Polinomios y operaciones algebraicas

Trabajo
Práctico
#
2

Unidad
2

2do.
Año.
2012

Expresiones Algebraicas. Polinomios: operaciones. Factoreo de expresiones sencillas: factor común, binomio al cuadrado, diferencia de cuadrados. Simplificación
de polinomios. Ecuaciones con una incógnita. Ecuaciones lineales y con módulo. Problemas. Repaso del módulo de un número o expresión: interpretación
geométrica y aritmética. Inecuaciones: resoluciones y problemas.

1. Indica cuáles de las siguientes expresiones son polinomios. De aquellas que lo sean identifica el
grado, la parte literal del coeficiente principal y el término independiente.

x3 3
a)   3x 2 − 7x + 1            b)   − 5x 2 +           c)   x 4 − 2 x 2 +5          d)  5x 4
3 7
5
e)    3x 5 − +7x 2                 f ) 4x 3 + 2 x +5x 5
x

2. Escribe dos monomios semejantes a los dados:

x3
a)   3x 2            b)          c)   x 4           d)  5x 4
3

3. Dados los polinomios
Calcula: A(x) + B(x)
A ( x ) = 3x 3 - 5x 2 + x - 1
A(x) - C(x)
B ( x ) = 2x 4 + x 3 - 2x + 4
C ( x ) = -x 3 + 3x 2 - 7x A(x) - B(x) + C(x)

2 . A(x)

½ C(x)

C(x) : 2

B(x) : 3

4. Realiza las siguientes operaciones:

a.     (x −1) . (x + 2) =                          e.    ( x + 1 )2 =
b.     3x 3 (x 2 − 1) =                               f .  ( x + 1 )3 =
c.     ( x 5 − 3x 3 ) : x 2 =                         g.    (x + 2)2 =
d.    x (x + 3)(x 2 − 5) =

5. Calcula y simplifica:
a. -4x (x - 4 )2 + 3(x2 - 2x + 3) - 2x(-x2 + 5)
b. -3x (x + 7 )2 + (2x - 1) (-3x + 2)
c. x (x2 - 5) - 3 x2 (x + 2) - 7(x2 + 1)

6. Escribe dos polinomios con las siguientes características:
a. de grado 4 y con tres términos
b. de grado 3, con tres términos, con término independiente nulo y 5 como coeficiente de x2

New Model International School 1 Prof. Patricia Comba
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7. Dados los siguientes polinomios hallar los coeficientes, grado del polinomio, término independiente
y coeficiente principal. Antes de contestar ordena el polinomio.

x2 − 6 1 3 2x 4 + 8x 3 −1
a.
2
b. −
5
( x + 25x 5 −1) c.
1
x
2

8. Realiza las siguientes divisiones entre polinomios: Q(x) : T(x) ; Q(x) : P(x) ; P(x) : T(x) ;
siendo:
P(x)= 5x
Q(x)= ½ x4 – 3x3 + (1/5) x
T(x)= 4

9. Realiza las siguientes operaciones entre polinomios. Escribe el resultado de la operación indicada en
su forma ordenada y simplificada.
a. (−6ab)(0.5ac )
b. − (2 x 2 y)(− xy 4 )
c. 2 x( x − 5)
d. (4 − 3x) x
e. − 2(4 − 3a)
f. 8 − (4 + x)
g. 4( x 2 − x + 2) − 5( x 2 − 2 x + 1)
h. 5(3t − 4) − (t 2 + 2) − 2r (t − 3)
i. (4 x − 1)(3x + 7)
j. x( x − 1)( x + 2)
k. (2 x − 1) 2
l. (2 + 3x) 2
m. y 4 (6 − y )(5 + y )
n. (t − 5) 2 − (t + 3)(8t − 1)
o. (1 + 2 x)(x 2 − 3x + 1)
p. (1 + x − x 2 ) 2

10. Resuelve las siguientes multiplicaciones aplicando propiedad distributiva. Luego analiza los
coeficientes de cada una de las multiplicaciones efectuadas comparando con los números obtenidos
en el triángulo de Pascal hecho en la parte teórica de la carpeta. Es un buen recurso para este tipo
especial de multiplicaciones recordar cómo se generan los números en el mencionado “triángulo”

3
2 " 1% 4 2
a. ( x −1) b. ( x + 3) c. $ x + ' d. ( x − 2 )
# 3&

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11. En hoja aparte resuelve cada una de las siguientes operaciones. En la tabla solo expresa el resultado
final. Analizamos y comparamos cada parte de las igualdades planteadas. Remarca con color solo
aquella parte de la igualdad que se encuentra factoreada. [Recuerda: una expresión se considera
“factoreada” si y solo si está escrita como multiplicación. Ejemplo: en 3x+6 = 3(x+2) ; solo se
encuentra factoreada la segunda parte de la igualdad, o sea: 3(x+2) donde los dos factores son 3 y
(x+2) ]

Los términos independientes de cada binomio son iguales Los términos independientes de cada binomio son distintos

(x+1)2 =(x+1).(x+1)= (x+2).(x+5)=
(x-1)2 = (x-1).(x+2)=
(x+2)2 = (x-2).(x-5)=
(x-3)2 = (x-1).(x+8)=

12. Escribamos las conclusiones del ejercicio 11

Cómo desarrollar un binomio al cuadrado sin pasar por la Cómo desarrollar la multiplicación de dos binomios de
propiedad distributiva grado 1 sin pasar por la propiedad distributiva

13. Desarrollar sin pasar por la propiedad distributiva

a. (x+7)2= b. (x-7)2= c. (x+6)2= d. (x + ½ )2= e. (3x+2)2=

f. (x3+2)2= g. (2x3+ ½ )2 = h. (x+2).(x+14)= i. (x-4).(x+8)=
2 2
!1 2$ "2 1%
j. # x 2 + & = k. $ x 2 − ' =
"3 3% #3 7&

14. Escribe cinco ejemplos de diferencias entre dos cuadrados (recuerda: llamamos diferencia a la resta
entre dos valores)

Ejemplo 1: 92 - 72 que es lo mismo que 81– 49 ; que resulta igual a 32

Ejemplo 2: x2 – 16 que es lo mismo que x2 – 42

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15. Escriban de dos maneras diferentes el área de la región sombreada en cada una de las figuras, y
discutan sus propuestas en grupo:

16. En una hoja demuestren que las expresiones que propusieron para el área de la región sombreada de
cada figura del ejercicio anterior son equivalentes teniendo en cuenta que DOS EXPRESIONES
ALGEBRAICAS SON EQUIVALENTES CUANDO UNA SE PUEDE DEDUCIR DE LA OTRA
UTILIZANDO DEFINICIONES Y PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES.
Ejemplo: El perímetro de un rectángulo de base b y altura h se puede expresar de tres
maneras distintas y todas son expresiones algebraicas equivalentes, porque no importa el
valor que tome b ó h , para cualquiera de las tres, el resultado será el mismo. Compruébalo.

b+b+h+h
2b+2h h
2(b+h)
b

17. Factorea los siguientes polinomios aplicando factor común y/o diferencias de cuadrados:

a. m 2 − 4 =                                b.  z 2 − 81 =
c.    9x 2 − 25 =                            d.   16x 2 − 9 =
e.    6x 2 − 6y 2 =                            f .  8a 2 − 8b 2 =
g.   4xy 4 − 4xz 2 =                        h.    5x 2 y − 5yz 4 =
i.    7pq 4 − 7py 4 =                       j.  25ab 4 − 25az 4 =

18. Cuando sea posible, vinculen con una flecha una expresión de la columna A con otra equivalente de
la columna B. En la columna C, demuéstrenlo

A B C
a 8+(x+5) x2+7x+12
b 9x+(x+2) 3+x
c 11x2 – 3x2 x2-12x+36
d 6x – (3+5x) 9-x
e 3(x-3)+5x 8x2
f (x+4)(x+3) 11x+2
g (x-6)2 13x-5
h x-3

19. Es un buen momento para que pasemos a la parte de RESUMENES de la carpeta y hagas uno
incluyendo los temas de Polinomios y Factoreo que no hayamos resumido aún. Recuerda incluir
todos los puntos con ejemplos y explicaciones que consideres importante tener en cuenta para
consolidar lo visto.

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20. Factorea las siguientes expresiones teniendo en cuenta que:

• SIEMPRE lo primero que hacemos es fijarnos si podemos sacar factor común
• Si podemos sacar f.c analizamos si los factores restantes responden a la forma de una
diferencia de cuadrados y/o de un trinomio ya sea cuadrado perfecto o no. Recuerden que si
un trinomio NO es cuadrado perfecto también se puede intentar factorear.

a.    2x −10 =         b.   3x 4 − 9x 2 =        c.   4a 2 +12a +16 =        d.   7y + 42 =           e.   20y 2 − 5y 5 =
f .   20y 2 − 5y 4 =         g.   a(b − 2) + c(b − 2) =         h.   6n 2 − 24n + 36 =         i.   4x 2 − 24x + 36 =
j.    4z 2 +12z + 9 =         k.   1− 8x +16x 2 =         l.    x 2 − 3x −18 =         m.   −9z 2 +12z − 4 =
n.    5a 2 −10ab + 5b 2 =         ø.    x 2 −1 =          p.   −y 2 + 2y −1 =         q.   3y 2 − 6y + 3 =
r.   7pq 4 − 7py 4 =          s.     x 2 y 2 −16xy + 64 =          t.    2x 2 − 288 =        u.     x 2 − 37x + 36 =

21. Factorea las siguientes expresiones racionales. Se trata de hacer lo que veníamos haciendo pero
ahora hay que factorear por separado numerador y denominador con la finalidad de simplificar todo
lo que se pueda y escribir una expresión racional semejante a la dada en su versión lo más reducida
posible.

3x 3(x − 3) 5 15x −10 (x 2 − 4)(x +1)
v.   − =        w.    =          x.    =         y.     =         z.     =
9x x(x −1) 8− x 2x(3x − 2) (x + 2)(x 2 −1)

22. Resolver las siguientes ecuaciones lineales. ¿Cuándo decimos que una ecuación es lineal?…………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………

a. a + 8 = 22
b. b – 12 = 40
c. 35 + c = 180
d. 15 – d = 9
e. 310 – e = 126
f. 32 + f – 3 = 49
g. 2.g = 1086 (Recuerda que 2.g = 2g )
h. 2h + 6 = 1086
i. 2i – ( 18 + 3 ) = 52
j. 3j + 305 – ( 15 - 40 ) = 360
k. 2 . ( 3k – 4 )= 28
l. 5L + 10 = L + 12
m. 2 ( m – 3 ) = 18
n. 2 ( n + 3 ) = n + 15
o. 2 (3p – 4 ) – 2 ( p + 3) = p + 10

23. Resuelve las siguientes ecuaciones. No todas son lineales. Analiza cada una de ellas porque algunas
no tienen soluciones, otras tienen más de una solución y otras tienen infinitas soluciones. Tienes que
ser capaz de analizar este tipo de problemas y decir con claridad la cantidad de soluciones de cada
una de ellas. Sigue las sugerencias de la derecha.

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a. x-2=-10 (fácil ¿no?)
b. 2x – 20 = x-10 (¿fácil?)
c. (x+4).(x-5)=0 (piensa…no uses en ningún momento propiedad distributiva) LEE la expresión
d. (x-5)(x+2)(x-1)=0
e. x-3=x+2 LEE la expresión
f. 3x+4=8+6x
g. x(x+1/2)=0
h. x+y=65
i. (x+3)2=0 (no resuelvas aplicando binomio al cuadrado)
j. x/2 = 1- x + (3/2) x

24. Resuelve las siguientes ecuaciones con módulo:

a.
b.
c.
d.
e.
f.
g. 5.
h.
i. x2 = 16
j. (x-2)2 = 16
k. 2.(x-2)2 = 32
l. 2.(x-2)2 +8= 40

25. Ecuaciones en Q. Resuelve:
2
⎛ 1 ⎞ 1 2
a. ⎜ x − 7 ⎟ = . ( 2 x + 0,3) Rta: 6,925
⎝ 2 ⎠ 16

2 95
b. ( 3x − 2 ) − 0, 0025 = (3x − 1) . (3x − 3) + Rta: ∞ soluciones
100

" %
c. (2 x − 5) .(2 x + 5) = 0,7.$ 36 x
#7
2
− x ' + 1−
&
32
81
.x Rta: no tiene sol.

d. 1,2 x. ( 3x − 0,3) = −0,4. 0,36.x + 3,6.102 Rta: 10 y -10

−2 −1
1 −1
( −3) − (1 − 3x ) − 2. (3x − 4 ) = ⎛ ⎞ . ⎛ ⎞
2 2
e. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Rta: 2 y -2
⎝ 2 ⎠ ⎝ 5 ⎠

2 −1 2

f.
⎛ 5 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ Rta: -1 y -7/5
⎜ x + 3 ⎟ = 3 ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ .11
⎝ 2 ⎠ ⎝ 27 ⎠ ⎝ 2 ⎠

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2
" 1%  7 1 3
g. $ x − ' − 0, 3 = + 3 − − 9−1 Rta: 2 y -1
# 2& 4 5 40

−1
h. 4. 3x − 2 − (0,02) = −10 Rta: 4 y -8/3

26. Unir con flechas cada gráfico con el intervalo que lo representa

27. Resuelve las siguientes inecuaciones. Representa las soluciones como intervalo y en la recta real.

a.    x + 3 > 7           b.    x −1 ≥ −2             c.   11x > −5 + 27              d.   9x + 5 ≤ 5x −11

e.   3x + 5 > 5         f .   2.(x + 3) < 6          g.   7(x − 3) > 3(x +1)        h.   10.(8x −120) ≤ 0

x
i.   (x +1)(x − 4) < 0           j.    −2x > 8        k.   −x < −2        l.   1− x ≥ 0        m.    ≤ 3
−2

x +1 1
n.    ≥ 0           ø.   −(x + ) > 6             p.   −3(x − 5) ≥ x − 9           q.     x : 2 − 3 ≤ −7
x −1 3

1 1 1 5 5 4 x 9 15x − 6
r.    x − < −             s.   −(− ) <            t.    x − > +10             u.    ≥
2 4 2 8 4 5 4 8 3

1 2 7 $1 ' $1 ' 1
v.  (x + ) (x − 2) ≥ 0        w.    x − & x + 2 ) < x − & x +11)       x.   15 − > −x
2 9 3 %9 ( %3 ( 3

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28. Resuelve las siguientes situaciones problemáticas de distinta índole que pueden resolverse usando o
no ecuaciones y/o inecuaciones.

a. Los 3/5 de una jarra los llené con gaseosa. ¿Qué parte de la jarra quedó vacía? Si la
capacidad de la jarra es de 7,5 litros ¿cuántos litros de gaseosa debo agregar para llenarla
toda?
b. En un congreso 2/5 de los participantes hablan francés , la tercera parte habla español y los
demás inglés. Si concurrieron 200 personas ¿Cuántas personas hablan cada idioma?
c. ¿Entre qué números naturales se halla la fracción 33/5?
d. Calcular el perímetro de un triángulo abc tal que el segmento ab= ½ de bc; el segmento ac=
5/6 de bc y el segmento restante mide 2,4 cm.
e. En un club de 2500 socios, 1800 juegan al tenis y el resto al básquet. ¿Cuál es el porcentaje
de los socios que juegan a cada uno de esos deportes?
f. Completá las siguientes tablas:
Fracción irreducible Expresión decimal %
17/20
48
0,018

5% 10% 30% 35% 135%

12

g. Un letrero dice “a los $48 de un producto se le aumenta el 6%”; ¿cuál de los siguientes es el
cálculo que permite calcular el nuevo precio?
48 . 0,94= 48 – 0,06 . 48= 48 . 1,06= 48 + 6/100=
Calcula el nuevo precio.
h. Pablo quiere comprar un tv que cuesta $1240. Decide pagar $ 240 en efectivo y el resto en 8
cuotas iguales pero con un recargo del 8% c/u. Calcular el valor de cada cuota y el precio
final del producto luego de los incrementos.
i. Si el 60 % de un número es 18 ¿cuál es el número?
j. Una heladera se paga en 12 cuotas de $73,75 c/u. Si el precio al contado de la misma era de
$750. ¿cuál es el porcentaje de recargo que se abona por el pago en cuotas?
k. Si a un número entero lo elevo al cubo y le sumo la mitad del cuadrado de -4, obtengo como
resultado -19. ¿De qué número se trata?
l. La edad que tenía Victoria hace tres años es igual a la diferencia entre al doble de la edad
que tendrá dentro de dos años y 22. ¿Cuántos años tiene Victoria ahora?
m. Si al doble de la edad de María le resto 5 años, el resultado es menor a 11. ¿Qué edad podría
tener María?
n. Hallar el conjunto de números que verifiquen que si a dichos números se les suma 3, da por
resultado un número entero mayor a 5.
o. Hallar el conjunto de números que verifiquen que si a dichos números se los multiplica por
(-2) y a eso se le suma 5, da por resultado un número entero menor que 1.

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