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Probabilidades
 

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    Probabilidades Probabilidades Document Transcript

    • Probabilidades• Conjuntos Se B é subconjunto próprio de A, escreve-se: B ⊂ A (B implica A).Notações de conjuntos para representar Reunião e intersecção de conjuntosrelações entre acontecimentosRelação entre Notação de Sconjuntos conjuntos A BAcontecimento certo Ω, S, EAcontecimento A U Bimpossível ØO acontecimento Anão ocorre AOcorre o A ∪= : x ∈∨∈ B {x A x B}acontecimento A eocorre o A∩ Bacontecimento B Nota: #(A ∪ = + − A ∩ B) # A #B #( B)Ocorre oacontecimento A ou Socorre o A∪ B A Bacontecimento B ouocorrem ambosSe C ocorre, então D A∩ Btambém ocorre (C C ⊆Dimplica a realizaçãode D)Os acontecimentos E eF são incompatíveis E∩F =∅ A ∩= : x ∈∧∈ B {x A x B}Cardinal de um conjunto Conjuntos disjuntos (incompatíveis)Ao número de elementos de um conjunto A e B são conjuntos disjuntos se A∩B=Ø.chama-se cardinal do conjunto e representa-sepelo símbolo # (“cardinal”). S A BA={1, 2, 7}; #A=3Igualdade entre os conjuntos ( A = ) ⇔∈ ⇔ B ) B (x A x∈Subconjunto de um conjunto ( A ⊆ ) ⇔∈ ⇔ B ) B (x A x∈ S B A Diagrama de Venn Propriedades das operações com conjuntos
    • Seja A e B dois subconjuntos quaisquer:Propriedade A∪ B = B∪ A A∩ B = B∩ A A ∩= ∪ B A B e A ∪= ∩ B A BcomutativaPropriedade ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪(C )∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) AassociativaElemento • Termos e conceitos probabilísticosneutro A∪∅ = A A∩S = AElemento Experiência deterministaabsorvente A∪S = S A∩∅ = ∅Idempotência A∪ A = A A∩ A = A As experiências deterministas ou causais caracterizam-Propriedade A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ (∩ ( BC ) C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ Cpor produzirem o mesmo resultado, desde que A A∪ ∪distributiva se ) sejam repetidas sob as mesmas condições (i.e.:lançar Complementar de um conjunto uma pedra ao mar e verificar que vai ao fundo; furar um balão cheio de ar e verificar que rebenta). O complementar de um conjunto A representa- se A . Experiência aleatória S As experiências aleatórias ou casuais caracterizam-se A A pela impossibilidade de prever o resultado que se obterá, ainda que as experiências sejam realizadas sob as mesmas condições (i.e.: lança um dado e observar a face que fica voltada para cima; tirar um carta de um baralho e verificar se sai vermelha). 1.º - A = { x : x ∉ A} Conjunto de resultados 2.º - A∪A = S 3.º - A∩A =∅ Ao conjunto formado por todos os resultados possíveis 4.º - A=A de uma experiência aleatória chama-se conjunto de resultados ou espaço amostral e representa-se por S, Complementar de um conjunto U ou Ω (i.e.: no lançamento de um dado, S={1, 2, 3, 4, relativamente a outro 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}). Seja A e B dois conjuntos. Acontecimento O complementar de B relativamente a A representa-se por AB e tem-se: A qualquer subconjunto de S chamamos A B = {x : x ∈ A ∧ x ∉ B} acontecimento. Acontecimento de uma experiência aleatória é cada um dos subconjuntos do conjunto de resultados. S A B Acontecimento elementar – Se o resultado de uma experiência consta de um só elemento do conjunto de resultados (i.e.: A={8}). Acontecimento composto - Se o resultado de uma experiência consta de dois ou mais elementos do Só se realiza se e só se A se realiza sem que B conjunto de resultados (i.e.: B={1, 3, 5, 7}). Lançar se realize. dois dados, um dado e uma moeda, retirar de um saco mais de uma bola são experiências compostas porque envolvem mais do que uma experiência simples. As Leis de De Morgan tabelas de dupla entrada são úteis para identificar todas
    • as probabilidades de saídas quando se trata de • Definição frequencista deduas experiências simples. O diagrama de probabilidadeárvore usa-se para o mesmo efeito mas podeser utilizado para duas ou mais experiências. Lei dos grandes númerosAcontecimento certo – Se o resultado de umaexperiência consta de todos os elementos do Ao número à volta do qual estabiliza a frequênciaconjunto de resultados (i.e.: C={1, 2, 3, 4, 5, relativa de um acontecimento quando o número de6}=S). repetições da experiência cresce consideravelmente chama-se probabilidade do acontecimento.Acontecimento impossível – Se o resultado deuma experiência não tem qualquer elemento do Designemos por p(A) a probabilidade doconjunto de resultados (i.e.: D=Ø). acontecimento A.Acontecimentos incompatíveis e A relação entre frequência relativa e a probabilidadeacontecimentos contrários – dois de um acontecimento permite desde já estabelecer asacontecimentos, X e Y, dizem-se incompatíveis seguintes conclusões:se a sua verificação simultânea for oacontecimento impossível, ou seja, X ∩Y = ∅ 1.º - 0 ≤ p(A) ≤ 1(a realização de um acontecimento não implica 2.º - p(acontecimento certo) = p(S) = 1a realização do outro). 3.º - p(acontecimento impossível) = p(Ø) = 0 4.º - Se A e B são dois acontecimentos quaisquer do S mesmo espaço amostral S , X Y p ( A ∪ B ) = p( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B ) 5.º - Se A e B são incompatíveis, p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) 6.º - p ( A ) =1 − p ( A)No caso dos acontecimentos A e B, além de • Lei de Laplaceserem incompatíveis ( A ∩ B = ∅ ), verifica-seque A ∪ B é o acontecimento certo ( Se os acontecimentos elementares são equiprováveis, A ∪ B = S ). Por esta razão também se chama a a probabilidade de um acontecimento A é igual aoA e B acontecimentos contrários (a quociente entre o número de casos favoráveis aointersecção é um acontecimento impossível e a acontecimento e o número de casos possíveis. Ou seja:reunião é um acontecimento certo). número de casos favoráveis ao acontecimento A p ( A) = número de casos favoráveis S • Definição axiomática de probabilidade A B Axiomas são proposições, sugeridas pela nossa intuição ou experiência, que não se demonstra e se aceitam como verdadeiras. Provar ou demonstrar uma proposição é mostrar,B é o acontecimento contrário de A e usando raciocínios lógicos, que ela resulta de outrasrepresenta-se por A . consideradas verdadeiras.
    • Teoremas são proposições que se demonstrama partir dos axiomas ou de outras proposiçõesjá demonstradas. Teorema 6 - B ⊂ A ⇒ p(A B) = p(A) − p(B)Axiomas das probabilidades (Axiomáticade Kolmogorov) Teorema 7 - B ⊂ ⇒B ) ≤ ( A) A p( pAxioma 1 – A probabilidade de qualquer Teorema 8 - p ( A) + B ) + A ∩ = p( p( B) 1+ A ∩ p( B)acontecimento A do conjunto de resultados S éum número não negativo. • Probabilidade condicionada (acontecimentos dependentes)p( A) ≥ 0, A ⊆ S Representa-se por p(A|B) a probabilidade deAxioma 2 – A probabilidade do acontecimento ocorrência de A, na hipótese de B se ter realizado, ecerto é 1. tem-se (probabilidade de A sabendo que B ocorre):P(S) = 1, S é o acontecimento certo p ( A ∩B ) p( A | B) = , p( B) ≠ 0 p( B)Axioma 3 – A probabilidade da reunião de doisacontecimentos incompatíveis (disjuntos) éigual à soma das probabilidades desses 1.º - p( A ∩ B ) = p ( B ) × p( A | B )acontecimentos. 2.º - p( A ∩ B ) = p ( A) × p( B | A) • Probabilidade condicionada e p ( A ∪ =( A) +( B ), se ( A ∩ = B) p p B) ∅ axiomáticaTeorema 1 – a probabilidade de um Sendo S o conjunto de resultados, A ⊆ S , B ⊆ S eacontecimento impossível é zero. p(B)>0, p(A|B) satisfaz os 3 axiomas da teoria das probabilidades se:p(Ø) = 0 1.º - p(A|B) ≥ 0Teorema 2 – a probabilidade de qualqueracontecimento A é um número do intervalo [0, 2.º - p(S|B) = 11]. 3.º - Se A1 e A2 são acontecimentos incompatíveis, 0 ≤ ( A) ≤ A ⊆ p 1, S isto é, se A1 ∩ A2 = ∅ , então: p[( A1 ∪ A2 ) | B] = p ( A1 | B ) + p( A2 | B)Teorema 3 – a probabilidade do acontecimentocontrário de A ( A ) é igual à diferença entre 1e a probabilidade de A. • Acontecimentos independentes p( A ) = 1 − A), A ⊆ p( S Dois acontecimentos são independentes quando aTeorema 4 – probabilidade da reunião de dois probabilidade de realização de um deles não interfereacontecimentos na probabilidade da realização do outro. (Exemplos: lançamentos consecutivos de 2 p ( A ∪ = ( A) +( B ) −( A ∩ B) p p p B) dados/moedas; tirar consecutivamente bolas/cartas, com reposição.)Teorema 5 - p ( A) = A ∩+ A ∩ p( B) p( B) Dois acontecimentos são independentes se e só se:
    • X Variável aleatória p ( A | B ) = ( A) p N Nº de elementos da população xi Valores que pode tomar a variável p ( A ∩ = ( A) ×( B ) B) p p X fri Frequência relativa de x i , em % fi Frequência absoluta de x i• Teorema das probabilidades pi Probabilidade de x itotais μ, x Média σ Desvio-padrãop ( A) = p ( A | B ) × p ( B ) + p ( A | B ) × p ( B ) σ2 Variânciaou Chama-se distribuição de probabilidades de uma p( A) = p ( A | B1 ) × p ( B1 ) + p( A | B2 ) × p ( B2 ) + ... + pvariável × p ( Bn ) X à aplicação que a cada valor x i da ( A | Bn ) aleatória variável X faz corresponder a respectiva probabilidade pi .• Teorema de Bayes p( A ∩ B) Dada uma variável aleatória X, discreta, que assumep ( B | A) = um número finito de valores distintos p ( A | B1 ) × p ( B1 ) + p ( A | B2 ) × p ( B2 ) + ... + p,( x | ,..., × p ( Bn x x A Bn ) x ,..., ) 1 2 , então as probabilidades i n• Variável aleatória e distribuição p i = P ( X = x i ) , i = 1, …, n, devem satisfazer asde probabilidades seguintes condições:Uma variável aleatória é uma variável cujo 1.º - 0 ≤ p i ≤ n, i = 1, …, nvalor é um resultado numérico associado ao nresultado de uma experiência aleatória. Pode 2.º - ∑p i =1 i =1ser discreta ou contínua:Variável aleatória discreta – pode assumir Amostra População Variável estatística X que toma Variável aleatória Xum número finito ou infinito numerável de que toma valores valores x1 , x 2 ,..., x i ,..., x nvalores. Dados obtidos por contagem (i.e.: nº x1 , x 2 ,..., xi ,..., x nde pessoas atendidas num hospital). Média aritmética Valor médio ou n esperançaVariável aleatória contínua – pode assumir ∑x i × ni n n µ = ∑ xi × p ium número infinito não numerável de valores. x= i =1 = ∑ xi × fri i =1Dados obtidos através de aparelhos de medida N i =1(i.e.: temperatura). Variância amostral Variância n populacional ∑x 2 × ni n fr = ∑ x i − x = ∑ x × σ i − x 2 = i × pi − µ 2 2 2 σ =2 i =1 2 2 i N i =1 Ou n ( x i − x ) 2 × ni n n ∑ i =1 N = ∑ ( x i − x )σ × = i∑ ( xi − µ ) 2 × pi i =1 2 2 fr i =1 Desvio-padrão amostral Desvio-padrão populacional σ= σ 2Notação σ = σ2Notação Descrição
    • • Modelo binomial (variáveis discretas) realizações de uma dada experiência determinado acontecimento se verifique k vezes.Distribuição binomial p ( x = k )=n C k p k .q n −kDesigna-se por modelo de distribuiçãobinomial uma experiência aleatória com as x = k – acontecimentoseguintes características: n – nº de vezes que a experiência se repete k – nº de vezes de sucesso p – probabilidade de sucesso1.º - É constituída por n provas idênticas. q – probabilidade de insucesso2.º - Em cada prova apenas são possíveis doisresultados: sucesso ou insucesso.3.º - Os resultados das provas são • Modelo normal (variável contínua)independentes uns dos outros.4.º - A probabilidade de sucesso p não varia de Uma distribuição normal é caracterizada pela média μprova para prova. e pelo desvio-padrão σ. Representa-se por N(μ,σ). A curva normal é em forma de sino e denomina-se porÀ variável aleatória X, que representa o número Curva de Gauss.de sucessos nas n provas, chama-se variávelaleatória com distribuição binomial de Características da curva normalparâmetros n e p. 1.º - É simétrica relativamente ao valor médio μ daRepresenta-se por B (n, p). variável.A variável X pode tomar os valores 1, 2, …, n. f ( µ − x 0 ) = f ( µ + x 0 ), ∀x 0 ∈ ℜSe X tem distribuição binomial de parâmetros n 2.º - Tem um máximo para x = μ.e p, a probabilidade para qualquer valor X = rda variável aleatória X é dada por: 3.º - Quanto maior for o desvio-padrão σ, mais achatada é a curva. P ( X = ) =C r p r × − ) n − r n (1 p r 4.º - A área compreendida entre a curva e o eixo Ox éProvas de Bernoulli igual a 1.Sucessão de experiências aleatórias 5.º - A probabilidade de que a variável tome valores noindependentes, em cada uma das quais se intervalo [ xi , x j ] é igual à área compreendida entre oobserva ou não, a realização de um eixo Ox, o gráfico da função densidade e as rectasdeterminado acontecimento A, com x = xi e x = x j .probabilidade P(A)=p, constante deexperiência para experiência 6.º - A concavidade da curva muda de sentido para x1 = µ − σ e x 2 = µ + σ ( x1 e x 2 são abcissas dosA distribuição binomial é um modelo pontos de inflexão).probabilístico aplicável em problemas onde seconsideram repetidas provas de Bernoulli. 7.º - O eixo das abcissas é assimptota da curva.Provas repetidasO problema das provas repetidas consiste nadeterminação da probabilidade de que em n 8.º - A área abaixo da curva distribui-se em intervalos da seguinte forma:
    • NOTA: 0!=1 * ] x − σ ; x + σ[= 68,26% * ] x − 2σ ; x + 2σ[= 95,44% * ]x − 3σ; x + 3σ[= 99,74% Permutações Chama-se permutação de n elementos a todas as sequências diferentes que é possível obter com os n elementos. O número dessas sequências representa-se por Pn (permutação de n). Pn = n! x − 2σ x −σ x x +σ x + 2σ Arranjos sem repetição (arranjos simples)• Cálculo combinatório Dados n elementos quaisquer, chama-se arranjos sem repetição de n elementos escolhidos arbitrariamente entre os n dados. O número de todas estas sequênciasPrincípio geral da multiplicação (“A e B”) designa-se por A p = n(n −1)(n − 2) ×... × (n − p +1) nPor cada alternativa, existem n alternativas n, p ∈ N e n≥pdiferentes. n! 1.º - A p = nConsideremos um processo constituído por k ( n − p )!etapas. Se existirem n1 maneiras de realizar aprimeira etapa e se, para cada uma destas, 2.º - n An = Pnexistirem n 2 maneiras de realizar a segundaetapa, e assim sucessivamente, até à k-ésima Arranjos com repetição (arranjos completos)etapa, então todo o processo pode ser realizadode n1 × n2 × n3 ×... × nk maneiras diferentes. Dados n elementos diferentes, a1 , a 2 ,..., a n , chama- se arranjos com repetição dos n elementos p a p a todas as sequências de p elementos, sendo estesPrincípio geral da adição (“A ou B”) diferentes ou não, que se podem formar escolhendo os p elementos entre os n dados. O número total deAs várias formas de realizar algo. sequências representa-se por A p = n n pSe para realizar um processo existirem kalternativas que se excluem duas a duas, e se Combinações sem repetição (tiragens simultâneas)existirem n1 maneiras de realizar a primeira nalternativa, n 2 maneiras de realizar a segunda, n C p ou   é o número de subconjuntos com p…, n k maneiras de realizar a k-ésima, então o pprocesso pode ser realizado de elementos que se podem definir num conjunto com nn1 + n 2 + n3 + ... + n k maneiras diferentes. elementos. n Ap n!Factorial de um número natural n n Cp = n Cp = , n, p ∈ N 0 e n≥p p! p!( n − p )!Chama-se factorial de um número natural n erepresenta-se por n! ao produto: 1.º - C p = C n −p n nn! = n( n −1)( n − 2) ×... ×3 × 2 ×1
    • n+ 2.º - C p + C p +1 = C p +1 n n 1 n C p = n− n C p 3.º - C 0 = C n = 1 n n 2.º - A soma de dois números consecutivos de uma linha é igual ao número que na linha seguinte figura entre eles: Síntese n C + C = C p− 1 n  Regra de Stiefel p n+ 1 p 3.º - A soma de todos os elementos da n-ésia linha é A Entram todos igual a 2 n : Pode haver os elementos ordem Combinatória n C 0 +C1 + +C n = n n ... n 2 repetição? da influi? sequência?Arranjos comrepetição   - n Ap = n p • Binómio de NewtonArranjos sem n! n Ap =repetição    ( n − p )! ( a + b) n =n C 0 a n +n C1 a n −1b +n C 2 a n −2 b 2 + ...+n C n −1 abPermutações Pn = n!    OuCombinações n!   - n Cp = p!( n − p )! n ( a + b) n = ∑n C p a n −p b p p =0 • Triângulo de Pascal Observações 1 1.º - O desenvolvimento de (a + b) n tem n+1 termos. 1 1 2.º - O termo de ordem p é T p , sendo: 1 2 1 T = C p n a b p− 1 p 1 1 n −p ou T p +1 = C p a b n −+ n p− p 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 O binómio de Newton é uma forma rápida de 1 6 15 20 15 6 1 …………………………………… simplificar expressões do tipo (a + b) n . Corresponde aos valores de: 0 C0 1 1 C0 C1 2 2 2 C0 C1 C2 3 3 3 3 C0 C1 C2 C3 4 4 4 4 4 C0 C1 C2 C3 C4 5 5 5 5 5 5 C0 C1 C2 C3 C4 C5 6 6 6 6 6 6 C0 C1 C2 C3 C4 C5 6 C6 …………………………………………… Propriedades 1.º - Em cada linha são iguais os termos equidistantes dos extremos: