El DéCimo Problema De Hilbert
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    El DéCimo Problema De Hilbert El DéCimo Problema De Hilbert Presentation Transcript

    • El décimo problema de Hilbert
    • Enunciado del problema
      • 10. Entscheidung der Lösbarkeit einer Diophantischen Gleichung.
      • Eine Diophantische Gleichung mit irgend welchen Unbekannten und mit ganzen rationalen Zahlencoefficienten sei vorgelegt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchem sich mittelst einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden lä ßt, ob die Gleichung in ganzen rationalen Zahlen lösbar ist.
    • Traducción
      • 10. Decisión sobre la solubilidad de una ecuación diofantina.
      • Dada una ecuación diofantina con cualquier cantidad de incógnitas y con coeficientes enteros racionales, dar un procedimiento a través del cual se pueda determinar con un número finito de operaciones, si dicha ecuación tiene soluciones enteras racionales.
    • Ecuaciones diofantinas.
      • Una ecuación diofantina es de la forma
      • D(x 1 , x 2 , ..., x m )=0
      • donde D es un polinomio con coeficientes enteros racionales. El nombre se debe a Diofanto, matemático griego de la antigüedad.
    • Enteros racionales.
      • En conjunto de enteros racionales es simplemente Z={…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
      • Se le llama así para distinguirlo de otros conjuntos de enteros (posteriormente mencionaré a uno de ellos, el de los enteros gaussianos).
    • Los 23 problemas de Hilbert
      • En 1900, durante el congreso internacional de matemáticos en París, David Hilbert presentó una famosa lista de 23 problemas matemáticos. Los consideraba los retos más importantes para los matemáticos del siglo XX.
    • Problemas de decisión
      • Desde los tiempos de Diofanto se han encontrado muchos métodos para resolver algunos tipos particulares de ecuaciones diofantinas.
      • Sin embargo, Hilbert pide un sólo procedimiento que permita decidir si una ecuación diofantina tiene o no solución.
    • Soluciones naturales
      • (x+1) 3 +(y+1) 3 =(z+1) 3 no tiene soluciones naturales, pero tiene una infinidad de soluciones enteras.
      • Hilbert pide soluciones enteras para las ecuaciones. También es posible considerar soluciones naturales (N={0, 1, 2, …})
      • Se puede mostrar que estos dos problemas de decisión son equivalentes.
      • Mientras no se diga otra cosa, a partir de ahora me referiré al décimo problema de Hilbert restringido a soluciones naturales (los coeficientes sí pueden ser negativos).
    • “Procedimientos”
      • Hilbert pide un “procedimiento”; pero, ¿qué quiere decir exactamente esto?
      • Uno de los grandes avances fue definir con precisión qué significa, se introdujeron conceptos como máquinas de Turing, funciones recursivas, cálculo λ … pero luego se demostró que todos ellos son equivalentes y se aceptan como definición de “procedimiento” en el sentido del décimo problema de Hilbert (y otros problemas de decisión). A dichos “procedimientos” se les llama algoritmos.
    • La solución
      • En 1970, Yuri Matiyasevich resolvió el problema en forma negativa, esto es, no existe ningún algoritmo que, dada una ecuación diofantina arbitraria, nos diga si dicha ecuación tiene solución o no. En términos técnicos, el décimo problema de Hilbert es indecidible como problema de decisión.
    • Conjuntos diofantinos
      • Consideremos la ecuación diofantina
      • D(a 1 , ..., a n , x 1 , ..., x m )=0
      • en la que separamos a las variables en dos colecciones: los parámetros a 1 , ..., a n ; y las incógnitas x 1 , ..., x m . Se dice que el conjunto de valores de los parámetros para los que esta ecuación tiene solución es un conjunto diofantino.
    • Ejemplos de conjuntos diofantinos
      • El conjunto de todos los cuadrados:
      • a-x 2 =0
      • El conjunto de todos los números compuestos:
      • a-(x+2)(y+2)=0
      • El conjunto de los enteros positivos que no son potencias de 2:
      • a-(2x+3)y=0
      • El conjunto de los números que no son cuadrados:
      • (a-z 2 -x-1) 2 +((z+1) 2 -a-y-1) 2 =0
    • Preguntas interesantes
      • ¿Es el conjunto de todos los números primos un conjunto diofantino?
      • ¿Es el conjunto de todas las potencias de 2 un conjunto diofantino?
    • Funciones diofantinas
      • Una función es diofantina si, vista como conjunto de pares ordenados, es un conjunto diofantino.
      • Es claro que las funciones diofantinas son recursivas.
    • Funciones de crecimiento exponencial.
      • Son funciones del orden de magnitud 2 n .
      • Después de mucho trabajo, se llegó a la conclusión de que sólo es necesario que exista una función diofantina de crecimiento exponencial.
    • La sucesión de Fibonacci
      • Es la famosa sucesión definida por
      • F 0 =0
      • F 1 =1
      • F n+2 =F n +F n+1
      • Claramente se trata de una función de crecimiento exponencial. El último paso histórico en la demostración de Matiyasevich fue demostrar que es una función diofantina.
    • Consecuencia interesante
      • Existe un polinomio en diez variables (y se sabe explícitamente cuál es) cuya imagen es el conjunto de números primos.
    • Replanteamiento del décimo problema de Hilbert
      • Después de resolver en décimo problema de Hilbert en la forma en que fue planteado, Matiyasevich le ha dado una interpretación más amplia, generalizándolo.
      • Por ejemplo, Hilbert plantea el problema en términos de soluciones enteras; pero se resuelve en términos de soluciones naturales aprovechando su equivalencia como problemas de decisión. Pero Diofanto buscaba soluciones racionales.
    • Generalizaciones
      • Consideremos a los enteros gaussianos (números complejos cuyas partes real e imaginaria son ambas enteras), Denef demostró que el décimo problema de Hilbert para este conjunto también es indecidible.
      • Pero el décimo problema de Hilbert para números racionales está aún sin resolver.
      • Se puede considerar el problema en muchos otros conjuntos: enteros p-ádicos, anillos de enteros en campos de números, en campos de funciones, etc.
    • Número de variables, grado de los polinomios
      • El problema de Hilbert restringido a polinomios de grado cuatro es indecidible, restringido a polinomios de grado dos es decidible… ¿qué tal restringido a polinomios de grado tres? ¡Es un problema muy difícil!
      • Se conjetura que el décimo problema de Hilbert restringido a dos incógnitas es indecidible.
    • Aritmetización
      • Muchos problemas tienen una equivalencia diofantina, o sea que son equivalentes a que cierto polinomio no tenga soluciones enteras. Por ejemplo
      • La conjetura de Fermat (ya está resuelta).
      • La conjetura de Goldbach.
      • La conjetura de Riemann.
      • La conjetura de los cuatro colores (resuelta).
    • Relación con el teorema de Gödel
      • En cada sistema deductivo gödeliano, existe una ecuación diofantina formalmente indecidible.
      • Vale la pena estudiar en detalle por lo menos una vez estos resultados.