1. En el sistema de control que se muestra en la figura 2, la planta tiene como
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Primero determinamos un modelo aproximado de la planta de la forma:




Donde K es la ganancia en regimen estacionario, T ...
•       Kc = 1.2/KTN = 0.36

     •       Ti = 2Td = 5

     •       Td = 0.5Td = 1.25

Por lo tanto el PID pedido es:

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0.0089 * (7.5S + 1) * (1.25S + 1)
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El PID de Z-N tiene sobrepicos muy bruscos, aunque el tiempo de respuesta es
muy cercano al deseado. Para el PID del L-R e...
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Quiz Control. 06- 40336

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Determinar PIDs dada la grafica de respuesta en el tiempo de una planta dada

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Quiz Control. 06- 40336

  1. 1. 1. En el sistema de control que se muestra en la figura 2, la planta tiene como respuesta temporal a un escalón unitario la siguiente (figura 1): Figura 1. Respuesta del sistema a un escalón unitario Figura 2. Sistema de Control Tiempo de respuesta del sistema de 20 s.
  2. 2. Primero determinamos un modelo aproximado de la planta de la forma: Donde K es la ganancia en regimen estacionario, T el polo de primer orden del sistema y Td el retardo. Para el calculo de esas constantes procedemos a calcular para que tiempo ocurre el 63% y el 28% del valor final: • 63% Vf = 0.63*10 = 6.3 y ocurre para un t2 = 10 seg • 28% Vf = 0.28*10 = 2.8 y ocurre para un t1= 5 seg Donde t1 y t2 son valores aproximados Por lo tanto, • T = 3/2 * (t2 - t1) = 7.5 seg K es la ganancia en regimen estacionario: Lim S 1 K e-TdS S0 * ---- * ---------------- = 10 S S (TS + 1) Por lo tanto, K = 10 El retraso es : • Td = t2 – T = 2.5 seg Por lo cual obtenemos el modelo aproximado de la planta como: G(s) = 10 e-2.5S ---------------- 7.5S +1 Con estos valores proseguimos a obtener los PID pedidos: 1. Zieguer y Nichols: El PID deseado es serie, tal que: Calculando las constantes tenemos que: • TN = Td / T = 0.3333
  3. 3. • Kc = 1.2/KTN = 0.36 • Ti = 2Td = 5 • Td = 0.5Td = 1.25 Por lo tanto el PID pedido es: PID = 0.36 * ( 1 + 1/ 5S) * (1.25S +1) ------------------------ (0.125S+1) Por lo tanto, la planta con el PID será: P(s) = G(s) * PID = 0.36 * (1 + 1/ 5S) * (1.25S +1) * e-2.5S --------------------------------------------------- (0.125S+1) * (7.5S + 1) 2. Lugar de las raices: El PID deseado es de la forma: PID = Kc * (t1S + 1) * (t2S + 1) ----------------------------------------------- S * (Tf + 1) Donde t1 = T y t2 = Td/2 El modelo de la planta es diferente al anterior ya que aproximan: e-TdS = 1 – TdS G(s) = -K * ((Td/2)S – 1) --------------------------------------- (TS+1) * ((Td/2)S + 1) Se pide tss = 20s, esto quiere decir que el polo deseado debe ser: a = 4 / tss = 0.2 Para determinar los valores de Tf y Kc tenemos que: 2 • Tf = -------------------------------------- = 2.2222 a * ( 4 + a * Td) a2 * Tf • Kc = ----------------- = 0.0089 K Con estos valores tenemos que el PID es:
  4. 4. 0.0089 * (7.5S + 1) * (1.25S + 1) PID = ----------------------------------------------------------- S * (2.222S+1) Por lo tanto la planta con el PID es: -0.089 * (1.25S – 1) P(s) = G(s) * PID = ------------------------- S * (2.222S+1) 3. IMC – PI: El PI deseado viene dado por: Calculando las constantes tenemos que: • TN = 0.3333 • Kc = [1.279(TN)-0.945]/K = 0.3612 • Ti = [T(TN)-0.586]/0.535 = 26.6886 Con estos valores tenemos que el PID es: 0.3612S + 0.0135 PI = ------------------------------- S Por lo tanto, la planta con el PID es: 0.3612S + 0.0135 e-2.5S P(s) = G(s) * PID = ---------------------------------------------- S * (7.5S + 1) 4. IMC – PI: Este metodo consiste en determiner el PID a traves de la function de transferencia a lazo cerrado. En este metodo asumimos un T(s) cuyas caracteristicas son las deseadas por el diseñador. Por lo tanto: e-2.5S T(s) = --------------------- TmS+1 Donde: 4 * Tm = tss = 20s  Tm = 5 El PID deseado es de la forma:
  5. 5. TS + 1 7.5S + 1 PID = ------------------------------------- = ----------------------- K * (Tm + Td) * S 75 * S Por lo tanto, la planta con el PID es: e-2.5S P(s) = G(s) * PID = --------- 7.5S Comparando los PID estudiados tenemos que: 2 P ID LG R P ID ZIE G LE R -N IC H O LS P I ITS E 1.5 P I IM C 1 0.5 0 -0.5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 De la grafica tenemos que el PID que mejor responde es el IMC que trabaja sin oscilaciones y con un tss deseado. Para el ITSE, trabaja con pocas oscilaciones en un intervalo corto de tiempo pero tarda en llegar al valor deseado.
  6. 6. El PID de Z-N tiene sobrepicos muy bruscos, aunque el tiempo de respuesta es muy cercano al deseado. Para el PID del L-R es una respuesta suave aunque el tiempo de respuesta no se ajusta al deseado. De la grafica se observa la influencia del retardo en los PIDs ya que ninguno responde a un tiempo de t= 0 seg Por lo tanto, la planta responde mejor a un controlador definido a lazo cerrado con un funcion de transferencia definida por el diseñador.

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