Este documento presenta los conceptos fundamentales del álgebra lineal relacionados con los espacios vectoriales dotados de un producto interno, incluyendo las propiedades de la norma de un vector, la ortogonalidad, la desigualdad de Cauchy-Schwarz, el proceso de Gram-Schmidt para ortogonalizar conjuntos de vectores, y la representación de vectores a través de sus coordenadas respecto a bases ortonormales.

1. GUÍA DE ESTUDIO
ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
1) CONDICIONES PARA QUE UNA a) El producto escalar en Cn, o producto interno
FUNCIÓN SEA UN PRODUCTO INTERNO usual en Cn definido por:
Una función dada es un producto interno si (z w) = z w1 1 + z 2 w2 + .... + z n wn
satisface los siguientes cuatro axiomas:
donde:
1.- Simetría o conmutatividad:
(u v ) = ( v u ) z = ( z1 , z 2 ,...., z n )
2.- Aditividad o distributividad: w = (w1 , w2 ,...., wn )
(u v + w) = (u v) + (u w) wi = Conjugado de wi.
3.- Homogeneidad: b) En el espacio V de las funciones reales de
(αu v) = α(u v) variable real, continuas en el intervalo (a, b), la
función (⋅ ⋅) definida por:
4.- Positividad:
(u u ) > 0 ( f g ) = ∫a f (x ) g (x ) dx
b
∀u ≠ 0 ⇒ es un producto
ó bien: interno real
(u u ) = 0 si y sólo si u = 0 c) En el espacio V de las matrices de m×n con
elementos en R, el siguiente es un producto
( )
interno real:
donde v u representa el conjugado del número
complejo (v u ) . (A B ) = tr (AT B ) → para números reales
NOTA: Puede haber más de un producto interno d) En el espacio V de las matrices de m×n con
(P.I.) en un espacio vectorial (E.V.). Por ejemplo, elementos en C, la siguiente función es un
producto interno real:
para los vectores x = ( x1 , x 2 ) y y = ( y1 , y 2 ) que
∈ R2, el producto interno puede ser: (A B ) = tr (A* B )
→ para números complejos, y
(x y ) = x y
*
donde A representa la conjugada transpuesta de
1 1 + x 2 y 2 ⇒ producto interno usual A.
(x y ) = 2 x y
1 1 + x1 y 2 + x 2 y1 + x 2 y 2 ⇒ 2) DESIGUALDAD
SCHWARZ
DE CAUCHY-
producto interno que no es el usual (así como
éste, en un espacio vectorial pueden haber más
La Desigualdad de Cauchy-Schwarz se define
productos internos que no son los usuales).
mediante la siguiente expresión:
Otros ejemplos de productos internos usuales son:
(u v) 2
( )( )
≤ u u v v
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ó bien (en términos de la norma):
( ) (u u )
1/2
=u =
u u
(u v) ≤ u v ó bien:
u
2
( )
= u u
donde u y v son la norma de u y v ,
(u v)
Un vector es unitario cuando su norma es igual a
respectivamente; y es el módulo del uno: u = 1 . Además, cualquier vector u puede
producto interno (u v). convertirse en vector unitario utilizando la
1
siguiente expresión e = u.
El módulo de un escalar se define como: u
• Para números complejos:
Las propiedades fundamentales que satisface
toda norma son:
─De la forma: α = a + bi → α = a 2 + b 2
─De la forma: α = a − bi → α = a 2 + b 2 1. v >0
2. v =0 si y sólo si v = 0
• Para números reales:
3. αv = α v
─De la forma: α = a → α = a2 = a 4. u+v ≤ u + v ⇒ conocida como
desigualdad del triángulo
La desigualdad de Cauchy-Schwarz permite
determinar si dos vectores son linealmente NOTA: Puesto que un E.V. puede tener más de
dependientes o independientes: un P.I., un vector puede tener distintas normas
dependiendo del producto interno especificado en
• Si (u v) 2
( )( )
= u u v v
cada caso.
↓ 4) ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES
los vectores u y v son linealmente
dependientes El ángulo θ entre dos vectores u y v se puede
obtener mediante las siguientes expresiones:
• Si (u v) 2
( )( )
< u u v v
• ( )
Cuando u v es un número real:
↓
los vectores u y v son linealmente (u v)
Cosθ =
independientes u v
3) NORMA DE UN VECTOR
NOTA: Cuando Cos θ = 0
La norma de un vector se define mediante la ↓
expresión: θ = 90°.
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• ( )
cuando u v es un número complejo: 6) ORTOGONALIDAD
( )
Ru v Dos vectores u y v son ortogonales cuando su
Cosθ ≅ producto interno es igual a cero:
u v
NOTA: Cuando Cos θ ≅ 0
(u v) = 0
↓
Es decir, el ángulo entre ellos es:
θ ≅ 90°.
NOTA: Al igual que la norma de un vector, se (u v) 0
pueden tener distintos ángulos entre dos vectores, Cosθ = = =0
u v u v
dependiendo del producto interno especificado en
cada caso.
π
θ = Cos −1 (0) = 90  =
PROPIEDADES IMPORTANTES: 2
Si “ θ” es el ángulo entre los vectores u y v ,
entonces:
( )
7) TEOREMA DE PITÁGORAS
• “ θ” es agudo si u v > 0 .
• “ θ” es obtuso si ( u v ) < 0 . Si dos vectores u y v son ortogonales, entonces
se debe cumplir que:
• “ θ” es recto ( θ 90°
= =
π
2
( )
) si u v = 0 .
2 2 2
u+v = u + v
5) DISTANCIA ENTRE DOS VECTORES
La distancia entre dos vectores u y v se 8) CONJUNTO ORTOGONAL
determina con la expresión:
Un conjunto es ortogonal cuando cada uno de sus
( )
d u, v = u − v = v − u
vectores es ortogonal a los demás vectores del
conjunto. Es decir, S es un conjunto ortogonal
cuando:
Las propiedades que satisface la distancia son:
(v v ) = 0 ∀i ≠ j
( )
1. d u , v ≥ 0
i j
2. d (u , v ) = 0 si y sólo si u = v Pero si además vi = 1 ∀ i , el conjunto es
3. d (u , v ) = d (v, u )
d (u , w) ≤ d (u , v ) + d (v, w)
ortonormal.
4.
NOTA: La distancia entre dos vectores también TEOREMA:
puede variar, dependiendo del producto interno Un conjunto ortogonal de vectores no nulos, es
especificado en cada caso. linealmente independiente.
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Tema 4. Espacios con Producto Interno
9) PROCESO DE GRAM-SCHMIDT w1 = v1
Permite convertir un conjunto de vectores que no (v 2 w1 )
es ortogonal, en uno que sí es ortogonal: w2 = v 2 −
(w 1 w ) 1
w 1
{
a) Sea A = v1 , v 2 } ⇒ conjunto que no es (v 3 w ) 1 (v 3 w2 )
w3 = v3 −
(w w )
w −
(w w )
ortogonal 1 w 2
1 1 2 2
{
Sea B = w1 , w2 } ⇒ conjunto que se (v w ) (v w ) (v w3)
convierte en ortogonal 4 1 4 2 4
w4 = v 4 −
(w 1 w )
w −
1 (w 1
2 w )
2
w −
(w
2
3 w )
3
w3
Los vectores que forman el nuevo conjunto
{ }
ortogonal B = w1 , w2 , se obtienen con el Y así sucesivamente, se pueden obtener los
proceso de Gram-Schmidt a partir de las nuevos vectores wi de un conjunto ortogonal con
siguientes expresiones:
las siguientes expresiones generales (proceso de
ortogonalización de Gram-Schmidt):
w1 = v1
(v w )
2 1
w1 = v1
w2 = v 2 −
(w w ) w
1 1
1 y:
(v
i −1 wk)
∑ (w
i
w )
b) Si el conjunto original tiene tres vectores: wi = vi − w
{ }
k
A = v1 , v 2 , v3 , los vectores que constituyen el k =1 k k
nuevo conjunto ortogonal B = w1 , w2 , w3 , se { } En cualquiera de los casos anteriores, el nuevo
obtienen con las expresiones: {
conjunto ortogonal B = w1 , w2 ,..., wn constituye }
una base ortogonal, donde sus elementos son
w1 = v1
todos aquellos wi ≠ 0 .
(v w )
2 1
w2 = v 2 −
(w w ) w
1 1
1 Además, es posible obtener una base ortonormal
a partir de cualquier base ortogonal
(v w ) (v
3 1 3 w2) { }
BOG = w1 , w2 ,..., wn , solamente convirtiendo los
w3 = v3 −
(w w ) w − (w
1 1
1
2 w )
2
w 2 vectores wi
expresiones:
en vectores unitarios, con las
1
c) Si el conjunto original tiene cuatro vectores: e1 = w1
{ }
A = v1 , v 2 , v3 , v 4 , los vectores que constituyen
w1
el nuevo conjunto ortogonal 1
{ }
B = w1 , w2 , w3 , w4 , se obtienen con las
e2 =
w2
w2
expresiones:
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1 De igual manera, a partir de una base ortonormal
en = wn se puede obtener el vector de coordenadas
()
wn
v BON . Es decir, para la base ortonormal
{ }
Siendo BON = e1 , e2 ,..., en la base ortonormal. { }
BON = e1 , e2 ,..., e3 , escribiendo la combinación
lineal:
10) VECTOR DE COORDENADAS
v= γ 1 e1 + γ 2 e2 + ... + γ n en
Con la definición de producto interno es posible
obtener un vector de coordenadas v BOG del () y de la definición de producto interno, se
vector v en la base ortogonal BOG . Es decir, si obtienen los escalares γ 1 , γ 2 , ..., γ n (que son las
se escribe al vector v como combinación lineal coordenadas del vector v anterior) como sigue:
( )
de los vectores de la base ortogonal
γ 1 = v e1
{
BOG = w1 , w2 ,..., wn : }
γ2 = (v e )2
= β1 w1 + β 2 w2 + ... + β n wn
v
γn = (v e )n
Se sabe que los escalares β1 , β 2 , ..., β n son las
coordenadas del vector de coordenadas v ( )B
OG
así, el vector de coordenadas buscado es:
buscado; las cuales se pueden obtener con las γ1 
expresiones: γ 
 2
(v w )1
v
BON
()
= [γ 1 γ 2 ... γ n ]
= . 
T
 
β1 =
(w w )
1 1
. 
γ n 
 
β2 =
(v w )2
(w w )
2 2 11) COMPLEMENTO ORTOGONAL
βn =
(v w )n
Sea V un espacio con producto interno, y sea W
un subconjunto de V. Se dice que un vector v ∈ V
(w w )
n n es ortogonal al conjunto W cuando
Con lo cual, el vector de coordenadas buscado se ( )
v u = 0 ∀ u ∈ W . Además, el conjunto de
escribe: todos los vectores de V, ortogonales a W se
 β1  denota con el símbolo W ⊥ , es decir:
β 
 2
= [=  . 
v ()
BOG
β1 β 2 ... β n ]
T
 
{ ( )
W ⊥ = v ∈V v u = 0 ∀ u ∈W }
 . 
 βn 
 
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Cuando W es un subespacio de V, el conjunto tienen solución. Cuando se necesita una solución
W ⊥ se conoce como el complemento ortogonal y no existe alguna, lo que se puede hacer es
de W. encontrar un “x” que haga a “Ax” tan cercana a
“b” como sea posible. Cuanto más pequeña sea la
El complemento ortogonal, tiene la propiedad de distancia entre “b” y “Ax” mejor será la
aproximación. Entonces, el problema general de
que cualquier vector v ∈ V puede expresarse en
mínimos cuadrados consiste en encontrar un “x”
forma única como:
que haga a b − Ax tan pequeña como sea
posible.
v = wo + w'
donde wo ∈ W y w' ∈W ⊥ . DEFINICIÓN: Si A es una matriz de orden m×n
y “b” está en Rm, una solución por mínimos

cuadrados del sistema Ax = b es un x en Rn tal
12) PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE que:
UN SUBESPACIO VECTORIAL

b − Ax ≤ b − Ax ∀ x ∈ Rn
Sea V un espacio con producto interno, W un
subespacio de V de dimensión finita y
{ }
BON = e1 , e 2 , e3 una base ortonormal de W. Si
TEOREMA DE MÍNIMOS CUADRADOS:
se tiene v ∈ V , entonces el vector:
Sea A una matriz de orden m×n y sea “b” en Rm.
Entonces Ax = b siempre tiene al menos una
∑ (v ei ) ei
n
wo = 
solución de mínimos cuadrados x . Además:
i =1
se llama la proyección de v sobre W. 
1. x es una solución de mínimos cuadrados

de Ax = b , si y sólo si x es una solución
de las ecuaciones normales:
TEOREMA DE PROYECCIÓN:
Sea V un espacio con producto interno, y sea W 
AT Ax = AT b
un subespacio de V. Para cada vector v ∈ V
2. “A” tiene columnas linealmente
existe uno y sólo un vector wo ∈ W tal que:
independientes si y sólo si AT A es
invertible. En este caso, la solución de
v − wo < v − w ∀ w ∈W , w ≠ wo
mínimos cuadrados de Ax = b es única y
está dada por:
dicho vector es la proyección de v sobre W.
x = ( AT A ) AT b
−1

13) MÍNIMOS CUADRADOS
El concepto de mínimos cuadrados se emplea en
sistemas de ecuaciones lineales de la forma
Ax = b que son inconsistentes, es decir, que no
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