratamentos) diferem. Como identificar que gruposdiferem?
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORMÉTODOS DE COMPARAÇÕES MULTIPLAS:Objetivo: Identificar, quando rejeitamos Ho numa ANOVA, quetratamentos diferem significativamente.
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORMÉTODOS DE COMPARAÇÕES MULTIPLAS:Objetivo: Identificar, quando rejeitamos Ho numa ANOVA, quetratamentos diferem significativamente.
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORMÉTODOS DE COMPARAÇÕES MULTIPLAS:Proposta: Estabelecer uma “diferença mínimasignificativa(d.m.s)” entre duas médias. Toda vez que o valorabsoluto da diferença entre duas médias for maior ou iguald.m.s., as médias são consideradas estatisticamente diferentes,ao nível de significância estabelecido.
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORMÉTODOS DE COMPARAÇÕES MULTIPLAS:OBSERVAÇÃO:Foram propostas diversas maneiras de estabelecer uma d.m.s. Cadaproposta é na realidade, um teste que, em geral, leva o nome do seu autor.Não existe um procedimento para a comparação de médias que sejadefinitivamente o “melhor”. Vários trabalhos são encontrados na literaturafazendo estudos comparativos dos diferentes métodos que, incluindo-senovas propostas que freqüentemente são apresentadas. Em geral é possívelmostrar a existência de procedimentos mais eficientes para situaçõesespecificas, porém não se mostrou, até hoje, um método que seja maiseficaz para um caso geral.
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORTESTE T- TESTE LSD (LEAST SIGNIFICANT DIFFERENCE):Rejeita-se a igualdade se:
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATORTESTE DE TUKEY:q é chamada de amplitude total studentizada que depende do número detratamentos (a) e do número de graus de liberdade dos erros (f = N-p).(tabela encontrada em Montogomery). O teste preserva o nível designificância para todos os contrastes. É um teste mais conservador do queo LSD em declarar um diferença como significativa.
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS: 1. Ordena-se as médias de tratamentos em ordem crescente (ou decrescente). 2. Coloca-se uma letra do alfabeto na primeira média e em seguida compara-se com as médias seguintes 3. Se a diferença for superior ao valor da d.m.s. a diferença é considerada significativa e portanto é atribuída uma outra letra a média que foi comparadaAo final temos que médias de tratamentos que não diferemsignificativamente têm em comum uma letra enquanto quemédias que diferem não tem nenhuma letra em comum.
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS: EXEMPLOConsideremos: (A > C > D > B): Caso 1: Situação onde não foi rejeitado H0 Situações na tabela de ANOVA, ou seja, não existem 1 2 3 4 5 Caso 2: Outraentre diferenças situação quaisquer todos os extrema, dois tratamentos. diferem entre si. de todos tratamentos Caso 3: Temos que A C diferemA a a a a a Caso 4: A difere de todos os demais os tratamentos e D e B sãoC a b b b a b tratamentos, C e D são estatisticamente estatisticamente iguais entre si. iguais mas C difere de todos os demaisD a c c b c b c enquanto é estatisticamente igual a C mas Caso 5: A que D é tambémB a d c c c difere dos demais, a B. estatisticamente igual enquanto que C é estatisticamente também igual a D e diferente de B. Por sua vez D é estatisticamente igual a B.
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOREXEMPLO: Produtividade de 4 diferentes variedades de milho t Tests (LSD) for y Means with the same letter are not significantly different. t Grouping Mean N f A 31.000 5 D B 27.000 5 B C B 26.000 5 C C 23.000 5 A
  • INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 2º SEMESTRE DE 2010EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR Tukeys Studentized Range (HSD) Test for y Means with the same letter are not significantly different. Tukey Grouping Mean N f A 31.000 5 D B A 27.000 5 B B 26.000 5 C B 23.000 5 A