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  • 1. PRODUTO VETORIAL ( OU EXTERNO )Para definirmos um vetor é preciso designarmosseu módulo, direção e sentido.  Definiremos agora um novo vetor, denominadoproduto vetorial dos vetores u e v :  MÓDULO : Posteriormente falaremos. uxv DIREÇÃO :   Perpendicular ao plano que contém os vetores u e v . SENTIDO : Dado pela Regra da Mão Direita .
  • 2. REGRA DA MÃO DIREITA Suponhamos que se queira obter    u xv : u   uxv  Coloque o dedo θ indicador u  apontado para o  v vetor v dedo médio e o   apontado para o vetor u xv .
  • 3. REGRA DA MÃO DIREITA Suponhamos que se queira obter    u v x u: θ   Coloque o dedo v   indicador v vx u apontado para o  vetor e o u dedo médio   apontado para o vetor vxu .
  • 4. z VETORES UNITÁRIOS NOS EIXOS  COORDENADOS k   j i y  i = (1 , 0 , 0)x j = (0 , 1 , 0)  k = (0 , 0 , 1)
  • 5. z PRODUTOS VETORIAIS DOS VETORES UNITÁRIOS   k  i = (1 , 0 , 0)  j j = ( 0 , 1 , 0)  i y k = (0 , 0 , 1)       i x j = k  j x i = −kx       x k = j  i  k x  = − j i k x i = j  i x k = − j  
  • 6. PRODUTOSy PRODUTOS VETORIAIS DOS VETORIAIS DOS VETORES UNITÁRIOS VETORES UNITÁRIOS por ELES MESMOS por ELES MESMOS j      x i x i = 0 k i i = (1 , 0 , 0)   j = ( 0 , 1 , 0)     k = (0 , 0 , 1)  x  =0 j jz  k x k = 0 
  • 7. PRODUTO VETORIAL ( OU EXTERNO )    Dados :  u = ( a, b, c ) = a.i + b. j + c.k     v = (d , e, f ) = d .i + e. j + f .k       u x v = (a. i + b. j + c.k)x(d. i + j + f.k)    e.  u x v = a.d. ix i+ a.e. ix j+ a.f. i k x + b.d. x  + b.e. x + b.f. xk j i j j j  + c.d.kx i + c.e.kx j + c.f.kxk       u x v = b. f . i + c.d. j + a.e.k - c.e. i - a.f. j - b.d.k
  • 8. PRODUTO VETORIAL ( OU EXTERNO )     u x v =u^ v       u x v = b. f . i + c.d. j + a.e.k - c.e. i - a.f. j - b.d.k   b c  a c  a b  u xv= .i − .j + .k e f d f d e   Embora o produto vetorial i j k não seja um  determinante, é conveniente u xv=a b ce prático assim considerá-lo. d e f
  • 9.    i j k   u xv=a b c d e fPela Regra da Mão Direita ou pela troca dasegunda com a terceira linha do determinanteacima, concluímos facilmente que :    Demonstra-se que : u x v = -v x u     O Produto u x v = u . v . sen θ Vetorial não é comutativo.
  • 10. PRODUTO VETORIAL DE UM VETOR POR ELE MESMO Sabemos que : Para dois vetores EQUIPOLENTES,    teríamos, por i j k hipótese, que : u xv=a b c   d e f v=u
  • 11.    i j k Determinantes   com filasu xu =a b c =0 paralelas iguais, são sempre a b c iguais a zero.  O vetor 0 é conhecido como vetor nulo. Com efeito, temos também que :    u x(− u ) = 0
  • 12. Por outro ponto de vista, temos que :     u x v = u . v . sen θ Quando :       u x u ⇒ θ = 0º ⇒ u x u = u . u . sen 0º ou      u x (−u ) ⇒ θ = 180º ⇒ u x (−u ) = u . − u . sen 180º Em ambos os casos, temos o módulo do produto vetorial igual a zero. Logo, em ambos os casos, temos o produto vetorial igual ao vetor nulo.
  • 13. Vetores de mesmaVetores de mesmadireção terão paradireção terão paraproduto vetorial, umproduto vetorial, umvetor nulo..vetor nulo
  • 14. IDENTIDADE DE LAGRANGEIDENTIDADE DE LAGRANGE   Sobre osPRODUTOS u .v = u . v . cos θEscalar eVetorial,    aprendemos que : u x v = u . v . sen θDas RelaçõesFundamentais daTrigonometria, sen θ + cos θ = 1 2 2temos que :  2  2 2 2Logo : ( u.v ) + u x v = u . v
  • 15. APLICAÇÕES do PRODUTO VETORIAL  No cálculo da área v h de paralelogramos, θ temos :   u S P = u .h Temos também que : h = v . sen θ  Logo : S = u . v . sen θ P  Então: S = uxv P
  • 16. APLICAÇÕES do PRODUTO VETORIAL No cálculo da áreav h de triângulos, basta θ dividir a área do  paralelogramo por 2. u Temos então que: SP   | u× v | S∆ = ⇒ S∆ = 2 2
  • 17. CUma barra homogênea AB de seção reta uniforme está articulada em A e é mantida na horizontal θ Bpelo fio ideal BC . A Abarra tem peso 100 N e Do corpo D pesa 250 N.Qual a tração no fio e as componentes Dados : AB = 8 mvertical e horizontal da reação da articulação A?  AC = 6 m
  • 18. O diagrama abaixo mostra esquematicamente as forças presentes no sistema.C Ry A A 4m T θ B θ Rx M 4m BA 250 D 100
  • 19. Ry 4m 4m Estabelecendo as Estabelecendo as condições de condições de M M equilíbrio, temos :: equilíbrio, temos 250 4m 4m 100 θ θ TDa B  ∑ Fx = 0 BTrigonometria no triângulo  6   ∑ Fy = 0retângulo, temos: sen θ = = 3/5  10 10   M =0 ∑ A6 8 θ cosθ = = 4/5 8  10
  • 20.  ∑ Fx = 0 T . sen θ Ry A A ∑ Fy = 0 4m T . cos θ Rx B M =0∑ A x M 4m x 100 250 Vetor R y + T . sen θ − 100 − 250 = 0 entrando no plano x Rx − T . cosθ = 0− 100 x 4 − 250 x8 + T . sen θ .8 = 0 Vetor saindo do plano
  • 21. Resolvendo osistema, temos : T = 500 NA reação no Rx = 40 Nponto A éobtida por : R y = 50 NR = R +R 2 x 2 yR = 40 + 50 ≅ 64 N 2 2

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