1. Introducción a la estadística
Algunas definiciones de estadística
• Ciencia de tomar decisiones en presencia de la incertidumbre. Freund, J.
E. – Eallis y Roberts
• § Rama del conocimiento científico que se ocupa del análisis numérico
e interpretación de los resultados que provienen de experimentos de
naturaleza aleatoria. Capelletti, C. A.
• § Disciplina que investiga la posibilidad de extraer de los datos
inferencias válidas, elaborando los métodos mediante los cuales pueden
obtenerse dichas inferencias. Cramer, H.
• § Ciencia de tomar decisiones en base a observaciones. Sprowls, C.
• § Operación de análisis matemático que permite estudiar con el máximo
de precisión los fenómenos no conocidos completamente. Mothes, J.
• § Disciplina que trata los problemas relativos a las características
operatorias de las reglas de comportamiento inductivo, basadas en
experimentos aleatorios. Neyman, J.
2. Introducción a la estadística
• Estadística descriptiva.
• Estadística inferencial.
• Relación entre variables, de acuerdo a los distintos
niveles de medición.
• Técnicas de análisis de asociación entre variables
de distintos niveles de medición.
• Lógica de los test de hipótesis.
3. Sistema de Información Estadística
• Un Sistema de Información Estadística
• “Conjunto de reglas, principios, métodos y actividades
ordenadamente relacionados entre sí, que permiten
observar y evaluar mediante mediciones periódicas o
permanentes y desde un punto de vista cuantitativo,
recursos, actividades, resultados y acciones realizadas
dentro de un sector, una entidad o de un conjunto de
sectores o de entidades ”.
4. Estadística
• Describir nuestro conjunto de datos:
Características, valores atípicos, dispersión,
tendencias para datos temporales.
• Descubrir patrones de comportamiento en los
datos o ciertas relaciones entre las variables
medidas.
• Intentar extrapolar la información contenida en la
muestra a un conjunto mayor de datos.
• Inferir futuros comportamientos de la población
estudiada (predicción)
6. Niveles de medición
• Nominal: El valor de la variable indica solo la clase de
pertenencia
• Ordinal: Las clases de pertenencia pueden ser ordenadas.
• Intervalo: El valor de la variable tiene un sentido y en
general podremos (en al mayoría de los casos) calcular
promedios, medidas de dispersión y aplicar test. Pero no
siempre podremos establecer razones ente dos valores de
la variable.
• Razón: Existe un cero absoluto, podemos efectuar
cocientes de los valores de la variable.
7. Resumen de información
• Estadísticos de posición o locación: ¿Donde esta
ubicado nuestro conjunto de datos?
– Modo
– Mediana
– Media
• Estadísticos de dispersión
– Rango
– Coeficiente de variación
8. Distribución de frecuencias
Statis tics
Average female life expect ancy
N
Valid
Missing
Median
0
74,00
St d. Deviat ion
P ercent iles
109
10,572
10
52,00
20
59,00
25
66,50
30
68,00
40
70,00
50
74,00
60
76,00
70
78,00
75
78,00
80
79,00
90
80,00
9. Variables cuantitativas: medidas de posición
• Modo.
• Mediana y percentiles
• Media: promedio de la variable
• El uso de estos estadisticos depende de los objetivos del
analista o de las características de la población que se
desea estudiar.
16. Medidas de asimetría
• La medida más usual de asimetría: “skewness”
• Cuando se tiene variables asimétricas con valores positivos
(ingreso por ejemplo), es usual tomar logaritmo para
simetrizarlas.
18. Box-Plot:
Horas trabajadas según sexo – Encuesta Permanente de Hogares
100,0
5.844 3.035
3.159
7.451 6.928
4.048
4.441 6.083
3.296
6.039 6.682
3.674 5.841
8.344 7.601
3.773
8.345
80,0
d
j
b
t
s
a
r
o
H
60,0
40,0
20,0
0,0
7.445
8.393
8.520
8.756
8.695
5.181
8.749
8.799
Varon
Mujer
Sexo
21. Relación entre dos variables nominales
Tablas de contingencia
Condicion de actividad por sexo – Fuente: EPH - INDEC
Sexo
Condicion
de actividad
Total
Ocupado
Desocupado
Inactivo
Menor de 10 años
Varon
%
58.3
50.5
33.7
51.2
47.9
Mujer
%
41.7
49.5
66.3
48.8
52.1
22. Relación entre dos variables nominales:
Tablas de contingencia
• Hipótesis nula: no existe asociación estadistica entre las
dos variables, la distribución de los efectivos es
proporcional a los “marginales”: totales fila y columna.
• Hipotesis alternativa: existe asociación estadística entre las
variables
23. Tablas de contingencia
Test de Chi – Cuadrado
• Chi-cuadrado: Compara los efectivos teóricos (bajo el
supuesto de independencia) con los observados.
• Efectivos teóricos en la celda (i,j):
n
*
ji
=
n j • ⋅ n•i
n
24. Chi-cuadrado
χ
2
obs
=∑
i, j
(ni j − n )
* 2
ij
*
ij
n
• Si los observados son iguales a los teóricos, el coeficiente
vale cero.
• El coeficiente aumenta al aumentar la discrepancia entre el
observado y el teórico, respecto al valor teórico.
• Pero este coeficiente depende de n: Aumenta con el
número de observaciones.
28. Ejercicio practico 2:
Calcular el chi-cuadrado y el V de Cramer en
la siguiente tabla
Variable X
Variable Y
C
D
A
0
200
B
120
0
29. Asociación entre variables ordinales y
cuantitativas: Coeficientes de correlación
• Estos coeficientes reflejan en general el hecho de que una
de las variables aumenta de valor cuando la otra lo hace.
• Los más utilizados:
– Coeficiente de correlación de Pearson (Karl Pearson,
1857-1936)
– Coeficiente de correlación de Spearman (Charles
Spearman, (1863-1945)
30. Coeficiente de correlación de Pearson entre
dos variables X e Y
ρ = Cov(X, Y)/DS(X)*DS(Y)
• Variables continuas (de razón).
• Mide la existencia de una relación lineal entre las
variables.
• -1 <= ρ <= 1
• ρ =0 : ausencia de relación lineal
• ρ =1: relación lineal creciente
• ρ =-1: relación lineal decreciente
• Sensible a valores extremos o atípicos
31. Coeficiente de correlación de Pearson:
significado
• El ρ de Pearson indica la existencia de una
relación lineal entre X e Y.
• Identifica relaciones positivas y negativas. El
coeficiente 0 indica ausencia de relacion
estadística
• Puede haber una relación creciente, pero no lineal.
32. Ejercicio practico 3:
Coeficiente de correlación de Pearson
• Hallar el ρ de Pearson para la siguiente serie de
valores. Graficarla con Excel.
X
1
2
3
4
Y
1
4
9
16
33. Coeficiente de correlación de Spearman
entre dos variables X e Y
rs = ρ(rang(X), rang(Y))
• Variables ordinales.
• Mide la existencia de una relación creciente o
decreciente entre las variables.
• -1 <= ρ <= 1
• ρ =0 : ausencia de relación creciente o decreciente
• ρ =1: relación creciente
• ρ =-1: relación decreciente
•
34. Coeficiente de correlación de Spearman
entre dos variables X e Y
• En caso de rangos “empatados”, tomamos el
promedio de los rangos.
35. Ejercicio práctico 4: Asociación entre dos
variable ordinales y cuantitativas
• Dada el siguiente par de valores de dos variables,
comprobar que el coeficiente de correlación de Spearman
es el coeficiente de correlación de Pearson de los rangos
X
4
7
3
.
Y
2
1
2
5
3
2
2
36. Recta de regresión
• Supongamos tener n obervaciones bivariadas, o
sea a cada elemento le medimos un par de
variables (Xi, Yi) que supondremos continuas por
ahora.
–
–
–
–
Peso y estatura.
Producto Bruto Per capita y Tasa de mortalidad infantil.
Tasa de desempleo y ingreso medio de los asalariados
Cigarrillos fumados por día y probabilidad de sufrir
cáncer de pulmón.
37. Recta de regresión: Ejemplo
• En el siguiente gráfico se muestran los 8511 radios
censales del Gran Buenos Aires. A cada radio se le
midieron dos variables: % de hogares con celular y % de
hogares con freezer, según datos del CENSO 2001.
• Los datos se graficaron mediante un gráfico X-Y.
• El eje de las X (horizontal) indica al % de hogares con
freezer, el eje de las Y (vertical) el % de hogares con
celular.
• Vemos que hay una relación aproximadamente lineal entre
ambas variables, por lo menos en la parte central del
gráfico.
38. Nube de puntos y recta de regresión
300
y=1
.9852x +22.1
32
R2 = 0.8244
250
200
150
Ser ie1
Lineal ( Ser ie1)
100
50
0
0
-50
20
40
60
80
100
120
39. Modelo de regresión
• La relación puede ser lineal solo en una parte del recorrido
de las variables.
• Variable X: variable “independiente” o explicativa.
• Variable Y: variable “dependiente” o explicada.
• El modelo de regresión no implica “causalidad” (ej.
Educación e Ingreso).
• El modelo de regresión puede tener más de una variable:
explicativa: modelo de regresión múltiple.
40. Modelo de regresión: Forma general
• El modelo subyacente en la regresión lineal (simple o
múltiple) es que la variable dependientes una función
lineal de las variables independientes:
• Y= 1+b1·X1+b2·X2+…bk·Xk + e.
• e es una variable aleatoria, pues no es razonable suponer
una relación lineal exacta entre Y y X1,…, Xk
• Pero en promedio podemos suponer que e será igual a
cero.
• e se denomina el término de errror. Es igual a la diferencia
entre el valor observado y la recta de regresión.
41. Ajuste del modelo de regresión
• Por ajuste del modelo de regresión se interpreta cuan bien
la “nube de puntos” está cerca de la recta de regresión.
• El modelo de regresión tiene una medida de la “bondad de
ajsute”: el R2. Este valor está entre 0 y 1.
• 1 -> Ajuste perfecto
• 0 -> No hay efecto de las variables independientes y la
variable dependiente.
• No todos los modelos en estadística poseen una medida
objetiva del “ajuste” de los datos al modelo.
42. Ajuste del modelo de regresión
• Supongamos el modelo de regresión simple
• Y= a + b*X + e
– El “parámetro“ b indica cuánto aumenta Y por un
aumento unitario de X.
– Si X no tiene efecto sobre Y, b valdrá 0....
– a es la ordenada al origen.
43. Ajuste del modelo de regresión
• Los paquetes estadísticos o Excel nos proveen estadísticos
para evaluar el ajuste del modelo (R2).
• Y para evaluar si b es “significativamente distinto de cero”
o no..... Si es “significativamente distinto de cero”, la
variable independiente X tiene un efecto sobre Y.
44. Ajuste del modelo de regresión
• En general, si el tamaño de muestra es muy grande, los
parámetros pueden ser “significativamente distintos de
cero” a menudo.
• Esto no significa que sean relevantes para el investigador.
45. Recta de regresión: Cálculo de los
parámetros
• Para el ejemplo anterior son los 8511 radios censales, se
plantea el modelo que explica a la variable CEL (% de
celulares).
• Cel = a + b*Freezer + e
• Con el paquete Stata se calcularon los parámetros a y b. La
salida es la siguiente:
46. Modelo de regresión: Salida I
regress Cel Freez
Number of obs
F( 1, 8509)
Prob > F
R-squared
Adj R-squared
=
8511
=23555.43
= 0.0000
= 0.7346
= 0.7346
----------------------------------------------------------------------Cel |
Coef.
Std. Err.
t
P>|t|
[95% Conf. Interval]
------+---------------------------------------------------------------Freez |
.993698
.0064745
153.48
0.000
.9810063
1.00639
_cons | -33.26479
.3813768
-87.22
0.000
-34.01238
-32.5172
-----------------------------------------------------------------------
O sea la recta de regresión es Cel = -33.3 + 0.994*Frezzer
48. Ajuste del modelo de regresión
• Por ajuste del modelo se interpreta cuan bien los valores
observados se ajustan a nuestro modelo.
• En el modelo de regresión lineal hay un estadístico, el R2
que nos indica la bondad del ajuste. R2 está comprendido
entre 0 y 1. 1 indica un ajuste perfecto: todas las
observaciones están sobre una recta.
49. Prueba de los coeficientes
• Otra pregunta que el investigador se plantea es si algún
coeficiente es igual a cero. O si es “significativamente
distinto de cero”. Esta pregunta puede ser respondida
mediante el estadístico t de Student.
• Cuanto más grade es t, mayor la probabilidad de que el
coeficiente correspondiente sea igual a cero.
50. Análisis de los residuos
• Luego está el análisis de los residuos observados:
observaciones con residuos elevados en valor absoluto
pueden indicar errores de medición, puntos extremos, o un
modelo especificado incorrectamente.
• En general los paquetes estadísticos traen opciones para
graficar los residuos y detectar aquellos con valores grandes.
• Finalmente, corresponde al investigador social interpretar si
el modelo es plausible, que significan los parámetros, explicar
el porquébuna observación tiene un residuo excesivamente
grande, mantener o eliminar una variable.
51. Tipo de variables en el modelo de
regresión lineal
• El modelo de regresión se plantea en general cuando la
variable dependiente (Y) es continua
• En teoría, las variables explicativas (X) pueden ser todas
nominales (por ejemplo en un modelo que explique el
ingreso sexo, tramo de edad, etc.).
• Cuando la variable a explicar (Y) no es continua, debemos
aplicar otro modelo (Poisson, logit, etc)
52. Ejercicio practico 4:
Regresión lineal simple
• Para los siguientes datos, calcular los coeficientes
de regresión mediante el programa EXCEL.
X
2
5
10
40
Y
34
33
21
39
54. Universo, población y muestra
• Universo, población, muestra.
• Parámetros poblacionales.
• Estimación a partir de una muestra: Inferencia y
estimadores.
• Propiedades de los estimadores.
