Determinar PIDs dada la grafica de respuesta en el tiempo de una planta dada

1. 1. En el sistema de control que se muestra en la figura 2, la planta tiene como
respuesta temporal a un escalón unitario la siguiente (figura 1):
Figura 1. Respuesta del sistema a un escalón unitario
Figura 2. Sistema de Control
Tiempo de respuesta del sistema de 20 s.

2. Primero determinamos un modelo aproximado de la planta de la forma:
Donde K es la ganancia en regimen estacionario, T el polo de primer orden del sistema
y Td el retardo.
Para el calculo de esas constantes procedemos a calcular para que tiempo ocurre el 63%
y el 28% del valor final:
• 63% Vf = 0.63*10 = 6.3 y ocurre para un t2 = 10 seg
• 28% Vf = 0.28*10 = 2.8 y ocurre para un t1= 5 seg
Donde t1 y t2 son valores aproximados
Por lo tanto,
• T = 3/2 * (t2 - t1) = 7.5 seg
K es la ganancia en regimen estacionario:
Lim S 1 K e-TdS
S0 * ---- * ---------------- = 10
S S (TS + 1)
Por lo tanto, K = 10
El retraso es :
• Td = t2 – T = 2.5 seg
Por lo cual obtenemos el modelo aproximado de la planta como:
G(s) = 10 e-2.5S
----------------
7.5S +1
Con estos valores proseguimos a obtener los PID pedidos:
1. Zieguer y Nichols:
El PID deseado es serie, tal que:
Calculando las constantes tenemos que:
• TN = Td / T = 0.3333

3. • Kc = 1.2/KTN = 0.36
• Ti = 2Td = 5
• Td = 0.5Td = 1.25
Por lo tanto el PID pedido es:
PID = 0.36 * ( 1 + 1/ 5S) * (1.25S +1)
------------------------
(0.125S+1)
Por lo tanto, la planta con el PID será:
P(s) = G(s) * PID = 0.36 * (1 + 1/ 5S) * (1.25S +1) * e-2.5S
---------------------------------------------------
(0.125S+1) * (7.5S + 1)
2. Lugar de las raices:
El PID deseado es de la forma:
PID = Kc * (t1S + 1) * (t2S + 1)
-----------------------------------------------
S * (Tf + 1)
Donde t1 = T y t2 = Td/2
El modelo de la planta es diferente al anterior ya que aproximan: e-TdS = 1 – TdS
G(s) = -K * ((Td/2)S – 1)
---------------------------------------
(TS+1) * ((Td/2)S + 1)
Se pide tss = 20s, esto quiere decir que el polo deseado debe ser:
a = 4 / tss = 0.2
Para determinar los valores de Tf y Kc tenemos que:
2
• Tf = -------------------------------------- = 2.2222
a * ( 4 + a * Td)
a2 * Tf
• Kc = ----------------- = 0.0089
K
Con estos valores tenemos que el PID es:

4. 0.0089 * (7.5S + 1) * (1.25S + 1)
PID = -----------------------------------------------------------
S * (2.222S+1)
Por lo tanto la planta con el PID es:
-0.089 * (1.25S – 1)
P(s) = G(s) * PID = -------------------------
S * (2.222S+1)
3. IMC – PI:
El PI deseado viene dado por:
Calculando las constantes tenemos que:
• TN = 0.3333
• Kc = [1.279(TN)-0.945]/K = 0.3612
• Ti = [T(TN)-0.586]/0.535 = 26.6886
Con estos valores tenemos que el PID es:
0.3612S + 0.0135
PI = -------------------------------
S
Por lo tanto, la planta con el PID es:
0.3612S + 0.0135 e-2.5S
P(s) = G(s) * PID = ----------------------------------------------
S * (7.5S + 1)
4. IMC – PI:
Este metodo consiste en determiner el PID a traves de la function de transferencia a lazo
cerrado. En este metodo asumimos un T(s) cuyas caracteristicas son las deseadas por el
diseñador. Por lo tanto:
e-2.5S
T(s) = ---------------------
TmS+1
Donde:
4 * Tm = tss = 20s  Tm = 5
El PID deseado es de la forma:

5. TS + 1 7.5S + 1
PID = ------------------------------------- = -----------------------
K * (Tm + Td) * S 75 * S
Por lo tanto, la planta con el PID es:
e-2.5S
P(s) = G(s) * PID = ---------
7.5S
Comparando los PID estudiados tenemos que:
2
P ID LG R
P ID ZIE G LE R -N IC H O LS
P I ITS E
1.5
P I IM C
1
0.5
0
-0.5
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
De la grafica tenemos que el PID que mejor responde es el IMC que trabaja sin
oscilaciones y con un tss deseado. Para el ITSE, trabaja con pocas oscilaciones
en un intervalo corto de tiempo pero tarda en llegar al valor deseado.

6. El PID de Z-N tiene sobrepicos muy bruscos, aunque el tiempo de respuesta es
muy cercano al deseado. Para el PID del L-R es una respuesta suave aunque el
tiempo de respuesta no se ajusta al deseado.
De la grafica se observa la influencia del retardo en los PIDs ya que ninguno
responde a un tiempo de t= 0 seg
Por lo tanto, la planta responde mejor a un controlador definido a lazo cerrado
con un funcion de transferencia definida por el diseñador.