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Albert Einstein (Zurich 1879-Princeton 1955) Presentaba en 1916 Sobre la teoría de la relatividad especial y general con las siguientes palabras: «El presente librito pretende dar una idea lo más …

Albert Einstein (Zurich 1879-Princeton 1955) Presentaba en 1916 Sobre la teoría de la relatividad especial y general con las siguientes palabras: «El presente librito pretende dar una idea lo más exacta posible de la teoría de la relatividad, pensando en aquellas personas que, sin dominar el aparato matemático de la física teórica, tienen interés en la teoría desde el punto de vista científico o filosófico». He aquí pues los fundamentos de la teoría de la relatividad expuestos con la mayor claridad posible por su propio autor.

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  • 1. Sobre la teor´ de la relatividad ıa Albert Einstein Escaneado por C. Alado
  • 2. Pr´logo o El presente librito pretende dar una idea lo m´s exacta posible de la ateor´ de la relatividad, pensando en aquellos que, sin dominar el aparato ıamatem´tico de la f´ a ısica te´rica, tienen inter´s en la teor´ desde el punto o e ıade vista cient´ ıfico o filos´fico general. La lectura exige una formaci´n de o obachillerato aproximadamente y —pese a la brevedad del librito— no pocapaciencia y voluntad por parte del lector. El autor ha puesto todo su empe˜o nen resaltar con la m´xima claridad y sencillez las ideas principales, respetando apor lo general el orden y el contexto en que realmente surgieron. En aras dela claridad me pareci´ inevitable repetirme a menudo, sin reparar lo m´s o am´ınimo en la elegancia expositiva; me atuve obstinadamente al precepto delgenial te´rico L. Boltzmann, de dejar la elegancia para los sastres y zapateros. oLas dificultades que radican en la teor´ propiamente dicha creo no hab´rselas ıa eocultado al lector, mientras que las bases f´ısicas emp´ıricas de la teor´ las he ıatratado deliberadamente con cierta negligencia, para que al lector alejado dela f´ ısica no le ocurra lo que al caminante, a quien los ´rboles no le dejan ver ael bosque. Espero que el librito depare a m´s de uno algunas horas de alegre aentretenimiento. Diciembre de 1916. A. EINSTEIN 1
  • 3. Sobre la teor´ de la relatividad especial ıa1. El contenido f´ ısico de los teoremas geom´tricos e Seguro que tambi´n t´, querido lector, entablaste de ni˜o conocimiento e u ncon el soberbio edificio de la Geometr´ de Euclides y recuerdas, quiz´ con ıa am´s respeto que amor, la imponente construcci´n por cuyas altas escalinatas a ote pasearon durante horas sin cuento los meticulosos profesores de la asigna-tura. Y seguro que, en virtud de ese tu pasado, castigar´ con el desprecio ıasa cualquiera que declarase falso incluso el m´s rec´ndito teoremita de esta a ociencia. Pero es muy posible que este sentimiento de orgullosa seguridad teabandonara de inmediato si alguien te preguntara: “¿Qu´ entiendes t´ al e uafirmar que estos teoremas son verdaderos?”. Deteng´monos un rato en esta acuesti´n. o La Geometr´ parte de ciertos conceptos b´sicos, como el de plano, pun- ıa ato, recta, a los que estamos en condiciones de asociar representaciones m´s oamenos claras, as´ como de ciertas proposiciones simples (axiomas) que, sobre ıla base de aquellas representaciones, nos inclinamos a dar por “verdaderas”.Todos los dem´s teoremas son entonces referidos a aquellos axiomas (es decir, ason demostrados) sobre la base de un m´todo l´gico cuya justificaci´n nos e o osentimos obligados a reconocer. Un teorema es correcto, o “verdadero”, cuan-do se deriva de los axiomas a trav´s de ese m´todo reconocido. La cuesti´n e e ode la “verdad” de los distintos teoremas geom´tricos remite, pues, a la de la e“verdad” de los axiomas. Sin embargo, se sabe desde hace mucho que estaultima cuesti´n no s´lo no es resoluble con los m´todos de la Geometr´ sino´ o o e ıa,que ni siquiera tiene sentido en s´ No se puede preguntar si es verdad o no ı. ´que por dos puntos s´lo pasa una recta. Unicamente cabe decir que la Geo- ometr´ eucl´ ıa ıdea trata de figuras a las que llama “rectas” y a las cuales asignala propiedad de quedar un´ ıvocamente determinadas por dos de sus puntos.El concepto de “verdadero” no se aplica a las proposiciones de la Geometr´ ıapura, porque con la palabra “verdadero” solemos designar siempre, en ultima ´instancia, la coincidencia con un objeto “real”; la Geometr´ sin embargo, ıa,no se ocupa de la relaci´n de sus conceptos con los objetos de la experiencia, osino s´lo de la relaci´n l´gica que guardan estos conceptos entre s´ o o o ı. 2
  • 4. 3 El que, a pesar de todo, nos sintamos inclinados a calificar de “verdaderos”los teoremas de la Geometr´ tiene f´cil explicaci´n. Los conceptos geom´tri- ıa a o ecos se corresponden m´s o menos exactamente con objetos en la naturaleza, aque son, sin ning´n g´nero de dudas, la unica causa de su formaci´n. Aunque u e ´ ola Geometr´ se distancie de esto para dar a su edificio el m´ximo rigor l´gi- ıa a oco, lo cierto es que la costumbre, por ejemplo, de ver un segmento como doslugares marcados en un cuerpo pr´cticamente r´ a ıgido est´ muy afincada en anuestros h´bitos de pensamiento. Y tambi´n estamos acostumbrados a per- a ecibir tres lugares como situados sobre una recta cuando, mediante adecuadaelecci´n del punto de observaci´n, podemos hacer coincidir sus im´genes al o o amirar con un solo ojo. Si, dej´ndonos llevar por los h´bitos de pensamiento, a˜adimos ahora a a a nlos teoremas de la Geometr´ eucl´ ıa ıdea un unico teorema m´s, el de que a dos ´ apuntos de un cuerpo pr´cticamente r´ a ıgido les corresponde siempre la mismadistancia (segmento), independientemente de las variaciones de posici´n a oque sometamos el cuerpo, entonces los teoremas de la Geometr´ eucl´ ıa ıdea seconvierten en teoremas referentes a las posibles posiciones relativas de cuer-pos pr´cticamente r´ a ıgidos1 . La Geometr´ as´ ampliada hay que contemplarla ıa ıcomo una rama de la f´ ısica. Ahora s´ cabe preguntarse por la “verdad” de los ıteoremas geom´tricos as´ interpretados, porque es posible preguntar si son e ıv´lidos o no para aquellos objetos reales que hemos asignado a los conceptos ageom´tricos. Aunque con cierta imprecisi´n, podemos decir, pues, que por e o“verdad” de un teorema geom´trico entendemos en este sentido su validez en euna construcci´n con regla y comp´s. o a Naturalmente, la convicci´n de que los teoremas geom´tricos son “ver- o edaderos” en este sentido descansa exclusivamente en experiencias harto in-completas. De entrada daremos por supuesta esa verdad de los teoremasgeom´tricos, para luego, en la ultima parte de la exposici´n (la teor´ de la e ´ o ıarelatividad general), ver que esa verdad tiene sus l´ ımites y precisar cu´les ason ´stos. e2. El sistema de coordenadas Bas´ndonos en la interpretaci´n f´ a o ısica de la distancia que acabamos dese˜alar estamos tambi´n en condiciones de determinar la distancia entre dos n epuntos de un cuerpo r´ ıgido por medio de mediciones. Para ello necesitamos 1 De esta manera se le asigna tambi´n a la l´ e ınea recta un objeto de la naturaleza. Trespuntos de un cuerpo r´ıgido A, B, C se hallan situados sobre una l´ ınea recta cuando, dadoslos puntos A y C, el punto B est´ elegido de tal manera que la suma de las distancia AB ay BC es lo m´s peque˜a posible. Esta definici´n, defectuosa desde luego, puede bastar en a n oeste contexto.
  • 5. 4un segmento (regla S) que podamos utilizar de una vez para siempre y quesirva de escala unidad. Si A y B son dos puntos de un cuerpo r´ ıgido, su rectade uni´n es entonces construible seg´n las leyes de la Geometr´ sobre esta o u ıa;recta de uni´n, y a partir de A, llevamos el segmento S tantas veces como sea onecesario para llegar a B. El n´mero de repeticiones de esta operaci´n es la u omedida del segmento AB. Sobre esto descansa toda medici´n de longitudes2 . o Cualquier descripci´n espacial del lugar de un suceso o de un objeto oconsiste en especificar el punto de un cuerpo r´ ıgido (cuerpo de referencia) conel cual coincide el suceso, y esto vale no s´lo para la descripci´n cient´ o o ıfica,sino tambi´n para la vida cotidiana. Si analizo la especificaci´n de lugar e o“en Berl´ en la Plaza de Potsdam”, veo que significa lo siguiente. El suelo ın,terrestre es el cuerpo r´ ıgido al que se refiere la especificaci´n de lugar; sobre o´l, “Plaza de Potsdam en Berl´ es un punto marcado, provisto de nombre,e ın”con el cual coincide espacialmente el suceso 3 . Este primitivo modo de localizaci´n s´lo atiende a lugares situados en la o osuperficie de cuerpos r´ ıgidos y depende de la existencia de puntos distingui-bles sobre aqu´lla. Veamos c´mo el ingenio humano se libera de estas dos e olimitaciones sin que la esencia del m´todo de localizaci´n sufra modificaci´n e o oalguna. Si sobre la Plaza de Potsdam flota por ejemplo una nube, su posici´n, oreferida a la superficie terrestre, cabr´ fijarla sin m´s que erigir en la plaza a aun m´stil vertical que llegue hasta la nube. La longitud del m´stil medida a acon la regla unidad, junto con la especificaci´n del lugar que ocupa el pie odel m´stil, constituyen entonces una localizaci´n completa. El ejemplo nos a omuestra de qu´ manera se fue refinando el concepto de lugar: e a) Se prolonga el cuerpo r´ ıgido al que se refiere la localizaci´n, de modo o que el cuerpo r´ ıgido ampliado llegue hasta el objeto a localizar. b) Para la caracterizaci´n del lugar se utilizan n´meros, y no la nomen- o u clatura de puntos notables (en el caso anterior, la longitud del m´stil a medida con la regla). c) Se sigue hablando de la altura de la nube aun cuando no se erija un m´stil que llegue hasta ella. En nuestro caso, se determina —mediante a fotograf´ de la nube desde diversos puntos del suelo y teniendo en ıas 2 Se ha supuesto, sin embargo, que la medici´n es exacta, es decir, que da un n´mero en- o utero. De esta dificultad se deshace uno empleando escalas subdivididas, cuya introducci´n ono exige ning´n m´todo fundamentalmente nuevo. u e 3 No es preciso entrar aqu´ con m´s detenimiento en el significado de “coincidencia ı aespacial”, pues este concepto es claro en la medida en que, en un caso real, apenas habr´ ıadivisi´n de opiniones en torno a su validez o
  • 6. 5 cuenta las propiedades de propagaci´n de la luz— qu´ longitud habr´ o e ıa que dar al m´stil para llegar a la nube. a De estas consideraciones se echa de ver que para la descripci´n de lugares oes ventajoso independizarse de la existencia de puntos notables, provistos denombres y situados sobre el cuerpo r´ ıgido al que se refiere la localizaci´n, y outilizar en lugar de ello n´meros. La f´ u ısica experimental cubre este objetivoempleando el sistema de coordenadas cartesianas. Este sistema consta de tres paredes r´ ıgidas, planas, perpendiculares entres´ y ligadas a un cuerpo r´ ı ıgido. El lugar de cualquier suceso, referido alsistema de coordenadas, viene descrito (en esencia) por la especificaci´n de ola longitud de las tres verticales o coordenadas (x, y, z)(cf. Fig. 2, p. ) quepueden trazarse desde el suceso hasta esas tres paredes. Las longitudes deestas tres perpendiculares pueden determinarse mediante una sucesi´n de omanipulaciones con reglas r´ ıgidas, manipulaciones que vienen prescritas porlas leyes y m´todos de la Geometr´ euclidiana. e ıa En las aplicaciones no suelen construirse realmente esas paredes r´ ıgidasque forman el sistema de coordenadas; y las coordenadas tampoco se deter-minan realmente por medio de construcciones con reglas r´ ıgidas, sino indirec-tamente. Pero el sentido f´ ısico de las localizaciones debe buscarse siempre enconcordancia con las consideraciones anteriores, so pena de que los resultados ısica y la astronom´ se diluyan en la falta de claridad4 .de la f´ ıa La conclusi´n es, por tanto, la siguiente: toda descripci´n espacial de o osucesos se sirve de un cuerpo r´ ıgido al que hay que referirlos espacialmente.Esa referencia presupone que los “segmentos” se rigen por las leyes de laGeometr´ eucl´ ıa ıdea, viniendo representados f´ ısicamente por dos marcas sobreun cuerpo r´ ıgido.3. Espacio y tiempo en la Mec´nica cl´sica a a Si formulo el objetivo de la Mec´nica diciendo que “la Mec´nica debe a adescribir c´mo var´ con el tiempo la posici´n de los cuerpos en el espacio”, o ıa osin a˜adir grandes reservas y prolijas explicaciones, cargar´ sobre mi con- n ıaciencia algunos pecados capitales contra el sagrado esp´ ıritu de la claridad.Indiquemos antes que nada estos pecados. No est´ claro qu´ debe entenderse aqu´ por “posici´n” y “espacio”. Su- a e ı opongamos que estoy asomado a la ventanilla de un vag´n de ferrocarril que olleva una marcha uniforme, y dejo caer una piedra a la v´ sin darle ning´n ıa, uimpulso. Entonces veo (prescindiendo de la influencia de la resistencia del 4 No es sino en la teor´ de la relatividad general, estudiada en la segunda parte del ıalibro, donde se hace necesario afinar y modificar esta concepci´n. o
  • 7. 6aire) que la piedra cae en l´ ınea recta. Un peat´n que asista a la fechor´ des- o ıade el terrapl´n observa que la piedra cae a tierra seg´n un arco de par´bola. e u aYo pregunto ahora: las “posiciones” que recorre la piedra ¿est´n “realmente” asobre una recta o sobre una par´bola? Por otro lado, ¿qu´ significa aqu´ mo- a e ıvimiento en el “espacio”? La respuesta es evidente despu´s de lo dicho en e§2. Dejemos de momento a un lado la oscura palabra “espacio”, que, pa-ra ser sinceros, no nos dice absolutamente nada; en lugar de ella ponemos“movimiento respecto a un cuerpo de referencia pr´cticamente r´ a ıgido”. Lasposiciones con relaci´n al cuerpo de referencia (vag´n del tren o v´ o o ıas) hansido ya definidas expl´ ıcitamente en el ep´ıgrafe anterior. Introduciendo en lu-gar de “cuerpo de referencia” el concepto de “sistema de coordenadas”, quees util para la descripci´n matem´tica, podemos decir: la piedra describe, ´ o acon relaci´n a un sistema de coordenadas r´ o ıgidamente unido al vag´n, una orecta; con relaci´n a un sistema de coordenadas r´ o ıgidamente ligado a las v´ ıas,una par´bola. En este ejemplo se ve claramente que en rigor no existe una atrayectoria5 , sino s´lo una trayectoria con relaci´n a un cuerpo de referencia o odeterminado. Ahora bien, la descripci´n completa del movimiento no se obtiene sino oal especificar c´mo var´ la posici´n del cuerpo con el tiempo, o lo que es lo o ıa omismo, para cada punto de la trayectoria hay que indicar en qu´ momento se eencuentra all´ el cuerpo. Estos datos hay que completarlos con una definici´n ı odel tiempo en virtud de la cual podamos considerar estos valores tempora-les como magnitudes esencialmente observables (resultados de mediciones).Nosotros, sobre el suelo de la Mec´nica cl´sica, satisfacemos esta condici´n a a o—con relaci´n al ejemplo anterior— de la siguiente manera. Imaginemos dos orelojes exactamente iguales; uno de ellos lo tiene el hombre en la ventanilladel vag´n de tren; el otro, el hombre que est´ de pie en el terrapl´n. Cada uno o a ede ellos verifica en qu´ lugar del correspondiente cuerpo de referencia se en- ecuentra la piedra en cada instante marcado por el reloj que tiene en la mano.Nos abstenemos de entrar aqu´ en la imprecisi´n introducida por el car´cter ı o afinito de la velocidad de propagaci´n de la luz. Sobre este extremo, y sobre ouna segunda dificultad que se presenta aqu´ hablaremos detenidamente m´s ı, aadelante.4. El sistema de coordenadas de Galileo Como es sabido, la ley fundamental de la Mec´nica de Galileo y Newton, aconocida por la ley de inercia, dice: un cuerpo suficientemente alejado de otroscuerpos persiste en su estado de reposo o de movimiento rectil´ ıneo uniforme. 5 Es decir, una curva a lo largo de la cual se mueve el cuerpo.
  • 8. 7Este principio se pronuncia no s´lo sobre el movimiento de los cuerpos, sino otambi´n sobre qu´ cuerpos de referencia o sistemas de coordenadas son per- e emisibles en la Mec´nica y pueden utilizarse en las descripciones mec´nicas. a aAlgunos de los cuerpos a los que sin duda cabe aplicar con gran aproximaci´n ola ley de inercia son las estrellas fijas. Ahora bien, si utilizamos un sistema decoordenadas solidario con la Tierra, cada estrella fija describe, con relaci´n a o´l y a lo largo de un d´ (astron´mico), una circunferencia de radio enorme,e ıa oen contradicci´n con el enunciado de la ley de inercia. As´ pues, si uno se o ıatiene a esta ley, entonces los movimientos s´lo cabe referirlos a sistemas ode coordenadas con relaci´n a los cuales las estrellas fijas no ejecutan mo- ovimientos circulares. Un sistema de coordenadas cuyo estado de movimientoes tal que con relaci´n a ´l es v´lida la ley de inercia lo llamamos “sistema o e ade coordenadas de Galileo”. Las leyes de la Mec´nica de Galileo-Newton s´lo a otienen validez para sistemas de coordenadas de Galileo.5. El principio de la relatividad (en sentido restringido) Para conseguir la mayor claridad posible, volvamos al ejemplo del vag´n ode tren que lleva una marcha uniforme. Su movimiento decimos que es unatraslaci´n uniforme (“uniforme”, porque es de velocidad y direcci´n constan- o otes; “traslaci´n”, porque aunque la posici´n del vag´n var´ con respecto a la o o o ıav´ no ejecuta ning´n giro). Supongamos que por los aires vuela un cuervo ıa, uen l´ınea recta y uniformemente (respecto a la v´ No hay duda de que el ıa).movimiento del cuervo es —respecto al vag´n en marcha— un movimiento ode distinta velocidad y diferente direcci´n, pero sigue siendo rectil´ o ıneo y uni-forme. Expresado de modo abstracto: si una masa m se mueve en l´ ınea rectay uniformemente respecto a un sistema de coordenadas K, entonces tambi´n ese mueve en l´ ınea recta y uniformemente respecto a un segundo sistema decoordenadas K , siempre que ´ste ejecute respecto a K un movimiento de etraslaci´n uniforme. Teniendo en cuenta lo dicho en el p´rrafo anterior, se o adesprende de aqu´ lo siguiente: ı Si K es un sistema de coordenadas de Galileo, entonces tambi´n lo esecualquier otro sistema de coordenadas K que respecto a K se halle en unestado de traslaci´n uniforme. Las leyes de la Mec´nica de Galileo-Newton o avalen tanto respecto a K como respecto a K. Demos un paso m´s en la generalizaci´n y enunciemos el siguiente prin- a ocipio: Si K es un sistema de coordenadas que se mueve uniformemente ysin rotaci´n respecto a K, entonces los fen´menos naturales transcurren con o orespecto a K seg´n id´nticas leyes generales que con respecto a K. Esta u eproposici´n es lo que llamaremos el “principio de relatividad” (en sentido orestringido).
  • 9. 8 Mientras se mantuvo la creencia de que todos los fen´menos naturales se opod´ representar con ayuda de la Mec´nica cl´sica, no se pod´ dudar de la ıan a a ıavalidez de este principio de relatividad. Sin embargo, los recientes adelantos a ´de la Electrodin´mica y de la Optica hicieron ver cada vez m´s claramente aque la Mec´nica cl´sica, como base de toda descripci´n f´ a a o ısica de la natura-leza, no era suficiente. La cuesti´n de la validez del principio de relatividad ose torn´ as´ perfectamente discutible, sin excluir la posibilidad de que la so- o ıluci´n fuese en sentido negativo. Existen, con todo, dos hechos generales que ode entrada hablan muy a favor de la validez del principio de relatividad. Enefecto, aunque la Mec´nica cl´sica no proporciona una base suficientemente a aancha para representar te´ricamente todos los fen´menos f´ o o ısicos, tiene queposeer un contenido de verdad muy importante, pues da con admirable preci-si´n los movimientos reales de los cuerpos celestes. De ah´ que en el campo de o ıla Mec´nica tenga que ser v´lido con gran exactitud el principio de relativi- a adad. Y que un principio de generalidad tan grande y que es v´lido, con tanta aexactitud, en un determinado campo de fen´menos fracase en otro campo es, oa priori, poco probable. El segundo argumento, sobre el que volveremos m´s adelante, es el si- aguiente. Si el principio de relatividad (en sentido restringido) no es v´lido, aentonces los sistemas de coordenadas de Galileo K, K , K , etc., que se mue-ven uniformemente unos respecto a los otros, no ser´n equivalentes para la adescripci´n de los fen´menos naturales. En ese caso no tendr´ o o ıamos m´s re- amedio que pensar que las leyes de la naturaleza s´lo pueden formularse con oespecial sencillez y naturalidad si de entre todos los sistemas de coordena-das de Galileo eligi´semos como cuerpo de referencia uno (K0 ) que tuviera eun estado de movimiento determinado. A ´ste lo calificar´ e ıamos, y con raz´n o(por sus ventajas para la descripci´n de la naturaleza), de “absolutamente oen reposo”, mientras que de los dem´s sistemas galileanos K dir´ a ıamos queson “m´viles”. Si la v´ fuese el sistema K0 , pongamos por caso, entonces o ıanuestro vag´n de ferrocarril ser´ un sistema K respecto al cual regir´ le- o ıa ıanyes menos sencillas que respecto a K0 . Esta menor simplicidad habr´ que ıaatribuirla a que el vag´n K se mueve respecto a K0 (es decir, “realmente”). oEn estas leyes generales de la naturaleza formuladas respecto a K tendr´ ıanque desempe˜ar un papel el m´dulo y la direcci´n de la velocidad del vag´n. n o o oSer´ de esperar, por ejemplo, que el tono de un tubo de ´rgano fuese distinto ıa ocuando su eje fuese paralelo a la direcci´n de marcha que cuando estuviese operpendicular. Ahora bien, la Tierra, debido a su movimiento orbital alrede-dor del Sol, es equiparable a un vag´n que viajara a unos 30 km por segundo. oPor consiguiente, caso de no ser v´lido el principio de relatividad, ser´ de a ıaesperar que la direcci´n instant´nea del movimiento terrestre interviniera en o alas leyes de la naturaleza y que, por lo tanto, el comportamiento de los siste-
  • 10. 9mas f´ısicos dependiera de su orientaci´n espacial respecto a la Tierra; porque, ocomo la velocidad del movimiento de rotaci´n terrestre var´ de direcci´n en o ıa oel transcurso del a˜o, la Tierra no puede estar todo el a˜o en reposo res- n npecto al hipot´tico sistema K0 . Pese al esmero que se ha puesto en detectar euna tal anisotrop´ del espacio f´ ıa ısico terrestre, es decir, una no equivalenciade las distintas direcciones, jam´s ha podido ser observada. Lo cual es un aargumento de peso a favor del principio de la relatividad.6. El teorema de adici´n de velocidades seg´ n la Mec´nica cl´sica o u a a Supongamos que nuestro tan tra´ y llevado vag´n de ferrocarril viaja ıdo ocon velocidad constante v por la l´ ınea, e imaginemos que por su interior cami-na un hombre en la direcci´n de marcha con velocidad w. ¿Con qu´ velocidad o eW avanza el hombre respecto a la v´ al caminar? La unica respuesta posible ıa ´parece desprenderse de la siguiente consideraci´n: o Si el hombre se quedara parado durante un segundo, avanzar´ respecto ıa,a la v´ un trecho v igual a la velocidad del vag´n. Pero en ese segundo ıa, orecorre adem´s, respecto al vag´n, y por tanto tambi´n respecto a la v´ a o e ıa,un trecho w igual a la velocidad con que camina. Por consiguiente, en esesegundo avanza en total el trecho W =v+wrespecto a la v´ M´s adelante veremos que este razonamiento, que expresa el ıa. ateorema de adici´n de velocidades seg´n la Mec´nica cl´sica, es insostenible o u a ay que la ley que acabamos de escribir no es v´lida en realidad. Pero entre atanto edificaremos sobre su validez.7. La aparente incompatibilidad de la ley de propagaci´n de la luz ocon el principio de la relatividad Apenas hay en la f´ ısica una ley m´s sencilla que la de propagaci´n de a ola luz en el espacio vac´ Cualquier escolar sabe (o cree saber) que esta ıo.propagaci´n se produce en l´ o ınea recta con una velocidad de c = 300,000km/s. En cualquier caso, sabemos con gran exactitud que esta velocidad esla misma para todos los colores, porque si no fuera as´ el m´ ı, ınimo de emisi´n oen el eclipse de una estrella fija por su compa˜era oscura no se observar´ n ıasimult´neamente para los diversos colores. A trav´s de un razonamiento si- a emilar, relativo a observaciones de las estrellas dobles, el astr´nomo holand´s o eDe Sitter consigui´ tambi´n demostrar que la velocidad de propagaci´n de la o e oluz no puede depender de la velocidad del movimiento del cuerpo emisor. La
  • 11. 10hip´tesis de que esta velocidad de propagaci´n depende de la direcci´n “en o o oel espacio” es de suyo improbable. Supongamos, en resumen, que el escolar cree justificadamente en la sen-cilla ley de la constancia de la velocidad de la luz c (en el vac´ ¿Qui´n dir´ ıo). e ıaque esta ley tan simple ha sumido a los f´ ısicos m´s concienzudos en grand´ a ısi-mas dificultades conceptuales? Los problemas surgen del modo siguiente. Como es natural, el proceso de la propagaci´n de la luz, como cualquier ootro, hay que referirlo a un cuerpo de referencia r´ ıgido (sistema de coorde-nadas). Volvemos a elegir como tal las v´ del tren e imaginamos que el aire ıasque hab´ por encima de ellas lo hemos eliminado por bombeo. Supongamos ıaque a lo largo del terrapl´n se emite un rayo de luz cuyo v´rtice, seg´n lo e e uanterior, se propaga con la velocidad c respecto a aqu´l. Nuestro vag´n de e oferrocarril sigue viajando con la velocidad v, en la misma direcci´n en que se opropaga el rayo de luz, pero naturalmente mucho m´s despacio. Lo que nos ainteresa averiguar es la velocidad de propagaci´n del rayo de luz respecto al ovag´n. Es f´cil ver que el razonamiento del ep´ o a ıgrafe anterior tiene aqu´ apli- ıcaci´n, pues el hombre que corre con respecto al vag´n desempe˜a el papel o o ndel rayo de luz. En lugar de su velocidad W respecto al terrapl´n apareceeaqu´ la velocidad de la luz respecto a ´ste; la velocidad w que buscamos, la ı ede la luz respecto al vag´n, es por tanto igual a: o w =c−v As´ pues, la velocidad de propagaci´n del rayo de luz respecto al vag´n ı o oresulta ser menor que c. Ahora bien, este resultado atenta contra el principio de la relatividadexpuesto en §5, porque, seg´n este principio, la ley de propagaci´n de la u oluz en el vac´ como cualquier otra ley general de la naturaleza, deber´ ser ıo, ıala misma si tomamos el vag´n como cuerpo de referencia que si elegimos olas v´ lo cual parece imposible seg´n nuestro razonamiento. Si cualquier ıas, urayo de luz se propaga respecto al terrapl´n con la velocidad c, la ley de epropagaci´n respecto al vag´n parece que tiene que ser, por eso mismo, otra o odistinta. . . en contradicci´n con el principio de relatividad. o A la vista del dilema parece ineludible abandonar, o bien el principio derelatividad, o bien la sencilla ley de la propagaci´n de la luz en el vac´ o ıo.El lector que haya seguido atentamente las consideraciones anteriores espe-rar´ seguramente que sea el principio de relatividad —que por su naturalidad ay sencillez se impone a la mente como algo casi ineludible— el que se man-tenga en pie, sustituyendo en cambio la ley de la propagaci´n de la luz en el ovac´ por una ley m´s complicada y compatible con el principio de relativi- ıo adad. Sin embargo, la evoluci´n de la f´ o ısica te´rica demostr´ que este camino o o
  • 12. 11era impracticable. Las innovadoras investigaciones te´ricas de H. A. Lorentz osobre los procesos electrodin´micos y ´pticos en cuerpos m´viles demostra- a o oron que las experiencias en estos campos conducen con necesidad imperiosaa una teor´ de los procesos electromagn´ticos que tiene como consecuencia ıa eirrefutable la ley de la constancia de la luz en el vac´ Por eso, los te´ricos de ıo. ovanguardia se inclinaron m´s bien por prescindir del principio de relatividad, apese a no poder hallar ni un solo hecho experimental que lo contradijera. Aqu´ es donde entr´ la teor´ de la relatividad. Mediante un an´lisis de ı o ıa alos conceptos de espacio y tiempo se vio que en realidad no exist´ ninguna ıaincompatibilidad entre el principio de la relatividad y la ley de propagaci´n de ola luz, sino que, ateni´ndose uno sistem´ticamente a estas dos leyes, se llegaba e aa una teor´ l´gicamente impecable. Esta teor´ que para diferenciarla de ıa o ıa,su ampliaci´n (comentada m´s adelante) llamamos “teor´ de la relatividad o a ıaespecial”, es la que expondremos a continuaci´n en sus ideas fundamentales. o8. Sobre el concepto de tiempo en la F´ ısica Un rayo ha ca´ en dos lugares muy distantes A y B de la v´ Yo a˜ado la ıdo ıa. nafirmaci´n de que ambos impactos han ocurrido simult´neamente. Si ahora te o apregunto, querido lector, si esta afirmaci´n tiene o no sentido, me contestar´s o acon un “s´ contundente. Pero si luego te importuno con el ruego de que me ı”expliques con m´s precisi´n ese sentido, advertir´s tras cierta reflexi´n que a o a ola respuesta no es tan sencilla como parece a primera vista. Al cabo de alg´n tiempo quiz´ te acuda a la mente la siguiente respuesta: u a“El significado de la afirmaci´n es claro de por s´ y no necesita de ninguna o ıaclaraci´n; sin embargo, tendr´ que reflexionar un poco si se me exige de- o ıaterminar, mediante observaciones, si en un caso concreto los dos sucesos sono no simult´neos”. Pero con esta respuesta no puedo darme por satisfecho, apor la siguiente raz´n. Suponiendo que un experto meteor´logo hubiese ha- o ollado, mediante agud´ ısimos razonamientos, que el rayo tiene que caer siempresimult´neamente en los lugares A y B, se plantear´ el problema de compro- a ıabar si ese resultado te´rico se corresponde o no con la realidad. Algo an´logo o aocurre en todas las proposiciones f´ ısicas en las que interviene el conceptode “simult´neo”. Para el f´ a ısico no existe el concepto mientras no se brindela posibilidad de averiguar en un caso concreto si es verdadero o no. Hacefalta, por tanto, una definici´n de simultaneidad que proporcione el m´todo o epara decidir experimentalmente en el caso presente si los dos rayos han ca´ ıdosimult´neamente o no. Mientras no se cumpla este requisito, me estar´ en- a etregando como f´ ısico (¡y tambi´n como no f´ e ısico!) a la ilusi´n de creer que opuedo dar sentido a esa afirmaci´n de la simultaneidad. (No sigas leyendo, oquerido lector, hasta concederme esto plenamente convencido.)
  • 13. 12 Tras alg´n tiempo de reflexi´n haces la siguiente propuesta para constatar u ola simultaneidad. Se mide el segmento de uni´n AB a lo largo de la v´ y se o ıacoloca en su punto medio M a un observador provisto de un dispositivo (dosespejos formando 900 entre s´ por ejemplo) que le permite la visualizaci´n ı, oo´ptica simult´nea de ambos lugares A y B. Si el observador percibe los dos arayos simult´neamente, entonces es que son simult´neos. a a Aunque la propuesta me satisface mucho, sigo pensando que la cuesti´n ono queda aclarada del todo, pues me siento empujado a hacer la siguienteobjeci´n: “Tu definici´n ser´ necesariamente correcta si yo supiese ya que la o o ıaluz que la percepci´n de los rayos transmite al observador en M se propaga ocon la misma velocidad en el segmento A → M que en el segmento B → M Sin embargo, la comprobaci´n de este supuesto s´lo ser´ posible si se o o ıadispusiera ya de los medios para la medici´n de tiempos. Parece, pues, que onos movemos en un c´ ırculo l´gico”. o Despu´s de reflexionar otra vez, me lanzas con toda raz´n una mirada al- e ogo despectiva y me dices: “A pesar de todo, mantengo mi definici´n anterior, oporque en realidad no presupone nada sobre la luz. A la definici´n de simul- otaneidad solamente hay que imponerle una condici´n, y es que en cualquier ocaso real permita tomar una decisi´n emp´o ırica acerca de la pertinencia o nopertinencia del concepto a definir. Que mi definici´n cubre este objetivo es oinnegable. Que la luz tarda el mismo tiempo en recorrer el camino A → Mque el B → M no es en realidad ning´n supuesto previo ni hip´tesis sobre la u onaturaleza f´ısica de la luz, sino una estipulaci´n que puedo hacer a discreci´n o opara llegar a una definici´n de simultaneidad”. o Est´ claro que esta definici´n se puede utilizar para dar sentido exacto al a oenunciado de simultaneidad, no s´lo de dos sucesos, sino de un n´mero arbi- o utrario de ellos, sea cual fuere su posici´n con respecto al cuerpo de referencia6 . oCon ello se llega tambi´n a una definici´n del “tiempo” en la F´ e o ısica. Imagine-mos, en efecto, que en los puntos A, B, C de la v´ (sistema de coordenadas) ıaexisten relojes de id´ntica constituci´n y dispuestos de tal manera que las e oposiciones de las manillas sean simult´neamente (en el sentido anterior) las amismas. Se entiende entonces por “tiempo” de un suceso la hora (posici´n ode las manillas) marcada por aquel de esos relojes que est´ inmediatamente acontiguo (espacialmente) al suceso. De este modo se le asigna a cada sucesoun valor temporal que es esencialmente observable. 6 Suponemos adem´s que cuando ocurren tres fen´menos A, B, C en lugares distintos y a oA es simult´neo a B y B simult´neo a C (en el sentido de la definici´n anterior), entonces a a ose cumple tambi´n el criterio de simultaneidad para la pareja de sucesos A − C. Este esupuesto es una hip´tesis f´ o ısica sobre la ley de propagaci´n de la luz; tiene que cumplirse onecesariamente para poder mantener en pie la ley de la constancia de la velocidad de laluz en el vac´ıo.
  • 14. 13 Esta definici´n entra˜a otra hip´tesis f´ o n o ısica de cuya validez, en ausenciade razones emp´ ıricas en contra, no se podr´ dudar. En efecto, se supone que atodos los relojes marchan “igual de r´pido” si tienen la misma constituci´n. a oFormul´ndolo exactamente: si dos relojes colocados en reposo en distintos alugares del cuerpo de referencia son puestos en hora de tal manera que laposici´n de las manillas del uno sea simult´nea (en el sentido anterior) a la o amisma posici´n de las manillas del otro, entonces posiciones iguales de las omanillas son en general simult´neas (en el sentido de la definici´n anterior). a o9. La relatividad de la simultaneidad Hasta ahora hemos referido nuestros razonamientos a un determinadocuerpo de referencia que hemos llamado “terrapl´n” o “v´ e ıas”. Supongamosque por los carriles viaja un tren muy largo, con velocidad constante v yen la direcci´n se˜alada en la Fig. 1. Las personas que viajan en este tren o nhallar´n ventajoso utilizar el tren como cuerpo de referencia r´ a ıgido (sistemade coordenadas) y referir´n todos los sucesos al tren. Todo suceso que se aproduce a lo largo de la v´ se produce tambi´n en un punto determinado ıa, edel tren. Incluso la definici´n de simultaneidad se puede dar exactamente oigual con respecto al tren que respecto a las v´ Sin embargo, se plantea ıas.ahora la siguiente cuesti´n: o Dos sucesos (p. ej., los dos rayos A y B) que son simult´neos respecto al aterrapl´n, ¿son tambi´n simult´neos respecto al tren? En seguida demostra- e e aremos que la respuesta tiene que ser negativa. Cuando decimos que los rayos A y B son simult´neos respecto a las v´ a ıas,queremos decir: los rayos de luz que salen de los lugares A y B se re´nen en uel punto medio M del tramo de v´ A − B. Ahora bien, los sucesos A y B se ıacorresponden tambi´n con lugares A y B en el tren. Sea M el punto medio edel segmento A − B del tren en marcha. Este punto M es cierto que en elinstante de la ca´ de los rayos7 coincide con el punto M , pero, como se ıdaindica en la figura, se mueve hacia la derecha con la velocidad v del tren. Unobservador que estuviera sentado en el tren en M , pero que no poseyera esta 7 ¡Desde el punto de vista del terrapl´n! e
  • 15. 14velocidad, permanecer´ constantemente en M , y los rayos de luz que parten ıade las chispas A y B lo alcanzar´ simult´neamente, es decir, estos dos ıan arayos de luz se reunir´ precisamente en ´l. La realidad es, sin embargo, que ıan e(juzgando la situaci´n desde el terrapl´n) este observador va al encuentro o edel rayo de luz que viene de B, huyendo en cambio del que avanza desdeA. Por consiguiente, ver´ antes la luz que sale de B que la que sale de A. aEn resumidas cuentas, los observadores que utilizan el tren como cuerpo dereferencia tienen que llegar a la conclusi´n de que la chispa el´ctrica B ha o eca´ antes que la A. Llegamos as´ a un resultado importante: ıdo ı Sucesos que son simult´neos respecto al terrapl´n no lo son respecto al a etren, y viceversa (relatividad de la simultaneidad). Cada cuerpo de referencia(sistema de coordenadas) tiene su tiempo especial; una localizaci´n temporal otiene s´lo sentido cuando se indica el cuerpo de referencia al que remite. o Antes de la teor´ de la relatividad, la F´ ıa ısica supon´ siempre impl´ ıa ıcita-mente que el significado de los datos temporales era absoluto, es decir, inde-pendiente del estado de movimiento del cuerpo de referencia. Pero acabamosde ver que este supuesto es incompatible con la definici´n natural de simul- otaneidad; si prescindimos de ´l, desaparece el conflicto, expuesto en §7, entre ela ley de la propagaci´n de la luz y el principio de la relatividad. o En efecto, el conflicto proviene del razonamiento del ep´ ıgrafe 6, que ahoraresulta insostenible. Inferimos all´ que el hombre que camina por el vag´n y ı orecorre el trecho w en un segundo, recorre ese mismo trecho tambi´n en eun segundo respecto a las v´ Ahora bien, toda vez que, en virtud de las ıas.reflexiones anteriores, el tiempo que necesita un proceso con respecto al vag´n ono cabe igualarlo a la duraci´n del mismo proceso juzgada desde el cuerpo de oreferencia del terrapl´n, tampoco se puede afirmar que el hombre, al caminar erespecto a las v´ recorra el trecho w en un tiempo que —juzgado desde el ıas,terrapl´n— es igual a un segundo. Digamos de paso que el razonamiento de e§6 descansa adem´s en un segundo supuesto que, a la luz de una reflexi´n a origurosa, se revela arbitrario, lo cual no quita para que, antes de establecersela teor´ de la relatividad, fuese aceptado siempre (de modo impl´ ıa ıcito).10. Sobre la relatividad del concepto de distancia espacial Observamos dos lugares concretos del tren8 que viaja con velocidad v porla l´ ınea y nos preguntamos qu´ distancia hay entre ellos. Sabemos ya que epara medir una distancia se necesita un cuerpo de referencia respecto al cualhacerlo. Lo m´s sencillo es utilizar el propio tren como cuerpo de referencia a(sistema de coordenadas). Un observador que viaja en el tren mide la distan- 8 El centro de los vagones primero y cent´simo, por ejemplo. e
  • 16. 15cia, transportando en l´ınea recta una regla sobre el suelo de los vagones, porejemplo, hasta llegar desde uno de los puntos marcados al otro. El n´merouque indica cu´ntas veces transport´ la regla es entonces la distancia buscada. a o Otra cosa es si se quiere medir la distancia desde la v´ Aqu´ se ofrece ıa. ıel m´todo siguiente. Sean A y B los dos puntos del tren de cuya distancia ese trata; estos dos puntos se mueven con velocidad v a lo largo de la v´ ıa.Pregunt´monos primero por los puntos A y B de la v´ por donde pasan e ıaA y B en un momento determinado t (juzgado desde la v´ En virtud ıa).de la definici´n de tiempo dada en §8, estos puntos A y B de la v´ son o ıadeterminables. A continuaci´n se mide la distancia entre A y B transportando orepetidamente el metro a lo largo de la v´ ıa. A priori no est´ dicho que esta segunda medici´n tenga que proporcionar a oel mismo resultado que la primera. La longitud del tren, medida desde lav´ puede ser distinta que medida desde el propio tren. Esta circunstancia se ıa,traduce en una segunda objeci´n que oponer al razonamiento, aparentemente otan meridiano, de §6. Pues si el hombre en el vag´n recorre en una unidad ode tiempo el trecho w medido desde el tren, este trecho, medido desde la v´ ıa,no tiene por qu´ ser igual a w. e11. La transformaci´n de Lorentz o Las consideraciones hechas en los tres ultimos ep´ ´ ıgrafes nos muestranque la aparente incompatibilidad de la ley de propagaci´n de la luz con el oprincipio de relatividad en §7 est´ deducida a trav´s de un razonamiento que a etomaba a pr´stamo de la Mec´nica cl´sica dos hip´tesis injustificadas; estas e a a ohip´tesis son: o 1. El intervalo temporal entre dos sucesos es independiente del estado de movimiento del cuerpo de referencia. 2. El intervalo espacial entre dos puntos de un cuerpo r´ ıgido es indepen- diente del estado de movimiento del cuerpo de referencia. Si eliminamos estas dos hip´tesis, desaparece el dilema de §7, porque el oteorema de adici´n de velocidades deducido en §6 pierde su validez. Ante onosotros surge la posibilidad de que la ley de la propagaci´n de la luz en oel vac´ sea compatible con el principio de relatividad. Llegamos as´ a la ıo ıpregunta: ¿c´mo hay que modificar el razonamiento de §6 para eliminar la oaparente contradicci´n entre estos dos resultados fundamentales de la expe- oriencia? Esta cuesti´n conduce a otra de ´ o ındole general. En el razonamientode §6 aparecen lugares y tiempos con relaci´n al tren y con relaci´n a las o ov´ ¿C´mo se hallan el lugar y el tiempo de un suceso con relaci´n al tren ıas. o o
  • 17. 16cuando se conocen el lugar y el tiempo del suceso con respecto a las v´ ıas?¿Esta pregunta tiene alguna respuesta de acuerdo con la cual la ley de la pro-pagaci´n en el vac´ no contradiga al principio de relatividad? O expresado o ıode otro modo: ¿cabe hallar alguna relaci´n entre las posiciones y tiempos de olos distintos sucesos con relaci´n a ambos cuerpos de referencia, de manera oque todo rayo de luz tenga la velocidad de propagaci´n c respecto a las v´ o ıasy respecto al tren? Esta pregunta conduce a una respuesta muy determinaday afirmativa, a una ley de transformaci´n muy precisa para las magnitudes oespacio-temporales de un suceso al pasar de un cuerpo de referencia a otro. Antes de entrar en ello, intercalemos la siguiente consideraci´n. Hasta oahora solamente hemos hablado de sucesos que se produc´ a lo largo de la ıanv´ la cual desempe˜aba la funci´n matem´tica de una recta. Pero, siguien- ıa, n o ado lo indicado en el ep´ ıgrafe 2, cabe imaginar que este cuerpo de referenciase prolonga hacia los lados y hacia arriba por medio de un andamiaje devarillas, de manera que cualquier suceso, ocurra donde ocurra, puede loca-lizarse respecto a ese andamiaje. An´logamente, es posible imaginar que el atren que viaja con velocidad v se prolonga por todo el espacio, de maneraque cualquier suceso, por lejano que est´, tambi´n pueda localizarse respecto e eal segundo andamio. Sin incurrir en defecto te´rico, podemos prescindir del ohecho de que en realidad esos andamios se destrozar´ uno contra el otro ıandebido a la impenetrabilidad de los cuerpos s´lidos. En cada uno de estos oandamios imaginamos que se erigen tres paredes mutuamente perpendicula-res que denominamos “planos coordenados” (“sistema de coordenadas”). Alterrapl´n le corresponde entonces un sistema de coordenadas K, y al tren eotro K . Cualquier suceso, dondequiera que ocurra, viene fijado espacialmen-te respecto a K por las tres perpendiculares x, y, z a los planos coordenados,y temporalmente por un valor t. Ese mismo suceso viene fijado espacio-temporalmente respecto a K por valores correspondientes x , y , z , t , que,como es natural, no coinciden con x, y, z, t. Ya explicamos antes con detallec´mo interpretar estas magnitudes como resultados de mediciones f´ o ısicas. Es evidente que el problema que tenemos planteado se puede formularexactamente de la manera siguiente: Dadas las cantidades x, y, z, t de unsuceso respecto a K, ¿cu´les son los valores x , y , z , t del mismo suceso arespectoa K ? Las relaciones hay que elegirlas de tal modo que satisfagan laley de propagaci´n de la luz en el vac´ para uno y el mismo rayo de luz (y o ıoadem´s para cualquier rayo de luz) respecto a K y K . Para la orientaci´n a oespacial relativa indicada en el dibujo de la figura , el problema queda resuelto
  • 18. 17por las ecuaciones: x − vt x = v2 1− c2 y = y z = z vx t− c2 t = v2 1− c2 Este sistema de ecuaciones se designa con el nombre de “transformaci´n o 9de Lorentz ”. Ahora bien, si en lugar de la ley de propagaci´n de la luz hubi´semos o etomado como base los supuestos impl´ıcitos en la vieja mec´nica, relativos al acar´cter absoluto de los tiempos y las longitudes, en vez de las anteriores aecuaciones de transformaci´n habr´ o ıamos obtenido estas otras: x = x − vt y = y z = z t = tsistema que a menudo se denomina “transformaci´n de Galileo”. La transfor- omaci´n de Galileo se obtiene de la de Lorentz igualando en ´sta la velocidad o ede la luz c a un valor infinitamente grande. 9 En el Ap´ndice se da una derivaci´n sencilla de la transformaci´n de Lorentz e o o
  • 19. 18 El siguiente ejemplo muestra claramente que, seg´n la transformaci´n de u oLorentz, la ley de propagaci´n de la luz en el vac´ se cumple tanto respecto al o ıocuerpo de referencia K como respecto al cuerpo de referencia K . Supongamosque se env´ una se˜al luminosa a lo largo del eje x positivo, propag´ndose ıa n ala excitaci´n luminosa seg´n la ecuaci´n o u o x = ctes decir, con velocidad c. De acuerdo con las ecuaciones de la transformaci´n ode Lorentz, esta sencilla relaci´n entre x y t determina una relaci´n entre x o oy t . En efecto, sustituyendo x por el valor ct en las ecuaciones primera ycuarta de la transformaci´n de Lorentz obtenemos: o (c − v)t x = v2 1− c2 v 1− c t t = v2 1− c2de donde, por divisi´n, resulta inmediatamente o x = ct La propagaci´n de la luz, referida al sistema K , se produce seg´n esta o uecuaci´n. Se comprueba, por tanto, que la velocidad de propagaci´n es tam- o obi´n igual a c respecto al cuerpo de referencia K ; y an´logamente para rayos e ade luz que se propaguen en cualquier otra direcci´n. Lo cual, naturalmente, ono es de extra˜ar, porque las ecuaciones de la transformaci´n de Lorentz n oest´n derivadas con este criterio. a12. El comportamiento de reglas y relojes m´viles o Coloco una regla de un metro sobre el eje x de K , de manera que unextremo coincida con el punto x = 0 y el otro con el punto x = 1. ¿Cu´l aes la longitud de la regla respecto al sistema K? Para averiguarlo podemosdeterminar las posiciones de ambos extremos respecto a K en un momentodeterminado t . De la primera ecuaci´n de la transformaci´n de Lorentz, para o ot = 0, se obtiene para estos dos puntos: v2 xorigen de la escala = 0 · 1− c2 v2 xextremo de la escala = 1 · 1− 2 c
  • 20. 19estos dos puntos distan entre s´ 1 − v 2 /c2 . Ahora bien, el metro se mueve ırespecto a K con la velocidad v, de donde se deduce que la longitud deuna regla r´ ıgida de un metro que se mueve con velocidad v en el sentidode su longitud es de 1 − v 2 /c2 metros. La regla r´ ıgida en movimiento esm´s corta que la misma regla cuando est´ en estado de reposo, y es tanto a am´s corta cuando m´s r´pidamente se mueva. Para la velocidad v = c ser´ a a a ıa 1−v 2 /c2 = 0 para velocidades a´ n mayores la ra´ se har´ imaginaria. u ız ıaDe aqu´ inferimos que en la teor´ de la relatividad la velocidad c desempe˜a ı ıa nel papel de una velocidad l´ ımite que no puede alcanzar ni sobrepasar ning´n ucuerpo real. A˜adamos que este papel de la velocidad c como velocidad l´ n ımite se si-gue de las propias ecuaciones de la transformaci´n de Lorentz, porque ´stas o epierden todo sentido cuando v se elige mayor que c. Si hubi´semos procedido a la inversa, considerando un metro que se halla een reposo respecto a K sobre el eje x, habr´ ıamos comprobado que en relaci´n oa K tiene la longitud de 1 − v 2 /c2 , lo cual est´ totalmente de acuerdo con el aprincipio de la relatividad, en el cual hemos basado nuestras consideraciones. A priori es evidente que las ecuaciones de transformaci´n tienen algo que odecir sobre el comportamiento f´ ısico de reglas y relojes, porque las cantidadesx, y, z, t no son otra cosa que resultados de medidas obtenidas con relojes yreglas. Si hubi´semos tomado como base la transformaci´n de Galileo, no e ohabr´ ıamos obtenido un acortamiento de longitudes como consecuencia delmovimiento. Imaginemos ahora un reloj con segundero que reposa constantemente enel origen (x = 0) de K . Sean t = 0 y t = 1 dos se˜ales sucesivas de este nreloj. Para estos dos tics, las ecuaciones primera y cuarta de la transformaci´n ode Lorentz dar´n: a t = 0 1 t = v2 1− c2 Juzgado desde K, el reloj se mueve con la velocidad v; respecto a estecuerpo de referencia, entre dos de sus se˜ales transcurre, no un segundo, sino n1/ 1 − v 2 /c2 segundos, o sea un tiempo algo mayor. Como consecuencia de su movimiento, el reloj marcha algo m´s despacio aque en estado de reposo. La velocidad de la luz c desempe˜a, tambi´n aqu´ n e ı,el papel de una velocidad l´ımite inalcanzable.
  • 21. 2013. Teorema de adici´n de velocidades. Experimento de Fizeau o Dado que las velocidades con que en la pr´ctica podemos mover relojes y areglas son peque˜as frente a la velocidad de la luz c, es dif´ que podamos n ıcilcomparar los resultados del ep´ıgrafe anterior con la realidad. Y puesto que,por otro lado, esos resultados le parecer´n al lector harto singulares, voy aa extraer de la teor´ otra consecuencia que es muy f´cil de deducir de lo ıa aanteriormente expuesto y que los experimentos confirman brillantemente. En el §6 hemos deducido el teorema de adici´n para velocidades de la omisma direcci´n, tal y como resulta de las hip´tesis de la Mec´nica cl´sica. o o a aLo mismo se puede deducir f´cilmente de la transformaci´n de Galileo (§11). a oEn lugar del hombre que camina por el vag´n introducimos un punto que se omueve respecto al sistema de coordenadas K seg´n la ecuaci´n u o x = wt Mediante las ecuaciones primera y cuarta de la transformaci´n de Galileo ose pueden expresar x y t en funci´n de x y t obteniendo o x = (v + w)t Esta ecuaci´n no expresa otra cosa que la ley de movimiento del pun- oto respecto al sistema K (del hombre respecto al terrapl´n), velocidad que edesignamos por W , con lo cual se obtiene, como en §6: W =v+w (1) Pero este razonamiento lo podemos efectuar igual de bien bas´ndonos en ala teor´ de la relatividad. Lo que hay que hacer entonces es expresar x y t ıaen la ecuaci´n o x = wten funci´n de x y t, utilizando las ecuaciones primera y cuarta de la trans- oformaci´n de Lorentz. En lugar de la ecuaci´n (1) se obtiene entonces esta o ootra: v+w W = (2) 1 + vw c2que corresponde al teorema de adici´n de velocidades de igual direcci´n seg´n o o ula teor´ de la relatividad. La cuesti´n es cu´l de estos dos teoremas resiste ıa o ael cotejo con la experiencia. Sobre el particular nos instruye un experimentoextremadamente importante, realizado hace m´s de medio siglo por el genial af´ ısico Fizeau y desde entonces repetido por algunos de los mejores f´ ısicosexperimentales, por lo cual el resultado es irrebatible. El experimento versa
  • 22. 21sobre la siguiente cuesti´n. Supongamos que la luz se propaga en un cierto ol´ ıquido en reposo con una determinada velocidad w. ¿Con qu´ velocidad se epropaga en el tubo R de la figuraen la direcci´n de la flecha, cuando dentro de ese tubo fluye el l´ o ıquido convelocidad v? En cualquier caso, fieles al principio de relatividad, tendremos que sentarel supuesto de que, respecto al l´ ıquido, la propagaci´n de la luz se produce osiempre con la misma velocidad w, mu´vase o no el l´ e ıquido respecto a otroscuerpos. Son conocidas, por tanto, la velocidad de la luz respecto al l´ ıquidoy la velocidad de ´ste respecto al tubo, y se busca la velocidad de la luz erespecto al tubo. Est´ claro que el problema vuelve a ser el mismo que el de §6. El tubo adesempe˜a el papel de las v´ o del sistema de coordenadas K; el l´ n ıas ıquido,el papel del vag´n o del sistema de coordenadas K ; la luz, el del hombre oque camina por el vag´n o el del punto m´vil mencionado en este apartado. o oAs´ pues, si llamamos W a la velocidad de la luz respecto al tubo, ´sta ı evendr´ dada por la ecuaci´n (1) o por la (2), seg´n que sea la transformaci´n a o u ode Galileo o la de Lorentz la que se corresponde con la realidad. El experimento10 falla a favor de la ecuaci´n (2) deducida de la teor´ de o ıala relatividad, y adem´s con gran exactitud. Seg´n las ultimas y excelentes a u ´mediciones de Zeeman, la influencia de la velocidad de la corriente v sobre lapropagaci´n de la luz viene representada por la f´rmula (2) con una exactitud o osuperior al 1 por 100. Hay que destacar, sin embargo, que H. A. Lorentz, mucho antes de esta-blecerse la teor´ de la relatividad, dio ya una teor´ de este fen´meno por ıa ıa ov´ puramente electrodin´mica y utilizando determinadas hip´tesis sobre la ıa a oestructura electromagn´tica de la materia. Pero esta circunstancia no merma epara nada el poder probatorio del experimento, en tanto que experimentumcrucis a favor de la teor´ de la relatividad. Pues la Electrodin´mica de ıa a 10 Fizeau hall´ W = w +v(1−1/n2 ), donde n = c/w es el ´ o ındice de refracci´n del l´ o ıquido.Por otro lado, debido a que vw/c2 es muy peque˜o frente a 1, se puede sustituir (2) por nW = (w + v)(1 − vw/2), o bien, con la misma aproximaci´n, w + v(1 − 1/n2 ), lo cual oconcuerda con el resultado de Fizeau.
  • 23. 22Maxwell-Lorentz, sobre la cual descansaba la teor´ original, no est´ para ıa anada en contradicci´n con la teor´ de la relatividad. Esta ultima ha ema- o ıa ´nado m´s bien de la Electrodin´mica como resumen y generalizaci´n asom- a a obrosamente sencillos de las hip´tesis, antes mutuamente independientes, que oserv´ de fundamento a la Electrodin´mica. ıan a14. El valor heur´ ıstico de la teor´ de la relatividad ıa La cadena de ideas que hemos expuesto hasta aqu´ se puede resumir ıbrevemente como sigue. La experiencia ha llevado a la convicci´n de que, por oun lado, el principio de la relatividad (en sentido restringido) es v´lido, y apor otro, que la velocidad de propagaci´n de la luz en el vac´ es igual a una o ıoconstante c. Uniendo estos dos postulados result´ la ley de transformaci´n o opara las coordenadas rectangulares x, y, z y el tiempo t de los sucesos quecomponen los fen´menos naturales, obteni´ndose, no la transformaci´n de o e oGalileo, sino (en discrepancia con la Mec´nica cl´sica) la transformaci´n de a a oLorentz. En este razonamiento desempe˜´ un papel importante la ley de propa- nogaci´n de la luz, cuya aceptaci´n viene justificada por nuestro conocimiento o oactual. Ahora bien, una vez en posesi´n de la transformaci´n de Lorentz, o opodemos unir ´sta con el principio de relatividad y resumir la teor´ en el e ıaenunciado siguiente: Toda ley general de la naturaleza tiene que estar constituida de tal modoque se transforme en otra ley de id´ntica estructura al introducir, en lugar de elas variables espacio-temporales x, y, z, t del sistema de coordenadas originalK, nuevas variables espacio-temporales x , y , z , t de otro sistema de coor-denadas K , donde la relaci´n matem´tica entre las cantidades con prima o ay sin prima viene dada por la transformaci´n de Lorentz. Formulado bre- ovemente: las leyes generales de la naturaleza son covariantes respecto a latransformaci´n de Lorentz. o Esta es una condici´n matem´tica muy determinada que la teor´ de la o a ıarelatividad prescribe a las leyes naturales, con lo cual se convierte en valiosoauxiliar heur´ıstico en la b´squeda de leyes generales de la naturaleza. Si se uencontrara una ley general de la naturaleza que no cumpliera esa condici´n, oquedar´ refutado por lo menos uno de los dos supuestos fundamentales de la ıateor´ Veamos ahora lo que esta ultima ha mostrado en cuanto a resultados ıa. ´generales.
  • 24. 2315. Resultados generales de la teor´ ıa De las consideraciones anteriores se echa de ver que la teor´ de la rela- ıatividad (especial) ha nacido de la Electrodin´mica y de la ´ptica. En estos a ocampos no ha modificado mucho los enunciados de la teor´ pero ha simpli- ıa,ficado notablemente el edificio te´rico, es decir, la derivaci´n de las leyes, y, o olo que es incomparablemente m´s importante, ha reducido mucho el n´mero a ude hip´tesis independientes sobre las que descansa la teor´ A la teor´ de o ıa. ıaMaxwell-Lorentz le ha conferido un grado tal de evidencia, que aqu´lla se ha- ebr´ impuesto con car´cter general entre los f´ ıa a ısicos aunque los experimentoshubiesen hablado menos convincentemente a su favor. La Mec´nica cl´sica precisaba de una modificaci´n antes de poder armo- a a onizar con el requisito de la teor´ de la relatividad especial. Pero esta modi- ıaficaci´n afecta unicamente, en esencia, a las leyes para movimientos r´pidos o ´ aen los que las velocidades v de la materia no sean demasiado peque˜as frente na la de la luz. Movimientos tan r´pidos s´lo nos los muestra la experiencia en a oelectrones e iones; en otros movimientos las discrepancias respecto a las leyesde la Mec´nica cl´sica son demasiado peque˜as para ser detectables en la a a npr´ctica. Del movimiento de los astros no hablaremos hasta llegar a la teor´ a ıade la relatividad general. Seg´n la teor´ de la relatividad, la energ´ cin´tica u ıa ıa ede un punto material de masa m no viene dado ya por la conocida expresi´n o v2 m 2sino por la expresi´n o mc2 v2 1− c2 Esta expresi´n se hace infinita cuando la velocidad v se aproxima a la ovelocidad de la luz c. As´ pues, por grande que sea la energ´ invertida en ı ıala aceleraci´n, la velocidad tiene que permanecer siempre inferior a c. Si se odesarrolla en serie la expresi´n de la energ´ cin´tica, se obtiene: o ıa e v2 3 v2 mc2 + m + m 2 + ··· 2 8 c El tercer t´rmino es siempre peque˜o frente al segundo (el unico conside- e n ´rado en la Mec´nica cl´sica) cuando v 2 /c2 es peque˜o comparado con 1. a a n El primer t´rmino mc2 no depende de la velocidad, por lo cual no entra een consideraci´n al tratar el problema de c´mo la energ´ de un punto mate- o o ıarial depende de la velocidad. Sobre su importancia te´rica hablaremos m´s o aadelante. El resultado m´s importante de ´ a ındole general al que ha conducido
  • 25. 24la teor´ de la relatividad especial concierne al concepto de masa. La f´ ıa ısicaprerrelativista conoce dos principios de conservaci´n de importancia funda- omental, el de la conservaci´n de la energ´ y el de la conservaci´n de la masa; o ıa oestos dos principios fundamentales aparecen completamente independientesuno de otro. La teor´ de la relatividad los funde en uno solo. A continuaci´n ıa oexplicaremos brevemente c´mo se lleg´ hasta ah´ y c´mo hay que interpretar o o ı oesta fusi´n. o El principio de relatividad exige que el postulado de conservaci´n de la oenerg´ se cumpla, no s´lo respecto a un sistema de coordenadas K, sino res- ıa opecto a cualquier sistema de coordenadas K que se encuentre con relaci´n aoK en movimiento de traslaci´n uniforme (dicho brevemente, respecto a cual- oquier sistema de coordenadas “de Galileo”). En contraposici´n a la Mec´nica o acl´sica, el paso entre dos de esos sistemas viene regido por la transformaci´n a ode Lorentz. A partir de estas premisas, y en conjunci´n con las ecuaciones funda- omentales de la electrodin´mica maxwelliana, se puede inferir rigurosamente, amediante consideraciones relativamente sencillas, que: un cuerpo que se mue-ve con velocidad v y que absorbe la energ´ E0 en forma de radiaci´n11 sin ıa ovariar por eso su velocidad, experimenta un aumento de energ´ en la canti- ıadad: E0 v2 1− c2 Teniendo en cuenta la expresi´n que dimos antes para la energ´ cin´tica, o ıa ela energ´ del cuerpo vendr´ dada por: ıa a E0 m+ c2 c2 v2 1− c2 El cuerpo tiene entonces la misma energ´ que otro de velocidad v y masa ıam + E0 /2. Cabe por tanto decir: si un cuerpo absorbe la energ´ E0 , su masa ıainercial crece en E0 /c2 ; la masa inercial de un cuerpo no es una constante,sino variable seg´n la modificaci´n de su energ´ La masa inercial de un u o ıa.sistema de cuerpos cabe contemplarla precisamente como una medida de suenerg´ El postulado de la conservaci´n de la masa de un sistema coincide ıa. ocon el de la conservaci´n de la energ´ y s´lo es v´lido en la medida en que el o ıa o asistema no absorbe ni emite energ´ Si escribimos la expresi´n de la energ´ ıa. o ıa 11 E0 es la energ´ absorbida respecto a un sistema de coordenadas que se mueve con el ıacuerpo.
  • 26. 25en la forma mc2 + E0 v2 1− c2se ve que el t´rmino mc2 , que ya nos llam´ la atenci´n con anterioridad, e o o 12no es otra cosa que la energ´ que pose´ el cuerpo antes de absorber la ıa ıaenerg´ E0 . ıa El cotejo directo de este postulado con la experiencia queda por ahoraexcluido, porque las variaciones de energ´ E0 que podemos comunicar a un ıasistema no son suficientemente grandes para hacerse notar en forma de unaalteraci´n de la masa inercial del sistema. E0 /c2 es demasiado peque˜o en o ncomparaci´n con la masa m que exist´ antes de la variaci´n de energ´ A o ıa o ıa.esta circunstancia se debe el que se pudiera establecer con ´xito un principio ede conservaci´n de la masa de validez independiente. o Una ultima observaci´n de naturaleza te´rica. El ´xito de la interpreta- ´ o o eci´n de Faraday-Maxwell de la acci´n electrodin´mica a distancia a trav´s o o a ede procesos intermedios con velocidad de propagaci´n finita hizo que entre olos f´ ısicos arraigara la convicci´n de que no exist´ acciones a distancia ins- o ıantant´neas e inmediatas del tipo de la ley de gravitaci´n de Newton. Seg´n a o ula teor´ de la relatividad, en lugar de la acci´n instant´nea a distancia, o ıa o aacci´n a distancia con velocidad de propagaci´n infinita, aparece siempre la o oacci´n a distancia con la velocidad de la luz, lo cual tiene que ver con el pa- opel te´rico que desempe˜a la velocidad c en esta teor´ En la segunda parte o n ıa.se mostrar´ c´mo se modifica este resultado en la teor´ de la relatividad a o ıageneral.16. La teor´ de la relatividad especial y la experiencia ıa La pregunta de hasta qu´ punto se ve apoyada la teor´ de la relatividad e ıaespecial por la experiencia no es f´cil de responder, por un motivo que ya amencionamos al hablar del experimento fundamental de Fizeau. La teor´ de ıala relatividad especial cristaliz´ a partir de la teor´ de Maxwell-Lorentz de o ıalos fen´menos electromagn´ticos, por lo cual todos los hechos experimentales o eque apoyan esa teor´ electromagn´tica apoyan tambi´n la teor´ de la rela- ıa e e ıatividad. Mencionar´ aqu´ por ser de especial importancia, que la teor´ de la e ı, ıarelatividad permite derivar, de manera extremadamente simple y en conso-nancia con la experiencia, aquellas influencias que experimenta la luz de lasestrellas fijas debido al movimiento relativo de la Tierra respecto a ellas. Setrata del desplazamiento anual de la posici´n aparente de las estrellas fijas ocomo consecuencia del movimiento terrestre alrededor del Sol (aberraci´n) o 12 Respecto a un sistema de coordenadas solidario con el cuerpo.
  • 27. 26y el influjo que ejerce la componente radial de los movimientos relativos delas estrellas fijas respecto a la Tierra sobre el color de la luz que llega hastanosotros; este influjo se manifiesta en un peque˜o corrimiento de las rayas es- npectrales de la luz que nos llega desde una estrella fija, respecto a la posici´n oespectral de las mismas rayas espectrales obtenidas con una fuente luminosaterrestre (principio de Doppler). Los argumentos experimentales a favor dela teor´ de Maxwell-Lorentz, que al mismo tiempo son argumentos a favor ıade la teor´ de la relatividad, son demasiado copiosos como para exponer- ıalos aqu´ De hecho, restringen hasta tal punto las posibilidades te´ricas, que ı. oninguna otra teor´ distinta de la de Maxwell-Lorentz se ha podido imponer ıafrente a la experiencia. Sin embargo, hay dos clases de hechos experimentales constatados hastaahora que la teor´ de Maxwell-Lorentz s´lo puede acomodar a base de re- ıa ocurrir a una hip´tesis auxiliar que de suyo —es decir, sin utilizar la teor´ de o ıala relatividad— parece extra˜a.n Es sabido que los rayos cat´dicos y los as´ llamados rayos β emitidos por o ısustancias radiactivas constan de corp´sculos el´ctricos negativos (electrones) u ede peque˜´ nısima inercia y gran velocidad. Investigando la desviaci´n de estas oradiaciones bajo la influencia de campos el´ctricos y magn´ticos se puede e eestudiar muy exactamente la ley del movimiento de estos corp´sculos.u En el tratamiento te´rico de estos electrones hay que luchar con la di- oficultad de que la Electrodin´mica por s´ sola no es capaz de explicar su a ınaturaleza. Pues dado que las masas el´ctricas de igual signo se repelen, elas masas el´ctricas negativas que constituyen el electr´n deber´ separarse e o ıanunas de otras bajo la influencia de su interacci´n si no fuese por la acci´n o o 13de otras fuerzas cuya naturaleza nos resulta todav´ oscura . Si suponemos ıaahora que las distancias relativas de las masas el´ctricas que constituyen el eelectr´n permanecen constantes al moverse ´ste (uni´n r´ o e o ıgida en el sentidode la Mec´nica cl´sica), llegamos a una ley del movimiento del electr´n que a a ono concuerda con la experiencia. H. A. Lorentz, guiado por consideracio-nes puramente formales, fue el primero en introducir la hip´tesis de que el ocuerpo del electr´n experimenta, en virtud del movimiento, una contracci´n o oproporcional a la expresi´n 1 − v o 2 /c2 en la direcci´n del movimiento. Esta ohip´tesis, que electrodin´micamente no se justifica en modo alguno, propor- o aciona esa ley del movimiento que se ha visto confirmada con gran precisi´n opor la experiencia en los ultimos a˜os. ´ n La teor´ de la relatividad suministra la misma ley del movimiento sin ıanecesidad de sentar hip´tesis especiales sobre la estructura y el comporta- o 13 La teor´ de la relatividad general propone la idea de que las masas el´ctricas de un ıa eelectr´n se mantienen unidas por fuerzas gravitacionales. o
  • 28. 27miento del electr´n. Algo an´logo ocurr´ como hemos visto en §13, con el o a ıa,experimento de Fizeau, cuyo resultado lo explicaba la teor´ de la relatividad ıasin tener que hacer hip´tesis sobre la naturaleza f´ o ısica del fluido. La segunda clase de hechos que hemos se˜alado se refiere a la cuesti´n n ode si el movimiento terrestre en el espacio se puede detectar o no en expe-rimentos efectuados en la Tierra. Ya indicamos en §5 que todos los intentosrealizados en este sentido dieron resultado negativo. Con anterioridad a lateor´ relativista, la ciencia no pod´ explicar f´cilmente este resultado nega- ıa ıa ativo, pues la situaci´n era la siguiente. Los viejos prejuicios sobre el espacio oy el tiempo no permit´ ninguna duda acerca de que la transformaci´n de ıan oGalileo era la que reg´ el paso de un cuerpo de referencia a otro. Suponiendo ıaentonces que las ecuaciones de Maxwell-Lorentz sean v´lidas para un cuerpo ade referencia K, resulta que no valen para otro cuerpo de referencia K quese mueva uniformemente respecto a K si se acepta que entre las coordenadasde K y K rigen las relaciones de la transformaci´n de Galileo. Esto parece oindicar que de entre todos los sistemas de coordenadas de Galileo se destacaf´ ısicamente uno (K) que posee un determinado estado de movimiento. F´ ısica-mente se interpretaba este resultado diciendo que K est´ en reposo respecto a aun hipot´tico ´ter lumin´ e e ıfero, mientras que todos los sistemas de coordenadasK en movimiento respecto a K estar´ tambi´n en movimiento respecto al ıan e´ter. A este movimiento de K respecto al ´ter (“viento del ´ter” en relaci´ne e e oa K ) se le atribu´ las complicadas leyes que supuestamente val´ respec- ıan ıanto a K . Para ser consecuentes, hab´ que postular tambi´n un viento del ıa e´ter semejante con relaci´n a la Tierra, y los f´e o ısicos pusieron durante muchotiempo todo su empe˜o en probar su existencia. n Michelson hall´ con este prop´sito un camino que parec´ infalible. Imagi- o o ıanemos dos espejos montados sobre un cuerpo r´ ıgido, con las caras reflectantesmir´ndose de frente. Si todo este sistema se halla en reposo respecto al ´ter a elumin´ ıfero, cualquier rayo de luz necesita un tiempo muy determinado T parair de un espejo al otro y volver. Por el contrario, el tiempo (calculado) paraese proceso es algo diferente (T ) cuando el cuerpo, junto con los espejos,se mueve respecto al ´ter. ¡Es m´s! Los c´lculos predicen que, para una de- e a aterminada velocidad v respecto al ´ter, ese tiempo T es distinto cuando el ecuerpo se mueve perpendicularmente al plano de los espejos que cuando lohace paralelamente. Aun siendo ´ ınfima la diferencia calculada entre estos dosintervalos temporales, Michelson y Morley realizaron un experimento de in-terferencias en el que esa discrepancia tendr´ que haberse puesto claramente ıade manifiesto. El resultado del experimento fue, no obstante, negativo, paragran desconcierto de los f´ ısicos. Lorentz y FitzGerarld sacaron a la teor´ ıade este desconcierto, suponiendo que el movimiento del cuerpo respecto al´ter determinaba una contracci´n de aqu´l en la direcci´n del movimiento ye o e o
  • 29. 28que dicha contracci´n compensaba justamente esa diferencia de tiempos. La ocomparaci´n con las consideraciones de §12 demuestra que esta soluci´n era o otambi´n la correcta desde el punto de vista de la teor´ de la relatividad. Pero e ıala interpretaci´n de la situaci´n seg´n esta ultima es incomparablemente m´s o o u ´ asatisfactoria. De acuerdo con ella, no existe ning´n sistema de coordenadas uprivilegiado que d´ pie a introducir la idea del ´ter, ni tampoco ning´n viento e e udel ´ter ni experimento alguno que lo ponga de manifiesto. La contracci´n e ode los cuerpos en movimiento se sigue aqu´ sin hip´tesis especiales, de los ı, odos principios b´sicos de la teor´ y lo decisivo para esta contracci´n no a ıa; oes el movimiento en s´ al que no podemos atribuir ning´n sentido, sino el ı, umovimiento respecto al cuerpo de referencia elegido en cada caso. As´ pues, ıel cuerpo que sostiene los espejos en el experimento de Michelson y Morleyno se acorta respecto a un sistema de referencia solidario con la Tierra, peros´ respecto a un sistema que se halle en reposo en relaci´n al Sol. ı o17. El espacio cuadridimensional de Minkowski El no matem´tico se siente sobrecogido por un escalofr´ m´ a ıo ıstico al o´ la ırpalabra “cuadridimensional”, una sensaci´n no dis´ o ımil de la provocada por elfantasma de una comedia. Y, sin embargo, no hay enunciado m´s banal que ael que afirma que nuestro mundo cotidiano es un continuo espacio-temporalcuadridimensional. El espacio es un continuo tridimensional. Quiere decir esto que es posibledescribir la posici´n de un punto (en reposo) mediante tres n´meros x, y, z o u(coordenadas) y que, dado cualquier punto, existen puntos arbitrariamente“pr´ximos” cuya posici´n se puede describir mediante valores coordenados o o(coordenadas) x1 , y1 , z1 que se aproximan arbitrariamente a las coordenadasx, y, z del primero. Debido a esta ultima propiedad hablamos de un “conti- ´nuo”; debido al car´cter triple de las coordenadas, de “tridimensional”. a An´logamente ocurre con el universo del acontecer f´ a ısico, con lo que Min-kowski llamara brevemente “mundo” o “universo”, que es naturalmente cua-dridimensional en el sentido espacio-temporal. Pues ese universo se componede sucesos individuales, cada uno de los cuales puede describirse mediantecuatro n´meros, a saber, tres coordenadas espaciales x, y, z y una coordena- uda temporal, el valor del tiempo t. El “universo” es en este sentido tambi´n eun continuo, pues para cada suceso existen otros (reales o imaginables) ar-bitrariamente “pr´ximos” cuyas coordenadas x1 , y1 , z1 , t1 se diferencian arbi- otrariamente poco de las del suceso contemplado x, y, z, t. El que no estemosacostumbrados a concebir el mundo en este sentido como un continuo cuadri-dimensional se debe a que el tiempo desempe˜´ en la f´ no ısica prerrelativista unpapel distinto, m´s independiente, frente a las coordenadas espaciales, por lo a
  • 30. 29cual nos hemos habituado a tratar el tiempo como un continuo independien-te. De hecho, en la f´ ısica cl´sica el tiempo es absoluto, es decir, independiente ade la posici´n y del estado de movimiento del sistema de referencia, lo cual oqueda patente en la ultima ecuaci´n de la transformaci´n de Galileo (t = t). ´ o oLa teor´ de la relatividad sirve en bandeja la visi´n cuadridimensional del ıa o“mundo”, pues seg´n esta teor´ el tiempo es despojado de su independencia, u ıatal y como muestra la cuarta ecuaci´n de la transformaci´n de Lorentz: o o vx t− c2 t = v2 1− c2 En efecto, seg´n esta ecuaci´n la diferencia temporal ∆t de dos sucesos u orespecto a K no se anula en general, aunque la diferencia temporal ∆t deaquellos respecto a K sea nula. Una distancia puramente espacial entre dossucesos con relaci´n a K tiene como consecuencia una distancia temporal de oaqu´llos con respecto a K . La importancia del descubrimiento de Minkowski epara el desarrollo formal de la teor´ de la relatividad no reside tampoco aqu´ ıa ı,sino en el reconocimiento de que el continuo cuadridimensional de la teor´ ıade la relatividad muestra en sus principales propiedades formales el m´ximoaparentesco con el continuo tridimensional del espacio geom´trico eucl´ 14 . e ıdeoSin embargo, para hacer resaltar del todo este parentesco es preciso sustituir √las coordenadas temporales usuales t por la cantidad imaginaria −1ct pro-porcional a ellas. Las leyes de la naturaleza que satisfacen los requisitos de lateor´ de la relatividad (especial) toman entonces formas matem´ticas en las ıa aque la coordenada temporal desempe˜a exactamente el mismo papel que las ntres coordenadas espaciales. Estas cuatro coordenadas se corresponden exac-tamente, desde el punto de vista formal, con las tres coordenadas espacialesde la geometr´ eucl´ ıa ıdea. Incluso al no matem´tico le saltar´ a la vista que, a agracias a este hallazgo puramente formal, la teor´ tuvo que ganar una dosis ıaextraordinaria de claridad. Tan someras indicaciones no dan al lector sino una noci´n muy vaga de olas importantes ideas de Minkowski, sin las cuales la teor´ de la relatividad ıageneral, desarrollada a continuaci´n en sus l´ o ıneas fundamentales, se habr´ ıaquedado quiz´ en pa˜ales. Ahora bien, como para comprender las ideas fun- a ndamentales de la teor´ de la relatividad especial o general no es necesario ıaentender con m´s exactitud esta materia, sin duda de dif´ acceso para el a ıcillector no ejercitado en la matem´tica, lo dejaremos en este punto para volver asobre ello en las ultimas consideraciones de este librito. ´ 14 Cf. la exposici´n algo m´s detallada en el Ap´ndice. o a e
  • 31. Sobre la teor´ de la relatividad general ıa18. Principios de la relatividad especial y general La tesis fundamental alrededor de la cual giraban todas las consideracio-nes anteriores era el principio de la relatividad especial, es decir, el principiode la relatividad f´ ısica de todo movimiento uniforme. Volvamos a analizarexactamente su contenido. Que cualquier movimiento hay que entenderlo conceptualmente como unmovimiento meramente relativo es algo que siempre fue evidente. Volviendoal ejemplo, tantas veces frecuentado ya, del terrapl´n y el vag´n de ferrocarril, e oel hecho del movimiento que aqu´ tiene lugar cabe expresarlo con igual raz´n ı oen cualquiera de las dos formas siguientes: a) el vag´n se mueve respecto al terrapl´n o e b) el terrapl´n se mueve respecto al vag´n. e oEn el caso a) es el terrapl´n el que hace las veces de cuerpo de referencia; en eel caso b), el vag´n. Cuando se trata simplemente de constatar o describir el omovimiento es te´ricamente indiferente a qu´ cuerpo de referencia se refiera o eel movimiento. Lo cual es, repetimos, evidente y no debemos confundirlocon la proposici´n, mucho m´s profunda, que hemos llamado “principio de o arelatividad” y en la que hemos basado nuestras consideraciones. El principio que nosotros hemos utilizado no se limita a sostener quepara la descripci´n de cualquier suceso se puede elegir lo mismo el vag´n o oque el terrapl´n como cuerpo de referencia (porque tambi´n eso es evidente). e eNuestro principio afirma m´s bien que: si se formulan las leyes generales de ala naturaleza, tal y como resultan de la experiencia, sirvi´ndose e a) del terrapl´n como cuerpo de referencia e b) del vag´n como cuerpo de referencia oen ambos casos dichas leyes generales (p. ej., las leyes de la Mec´nica o la aley de la propagaci´n de la luz en el vac´ tienen exactamente el mismo o ıo) 30
  • 32. 31enunciado. Dicho de otra manera: en la descripci´n f´ o ısica de los procesosnaturales no hay ning´n cuerpo de referencia K o K que se distinga del otro. uEste ultimo enunciado no tiene que cumplirse necesariamente a priori, como ´ocurre con el primero; no est´ contenido en los conceptos de “movimiento” ay “cuerpo de referencia”, ni puede deducirse de ellos, sino que su verdad ofalsedad depende s´lo de la experiencia. o Ahora bien, nosotros no hemos afirmado hasta ahora para nada la equi-valencia de todos los cuerpos de referencia K de cara a la formulaci´n de las oleyes naturales. El camino que hemos seguido ha sido m´s bien el siguiente. aPartimos inicialmente del supuesto de que existe un cuerpo de referencia Kcon un estado de movimiento respecto al cual se cumple el principio funda-mental de Galileo: un punto material abandonado a su suerte y alejado losuficiente de todos los dem´s se mueve uniformemente y en l´ a ınea recta. Refe-ridas a K (cuerpo de referencia de Galileo), las leyes de la naturaleza deb´ ıanser lo m´s sencillas posible. Pero al margen de K, deber´ ser privilegiados a ıanen este sentido y exactamente equivalentes a K de cara a la formulaci´n de olas leyes de la naturaleza todos aquellos cuerpos de referencia K que ejecu-tan respecto a K un movimiento rectil´ ıneo, uniforme e irrotacional: a todosestos cuerpos de referencia se los considera cuerpos de referencia de Galileo.La validez del principio de la relatividad solamente la supusimos para estoscuerpos de referencia, no para otros (animados de otros movimientos). Eneste sentido hablamos del principio de la relatividad especial o de la teor´ ıade la relatividad especial. En contraposici´n a lo anterior entenderemos por “principio de la relati- ovidad general” el siguiente enunciado: todos los cuerpos de referencia K, K’,etc., sea cual fuere su estado de movimiento, son equivalentes de cara a ladescripci´n de la naturaleza (formulaci´n de las leyes naturales generales). o oApresur´monos a se˜alar, sin embargo, que esta formulaci´n es preciso susti- e n otuirla por otra m´s abstracta, por razones que saldr´n a la luz m´s adelante. a a a Una vez que la introducci´n del principio de la relatividad especial ha osalido airosa, tiene que ser tentador, para cualquier esp´ ıritu que aspire a lageneralizaci´n, el atreverse a dar el paso que lleva al principio de la relati- ovidad general. Pero basta una observaci´n muy simple, en apariencia per- ofectamente veros´ ımil, para que el intento parezca en principio condenado alfracaso. Imag´ ınese el lector instalado en ese famoso vag´n de tren que viaja ocon velocidad uniforme. Mientras el vag´n mantenga su marcha uniforme, los oocupantes no notar´n para nada el movimiento del tren; lo cual explica asi- amismo que el ocupante pueda interpretar la situaci´n en el sentido de que el ovag´n est´ en reposo y que lo que se mueve es el terrapl´n, sin sentir por ello o a eque violenta su intuici´n. Y seg´n el principio de la relatividad especial, esta o uinterpretaci´n est´ perfectamente justificada desde el punto de vista f´ o a ısico.
  • 33. 32 Ahora bien, si el movimiento del vag´n se hace no uniforme porque el otren frena violentamente, pongamos por caso, el viajero experimentar´ un atir´n igual de fuerte hacia adelante. El movimiento acelerado del vag´n se o omanifiesta en el comportamiento mec´nico de los cuerpos respecto a ´l; el a ecomportamiento mec´nico es distinto que en el caso antes considerado, y apor eso parece estar excluido que con relaci´n al vag´n en movimiento no o ouniforme valgan las mismas leyes mec´nicas que respecto al vag´n en reposo a oo en movimiento uniforme. En cualquier caso, est´ claro que en relaci´n al a ovag´n que se mueve no uniformemente no vale el principio fundamental de oGalileo. De ah´ que en un primer momento nos sintamos impelidos a atribuir, ıen contra del principio de la relatividad general, una especie de realidad f´ ısicaabsoluta al movimiento no uniforme. En lo que sigue veremos, sin embargo,que esta inferencia no es correcta.19. El campo gravitatorio A la pregunta de por qu´ cae al suelo una piedra levantada y soltada en eel aire suele contestarse “porque es atra´ por la Tierra”. La f´ ıda ısica modernaformula la respuesta de un modo algo distinto, por la siguiente raz´n. A trav´s o ede un estudio m´s detenido de los fen´menos electromagn´ticos se ha llegado a o ea la conclusi´n de que no existe una acci´n inmediata a distancia. Cuando o oun im´n atrae un trozo de hierro, por ejemplo, no puede uno contentarse con ala explicaci´n de que el im´n act´a directamente sobre el hierro a trav´s del o a u eespacio intermedio vac´ lo que se hace es, seg´n idea de Faraday, imaginar ıo; uque el im´n crea siempre en el espacio circundante algo f´ a ısicamente real quese denomina “campo magn´tico”. Este campo magn´tico act´a a su vez sobre e e uel trozo de hierro, que tiende a moverse hacia el im´n. No vamos a entrar aaqu´ en la justificaci´n de este concepto interviniente que en s´ es arbitrario. ı o ıSe˜alemos tan s´lo que con su ayuda es posible explicar te´ricamente de modo n o omucho m´s satisfactorio los fen´menos electromagn´ticos, y en especial la a o epropagaci´n de las ondas electromagn´ticas. De manera an´loga se interpreta o e atambi´n la acci´n de la gravedad. e o La influencia de la Tierra sobre la piedra se produce indirectamente. LaTierra crea alrededor suyo un campo gravitatorio. Este campo act´a sobre la upiedra y ocasiona su movimiento de ca´ ıda. La intensidad de la acci´n sobre oun cuerpo decrece al alejarse m´s y m´s de la Tierra, y decrece seg´n una ley a a udeterminada. Lo cual, en nuestra interpretaci´n, quiere decir que: la ley que orige las propiedades espaciales del campo gravitatorio tiene que ser una leymuy determinada para representar correctamente la disminuci´n de la acci´n o ogravitatoria con la distancia al cuerpo que ejerce la acci´n. Se supone, por oejemplo, que el cuerpo (la Tierra, pongamos por caso) genera directamente
  • 34. 33el campo en su vecindad inmediata; la intensidad y direcci´n del campo a odistancias m´s grandes vienen entonces determinadas por la ley que rige las apropiedades espaciales de los campos gravitatorios. El campo gravitatorio, al contrario que el campo el´ctrico y magn´tico, e emuestra una propiedad sumamente peculiar que es de importancia funda-mental para lo que sigue. Los cuerpos que se mueven bajo la acci´n exclusiva odel campo gravitatorio experimentan una aceleraci´n que no depende lo m´s o am´ınimo ni del material ni del estado f´ ısico del cuerpo. Un trozo de plomo yun trozo de madera, por ejemplo, caen exactamente igual en el campo gra-vitatorio (en ausencia de aire) cuando los dejamos caer sin velocidad inicialo con velocidades iniciales iguales. Esta ley, que se cumple con extremadaexactitud, se puede formular tambi´n de otra manera sobre la base de la esiguiente consideraci´n. o Seg´n la ley del movimiento de Newton se cumple u (fuerza) = (masa inercial) · (aceleraci´n) odonde la “masa inercial” es una constante caracter´ıstica del cuerpo acelerado.Si la fuerza aceleradora es la de la gravedad, tenemos, por otro lado, que (masa gravitatoria) (fuerza) = · (intensidad del campo gravitatorio) (masa inercial) Pues bien, si queremos que para un campo gravitatorio dado la aceleraci´n osea siempre la misma, independientemente de la naturaleza y del estado delcuerpo, tal y como demuestra la experiencia, la relaci´n entre la masa gravi- otatoria y la masa inercial tiene que ser tambi´n igual para todos los cuerpos. eMediante adecuada elecci´n de las unidades puede hacerse que esta relaci´n o ovalga 1, siendo entonces v´lido el teorema siguiente: la masa gravitatoria y ala masa inercial de un cuerpo son iguales. La antigua mec´nica registr´ este importante principio, pero no lo in- a oterpret´. Una interpretaci´n satisfactoria no puede surgir sino reconociendo o oque la misma cualidad del cuerpo se manifiesta como “inercia” o como “gra-vedad”, seg´n las circunstancias. En los p´rrafos siguientes veremos hasta u aqu´ punto es ese el caso y qu´ relaci´n guarda esta cuesti´n con el postulado e e o ode la relatividad general.20. La igualdad entre masa inercial y masa gravitatoria como ar-gumento a favor del postulado de la relatividad general Imaginemos un trozo amplio de espacio vac´ tan alejado de estrellas y ıo,de grandes masas que podamos decir con suficiente exactitud que nos en-contramos ante el caso previsto en la ley fundamental de Galileo. Para esta
  • 35. 34parte del universo es entonces posible elegir un cuerpo de referencia de Ga-lileo con respecto al cual los puntos en reposo permanecen en reposo y lospuntos en movimiento persisten constantemente en un movimiento uniformey rectil´ıneo. Como cuerpo de referencia nos imaginamos un espacioso caj´n ocon la forma de una habitaci´n; y suponemos que en su interior se halla oun observador pertrechado de aparatos. Para ´l no existe, como es natural, eninguna gravedad. Tiene que sujetarse con cuerdas al piso, so pena de verselanzado hacia el techo al m´ ınimo golpe contra el suelo. Supongamos que en el centro del techo del caj´n, por fuera, hay un gancho ocon una cuerda, y que un ser —cuya naturaleza nos es indiferente— empiezaa tirar de ella con fuerza constante. El caj´n, junto con el observador, em- opezar´ a volar hacia “arriba” con movimiento uniformemente acelerado. Su avelocidad adquirir´ con el tiempo cotas fant´sticas. . . siempre que juzguemos a atodo ello desde otro cuerpo de referencia del cual no se tire con una cuerda. Pero el hombre que est´ en el caj´n ¿c´mo juzga el proceso? El suelo del a o ocaj´n le transmite la aceleraci´n por presi´n contra los pies. Por consiguiente, o o otiene que contrarrestar esta presi´n con ayuda de sus piernas si no quiere omedir el suelo con su cuerpo. As´ pues, estar´ de pie en el caj´n igual que lo ı a oest´ una persona en una habitaci´n de cualquier vivienda terrestre. Si suelta a oun cuerpo que antes sosten´ en la mano, la aceleraci´n del caj´n dejar´ de ıa o o aactuar sobre aqu´l, por lo cual se aproximar´ al suelo en movimiento relativo e aacelerado. El observador se convencer´ tambi´n de que la aceleraci´n del a e ocuerpo respecto al suelo es siempre igual de grande, independientemente delcuerpo con que realice el experimento. Apoy´ndose en sus conocimientos del campo gravitatorio, tal y como los ahemos comentado en el ultimo ep´ ´ ıgrafe, el hombre llegar´ as´ a la conclusi´n a ı ode que se halla, junto con el caj´n, en el seno de un campo gravitatorio obastante constante. Por un momento se sorprender´, sin embargo, de que el acaj´n no caiga en este campo gravitatorio, mas luego descubre el gancho en oel centro del techo y la cuerda tensa sujeta a ´l e infiere correctamente que eel caj´n cuelga en reposo en dicho campo. o ¿Es l´ıcito re´ del hombre y decir que su concepci´n es un error? Opi- ırse ono que, si queremos ser consecuentes, no podemos hacerlo, debiendo admitirpor el contrario que su explicaci´n no atenta ni contra la raz´n ni contra las o oleyes mec´nicas conocidas. Aun cuando el caj´n se halle acelerado respecto a oal “espacio de Galileo” considerado en primer lugar, cabe contemplarlo comoinm´vil. Tenemos, pues, buenas razones para extender el principio de rela- otividad a cuerpos de referencia que est´n acelerados unos respecto a otros, ehabiendo ganado as´ un potente argumento a favor de un postulado de rela- ıtividad generalizado. T´mese buena nota de que la posibilidad de esta interpretaci´n descansa o o
  • 36. 35en la propiedad fundamental que posee el campo gravitatorio de comunicara todos los cuerpos la misma aceleraci´n, o lo que viene a ser lo mismo, en oel postulado de la igualdad entre masa inercial y masa gravitatoria. Si noexistiera esta ley de la naturaleza, el hombre en el caj´n acelerado no podr´ o ıainterpretar el comportamiento de los cuerpos circundantes a base de suponerla existencia de un campo gravitatorio, y ninguna experiencia le autorizar´ ıaa suponer que su cuerpo de referencia est´ “en reposo”. a Imaginemos ahora que el hombre del caj´n ata una cuerda en la parte ointerior del techo y fija un cuerpo en el extremo libre. El cuerpo har´ que la acuerda cuelgue “verticalmente” en estado tenso. Pregunt´monos por la causa ede la tensi´n. El hombre en el caj´n dir´: “El cuerpo suspendido experimenta o o aen el campo gravitatorio una fuerza hacia abajo y se mantiene en equilibriodebido a la tensi´n de la cuerda; lo que determina la magnitud de la tensi´n o oes la masa gravitatoria del cuerpo suspendido”. Por otro lado, un observadorque flote libremente en el espacio juzgar´ la situaci´n as´ “La cuerda se ve a o ı:obligada a participar del movimiento acelerado del caj´n y lo transmite al ocuerpo sujeto a ella. La tensi´n de la cuerda es justamente suficiente para oproducir la aceleraci´n del cuerpo. Lo que determina la magnitud de la ten- osi´n en la cuerda es la masa inercial del cuerpo”. En este ejemplo vemos oque la extensi´n del principio de relatividad pone de manifiesto la necesidad odel postulado de la igualdad entre masa inercial y gravitatoria. Con lo cualhemos logrado una interpretaci´n f´ o ısica de este postulado. El ejemplo del caj´n acelerado demuestra que una teor´ de la relatividad o ıageneral ha de proporcionar resultados importantes en punto a las leyes dela gravitaci´n. Y en efecto, el desarrollo consecuente de la idea de la relati- ovidad general ha suministrado las leyes que satisface el campo gravitatorio.Sin embargo, he de prevenir desde este mismo momento al lector de unaconfusi´n a que pueden inducir estas consideraciones. Para el hombre del ocaj´n existe un campo gravitatorio, pese a no existir tal respecto al siste- oma de coordenadas inicialmente elegido. Dir´ ıase entonces que la existenciade un campo gravitatorio es siempre meramente aparente. Podr´ pensarse ıaque, independientemente del campo gravitatorio que exista, siempre cabr´ ıaelegir otro cuerpo de referencia de tal manera que respecto a ´l no existiese eninguno. Pues bien, eso no es cierto para cualquier campo gravitatorio, sinos´lo para aquellos que poseen una estructura muy especial. Es imposible, por oejemplo, elegir un cuerpo de referencia respecto al cual el campo gravitatoriode la Tierra desaparezca (en toda su extensi´n). o Ahora nos damos cuenta de por qu´ el argumento esgrimido al final de e§18 contra el principio de la relatividad general no es concluyente. Sin dudaes cierto que el observador que se halla en el vag´n siente un tir´n hacia o oadelante como consecuencia del frenazo, y es verdad que en eso nota la no
  • 37. 36uniformidad del movimiento. Pero nadie le obliga a atribuir el tir´n a una ace- oleraci´n “real” del vag´n. Igual podr´ interpretar el episodio as´ “Mi cuerpo o o ıa ı:de referencia (el vag´n) permanece constantemente en reposo. Sin embargo, o(durante el tiempo de frenada) existe respecto a ´l un campo gravitatorio etemporalmente variable, dirigido hacia adelante. Bajo la influencia de esteultimo, el terrapl´n, junto con la Tierra, se mueve no uniformemente, de´ esuerte que su velocidad inicial, dirigida hacia atr´s, disminuye cada vez m´s. a aEste campo gravitatorio es tambi´n el que produce el tir´n del observador”. e o21. ¿Hasta qu´ punto son insatisfactorias las bases de la Mec´nica e ay de la teor´ de la relatividad especial? ıa Como ya hemos dicho en varias ocasiones, la Mec´nica cl´sica parte del a aprincipio siguiente: los puntos materiales suficientemente alejados de otrospuntos materiales se mueven uniformemente y en l´ ınea recta o persisten enestado de reposo. Tambi´n hemos subrayado repetidas veces que este princi- epio fundamental s´lo puede ser v´lido para cuerpos de referencia K que se o aencuentran en determinados estados de movimiento y que se hallan en mo-vimiento de traslaci´n uniforme unos respecto a otros. Con relaci´n a otros o ocuerpos de referencia K no vale el principio. Tanto en la Mec´nica cl´sica a acomo en la teor´ de la relatividad especial se distingue, por tanto, entre cuer- ıapos de referencia K respecto a los cuales son v´lidas las leyes de la naturaleza ay cuerpos de referencia K respecto a los cuales no lo son. Ahora bien, ninguna persona que piense con un m´ ınimo de l´gica se odar´ por satisfecha con este estado de cosas, y preguntar´: ¿C´mo es posible a a oque determinados cuerpos de referencia (o bien sus estados de movimiento)sean privilegiados frente a otros (o frente a sus estados de movimiento res-pectivos)? ¿Cu´l es la raz´n de ese privilegio? Para mostrar claramente lo a oque quiero decir con esta pregunta, me servir´ de una comparaci´n. e o Estoy ante un hornillo de gas. Sobre ´l se encuentran, una al lado de la eotra, dos ollas de cocina id´nticas, hasta el punto de que podr´ e ıamos confun-dirlas. Ambas est´n llenas de agua hasta la mitad. Advierto que de una de aellas sale ininterrumpidamente vapor, mientras que de la otra no, lo cual mellamar´ la atenci´n aunque jam´s me haya echado a la cara un hornillo de gas a o ani una olla de cocina. Si entonces percibo un algo que brilla con luz azuladabajo la primera olla, pero no bajo la segunda, se desvanecer´ mi asombro aun aen el caso de que jam´s haya visto una llama de gas, pues ahora podr´ decir a eque ese algo azulado es la causa, o al menos la posible causa de la emanaci´n ode vapor. Pero si no percibo bajo ninguna de las dos ollas ese algo azulado yveo que la una no cesa de echar vapor mientras que en la otra no es as´ en- ı,tonces no saldr´ del asombro y de la insatisfacci´n hasta que detecte alguna e o
  • 38. 37circunstancia a la que pueda hacer responsable del dispar comportamientode las dos ollas. An´logamente, busco en vano en la Mec´nica cl´sica (o en la teor´ de la a a a ıarelatividad especial) un algo real al que poder atribuir el dispar comporta-miento de los cuerpos respecto a los sistemas15 K y K . Esta objeci´n la vio oya Newton, quien intent´ en vano neutralizarla. Pero fue E. Mach el que la odetect´ con mayor claridad, proponiendo como soluci´n colocar la Mec´ni- o o aca sobre fundamentos nuevos. La objeci´n solamente se puede evitar en una of´ ısica que se corresponda con el principio de la relatividad general, porque lasecuaciones de una teor´ semejante valen para cualquier cuerpo de referencia, ıasea cual fuere su estado de movimiento.22. Algunas conclusiones del principio de la relatividad general Las consideraciones hechas en el §20 muestran que el principio de la rela-tividad general nos permite deducir propiedades del campo gravitatorio porv´ puramente te´rica. Supongamos, en efecto, que conocemos la evoluci´n ıa o oespacio-temporal de un proceso natural cualquiera, tal y como ocurre en elterreno galileano respecto a un cuerpo de referencia de Galileo K. En estascondiciones es posible averiguar mediante operaciones puramente te´ricas, es odecir, por simples c´lculos, c´mo se comporta este proceso natural conocido a orespecto a un cuerpo de referencia K que est´ acelerado con relaci´n a K a oY como respecto a este nuevo cuerpo de referencia K existe un campo gra-vitatorio, el c´lculo nos informa de c´mo influye el campo gravitatorio en el a oproceso estudiado. As´ descubrimos, por poner un caso, que un cuerpo que respecto a K ıejecuta un movimiento uniforme y rectil´ ıneo (seg´n el principio de Galileo), uejecuta respecto al cuerpo de referencia acelerado K (caj´n) un movimiento oacelerado, de trayectoria generalmente curvada. Esta aceleraci´n, o esta cur- ovatura, responde a la influencia que sobre el cuerpo m´vil ejerce el campo ogravitatorio que existe respecto a K . Que el campo gravitatorio influye deeste modo en el movimiento de los cuerpos es ya sabido, de modo que lareflexi´n no aporta nada fundamentalmente nuevo. o S´ se obtiene, en cambio, un resultado nuevo y de importancia capital al ıhacer consideraciones equivalentes para un rayo de luz. Respecto al cuerpo dereferencia de Galileo K, se propaga en l´ınea recta con velocidad c. Respectoal caj´n acelerado (cuerpo de referencia K ), la trayectoria del mismo rayo de oluz ya no es una recta, como se deduce f´cilmente. De aqu´ se infiere que los a ı 15 La objeci´n adquiere especial contundencia cuando el estado de movimiento del cuerpo ode referencia es tal que para mantenerlo no requiere de ninguna influencia exterior, porejemplo en el caso de que el cuerpo de referencia rote uniformemente.
  • 39. 38rayos de luz en el seno de campos gravitatorios se propagan en general seg´n ul´ ıneas curvas. Este resultado es de gran importancia por dos conceptos. En primer lugar, cabe contrastarlo con la realidad. Aun cuando una re-flexi´n detenida demuestra que la curvatura que predice la teor´ de la rela- o ıatividad general para los rayos luminosos es ´ ınfima en el caso de los camposgravitatorios que nos brinda la experiencia, tiene que ascender a 1,7 segun-dos de arco para rayos de luz que pasan por las inmediaciones del Sol. Esteefecto deber´ traducirse en el hecho de que las estrellas fijas situadas en las ıacercan´ del Sol, y que son observables durante eclipses solares totales, apa- ıasrezcan alejadas de ´l en esa cantidad, comparado con la posici´n que ocupan e opara nosotros en el cielo cuando el Sol se halla en otro lugar de la b´vedaoceleste. La comprobaci´n de la verdad o falsedad de este resultado es una otarea de la m´xima importancia, cuya soluci´n es de esperar que nos la den a omuy pronto los astr´nomos 16 . o En segundo lugar, la consecuencia anterior demuestra que, seg´n la teor´ u ıade la relatividad general, la tantas veces mencionada ley de la constancia dela velocidad de la luz en el vac´ —que constituye uno de los dos supuestos ıob´sicos de la teor´ de la relatividad especial— no puede aspirar a validez a ıailimitada, pues los rayos de luz solamente pueden curvarse si la velocidad depropagaci´n de ´sta var´ con la posici´n. Cabr´ pensar que esta consecuen- o e ıa o ıacia da al traste con la teor´ de la relatividad especial y con toda la teor´ de ıa ıala relatividad en general. Pero en realidad no es as´ Tan s´lo cabe inferir que ı. ola teor´ de la relatividad especial no puede arrogarse validez en un campo ıailimitado; sus resultados s´lo son v´lidos en la medida en que se pueda pres- o acindir de la influencia de los campos gravitatorios sobre los fen´menos (los oluminosos, por ejemplo). Habida cuenta de que los detractores de la teor´ de la relatividad han ıaafirmado a menudo que la relatividad general tira por la borda la teor´ de la ıarelatividad especial, voy a aclarar el verdadero estado de cosas mediante unacomparaci´n. Antes de quedar establecida la Electrodin´mica, las leyes de la o aElectrost´tica pasaban por ser las leyes de la Electricidad en general. Hoy asabemos que la Electrost´tica s´lo puede explicar correctamente los campos a oel´ctricos en el caso —que en rigor jam´s se da— de que las masas el´ctricas e a eest´n estrictamente en reposo unas respecto a otras y en relaci´n al sistema de e ocoordenadas. ¿Quiere decir eso que las ecuaciones de campo electrodin´micas ade Maxwell hayan tirado por la borda a la Electrost´tica? ¡De ning´n modo! a uLa Electrost´tica se contiene en la Electrodin´mica como caso l´ a a ımite; las 16 La existencia de la desviaci´n de la luz exigida por la teor´ fue comprobada fotogr´fi- o ıa acamente durante el eclipse de Sol del 30 de mayo de 1919 por dos expediciones organizadaspor la Royal Society bajo la direcci´n de los astr´nomos Eddington y Crommelin. o o
  • 40. 39leyes de esta ultima conducen directamente a las de aqu´lla en el supuesto ´ ede que los campos sean temporalmente invariables. El sino m´s hermoso de auna teor´ f´ ıa ısica es el de se˜alar el camino para establecer otra m´s amplia, n aen cuyo seno pervive como caso l´ ımite. En el ejemplo que acabamos de comentar, el de la propagaci´n de la luz, ohemos visto que el principio de la relatividad general nos permite derivarpor v´ te´rica la influencia del campo gravitatorio sobre la evoluci´n de ıa o ofen´menos cuyas leyes son ya conocidas para el caso de que no exista cam- opo gravitatorio. Pero el problema m´s atractivo de entre aquellos cuya clave aproporciona la teor´ de la relatividad general tiene que ver con la determi- ıanaci´n de las leyes que cumple el propio campo de gravitaci´n. La situaci´n o o oes aqu´ la siguiente. ı Conocemos regiones espacio-temporales que, previa elecci´n adecuada del ocuerpo de referencia, se comportan (aproximadamente) “al modo galileano”,es decir, regiones en las cuales no existen campos gravitatorios. Si referimosuna regi´n semejante a un cuerpo de referencia de movimiento arbitrario oK , entonces existe respecto a K un campo gravitatorio temporal y espa-cialmente variable17 . La estructura de este campo depende naturalmente dec´mo elijamos el movimiento de K . Seg´n la teor´ de la relatividad general, o u ıala ley general del campo gravitatorio debe cumplirse para todos los camposgravitatorios as´ obtenidos. Aun cuando de esta manera no se pueden engen- ıdrar ni de lejos todos los campos gravitatorios, cabe la esperanza de poderdeducir de estos campos de clase especial la ley general de la gravitaci´n.o¡Y esta esperanza se ha visto bell´ ısimamente cumplida! Pero desde que sevislumbr´ claramente esta meta hasta que se lleg´ de verdad a ella hubo que o osuperar una seria dificultad que no debo ocultar al lector, por estar arraigadaen la esencia misma del asunto. La cuesti´n requiere profundizar nuevamente oen los conceptos del continuo espacio-temporal.23. El comportamiento de relojes y reglas sobre un cuerpo de re-ferencia en rotaci´n o Hasta ahora me he abstenido intencionadamente de hablar de la interpre-taci´n f´ o ısica de localizaciones espaciales y temporales en el caso de la teor´ ıade la relatividad general. Con ello me he hecho culpable de un cierto desali˜o nque, seg´n sabemos por la teor´ de la relatividad especial, no es en modo u ıaalguno banal ni perdonable. Hora es ya de llenar esta laguna; pero advier-to de antemano que el asunto demanda no poca paciencia y capacidad deabstracci´n por parte del lector. o 17 Esto se sigue por generalizaci´n del razonamiento expuesto en §20. o
  • 41. 40 Partimos una vez m´s de casos muy especiales y muy socorridos. Imagine- amos una regi´n espacio-temporal en la que, respecto a un cuerpo de referencia oK que posea un estado de movimiento convenientemente elegido, no existaning´n campo gravitatorio; en relaci´n a la regi´n considerada, K es entonces u o oun cuerpo de referencia de Galileo, siendo v´lidos respecto a ´l los resulta- a edos de la teor´ de la relatividad especial. Imaginemos la misma regi´n, pero ıa oreferida a un segundo cuerpo de referencia K que rota uniformemente res-pecto a K. Para fijar las ideas, supongamos que K es un disco circular quegira uniformemente alrededor de su centro y en su mismo plano. Un obser-vador sentado en posici´n exc´ntrica sobre el disco circular K experimenta o euna fuerza que act´a en direcci´n radial hacia afuera y que otro observador u oque se halle en reposo respecto al cuerpo de referencia original K interpretacomo acci´n inercial (fuerza centr´ o ıfuga). Supongamos, sin embargo, que elobservador sentado en el disco considera ´ste como un cuerpo de referencia e“en reposo”, para lo cual est´ autorizado por el principio de relatividad. La afuerza que act´a sobre ´l —y en general sobre los cuerpos que se hallan en u ereposo respecto al disco— la interpreta como la acci´n de un campo gravita- otorio. La distribuci´n espacial de este campo no ser´ posible seg´n la teor´ o ıa u ıanewtoniana de la gravitaci´n18 . Pero como el observador cree en la teor´ de o ıala relatividad general, no le preocupa este detalle; espera, con raz´n, poder oestablecer una ley general de la gravitaci´n que explique correctamente no os´lo el movimiento de los astros, sino tambi´n el campo de fuerzas que ´l o e epercibe. Este observador, instalado en su disco circular, experimenta con relojesy reglas, con la intenci´n de obtener, a partir de lo observado, definiciones oexactas para el significado de los datos temporales y espaciales respecto aldisco circular K . ¿Qu´ experiencias tendr´ en ese intento? e a Imaginemos que el observador coloca primero dos relojes de id´ntica cons- etituci´n, uno en el punto medio del disco circular, el otro en la periferia del omismo, de manera que ambos se hallan en reposo respecto al disco. En pri-mer lugar nos preguntamos si estos dos relojes marchan o no igual de r´pido adesde el punto de vista del cuerpo de referencia de Galileo K, que no rota.Juzgado desde K, el reloj situado en el centro no tiene ninguna velocidad,mientras que el de la periferia, debido a la rotaci´n respecto a K, est´ en o amovimiento. Seg´n un resultado de §12, este segundo reloj marchar´ cons- u atantemente m´s despacio —respecto a K — que el reloj situado en el centro adel disco circular. Lo mismo deber´ evidentemente constatar el hombre del ıadisco, a quien vamos a imaginar sentado en el centro, junto al reloj que hay 18 El campo se anula en el centro del disco y aumenta hacia fuera proporcionalmente ala distancia al punto medio.
  • 42. 41all´ As´ pues, en nuestro disco circular, y con m´s generalidad en cualquier ı. ı acampo gravitatorio, los relojes marchar´n m´s deprisa o m´s despacio seg´n a a a uel lugar que ocupe el reloj (en reposo). Por consiguiente, con ayuda de re-lojes colocados en reposo respecto al cuerpo de referencia no es posible daruna definici´n razonable del tiempo. An´loga dificultad se plantea al intentar o aaplicar aqu´ nuestra anterior definici´n de simultaneidad, tema en el que no ı ovamos a profundizar. Tambi´n la definici´n de las coordenadas espaciales plantea aqu´ proble- e o ımas que en principio son insuperables. Porque si el observador que se muevejunto con el disco coloca su escala unidad (una regla peque˜a, comparada ncon el radio del disco) tangencialmente sobre la periferia de ´ste, su longitud, ejuzgada desde el sistema de Galileo, ser´ m´s corta que 1, pues seg´n §12 a a ulos cuerpos en movimiento experimentan un acortamiento en la direcci´n del omovimiento. Si en cambio coloca la regla en la direcci´n del radio del dis- oco, no habr´ acortamiento respecto a K. Por consiguiente, si el observador amide primero el per´ ımetro del disco, luego su di´metro y divide estas dos amedidas, obtendr´ como cociente, no el conocido n´mero π = 3, 14 . . . , sino a u 19un n´mero mayor , mientras que en un disco inm´vil respecto a K deber´ u o ıaresultar exactamente π en esta operaci´n, como es natural. Con ello queda ya oprobado que los teoremas de la geometr´ eucl´ ıa ıdea no pueden cumplirse exac-tamente sobre el disco rotatorio ni, en general, en un campo gravitacional, almenos si se atribuye a la reglilla la longitud 1 en cualquier posici´n y orien- otaci´n. Tambi´n el concepto de l´ o e ınea recta pierde con ello su significado. Noestamos, pues, en condiciones de definir exactamente las coordenadas x, y, zrespecto al disco, utilizando el m´todo empleado en la teor´ de la relatividad e ıaespecial. Y mientras las coordenadas y los tiempos de los sucesos no est´n edefinidos, tampoco tienen significado exacto las leyes de la naturaleza en lasque aparecen esas coordenadas. Todas las consideraciones que hemos hecho anteriormente sobre la relati-vidad general parecen quedar as´ en tela de juicio. En realidad hace falta dar ıun sutil rodeo para aplicar exactamente el postulado de la relatividad general.Las siguientes consideraciones preparar´n al lector para este cometido. a 24. El continuo eucl´ ıdeo y el no eucl´ ıdeo Delante de m´ tengo la superficie de una mesa de m´rmol. Desde cualquier ı apunto de ella puedo llegar hasta cualquier otro a base de pasar un n´mero u(grande) de veces hasta un punto “vecino”, o dicho de otro modo, yendo 19 En todo este razonamiento hay que utilizar el sistema de Galileo K (que no rota) comocuerpo de coordenadas, porque la validez de los resultados de la teor´ de la relatividad ıaespecial s´lo cabe suponerla respecto a K (en relaci´n a K existe un campo gravitatorio). o o
  • 43. 42de un punto a otro sin dar “saltos”. El lector (siempre que no sea demasia-do exigente) percibir´ sin duda con suficiente precisi´n lo que se entiende a oaqu´ por “vecino” y “saltos”. Esto lo expresamos diciendo que la superficie ıes un continuo. Imaginemos ahora que fabricamos un gran n´mero de varillas cuyo ta- uma˜o sea peque˜o comparado con las medidas de la mesa, y todas ellas igual n nde largas. Por esto ultimo se entiende que se pueden enrasar los extremos de ´cada dos de ellas. Colocamos ahora cuatro de estas varillas sobre la superficiede la mesa, de modo que sus extremos formen un cuadril´tero cuyas diago- anales sean iguales (cuadrado). Para conseguir la igualdad de las diagonalesnos servimos de una varilla de prueba. Pegados a este cuadrado construimosotros iguales que tengan en com´n con ´l una varilla; junto a estos ultimos u e ´otros tantos, etc. Finalmente tenemos todo el tablero cubierto de cuadrados,de tal manera que cada lado interior pertenece a dos cuadrados y cada v´rtice einterior, a cuatro. El que se pueda llevar a cabo esta operaci´n sin tropezar con grand´ o ısimasdificultades es un verdadero milagro. Basta con pensar en lo siguiente. Cuan-do en un v´rtice convergen tres cuadrados, est´n ya colocados dos lados del e acuarto, lo cual determina totalmente la colocaci´n de los dos lados restantes ode ´ste. Pero ahora ya no puedo retocar el cuadril´tero para igualar sus dia- e agonales. Si lo son de por s´ ser´ en virtud de un favor especial de la mesa y ı, ade las varillas, ante el cual me tendr´ que mostrar maravillado y agradecido. eY para que la construcci´n se logre, tenemos que asistir a muchos milagros oparecidos. Si todo ha ido realmente sobre ruedas, entonces digo que los puntos deltablero forman un continuo euclidiano respecto a la varilla utilizada comosegmento. Si destaco uno de los v´rtices de la malla en calidad de “punto ede origen”, cualquier otro podr´ caracterizarlo, respecto al punto de origen, emediante dos n´meros. Me basta con especificar cu´ntas varillas hacia “la de- u arecha” y cu´ntas luego hacia “arriba” tengo que recorrer a partir del origen apara llegar al v´rtice en cuesti´n. Estos dos n´meros son entonces “las coor- e o udenadas cartesianas” de ese v´rtice con respecto al “sistema de coordenadas” edeterminado por las varillas colocadas. La siguiente modificaci´n del experimento mental demuestra que tambi´n o ehay casos en los que fracasa esta tentativa. Supongamos que las varillas “sedilatan” con la temperatura y que se calienta el tablero en el centro pero noen los bordes. Sigue siendo posible enrasar dos de las varillas en cualquierlugar de la mesa, pero nuestra construcci´n de cuadrados quedar´ ahora o airremisiblemente desbaratada, porque las varillas de la parte interior de lamasa se dilatan, mientras que las de la parte exterior, no. Respecto a nuestras varillas —definidas como segmentos unidad— la me-
  • 44. 43sa ya no es un continuo euclidiano, y tampoco estamos ya en condiciones dedefinir directamente con su ayuda unas coordenadas cartesianas, porque nopodemos realizar la construcci´n anterior. Sin embargo, como existen otros oobjetos sobre los cuales la temperatura de la mesa no influye de la mismamanera que sobre las varillas (o sobre los cuales no influye ni siquiera), esposible, sin forzar las cosas, mantener aun as´ la idea de que la mesa es un ı“continuo euclidiano”, y es posible hacerlo de modo satisfactorio medianteuna constataci´n m´s sutil acerca de la medici´n o comparaci´n de segmen- o a o otos. Ahora bien, si todas las varillas, de cualquier clase o material, mostraranid´ntico comportamiento termosensible sobre la mesa irregularmente tempe- erada, y si no tuvi´ramos otro medio de percibir la acci´n de la temperatura e oque el comportamiento geom´trico de las varillas en experimentos an´logos e aal antes descrito, entonces podr´ ser conveniente adscribir a dos puntos de ıala mesa la distancia 1 cuando fuese posible enrasar con ellos los extremosde una de nuestras varillas; porque ¿c´mo definir si no el segmento, sin caer oen la m´s crasa de las arbitrariedades? En ese caso hay que abandonar, sin aembargo, el m´todo de las coordenadas cartesianas y sustituirlo por otro que eno presuponga la validez de la geometr´ euclidiana20 . El lector advertir´ que ıa ala situaci´n aqu´ descrita se corresponde con aquella que ha tra´ consigo el o ı ıdopostulado de la relatividad general (§23). 25. Coordenadas gaussianas Este tratamiento geom´trico-anal´ e ıtico se puede conseguir, seg´n Gauss, ude la siguiente manera. Imaginemos dibujadas sobre el tablero de la mesa unsistema de curvas arbitrarias (v´ase Fig. 3), que llamamos curvas u y a cada euna de las cuales caracterizamos con un n´mero. En la figura est´n dibujadas u alas curvas u = 1, u = 2 y u = 3. Pero entre las curvas u = 1 y u = 2 hay 20 Nuestro problema se les plante´ a los matem´ticos de la siguiente manera. Dada una o asuperficie —por ejemplo, la de un elipsoide— en el espacio de medida tridimensional eu-clidiano, existe sobre ella una geometr´ bidimensional, exactamente igual que en el plano. ıaGauss se plante´ el problema de tratar te´ricamente esta geometr´ bidimensional sin uti- o o ıalizar el hecho de que la superficie pertenece a un continuo euclidiano de tres dimensiones.Si imaginamos que en la superficie (igual que antes sobre la mesa) realizamos construccio-nes con varillas r´ıgidas, las leyes que valen para ellas son distintas de las de la geometr´ ıaeuclidiana del plano. La superficie no es, respecto a las varillas, un continuo euclidiano,ni tampoco se pueden definir coordenadas cartesianas en la superficie. Gauss mostr´ los oprincipios con arreglo a los cuales se pueden tratar las condiciones geom´tricas en la super- eficie, se˜alando as´ el camino hacia el tratamiento riemanniano de continuos no euclidianos n ımultidimensionales. De ah´ que los matem´ticos tengan resueltos desde hace mucho los ı aproblemas formales a que conduce el postulado de la relatividad general.
  • 45. 44que imaginarse dibujadas infinitas m´s, correspondientes a todos los n´meros a ureales que est´n comprendidos entre 1 y 2. Tenemos entonces un sistema de acurvas u que recubren la mesa de manera infinitamente densa. Ninguna curvau corta a ninguna otra, sino que por cada punto de la mesa pasa una curvay s´lo una. A cada punto de la superficie de la mesa le corresponde entonces oun valor u perfectamente determinado. Supongamos tambi´n que sobre la esuperficie se ha dibujado un sistema de curvas v que satisfacen las mismascondiciones, que est´n caracterizadas de manera an´loga por n´meros y que a a upueden tener tambi´n una forma arbitraria. e A cada punto de la mesa le corresponde as´ un valor a y un valor v, y ıa estos dos n´meros los llamamos las coordenadas de la mesa (coordenadas ugaussianas). El punto P de la figura, por ejemplo, tiene como coordenadasgaussianas u = 3, v = 1. A dos puntos vecinos P y P de la superficie lescorresponden entonces las coordenadas P = (u, v) P = (u + du, v + dv)donde du y dv representan n´meros muy peque˜os. Sea ds un n´mero tam- u n ubi´n muy peque˜o que representa la distancia entre P y P medida con una e nreglilla. Seg´n Gauss se cumple entonces: u ds2 = g11 du2 + 2g12 du · dv + g22 dv 2donde g11 , g12 , g22 son cantidades que dependen de manera muy determinadade u y de v. Las cantidades g11 , g12 y g22 determinan el comportamientode las varillas respecto a las curvas u y v, y por tanto tambi´n respecto a la esuperficie de la mesa. En el caso de que los puntos de la superficie consideradaconstituyan respecto a las reglillas de medida un continuo euclidiano —y s´lo o
  • 46. 45en ese caso— ser´ posible dibujar las curvas u y v y asignarles n´meros de a utal manera que se cumpla sencillamente ds2 = du2 + dv 2 Las curvas u y v son entonces l´ ıneas rectas en el sentido de la geometr´ ıaeuclidiana, y perpendiculares entre s´ Y las coordenadas gaussianas ser´n ı. asencillamente coordenadas cartesianas. Como se ve, las coordenadas gaus-sianas no son m´s que una asignaci´n de dos n´meros a cada punto de la a o usuperficie considerada, de tal manera que a puntos espacialmente vecinos seles asigna valores num´ricos que difieren muy poco entre s´ e ı. Estas consideraciones valen en primera instancia para un continuo de dosdimensiones. Pero el m´todo gaussiano se puede aplicar tambi´n a un con- e etinuo de tres, cuatro o m´s. Con un continuo de cuatro dimensiones, por aejemplo, resulta la siguiente representaci´n. A cada punto del continuo se ole asignan arbitrariamente cuatro n´meros x1 , x2 , x3 , x4 que se denominan u“coordenadas”. Puntos vecinos se corresponden con valores vecinos de lascoordenadas. Si a dos puntos vecinos P y P se les asigna una distancia dsf´ ısicamente bien definida, susceptible de ser determinada mediante medicio-nes, entonces se cumple la f´rmula: o ds2 = g11 dx2 + 2g12 dx1 · dx2 + · · · + g44 dx2 1 4donde las cantidades g11 , etc. tienen valores que var´ con la posici´n en el ıan ocontinuo. Solamente en el caso de que el continuo sea euclidiano ser´ posible aasignar las coordenadas x1 . . . x4 a los puntos del continuo de tal manera quese cumpla simplemente ds2 = dx2 + dx2 + dx2 + dx2 1 2 3 4 Las relaciones que se cumplen entonces en el continuo cuadridimensionalson an´logas a las que rigen en nuestras mediciones tridimensionales. a Se˜alemos que la representaci´n gaussiana para ds2 que acabamos de n odar no siempre es posible; s´lo lo es cuando existan regiones suficientemente opeque˜as del continuo en cuesti´n que quepa considerar como continuos eu- n oclidianos. Lo cual se cumple evidentemente en el caso de la mesa y de la tem-peratura localmente variable, por ejemplo, porque en una porci´n peque˜a o nde la mesa es pr´cticamente constante la temperatura, y el comportamiento ageom´trico de las varillas es casi el que exigen las reglas de la geometr´ e ıaeuclidiana. As´ pues, las discordancias en la construcci´n de cuadrados del ı oep´ıgrafe anterior no se ponen claramente de manifiesto mientras la operaci´n ono se extienda a una parte importante de la mesa.
  • 47. 46 En resumen, podemos decir: Gauss invent´ un m´todo para el tratamiento o ede cualquier continuo en el que est´n definidas relaciones de medidas (“dis- etancia” entre puntos vecinos). A cada punto del continuo se le asignan tantosn´meros (coordenadas gaussianas) como dimensiones tenga el continuo. La uasignaci´n se realiza de tal modo que se conserve la univocidad y de manera oque a puntos vecinos les correspondan n´meros (coordenadas gaussianas) que udifieran infinitamente poco entre s´ El sistema de coordenadas gaussianas es ı.una generalizaci´n l´gica del sistema de coordenadas cartesianas. Tambi´n es o o eaplicable a continuos no euclidianos, pero solamente cuando peque˜as por- nciones del continuo considerado se comporten, respecto a la medida definida(“distancia”), tanto m´s euclidianamente cuanto menor sea la parte del con- atinuo considerada.26. El continuo espacio-temporal de la teor´ de la relatividad es- ıapecial como continuo euclidiano Ahora estamos en condiciones de formular con algo m´s de precisi´n las a oideas de Minkowski que esbozamos vagamente en §17. Seg´n la teor´ de la u ıarelatividad especial, en la descripci´n del continuo espacio temporal cuadri- odimensional gozan de privilegio ciertos sistemas de coordenadas que hemosllamado “sistemas de coordenadas de Galileo”. Para ellos, las cuatro coor-denadas x, y, z, t que determinan un suceso —o expresado de otro modo,un punto del continuo cuadridimensional— vienen definidas f´ ısicamente demanera muy simple, como ya se explic´ en la primera parte de este librito. oPara el paso de un sistema de Galileo a otro que se mueva uniformementerespecto al primero son v´lidas las ecuaciones de la transformaci´n de Lo- a orentz, que constituyen la base para derivar las consecuencias de la teor´ de ıala relatividad especial y que por su parte no son m´s que la expresi´n de la a ovalidez universal de la ley de propagaci´n de la luz para todos los sistemas ode referencia de Galileo. Minkowski descubri´ que las transformaciones de Lorentz satisfacen las osencillas condiciones siguientes. Consideremos dos sucesos vecinos, cuya po-sici´n mutua en el continuo cuadridimensional venga dada por las diferencias ode coordenadas espaciales dx, dy, dz y la diferencia temporal dt respecto a uncuerpo de referencia de Galileo K. Respecto a un segundo sistema de Gali-leo, sean dx , dy , dz , dt las correspondientes diferencias para ambos sucesos.
  • 48. 47Entre ellas se cumple entonces siempre la condici´n21 : o dx2 + dy 2 + dz 2 − c2 dt2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 − c2 dt 2 Esta condici´n tiene como consecuencia la validez de la transformaci´n o ode Lorentz. Lo cual podemos expresarlo as´ la cantidad ı: ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 − c2 dt2correspondiente a dos puntos vecinos del continuo espacio-temporal cuadridi-mensional, tiene el mismo valor para todos los cuerpos de referencia privile- √giados (de Galileo). Si se sustituye x, y, z, −1ct por x1 , x2 , x3 , x4 , se obtieneel resultado de que ds2 = dx2 + dx2 + dx2 + dx2 1 2 3 4es independiente de la elecci´n del cuerpo de referencia. A la cantidad ds la ollamamos “distancia” de los dos sucesos o puntos cuadridimensionales. √ As´ pues, si se elige la variable imaginaria −1ct en lugar de la t real como ıvariable temporal, cabe interpretar el continuo espacio-temporal de la teor´ ıade la relatividad especial como un continuo cuadridimensional “euclidiano”,como se desprende de las consideraciones del ultimo ep´ ´ ıgrafe.27. El continuo espacio-temporal de la teor´ de la relatividad no ıaes un continuo euclidiano En la primera parte de este op´sculo nos hemos podido servir de coorde- unadas espacio-temporales que permit´ una interpretaci´n f´ ıan o ısica directa ysimple y que, seg´n §26, pod´ interpretarse como coordenadas cartesianas u ıancuadridimensionales. Esto fue posible en virtud de la ley de la constancia dela velocidad de la luz, ley que, sin embargo, seg´n §21, la teor´ de la relati- u ıavidad general no puede mantener; llegamos, por el contrario, al resultado deque seg´n aqu´lla la velocidad de la luz depende siempre de las coordenadas u ecuando existe un campo gravitatorio. En §23 constatamos adem´s, en un aejemplo especial, que la existencia de un campo gravitatorio hace imposibleesa definici´n de las coordenadas y del tiempo que nos condujo a la meta en ola teor´ de la relatividad especial. ıa Teniendo en cuenta estos resultados de la reflexi´n, llegamos al convenci- omiento de que, seg´n el principio de la relatividad general, no cabe interpre- utar el continuo espacio-temporal como un continuo euclidiano, sino que nos 21 Cf. Ap´ndice. Las relaciones (16) y (17) deducidas all´ para las coordenadas valen e ıtambi´n para diferencias de coordenadas, y por tanto para diferenciales de las mismas e(diferencias infinitamente peque˜as). n
  • 49. 48hallamos aqu´ ante el caso que vimos para el continuo bidimensional de la ımesa con temperatura localmente variable. As´ como era imposible construir ıall´ un sistema de coordenadas cartesiano con varillas iguales, ahora es tam- ıbi´n imposible construir, con ayuda de cuerpos r´ e ıgidos y relojes, un sistema(cuerpo de referencia) de manera que escalas y relojes que sean fijos unosrespecto a otros indiquen directamente la posici´n y el tiempo. Esta es en oesencia la dificultad con que tropezamos en §23. Sin embargo, las consideraciones de §25 y §26 se˜alan el camino que nhay que seguir para superarla. Referimos de manera arbitraria el continuoespacio-temporal cuadridimensional a coordenadas gaussianas. A cada puntodel continuo (suceso) le asignamos cuatro n´meros x1 , x2 , x3 , x4 (coordena- udas) que no poseen ning´n significado f´ u ısico inmediato, sino que s´lo sirven opara enumerar los puntos de una manera determinada, aunque arbitraria.Esta correspondencia no tiene ni siquiera que ser de tal car´cter que obligue aa interpretar x1 , x2 , x3 como coordenadas “espaciales” y x4 como coordenada“temporal”. El lector quiz´ piense que semejante descripci´n del mundo es absoluta- a omente insatisfactoria. ¿Qu´ significa asignar a un suceso unas determinadas ecoordenadas x1 , x2 , x3 , x4 que en s´ no significan nada? Una reflexi´n m´s ı o adetenida demuestra, sin embargo, que la preocupaci´n es infundada. Con- otemplemos, por ejemplo, un punto material de movimiento arbitrario. Si estepunto tuviera s´lo una existencia moment´nea, sin duraci´n, entonces ven- o a odr´ descrito espacio-temporalmente a trav´s de un sistema de valores unico ıa e ´x1 , x2 , x3 , x4 . Su existencia permanente viene, por tanto, caracterizada porun n´mero infinitamente grande de semejantes sistemas de valores, en don- ude las coordenadas se encadenan ininterrumpidamente; al punto material lecorresponde, por consiguiente, una l´ ınea (unidimensional) en el continuo cua-dridimensional. Y a una multitud de puntos m´viles les corresponden otras otantas l´ ıneas en nuestro continuo. De todos los enunciados que ata˜en a estos npuntos, los unicos que pueden aspirar a realidad f´ ´ ısica son aquellos que versansobre encuentros de estos puntos. En el marco de nuestra representaci´n ma- otem´tica, un encuentro de esta especie se traduce en el hecho de que las dos al´ ıneas que representan los correspondientes movimientos de los puntos tienenen com´n un determinado sistema x1 , x2 , x3 , x4 de valores de las coordenadas. uQue semejantes encuentros son en realidad las unicas constataciones reales ´de car´cter espacio-temporal que encontramos en las proposiciones f´ a ısicas esalgo que el lector admitir´ sin duda tras pausada reflexi´n. a o Cuando antes describ´ ıamos el movimiento de un punto material respectoa un cuerpo de referencia, no especific´bamos otra cosa que los encuentros ade este punto con determinados puntos del cuerpo de referencia. Incluso lascorrespondientes especificaciones temporales se reducen a constatar encuen-
  • 50. 49tros del cuerpo con relojes, junto con la constataci´n del encuentro de las omanillas del reloj con determinados puntos de la esfera. Y lo mismo ocurrecon las mediciones espaciales con ayuda de escalas, como se ver´ a poco que ase reflexione. En general, se cumple lo siguiente: toda descripci´n f´ o ısica se reduce auna serie de proposiciones, cada una de las cuales se refiere a la coincidenciaespacio-temporal de dos sucesos A y B. Cada una de estas proposicionesse expresa en coordenadas gaussianas mediante la coincidencia de las cuatrocoordenadas x1 , x2 , x3 , x4 . Por tanto, es cierto que la descripci´n del continuo oespacio-temporal a trav´s de coordenadas gaussianas sustituye totalmente a ela descripci´n con ayuda de un cuerpo de referencia, sin adolecer de los odefectos de este ultimo m´todo, pues no est´ ligado al car´cter euclidiano del ´ e a acontinuo a representar.28. Formulaci´n exacta del principio de la relatividad general o Ahora estamos en condiciones de sustituir la formulaci´n provisional del oprincipio de la relatividad general que dimos en §18 por otra que es exacta.La versi´n de entonces —“Todos los cuerpos de referencia K, K , etc., son oequivalentes para la descripci´n de la naturaleza (formulaci´n de las leyes o ogenerales de la naturaleza), sea cual fuere su estado de movimiento”— esinsostenible, porque en general no es posible utilizar cuerpos de referenciar´ ıgidos en la descripci´n espacio-temporal en el sentido del m´todo seguido o een la teor´ de la relatividad especial. En lugar del cuerpo de referencia tiene ıaque aparecer el sistema de coordenadas gaussianas. La idea fundamentaldel principio de la relatividad general responde al enunciado: “Todos lossistemas de coordenadas gaussianas son esencialmente equivalentes para laformulaci´n de las leyes generales de la naturaleza”. o Este principio de la relatividad general cabe enunciarlo en otra formaque permite reconocerlo a´n m´s claramente como una extensi´n natural del u a oprincipio de la relatividad especial. Seg´n la teor´ de la relatividad especial, u ıaal sustituir las variables espacio-temporales x, y, z, t de un cuerpo de refe-rencia K (de Galileo) por las variables espacio-temporales x , y , z , t de unnuevo cuerpo de referencia K utilizando la transformaci´n de Lorentz, las oecuaciones que expresan las leyes generales de la naturaleza se convierten enotras de la misma forma. Por el contrario, seg´n la teor´ de la relatividad u ıageneral, las ecuaciones tienen que transformarse en otras de la misma formaal hacer cualesquiera sustituciones de las variables gaussianas x1 , x2 , x3 , x4 ;pues toda sustituci´n (y no s´lo la de la transformaci´n de Lorentz) corres- o o oponde al paso de un sistema de coordenadas gaussianas a otro. Si no se quiere renunciar a la habitual representaci´n tridimensional, po- o
  • 51. 50demos caracterizar como sigue la evoluci´n que vemos experimentar a la idea ofundamental de la teor´ de la relatividad general: la teor´ de la relatividad ıa ıaespecial se refiere a regiones de Galileo, es decir, aquellas en las que no existening´n campo gravitatorio. Como cuerpo de referencia act´a aqu´ un cuerpo u u ıde referencia de Galileo, es decir, un cuerpo r´ıgido cuyo estado de movimien-to es tal que respecto a ´l es v´lido el principio de Galileo del movimiento e arectil´ıneo y uniforme de puntos materiales “aislados”. Ciertas consideraciones sugieren referir esas mismas regiones de Galileo acuerpos de referencia no galileanos tambi´n. Respecto a ´stos existe entonces e eun campo gravitatorio de tipo especial (§20 y §23). Sin embargo, en los campos gravitatorios no existen cuerpos r´ ıgidos conpropiedades euclidianas; la ficci´n del cuerpo de referencia r´ o ıgido fracasa,pues, en la teor´ de la relatividad general. Y los campos gravitatorios tam- ıabi´n influyen en la marcha de los relojes, hasta el punto de que una definici´n e of´ ısica del tiempo con la ayuda directa de relojes no posee ni mucho menos elgrado de evidencia que tiene en la teor´ de la relatividad especial. ıa Por esa raz´n se utilizan cuerpos de referencia no r´ o ıgidos que, vistos co-mo un todo, no s´lo tienen un movimiento arbitrario, sino que durante su omovimiento sufren alteraciones arbitrarias en su forma. Para la definici´n del otiempo sirven relojes cuya marcha obedezca a una ley arbitraria y todo loirregular que se quiera; cada uno de estos relojes hay que imagin´rselo fijo en aun punto del cuerpo de referencia no r´ ıgido, y cumplen una sola condici´n: la ode que los datos simult´neamente perceptibles en relojes espacialmente veci- anos difieran infinitamente poco entre s´ Este cuerpo de referencia no r´ ı. ıgido,que no sin raz´n cabr´ llamarlo “molusco de referencia”, equivale en esencia o ıaa un sistema de coordenadas gaussianas, cuadridimensional y arbitrario. Loque le confiere al “molusco” un cierto atractivo frente al sistema de coor-denadas gaussianas es la conservaci´n formal (en realidad injustificada) de ola peculiar existencia de las coordenadas espaciales frente a la coordenadatemporal. Todo punto del molusco es tratado como un punto espacial; todopunto material que est´ en reposo respecto a ´l ser´ tratado como en reposo, e e aa secas, mientras se utilice el molusco como cuerpo de referencia. El principiode la relatividad general exige que todos estos moluscos se puedan emplear,con igual derecho y ´xito parejo, como cuerpos de referencia en la formula- eci´n de las leyes generales de la naturaleza; estas leyes deben ser totalmente oindependientes de la elecci´n del molusco. o En la profunda restricci´n que se impone con ello a las leyes de la natu- oraleza reside la sagacidad que le es inherente al principio de la relatividadgeneral.
  • 52. 5129. La soluci´n del problema de la gravitaci´n sobre la base del o oprincipio de la relatividad general Si el lector ha seguido todos los razonamientos anteriores, no tendr´ ya adificultad ninguna para comprender los m´todos que conducen a la soluci´n e odel problema de la gravitaci´n. o Partimos de la contemplaci´n de una regi´n de Galileo, es decir, de una o oregi´n en la que no existe ning´n campo gravitatorio respecto a un cuerpo o ude referencia de Galileo K. El comportamiento de escalas y relojes respectoa K es ya conocido por la teor´ de la relatividad especial, lo mismo que el ıacomportamiento de puntos materiales “aislados”; estos ultimos se mueven en ´l´ ınea recta y uniformemente. Referimos ahora esta regi´n a un sistema de coordenadas gaussiano ar- obitrario, o bien a un “molusco”, como cuerpo de referencia K . Respecto aK existe entonces un campo gravitatorio G (de clase especial). Por simpleconversi´n se obtiene as´ el comportamiento de reglas y relojes, as´ como de o ı ıpuntos materiales libremente m´viles, respecto a K . Este comportamiento ose interpreta como el comportamiento de reglas, relojes y puntos materialesbajo la acci´n del campo gravitatorio G. Se introduce entonces la hip´tesis o ode que la acci´n del campo gravitatorio sobre escalas, relojes y puntos ma- oteriales libremente m´viles se produce seg´n las mismas leyes aun en el caso o ude que el campo gravitatorio reinante no se pueda derivar del caso especialgalileano por mera transformaci´n de coordenadas. o A continuaci´n se investiga el comportamiento espacio-temporal del cam- opo gravitatorio G derivado del caso especial galileano por simple transforma-ci´n de coordenadas y se formula este comportamiento mediante una ley oque es v´lida independientemente de c´mo se elija el cuerpo de referencia a o(molusco) utilizado para la descripci´n. o Esta ley no es todav´ la ley general del campo gravitatorio, porque el ıacampo gravitatorio G estudiado es de una clase especial. Para hallar la leygeneral del campo gravitatorio hace falta generalizar adem´s la ley as´ obte- a ınida; no obstante, cabe encontrarla, sin ning´n g´nero de arbitrariedad, si se u etienen en cuenta los siguientes requisitos: a) La generalizaci´n buscada debe satisfacer tambi´n el postulado de la o e relatividad general. b) Si existe materia en la regi´n considerada, entonces lo unico que deter- o ´ mina su acci´n generadora de un campo es su masa inercial, es decir, o seg´n §15, su energ´ unicamente. u ıa ´ c) Campo gravitatorio y materia deben satisfacer juntos la ley de con- servaci´n de la energ´ (y del impulso). o ıa
  • 53. 52 El principio de la relatividad general nos permite por fin determinar lainfluencia del campo gravitatorio sobre la evoluci´n de todos aquellos proce- osos que en ausencia de campo gravitatorio discurren seg´n leyes conocidas, ues decir, que est´n incluidos ya en el marco de la teor´ de la relatividad a ıaespecial. Aqu´ se procede esencialmente por el m´todo que antes analizamos ı epara reglas, relojes y puntos materiales libremente m´viles. o La teor´ de la gravitaci´n derivada as´ del postulado de la relatividad ıa o ıgeneral no s´lo sobresale por su belleza, no s´lo elimina el defecto indicado en o o§21 y del cual adolece la Mec´nica cl´sica, no s´lo interpreta la ley emp´ a a o ırica dela igualdad entre masa inercial y masa gravitatoria, sino que ya ha explicadotambi´n dos resultados experimentales de la astronom´ esencialmente muy e ıa,distintos, frente a los cuales fracasa la Mec´nica cl´sica. El segundo de estos a aresultados, la curvatura de los rayos luminosos en el campo gravitatorio delSol, ya lo hemos mencionado; el primero tiene que ver con la ´rbita del oplaneta Mercurio. En efecto, si se particularizan las ecuaciones de la teor´ de la relatividad ıageneral al caso de que los campos gravitatorios sean d´biles y de que todas elas masas se muevan respecto al sistema de coordenadas con velocidadespeque˜as comparadas con la de la luz, entonces se obtiene la teor´ de Newton n ıacomo primera aproximaci´n; as´ pues, esta teor´ resulta aqu´ sin necesidad de o ı ıa ısentar ninguna hip´tesis especial, mientras que Newton tuvo que introducir ocomo hip´tesis la fuerza de atracci´n inversamente proporcional al cuadrado o ode la distancia entre los puntos materiales que interact´an. Si se aumenta la uexactitud del c´lculo, aparecen desviaciones respecto a la teor´ de Newton, a ıacasi todas las cuales son, sin embargo, todav´ demasiado peque˜as para ser ıa nobservables. Una de estas desviaciones debemos examinarla aqu´ con especial dete- ınimiento. Seg´n la teor´ newtoniana, los planetas se mueven en torno al u ıaSol seg´n una elipse que conservar´ eternamente su posici´n respecto a las u ıa oestrellas fijas si se pudiera prescindir de la influencia de los dem´s planetas asobre el planeta considerado, as´ como del movimiento propio de las estrellas ıfijas. Fuera de estas dos influencias, la ´rbita del planeta deber´ ser una o ıaelipse inmutable respecto a las estrellas fijas, siempre que la teor´ de New- ıaton fuese exactamente correcta. En todos los planetas, menos en Mercurio, elm´s pr´ximo al Sol, se ha confirmado esta consecuencia —que se puede com- a oprobar con eminente precisi´n— hasta el l´ o ımite de exactitud que permitenlos m´todos de observaci´n actuales. Ahora bien, del planeta Mercurio sabe- e omos desde Leverrier que la elipse de su ´rbita respecto a las estrellas fijas, ouna vez corregida en el sentido anterior, no es fija, sino que rota —aunquelent´ısimamente— en el plano orbital y en el sentido de su revoluci´n. Para oeste movimiento de rotaci´n de la elipse orbital se obtuvo un valor de 43 o
  • 54. 53segundos de arco por siglo, valor que es seguro con una imprecisi´n de pocos osegundos de arco. La explicaci´n de este fen´meno dentro de la Mec´nica o o acl´sica s´lo es posible mediante la utilizaci´n de hip´tesis poco veros´ a o o o ımiles,inventadas exclusivamente con este prop´sito. o Seg´n la teor´ de la relatividad general resulta que toda elipse planetaria u ıaalrededor del Sol debe necesariamente rotar en el sentido indicado anterior-mente, que esta rotaci´n es en todos los planetas, menos en Mercurio, dema- osiado peque˜a para poder detectarla con la exactitud de observaci´n hoy d´ n o ıaalcanzable, pero que en el caso de Mercurio debe ascender a 43 segundos dearco por siglo, exactamente como se hab´ comprobado en las observaciones. ıa Al margen de esto, s´lo se ha podido extraer de la teor´ otra consecuencia o ıaaccesible a la contrastaci´n experimental, y es un corrimiento, espectral de ola luz que nos env´ las grandes estrellas respecto a la luz generada de ıanmanera equivalente (es decir, por la misma clase de mol´culas) en la Tierra. eNo me cabe ninguna duda de que tambi´n esta consecuencia de la teor´ e ıahallar´ pronto confirmaci´n. a o
  • 55. Consideraciones del universo como un todo30. Dificultades cosmol´gicas de la teor´ newtoniana o ıa Aparte del problema expuesto en §21, la Mec´nica celeste cl´sica adolece a ade una segunda dificultad te´rica que, seg´n mis conocimientos, fue exa- o uminada detenidamente por primera vez por el astr´nomo Seeliger. Si uno oreflexiona sobre la pregunta de c´mo imaginar el mundo como un todo, la orespuesta inmediata ser´ seguramente la siguiente. El universo es espacial- amente (y temporalmente) infinito. Existen estrellas por doquier, de maneraque la densidad de materia ser´ en puntos concretos muy diversa, pero en to- adas partes la misma por t´rmino medio. Expresado de otro modo: por mucho eque se viaje por el universo, en todas partes se hallar´ un enjambre suelto ade estrellas fijas de aproximadamente la misma especie e igual densidad. Esta concepci´n es irreconciliable con la teor´ newtoniana. Esta ultima o ıa ´exige m´s bien que el universo tenga una especie de centro en el cual la adensidad de estrellas sea m´xima, y que la densidad de estrellas disminuya ade all´ hacia afuera, para dar paso, m´s all´ todav´ a un vac´ infinito. El ı a a ıa, ıomundo estelar deber´ formar una isla finita en medio del infinito oc´ano del ıa e 22espacio . Esta representaci´n es de por s´ poco satisfactoria. Pero lo es a´n menos o ı uporque de este modo se llega a la consecuencia de que la luz emitida por lasestrellas, as´ como algunas de las estrellas mismas del sistema estelar, emigran ıininterrumpidamente hacia el infinito, sin que jam´s regresen ni vuelvan a aentrar en interacci´n con otros objetos de la naturaleza. El mundo de la omateria, apelotonada en un espacio finito, ir´ empobreci´ndose entonces ıa epaulatinamente. 22 Justificaci´n. Seg´n la teor´ newtoniana, en una masa m van a morir una cierta o u ıacantidad de “l´ıneas de fuerza” que provienen del infinito y cuyo n´mero es proporcional ua la masa m. Si la densidad de masa ρ0 en el universo es por t´rmino medio constante, eentonces una esfera de volumen V encierra por t´rmino medio la masa ρ0 V . El n´mero de e ul´ ıneas de fuerza que entran a trav´s de la superficie F en el interior de la esfera es, por etanto, proporcional a ρ0 V . Por unidad de superficie de la esfera entra, pues, un n´mero ude l´ ıneas de fuerza que es proporcional a ρ0 V /F o ρ0 R. La intensidad del campo en lasuperficie tender´ a infinito al crecer el radio de la esfera R, lo cual es imposible ıa 54
  • 56. 55 Para eludir estas consecuencias Seeliger modific´ la ley newtoniana en oel sentido de suponer que a distancias grandes la atracci´n de dos masas o 2disminuye m´s deprisa que la ley de 1/r . Con ello se consigue que la densidad amedia de la materia sea constante en todas partes hasta el infinito, sin quesurjan campos gravitatorios infinitamente grandes, con lo cual se deshace unode la antip´tica idea de que el mundo material posee una especie de punto amedio. Sin embargo, el precio que se paga por liberarse de los problemaste´ricos descritos es una modificaci´n y complicaci´n de la ley de Newton que o o ono se justifican ni experimental ni te´ricamente. Cabe imaginar un n´mero o uarbitrario de leyes que cumplan el mismo prop´sito, sin que se pueda dar oninguna raz´n para que una de ellas prime sobre las dem´s; porque cualquiera o ade ellas est´ tan poco fundada en principios te´ricos m´s generales como la a o aley de Newton.31. La posibilidad de un universo finito y sin embargo no limitado Las especulaciones en torno a la estructura del universo se movieron tam-bi´n en otra direcci´n muy distinta. En efecto, el desarrollo de la geometr´ e o ıano euclidiana hizo ver que es posible dudar de la infinitud de nuestro espa-cio sin entrar en colisi´n con las leyes del pensamiento ni con la experiencia o(Riemann, Helmholtz). Estas cuestiones las han aclarado ya con todo detalleHelmholtz y Poincar´, mientras que aqu´ yo no puedo hacer m´s que tocarlas e ı afugazmente. Imaginemos en primer lugar un suceso bidimensional. Supongamos queunos seres planos, provistos de herramientas planas —en particular peque˜as nreglas planas y r´ıgidas— se pueden mover libremente en un plano. Fuera de´l no existe nada para ellos; el acontecer en su plano, que ellos observan enes´ mismos y en sus objetos, es un acontecer causalmente cerrado. En par- ıticular son realizables las construcciones de la geometr´ euclidiana plana ıacon varillas, por ejemplo la construcci´n reticular sobre la mesa que con- otemplamos en §24. El mundo de estos seres es, en contraposici´n al nuestro, oespacialmente bidimensional, pero, al igual que el nuestro, de extensi´n infi- onita. En ´l tienen cabida infinitos cuadrados iguales construidos con varillas, ees decir, su volumen (superficie) es infinito. Si estos seres dicen que su mun-do es “plano”, no dejar´ de tener sentido su afirmaci´n, a saber, el sentido a ode que con sus varillas se pueden realizar las construcciones de la geometr´ ıaeuclidiana del plano, representando cada varilla siempre el mismo segmento,independientemente de su posici´n. o Volvamos ahora a imaginarnos un suceso bidimensional, pero no en unplano, sino en una superficie esf´rica. Los seres planos, junto con sus reglas de emedida y dem´s objetos, yacen exactamente en esta superficie y no pueden a
  • 57. 56abandonarla; todo su mundo perceptivo se extiende unica y exclusivamente a ´la superficie esf´rica. Estos seres ¿podr´n decir que la geometr´ de su mundo e a ıaes una geometr´ euclidiana bidimensional y considerar que sus varillas son ıauna realizaci´n del “segmento”? No pueden, porque al intentar materializar ouna recta obtendr´n una curva, que nosotros, seres “tridimensionales”, lla- amamos c´ ırculo m´ximo, es decir, una l´ a ınea cerrada de determinada longitudfinita que se puede medir con una varilla. Este mundo tiene asimismo unasuperficie finita que se puede comparar con la de un cuadrado construido convarillas. El gran encanto que depara el sumergirse en esta reflexi´n reside en opercatarse de lo siguiente: el mundo de estos seres es finito y sin embargo notiene l´mites. ı Ahora bien, los seres esf´ricos no necesitan emprender un viaje por el emundo para advertir que no habitan en un mundo euclideano, de lo cualpueden convencerse en cualquier trozo no demasiado peque˜o de la esfera. nBasta con que, desde un punto, tracen “segmentos rectos” (arcos de cir-cunferencia, si lo juzgamos tridimensionalmente) de igual longitud en todasdirecciones. La uni´n de los extremos libres de estos segmentos la llamar´n o a“circunferencia”. La raz´n entre el per´ o ımetro de la circunferencia, medidocon una varilla, y el di´metro medido con la misma varilla es igual, seg´n a ula geometr´ euclidiana del plano, a una constante π que es independiente ıadel di´metro de la circunferencia. Sobre la superficie esf´rica, nuestros seres a ehallar´ para esta raz´n el valor ıan o r sen R π r Res decir, un valor que es menor que π, y tanto menor cuanto mayor sea el radiode la circunferencia en comparaci´n con el radio R del “mundo esf´rico”. o eA partir de esta relaci´n pueden determinar los seres esf´ricos el radio R o ede su mundo, aunque s´lo tengan a su disposici´n una parte relativamente o opeque˜a de la esfera para hacer sus mediciones. Pero si esa parte es demasiado nreducida, ya no podr´n constatar que se hallan sobre un mundo esf´rico y no a esobre un plano euclidiano, porque un trozo peque˜o de una superficie esf´rica n edifiere poco de un trozo de plano de igual tama˜o.n As´ pues, si nuestros seres esf´ricos habitan en un planeta cuyo sistema ı esolar ocupa s´lo una parte ´ o ınfima del universo esf´rico, no tendr´n posibi- e alidad de decidir si viven en un mundo finito o infinito, porque el trozo demundo que es accesible a su experiencia es en ambos casos pr´cticamente aplano o eucl´ ıdeo. Esta reflexi´n muestra directamente que para nuestros se- ores esf´ricos el per´ e ımetro de la circunferencia crece al principio con el radiohasta alcanzar el “per´ ımetro del universo”, para luego, al seguir creciendo
  • 58. 57el radio, disminuir paulatinamente hasta cero. La superficie del c´ ırculo crececontinuamente, hasta hacerse finalmente igual a la superficie total del mundoesf´rico entero. e Al lector quiz´ le extra˜e que hayamos colocado a nuestros seres preci- a nsamente sobre una esfera y no sobre otra superficie cerrada. Pero tiene sujustificaci´n, porque la superficie esf´rica se caracteriza, frente a todas las o edem´s superficies cerradas, por la propiedad de que todos sus puntos son aequivalentes. Es cierto que la relaci´n entre el per´ o ımetro p de una circun-ferencia y su radio r depende de r; pero, dado r, es igual para todos lospuntos del mundo esf´rico. El mundo esf´rico es una “superficie de curvatura e econstante”. Este mundo esf´rico bidimensional tiene su hom´logo en tres dimensio- e ones, el espacio esf´rico tridimensional, que fue descubierto por Riemann. Sus epuntos son tambi´n equivalentes. Posee un volumen finito, que viene determi- enado por su “radio” R (2π 2 R3 ) ¿Puede uno imaginarse un espacio esf´rico? eImaginarse un espacio no quiere decir otra cosa que imaginarse un modelo deexperiencias “espaciales”, es decir, de experiencias que se pueden tener conel movimiento de cuerpos “r´ ıgidos”. En este sentido s´ que cabe imaginar un ıespacio esf´rico. e Desde un punto trazamos rectas (tensamos cuerdas) en todas direccionesy marcamos en cada una el segmento r con ayuda de la regla de medir. Todoslos extremos libres de estos segmentos yacen sobre una superficie esf´rica. Su ea´rea (A) podemos medirla con un cuadrado hecho con reglas. Si el mundoes euclidiano, tendremos que A = 4πr2 ;si el mundo es esf´rico, entonces A e 2ser´ siempre menor que 4πr . A aumenta con r desde cero hasta un m´ximo a aque viene determinado por el “radio del universo”, para luego disminuir otravez hasta cero al seguir creciendo el radio de la esfera r. Las rectas radialesque salen del punto origen se alejan al principio cada vez m´s unas de otras, avuelven a acercarse luego y convergen otra vez en el punto opuesto al ori-gen; habr´n recorrido entonces todo el espacio esf´rico. Es f´cil comprobar a e aque el espacio esf´rico tridimensional es totalmente an´logo al bidimensional e a(superficie esf´rica). Es finito (es decir, de volumen finito) y no tiene l´ e ımites. Se˜alemos que existe tambi´n una subespecie del espacio esf´rico: el “es- n e epacio el´ ıptico”. Cabe concebirlo como un espacio esf´rico en el que los “pun- etos opuestos” son id´nticos (no distinguibles). As´ pues, un mundo el´ e ı ıpticocabe contemplarlo, en cierto modo, como un mundo esf´rico centralmente esim´trico. e De lo dicho se desprende que es posible imaginar espacios cerrados que notengan l´ ımites. Entre ellos destaca por su simplicidad el espacio esf´rico (o el eel´ ıptico), cuyos puntos son todos equivalentes. Seg´n todo lo anterior, se les uplantea a los astr´nomos y a los f´ o ısicos un problema altamente interesante, el
  • 59. 58de si el mundo en que vivimos es infinito o, al estilo del mundo esf´rico, finito. eNuestra experiencia no basta ni de lejos para contestar a esta pregunta. Lateor´ de la relatividad general permite, sin embargo, responder con bastante ıaseguridad y resolver de paso la dificultad explicada en §30.32. La estructura del espacio seg´ n la teor´ de la relatividad ge- u ıaneral Seg´n la teor´ de la relatividad general, las propiedades geom´tricas del u ıa eespacio no son independientes, sino que vienen condicionadas por la materia.Por eso no es posible inferir nada sobre la estructura geom´trica del mun- edo a menos que la reflexi´n se funde en el conocimiento del estado de la omateria. Sabemos, por la experiencia, que con una elecci´n conveniente del osistema de coordenadas las velocidades de las estrellas son peque˜as frente a nla velocidad de propagaci´n de la luz. As´ pues, si suponemos que la materia o ıest´ en reposo, podremos conocer la estructura del universo en una primera ay tosqu´ısima aproximaci´n. o Por anteriores consideraciones sabemos ya que el comportamiento de re-glas de medir y relojes viene influido por los campos de gravitaci´n, es decir, opor la distribuci´n de la materia. De aqu´ se sigue ya que la validez exacta o ıde la geometr´ euclidiana en nuestro mundo es algo que no entra ni siquiera ıaen consideraci´n. Pero en s´ es concebible que nuestro mundo difiera poco de o ıun mundo euclidiano, idea que viene abonada por el hecho de que, seg´n los uc´lculos, incluso masas de la magnitud de nuestro Sol influyen m´ a ınimamenteen la m´trica del espacio circundante. Cabr´ imaginar que nuestro mundo e ıase comporta en el aspecto geom´trico como una superficie que est´ irregular- e amente curvada pero que en ning´n punto se aparta significativamente de un uplano, lo mismo que ocurre, por ejemplo, con la superficie de un lago rizadopor d´biles olas. A un mundo de esta especie podr´ e ıamos llamarlo con pro-piedad cuasi-euclidiano, y ser´ espacialmente infinito. Los c´lculos indican, ıa asin embargo, que en un mundo cuasi-euclidiano la densidad media de ma-teria tendr´ que ser nula. Por consiguiente, un mundo semejante no podr´ ıa ıaestar poblado de materia por doquier; ofrecer´ el cuadro insatisfactorio que ıadibujamos en §30. Si la densidad media de materia en el mundo no es nula (aunque seacerque mucho a cero), entonces el mundo no es cuasi-euclidiano. Los c´lculos ademuestran m´s bien que, con una distribuci´n uniforme de materia, deber´ a o ıaser necesariamente esf´rico (o el´ e ıptico). Dado que la materia est´ distribuida ade manera localmente no uniforme, el mundo real diferir´ localmente del acomportamiento esf´rico, es decir, ser´ cuasi-esf´rico. Pero necesariamente e a etendr´ que ser finito. La teor´ proporciona incluso una sencilla relaci´n entre a ıa o
  • 60. 59la extensi´n espacial del mundo y la densidad media de materia en ´l23 . o e 23 Para el “radio” R del mundo se obtiene la ecuaci´n R2 = 2/(χρ). Utilizando el sistema ocegesimal, tenemos que 2/χ = 1 08 · 1027 ; ρ es la densidad media de materia.
  • 61. Ap´ndice e1. Una derivaci´n sencilla de la transformaci´n de Lorentz (Anexo o oa 11) Con la orientaci´n relativa de los sistemas de coordenadas indicada en ola Fig. 2, los ejes de abscisas de los dos sistemas coinciden constantemente.Aqu´ podemos desglosar el problema y considerar primero unicamente sucesos ı ´que est´n localizados en el eje de las X. Un suceso semejante viene dado, erespecto al sistema de coordenadas K, por la abscisa x y el tiempo t, yrespecto a K por la abscisa x y el tiempo t . Se trata de hallar x y tcuando se conocen x y t. Una se˜al luminosa que avanza a lo largo del eje X positivo se propaga nseg´n la ecuaci´n u o x = cto bien x − ct = 0 (1) Dado que la misma se˜al luminosa debe propagarse, tambi´n respecto a n eK , con la velocidad c, la propagaci´n respecto a K vendr´ descrita por la o af´rmula an´loga o a x − ct = 0 (2) Aquellos puntos del espacio-tiempo (sucesos) que cumplen (1) tienen quecumplir tambi´n (2), lo cual ser´ el caso cuando se cumpla en general la e arelaci´n o (x − ct ) = λ(x − ct) (3)donde λ es una constante; pues, seg´n (3), la anulaci´n de x − ct conlleva la u ode x − ct . Un razonamiento totalmente an´logo, aplicado a rayos de luz que se pro- apaguen a lo largo del eje X negativo, proporciona la condici´n o x + ct = µ(x + ct) (4) 60
  • 62. 61 Si se suman y restan, respectivamente, las ecuaciones (3) y (4), introdu-ciendo por razones de comodidad las constantes λ+µ a = 2 λ−µ b = 2en lugar de las constantes λ y µ, se obtiene x = ax − bt (5) ct = act − bx Con ello quedar´ resuelto el problema, siempre que conozcamos las cons- ıatantes a y b; ´stas resultan de las siguientes consideraciones. e Para el origen de K se cumple constantemente x = 0 de manera que,por la primera de las ecuaciones (5): bc x= t a Por tanto, si llamamos v a la velocidad con que se mueve el origen de Krespecto a K, tenemos que bc v= (6) a El mismo valor de v se obtiene a partir de (5), al calcular la velocidad deotro punto de K respecto a K o la velocidad (dirigida hacia el eje X negativo)de un punto K respecto a K . Por tanto, es posible decir en resumen que ves la velocidad relativa de ambos sistemas. Adem´s, por el principio de la relatividad, est´ claro que la longitud, a ajuzgada desde K, de una regla de medir unitaria que se halla en reposorespecto a K tiene que ser exactamente la misma que la longitud, juzgadadesde K , de una regla unidad que se halla en reposo respecto a K. Para verqu´ aspecto tienen los puntos del eje X’ vistos desde K basta con tomar una e“fotograf´ instant´nea” de K desde K; lo cual significa dar a t (tiempo de ıa aK) un valor determinado, p. ej. t = 0. De la primera de las ecuaciones (5) seobtiene: x = ax As´ pues, dos puntos del eje X que medidos en K distan entre s´ x = 1, ı ıtienen en nuestra instant´nea la separaci´n: a o 1 ∆x = (7) a
  • 63. 62 Pero si se toma la fotograf´ desde K (t = 0), se obtiene a partir de (5), ıapor eliminaci´n de t y teniendo en cuenta (6): o v2 x =a 1− x c2 De aqu´ se deduce que dos puntos del eje X que distan 1 (respecto a K) ıtienen en nuestra instant´nea la separaci´n a o v2 ∆x = a 1 − x (8) c2 Teniendo en cuenta que, por lo que llevamos dicho, las dos fotograf´ ıasdeben ser iguales, ∆x en (7) tiene que ser igual a ∆x en (8), de modo quese obtiene: 1 a2 = 2 (9) 1 − v2 c Las ecuaciones (6) y (9) determinan las constantes a y b. Sustituyendo en(5) se obtienen las ecuaciones cuarta y quinta de las que dimos en §11. x − vt x = (10) v2 1− c2 v t− c2 x t = v2 1− c2 Con ello hemos obtenido la transformaci´n de Lorentz para sucesos loca- olizados en el eje X; dicha transformaci´n satisface la condici´n o o x 2 − ct 2 = x2 − c2 t2 (11) La extensi´n de este resultado a sucesos que ocurren fuera del eje X se oobtiene reteniendo las ecuaciones (10) y a˜adiendo las relaciones n y = y (12) z = z Veamos ahora que con ello se satisface el postulado de la constancia de lavelocidad de la luz para rayos luminosos de direcci´n arbitraria, tanto para oel sistema K como tambi´n para el K . e Supongamos que en el instante t = 0 se emite una se˜al luminosa desde nel origen de K. Su propagaci´n obedece a la ecuaci´n: o o r= x2 + y 2 + z 2 = ct
  • 64. 63o bien, elevando al cuadrado x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 = 0 (13) La ley de propagaci´n de la luz, en conjunci´n con el postulado de la o orelatividad, exige que la propagaci´n de esa misma se˜al, pero juzgada desde o nK , ocurra seg´n la f´rmula correspondiente u o r = cto bien x 2 + y 2 + z 2 − c2 t 2 = 0 (14) Para que la ecuaci´n (14) sea una consecuencia de (13), tiene que cum- oplirse que: x 2 + y 2 + z 2 − c2 t 2 = σ(x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 ) (15) Puesto que la ecuaci´n (11) tiene que cumplirse para los puntos situados osobre el eje X, ha de ser σ = 1. Es f´cil ver que la transformaci´n de Lorentz a ocumple realmente la ecuaci´n (15) con σ = 1, pues (15) es una consecuencia ode (11) y (12), y por tanto tambi´n de (10) y (12). Con ello queda derivada ela transformaci´n de Lorentz. o Es preciso ahora generalizar esta transformaci´n de Lorentz, representada opor (10) y (12). Evidentemente es inesencial que los ejes de K se elijanespacialmente paralelos a los de K. Tampoco es esencial que la velocidad detraslaci´n de K respecto a K tenga la direcci´n del eje X. La transformaci´n o o ode Lorentz, en este sentido general, cabe desglosarla —como muestra unsimple razonamiento— en dos transformaciones, a saber: transformacionesde Lorentz en sentido especial y transformaciones puramente espaciales queequivalen a la sustituci´n del sistema de coordenadas rectangulares por otro ocon ejes dirigidos en direcciones distintas. Matem´ticamente se puede caracterizar la transformaci´n de Lorentz ge- a oneralizada de la siguiente manera: Dicha transformaci´n expresa x , y , z , t mediante unas funciones ho- omog´neas y lineales de x, y, z, t que hacen que la relaci´n e o x 2 + y 2 + z 2 − c2 t 2 = x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 (16)se cumpla id´nticamente. Lo cual quiere decir: si se sustituye a la izquierda ex , etc. por sus expresiones en x, y, z, t, entonces el miembro izquierdo de(16) es igual al derecho.
  • 65. 642. El mundo cuadridimensional de Minkowski (Anexo a 17) La transformaci´n de Lorentz generalizada puede caracterizarse de un omodo a´n m´s sencillo√ en lugar de t se introduce como variable temporal u a sila variable imaginaria −1ct. Si de acuerdo con esto ponemos x1 = x x2 = y x3 = z √ x4 = −1cty an´logamente para el sistema con primas K’, entonces la condici´n que a osatisface id´nticamente la transformaci´n ser´: e o a x12 + x22 + x32 + x44 = x2 + x2 + x2 + x2 1 2 3 4 (17) Con la elecci´n de “coordenadas” que acabamos de indicar, la ecuaci´n o o(16) se convierte en la (17). De (17) se desprende que la coordenada temporal imaginaria x4 entraen la condici´n de transformaci´n en pie de igualdad con las coordenadas o oespaciales x1 , x2 , x3 . A eso responde el que, seg´n la teor´ de la relatividad, u ıael “tiempo” x4 intervenga en las leyes de la naturaleza en la misma formaque las coordenadas espaciales x1 , x2 , x3 . Minkowski llam´ “universo” o “mundo” al continuo cuadridimensional odescrito por las “coordenadas” x1 , x2 , x3 , x4 , y “punto del universo” o “puntodel mundo” al suceso puntual. La f´ ısica deja de ser un suceder en el espaciotridimensional para convertirse en cierto modo en un ser en el “mundo”cuadridimensional. Este “mundo” cuadridimensional guarda un profundo parecido con el“espacio” tridimensional de la geometr´ anal´ ıa ıtica (eucl´ ıdea). Pues si en esteultimo se introduce un nuevo sistema de coordenadas cartesianas (x1 , x2 , x3 )´con el mismo origen, entonces x1 , x2 , x3 son funciones homog´neas y lineales ede x1 , x2 , x3 que cumplen id´nticamente la ecuaci´n e o x12 + x22 + x32 = x2 + x2 + x2 1 2 3 La analog´ con (17) es completa. El mundo de Minkowski cabe contem- ıaplarlo formalmente como un espacio eucl´ ıdeo cuadridimensional (con coorde-nada temporal imaginaria); la transformaci´n de Lorentz se corresponde con ouna “rotaci´n” del sistema de coordenadas en el “universo” cuadridimensio- onal.
  • 66. 653. Sobre la confirmaci´n de la teor´ de la relatividad general por o ıala experiencia Bajo una ´ptica epistemol´gica esquem´tica, el proceso de crecimiento o o ade una ciencia experimental aparece como un continuo proceso de inducci´n. oLas teor´ emergen como res´menes de una cantidad grande de experiencias ıas uindividuales en leyes emp´ ıricas, a partir de las cuales se determinan porcomparaci´n las leyes generales. Desde este punto de vista, la evoluci´n de la o ociencia parece an´loga a una obra de catalogaci´n o a un producto de mera a oempiria. Esta concepci´n, sin embargo, no agota en modo alguno el verdadero pro- oceso, pues pasa por alto el importante papel que desempe˜an la intuici´n y n oel pensamiento deductivo en el desarrollo de la ciencia exacta. En efecto, tanpronto como una ciencia sobrepasa el estadio m´s primitivo, los progresos ate´ricos no nacen ya de una simple actividad ordenadora. El investigador, oanimado por los hechos experimentales, construye m´s bien un sistema con- aceptual que se apoya l´gicamente en un n´mero por lo general peque˜o de o u nsupuestos b´sicos que se denominan axiomas. A un sistema conceptual se- amejante lo llamamos teor´ La teor´ obtiene la justificaci´n de su existencia ıa. ıa opor el hecho de conectar entre s´ un n´mero grande de experiencias aisladas; ı uen esto reside su “verdad”. Frente a un mismo complejo de hechos de la experiencia puede haberdiversas teor´ que difieran mucho entre s´ La coincidencia de las teor´ ıas ı. ıasen las consecuencias accesibles a la experiencia puede ser tan profunda queresulte dif´ encontrar otras, tambi´n accesibles a la experiencia, respecto a ıcil elas cuales difieran. Un caso semejante, y de inter´s general, se da por ejemplo een el terreno de la biolog´ en la teor´ darwiniana de la evoluci´n por ıa, ıa oselecci´n en la lucha por la existencia y en aquella otra teor´ de la evoluci´n o ıa oque se funda en la hip´tesis de la herencia de caracteres adquiridos. o Otro caso semejante de profunda concordancia de las consecuencias es elde la mec´nica newtoniana, por un lado, y la teor´ de la relatividad gene- a ıaral, por otro. La concordancia llega hasta tal punto que hasta ahora se hanpodido encontrar muy pocas consecuencias de la teor´ de la relatividad ge- ıaneral a las cuales no conduzca tambi´n la f´ e ısica anterior, y eso a pesar de laradical diversidad de los supuestos b´sicos de una y otra teor´ Vamos a con- a ıa.templar aqu´ de nuevo estas importantes consecuencias y comentar tambi´n ı ebrevemente las experiencias acumuladas hasta ahora al respecto.a) El movimiento del perihelio de Mercurio Seg´n la mec´nica newtoniana y la ley de gravitaci´n de Newton, un u a ounico planeta que girara en torno a un sol describir´ una elipse alrededor de´ ıa
  • 67. 66´l (o m´s exactamente, alrededor del centro de gravedad com´n de ambos).e a uEl sol (o bien el centro de gravedad com´n) yace en uno de los focos de ula elipse orbital, de manera que la distancia sol-planeta crece a lo largo deun a˜o planetario hasta un m´ximo, para luego volver a decrecer hasta el n am´ ınimo. Si en lugar de la ley de atracci´n newtoniana se introduce en los oc´lculos otra distinta, entonces se comprueba que el movimiento seg´n esta a unueva ley tendr´ que seguir siendo tal que la distancia sol-planeta oscilase ıaen un sentido y otro; pero el ´ngulo descrito por la l´ a ınea sol-planeta duranteuno de esos per´ ıodos (de perihelio a perihelio) diferir´ de 3600 . La curva ıade la ´rbita no ser´ entonces cerrada, sino que llenar´ con el tiempo una o ıa ıaporci´n anular del plano orbital (entre el c´ o ırculo de m´xima y el de m´ a ınimadistancia perih´lica). e Seg´n la teor´ de la relatividad general, que difiere algo de la newtoniana, u ıatiene que haber tambi´n una peque˜a desviaci´n de esta especie respecto al e n omovimiento orbital previsto por Kepler-Newton, de manera que el ´ngulo adescrito por el radio sol-planeta entre un perihelio y el siguiente difiera de una´ngulo completo de rotaci´n (es decir, del ´ngulo 2π, en la medida angular o aabsoluta que es habitual en f´ ısica) en la cantidad 24π 3 a2 T 2 c2 (1 − e2 )(a es el semieje mayor de la elipse, e su excentricidad, c la velocidad de laluz, T el per´ıodo de revoluci´n). Expresado de otra manera: seg´n la teor´ o u ıade la relatividad general, el eje mayor de la elipse rota alrededor del Sol en elsentido del movimiento orbital. Esta rotaci´n es, de acuerdo con la teor´ de o ıa,43 segundos de arco cada 100 a˜os en el caso del planeta Mercurio, mientras nque en los dem´s planetas de nuestro Sol ser´ tan peque˜a que escapa a toda a ıa nconstataci´n. o Los astr´nomos han comprobado efectivamente que la teor´ de Newton o ıano basta para calcular el movimiento observado de Mercurio con la precisi´n oque pueden alcanzar hoy d´ las observaciones. Tras tener en cuenta todas ıalas influencias perturbadoras que ejercen los dem´s planetas sobre Mercurio, ase comprob´ (Leverrier, 1859, y Newcomb, 1895) que en el movimiento del operihelio de la ´rbita de Mercurio quedaba sin explicar una componente que ono difiere perceptiblemente de los +43 segundos por siglo que acabamos demencionar. La imprecisi´n de este resultado emp´ o ırico, que concuerda con elresultado de la teor´ general de la relatividad, es de pocos segundos. ıa b) La desviaci´n de la luz por el campo gravitacional o En §22 explicamos que, seg´n la teor´ de la relatividad general, cualquier u ıarayo de luz tiene que experimentar en el seno de un campo gravitacional una
  • 68. 67curvatura que es an´loga a la que experimenta la trayectoria de un cuerpo al alanzarlo a trav´s de ese campo. De acuerdo con la teor´ un rayo de luz que e ıa,pase al lado de un cuerpo celeste sufrir´ una desviaci´n hacia ´l; el ´ngulo a o e ade desviaci´n α, para un rayo luminoso que pase a una distancia de ∆ radios osolares del Sol, debe ser de 1, 7 segundos α= ∆ A˜adamos que, de acuerdo con la teor´ la mitad de esta desviaci´n n ıa, oes producto del campo de atracci´n (newtoniano) del Sol; la otra mitad, oproducto de la modificaci´n geom´trica (“curvatura”) del espacio provocada o epor aqu´l. e Este resultado brinda la posibilidad de una comprobaci´n experimental omediante fotograf´ estelares tomadas durante un eclipse total de Sol. Es ne- ıascesario esperar a este fen´meno porque en cualquier otro momento la atm´sfe- o ora, iluminada por la luz solar, resplandece tanto que las estrellas pr´ximas al oSol resultan invisibles. El fen´meno esperado se deduce f´cilmente de la Fig. o a4. Si no existiese el Sol S, cualquier estrella situada a distancia pr´ctica- amente infinita se ver´ en la direcci´n R1 . Pero como consecuencia de la ıa odesviaci´n provocada por el Sol se la ve en la direcci´n R2 , es decir, separada o odel centro del Sol un poco m´s de lo que en realidad est´. a a La prueba se desarrolla en la pr´ctica de la siguiente manera. Durante aun eclipse de Sol se fotograf´ las estrellas situadas en las inmediaciones ıande aqu´l. Se toma adem´s una segunda fotograf´ de las mismas estrellas e a ıacuando el Sol se halla en otro lugar del cielo (es decir, algunos meses antes odespu´s). Las im´genes estelares fotografiadas durante el eclipse de Sol deben e aestar entonces desplazadas radialmente hacia afuera (alej´ndose del centro del a
  • 69. 68Sol) respecto a la fotograf´ de referencia, correspondiendo el desplazamiento ıaal ´ngulo α. a Hemos de agradecer a la Astronomical Royal Society la contrastaci´n de oeste importante resultado. Sin dejarse turbar por la guerra ni por las consi-guientes dificultades de ´ ındole psicol´gica, envi´ a varios de sus astr´nomos o o om´s destacados (Eddington, Crommelin, Davidson) y organiz´ dos expedi- a ociones con el fin de hacer las fotograf´ pertinentes durante el eclipse de Sol ıasdel 29 de mayo de 1919 en Sobral (Brasil) y en la isla Pr´ ıncipe (´frica occi- adental). Las desviaciones relativas que eran de esperar entre las fotograf´ ıasdel eclipse y las de referencia ascend´ tan s´lo a unas pocas cent´simas ıan o ede mil´ımetro. As´ pues, las demandas que se impuso a la precisi´n de las ı ofotograf´ y a su medici´n no eran peque˜as. ıas o n El resultado de la medici´n confirm´ la teor´ de manera muy satisfacto- o o ıaria. Las componentes transversales de las desviaciones estelares observadas ycalculadas (en segundos de arco) se contienen en la siguiente tabla: c) El corrimiento al rojo de las rayas espectrales En §23 se demuestra que en un sistema K que rota respecto a un sistemade Galileo K, la velocidad de marcha de relojes en reposo y de id´ntica econstituci´n depende de la posici´n. Vamos a examinar cuantitativamente o oesta dependencia. Un reloj colocado a distancia r del centro del disco tiene,respecto a K, la velocidad v = wrdonde w designa la velocidad de rotaci´n del disco (K ) respecto a K. Si ollamamos v0 al n´mero de golpes del reloj por unidad de tiempo (velocidad u
  • 70. 69de marcha) respecto a K cuando el reloj est´ en reposo, entonces la velocidad ade marcha v del reloj cuando se mueve con velocidad v respecto a K y est´ en areposo respecto al disco es, seg´n §12, u v2 v = v0 1− c2que se puede escribir tambi´n, con suficiente precisi´n, as´ e o ı 1 v2 v = v0 1 − 2 c2o bien w2 r2 v = v0 1 − 2 c2 Si llamamos +Φ a la diferencia de potencial de la fuerza centr´ ıfuga entreel lugar que ocupa el reloj y el punto medio del disco, es decir, al trabajo(con signo negativo) que hay que aportar en contra de la fuerza centr´ ıfugaa la unidad de masa para transportarla desde su posici´n en el disco m´vil o ohasta el centro, entonces tenemos que w2 r2 Φ=− 2Con lo cual resulta Φ v = v0 1 + c2 De aqu´ se desprende en primer lugar que dos relojes id´nticos pero colo- ı ecados a diferente distancia del centro del disco marchan a distinta velocidad,resultado que tambi´n es v´lido desde el punto de vista de un observador que e agire con el disco. Dado que —juzgado desde el disco— existe un campo gravitacional cuyopotencial es Φ, el resultado obtenido valdr´ para campos gravitacionales en ageneral. Y como adem´s un ´tomo que emite rayas espectrales es posible a aconsiderarlo como un reloj, tenemos el siguiente teorema: Un ´tomo absorbe o emite una frecuencia que depende del poten- a cial del campo gravitatorio en el que se encuentra. La frecuencia de un ´tomo que se halle en la superficie de un cuerpo celeste aes algo menor que la de un ´tomo del mismo elemento que se encuentre en el aespacio libre (o en la superficie de otro astro menor). Dado que Φ = −KM/r,donde K es la constante de gravitaci´n newtoniana, M la masa y r el radio o
  • 71. 70del cuerpo celeste, deber´ producirse un corrimiento hacia el rojo en las ıarayas espectrales generadas en la superficie de las estrellas si se las comparacon las generadas en la superficie de la Tierra, concretamente en la cuant´ ıa v − v0 KM =− 2 v0 cr En el Sol, el corrimiento al rojo que deber´ esperarse es de unas dos ıamillon´simas de longitud de onda. En el caso de las estrellas fijas no es eposible hacer un c´lculo fiable, porque en general no se conoce ni la masa M ani el radio r. Que este efecto exista realmente o no es una cuesti´n abierta en cuya osoluci´n trabajan actualmente con gran celo los astr´nomos. En el caso del o oSol es dif´ juzgar la existencia del efecto por ser muy peque˜o. Mientras que ıcil nGrebe y Bachem (Bonn) —sobre la base de sus propias mediciones y de lasde Evershed y Schwarzschild en la as´ llamada banda cyan— as´ como Perot ı ı(sobre la base de observaciones propias) consideran probada la existencia delefecto, otros investigadores, especialmente W. H. Julius y S. Sohn, son de laopini´n contraria o no est´n convencidos de la fuerza probatoria del anterior o amaterial emp´ ırico. En las investigaciones estad´ ısticas realizadas sobre las estrellas fijas nohay duda de que existen por t´rmino medio corrimientos de las rayas es- epectrales hacia el extremo de las ondas largas del espectro. Sin embargo, laelaboraci´n que se ha hecho hasta ahora del material no permite todav´ o ıaninguna decisi´n acerca de si esos movimientos se deben realmente al efecto ode la gravitaci´n. El lector podr´ encontrar en el trabajo de E. Freundli- o ach “Pr¨fung der allgemeinen Relativit¨tstheorie” (Die Naturwissenschaften, u a1919, H. 35, p. 520, Verlag Jul. Spinger, Berl´ una recopilaci´n del material ın) oemp´ ırico, junto a un an´lisis detenido desde el punto de vista de la cuesti´n a oque aqu´ nos interesa. ı En cualquier caso, los a˜os venideros traer´n la decisi´n definitiva. Si n a ono existiese ese corrimiento al rojo de las rayas espectrales debido al poten-cial gravitatorio, la teor´ de la relatividad general ser´ insostenible. Por ıa ıaotro lado, el estudio del corrimiento de las rayas espectrales, caso de que sedemuestre que su origen est´ en el potencial gravitatorio, proporcionar´ con- a aclusiones importantes sobre la masa de los cuerpos celestes.4. La estructura del espacio en conexi´n con la teor´ de la relati- o ıavidad general Nuestro conocimiento sobre la estructura global del espacio (“problemacosmol´gico”) ha experimentado, desde la aparici´n de la primera edici´n de o o o
  • 72. 71este librito, una evoluci´n importante, que es preciso mencionar incluso en ouna exposici´n de car´cter divulgativo. o a Mis iniciales consideraciones sobre este problema se basaban en dos hip´- otesis: 1. La densidad media de materia en todo el espacio es distinta de 0 e igual en todas partes. 2. La magnitud (o el “radio”) del universo es independiente del tiempo. Estas dos hip´tesis demostraron ser compatibles seg´n la teor´ de la o u ıarelatividad general, pero unicamente cuando se a˜ad´ a las ecuaciones de ´ n ıacampo un t´rmino hipot´tico que ni era exigido por la propia teor´ ni tam- e e ıapoco parec´ natural desde el punto de vista te´rico (“t´rmino cosmol´gico ıa o e ode las ecuaciones de campo”). La hip´tesis 2 me parec´ a la saz´n inevitable, pues por aquel entonces o ıa opensaba que, de apartarse de ella, se caer´ en especulaciones sin l´ ıa ımite. Sin embargo, el matem´tico ruso Friedman descubri´, all´ por los a˜os a o a nveinte, que desde el punto de vista puramente te´rico era m´s natural otro o asupuesto diferente. En efecto, Friedman se dio cuenta de que era posiblemantener la hip´tesis 1 sin introducir en las ecuaciones de campo de la gra- ovitaci´n el poco natural t´rmino cosmol´gico, siempre que uno se decidiese a o e oprescindir de la hip´tesis 2. Pues las ecuaciones de campo originales admiten ouna soluci´n en la que el “radio del mundo” depende del tiempo (espacio en oexpansi´n). En este sentido cabe afirmar con Friedman que la teor´ exige o ıauna expansi´n del espacio. o Hubble demostr´ pocos a˜os despu´s, a trav´s de sus investigaciones es- o n e epectrales en nebulosas extragal´cticas, que las rayas espectrales emitidas por aellas muestran un corrimiento al rojo que crece regularmente con la distan-cia de la nebulosa. Seg´n los conocimientos actuales, este corrimiento s´lo u ocabe interpretarlo, en el sentido del principio de Doppler, como un movi-miento de expansi´n del sistema estelar entero, tal y como, seg´n el estudio o ude Friedman, exigen las ecuaciones de campo de la gravitaci´n. As´ pues, o ıen este sentido el descubrimiento de Hubble puede interpretarse como unaconfirmaci´n de la teor´ o ıa. Plant´ase aqu´ sin embargo, una curiosa dificultad. La interpretaci´n e ı, o(te´ricamente casi indudable) de los corrimientos de las rayas gal´cticas ha- o allados por Hubble como una expansi´n obliga a situar el origen de ´sta hace o e 9“tan s´lo” unos 10 a˜os, mientras que la astronom´ f´ o n ıa ısica tiene por probableque la evoluci´n de las estrellas y de los sistemas estelares necesit´ tiempos o omucho mayores. Hoy por hoy no est´ ni mucho menos claro c´mo superar a oestas incongruencias.
  • 73. 72 Se˜alemos tambi´n que la teor´ del universo en expansi´n, junto con n e ıa olos datos emp´ ıricos de la astronom´ no permite ninguna decisi´n acerca de ıa, ola finitud o infinitud del espacio (tridimensional), mientras que la hip´tesis oest´tica original del espacio hab´ predicho un car´cter cerrado (finitud) para a ıa ael espacio.5. La relatividad y el problema del espacio Es caracter´ ıstico de la teor´ de Newton el que tenga que atribuir al ıaespacio y al tiempo, y tambi´n a la materia, una existencia real independiente. ePues en la ley de movimiento newtoniana aparece el concepto de aceleraci´n, oy la aceleraci´n, en esta teor´ s´lo puede significar “aceleraci´n respecto al o ıa, o oespacio”. El espacio newtoniano hay que imagin´rselo “en reposo”, o al menos a“no acelerado”, para que la aceleraci´n que aparece en la ley del movimiento opueda contemplarse como una magnitud con sentido. Y an´logamente para el atiempo, que tambi´n entra en el concepto de aceleraci´n. El propio Newton, e oy aquellos de sus coet´neos que gozaban de m´s sentido cr´ a a ıtico, ve´ como ıanalgo perturbador el hecho de tener que adscribir realidad f´ ısica al espaciomismo y a su estado de movimiento. Pero por aquel entonces no hab´ otra ıasalida si se quer´ atribuir a la Mec´nica un sentido claro. ıa a El atribuir realidad f´ ısica al espacio, y en especial al espacio vac´ es ya de ıo,por s´ una dura osad´ Los fil´sofos se han resistido una y otra vez, desde los ı ıa. otiempos m´s antiguos, a cometerla. Descartes argumentaba m´s o menos as´ a a ı:el espacio es en esencia igual a extensi´n. Pero la extensi´n va vinculada a los o ocuerpos; luego ning´n espacio sin cuerpos, es decir, no hay espacio vac´ El u ıo.punto flaco de esta forma de inferencia reside en primer lugar en lo siguiente:es cierto que el concepto de extensi´n debe su origen a experiencias relativas oa la posici´n (contacto) de cuerpos s´lidos. Pero de ah´ no cabe inferir que o o ıel concepto de extensi´n no est´ justificado en otros casos que no hayan o emotivado la formaci´n del concepto. Semejante ampliaci´n de los conceptos o opuede justificarse tambi´n indirectamente por su valor para la comprensi´n e ode hallazgos emp´ ıricos. Por tanto, la afirmaci´n de que la extensi´n va ligada o oa los cuerpos es en s´ infundada. Sin embargo, veremos m´s adelante que la ı ateor´ de la relatividad general confirma la concepci´n de Descartes a trav´s ıa o ede un rodeo. Lo que llev´ a Descartes a una concepci´n tan curiosamente o oatrevida fue seguramente la sensaci´n de que a un objeto no “directamente oexperimentable”24 como es el espacio no se le pod´ atribuir ninguna realidad ıasin que hubiese una necesidad urgente de hacerlo. El origen psicol´gico del concepto de espacio, o de su necesidad, no es o 24 Esta expresi´n hay que tomarla cum grano salis. o
  • 74. 73ni mucho menos tan evidente como pudiera parecerlo si nos dej´semos guiar apor nuestros h´bitos de pensamiento. Los antiguos ge´metras se ocuparon de a oobjetos mentales (recta, punto, superficie), pero no realmente del espacio ens´ como hizo m´s tarde la geometr´ anal´ ı, a ıa ıtica. El concepto de espacio vienesin embargo sugerido por determinadas experiencias primitivas. Imaginemosque fabricamos una caja. Dentro de ella se pueden alojar objetos en determi-nada disposici´n, de manera que la caja se llene. La posibilidad de semejantes odisposiciones es una propiedad del objeto corp´reo caja, algo que viene dado ocon la caja, el “espacio comprendido” en la caja. Es algo que difiere seg´n ulas cajas, algo que con toda naturalidad se lo imagina uno independiente desi hay o no objetos en ellas. Cuando no hay objetos en la caja, su espacioaparece “vac´ ıo”. Hasta aqu´ nuestro concepto de espacio va ligado a la caja. Sin embargo, ıse comprueba que las posibilidades de alojamiento que constituyen el espaciode la caja son independientes de qu´ grosor tengan las paredes. ¿No se puede ehacer que el grosor descienda a cero sin que al mismo tiempo se eche a perderel “espacio”? La naturalidad de este proceso de paso al l´ ımite es evidente,subsistiendo ahora en nuestro pensamiento el espacio sin caja, una cosa inde-pendiente que, sin embargo, parece tan irreal cuando se olvida la procedenciadel concepto. Se entiende que a Descartes le repugnase contemplar el espaciocomo una cosa independiente de los objetos corp´reos y que pod´ existir sin o ıamateria25 . (Lo cual no le impide, sin embargo, tratar el espacio como con-cepto fundamental en su geometr´ anal´ ıa ıtica.) Una simple indicaci´n al vac´ o ıodel term´metro de mercurio desarm´ seguramente a los ultimos cartesianos. o o ´Pero no es de negar que incluso en este estadio primitivo hay algo de insatis-factorio en el concepto de espacio, o en el espacio concebido como cosa reale independiente. Las maneras en que se pueden alojar los cuerpos en el espacio (caja) cons-tituyen el objeto de la geometr´ euclidiana tridimensional, cuya estructura ıaaxiom´tica hace f´cilmente olvidar que se refiere a situaciones experimenta- a ables. Una vez formado de la manera antes esbozada el concepto de espacio,en base a experiencias sobre el “rellenado” de la caja, lo que tenemos es unespacio limitado. Pero esta limitaci´n parece inesencial, porque es evidente oque siempre se puede introducir una caja mayor que encierre a la menor. Elespacio aparece as´ como algo que es ilimitado. ı No voy a hablar aqu´ de que las concepciones de la tridimensionalidad y ı 25 El intento de Kant de sofocar el malestar negando la objetividad del espacio apenaspuede tomarse en serio. Las posibilidades de alojamiento, encarnadas por el espacio interiorde la caja, son objetivas en el mismo sentido que lo son la propia caja y los objetos que sepueden alojar en ella.
  • 75. 74la “euclidicidad” del espacio proceden de experiencias (relativamente primi-tivas), sino que considerar´ primero el papel del concepto de espacio en la eevoluci´n del pensamiento f´ o ısico seg´n otros puntos de vista. u Si una caja m´s peque˜a c se halla en reposo relativo en el interior del a nespacio hueco de otra m´s grande C, entonces el espacio hueco o cavidad ade c es una parte de la cavidad de C, y ambas cajas pertenecen al mismo“espacio” que las contiene. La interpretaci´n es, sin embargo, menos sencilla ocuando c se mueve respecto a C. Uno se inclina entonces a pensar que cencierra siempre el mismo espacio, pero ocupando una porci´n variable del oespacio C. Entonces es necesario atribuir a cada caja su espacio particular(no concebido como limitado) y suponer que estos dos espacios se muevenuno respecto al otro. Antes de percatarnos de esta complicaci´n, el espacio aparece como un omedio limitado (continente) en cuyo seno nadan los objetos corp´reos. Aho- ora, sin embargo, hay que pensar que existen infinitos espacios que se hallanen mutuo movimiento. El concepto de espacio como algo que existe obje-tivamente, con independencia de las cosas, es propio ya del pensamientoprecient´ ıfico, pero no as´ la idea de la existencia de un n´mero infinito de ı uespacios en mutuo movimiento. Aunque esta idea es l´gicamente inevitable, ono desempe˜´ durante mucho tiempo ning´n papel destacado, ni siquiera en no uel pensamiento cient´ ıfico. ¿Qu´ decir, sin embargo, del origen psicol´gico del concepto de tiempo? e oEste concepto tiene indudablemente que ver con el hecho del “recordar”,as´ como con la distinci´n entre experiencias sensoriales y el recuerdo de las ı omismas. De suyo es cuestionable que la distinci´n entre experiencia sensorial oy recuerdo (o simple imaginaci´n) sea algo que nos venga dado de manera opsicol´gicamente inmediata. Cualquiera de nosotros conoce la duda entre si oha vivido algo con los sentidos o si s´lo lo ha so˜ado. Es probable que esta o ndistinci´n no nazca sino como acto del entendimiento ordenador. o Al “recuerdo” se le atribuye una vivencia que se reputa “anterior” a las“vivencias presentes”. Es ´ste un principio de ordenaci´n conceptual para vi- e ovencias (imaginadas) cuya viabilidad da pie al concepto de tiempo subjetivo,es decir, ese concepto de tiempo que remite a la ordenaci´n de las vivencias odel individuo. Objetivaci´n del concepto de tiempo. Ejemplo. La persona A (“yo”) tie- one la vivencia “cae un rayo”. La persona A vivencia al mismo tiempo uncomportamiento de la persona B que establece una conexi´n entre este com- oportamiento y la propia vivencia de “cae un rayo”. Es as´ como A atribuye a ıB la vivencia “cae un rayo”. En la persona A nace la idea de que en ese “caeun rayo” participan tambi´n otras personas. El “cae un rayo” no se concibe e
  • 76. 75ya como una vivencia exclusivamente personal, sino como vivencia (o final-mente s´lo como “vivencia potencial”) de otras personas. De este modo nace ola idea de que “cae un rayo”, que en origen apareci´ en la conciencia como o“vivencia”, puede interpretarse ahora tambi´n como un “suceso” (objetivo). ePero la esencia de todos los sucesos es aquello a lo que nos referimos cuandohablamos del “mundo real de afuera”. Hemos visto que tendemos a atribuir a las vivencias una ordenaci´n tem- oporal del tipo: Si β es posterior a α y γ posterior a β, entonces γ tambi´n es eposterior a α (seriaci´n de las “vivencias”). ¿Qu´ ocurre en este aspecto con o elos sucesos que hemos asignado a las vivencias? Lo inmediato es suponer queexiste una ordenaci´n temporal de los sucesos y que esa ordenaci´n coinci- o ode con la de las vivencias. Eso es lo que se supuso con car´cter general —e ainconscientemente— hasta que se hicieron valer ciertas dudas esc´pticas 26 . e Para acceder a una objetivaci´n del mundo hace falta otra idea construc- otiva: el suceso (event) est´ localizado tambi´n en el espacio, no s´lo en el a e otiempo. En lo que antecede hemos intentado relatar c´mo se puede establecer una orelaci´n psicol´gica entre los conceptos de espacio, tiempo y suceso, por una o oparte, y las vivencias, por otra. Contemplados l´gicamente, son creaciones olibres de la inteligencia humana, herramientas del pensamiento que debenservir para relacionar vivencias y comprenderlas as´ mejor. El intento de ıtomar conciencia de las fuentes emp´ ıricas de estos conceptos b´sicos muestra ahasta qu´ punto estamos realmente ligados a estos conceptos. De este modo enos hacemos conscientes de nuestra libertad, cuyo uso razonable en caso denecesidad es siempre un asunto duro. A este esquema relativo al origen psicol´gico de los conceptos de espacio- otiempo-event (los llamaremos brevemente “tipo espacio”, en contraposici´n oa los conceptos de la esfera psicol´gica) tenemos que a˜adir algo esencial. o nHemos conectado el concepto de espacio con vivencias con cajas y con elalojamiento de objetos corp´reos dentro de ellas. Esta formaci´n conceptual o opresupone ya, por tanto, el concepto de objeto corp´reo (p. ej., “caja”). Y en oeste contexto tambi´n desempe˜an el papel de objetos corp´reos las personas e n oque hubo que introducir para la formaci´n de un concepto objetivo de tiempo. oSe me antoja, por tanto, que la formaci´n del concepto de objeto corp´reo o odebe preceder a nuestros conceptos de tiempo y espacio. Todos estos conceptos “tipo espacio” pertenecen ya al pensamiento pre-cient´ ıfico, junto a conceptos de la esfera psicol´gica, como dolor, meta, prop´- o o 26 La ordenaci´n temporal de vivencias adquirida por v´ ac´stica puede, por ejemplo, o ıa udiferir de la ordenaci´n temporal adquirida visualmente, con lo cual no cabe identificar sin om´s la ordenaci´n temporal de los sucesos con la ordenaci´n temporal de las vivencias. a o o
  • 77. 76sito, etc. El pensamiento f´ ısico, y el de las ciencias naturales en general, secaracteriza por pretender arregl´rselas en principio con conceptos “tipo espa- acio” unicamente y aspirar a expresar con ellos todas las relaciones regulares. ´El f´ısico intenta reducir colores y tonos a vibraciones; el fisi´logo, pensamien- oto y dolor a procesos nerviosos, de tal modo que lo ps´ ıquico como tal quedaeliminado del nexo causal del ser, es decir, no aparece por ning´n lado como ueslab´n independiente en las relaciones causales. Esta actitud, que considera ote´ricamente posible la comprensi´n de todas las relaciones mediante el em- o opleo exclusivo de conceptos “tipo espacio”, es seguramente lo que se entiendeactualmente por “materialismo” (despu´s de que la “materia” haya perdido esu papel como concepto fundamental). ¿Por qu´ es necesario bajar los conceptos fundamentales del pensamiento ecient´ ıfico de sus campos ol´ ımpicos plat´nicos e intentar desvelar su origen oterrestre? Respuesta: para liberarlos del tab´ que llevan colgado y conseguir uas´ mayor libertad en la formaci´n de conceptos. El haber introducido esta ı oreflexi´n cr´ o ıtica es m´rito imperecedero de D. Hume y E. Mach en primera el´ ınea. La ciencia ha tomado los conceptos de espacio, tiempo y objeto corp´reo o(con el importante caso especial “cuerpo s´lido”) del pensamiento precien- ot´ ıfico, los ha precisado y los ha modificado. Su primer logro importante fuela creaci´n de la geometr´ euclidiana, cuya formulaci´n axiom´tica no debe o ıa o ahacernos olvidar su origen emp´ ırico (posibilidades de alojamiento de cuerposs´lidos). De origen emp´ o ırico es tambi´n, en particular, la tridimensionalidad edel espacio, as´ como su car´cter euclidiano (es posible llenarlo con “cubos” ı aid´nticos sin dejar resquicio). e La sutileza del concepto de espacio se vio acrecentada por el descubri-miento de que no existen cuerpos totalmente r´ ıgidos. Todos los cuerpos sedeforman el´sticamente y cambian de volumen al variar la temperatura. Por aeso, los objetos cuyas posibles colocaciones pretende describir la geometr´ ıaeucl´ ıdea no se pueden especificar al margen del contenido de la f´ ısica. Mas,dado que la f´ ısica tiene que hacer uso de la geometr´ desde el momento en ıaque establece sus conceptos, el contenido emp´ ırico de la geometr´ no puede ıaser especificado y contrastado sino en el marco de la f´ ısica como un todo. En este contexto hay que mencionar tambi´n el atomismo y su concepci´n e ode la divisibilidad finita, pues los espacios de extensi´n subat´mica no se o opueden medir. El atomismo obliga tambi´n a abandonar te´ricamente la idea e ode superficies lim´ ıtrofes neta y est´ticamente definidas en cuerpos s´lidos. a oEn rigor no existen entonces leyes independientes para las posibilidades dealojamiento de cuerpos s´lidos, ni siquiera en el terreno macrosc´pico. o o A pesar de todo, nadie pens´ en abandonar el concepto de espacio, porque oparec´ imprescindible en ese sistema global de la ciencia natural tan magn´ ıa ıfi-
  • 78. 77camente acreditado. Mach fue el unico que en el siglo XIX pens´ seriamente ´ oen eliminar el concepto de espacio, intentando sustituirlo por el concepto delconjunto de las distancias actuales de todos los puntos materiales. (E hizoeste intento con el fin de llegar a una concepci´n satisfactoria de la inercia.) o El campo. El espacio y el tiempo desempe˜an en la mec´nica newtoniana n aun papel doble. En primer lugar, como soporte o marco para el acontecerf´ ısico, respecto al cual los sucesos vienen descritos por las coordenadas espa-ciales y el tiempo. La materia es vista en esencia como compuesta de “puntosmateriales” cuyos movimientos constituyen el acontecer f´ ısico. Cuando se laconcibe como continua es en cierto modo con car´cter provisional y en aque- allos casos en los que no se quiere o no se puede descubrir la estructura discreta.Entonces se dispensa el tratamiento de puntos materiales a peque˜as partes n(elementos de volumen) de la materia, al menos en la medida en que se tratesimplemente de movimientos y no de procesos cuya reducci´n a movimientos ono fuese posible o conveniente (p. ej., variaciones de temperatura, procesosqu´ımicos). El segundo papel del espacio y del tiempo era el de “sistema iner-cial”. De entre todos los sistemas de referencia imaginables, los inerciales sedistingu´ por el hecho de que respecto a ellos era v´lido el principio de ıan ainercia. Lo esencial en esto es que lo “f´ ısicamente real”, imaginado como indepen-diente de los sujetos que lo vivencian, se interpretaba —al menos en teor´ ıa—como compuesto de espacio y tiempo, por un lado, y de puntos materialespermanentemente existentes y en movimiento respecto a aqu´llos, por otro. eLa idea de la existencia independiente del espacio y del tiempo cabe expre-sarla dr´sticamente as´ Si desapareciera la materia, quedar´ unicamente el a ı: ıan ´espacio y el tiempo (como una especie de escenario para el acontecer f´ ısico). La superaci´n de este punto de vista result´ de una evoluci´n que al o o oprincipio no parec´ guardar ninguna relaci´n con el problema del espacio- ıa otiempo: la aparici´n del concepto de campo y su aspiraci´n final de sustituir o oel concepto de part´ ıcula (punto material). En el marco de la f´ ısica cl´sica, ael concepto de campo se instal´ como concepto auxiliar en aquellos casos en oque se trataba la materia como un continuo. En el estudio de la conducci´n odel calor en un s´lido, por poner un caso, el estado se describe especifican- odo la temperatura en cada punto del cuerpo y en cada instante de tiempo.Matem´ticamente quiere decir: la temperatura T es representada como ex- apresi´n matem´tica (funci´n) de la coordinaci´n espacial con el tiempo t o a o o(campo de temperaturas). La ley de la conducci´n del calor se representa ocomo una relaci´n local (ecuaci´n diferencial) que comprende todos los casos o oespeciales de aqu´lla. La temperatura es aqu´ un sencillo ejemplo del concep- e ıto de campo: una magnitud (o un complejo de magnitudes) que es funci´n de o
  • 79. 78las coordenadas y del tiempo. Otro ejemplo es la descripci´n del movimiento ode un fluido. En cada punto y en cada instante existe una velocidad queviene descrita cuantitativamente por sus tres “componentes” respecto a losejes de un sistema de coordenadas (vector). Las componentes de la velocidaden un punto (componentes del campo) son tambi´n aqu´ funciones de las e ıcoordenadas (x, y, z) y del tiempo (t). Los campos mencionados se caracterizan por aparecer unicamente en el ´interior de una masa ponderable; lo unico que pretenden es describir un es- ´tado de esa materia. All´ donde no hab´ materia no pod´ existir tampoco ı ıa ıa—de acuerdo con la g´nesis del concepto— ning´n campo. En el primer cuar- e uto del siglo XIX se comprob´, sin embargo, que los fen´menos de interferencia o oy movimiento de la luz admit´ una explicaci´n asombrosamente n´ ıan o ıtida sise interpretaba la luz como un campo de ondas, completamente an´logo al acampo de oscilaciones mec´nicas en un s´lido el´stico. Fue entonces necesa- a o ario introducir un campo que pudiese existir incluso en ausencia de materiaponderable, en el vac´ ıo. Este estado de cosas cre´ una situaci´n parad´jica, porque el concepto o o ode campo, de acuerdo con su origen, parec´ limitarse a describir estados ıaen el interior de un cuerpo ponderable. Lo cual parec´ tanto m´s seguro ıa acuanto que exist´ la convicci´n de que todo campo hab´ que concebirlo ıa o ıacomo un estado mec´nicamente interpretable, presuponiendo eso la presencia ade materia. Se vio as´ la necesidad de suponer por doquier, incluso en ese ıespacio que hasta entonces se reputaba vac´ la existencia de una materia ıo,que se denomin´ “´ter”. o e La forma en que el concepto de campo se sacudi´ el yugo impuesto por oun sustrato material pertenece a los procesos psicol´gicamente m´s intere- o asantes en la evoluci´n del pensamiento f´ o ısico. En la segunda mitad del sigloXIX, y a ra´ de las investigaciones de Faraday y Maxwell, se vio cada vez ızm´s claro que la descripci´n de los procesos electromagn´ticos con ayuda a o ede la idea del campo era muy superior a un tratamiento basado en concep-tos de puntos mec´nicos. Maxwell, gracias a la introducci´n del concepto de a ocampo en la Electrodin´mica, consigui´ predecir la existencia de las ondas a oelectromagn´ticas, cuya fundamental identificaci´n con las ondas luminosas e oera indudable, aunque s´lo fuese por la igualdad de sus velocidades de pro- opagaci´n. Como consecuencia de ello, la ´ptica qued´ absorbida en principio o o opor la Electrodin´mica. Uno de los efectos psicol´gicos de este imponente ´xi- a o eto fue que el concepto de campo adquiri´ paulatinamente mayor autonom´ o ıafrente al marco mecanicista de la f´ ısica cl´sica. a Pese a todo, se dio en un principio por supuesto que los campos electro-magn´ticos hab´ que interpretarlos como estados del ´ter, y se intent´ con e ıa e ogran celo explicar estos estados como mec´nicos. Tuvieron que fracasar estas a
  • 80. 79tentativas una y otra vez para que se empezara a renunciar poco a poco a lainterpretaci´n mec´nica, persistiendo sin embargo el convencimiento de que o alos campos electromagn´ticos eran estados del ´ter. As´ estaban las cosas e e ıhacia la vuelta del siglo. La teor´ del ´ter trajo consigo la pregunta de c´mo se comporta mec´ni- ıa e o acamente el ´ter frente a los cuerpos ponderables. ¿Participa de los movimien- etos de los cuerpos o est´n sus partes en reposo mutuo? Muchos fueron los aexperimentos ingeniosos que se realizaron para dirimir esta cuesti´n. Como ohechos que eran importantes en este contexto entraban tambi´n en conside- eraci´n la aberraci´n de las estrellas fijas como consecuencia del movimiento o oanual de la Tierra, as´ como el “efecto Doppler” (influencia del movimien- ıto relativo de las estrellas fijas sobre la frecuencia de la luz que llega hastanosotros y que posee una frecuencia de emisi´n conocida). Los resultados ode estos hechos y experimentos (salvo uno, el experimento de Michelson-Morley) los explic´ H. A. Lorentz con la hip´tesis de que el ´ter no participa o o ede los movimientos de los cuerpos ponderables y de que las partes del ´ter eno tienen absolutamente ning´n movimiento relativo mutuo. El ´ter aparec´ u e ıaas´ en cierto modo como la encarnaci´n de un espacio absolutamente en re- ı oposo. Pero la investigaci´n de Lorentz dio adem´s otros frutos. Explic´ los o a oprocesos electromagn´ticos y ´pticos entonces conocidos en el interior de los e ocuerpos ponderables, suponiendo para ello que el influjo de la materia pon-derable sobre el campo el´ctrico (y a la inversa) se debe exclusivamente a que elas part´ ıculas de la materia portan cargas el´ctricas que participan del movi- emiento de las part´ ıculas. En relaci´n con el experimento de Michelson-Morley odemostr´ H. A. Lorentz que su resultado no estaba al menos en contradicci´n o ocon la teor´ del ´ter en reposo. ıa e Pese a todos estos ´xitos tan hermosos, el estado de la teor´ no era del e ıatodo satisfactorio, por la siguiente raz´n. La Mec´nica cl´sica, de la cual no o a acab´ dudar que era v´lida con gran aproximaci´n, postula la equivalencia ıa a ode todos los sistemas inerciales (o espacios inerciales) para la formulaci´n de olas leyes de la naturaleza (invariancia de las leyes de la naturaleza respectoal paso de un sistema inercial a otro). Los experimentos electromagn´ticos ey ´pticos demostraron lo mismo con gran exactitud, mientras que el funda- omento de la teor´a electromagn´tica postulaba el privilegio de un sistema ı einercial especial, a saber, el del ´ter lumin´ e ıfero en reposo. Esta concepci´n odel fundamento te´rico era demasiado insatisfactoria. ¿No cab´ alguna mo- o ıadificaci´n de ´ste que respetara —como la Mec´nica cl´sica— la equivalencia o e a ade los sistemas inerciales (principio de la relatividad especial)? La respuesta a esta pregunta es la teor´ de la relatividad especial, que ıatoma de la de Maxwell-Lorentz la hip´tesis de la constancia de la velocidad ode la luz en el vac´ Para hacer que esta hip´tesis sea compatible con la ıo. o
  • 81. 80equivalencia de los sistemas inerciales (principio de la relatividad especial)hay que abandonar el car´cter absoluto de la simultaneidad; aparte de eso, ase siguen de ah´ las transformaciones de Lorentz para el tiempo y para las ıcoordenadas espaciales, que permiten pasar de un sistema inercial a otro.El contenido entero de la teor´ de la relatividad especial se contiene en el ıapostulado siguiente: las leyes de la naturaleza son invariantes respecto a lastransformaciones de Lorentz. La importancia de este requisito reside en querestringe de manera muy determinada las posibles leyes de la naturaleza. ¿Cu´l es la postura de la teor´ de la relatividad especial frente al proble- a ıama del espacio? Ante todo hay que guardarse de la opini´n de que fue esta oteor´ la que introdujo el car´cter cuadridimensional de la realidad. Tambi´n ıa a een la Mec´nica cl´sica vienen localizados los sucesos (events) mediante cua- a atro n´meros, tres coordenadas espaciales y otra temporal; la totalidad de los u“sucesos” f´ ısicos se concibe, pues, como inmersa en una variedad continuacuadridimensional. Pero, seg´n la Mec´nica cl´sica, este continuo cuadridi- u a amensional se descompone objetivamente en un tiempo unidimensional y ensecciones espaciales tridimensionales que s´lo contienen sucesos tridimensio- onales. Esta descomposici´n es la misma para todos los sistemas inerciales. oLa simultaneidad de dos sucesos determinados respecto a un sistema iner-cial implica la simultaneidad de estos sucesos respecto a todos los sistemasinerciales. Esto es lo que debe entenderse cuando se dice que el tiempo de laMec´nica cl´sica es absoluto. En la teor´ de la relatividad especial ya no es a a ıaas´ La idea del conjunto de sucesos que son simult´neos a otro determinado ı. aexiste en relaci´n a un determinado sistema inercial, pero ya no con indepen- odencia de la elecci´n del sistema inercial. El continuo cuadridimensional no ose descompone ya objetivamente en secciones que contienen todos los suce-sos simult´neos; el “ahora” pierde para el mundo, espacialmente extenso, su asignificado objetivo. De ah´ que haya que concebir espacio y tiempo, objetiva- ımente indisolubles, como un continuo cuadridimensional si se quiere expresarel contenido de las relaciones objetivas sin arbitrariedades convencionales yprescindibles. La teor´ de la relatividad especial, al demostrar la equivalencia f´ ıa ısicade todos los sistemas inerciales, puso de manifiesto el car´cter insostenible ade la hip´tesis del ´ter en reposo. Hubo que renunciar por eso a la idea de o einterpretar el campo electromagn´tico como estado de un sustrato material. eEl campo se convierte as´ en un elemento irreducible de la descripci´n f´ ı o ısica,e irreducible en el mismo sentido que el concepto de materia en la teor´ ıanewtoniana. Hasta aqu´ hemos centrado la atenci´n en el tema de hasta qu´ punto ı o ela teor´ de la relatividad especial modific´ los conceptos de espacio y tiem- ıa opo. Vamos a fijarnos ahora en aquellos elementos que la teor´ tom´ de la ıa o
  • 82. 81mec´nica cl´sica. Al igual que en ´sta, en la relatividad especial las leyes de a a ela naturaleza s´lo aspiran a validez cuando la descripci´n espacio-temporal se o obasa en un sistema inercial. El principio de inercia y el de la constancia de lavelocidad de la luz solamente son v´lidos respecto a un sistema inercial. Tam- abi´n las leyes del campo aspiran a tener sentido y validez respecto a sistemas einerciales unicamente. Por consiguiente, al igual que en la Mec´nica cl´sica, ´ a ael espacio es, tambi´n aqu´ una componente independiente de la representa- e ı,ci´n de lo f´ o ısicamente real. El espacio (inercial) —o con m´s exactitud, este aespacio, junto con el correspondiente tiempo— es lo que queda al suprimirmentalmente la materia y el campo. Esta estructura cuadridimensional (es-pacio de Minkowski) se concibe como soporte de la materia y del campo. Losespacios inerciales, con sus correspondientes tiempos, son s´lo sistemas de ocoordenadas cuadridimensionales privilegiados que se relacionan entre s´ a ıtrav´s de transformaciones de Lorentz lineales. Dado que en esta estructu- era cuadridimensional ya no hay secciones que representen objetivamente el“ahora”, el concepto de “ocurrir” y “devenir” no es que quede eliminadocompletamente, pero s´ se complica. Parece, por tanto, m´s natural imaginar ı alo f´ısicamente real como un ser cuadridimensional en lugar de contemplarlo,como hasta entonces, como el devenir de un ser tridimensional. Este espacio cuadridimensional r´ ıgido de la teor´ de la relatividad espe- ıacial es en cierto modo el hom´logo cuadridimensional del ´ter tridimensional o er´ ıgido de H. A. Lorentz. Para esta teor´ vale tambi´n el enunciado: la des- ıa ecripci´n de los estados f´ o ısicos presupone el espacio como algo que viene dadode antemano y que lleva una existencia independiente. Quiere decirse queesta teor´ tampoco elimina el recelo de Descartes en punto a la existencia ıaaut´noma, incluso a priori, del “espacio vac´ El mostrar hasta qu´ punto o ıo”. ela teor´ de la relatividad general supera estas reservas es la verdadera meta ıade estas reflexiones elementales. El concepto de espacio en la teor´ de la relatividad general. Esta teor´ ıa ıanaci´ en principio del intento de comprender la igualdad entre masa inercial oy masa gravitatoria. Se parte de un sistema inercial S1 cuyo espacio est´ f´ a ısi-camente vac´ Quiere decir esto que en la porci´n de espacio considerada no ıo. oexiste ni materia (en el sentido usual) ni un campo en el sentido de la teor´ıade la relatividad especial. Sea S2 un segundo sistema de referencia uniforme-mente acelerado respecto a S1 . S2 no es, pues, un sistema inercial. Respectoa S2 , cualquier masa de prueba se mover´ aceleradamente, y adem´s in- ıa adependientemente de su constituci´n f´ o ısica y qu´ ımica. Respecto a S2 existepor tanto un estado que —al menos en primera aproximaci´n— no cabe odistinguir de un campo gravitacional. El estado de cosas que se percibe espor tanto compatible con la siguiente concepci´n: tambi´n S2 es equivalente o e
  • 83. 82a un “sistema inercial”, pero respecto a S2 existe un campo gravitacional(homog´neo) (cuyo origen no nos preocupa en este contexto). As´ pues, si se e ıincluye el campo gravitacional en el marco de las consideraciones, entonces elsistema inercial pierde su significado objetivo, siempre y cuando este “prin-cipio de equivalencia” se pueda extender a cualquier movimiento relativo delos sistemas de referencia. Si es posible fundamentar en estas ideas b´sicas auna teor´ consistente, entonces satisfar´ de por s´ el hecho, emp´ ıa a ı ıricamentemuy bien fundado, de la igualdad entre masa inercial y gravitatoria. Cuadridimensionalmente, el paso de S1 a S2 se corresponde con una trans-formaci´n no lineal de las cuatro coordenadas. Se plantea entonces la pregun- ota: ¿qu´ transformaciones no lineales deben permitirse?, o bien ¿c´mo debe e ogeneralizarse la transformaci´n de Lorentz? Para responder a esta pregunta oes decisiva la siguiente reflexi´n. o Al sistema inercial de las teor´ anteriores se le atribuye la propiedad de ıasque las diferencias de coordenadas se miden por medio de reglas “r´ ıgidas” (enreposo) y las diferencias temporales mediante relojes (en reposo). El primersupuesto se complementa con la hip´tesis de que para las posibilidades de co- olocaci´n relativa de las reglas en reposo valen los teoremas sobre “segmentos” ode la geometr´ euclidiana. De los resultados de la teor´ de la relatividad ıa ıaespecial se infiere entonces, mediante consideraciones elementales, que estainterpretaci´n f´ o ısica directa de las coordenadas se echa a perder para siste-mas de referencia (S2 ) acelerados respecto a sistemas inerciales (S1 ). Mas enese caso las coordenadas s´lo expresan ya el orden de lo “yuxtapuesto” (y ocon ello el grado de dimensiones del espacio), pero no las propiedades m´tri-ecas del espacio. De esta manera se llega a extender las transformaciones acualesquiera transformaciones continuas27 . Esto es lo que implica la teor´ de ıala relatividad general. Las leyes de la naturaleza tienen que ser covariantesrespecto a cualesquiera transformaciones continuas de las coordenadas. Esterequisito (en conjunci´n con el de la m´xima simplicidad l´gica de las leyes) o a orestringe las posibles leyes naturales de un modo incomparablemente m´s afuerte que el principio de la relatividad especial. El razonamiento se basa esencialmente en el campo como concepto inde-pendiente. Pues las condiciones que prevalecen respecto a S2 se interpretancomo campo gravitacional, sin que se plantee la cuesti´n de la existencia de omasas que engendren el campo. Y este razonamiento permite tambi´n com- eprender por qu´ las leyes del campo gravitacional puro est´n conectadas m´s e a adirectamente con la idea de la relatividad general que las leyes para campos declase general (cuando existe un campo electromagn´tico, por ejemplo). Pues etenemos buenas razones para suponer que el espacio de Minkowski “libre de 27 Sirva aqu´ esta manera de expresarnos, aunque no sea exacta. ı
  • 84. 83campo” representa un caso especial permitido por las leyes de la naturaleza,y en concreto el caso especial m´s sencillo que cabe imaginar. Un espacio asemejante se caracteriza, en relaci´n a su propiedad m´trica, por el hecho de o eque dx2 + dx2 + dx2 es el cuadrado de la distancia espacial, medida con una 1 2 3regla unidad, entre dos puntos infinitesimalmente pr´ximos de una secci´n o oespacial tridimensional (teorema de Pit´goras), mientras que dx2 es la dis- a 4tancia temporal —medida con una unidad de tiempo conveniente— entre dossucesos con (x1 , x2 , x3 ) comunes. De aqu´ se deduce —como es f´cil mostrar ı acon ayuda de las transformaciones de Lorentz— que la cantidad ds2 = dx2 + dx2 + dx2 − dx2 1 2 3 4 (1)posee un significado m´trico objetivo. Matem´ticamente se corresponde este e ahecho con la circunstancia de que ds2 es invariante respecto a transformacio-nes de Lorentz. Si, en el sentido del principio de la relatividad general, se somete ahoraeste espacio a una transformaci´n de coordenadas arbitraria pero continua, oesa cantidad objetivamente significativa se expresa en el nuevo sistema decoordenadas por la relaci´no ds2 = gik dxi · dxk (2)donde hay que sumar en los sub´ ındices i y k en todas sus combinaciones 11,12, . . . hasta 44. Ahora bien, las gik ya no son constantes, sino funciones delas coordenadas, y vienen determinadas por la transformaci´n arbitrariamen- ote elegida. A pesar de ello, las gik no son funciones arbitrarias de las nuevascoordenadas, sino precisamente funciones tales que la forma (2) pueda trans-formarse de nuevo en la forma (1) mediante una transformaci´n continua ode las cuatro coordenadas. Para que esto sea posible, las funciones gik tie-nen que cumplir ciertas ecuaciones generalmente covariantes que B. Riemannderiv´ m´s de medio siglo antes del establecimiento de la teor´ de la relati- o a ıavidad general (“condici´n de Riemann”). Seg´n el principio de equivalencia, o u(2) describe en forma generalmente covariante un campo gravitacional detipo especial, siempre que las gik cumplan la condici´n de Riemann. o As´ pues, la ley para el campo gravitacional puro de tipo general debe ıcumplir las siguientes condiciones. Debe satisfacerse cuando se satisface lacondici´n de Riemann; pero debe ser m´s d´bil, es decir, menos restrictiva o a eque la condici´n de Riemann. Con ello queda pr´cticamente determinada o apor completo la ley de campo de la gravitaci´n pura, cosa que no vamos a ofundamentar aqu´ con m´s detalle. ı a Ahora ya estamos preparados para ver hasta qu´ punto el paso a la teor´ e ıade la relatividad general modifica el concepto de espacio. Seg´n la Mec´nica u a
  • 85. 84cl´sica y seg´n la teor´ de la relatividad especial, el espacio (espacio-tiempo) a u ıatiene una existencia independiente de la materia o del campo. Para poder des-cribir aquello que llena el espacio, aquello que depende de las coordenadas,hay que imaginar que el espacio-tiempo, o el sistema inercial con sus pro-piedades m´tricas, viene dado desde un principio, porque si no carecer´ de e ıasentido la descripci´n de “aquello que llena el espacio”28 . Por el contrario, oseg´n la teor´ de la relatividad general, el espacio no tiene existencia pecu- u ıaliar al margen de “aquello que llena el espacio”, de aquello que depende delas coordenadas. Sea, por ejemplo, un campo gravitacional puro descrito porlas gik (como funciones de las coordenadas) mediante resoluci´n de las ecua- ociones gravitacionales. Si suprimimos mentalmente el campo gravitatorio, esdecir, las funciones gik , lo que queda no es algo as´ como un espacio del tipo ı(1), sino que no queda absolutamente nada, ni siquiera un “espacio topol´gi- oco”. Pues las funciones gik describen no s´lo el campo, sino al mismo tiempo otambi´n la estructura y propiedades topol´gicas y m´tricas de la variedad. e o eUn espacio del tipo (1) es, en el sentido de la teor´ de la relatividad general, ıano un espacio sin campo, sino un caso especial del campo gik para, el cuallas gik (para el sistema de coordenadas empleado, que en s´ no tiene ning´n ı usignificado objetivo) poseen valores que no dependen de las coordenadas; elespacio vac´ es decir, un espacio sin campo, no existe. ıo, As´ pues, Descartes no estaba tan confundido al creerse obligado a excluir ıla existencia de un espacio vac´ Semejante opini´n parece ciertamente ab- ıo. osurda mientras uno s´lo vea lo f´ o ısicamente real en los cuerpos ponderables.Es la idea del campo como representante de lo real, en combinaci´n con el oprincipio de la relatividad general, la que muestra el verdadero meollo de laidea cartesiana: no existe espacio “libre de campo”. Teor´a de la gravitaci´n generalizada. La teor´ del campo gravitacional ı o ıapuro, asentada sobre el firme de la teor´ de la relatividad general, es f´cil- ıa amente accesible porque podemos confiar en que el espacio de Minkowski “librede campo” con la m´trica de (1) tiene que corresponderse con las leyes gene- erales del campo. A partir de este caso especial se sigue la ley de gravitaci´n omediante una generalizaci´n pr´cticamente exenta de toda arbitrariedad. La o aulterior evoluci´n de la teor´ no est´ tan un´ o ıa a ıvocamente determinada por elprincipio de la relatividad general; en los ultimos decenios ha habido inten- ´tos en distintas direcciones. Todos ellos tienen en com´n la interpretaci´n u ode lo f´ ısicamente real como campo, siendo ´ste una generalizaci´n del campo e ogravitacional y la ley del campo una generalizaci´n de la ley para el campo o 28 Si se suprime mentalmente aquello que llena el espacio (p. ej., el campo), queda todav´ ıael espacio m´trico seg´n (1), que tambi´n ser´ determinante para el comportamiento e u e ıainercial de un cuerpo de prueba introducido en ´l. e
  • 86. 85gravitacional puro. Creo que ahora, tras largos tanteos, he hallado la formam´s natural para esta generalizaci´n29 ; pero hasta la fecha no he logrado a oaveriguar si esta ley generalizada resiste o no la confrontaci´n con los hechos oexperimentales. Para las consideraciones generales que anteceden es secundario conocerla ley del campo concreta. La cuesti´n principal es actualmente la de si una oteor´ de campo como la que aqu´ nos interesa puede siquiera llevarnos al ıa ıobjetivo. Nos referimos a una teor´ que describa exhaustivamente lo f´ ıa ısica-mente real (con inclusi´n del espacio cuadridimensional) mediante un campo. oLa presente generaci´n de f´ o ısicos se inclina por contestar negativamente a estapregunta; opinan, en concordancia con la forma actual de la teor´ cu´ntica, ıa aque el estado de un sistema no se puede caracterizar directa sino s´lo indirec- otamente, mediante especificaci´n de la estad´ o ıstica de las medidas realizadasen el sistema; prevalece la convicci´n de que la naturaleza dual (corpuscular y oondulatoria), confirmada experimentalmente, s´lo puede alcanzarse median- ote un debilitamiento semejante del concepto de realidad. Mi opini´n es que onuestros conocimientos reales no justifican una renuncia te´rica de tan largo oalcance, y que no se deber´ dejar de estudiar hasta el final el camino de la ıateor´ de campos relativista. ıa FIN 29 La generalizaci´n cabe caracterizarla del siguiente modo. El campo gravitacional puro ode los gik posee, de acuerdo con su derivaci´n a partir del “espacio de Minkowski” vac´ o ıo,la propiedad de simetr´ gik = gki (g12 = g21 , etc.). El campo generalizado es de la ıamisma clase, pero sin esa propiedad de simetr´ La derivaci´n de la ley del campo es ıa. ocompletamente an´loga a la del caso especial de la gravitaci´n pura. a o
  • 87. 86 albert einstein Sobre la teor´ ıa de la relatividad especial y generalT´ ¨ ıtulo ORIGINAL: Uber die spezielte und allgemeine Relatiuit´tstheorie a DISE˜O DE CUBIERTA: Nesl´ Soul´ n e e EDICIONES ALTAYA, S.A. c The Albert Einstein Archives, The Jewish National & University Library. The Hebrew University of Jerusalem, Israel c de la traducci´n: Miguel Paredes Larrucea c 1984, 1986, 1988, 1991, o 1994, 1995, 1996 Alianza Editorial, S.A. Madrid c 1998, Ediciones Altaya, S.A. ISBN Obra Completa: 84-487-1250-1 ISBN volumen 2: 8“87-l 252-8 DEP´SITO LEGAL: B-40.417-98 oImpreso en Espa˜a-Printed in Spain FECHA DE REIMPRESI´N: febrero n o de 1999 Escaneado por C. Alado [Eleute] Octubre de 2002

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