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  • 1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DE EDUACION Y DEPORTE FACULTAD DE INGENIERIA UNIVERSIDAD FERMIN TORO (CABUDARE) ESTRUCTURAS DISCRETAS IIINTEGRANTE:PEDRO GONZALEZ CI: 18102818MATERIA: ESTRUCTURAS DISCRETAS IIPROFESOR: EDECIO FREITEZSAIA CABUDARE; 15 DE NOVIEMBRE DE 2012
  • 2. EJERCICIOS PROPUESTOS:1) Dado el siguiente grafo, encontrar:a) Matriz de adyacencia.b) Matriz de incidencia.c) Es conexo?. Justifique su respuesta.d) Es simple?. Justifique su respuesta.e) Es regular? Justifique su respuesta.f) Es completo? Justifique su respuesta.g) Una cadena simple no elemental de grado 6.h) Un ciclo no simple de grado 5.i) Árbol generador aplicando el algoritmo constructor.j) Subgrafo parcial.k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury.l) Demostrar si es hamiltoniano.
  • 3. Solución: A) Matriz de adyacencia:La matriz de adyacencia es una matriz cuadrada A, cuyas entradas aij es elnúmero de aristas que van desde el vértice vi hasta el vértice vj. A=
  • 4. B) Matriz de incidencia:La matriz de incidencia es una matriz M cuyas entradas mij es el número deveces que la arista j incide en el vértice i. C)Es conexo?. Justifique su respuesta:El grafo dado es conexo ya que existe una cadena o camino entre cualquierpar de vértices. D)Es simple?. Justifique su respuesta:El grafo es simple porque no tiene ciclos y no existe más de una aristauniendo par de vértices, es decir para cada par de vértices que están unidos,esta unión se realiza a través de una sola arista. E)Es regular? Justifique su respuesta:El grafo no es regular ya que el grado de incidencia del vértice v1 es 5 y elgrado de incidencia del vértice v3 es de 6 y para que un grafo sea regulartodos los vértices deben tener el mismo grado de incidencia.
  • 5. F)Es completo? Justifique su respuesta:Para que el grafo sea completo cada vértice debe estar conectado a cualquierotro vértice distinto, el vértice v1 no está conectado al vértice v5, por lo tantoel grafo dado no es completo. G)Una cadena simple no elemental de grado 6:Una cadena simple no elemental (repite el vértice v3) de grado 6 es : v1 a1v2 a3 v3 a7 v6 a20 v8 a18 v7 a12 v3. H)Un ciclo no simple de grado 5:Un ciclo no simple de grado 5 es (repite la arista a19): v5 a19 v8 a18 v7 a17v5 a19 v8 a9 v2. I) Árbol generador aplicando algoritmo constructor:Paso1: Elegir s1=v1, y colocamos h1={v1}.Paso2: Elegir la arista a4 que conecta a v1 con v4 colocamos h2={v1,v4}. .v1 a4. v4
  • 6. Paso3: Elegir la arista a15 que conecta v4 con v7 y colocamosh3={v1,v4,v7}. V1 a4 V1 a15 V7Paso 4: Elegir la arista a17 que conecta v7 con v5 y colocamosh4={v1,v4,v7,v5} V1 a4 V5 V4 a17 a15 V7
  • 7. Paso 5: Elegir la arista a19 que conecta v5 con v8 y colocamosh5={v1,v4,v7,v5, v8}. V1 a4 V5V4 a19 a15 a17 V7 V8Paso 6: Elegir la arista a20 que conecta v8 con v6 y colocamosh6={v1,v4,v7,v5, v8,v6}. V1 a4 V5 V4 V6 a19 a20 a17 a15 V8 V7
  • 8. Paso 7: Elegir la arista a10 que conecta v6 con v2 y colocamosh7={v1,v4,v7,v5, v8,v6,v2}. V2 a10Paso 8: Elegir la arista a3 que conecta v2 con v3 y colocamosh8={v1,v4,v7,v5, v8,v6,v2, v3}Para así obtener el árbol generador. V3 a3
  • 9. J) Subgrafo parcial: Con V={v1 v4 v3 v2} y A={a4 a2 a11 a3 a1}obtenemos el subgrafo parcial V1 a1 V2 a2 a4 a3 V3 a11 V4K) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury:El grafo no es euleriano porque no es posible construir un ciclo euleriano, yaque, no todos los vértices tienen grado par.
  • 10. L) Demostrar si es Hamiltoniano:El número de vértices del grafo es 8, el grado de v1 es Gr(v1)≥4, el de v2 e sGr(v2)≥4, Gr(V8)≥4, y el grafo es simple, por lo tanto el grafo esHamiltoniano. Un Ciclo hamiltoniano es: a2
  • 11. 2) Dado el siguiente dígrafo: a) Encontrar matriz de conexión. b) Es simple?. Justifique su respuesta. c) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5. d) Encontrar un ciclo simple. e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad. f) Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de Dijkstra. Ponderación de las aristas:Aristas: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14Ponder.: 2 3 4 3 2 3 4 1 4 3 2 2 4 3
  • 12. SOLUCIÓN: A) Matriz de conexión: B) Es simple?Como el dígrafo no tiene lazos ni arcos paralelos, el dígrafo essimple. C) Encontrar una cadena no simple elemental de grado 5:Una cadena no simple, no elemental de grado 5 es: C=[v5 a13 v6 a14 v5 a11 v4 a12 v6 a14 v5]. D) Encontrar un Ciclo simple: C=[v1 a1 v2 a3 v4 a9 v1].
  • 13. E) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad:
  • 14. F) Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de Dijkstra: Sea la distancia di la distancia más corta del vértice vi al vértice v2 Paso 1:D0(v2)=0. U0=v2 Paso 2:D1(v1)=min(Inf,Inf)=Inf. D1(v3)=min(Inf,3)=3. D1(v4)=min(Inf,4)=4. D1(v5)=min(Inf,Inf)=Inf. D1(v6)=min(Inf,3)=3. U1=v3.D1(U1)=3. Paso 3:D2(v1)=min(Inf,3+Inf)=Inf. D2(v4)=min(4,3+1)=4. D2(v5)=min(Inf,3+4)=7. D2(v6)=min(Inf,3)=3. U2=v6;D2(U2)=3. Paso 4:D3(v1)=min(Inf,3+Inf)=Inf. D3(v4)=min(4,3+Inf)=Inf. D3(v5)=min(7,3+3)=6. U3=v4; D3(U3)=4.
  • 15. Paso 5:D4(v1)=min(Inf, 4+4)=8D2(v5)=min(6,4+Inf)=6. U4=v5; D4(U4)=6;Paso 6: D5(v1)=min(8,6+Inf)=8.U5=v1; D5(v1)=8.Por lo tanto D(v2,v1)=8, D(v2,v2)=0, D(v2,v3)=3, D(v2,v4)=4,D(v2,v5)=6 y D(v2,v6)=3.