Libro matematica basica
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  • 1. MATEMÁTICA BÁSICA I UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ Vice Rectorado de Investigación"MATEMÁTICA BÁSICA I" TINS BásicosDERECHO, ADMINISTRACIÓN, CONTABILIDAD Y CIENCIAS DE LA COMUNICACIÓN TEXTOS DE INSTRUCCIÓN BÁSICOS (TINS) / UTP Lima - Perú 2007 1
  • 2. MATEMÁTICA BÁSICA I© MATEMÁTICA BÁSICA IDesarrollo y Edición: Vice Rectorado de InvestigaciónElaboración del TINS: • Dr. Juan José Sáez VegaDiseño y Diagramación: • Julia María Saldaña Balandra • Fiorella Zender Espinoza VillanuevaSoporte académico: Instituto de InvestigaciónProducción: Imprenta Grupo IDATQueda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y transformaciónde esta obra. 2
  • 3. MATEMÁTICA BÁSICA I PRESENTACIÓNLa matemática, ciencia de la más alta jerarquía, en el conciertode las Ciencias, desde los albores de la civilización humana siguesiendo la base del desarrollo científico y tecnológico de nuestromundo.De allí, que en la formación académica, la UTP privilegia el estudiode la matemática, en la convicción de dotar a sus estudiantesfirme pensamiento abstracto y amplio pensamiento innovador.En esta proyección se ha desarrollado el presente texto deinstrucción, dirigido a estudiantes de las Carreras de: Derecho,Administración, Contabilidad y Ciencias de la Comunicación,para la Asignatura de Matemática Básica I.Plasma la preocupación institucional de innovación de laorientación del aprendizaje en educación universitaria, que enacelerada continuidad promueve la producción de materialeseducativos, actualizados en concordancia a las exigencias deestos tiempos.La estructura del contenido del texto permitirá lograrconocimientos de Matemática; progresivamente modelada enfunción del syllabus de la Asignatura acotada líneas arriba;contenido elaborado mediante un proceso acucioso de 3
  • 4. MATEMÁTICA BÁSICA Irecopilación de temas, desarrollados en diferentes fuentesbibliográficas.La conformación del texto ha sido posible gracias al esfuerzo ydedicación académica del Profesor: Dr. Juan José Sáez Vega. Larecopilación aludida de temas pertinentes, consistentes yactualizados, para estudiantes del primer ciclo, tiene el siguienteordenamiento temático:Conjuntos básicos y numéricos que permiten aclarar las nocionesde números y su clasificación en naturales, enteros, racionales,irracionales hasta completar los reales.Ecuaciones e inecuaciones que son básicas para el estudio delÁlgebra.Relaciones binarias que son fundamentales para la comprensiónde las funciones básicas al estudio de la Geometría Analítica.Los lugares geométricos: rectas y circunferencias conectadas anociones algebraicas con problemas diversos dentro de lacarrera.Al cerrar esta presentación debemos reconocer el esfuerzo ytrabajo de los profesores que han permitido la elaboración delpresente texto y la dedicación paciente del Dr. José ReateguiCanga en la revisión de los contenidos. Vice-Rectorado de Investigación 4
  • 5. MATEMÁTICA BÁSICA I INDICECAPITULO I: LOGICA SIMBOLICA Y CALCULO PROPOSICIONAL SEMANA 01 1. Enunciados ………………………………………………………. 8 2. Proposiciones Simples …………………………………………. 8 3. Relaciones Proposicionales ……………………………………. 10 SEMANA 02 4. Proposiciones Compuestas: Leyes del Algebra Proposicional 16 5. Regla de Inferencia ……………………………………………… 20 6. Cuantificadores ………………………………………………….. 24 7. Negación de Cuantificadores ………………………………….. 25CAPITULO II: ALGEBRA DE CONJUNTOS SEMANA 03 1. Determinación de un Conjunto ………………………………… 31 2. Clases de Conjuntos ……………………………………………. 33 3. Relaciones entre conjuntos ……………………………………. 36 4. Representación gráfica de los Conjuntos ……………………. 40 SEMANA 04 5. Operaciones con los conjuntos ………………………………… 43 SEMANA 05 6. Problemas con los conjuntos …………………………………… 47CAPITULO III: ALGEBRA DE NUMEROS 1. Teoría de los Números ………………………………………….. 63 SEMANA 06 2. Exponentes y Radicales ………………………………………… 76CAPITULO IV: MATRICES 1. Definición. Generalidades ………………………………………. 113 2. Suma de matrices ……………………………………………….. 114 SEMENA 07 3. Multiplicación de matrices por una escalar……………………. 115 4. Multiplicación de matrices ………………………………………. 115 SEMANA 08 5. La matriz de identidad ………………………………….……….. 117 6. Problemas de matrices ...………………………………………… 121 SEMANA 09 7. Determinación de la matriz A …………………………………… 127 8. Problemas de determinantes ….……………………………….. 131 SEMANA 11CAPITULO V: ALGEBRA DE ECUACIONES 1. Desigualdad: Propiedades ……………………………………… 188 2. Inecuaciones ……………………………………………………... 190 3. Resolución de ecuaciones con radicales ……………………… 194 5
  • 6. MATEMÁTICA BÁSICA I SEMANA 12 4. Ejercicios: Ecuaciones Exponenciales ……………………….. 196 5. Ejercicios: Ecuaciones Logarítmicas …………………………. 203CAPITULO VI: RELACIONES SEMANA 13 1. Relación binaria: propiedades …………………………………. 205 2. Relaciones de equivalencia ……………………………………. 207 3. Partición de un Conjunto ……………………………………….. 208 SEMANA 14 4. Postulado de Cantor-Dedekind ………………………………… 212 5. Sistema Cartesiano Rectangular ……………………………… 214 6. Carácter de la Geometría Analítica …………………………… 218 SEMANA 15 7. Distancia entre puntos ………………………………………….. 219 8. Pendiente de una recta …………………………………………. 224 9. Discutir y graficar una recta ……………………………………. 231CAPITULO VII: LA CIRCUNFERENCIA SEMANA 16 1. Ecuación de la Circunferencia …………………………………. 269 2. Familias de Circunferencias .……………………………….….. 289CAPITULO VIII: LA PARABOLA SEMANA 17 1. Definiciones ……………………………………………………… 305 2. Ecuación de la Parábola ……………………………………….. 306 SEMANA 18 3. Ecuación de la Tangente a una Parábola ……………………. 325 6
  • 7. MATEMÁTICA BÁSICA I CAPÍTULO I LÓGICA SIMBÓLICA Y CÁLCULO PROPOSICIONALEl autor que definió por primera vez en la historia fue Russell: “Unaproposición es todo lo que es cierto o lo que es falso”. Uno de los finesdel cálculo de proposiciones es la solución de ciertas contradicciones dela matemática; así, apela al llamado principio del circulo vicioso de todolo que afecta a una colección total y no, a una parte de la misma; talcomo lo indica Burali-Forti: “Si una colección tuviera un total, tendrámiembros que sólo se podrían definir en función de ese total, y por tantodicha colección no tiene total”.Partiendo de esto, los autores de los Principia (diremos de pasada queese es un tipo de “descripción” ampliamente analizado en su obra)separaron las funciones proporcionales en tipos según posiblesargumentos. Pero para los que prefieren expresar el axioma en ellenguaje de la lógica clásica, los autores dicen que su “axioma dereducibilidad es equivalente a la hipótesis de que „toda combinación odesintegración de predicados es equivalente a un solo predicado„” en lainteligencia de que “la combinación o desintegración se supone dada encontenido”.Algunos hechos trascendentes y singularmente importantes; como es laestructura matemática supone la necesidad de razonar en forma válida.Es necesaria una absoluta claridad y distinguir todo lo concerniente al 7
  • 8. MATEMÁTICA BÁSICA Irazonamiento deductivo válido; significado de palabras usuales,proposiciones, definiciones, teoremas, eliminación de complicaciones,eliminar falacias y ambigüedades.La prestancia y calidad de la matemática es necesaria para evitar elrechazo del estudiante a esta ciencia formal, básico para el desarrollo deotras ciencias, denominadas fácticas. Es la misión de todo maestro:Educar y formar sin rechazo al estudiante.1.1 ENUNCIADOS Son palabras que se emiten para comunicarse con otras personas. Ej: 1. ¿Estuviste de viaje? 2. Pase adelante y siéntese. 3. El clima está fresco. 4. 8 es un número impar. 5. Vamos al estadio. 6. Antonio es amigo de Lizet. Se trata de 6 proposiciones: una pregunta, una orden y cuatro declarativas. Las primeras no son verdaderas, ni falsas; las cuatro últimas pueden ser verdaderas o falsas; a las que se conocen como: proposiciones.1.2 PROPOSICIONES Son enunciados de las que podemos afirmar, sin errores, que son verdaderas o falsas. 8
  • 9. MATEMÁTICA BÁSICA IPodemos decir con propiedad que: Proposición es elsignificado de toda oración declarativa. Toda proposición serepresenta con una letra minúscula: p; q; r; s; t ................Ejemplos:p : El sol está radiante.q : Carlos es estudioso.r : Fernando es un buen profesional.s : Lizet es bonita.t : La rosa es bella.u : Está lloviendo.De todas las oraciones declarativas podemos afirmar: si sonverdaderas o falsas.Negación de Proposiciones.- La negación de la proposición p es~ p (no p); obtenida anteponiendo el adverbio “no” a la primera.Ejemplo:p : Hace frío~p : No hace frío.~q : Carlos no es deportista.q : Carlos es deportista. EJERCICIOS PROPUESTOS1. Indique 10 ejemplos de enunciados.2. Diga cuáles son proposiciones y represente con una letra.3. Niegue las proposiciones indicadas. 9
  • 10. MATEMÁTICA BÁSICA I1.3 RELACIONES PROPOSICIONALES 1.3.1 EL CONECTIVO CONJUNCIÓN ( ).- Se dice que, dos o más proposiciones quedan relacionadas mediante el conectivo conjunción ( ) si se les interponen la letra “y”. Ejemplo. p : Está lloviendo. q : Hace frío. p q: Está lloviendo y hace frío. q : Carlos estudia. s : Carlos es deportista. q r : Carlos estudia y es deportista. Principio del valor de verdad.- La conjunción es verdadera, sí y sólo si, ambas proposiciones son verdaderas. Considera la corriente eléctrica; si pasa la corriente es verdadera y sí se interrumpe es falsa. p q p q V V V V F F F V F F F F La conjunción es verdadera, sí y sólo sí, ambas proposiciones son verdaderas. Ejemplo: Demostrar el valor de verdad de las proposiciones: 1) p ~q 3) p q 2) ~ p ~q 4) ~ p q 10
  • 11. MATEMÁTICA BÁSICA I1.3.2 EL CONECTIVO DISYUNCIÓN ( ).- Se dice, que, dos omás proposiciones forman una disyunción, si se les interponen laletra “o”, con sentido incluyente. Ejemplo:p : me compro zapatillas.q : me compro una camisa.pvq : me compro zapatillas o una camisa.Principio del valor de verdad.- La relación de disyunción esfalsa, sí y sólo sí, ambas proposiciones son falsas. V V V V V F F V V F F F p q p q V V V V F V F V V F F F 11
  • 12. MATEMÁTICA BÁSICA I La disyunción es falsa, sí y sólo sí, ambas proposiciones son falsas. 1.3.3 DISYUNCIÓN EXCLUSIVA ( ).- Dos o más proposiciones forman una disyunción exclusiva ( ) si se les interponen la letra “o” y al final se agregan las palabras “pero no ambos” (as). Principio del valor de verdad p q p q V V F V F V F V V F F F El conectivo disyunción exclusiva; es verdadera sí y sólo sí, una de las proposiciones es verdadera (V) y la otra es falsa (F). 1.3.4 EL CONECTIVO IMPLICACIÓN O CONDICIONAL ().- Con las proposiciones p y q; se denomina relación de implicación o condicional (pq); cuando se le antepone a la primera proposición la palabra “si” y se les interponen la palabra “entonces”. Ejemplo: p : Estudio mis asignaturas. q : Aprobaré mis exámenes. pq: Sí, estudio entonces aprobaré mis exámenes. p : Antecedente q : Consecuente 12
  • 13. MATEMÁTICA BÁSICA IPrincipio del valor de verdadPara demostrar el principio del valor de verdad, utilicemos unejemplo muy humano con un niño:p : Juanito se porta bien.q : Le regalaré un chocolate.pq : Sí, Juanito te portas bien entonces te regalaré un chocolate.- Juanito se portó bien (V); se le regala el chocolate (V) es verdadera (V).- Juanito se portó bien (V); no se le regala el chocolate (F); es injusto, luego es falsa (F).- Juanito se portó mal (F); como se le quiere y engríe, se le regala el chocolate (V); es verdadero (V).- Juanito se portó mal; no se le regala el chocolate; es justo, luego es verdadero (V). p q pq V V V V F F F V V F F VLa implicación o condicional, es falsa (F) sí y sólo sí; la primeraproposición (antecedente) es verdadera (V) y la segunda(consecuente) es falsa (F). 13
  • 14. MATEMÁTICA BÁSICA I 1.3.5 EL CONECTIVO BICONDICIONAL O DOBLE IMPLICACIÓN ( ).- Dadas las proposiciones p y q, se denomina bicondicional o doble implicación a la proposición (p  q) (q  p). Principio del valor de verdad p q p q V V V V F F F V F F F V La bicondicional o doble implicación es verdadera (V) sí y sólo sí, ambas proposiciones son verdaderas (v) o falsas (F). 1.3.6 EL CONECTIVO CONJUNCIÓN NEGATIVA ( ).- Dadas las proposiciones p y q; se dice que forman una conjunción negativa sí y sólo sí; en el conectivo p q se niegan ambas proposiciones: (~p ~q) (p q) Principio del valor de verdad p q p q ~p ~q ~p ~q p q p q V V V F F F V V F V F F F V F V F F F V F V F F F V F F F F V V V F F V La conjunción negativa ( ) es verdadera (V) sí y sólo sí, ambas proposiciones son falsas (F). 14
  • 15. MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOS1. Dadas las siguientes proposiciones: Si: p : Hace frío q : La manzana es agradable r : Juan es inteligente s : Lorena es bonita Representar con oraciones declarativas las proposiciones: 1. p q 7. ~p q 2. r s 8. s ~r 3. ps 9. ~p  s 4. s q 10. s ~q 5. q s 11. ~q s 6. r q 12. r ~q 3. Indique (5) cinco ejemplos de proposiciones: Niegue los (5) cinco ejemplos que propuso. Con los ejemplos indicados represente con oraciones declarativas: a) p q g) ~p q b) t r h) ~r t c) sp i) ~s  ~p d) q s j) q ~s e) p q k) ~q p f) s t r) ~s ~t 15
  • 16. MATEMÁTICA BÁSICA I1.4. PROPOSICIONES COMPUESTAS Si una proposición compuesta, se relaciona con otras proposiciones simples o compuestas mediante signos de colección: paréntesis ( ); llaves { }; corchetes [ ]; o barras / / se les separan con punto y coma (;). Ejemplos: p : está lloviendo. q : La fruta es deliciosa. r : Juan es estudioso. (p ~q)  r Si está lloviendo y la fruta no es deliciosa; entonces Juan es estudioso. p (q ~r) Está lloviendo; o, la fruta es deliciosa sí y sólo sí Juan no es estudioso. EJERCICIOS PROPUESTOS p : está nevando. q : Antonio es inteligente. r : La rosa es bella. Representar con oraciones declarativas: 1. p  (q r) 2. (r ~q) v p 3. (p ~r) v (q p) 4. (p r) (q ~p) 16
  • 17. MATEMÁTICA BÁSICA ITAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIÓN, CONTINGENCIA Y LEYES DELÁLGEBRA PROPOSICIONALA. TAUTOLOGÍA.- Se dice que una proposición compuesta es tautológica; sí y sólo sí; en sus tablas de verdad, todas son verdaderas sin que interesen las tablas de verdad de las proposiciones simples.B. CONTRADICCIÓN.- Se dice que una proposición compuesta, forma una contradicción, sí y sólo sí, sus tablas de verdades, todas son falsas, sin que interesen las tablas de verdades de las proposiciones simples.C. CONTINGENCIA.- Se dice que una proposición compuesta, forma una contingencia, sí y sólo sí, sus tablas de verdades, no son tautológicas ni contradictorias. EJERCICIOS PROPUESTOS Demostrar sus tablas de verdades, si son: tautológicas, contradictorias o son una contingencia. 1. (~ p q) (p ~ q) 2. ~ (p q) (~p ~q) 3. ~ (p  ~q) (p q) 4. [(p  q) (p  q)] p q 5. ~ [~ (p q)] (~p ~ q) 17
  • 18. MATEMÁTICA BÁSICA I 1.4.1 LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL 1. Idempotencia p p p p p p 2. Involución ~ (~p) p 3. Asociativa (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) 4. Conmutativa p q q p p q q p 5. Distributiva (p q) r (p r) (q r) (p q) r (p r) v (q r) 6. Identidad 6.1 p f f 6.2 p v p 6.3 p f p 6.4 p V v 7. Complemento 7.1 p ~p f 7.2 p ~p v 7.3 ~~p p 7.4 ~f v 7.5 ~v f 18
  • 19. MATEMÁTICA BÁSICA I8. Leyes de Morgana) La negación de la conjunción es equivalente, sí y sólo sí, a las negaciones de la disyunción ~ (p q) ~p ~qb) La negación de la disyunción es equivalente, sí y sólo sí, a las negaciones de la conjunción ~ (p q) ~p ~qc) La negación de la implicación es equivalente, sí y sólo sí, a la primera proposición y la segunda proposición negada. ~ (p  q) p ~q9. Implicaciones asociadas Directa pq Recíproca qp Contraria ~p~q Contra-recíproca ~q~p pq Recíproca qp Contrarias Contrarias ~p~q Recíprocas ~q~pSe puede demostrar, mediante tablas de verdades que las contra-recíprocas: son tautológicas. 19
  • 20. MATEMÁTICA BÁSICA I Demostrar: 1) (p  q) (~ q  ~ p) 2) (~ p  ~ q) (q  p) Si la implicación directa es verdadera, no se puede asegurar respecto a la verdad o falsedad de la implicación: recíproca o contraria. RAZONAMIENTO DEDUCTIVO VÁLIDO Lo más importante en la matemática es el razonamiento deductivo; los teoremas se enuncian mediante una implicación, cuyo antecedente es la hipótesis y el consecuente la tesis; de acuerdo con lo establecido al analizar las condicionales conjugadas se puede afirmar la validez del teorema directo, el contra recíproco también se cumple; nada se puede asegurar del teorema recíproco y contrario. El razonamiento es deductivo, sí y sólo sí las premisas son evidentes para una conclusión evidente. No tiene sentido afirmar que un razonamiento es verdadero o falso; debe expresarse que es válido o no.1.5. REGLA DE INFERENCIA Se denomina Regla de inferencia a todo esquema válido de razonamiento independientemente de la interpretación de las proposiciones simples; es decir, toda regla de inferencia es tautológica; y son: 20
  • 21. MATEMÁTICA BÁSICA Ia) Inferencia de la separación (modus ponens) pq p . qb) Principio de la inferencia negativa (modus tolens) pq q pc) Principio del silogismo pq qr pr 21
  • 22. MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOSa) Utilizando las leyes del Álgebra Proposicional, simplificar las siguientes proposiciones: 1. (p F) (p p) 2. (p V) (p ~p) 4. (p F) (p V) 5. p (p q) 6. p (~p q) 7. Es falso que, si Carlos es estudioso entonces Juana es inteligente. 8. No es cierto que, la fruta es madura y el árbol es alto. 9. No es cierto que, el río es caudaloso o María no es bonita. 10. No es verdad que, si las aves vuelan entonces las flores no son bellas. 11. No es verdad que, Carlos es buen estudiante y María no es bonita. 12. Demostrar que si el siguiente Silogismo es Tautológico: - Si Carlos es deportista y Ana es estudiosa; entonces las flores son bellas; y, - Si las flores no son bellas; entonces Carlos no es deportista y Ana es estudiosa; Entonces: Si, Ana no es estudiosa ni Carlos es deportista; entonces las flores son bellas. 22
  • 23. MATEMÁTICA BÁSICA I13. - Si, está lloviendo; entonces hace frío o está nevando; y, - Si, no está nevando o hace frío, pero no ambos, entonces no está lloviendo. Entonces: Si, hace frío sí y sólo sí está nevando; entonces no está lloviendo; y, Si, no llueve ni hace frío; entonces está nevando.14. Escriba la contrarrecíproca de la proposición: Si, hace frío entonces está lloviendo. Si, no está nevando entonces está lloviendo. Si, las flores no son bellas entonces la fruta no es agradable. Antonio es deportista y Ana no es estudiosa.15. Demostrar la validez de las inferencias: 15.1 [ (p  q) p] ↔ p 15.2 [ (p  q) ~p] ↔ ~q 15.3 [ { (p q)  (q r) } { (~p q)  r } ] ↔ ~p 15.4 [ {p  (q ~r) } {q (r  p) } ] ↔ ~ (p q) 23
  • 24. MATEMÁTICA BÁSICA I1.6. FUNCIONES PROPOSICIONALES Y CUANTIFICADORES Toda proposición expresa una cualidad o característica a un sujeto particular. Una misma, cualidad, calidad o característica puede predicarse para varios sujetos; en cada caso se obtendrá una proposición. Si P es una cualidad, calidad o característica; denotaremos con p(x) al conjunto de todas las proposiciones singulares obtenidas al sustituir x por un sujeto; quedando definida la función preposicional con una variable. p(x) no es una proposición. A partir de funciones preposicionales es posible obtener proposiciones generales que se conocen como cuantificadores. Una proposición queda cuantificada; sí y sólo sí, alguna cualidad o característica se cumple para algunos o todos los sujetos. 1. Cuantificador Universal [ x : p(x)] Cuando una cualidad o característica se cumple para todos los sujetos: x : p(x) Todos los hombres son mortales. x : q(x) Todas las tortugas tienen caparazón. 2. Cuantificador Existencial [ x : p(x)] Una proposición queda cuantificada existencialmente; sí y sólo sí, alguna cualidad o característica se cumple para algunos sujetos. x : p(x) Algunas damas son virtuosas. y : q(y) Algunos jóvenes son deportistas. z : r(z) Algunos perros muerden. 24
  • 25. MATEMÁTICA BÁSICA I1.7. NEGACIÓN DE CUANTIFICADORES 1. La negación del cuantificador universal es, sí y sólo sí, existencial; y la proposición queda negada ~ [ x: p(x)] ↔ x : ~ p (x) 2. La negación del cuantificador existencial, es Universal y la proposición queda negada. ~ [ x : p(x)] ↔ x: ~ p (x) Ejemplos: 1. Negar todos los jóvenes son deportistas. Rpta. Algunos jóvenes no son deportistas. 2. Algunas aves vuelan. Rpta. Todas las aves no vuelan. 3. Si algunas damas son virtuosas entonces todos los días está lloviendo. ~ [ x : p (x)]  y: q(y)]  x : p (x) y : ~ q (y) Rpta. Algunas damas son virtuosas y algunos días no está lloviendo. 4. Todos los jóvenes son deportistas y algunas aves tienen plumas. ~( x: p(x) y: q(y)] ↔ x: ~ p(x) y: ~ q(y) Rpta. Algunos jóvenes no son deportistas, o todas las aves no tienen plumas. 25
  • 26. MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOS Enunciados1. Indicar diez ejemplos de enunciados.2. Indicar diez ejemplos de enunciados referentes a la universidad.3. Indicar diez ejemplos de enunciados referentes al Perú.4. Indicar diez ejemplos de enunciados referentes al sistema solar.5. Proposiciones De los ejemplos indicados anteriormente, indique cuáles son proposiciones y anteponga una letra: p; q; r ..................6. Negación de proposiciones Los ejercicios anteriormente citados, negar y anteponer: ~ p; ~ q; ~ r; ...................7. Con los ejercicios del grupo II, relacionar mediante el conectivo conjunción. Represente sus tablas de verdades.8. Los ejercicios del grupo III relacionar, mediante el conectivo disyunción. Representar las tablas de verdades.9. Ponga ejemplos de proposiciones compuestas con los conectivos: conjunción y disyunción. Demuestre sus tablas de verdades. Ejemplo: 9.1. (p q) r p (q r) Responda con oraciones declarativas.10. Indique ejemplos con oraciones declarativas de proposiciones compuestas con los conectivos: conjunción, disyunción e implicación. 26
  • 27. MATEMÁTICA BÁSICA I Ejemplo: 10.1. (p q)  (q r) 10.2. (p  q) (p r) Responda con oraciones declarativas. Demuestre sus tablas de verdades.11. Indique ejemplos de proposiciones compuestas con los conectivos: conjunción, disyunción, implicación y doble implicación. Ejemplo: 11.1. (p q)  (r ↔ q) } (p  r) 11.2. { p ↔ ~(q r) }  (r q) Responda con oraciones declarativas. Demuestre sus tablas de verdades.12. Indique ejemplos de proposiciones compuestas con los conectivos: conjunción, disyunción, implicación, doble implicación y conjunción negativa, ejemplo: Ejemplos: 12.1. { (p ↓ q)  (q ~ r) } ↔ (p ~ q) 12.2. { (p ↔ q) ↓ (r ~ p) } ↔ (~ q p) Responda sus ejemplos con oraciones declarativas. Demuestre sus tablas de verdades.13. Indique ejemplos de proposiciones compuestas con los conectivos; conjunción, disyunción, implicación, doble implicación; conjunción negativa y disyunción exclusiva. Ejemplos: { (p q) ↓ (q  r) } ↔ { (p ~ r) v (q ~ p) { (p  ~q) v (r ~p) } ↓ { (r ~q) ↔ (q r) } 27
  • 28. MATEMÁTICA BÁSICA ICUANTIFICADORES1. Cuantificar universalmente y existencialmente las proposiciones: p : Las flores son bellas q : Carlos es deportista r : María es estudiosa s : Antonio es libre Representar con oraciones declarativas, utilizando las proposiciones indicadas. 1.1 x : p(x) 1.2 x : p(x) 1.3 y : ~ q(y) 1.4 y : q(y) 1.5 z : r(z) 1.6 z : ~ r(z) 1.7 u : s (u) 1.8 u : ~ s (u) Las proposiciones: (1.1) y (1.3) relacionar mediante la conjunción. (1.2) y (1.4) relacionar mediante la disyunción. (1.5) y (1.4) relacionar mediante la implicación. (1.6) y (1.8) relacionar mediante la doble implicación. (1.7) y (1.2) relacionar mediante la conjunción negativa. (1.5) y (1.1) relacionar mediante la disyunción exclusiva. Utilizar las Leyes de Morgan en las relaciones proposicionales anteriores libremente. 28
  • 29. MATEMÁTICA BÁSICA IRepresentar con oraciones declarativas las proposiciones: x : p(x)  y : ~ q (y) y : q (y)  p z ~ r (<) x ~ p (x) ↔ {q  z: ~ r(2)}{p y : q(y)} v { y: ~ q(y)  ~ p}{p u : ~ s(y) } ↔ {q ↓ z : ~ r(z) }Con las proposiciones:p : las flores son bellas.q : El caballo es de paso.r : Fernando es buen profesional.s : Lizeth es bonita.Negar las proposiciones compuestas y representar con oracionesdeclarativas la respuesta: x : p (x) y : ~ q (y) x : ~ p(x) y : q (y) x : p(x) ↔ z : ~ r (z) z : r(z)  y : ~ q (y) u : s(u) z : ~ r (z) u : ~ s(z)  z : r (z) z : ~ r(z) u : s (u)Simplificar las proposiciones, utilizando las leyes del ÁlgebraProposicional.1) ~ (p ~ q) 2) ~ (~ p  q)3) ~ (p ~ q) 4) ~ (~ p ~ q)5) ~ (~ p  ~ q) 6) ~ (~ p  ~ q) 29
  • 30. MATEMÁTICA BÁSICA I Simplificar las siguientes proposiciones: 1. No es verdad que, si las rosas son rojas entonces las violetas son azules. 2. No es verdad que, hace frío y está lloviendo. 3. No es verdad que, él es bajo o galán. 4. No es verdad que, hace frío está lloviendo. 5. No es verdad que, si está lloviendo entonces hace frío. 6. No es verdad que, si las rosas son rojas entonces las violetas no son azules. Con las leyes del Álgebra Proposicional simplificar: 1. (p q) ~p 2. p (p q) 3. ~ (p q) (~p q) Demostrar los siguientes silogismos: 1. Si, Carlos es inteligente o Lizeth es bonita; entonces Ana es responsable; y Ana no es responsable y Carlos es inteligente; sí y sólo sí, Lizeth es bonita; entonces Ana no es responsable ni Carlos es inteligente; sí y sólo sí, Lizeth es bonita. 2. Está lloviendo o hace calor, pero no ambos; y hace frío; y Si, no hace frío ni calor; entonces está lloviendo; entonces hace calor o hace frío, pero no ambos; sí y sólo sí, no está lloviendo. 30
  • 31. MATEMÁTICA BÁSICA I CAPÍTULO II ÁLGEBRA DE CONJUNTOSCONCEPTO PRIMITIVOSon palabras que se aceptan sin definir por ser naturales al ser humano.2.1. CONJUNTO En 1772 Kurt Grrellng escribió el primer libro referente a la teoría de los conjuntos. Por su resonancia mundial, el rey condecoró con el titulo de caballero a Kurt Grrellng. Sin embargo nadie le entendió y todos les repetían que estaba loco. Efectivamente Kurt Grrellng llegó a un estado de esquizofrenia y murió en un sanatorio psiquiátrico. En 1942 los aviones alemanes se apoderan del cielo Europeo al no poder ser derribados por la artillería aliada. Lo que llevó a la formación de un equipo de científicos que estudiaron la cibernética y la telemetría; con lo que los aviones alemanes fueron derribados fácilmente y el ejército Alemán y sus aliados fueron derrotados. La noción conjunto, es un concepto primitivo, se acepta sin definir. Sin embargo, los jugadores de un equipo de fútbol; lapiceros; alumnos en el aula; un cesto de naranjas; los departamentos del Perú; los países de Europa; etc. Nos dan ideas de conjuntos. Los conjuntos se representan con letras mayúsculas: A; B; C; D; E; ....... 31
  • 32. MATEMÁTICA BÁSICA I Cada jugador; cada lapicero; cada alumno; cada naranja; cada departamento; cada país; son elementos del conjunto y se representa con letras minúsculas, entre llaves. A= {a; b; c; d; e} B= {a; b; c; d;...} C= {a; b; c; d;...} Se puede también representar con palabras: D= {Jorge, Manuel, Javier, Antonio} E= {España, Inglaterra, Francia, Holanda, Italia} DETERMINACIÓN POR EXTENSIÓN Un conjunto se determina, por extensión; nombrando a cada uno de sus elementos. Números pares : N = {2; 4; 6; 8;10;12;..... } Polígonos : P = {cuadrado, rombo, rectángulo, Trapecio,.......} Damas : Q = {Rosa, Sara, Lizet, Alexandra,......} DETERMINACIÓN POR COMPRENSIÓN Un conjunto se determina por comprensión, mediante una cualidad o calidad; que especifique si un elemento pertenece o no pertenece al conjunto. Se representa con la sigla x/x y se lee: x tal que x; la primera x representa la cualidad o calidad y el segundo, al elemento del conjunto: 32
  • 33. MATEMÁTICA BÁSICA I A= {x/x países del Asia} B= {y/y departamentos del Perú} C= {z/z capitales de los países Americanos} Si representamos por extensión: A= {Japón, China....} B= {Lima, La Libertad, Ayacucho.....} C= {Lima, Quito, La Paz}2.2. CLASES DE CONJUNTOS Para un estudio más detallado, encontramos los siguientes tipos o clases de conjuntos: 2.2.1 CONJUNTO NULO O VACÍO: { } , Es aquel que carece de elemento; mediante una cualidad, calidad o característica. Ejemplo: A = {x/x, Hombres que tiene alas} Eso no significa que no exista Lima o Francia. Sin embargo con las características del ejercicio: no existe y se representa, en cualquiera de las dos formas: A={} A = ; de ninguna manera A = { }, el cual representaría a un conjunto unitario. 33
  • 34. MATEMÁTICA BÁSICA I Podemos indicar otros ejemplos: 1. A = {x/x; 7 < x < 8} para un número natural. No existe ningún número entre 7 y 8; que sea natural. Para los números racionales, no sería nulo. El ejemplo dado se representa: A={ } A= 2. B = {y/y, fábrica de aviones en el Perú} 3. C = {z/z, automóviles en el salón} 4. También se puede representar: P(x) : Un extraterrestre en la Universidad. D = {x/x; p(x)} D={ } 2.2.2 CONJUNTO UNITARIO Es aquel que contiene un solo elemento, Ejemplos: A= { a} B= {x/x; Bandera del Perú} C= {y/y; Rector de la U.T.P.} D= {z/z; g < x < 11} para los números naturales. 2.2.3 CONJUNTO FINITO Es aquel que se puede determinar por extensión a todos sus elementos. Ejemplos: A = {a, b, c, d} B = {x/x; 2 x 10} B = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} C = {y/y, países americanos} D = {z/z, polígonos} 34
  • 35. MATEMÁTICA BÁSICA I2.2.4 CONJUNTO INFINITOSon aquellos que no se pueden determinar por extensión a todossus elementos (se le recomienda leer el texto: “Matemáticas eimaginación” por Edward Cassner).Por lo general ejemplos de conjuntos infinitos se dan conexpresiones matemáticas;Ejemplos.1. A = {x/x números naturales} A = {0; 1; 2; 3 ................. + } B = {y/y números enteros} B = {- ...... –2; -1; 0; 1; 2 ..........+ } C = {2/2 puntos en una Recta} C = {a, b, c, d, e, f, g, .......}2.2.5 CONJUNTO UNIVERSAL O REFERENCIAL (  )Es un conjunto que incluye a los conjuntos para un análisisparticular. Se deja constancia, que un conjunto universal; no esuna totalidad, mucho menos un universo.Ejemplo:1. Si: A = {0; 1; 2; 3} B = {2; 3; 5; 6} C = {4; 6; 7; 8}  = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8};ó; U = Numeros naturales2. A = {x/x; Ayacuchanos} B = {y/y; Piuranos} C = {z/z; Tacneños}  = {u/u; Peruanos} 35
  • 36. MATEMÁTICA BÁSICA I 3. A = {x/x; estudiantes sanmarquinos} B = {y/y; estudiantes villarrealinos} C = {z/z; estudiantes Utepinos} U = {u/u; estudiantes universitarios}2.3. RELACIONES ENTRE LOS CONJUNTOS 2.3.1 SUB-CONJUNTO ( ) Dados los conjuntos A y B; se dice que el conjunto B es subconjunto de A; y se representa B A; si todos los elementos de B; pertenecen al conjunto A. Ejemplo: 1. A = {0; 1; 2; 3} B = {0; 1; 2; 3} 2. A = {a; b; c; d} B = {b; c; d} A B (A no es sub-conjunto de B) 3. A = {x/x frutas} B = {y/y naranjas, uvas, limas} B A 2.3.2 SUB-CONJUNTO PROPIO O PARTE PROPIA ( ) Dados los conjuntos A y B; se dice que el conjunto B es parte propia de A; y se representa B A todos los elementos de B son elementos de A; que contiene todos los elementos de B, que pertenecen al conjunto A, existen elementos del conjunto A, que no pertenecen a B. 36
  • 37. MATEMÁTICA BÁSICA IEjemplo:A = {0; 1; 2; 3; 4} B = {2; 3; 4} C = {2; 3; 4}En la relación sub-conjunto; no, necesariamente algunoselementos de A pertenecen a B.Ejemplos:1. A = {11; 12; 13; 14} y B = {11; 12; 13; 14} B A = {11; 12; 13; 14} A B Este ejemplo especifica que la relación sub-conjunto es amplia.2. A = {a; b; c; d} y B = {a; b} B A2.3.3 CONJUNTOS IGUALES (=)Dados los conjuntos A y B; se dice que el conjunto A es igual alconjunto B; y se representa A = B; sí A y B tienen elementoscomunes. {A B B A}  A = BEjemplo:A = {0; 1; 2; 3} B = {0; 1; 2; 3} A=B2.3.4 CONJUNTO POTENCIA (2)Se denomina así, al conjunto formado por todos los sub-conjuntos,del conjunto A. 37
  • 38. MATEMÁTICA BÁSICA I Ejemplo: A = {a; b; c} 2A = {A {a; b}; {a, c}; {b,c} ; {a}, {b} ; {c}; } 23 = 8 sub-conjuntos 2.3.5 CONJUNTOS COORDINABLES ( ) Dados los conjuntos A y B; se dice que existe una relación de coordinabilidad entre los elementos de A y B; si y sólo sí, todos los elementos de A se relacionan de uno a uno con los elementos de B; sin que falten ni sobren dichos elementos. A este tipo de conjuntos, se les dice que están en relación Bionívoca [No necesariamente deben tener elementos comunes] Ejemplo: 1. A = {0; 1; 2; 3} B = {a; b; c; d} A B Coordinables ( B) Disjuntos A B 2. A = {x/x ciudadanos peruanos} B = {y/y número del DNI} 2.3.6 CONJUNTOS DISJUNTOS ( ) Dados los conjuntos A y B; se dice que los elementos de A y B; son disjuntos, si A no contiene ningún elemento B; B tampoco contiene ningún elemento de A. 38
  • 39. MATEMÁTICA BÁSICA IEjemplo:1. A = {0; 1; 2; 3} B = {a; b} A B Disjuntos2. A = {x/x damas} B = {y/y caballeros} A B Disjuntos2.3.7 PERTENENCIA ( )Es la relación de elemento a conjunto.Ejemplo:A = {0; 1; 2}0 A (cero pertenece al conjunto A)1 A (uno pertenece al conjunto A)2 A (dos pertenece al conjunto A)3 A (tres no pertenece al conjunto A)No se puede representar:{1} A {no es correcto; porque, {1} es un conjunto}{1} A {es lo correcto}2.3.8 CONJUNTOS COMPARABLESDos o más conjuntos son comparables, sí y sólo si A BB A; no son comparables si A B v B A. 39
  • 40. MATEMÁTICA BÁSICA I Ejemplo: 1. Si A = {0; 1; 2} B = {0; 1} .- Entonces B es comparable con A; pues, B es un sub-conjunto de A. B A. 2. Si C = {0; 1} y D = {1; 2; 3}; C y D no son comparables; pues O CyD D; 3 Dy3 C.2.4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS CONJUNTOS 2.4.1 DIAGRAMAS DE VENN - EULER Es la representación gráfica de los conjuntos, mediante polígonos. Estos diagramas están sujetos a las siguientes premisas: 1 Premisa N° 1.- El conjunto Universal o Referencial se representa con el rectángulo. U 2 Premisa N° 2.- Los otros polígonos se pueden representar al interior del rectángulo; jamás al contrario. A A B U U 40
  • 41. MATEMÁTICA BÁSICA I A B C U3 Premisa N° 3.- Los otros polígonos se representan intersecados; jamás separados, así sean disjuntos. A B A B C CORRECTO A B C INCORRECTO 41
  • 42. MATEMÁTICA BÁSICA I DIAGRAMAS LINEALES Se utilizan para los sub-conjuntos. Ejemplo: 1. A B B A C 2. A B B C B A 3. A = {1} B = {1; 2} C = {1; 2; 3} D = {1; 2; 4} C D B A 4. A = {1} B = {2} C = {1; 2} C A B 42
  • 43. MATEMÁTICA BÁSICA I 5. A = {1} B = {2} C = {1;2} D = {1;2;3} E = {1;2;4} D E C A B2.5. OPERACIONES CON LOS CONJUNTOS 2.5.1 REUNIÓN O UNIÓN ( ) Dados los conjuntos A y B; se denomina reunión entre los elementos de A y B, se representa A B = C; al conjunto C, que contiene por lo menos un elemento de A o de B. (No existe reunión entre conjuntos nulos). Ejemplo: 1. A = {a} B={} A B= A B 2. A = {a; b; c} B = {c; d} A B = {a; b; c; d} A a B cc d b A B 43
  • 44. MATEMÁTICA BÁSICA I En la reunión se marcan todos los polígonos Por comprensión se puede definir: A B = {x/x, x A v x B} a) Cumplen con la propiedad conmutativa. A B = B A Concretamente: A (A B) B (A B) b) Cumplen con la propiedad asociativa. (A B) C = A (B C) A B A B C C 2.5.2 INTERSECCIÓN (A B) Dados Los conjuntos A y B; se denomina intersección entre los elementos de A y B; y, se representa A B = C; al conjunto C, que contiene los elementos comunes de A y B. Ejemplo: Si A = {a; b; c; d} y B = {d; e; f} A B = {d} 44
  • 45. MATEMÁTICA BÁSICA I A B a e b d c f A B = {d/d , d A d B} por comprensión.1. Cumplen con la propiedad conmutativa. A B = B A  (A B) A = (A B) B2. Cumplen con la propiedad asociativa. (A B) C = A (B C) A B A B = C C3. Cumplen con la propiedad distributiva con relación a la reunión. A (B C) = (A B) (A C) A B A B = C C 45
  • 46. MATEMÁTICA BÁSICA I 2.5.3 DIFERENCIA (–) O COMPLEMENTO RELATIVO Dados los conjuntos A y B; se denomina diferencia entre los elementos de A y B; y, se representa A – B = C; al conjunto C, que contiene los elementos de A, que no pertenecen al conjunto B. Notación: A – B, ó , A B, ó , C Ejemplo: 1. A = {0; 1; 2; 3} y B = {3; 4; 5} A – B = {0; 1; 2} 0 4 A 3 B 1 2 5 2.5.4 COMPLEMENTO (A’) Dados el conjunto Universal (U) y el conjunto A, se denomina Complemento y se representa A‟ = U – A; a los elementos del conjunto universal que no pertenecen al conjunto A. Ejemplo: U = {a; b; c; d} A = {a; b} A‟ = {c; d} A‟ = {x/x, x U x A A’ A U A A‟ = U A A‟ = U‟ = (A‟)‟ = A 46
  • 47. MATEMÁTICA BÁSICA I 2.5.5 DIFERENCIA SIMÉTRICA ( ) Dados los conjuntos A y B; se denomina diferencia simétrica y se representa A B = C; al conjunto que contiene todos los elementos de (A – B) U (B – A) A–B B–A A B EJERCICIOS PROPUESTOS1. Diga, por qué las nociones: Elemento “Conjunto” “pertenencia” son términos no definidos.2. Las afirmaciones siguientes, represente connotaciones: A no incluye a B. B contiene al conjunto de A. a no pertenece a B. e es elemento de A. C no es sub-conjunto de B. B es parte propia de A.3. Discuta y aclare las siguientes afirmaciones: 3.1 Si A = {x/x, 4x = 12} b = e entonces ¿b = A? 3.2 Si se tiene A = {a; b; c; d} Qué afirmaciones son correctas y cuáles incorrectas? 47
  • 48. MATEMÁTICA BÁSICA I 3.2.1. a A 3.2.5 {b} A 3.2.2. c A 3.2.6 d A 3.2.3. d A 3.2.7 c A 3.2.4 {b} A 3.2.8 b A4. En las siguientes expresiones enuncia con oraciones declarativas; luego, representa en forma tabular: A = {x/x; x3 = 64} B = {x/x; x – 5 = 8} C = {x/x; x es un número positivo y x es un número negativo} D = {z/z; z es un elemento de la palabra AYACUCHO} Representar los siguientes conjuntos, constructivamente: A : está formado por las letras a; b; c; d B : es un número par positivo. C : es un país sudamericano. D = {x/x, x – 2 = 7} E = {x/x, Presidente del Perú luego de Alan García} ¿Cuáles son conjuntos finitos y cuáles son infinitos? A = {2; 3; 4 ........... 99; 100} B = {x/x, meses del año} C = {y/y, departamento del Perú} D = {z/z, habitantes de la tierra} E = {u/u, número par} F = {x/x,0 < x 5 para todo número racional} G = {y/y, 3 y 20} 48
  • 49. MATEMÁTICA BÁSICA I ¿Cuáles de estos conjuntos son iguales?. Explique: A = {x/x, es una letra de la palabra TOCATA} B = {x/x, las letras de la palabra TACTO} C = {x/x, es una letra de la palabra COTA} D = {a; c; o; t} Indique la similitud o diferencia entre las palabras: “vacío” “cero” y“nulo”. Entre las expresiones que siguen ¿cuáles son diferentes? ; {o} ; { }; p Cuáles de estos conjuntos son nulos: A = {x/x, en el alfabeto, letra después de z} B = {x/x, x2=9 3x=5} C = {y/y; y y} D = {z/z, 2 + 8 = 8} Hallar todos los sub-conjuntos de: A = {a; b; c; d} Definir los siguientes conjuntos de polígonos en el plano Euclidiano ycuáles son sub-conjuntos propios. A = {x/x, es un cuadrado} B = {x/x, es un rectángulo} C = {x/x, es un rombo} D = {x/x, es un cuadrilátero} 49
  • 50. MATEMÁTICA BÁSICA I Todo conjunto A tiene un sub-conjunto propio?. Analice. Conjunto vacío , entonces A = . Si se tienen los conjuntos A = { }; B = {c, d} ; C = {a; b; c} D = {a; b} ; E = {a; b; d} Establecer la verdad o falsedad de las afirmaciones: 1. D C 6. E C 2. B A 7. A C 3. B E 8. D E 4. E D 9. C=B 5. E A 10. B D Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} B = {4; 5; 6; 7; 8; 9} C = {2; 4; 8; 9} D = {4; 5} ; E = {2; 4} ; F = {2} Sea x un conjunto desconocido.- Cuáles de los conjuntos: A; B; C; D; E; F pueden ser iguales al conjunto x con las siguientes relaciones: 1. x A y x B 3. x A y x C 2. x Byx C 4. x B y x C. Si se tienen las relaciones: A subconjunto de B; B sub-conjunto de C; suponiendo a A; b Byc C; además de A; e B, f C; cuáles de las afirmaciones son verdaderas: 50
  • 51. MATEMÁTICA BÁSICA I 1. a C 4. d B 2. b A 5. e A 3. c A 6. e AGraficar el diagrama lineal para los conjuntos: A = {a; b; c} B = {a; b} C = {a; c}Trazar un diagrama lineal para los conjuntos: A = {a; b; c} B = {a; b} C = {b}Trazar un diagrama lineal para los conjuntos: R = {r; s; t} S = {s} T = {s; t; u}Sean los conjuntos: Q = {x/x, es un cuadrilátero} R = {x/x, es un rectángulo} H = {x/x, es un rombo} S = {x/x, es un cuadrado} Trazar el diagrama lineal.Se tienen los conjuntos: V = {d} ; W = {c; d} ; X = {a, b, c} Y = {a; b} ; Z = {a; b; d} Trazar el diagrama lineal.Sean los conjuntos: V = {d} ; W = {e, d} ; X = {a; b; c} ; Y = {a; b} y, Z = {a; b; d} Trazar el diagrama lineal. 51
  • 52. MATEMÁTICA BÁSICA I Sea S un conjunto cualquiera. Construir el diagrama lineal para losconjuntos:{ }; S, y U Si se tienen los conjuntos: (1) A B; (2) A B ; (3) A=B (4) A B; (5) A B Trazar los diagramas de Venn-Euler correspondiente. Examinar el siguiente diagrama lineal de los conjuntos: A; B; C y D. A B C D Determinar seis afirmaciones del ejercicio anterior. Construir diagramas de Venn-Euler para los conjuntos: A; B; C; D del diagrama lineal en el ejercicio (4.23) Qué se puede afirmar del ejercicio { {2; 3} } Dado el conjunto A = {2; {3; 4}; 3} cuáles son afirmaciones incorrectas y por qué? 52
  • 53. MATEMÁTICA BÁSICA I1. {3; 4} A ; 2. {3; 4} A3. { {3; 4} } A; 4. 4 A5. {4} A ; 6. 4 AHallar el conjunto potencia del conjuntoS = {3; {1; 4} }Cuáles de las afirmaciones se definen en un desarrolloaxiomático de la teoría de conjuntos:1. Conjunto ; 2. Sub-conjunto ; 3. Disjunto ; 4. Elemento;5. Es igual a ; 6. Pertenece a ; 7. Superconjunto.Representar en notación conjuntista, las afirmaciones:1. x no pertenece al conjunto A.2. R es subconjunto de S.3. d es elemento de E.4. F no es sub-conjunto de C.5. H no incluye a D.6. A es subconjunto de D.7. A y B son coordinables.8. A y B son disjuntos.Si B = {0; 1; 2} hallar todos los sub-conjuntos de B.Si F = {0 {1; 2} }. Hallar todos los sub-conjuntos de F.Si A = {1; 2; 3; 4} B = {2; 4; 6; 8} C = {3; 4; 5; 6}Hallar y graficar con los diagramas de Venn-Euler. 53
  • 54. MATEMÁTICA BÁSICA I 1. A B 2. A C 3. B C 4. B B 5. A B 6. A C 7. B C 8. U Si A = {1; 2; 3; 4} B = {2; 4; 6; 8} C = {3; 4; 5; 6} Hallar y graficar con el diagrama de Venn-Euler y el diagrama lineal. 1. (A – B) ; 2. (C – A) 3. (B – C) 4. (B – A) ; 5. (A – A) 6. (A B) 7. (A C) ; 8. (B C) Si U = {1; 2; 3 ………8; 9} A = {1; 2; 3; 4} ; B = {2; 4; 6; 8} C = {3; 4; 5; 6} Hallar y graficar con el diagrama de Venn-Euler: 1. A‟ 2. B‟ 3. C‟ 4. (A C)‟ 5. (A C)‟ 6. (A – B)‟ 7. (C – B)‟ 8. (A B)‟ 9. (B C)‟ 10. (A C‟)‟ 11. (A B)‟ 12. (B C‟)‟ 13. (B‟ – C‟)‟ Si A = [4; 8[ ; B = [7; 12] C = {3; 4; 7; 13; 14} Hallar y graficar las operaciones: 1. (A‟ – B‟) 2. (C‟ A) 3. (B‟ A)‟ 4. (A‟ B)‟ (A C‟)‟ 5. (A‟ B)‟ (C‟ B) 54
  • 55. MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOS1. Una persona consume café y té durante el mes de mayo, toma café 20 días y té 23 días. Cuántos días consume café y té simultáneamente. El mes de marzo tiene 31 días. Observemos y graficamos. té x café Sumamos: 20 + 23 =43 43 x 31 43 31 x 12 x Rpta: 12 días tomo té y café2. Se han realizado 200 informaciones entre los estudiantes de San Marcos, 103 estudian matemática; 90 Física y 89 Química, Matemática y Física 32; Matemática y Química 48; Física y Química 26. Cuántos estudian las 3 asignaturas y cuántos una sola asignatura. Grafiquemos y analicemos: 90 103 103 73 x 200 45+x 32-x 10+x x 24 26-x 48-x x 15-x 69 8 34 24 2 24 89 39 Rpta: 24 las tres asignaturas y 142 una sola asignatura 55
  • 56. MATEMÁTICA BÁSICA I3. A y B son dos conjuntos: A B = 58, A – B = 23. Hallar A B.4. En una Academia trabajan 72 personas. 40 hablan Inglés y 56 Alemán. Cuántos hablan un solo idioma y cuántos ambos idiomas.5. De 120 amas de casa; 72 compran arroz; 64 verduras y 36 carne, 12 los tres productos. Cuántos han comprado exclusivamente dos productos.6. Se tienen los conjuntos A y B. A = 3x+ y; B = 2y + 3; y A B = x + y = 4. Cuántos elementos tiene A B?7. Se ha realizado una encuesta entre 10,000 personas. 70% sintonizan radio; el 40% leen periódico, y el 10% observan televisión. Entre los que sintonizan radio, el 30% leen periódico y el 4% observa televisión; el 90% de los que observan televisión, lee periódicos; del total 2% lee periódico, observa televisión y sintoniza radio. Cuántos no leen periódico, no sintonizan radio, ni observan televisión. Cuántos leen periódico únicamente?8. Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3;4}; B = {1; 4; 13; 14} ; C = {2; 8} ; D = {10; 11; 12} ; Hallar: graficar los resultados: 8.1) A B 8.13) (A B) – D 8.2) A C 8.14) (A – B)‟ (B – D) 8.3) (D C)‟ 8.15) (A B)‟ (B – D)‟ 8.4) B‟ D 8.16) (A B) – (A B)‟ 8.5) (C A)‟ 8.17) (A B)‟ – (C D) 8.6) (C A)‟ B 8.18) (A‟ C) (B – D‟)‟ 8.7) (C A)‟ (C B) 8.19) (A – B‟)‟ (C‟ – D) 8.8) C‟ (A B) 8.20) (A B‟)‟ – (C‟ D)‟ 8.9) (C A)‟ (C D) 8.10) C (A D)‟ 8.11) C |(A B)‟ 8.12) (A B) – D‟ 56
  • 57. MATEMÁTICA BÁSICA I9. Sean A y B dos conjuntos de tal modo: A B = 34; A – B = 20; B – A = 16. Hallar: 5 {A – 4B}10. Se hizo una encuesta entre 200 persona: sabían 56 Español; 60 Alemán y 84 Francés. Español y Alemán 16; Español y Francés 20 y Alemán y Francés 10. Los tres idiomas 6. a. Cuántos no estudiaban idiomas; b. Cuántos exclusivamente Francés.11. De 134 personas encuestadas. 94 conocen Inglés; 70 Alemán y 46 ambos idiomas. Cuántos no conocen ambos idiomas.12. Si se tienen los conjuntos: A = 3x + y; B = 3y + 3; y A B=x+y Hallar: A B.13. Entre 240 estudiantes: 144 estudian Análisis Matemático; 128 Biología; 72 Ciencias Sociales; y 24 las tres asignaturas. Cuántos estudian exclusivamente dos asignaturas.14. Se tienen los conjuntos: A = {a; c; d} ; B = {e; f; g} y C = {c; e; p; k} Hallar: A (B C)15. Si U = {a; b; c; d; e} A B = {a; b; c; d} ; A B = {a; c} y A – B = {6}. Hallar A y B.16. Si se tienen los conjuntos: A = {5; 6; 7; 8} B = {6; 7; 1; 2} C = {4; 5; 7; 9} Hallar: 16.1) A B. 16.2) (A B) C 57
  • 58. MATEMÁTICA BÁSICA I 16.3) A (B – C) 16.4) C – (A‟ B)‟17. Si A B = {1; 2; 3; 4} A B = {1; 3} y A – B = {2} Hallar A y B.18. Si A B = {a; b; c; d} A B = {a; c} y A – B = {b} Hallar A y B.19. Si A = {-1; 0; 1} B = {-2; -1; 0; 1; 2} C = {-3; 1; 2}. Hallar y graficar. 19.1) B‟ 19.2) A‟ 19.3) (A B)‟ 19.4) A‟ B‟ 19.5) B C‟ 19.6) A‟ c 19.7) (B C)‟ 19.8) (A‟ B)‟20. Se tienen los conjuntos: U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} A = {1; 2; 3; 4; 5} ; B = {2; 4; 6; 8; 10} Hallar y graficar: 20.1) A B 20.2) A B 20.3) A – B 20.4) B – A 20.5) A‟ 20.6) B‟ 20.7) (A B)‟ 58
  • 59. MATEMÁTICA BÁSICA I 20.8) A‟ B‟ 20.9) (A B‟)‟ 20.10) (A B‟)‟21. Si U = {1; 2; 3; 4; 5; 6} A = {1; 4; 5; 6} ; B = {2; 4; 6} Hallar y graficar: 21.1) A‟ 21.2) B‟ 21.3) A‟ – B 21.4) B‟ – A 21.5) A‟ B‟ 21.6) (A‟ B‟)‟ 21.7) A B‟ 21.8) A‟ B‟22. Si U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10;11; 12; 13; 14} A = {1; 2; 3; 4} B = {1; 4; 13; 14} C = {2; 8} Hallar y graficar: 22.1) A B 22.9) A‟ C‟ 22.2) A C 22.10) (A D)‟ 22.3) B D 22.11) (A C)‟ 22.4) D C 22.12) (A B) – C 22.5) A‟ 22.13) (A – B) (B – A) 22.6) A‟ B 22.14) (A B) - (A B) 22.7) A‟ B‟ 22.15) (A – B) (B – A) 22.8) (A B)‟23. Si se tienen los conjuntos: A = {1; 2; 5; 7; 8} B = {2; 3; 4; 7; 9} C = {1; 3; 5; 6; 8} U = {x/x x N; x 9} Hallar y graficar: 23.1) [ (A B) – (A C) ]‟ 23.2) [ (A B) – (A C) ]‟ 23.3) [ (A - B) (A – C) ]‟ 59
  • 60. MATEMÁTICA BÁSICA I 23.4) [ (A‟ – B) (A – C) ]‟ 23.5) [ (C – B‟) – (A‟ C) ]‟ 23.6) (A‟ – B‟) (B‟ C)‟24. Si se tienen las relaciones entre los conjuntos A y B A B = {1; 2; 3; 4; 5} ; A‟ = {2; 3; 5; 7} B‟ = {1; 4; 7} ; U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} Hallar y graficar: AyB25. Graficar las siguientes operaciones con los conjuntos: A; B y C. 25.1) A B. 25.2) A C. 25.3) (A B) C. 25.4) (A B) C. 25.5) A‟ B‟ 25.6) A – B 25.7) (A B)‟ 25.8) (A B)‟ 25.9) A A‟ 25.10) A A‟ 25.11) A (B C) 25.12) A (B C‟)26. Demostrar gráficamente que, sí se cumplen las propiedades con los conjuntos: A; B y C. 26.1) A B=B A. 26.2) A B = B A. 26.3) (A B) C = A (B C). 26.4) (A B) C=A (B C). 26.5) A (B C) = (A B) (A C). 26.6) A‟ B‟ = (A B)‟ 26.7) A – B = A B‟ 26.8) A‟ B‟ = (A B)‟ 26.9) (A B) C = (A C) (B C) 60
  • 61. MATEMÁTICA BÁSICA I 26.10) (A B) – C = (A – C) (B – C) 26.11) (A B) – C = (A – C) (B – C) 26.12) A (A B) 26.13) B (A B) 26.14) (A B) A 26.15) (A B) B 26.16) A (B C) = (A B) (A C)27. En un Instituto de Idiomas estudian 200 alumnos: Italiano 56; Inglés 60; Francés 84; Italiano e Inglés 16; Italiano y Francés 20; Inglés y Francés 20; Italiano y Francés 10; los tres idiomas 6. 1. Cuántos no estudiaban ningún idioma. 2. Cuántos estudiaban un solo idioma. 3. En un salón de 68 estudiantes 48 juegan fútbol; 25 básket; y 30 natación. 6 de ellos practican los tres deportes. 4. Cuántos practican un solo deporte. 5. Cuántos practican dos deportes. 6. De 240 alumnos, 144 estudian Matemática; 128 Física y 72 Química; 24 estudian los tres cursos. Cuántos estudian dos cursos. 61
  • 62. MATEMÁTICA BÁSICA I 62
  • 63. MATEMÁTICA BÁSICA I VECTORESCONCEPTOS BÁSICOSPAR ORDENADO.- Llamaremos par ordenado a dos objetos cualquieraa y b; que denotaremos por (a,b), donde “a” es llamado la primeracomponente y “b” la segunda componente.Ejemplo.-Son pares ordenados (1,4), (-2,3), (Pedro , María), (hombre, mujer).Dos pares ordenados (a,b) y (c,d) son iguales si sus primerascomponentes son iguales y las segundas también.En forma simbólica es:PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS.-Consideremos dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A yB, al conjunto de los pares ordenados (a,b) donde “a” pertenece alconjunto A, y “b” pertenece al conjunto B y denotaremos por A x B.Es decir :Sean y , el producto cartesiano de A y B es: 63
  • 64. MATEMÁTICA BÁSICA I =Si , denotaremos y para nuestro caso tomaremos ,es decir y a sus elementos llamaremos pares ordenados denúmeros reales.Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas de ejes X e Y, y alos puntos de este sistema de coordenadas cartesianas, denotaremospor , etc.Gráfico:DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.-Consideremos dos puntos y , a la distancia de adenotaremos por y es dado por la fórmula:Es decir: En él , porPitágoras si tiene:Además se tiene: 64
  • 65. MATEMÁTICA BÁSICA IReemplazando (2) en (1) se tiene:SUMA DE ELEMENTOS EN RxR=R2Dado dos puntos y de , la suma de elementos dese define del modo siguiente:MULTIPLICACIÓN DE UN NUMERO REAL POR UN ELEMENTO DER2Sean R y , el producto de un escalar r por un elemento de que denotamos por y se define como:ESPACIO TRIDIMENSIONALEJES CORDENADOS.- Los ejes de coordenadas son generalmenteidentificados por las letras X, Y, Z y hablaremos frecuentemente del ejeX, del eje Y y del eje Z.La dirección positiva se indica por medio de una flecha, los ejes decoordenadas tomados de dos en dos determinan tres planos llamadosplanos coordenados; planos XY, plano XZ y plano YZ, estos planosdividen al espacio tridimensional en ocho regiones llamadas octantes. 65
  • 66. MATEMÁTICA BÁSICA IConsidere un punto p cualquiera en el espacio tridimensional, a través dep se construye planos perpendiculares a cada de los ejes coordenados.Sea A el punto en el cual el plano perpendicular al eje X intercepta endicho eje.Sea B el punto en el cual el plano perpendicular al eje Y intercepta endicho eje.Sea C el punto en el cual el plano perpendicular al eje Z intercepta endicho eje.Los números , son las coordenadas de p y representaal punto p. 66
  • 67. MATEMÁTICA BÁSICA IDISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.-La distancia no dirigida entre dos puntos y en elespacio tridimensional está dado por:Dentro de las aplicaciones de la matemática a la física e ingeniería seusan frecuentemente cantidades que poseen magnitudes y direcciones;por ejemplo tenemos la fuerza, velocidad, y aceleración ydesplazamiento, a estas cantidades se representan geométricamente porun segmento de recta dirigida al cual llamaremos vector.Consideremos un punto P u un punto Q y al segmento de recta dirigidode P a Q denotaremos por se llama vector de P a Q y denotaremospor: . 67
  • 68. MATEMÁTICA BÁSICA IVECTORES BIDIMENSIONALES.-DEFINICION.-Un vector bidimensional es una pareja ordenada de números reales , donde “x” se llama la primera componente y, “y” se llama lasegunda componente. a) OBSERVACION 1) A los vectores bidimensionales se le representa por letra minúsculas y en la parte superior se le coloca un segmento de recta o una flecha, es decir: 2) Al conjunto de los vectores bidimensionales denotaremos por , tal que: 3) Al vector cero simbolizaremos por . 4) Si , entonces el opuesto del vector quedará definido por: . 5) El vector fila, sus componentes se escriben una a continuación de la otra: . 6) El vector columna, sus componentes se escriben una debajo de la otra: Donde es la primera componente. es la segunda componente. 68
  • 69. MATEMÁTICA BÁSICA IREPRESENTACIÓN GEOMETRICA DE UN VECTORBIDIMENSIONALUn vector bidimensional es representado, mediante unsegmento de recta dirigido, cuyo punto inicial es cualquier puntodel plano cartesiano y el extremo final es el punto cuyas coordenadasson , tal como se muestra en la figura.VECTOR DE POSICION O RADIO VECTOR.-Al vector cuyo punto inicial se encuentra en el origen del sistema decoordenadas y el extremo libre puede ubicarse en cualquier cuadrantedel plano cartesiano, se denomina, vector de posición o radio vector, asícomo se muestra en la figura.OBSERVACIÓN.- Al vector lo representaremos por cualquier puntosiendo su dirección indefinida. 69
  • 70. MATEMÁTICA BÁSICA IEjemplo.- Representar gráficamente al vector , cuyo punto inicial es , sabiendo que su representación de posición es: 1) 2) 3)VECTOR TRIDIMENSIONALDEFINICION.-Un vector tridimensional es una terna ordenada de números reales , donde son las componentes del vector.Así como las ternas ordenadas , determinan a losvectores en donde 3,4,5 y 1,-3,2, son sus componentes. a) OBSERVACIONES.- 1) A los vectores tridimensionales se denota por: , , , …, etc. 2) Al conjunto de vectores tridimensionales denotaremos por: , de modo que: 3) Al vector cuyas componentes son llamaremos vector cero y simbolizaremos por: . 70
  • 71. MATEMÁTICA BÁSICA I 4) Si , al puesto del vector quedara definido por: .INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE UN VECTORTRIDIMENSIONAL.-Sea un vector en el espacio, al cual lo representaremosmediante un segmento dirigido tal como ; donde es el puntoinicial y es el extremo libre del vector (tal comose muestra en la figura).VECTOR DE POSICIÓN O RADIO VECTOR.-Un vector es de posición, si el punto inicial coincide con elorigen de coordenadas y el extremo del vector está ubicado en cualquierpunto del espacio, tal como se muestra en la figura. 71
  • 72. MATEMÁTICA BÁSICA IVECTOR n-DIMENSIONAL.-Un vector n-dimensional es una n-upla ordenada de números reales quedenotaremos por , donde ,Al conjunto de vectores n-dimensional representaremos por , es decir:SiAl vector cero denotaremos por:El vector opuesto de n-dimensiones quedara definido por:OPERACIONES CON VECTORES.-IGUALDAD DE VECTORES.-Dos vectores son iguales si y sólo si, sus componentes correspondientestoman los mismos valores.Es decir: Si entonces escribimos:Si , y escribiremosasí:Si no son iguales, entonces escribiremos: para algún 72
  • 73. MATEMÁTICA BÁSICA IINTERPRETACIÓN GEOMETRICA DE LA IGUALDAD DEVECTORES.-VECTORES IGUALES.- Dos vectores son iguales si tienen la mismadirección, el mismo sentido, el mismo tamaño, el mismo punto inicial y almismo punto terminal se denota por =VECTORES EQUIVALENTES.- Dos vectores son equivalentes sitienen la misma dirección, el mismo sentido, el mismo tamaño perodiferente punto inicial y se denotaEjemplo.- Calcular el valor M = 7x + 5y si donde =(5x + 3y, 4x-y-4), 73
  • 74. MATEMÁTICA BÁSICA I SoluciónAplicando el concepto de igualdad de vectores. ≠ ⟺ (5x + 3y, 4x – y -4) = (4x +2y + 5, 3x + y +7) 5x + 3y = 4x + 2y + 5 x=7 4x – y -4 = 3x + y +7 de donde y = -2 M = 7X + 5Y = 7(7) + 5(-2) = 49 -10 = 39 M = 39PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.-Sea λ un escalar (λ € R) y sea un vector cualquiera entoncesllamaremos producto de λ por denotado por: λ. , al vectorresultante cuyas componentes deben ser multiplicadas por λ, esto es: Si € ⇒ = ( luego λ = λ.( = (λ λ Si € ⇒ =( , luego λ = λ.( = (λ λen general si € luego λ = λ.( = (λ λEjemplo.- Sea = un vector donde: 1. A(1,1), B(4,3), λ = 2 graficar los vectores y λ 74
  • 75. MATEMÁTICA BÁSICA I Solución = = – A = (4,3) – (1,1) = (3,2) λ = 2(3,2) = (6,4) λ = -2(3,2) = (-6,-4) 2. Si = (2,3) graficar 3 y -3 Solución 3 = 3(2,3) = (6,9) -3 = -3(2,3) = (-6,-9)PROPIEDADES.-Para todo es escalar r,s € R y los vectores , se verifican lassiguientes propiedades. 1) r. es un vector. 2) (r + s) =r + s 3) r( + )= r + r 4) r(s. = 5) 1. = 75
  • 76. MATEMÁTICA BÁSICA ISUMA DE VECTORES.-Dados los vectores y , el vector resultante suma + se obtienesumando sus correspondientes componentes, esto es: Si , € ⇒ =( , =( = ( Si , € ⇒ =( , =( = ( Si , € ⇒ =( , =( = ( Ejemplo.- Si = (3,5) y = (1,4) entonces: = (3,5) + (1,4) = (3 + 1, 5 + 4) = (4,9)INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA DE VECTORES.-En la interpretación geométrica de la suma de vectores consideramos losmétodos siguientes:1er. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO.-Se dibujan las representaciones de los vectores desde el mismopunto (se hace coincidir los puntos terminal de y inicial de ) y se 76
  • 77. MATEMÁTICA BÁSICA Icompleta el paralelogramo. La diagonal trazada desde el punto comúnrepresenta .2do. MÈTODO DEL TRIÀNGULO.-Los vectores se grafican uno a continuación del otro, luego elvector resultante se obtiene del punto inicial del vector con elpunto final del vector .3er. MÈTODO DEL POLIGONO VECTORAL.-La resultante de la suma de varios vectores se obtiene llevando losvectores una a continuación de otro haciendo coincidir el extremo de unocon el origen del otro, para finalmente determinar la resultante uniendo elorigen del primer vector con el extremo del último vector. 77
  • 78. MATEMÁTICA BÁSICA IPROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORESPara todo vector se verifica las siguientes propiedades: 1) es un vector. 2) = , conmutativa 3) , asociativa 4) vector, existe un único vector tal que , neutro aditivo. 5) vector, existe un único vector tal que , inverso aditivo.DIFERENCIA DE VECTORESConsideremos los vectores ; a la diferencia de estos vectores sedefine de la siguiente manera:Si =( , =( , de donde:Si =( , =( , de donde: 78
  • 79. MATEMÁTICA BÁSICA I      Ejemplo.- Sean a ( 1,3) y b (4,8). Hallar 3.( b 2a ) 6a 2b Solución b 2a (4,8) 2.( 1,3) (4,8) ( 2,6) (6,2)  6a 2b 6.( 1,3) 2(4,8) ( 6,18) (8,16) ( 14,2)    3(b 2a ) 6a 2b 3.(6,2) ( 14,2) (18,6) ( 14,2) (4,8)INTERPRETACIÓN GEOMETRICA DE LA DIFERENCIA DEVECTORES.-  A los vectores a, b lo representamos por los segmentos dirigidos PQ y PR con la condición de tener el tener es decir el origen    común en el punto P, entonces la diferencia de a, b es decir: a bquedara representado por el segmento dirigido QR puesto que     b (a b ) a .    Ejemplo.- Dado la representación de a y b dibuje a b , usando ladefinición de resta y la regla del triangulo para la suma. 79
  • 80. MATEMÁTICA BÁSICA I Solución  Dibujando los vectores a AB, b AC , desde el mismo punto inicial A. Ahora dibujamos b  Empleando la regla del triangulo para la suma se dibuja a bLONGITUD O MÓDULO O NORMA DE UN VECTOR.- La longitud o módulo de un vector a es el número real no negativo, representado por a y es definido por la raíz cuadrada de la de loscuadrados de sus componentes, esto es:    i) Si a V2 a (a1 , a2 ) de donde: a a12 2 a2 cuya representación gráfica es: 80
  • 81. MATEMÁTICA BÁSICA I  Si a (a1 , a2 ) es un vector de posición cuyo módulo y representación gráfica es:ii) Si   a V3 a (a1 , a2 , a3 ) de donde:  a a12 2 a2 2 a3 cuya representación gráfica es:  Si a (a1 , a2 , a 3 ) V3 es un vector de posición cuyo módulo y representación gráfica es: 81
  • 82. MATEMÁTICA BÁSICA I  Sobre el plano XY se tiene d (a1 , a2 ) donde su módulo es: d a12 2 a 2 . De donde al incluir el eje Z se tiene el  módulo del vector a (a1 , a2 , a 3 ), es decir:  2 2  a d a3 a12 2 a2 2 a3 a a12 2 a2 2 a3   En general si a Vn a (a1 , a2 , …, a n ) de donde su módulo es: n  a a12 2 a2 2 ... a n ai2 i 1  Ejemplo 1.- Si a (3 ,4) su módulo es:  a 32 42 9 16 25 5  Ejemplo 2.- Si a ( 1, 3, 4) su módulo es:  a 1 9 16 26  Ejemplo 3.- Si a ( 2, 4) y b ( 3, 5) entonces: 2a 3b 2. 2,4 3 3,5 4,8 9,15 4 9,8 15 5, 7 2 2 5 7 25 49 74 Ejemplo 4.- Hallar el valor de M= 2x + 6y- 3z si el módulo  de a 8 2x,5x 3z,2 y z es igual a cero. 82
  • 83. MATEMÁTICA BÁSICA I Solución  Como a  V3 y a  0 a 0 0,0,0 , es decir:  a 0,0,0 8 2x,5x 3z,2 y z de donde 2 LuegoPROPIEDADES DEL MODULO DE UN VECTORSe verifican las siguientes propiedades: 1. vector 2. 3. vector, 4. (desigualdad triangular) Demostración 1. Si =( , como entonces En forma similar si =( 83
  • 84. MATEMÁTICA BÁSICA I 2. Si Si =( entonces . Por lo tanto En forma similar si ⇒ =( entonces Por tanto Si Si Si 3. Si =( entonces: su módulo es: Por lo tanto Si =( , entonces: . Por lo tanto: 4. La desigualdad triangular lo demostraremos posteriormente en base a la desigualdad de CAUCHY-SCHWARZ. 84
  • 85. MATEMÁTICA BÁSICA IVECTOR UNITARIO.-Se llama vector unitario cuyo módulo es la unidad, es decir: es unvector unitario si y solo si = 1.Ejemplo.- El vector es unitario por que =TEOREMADado un vector entonces el vector es un vector unitario. DemostraciónSea =( entonces: es unitario siEs decirPor lo tanto como entones es unitario.En forma similar para los vectoresEjemplo.- Si , por lo tanto: es unitario.DIRECCIÓN DE UN VECTOR EN R2Cada vector no nulo =( y su representación como radio vector lecorresponde una dirección dad por la medida del ángulo formado por elvector y el eje X positivo en sentido antihorario. 85
  • 86. MATEMÁTICA BÁSICA I Si =( ... (1)además y de (1) se tiene: =(Por lo tanto, un vector queda determinado por su magnitud y sudirección.Si es un vector unitario es decirLuego si es un vector unitario se puede expresar en función de esdecir:Y el ángulo se denomina ángulo de inclinación o ángulo de direccióndel vectorOBSERVACION.- la medida del ángulo se obtiene de la formasiguiente.Mediante un ángulo de referencia y haciendo uso de una tabla devalores se halla el valor de con para el cual , 86
  • 87. MATEMÁTICA BÁSICA ISi 1er. cuadrante: , 2do. cuadrante: , 3er. cuadrante: , 4to. cuadrante:Ejemplo.- Hallar un vector de longitud y que tiene la mismadirección de un vector que forma un ángulo de 30° con el sentido positivodel eje X. Solución = 87
  • 88. MATEMÁTICA BÁSICA IEjemplo.- Expresar el vector en términos de su magnitud ysu ángulo de inclinación o dirección. SoluciónComo , de dondeCalculando se tiene 4to. CuadranteDondeLuegoPor lo tantoCONBINACIÓN LINEAL DE VECTORES.-Sea un conjunto de vectores, llamaremos combinaciónlineal de los vectores , a la expresión siguiente:DondeDEFINICIONDiremos que el vector esta expresado en combinación lineal de losvectores y si existen escalares , tal que: 88
  • 89. MATEMÁTICA BÁSICA IEjemplo.- Expresar al vector en combinación lineal de los vectores y siendo SoluciónEl vector es expresado en combinación lineal de los vectores y siexisten , R tal que: .(2,2)=De donde resolviendo el sistema si tiene ,Luego la combinación lineal es:DEFINICIONUn conjunto de n vectores se dice que son linealmenteindependiente, si toda combinación lineal igualada al vector nulo. , , implica queCuando los vectores no son linealmente independiente se dice que sonlinealmente dependientes. 89
  • 90. MATEMÁTICA BÁSICA IOBSERVACION 1) Los vectores , son linealmente dependiente cuando los vectores y son colineales. 2) Los vectores , son linealmente independiente cuando los vectores y son no colineales.Ejemplo 1) Determinar la dependencia o independencia lineal de los vectores , . Solución Utilizando la definición correspondiente, formularemos la combinación lineal y determinaremos las escalares respectivos siempre que sea posible. , de donde por igualdad 90
  • 91. MATEMÁTICA BÁSICA I resolviendo el sistema se tiene , donde es arbitrario. Entonces , y son linealmente dependiente. 2) Determinar la dependencia o independencia lineal de los vectores Solución En forma similar al ejemplo anterior expresaremos a los vectores , y en combinación lineal. de donde por igualdad resolviendo el sistema se tiene: Entonces los vectores , y son linealmente independiente.VECTORES FUNDAMENTALESConsideremos los vectores y en al cual denotaremos así: , estos vectores son unitarios y se representan a partirdel origen de coordenadas, situadas sobre los ejes coordenados ensentido positivo al de los ejes; a estos vectores se lesdenomina vectores fundamentales. 91
  • 92. MATEMÁTICA BÁSICA ITodo vector de se puede expresar en combinación lineal de losvectores fundamentales ,Sea pero de donde: =A los números , se denominan componentes escalares de y losvectores se denomina componentes vectoriales del vector .En forma similar consideremos los vectores y enal cuál denotaremos así:Estos vectores son unitarios y se representan a partir del origen decoordenadas, situada sobre los ejes coordenados en sentido positivo alde los ejes; a estos vectores se les denomina vectores fundamentales.Todo vector de es decir: , puede expresarse comocombinación lineal de los vectoresfundamentales. En efecto:Ejemplo.- Expresar el vector como combinación lineal de losvectores y , siendo , . 92
  • 93. MATEMÁTICA BÁSICA I SoluciónPRODUCTO ESCALAR DE VECTORESEl producto escalar (o producto interno) de dos vectores está dadopor la suma de los productos de sus componentes correspondientes.Es decir: SíSiEn general para se tiene:Ejemplo.- Sí y entonces -OBSERVACION.- El producto de dos vectores es un número real.PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR DE VECTORESConsideremos tres y un número real cualquiera; entonces: 1) 93
  • 94. MATEMÁTICA BÁSICA I 2) 3) 4) 5) 6)Ejemplo.- Sí , y . Hallar SoluciónVECTORES PARALELOS Y ORTOGONALES a) Dos vectores y son paralelos si uno de ellos es igual al otro vector multiplicando por un número real, es decir: tal queEjemplo.- Sí , , entonces , tal queEjemplo.- Los vectores y no son paralelos porque , tal que 94
  • 95. MATEMÁTICA BÁSICA IOBSERVACIÓN.- El vector nulo es paralelo a todos los vectores, enefecto: , vector, , entonces: y son paralelos.CONSECUENCIA.- Si entonces , , ahora si y son diferentes de cero, se tiene de laigualdad. de donde ,Luego tenemos que:es decir si entonces existe proporcionalidad entre las componentescorrespondientes.Ejemplo.- Determinar si los vectores y sonparalelos. SoluciónSi debe existir proporcionalidad entre las componentescorrespondientes: . Luego y son paralelos.CRITERIO DE COLINEALIDAD.- Un conjunto de punto A, B y C soncolineales si y sólo si pertenecen a una misma recta. 95
  • 96. MATEMÁTICA BÁSICA IPor lo tanto, tomando de dos en dos se obtienen vectores paralelos, .Ejemplo.- Determinar si los puntos y soncolineales. SoluciónLos puntos A, B y C son colineales situados de dos en dos se generanvectores paralelosLuego los puntos A, B y C son colineales. b) Dos vectores y son ortogonales si se verifica la siguiente relación. Así por ejemplo, los vectores y son ortogonales, en efecto: …(1) (2) Comparando (1) y (2) se tiene: 96
  • 97. MATEMÁTICA BÁSICA I Si los vectores y son ortogonales entonces denotaremos por , es decir:INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA ORTOGONALIDAD DEVECTORES Como los vectores y son las diagonales del paralelogramos cuyos lados son y , entonces si los vectores y son ortogonales esto significa que el paralelogramos es un rectángulo, por lotanto sus diagonales son congruentes.Otro modo de interpretar la ortogonalidad de los vectores y es:TEOREMA.- Los vectores y son ortogonales sí y sólo sí Demostración i) Si (por demostrar) Por hipótesis se tiene que y son ortogonales entonces (por definición de ortogonalidad). 97
  • 98. MATEMÁTICA BÁSICA I Luego desarrollando los cuadrados de la igualdad se tiene: de donde ii) Si (por demostrar) Como De donde Esta relación nos indica que los vectores a y b son ortogonales (por definición de ortogonalidad). Ejemplo.- Determinar cuáles de los pares de vectores dados son ortogonales. 1) entonces y son ortogonales. 2) 3) entonces y no son ortogonales.TEOREMALos vectores son ortogonales sí y solo sí 98
  • 99. MATEMÁTICA BÁSICA IPROYECCION ORTOGONAL Y COMPONENTEConsideremos dos vectores y no nulos, construyamos un triángulorectángulo cuya hipotenusa sea el vector y su base sea el vector(donde ) paralelo al vector de modo que los lados del triánguloquedará representado así:Hipotenusa al vector y por catetos a los vectores , dondeComo o lo que es lo mismo entonces . , de donde es el único número real, como ,significa que el triángulo cuya hipotenusa es el vector tendrá porcatetos a los vectores: ; En consecuencia: al vectorque es paralelo al vector , llamaremos proyección ortogonal del vectorsobre el vector .Al vector expresaremos en la forma siguiente: , dedonde es el vector unitario en la dirección del vector , en tanto que elnúmero es la longitud dirigida del vector proyección, al númerollamaremos componente del vector en la dirección del vector . 99
  • 100. MATEMÁTICA BÁSICA IDEFINICIONES i) Sean y dos vectores, donde , definimos la proyección ortogonal del vector sobre el vector y los representamos del modo siguiente: ii) Sean y dos vectores, donde , al número que es la longitud dirigida del vector le llamaremos la componente del vector en la dirección del vector y denotaremos así:RELACIÓN ENTRE PROYECCIÓN Y COMPONENTEConsideremos dos vectores y donde por definición sabemosque:Al vector expresaremos en la forma siguiente: , comoEntonces se tiene: 100
  • 101. MATEMÁTICA BÁSICA I i) Si la , la y tienen la misma dirección. ii) Si la , la y tienen direcciones opuestas. iii) Si la quiere que .OBSERVACION.- La diferencia entre proyección ortogonal ycomponente radica en que la proyección ortogonal es un vector y lacomponente es un número real.ÁNGULO ENTRE DOS VECTORESTEOREMA.- Demostrar que el ángulo formado entre dos vectores yno nulos corresponden a la siguiente relación. 101
  • 102. MATEMÁTICA BÁSICA I DemostraciónComo y son dos vectores no nulos y es el ángulo formado por estosdos vectores , de modo que el campo de variabilidad estádado por .Por definición de componente sabemos que: … (1)del gráfico se sabe que de donde … (2)reemplazando (2) en (1) se tiene:Ejemplo.- Dados los vectores , . Hallar: 102
  • 103. MATEMÁTICA BÁSICA I a) La proyección de sobre . b) La componente de en la dirección de . c) El ángulo entre los vectores propuestos. Solución a) b) c)LA DESIGUALDAD DE CAUCHY – SCHWARZ.-TEOREMA.- Demostrar que: para todo vector y se verifica lasiguiente relación. DemostraciónVeremos primero para el caso en quePor Pitágoras del gráfico se tiene: , lo que es mismo 103
  • 104. MATEMÁTICA BÁSICA I , además por lo tanto … (1)Ahora veremos el caso cuando es decir:Si tal quePor lo tanto:Luego de (1) y (2) se tiene:APLICACIÓN.- Como aplicación de este teorema, demostraremos ladesigualdad triangular. , de donde por lo tanto:OBSERVACIÓN.- Consideremos el vectordefiniremos un vector ortogonal al vector al cual denotaremos porcuyos componentes son y que es obtenido aplicando un giro de90° sobre el vértice del vector en sentido antihorario, el vector así definido es ortogonal al vector .En efecto: =Luego 104
  • 105. MATEMÁTICA BÁSICA IEjemplos.-Sean su ortogonal esSean su ortogonal esANGULOS DIRECTORES, COSENOS DIRECTORES Y NÚMEROSDIRECTORES.-Sea entonces:Definimos los siguientes ángulos: , , ,entonces: a) A los números se les llama números directores del vector . 105
  • 106. MATEMÁTICA BÁSICA I b) A los ángulos formados por los ejes positivos y el vector , se les llaman ángulos directores del vector . Los ángulos directores toman valores entre y es decir: . c) A los cosenos de los ángulos directores se les llama cosenos directores del vector . Es decir: Como , de donde , de donde , de donde como , tomando módulo en ambos lados se tiene:AREA DE: TRIANGULOS Y PARALELOGRAMOS.-Consideremos un paralelogramo cuyos lados son los vectores y . 106
  • 107. MATEMÁTICA BÁSICA ILa altura del paralelogramo es:como área del paralelogramo es: peroEn consecuencia el área del triángulo cuyos lados son los vectores yesta dado por:Ejemplos.- 1) Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(-3,2), B(3,-2), C(4,5). Solución Si 107
  • 108. MATEMÁTICA BÁSICA IPRODUCTO VECTORIALPara calcular un vector ortogonal a otro vector en se definió en laforma siguiente.Si , que se obtenía de hacer girar al vector un ángulo de en sentido antihorario.Pero para el caso de a un vector su ortogonal no se define por ,puesto que, para el vector fijo , existen infinitas direcciones en lasque un vector es ortogonal al vector .Por lo tanto definiremos una operación entre dos vectores y en , detal manera que resulte un vector que sea perpendicular tanto al vectorcomo el vector . 108
  • 109. MATEMÁTICA BÁSICA IDEFINICIONConsiderar dos vectores de , ; entonces elproducto vectorial de y se define por:Ejemplo.-Sean yComo se puede observar es ortogonal tanto a como a .PROPIEDADESSean 1) es ortogonal tanto como a . 2) (el producto vectorial no es conmutativo) 3) 4) 5) 6)La demostración de estas propiedades son directas mediante ladefinición. 109
  • 110. MATEMÁTICA BÁSICA I Vectores fundamentales del espaciousando la definición de producto vectorial obtenemosUsando las propiedades de (*) obtenemos la definición de .Es decir: Si= que es el producto esperado. 110
  • 111. MATEMÁTICA BÁSICA IDe igual manera podemos obtener desarrollando el determinante detercer orden propuesto de la propiedad (6).Esta propiedad es muy importante, porque permite calcular el productovectorial sin necesidad de recordar la definición.Ejemplo.- Sean , entonces:OBSERVACIÓN.- El desarrollo del determinante de tercer orden escomo sigue.Este procedimiento se denomina, desarrollo por menorescomplementarios de la primera fila y es la técnica recomendada paracalcular el producto vectorial.TEOREMA.- Demostrar que:Donde es el ángulo entre los vectores y ; 111
  • 112. MATEMÁTICA BÁSICA I DemostraciónSean y por definición detenemos:Efectuando operaciones en el segundo miembro y factorizando se tiene: … (1)Pero , de donde: … (2)Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:De donde: , por tantoNOTA.-Cual es el significado geométrico de .Consideremos un paralelogramo cuyos lados son los vectores y . 112
  • 113. MATEMÁTICA BÁSICA ILa altura h es igual a: , es decir: , además el área de un paralelogramo es:Por lo tanto es el área del paralelogramo formado por losvectores y .Ejemplo.- 1) Hallar el área del paralelogramo formado por los vectores y Solución 113
  • 114. MATEMÁTICA BÁSICA I TEOREMA.- Demostrar que dos vectores son paralelos si solo si Demostración i) Si (por demostrar) como o pero ii) Si (por demostrar) como además , , Entonces o Por lo tanto, y son paralelos. 2) Dados los vectores y . ¿Son paralelos estos vectores? Solución Si , entonces: y no son paralelos. 114
  • 115. MATEMÁTICA BÁSICA IPRODUCTO MIXTO O PRODUCTO TRIPLE ESCALAR.-Sea , y tres vectores de , al producto mixto de , y quedenotaremos por se define como el producto escalar de y .Es decir:PROPIEDADES DEL PRODUCTO TRIPLE ESCALARConsideremos los vectores , entonces se verifica: 1) 2) 3)Ejemplo.- Si , y , entoncesmediante el producto mixto, se puede describir la orientación (tal comose observa en los siguientes gráficos).La flecha indica la La flecha indica laorientación orientaciónPositiva (LEVOGIRA). Negativa (DESTROGIRA). 115
  • 116. MATEMÁTICA BÁSICA IEn general: Si , entonces decimos que están orientadospositivamente y que los vectores y tienen la mismadirección, es decir que los vectores y están en un mismo plano Pque contiene al paralelogramo formado por y .Si , entonces decimos que están orientados positivamentey que los vectores y tienen direcciones opuestas, ósea quelos vectores y están en el lado opuesto del espacio con respectoal plano P que contiene al paralelogramo formado por los vectores y .VOLUMEN DE PARALELEPÍPEDOConsideremos el paralelepípedo formado por los vectores . 116
  • 117. MATEMÁTICA BÁSICA I por que ,entonces:por lo tanto si representa el volumen delparalelepípedo de aristas para el caso en que entonces es el volumen del paralelepípedo.Ejemplo.-Determinar el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son los vectores , y SoluciónVOLUMEN DEL TETRAEDRO.-Consideremos el tetraedro formado por los vectores . , 117
  • 118. MATEMÁTICA BÁSICA IEjemplo.- Determinar el volumen del tetraedro cuyas aristas son losvectores , y Solución 118
  • 119. MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS DESARROLLADOS1) Dados los puntos y . Hallar las componentes de los vectores y Solución De la interpretación geométrica de un vector se tiene:2) Hallar el punto con el que coincide el extremo del vector si su punto inicial es . Solución Como de donde por lo tanto .3) Si , hallar el valor de x sabiendo que el módulo de es 13. Solución Como , de donde entonces y por lo tanto o . 119
  • 120. MATEMÁTICA BÁSICA I 4) Hallar el vector que tiene la misma dirección del vector , sí ( es el vector que tiene la misma dirección que ). Solución Como y tienen la misma dirección entonces Como 5) Si A, B y C son puntos de una misma recta, hallar el vector sabiendo que B se encuentra entre A y C donde y y . Solución Como y tienen la misma dirección entonces Pero = De donde Como 6) Demostrar para qué valores de e los vectores y son paralelos. 120
  • 121. MATEMÁTICA BÁSICA I Solución Si tal que al reemplazar por sus componentes se tiene: de donde , , , Luego Por lo tanto los valores de e es:7) Si y . Hallar para que sea paralelo a Solución Si tal que: , dé donde: por igualdad se tiene: entonces Igualando se tiene: de donde8) Para que valores de “a”, los vectores , y son ortogonales. 121
  • 122. MATEMÁTICA BÁSICA I Solución Si (ortogonales) son los valores de a. 9) Hallar las coordenadas de los vectores y , conociendo los puntos y Solución 10)Los extremos del vector coinciden con los punto y . Determinar las coordenadas del punto , sabiendo que el punto es el origen y sus coordenadas son Solución de donde: Luego 122
  • 123. MATEMÁTICA BÁSICA I11)Determinar el origen del vector si su extremo libre coincide con el punto . Solución , igualando se tiene: Por lo tanto:12)Determinar para que valores de m y n los vectores y son colineales. Solución Como y son colineales y son paralelos, es decir: , de donde: entonces:13)Determinar para qué valores de los vectores ; son perpendiculares entre sí, sabiendo que , . Solución Como14)Calcular sabiendo que: , y 123
  • 124. MATEMÁTICA BÁSICA I Solución , elevando al cuadrado tenemos: 169+361+2 2 15)Los vectores y forman un ángulo , se sabe además que: y . Determinar: y . Solución 16)Los vectores y forman entre sí un ángulo de 45° y el módulo de es 3. Hallar el módulo de , de modo que ( sea perpendicular a . Solución Como y además por hipótesis: También sabemos que: como De donde 124
  • 125. MATEMÁTICA BÁSICA I17)Los vectores y forman entre sí un ángulo de 45° y el módulo de es 3. Hallar el módulo para que forme con un ángulo de 30°. Solución Por hipótesis tenemos y Determinamos , para que , de donde: elevando al cuadrado y simplificando , resolviendo la ecuación:18)Sean y dos vectores. Demostrar que y son ortogonales. Solución (ortogonales) Como 125
  • 126. MATEMÁTICA BÁSICA I 19)Calcular los cosenos directores del vector Solución de donde tenemos: 20)Demostrar que: y determinar los ángulos formados por el vector con las direcciones positivas de los ejes coordenados. Solución Se conoce que: sí entonces sumados se tiene: 21)Demostrar que y son ortogonales sí solo sí . 126
  • 127. MATEMÁTICA BÁSICA I Solucióni) son ortogonales sí y solo sí . Comoii) sí como (ortogonales)22)Si , y son las aristas de un paralelepípedo rectangular, entonces determinar los ángulos formados entre las aristas y diagonales respectivamente (caso particular del cubo). Solución i) Sea como entonces: de donde ii) Sea 127
  • 128. MATEMÁTICA BÁSICA I Luego de donde iii) Sea Luego de donde En particular del cubo se tiene: por lo tanto: Luego: Análogamente se puede determinar la medida de los otros ángulos tomando cualquier otra diagonal del paralelepípedo rectangular. 23)Un vector ha formado los ángulos de y con los ejes OX, OZ respectivamente, determinar el ángulo formado con el eje OY. 128
  • 129. MATEMÁTICA BÁSICA I Solución Sea el ángulo por calcular Por cosenos directores tenemos: , respectivamente se tiene: reemplazando24)Demostrar que: si dos vectores son unitarios, entonces la suma es un vector unitario si y solo si el ángulo formado por dichos vectores es de . Solucióni) sean a, b vectores unitarios de modo que:ii) Sí Como es unitario25)Probar que la suma de vectores es conmutativa, es decir: 129
  • 130. MATEMÁTICA BÁSICA I Solución Se observa que: por definición de suma de donde: … (1) por definición de Suma de donde: … (2) Comparando (1) y (2) se tiene 26)Demostrar que la suma de vectores es asociativa, es decir: . Solución Se observa que: Por definición de suma de vectores, de donde: … (1) por definición de suma de vectores, de donde: … (2) por definición de suma de vectores, de donde: … (3) por definición de suma de vectores, de donde: … (4) Comparando (3) y (4) se tiene: 130
  • 131. MATEMÁTICA BÁSICA I27)Demostrar que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a la mitad de su longitud. Solución Sea , de modo que: , , como entonces: A continuación se debe comprobar que el segmento que une los puntos medio de dos lados de un triangulo es igual a la mitad de la longitud del tercer lado del triangulo, para ello sabemos que: , por lo tanto:28)Sean y dos vectores que tienen distinta dirección. Hallar la expresión de cualquier vector del plano determinado por y . Solución Sabemos que el vector es paralelo al Vector análogamente el vector es paralelo al vector , y aplicando la regla del paralelogramo tenemos: que es la expresión pedida. 131
  • 132. MATEMÁTICA BÁSICA I 29)Demostrar que en un triángulo isósceles, la mediana es igual a la altura. Solución Por hipótesis tenemos que: Debemos demostrar que: Según el gráfico sabemos que: … (1) Igualmente según el gráfico se tiene: … (2) 30)Si los extremos de tres vectores distintos , y , de origen común son colineales. Demuéstrese que se cumple la relación siendo y números reales distintos de cero. Solución Consideremos tres vectores , y distintos con extremos colineales y origen común. Del gráfico se tiene: … (1) tal que: … (2) reemplazando (2) en (1) se tiene: 132
  • 133. MATEMÁTICA BÁSICA I , de donde en general31) Demuéstrese que si tres vectores distintos , y , cumple la relación siendo y números reales distintos de cero, entonces los extremos de los vectores , y son colineales. Solución Como , reemplazando: de donde se observa que es un vector que se obtiene sumando el vector y el vector que es paralelo al vector y esto nos implica que el extremo de se encuentra en la línea que une A y C.32)Demostrar que el triángulo inscrito en un semicírculo es un triángulo rectángulo. 133
  • 134. MATEMÁTICA BÁSICA I Solución Se observa que por ser radio de un circulo. Por demostrar que: es decir que: Luego pero como entonces: En consecuencia 33)Si k es un punto interior del triángulo MNP y M‟, N‟, P‟ son los puntos medios de los lados del triángulo. Demostrar que . Solución Por hipótesis tenemos: y Además en la figura se observa que: 134
  • 135. MATEMÁTICA BÁSICA I Luego … (1) Igualmente de los otros lados deducimos: Además en la figura se observa que: Luego … (2) Luego … (3) Ahora sumando (1), (2) y (3) se tiene: Por lo tanto:34)Sean , dos vectores de un mismo origen y sus extremos los puntos A y B respectivamente. Expresar un tercer vector en términos de los vectores dados, tal que comparta del mismo origen y su extremo se encuentra en el punto medio del segmento . 135
  • 136. MATEMÁTICA BÁSICA I Solución debe expresarse en términos de , por hipótesis se sabe que: , además se tiene: sumando se tiene: por los tanto: 35)Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio. Solución Consideremos el paralelogramo OABC. cuyas diagonales se cortan en el punto P, además en la gráfica se observa que: i) entonces y o puesto que y son paralelos. 136
  • 137. MATEMÁTICA BÁSICA I ii) y o puesto que y son paralelos. iii) reemplazando i), ii) y iii) se tiene: , de donde , como y no son paralelos Se tiene que: por tanto Se tiene que: por tanto con lo que se afirma que P es el punto medio de la diagonales.36)Demostrar que el polígono resulta de unir los puntos medios de los lados de un cuadrilátero, es un paralelogramo. Solución Consideremos el cuadrilátero OABC siendo E, F, D, G los puntos medios de sus lados. En la figura que: 137
  • 138. MATEMÁTICA BÁSICA I i) , , , ii) (trayectoria cerrada) iii) de (ii) Luego de donde por lo tanto tenemos que: (ii), (iii) de modo que el cuadrilátero resultante es un paralelogramo. 37)En un triángulo cualquiera, demostrar que existe otro triángulo cuyos lados son iguales y paralelos del primero. Solución La condición para que tres vectores , y formen un triangulo es: 138
  • 139. MATEMÁTICA BÁSICA I En la figura (b) se tiene: Sumando se tiene: Luego cumple la condición de formar un triángulo.38)Demostrar vectorialmente que: si el cuadrado de la longitud de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados entonces el triángulo es un triángulo rectángulo. Solución Se sabe que: Y como la trayectoria es cerrada entonces , pero de donde por lo tanto ; como son ortogonales, por consiguiente el triángulo es un triángulo rectángulo. 139
  • 140. MATEMÁTICA BÁSICA I 39)Demostrar vectorialmente que un triángulo hay dos medianas de igual medida. Solución Sabemos por hipótesis que por ser triángulo isósceles: además del grafico se tiene: por definición de suma de vectores por definición de suma de vectores. luego demostraremos que , como Entonces … (1) , como entonces: … (2) ahora comparando (1) y (2) se tiene: por lo tanto las dos medianas de un triángulo isósceles, sus medianas son iguales. 40)Demostrar que si las magnitudes de la suma y la diferencia de dos vectores son iguales, entonces los vectores son perpendiculares. 140
  • 141. MATEMÁTICA BÁSICA I Solución Consideremos dos vectores , entonces por condición del problema se tiene: , de donde , desarrollando tenemos: , ahora simplificando , esto indica que los vectores son perpediculares.41)Demostrar que si la suma y la diferencia de dos vectores son perpendiculares, entonces los vectores tienen magnitudes iguales. Solución Consideremos dos vectores de tal manera que: Ahora desarrollamos el producto escalar se tiene: de donde:42)Si A, B y C son puntos de una misma recta, el punto C divide al segmento AB en la razón r, si . Determinar C, si C divide al segmento AB en la razón r. Solución En el gráfico se observa que: si 141
  • 142. MATEMÁTICA BÁSICA I De donde … (1) Como C divide al segmento AB en la razón r, Entonces Ósea que: … (2) Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene: , de donde 43)Consideremos cuatro puntos A, B, C y P, de tal manera, que si P está en la recta que pasa por los puntos A, B y C, y que divide a los segmentos y en las razones r, s y t respectivamente. Demostrar que r.s.t=1 Solución De los datos del problema se tiene que: P divide al segmento en la razón r … (1) P divide al segmento en la razón s … (2) P divide al segmento en la razón t … (3) De (2) … (4) De (3) … (5) Ahora reemplazando (5) en (4) se tiene: … (6) Ahora reemplazando (6) en (1) se tiene: , como entonces 142
  • 143. MATEMÁTICA BÁSICA I44)Los vectores , y son distintos con origen común. Encuéntrese la condición necesaria y suficiente para que sus puntos extremos sean coplanares. Solución Los puntos A, B, C y D (extremos de los vectores , y ), serán coplanares cuando uniéndolos dos a dos, cualesquiera de ellas, las rectas resultantes se corten o sean paralelas. Supongamos que conectamos A con B y C; si ambas se cortan, los puntos A, P y B estarán en línea recta (P punto de intersección de las rectas y extremo del vector ), y lo mismo sucederá con P y D por lo tanto. Del ejercicio (7) se tiene: De los sistemas se tiene: , de donde: La condición necesaria, es pues: … (1) 143
  • 144. MATEMÁTICA BÁSICA I Si las rectas AB y CD son paralelas entonces: , se donde , también se cumple la relación (1) Por lo tanto si P es punto común de AB y CD, entonces A, B, C y D son coplanares. 45)Demuéstrese que las tres alturas de un triángulo coinciden en punto. Solución La relación siguiente se cumple … (1) Como se puede demostrar por simple desarrollo. Si los vectores y tienen la dirección de las alturas correspondientes y son, por lo tanto, perpedicular, respectivamente, y resulta que: , y teniendo en cuenta la parte (1) se tiene: Luego es perpendicular a ; y tendrá la dirección de la altura resultante: por tanto, las tres alturas coinciden en el punto H. 46)Si P es el punto de intersección de las medianas del triangulo ABC, O es punto cualquiera del espacio demuestre que: . 144
  • 145. MATEMÁTICA BÁSICA I Solución Sea M el punto medio de A y C … (1) Además por la propiedad de las medianas: … (2) Reemplazando (1) en (2) tenemos: Luego47)Sumar gráficamente y analíticamente los vectores , y que se muestran en la figura. 145
  • 146. MATEMÁTICA BÁSICA I Solución Analíticamente: , Luego 48)Dado un paralelogramo de vértices los puntos A, B, C y D si M es el punto medio de y P está en a de la distancia de A a P, demostrar vectorialmente que: . Solución , De donde Por demostrar , de donde: Por lo tanto: 146
  • 147. MATEMÁTICA BÁSICA I49)Dado un paralelogramo cuyos vértices son los puntos A, B, C y D siendo P y Q los puntos medios de los lados y respectivamente. Demostrar que y trisecan a la diagonal . Solución Sean E y F los puntos de intersección de y con la diagonal . Por demostrar que: Del gráfico se tiene: … (1) … (2) Igualando (1) y (2) se tiene: , de donde Pero como y son vectores no paralelos y diferentes del vector nulo y por el ejercicio (1) se tiene: Por lo tanto de (1) se tiene: 147
  • 148. MATEMÁTICA BÁSICA I 50)Un automóvil recorre 5 km. Hacia el norte, luego 8 km. hacia el noreste; representar gráficamente y hallar la resultante del recorrido. Solución (Representa el desplazamiento de 5 km. hacia el norte) (Representa el desplazamiento de 8 km. hacia el noreste) (Representa a la resultante del recorrido, es decir: ). En el triangulo OAB los lados son los vectores y cuyas longitudes son: Para determinar la longitud de aplicamos la ley del coseno, es decir: , de modo que es el ángulo comprendido entre , cuyo valor es: . Luego reemplazando kms. 148
  • 149. MATEMÁTICA BÁSICA I CAPÍTULO III ALGEBRA DE NÚMEROS3.1 TEORÍA DE NÚMEROS Los números aparecen en las diferentes civilizaciones, cuyo estudio histórico se pierde en el tiempo. Una de las civilizaciones más importantes fueron los Sumerios, que se desarrollaron en la actual zona del IRAK; quienes 1700 años A.C. idearon el sistema de Numeración Decimal; utilizados mundialmente y representados en las cuevas, mediante el arte Rupestre. Los Babilonios invadieron y aprendieron el sistema de Numeración Decimal y llevaron al Asia; Norte de África y Europa. Los árabes invadieron a los Babilonios, por transculturización aprendieron el sistema de Numeración Decimal y siguieron dando a conocer, a los países donde comerciaban. Injustamente se les conoce como Números Arábigos; cuando, los inventores fueron los Sumerios. En un principio no se pudo definir los números y se trato de considerar como concepto primitivo. Inclusive en la Teoría de Inducción completa; se considera: Cero, Número y sucesivo como concepto primitivo. Posteriormente, se descubre la “Teoría de Conjuntos” por Kurt Grelling quien había escrito 200 años antes con relación a los conjuntos; recién se define (1940) los números teniendo como base los conjuntos estudiados por el inglés Kurt Grelling. Es 149
  • 150. MATEMÁTICA BÁSICA I conveniente reconocer los estudios realizados por los incas (1000 años después de Cristo) referente a los números (Yupay) en el sistema de Numeración Decimal; representados en los Quipus y el Yupana; como estupendos representantes de la matemática del flujo. Los incas en los “Yachay wasi” (Casa del aprendizaje) orientaban el aprendizaje de los números (Yupay) en base decimal, conocían las operaciones básicas: Yapay (suma), Quechuy (resta), Merachy (multiplicación) y Cheqta (División) se desarrollan fácilmente en el Quipu (para anular) y el yupana (para contar números). Los niños aprenden por tres canales: tacto (qapispa); vista (qawaspa), oido (uyarispa). Según la moderna NEUROPEDAGOGÍA; el más científico y completo sistema de aprendizaje para la matemática. 3.1.1 NÚMERO NATURAL (N) Es el signo que representa a los conjuntos coordinables A = {a} A = {a; b} A = {a; b; c} B = {b} B = {c; d} B = {d; e; f} C = {c} C = {e; f} C = {g; h; i} . . . . . . . . . . . . 1(uno) 2 (dos) 3 (tres) .............. Representación lineal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 .... 150
  • 151. MATEMÁTICA BÁSICA I Los números naturales cumplen con la propiedad conmutativa (cerrados) para la suma y la multiplicación. No se cumple para la: resta y división. 3.1.2 NÚMEROS ENTEROS (Z) Como los números naturales son cerrados, es necesario ampliar los números y tenemos, los números enteros en Z; que contienen a todos los números naturales con signo positivo y todos los números negativos; son el resultado de comparar dos números naturales por sustracción. Representación lineal ● ● ● ● ● ● ● ● - ...-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4.......+ Los números enteros cumplen con la propiedad conmutativa para las operaciones de: suma, resta y multiplicación; en cambio para la división no se cumple; por lo que es necesario ampliar. 3.1.3 NÚMEROS RACIONALES (Q) Que son el resultado de comparar los números enteros por división: Los números racionales cumplen con la propiedad conmutativa (cerrados) para la: suma, resta, multiplicación y división, siendo el segundo diferente de Cero. Diagrama lineal- ............... -3 -2 -1 0 1 2 3 ................... + 3 5 - 2 8 151
  • 152. MATEMÁTICA BÁSICA I 3.1.4 NÚMEROS IRRACIONALES (Q’) Se denomina así, a todos los números que no son racionales. Ejemplo: (3.1416..) 3 3 5 (3.1416..)- ..................... -3 -2 -1 0 1 2 3............ + E (2.71) E (2.71) Diagrama Lineal (Q’) 3.1.5 NÚMEROS REALES (R) Se denomina así a todos los números estudiados: naturales, enteros, racionales e irracionales. Si en los números racionales se desarrolla la operación de división; a estos números se les conocen como números Racionales decimales. Ejemplo: 3 = 0.374999........ 8 1 = 0.5 2 8 = 1.6 5 3.1.6 NÚMEROS IMAGINARIOS (I) Son los números que se presentan como la raíz par (2; 4; 6........) de los números negativos. Ejemplo: 2 = 2 ( 1) = 2 i; ( 1 ) = i ; 1.41 i 4 = 4 ( 1) = 2 1 = 2i 152
  • 153. MATEMÁTICA BÁSICA I Representación gráfica I 2i i- R -3 -2 -1 0 1 2 3 -i -2i . . -i 3.1.7 NÚMEROS COMPLEJOS (C) Es un par formado por un número Real (R) y un número imaginario (I); C (R; I). 153
  • 154. MATEMÁTICA BÁSICA I Sistema Cartesiano Rectangular en el campo complejo I coi . . . - 3i ( 19 ; 3i) C (- ; 2i) - 2i -i- 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -i -2i C ( ; -2i) -3i C (- ; - 15 ) - 15 . . -i 154
  • 155. MATEMÁTICA BÁSICA I SISTEMA DE NÚMEROS COMPLEJOS Números Complejos Números Reales N. Imaginarios N. Racionales N. Irracionales N. EnterosEnt. Negativos Cero Ent. Positivos Naturales N. Primos 155
  • 156. MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOS1. En los ejercicios siguientes reconozca si es verdadero o falso para los números: Naturales (N); Enteros (Z); Racionales (Q); Irracionales (Q‟); Imaginarios (i) ; Complejos (C). 1.1) -7 Є N 1.9) 1 ЄZ 2 1.2) 2 Є R‟ 1.10) 5 Є Q‟ 1.3) 4 Є Q 1.11) 3 8 Є N 1.4) 9 Є R 9 1.5) 3 Є Q 1.12) Є Q‟ 4 1.6) –6 Є Q 1.13) –2 Є Z 1.7) 11 Є C 1.14) ЄR 1.8) (-3; 2 3 ) Є C 1.15) 4 ЄR2. Desarrollar un diagrama lineal de los conjuntos: R; N y Q‟.3. A cuál de los conjuntos: N; Z; Q; Q‟; R; I; C; pertenecen los números: 3 3 3.1) - 3.3) 5 3.5) ; 13 4 4 3.2) 26 3.4) 4 3.6) 94. En los conjuntos; N; P; Q‟; Q; Z y R; cuáles son cerrados a la Suma; Resta; Multiplicación y División; indique ejemplos:5. Con notación conjuntista, escriba las afirmaciones: 5.1) 5 es menor que 8. 5.2) a no es mayor e igual que b. 5.3) a no es menor que b. 5.4) a es mayor o igual que b. 5.5) a no es mayor que b. 156
  • 157. MATEMÁTICA BÁSICA I6. Entre los siguientes números, indicar el signo de relación que los representa adecuadamente: 6.1) -9 ....................... 7 6.5) 52 ................. 25 6.2) -12 ..................... –3 6.6) - ................. 2 6.3) 5 ........................ 32 6.7) Є .................. 2 6.4) -8 ....................... 8 6.8) ................. 7 57. Representar las siguientes relaciones con los signos de desigualdades correspondientes: 7.1) y está a la derecha de 12. 7.2) Z está a la izquierda de 5. 7.3) X está entre –9 y 9. 7.4) W está entre –4 y 6. 7.5) Y está entre –9 y –2.8. Desarrollar los siguientes ejercicios: 8.1) /3 + 5/ 8.2) /-3 –6/ 8.3) /+8 + 4/ - / -3 – 2 / 8.4) / -3 / + / -8 / 8.5) / -9 / - / -7 / 8.6) - / -7+2 / 8.7) – 4 - / -7 / 8.8) /4 – 3/ + /9 – 12/ 8.9) - / -6 / - / -8 / 8.10) / 4 / - / -12 + 4 /9. Representar X; entre desigualdades: 9.1) 3<x–4<8 9.2) –1 < x + 3 < 2 9.3) –9 < 3 x < 12 9.4) –6 < -2x < 4 157
  • 158. MATEMÁTICA BÁSICA I 9.5) 3 < 2x – 5 < 7 9.6) –7 < -2x + 3 < 510. Representar sin el signo de valor absoluto: 10.1) / x / < 3 10.2) / x – 8 / < 5 10.3) /2x + 3/ < 711. Representar con el signo de valor absoluto 11.1) -2 < x < 6 11.2) 4 < x < 1012. Indicar el signo de desigualdad correspondiente 12.1) 1 ............ –7 12.2) –2 ........... –9 12.3) 23 ............ 8 12.4) 3 ............. 7 12.5) 32 ............ 9 12.6) 32 ............ –1113. Representar en forma conjuntista los intervalos: 13.1) M = [-8 ; 5 [ 13.2) S = ] 7; 14 [ 13.3) T = [ 4; 9 ] 13.4) W = ] -8; -3 ]14. Desarrollar los siguientes intervalos en líneas rectas: 14.1) R = ] -9; 4 ] 14.2) S = [ -4; 4 [ 14.3) T = ] 5; 8 [ 14.4) W = [ 7; 12 ] 158
  • 159. MATEMÁTICA BÁSICA I15. Las siguientes desigualdades representar en la recta y escribir en conjuntos los intervalos correspondientes. 15.1) A = {x/x, x < 3} 15.2) B = {x/x, x 2} 15.3) C = {x/x, x -4} 15.4) D = {x/x, x > -1}16. Con los intervalos: A = [-8; 5[ y B = [-5; 8] Representar en la misma recta A y B. Representar en la recta: 16.2.1) A B 16.2.2) A B 16.2.3) A – B 16.2.4) A B17. Representar en notación de intervalos: A B; A B y A – B.18. Representar y dar ejemplos de intervalos, cuya reunión o unión es un intervalo.19. Representar en una recta y escribir el conjunto que resulta en notación de intervalos. 19.1) {x/x; x -1} {x/x ; - 3 < x < 2} 19.2) {x/x; x < 2} {x/x ; x 2} 19.3) {x/x; -3 < x 1} {x/x ; x > 2} 19.4) {x/x; -2 < x 3} {x/x ; x < 1} 19.5) {x/x; -3 x 0} {x/x ; - 2 < x < 3}20. En las siguientes expresiones, indique: cuál es Verdadero o Falso: 20.1) a Z; b Q y (a – b) N 20.2) a P; b Q‟ y ab Q. 20.3) a N; b Z y ab Z. 159
  • 160. MATEMÁTICA BÁSICA I a 20.4) a N, b Q‟ y Q. b 20.5) a P, b P y (a + b) P. 20.6) a N, b Q‟ y (a + b) Q‟. a 20.7) a Z, b Q y N. b b 20.8) a P, b Z y Q. a21. Representar las siguientes afirmaciones con la notación de la relación de orden: 21.1) x no es mayor que y. 21.2) El valor absoluto de x es menor que 4. 21.3) r no es menor que y. 21.4) r es mayor o igual que t.22. Entre los siguientes números indicar la relación correcta: 22.1) 5 .................. –8 22.5) 23 .................. 19 22.2) / x / .............. –3 22.6) - / x / .............. 1 22.3) 23 ................. 8 22.7) – 7 ................. 4 22.8) – 2 ................. –5 22.4) - ................ 323. Representar en la recta la relación de los números: 23.1) a está a la derecha b. 23.2) x está a la izquierda de y 23.3) r está entre –5 y –8.24. Calcular: 24.1) /4–7/ 25.6) / -2 / + / 1 – 5 / 24.2) / -4 – 7 / 25.7) /3–8/-/2–1/ 24.3) /4+7/ 25.8) / -3 / - / -9 / 24.4) / 3 / - / -5 / 25.9) /2–6/ - /1–9/ 24.5) / 2 – 3 / + / -6 / 160
  • 161. MATEMÁTICA BÁSICA I25. Representar las desigualdades en función de “x” 25.1) -2 < x – 3 < 4 25.2) –5 < x + 2 < 1 25.3) –12 < 4x < - 8 25.4) 4 < -2x < 10 25.5) –1 < 2x – 3 < 5 25.6) –3 < 5 – 2x < 726. Representar sin el signo de valor absoluto: 26.1) / x / 8 26.2) / x – 3 / < 8 26.3) / 2x + 4 / < 827. Representar con signo de valor absoluto: 27.1) -3 < x < 9 27.2) 2 x 8 27.3) –7 < x < -128. Representar los siguientes intervalos como conjuntos y en la recta: 28.1) A = [-3 ; 1[ 28.2) B = [1: 2] 28.3) C = ]-1; 3] 28.4) D = ]-4; 2[29. Representar como intervalos las siguientes relaciones y en la recta: 29.1) R = {x/x, x 2} 29.2) S = {x/x, x > -1} 29.3) T = {x/x, x < -3} 161
  • 162. MATEMÁTICA BÁSICA I30. Sean los intervalos. Hallar y representar como intervalos: A = [ -4 ; 2 [ B = ] -1; 6 [ C = ]- ; 1] 30.1) A B 30.7) A - C 30.2) A B 30.8) C - A 30.3) A–B 30.9) B C 30.4) B–A 30.10) B C 30.5) A C 30.11) B - C 30.6) A C 30.12) C – B3.2 EXPONENTES Y RADICALES EXPONENTES Es la operación que consiste en hallar un número; que, multiplicado otro número, tantas veces como indica otro número denominado exponente es igual al número buscado. exponente an = a x a x a ............. (n veces) base PROPIEDADES 1. Para multiplicar expresiones exponenciales de la misma base, se suman los exponentes. an x am = an + m 2. Para dividir expresiones exponenciales de la misma base; se restan los exponentes: an : am = an - m ; para n > m 162
  • 163. MATEMÁTICA BÁSICA I3. Para elevar una expresión exponencial a una potencia cualquiera, se multiplica el exponente por la potencia (a n)m = an x m4. Para elevar un producto , a una potencia cualquiera; cada una de las expresiones, se eleva a la potencia indicada. (a x b)n = an x bn5. Para elevar a una potencia cualquiera, un cociente; el dividendo y divisor se eleva a la potencia indicada. n a an b bn6. Toda expresión con exponente cero; es igual al número uno. a0 = 1 para a 07. Toda expresión con exponente negativo, es igual al inverso de la expresión con exponente positivo.8. Toda expresión positiva elevada a una potencia par o impar; siempre es positiva.9. Toda expresión negativa elevada a una potencia par es positiva; y, elevada a una potencia impar es negativa. 163
  • 164. MATEMÁTICA BÁSICA I3.3 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES EXPONENCIALES EJERCICIOS RESUELTOS 4 2 2x 3 y 4 3y 2 z 3 1. z3 2x 2 Solución: 24 x12 y16 32 y 4 z 6 22 32 x8 y 20 36 x8 y 20 z12 22 x 4 z6 z6 3 3 2a 2 c 3 30b 6 2. 15b 4 4a 2 c 2 Solución: 3 2a 2 c 3 30b 6 b 2c b6c 3 15b 4 4a 2 c 2 1 1 1 1 3. a ; a a a1 2n 2n 1 4. a a 2n ; a a 2n 1 2n 2n 1 5. a a 2n ; a a 2n 1 EJERCICIO PROPUESTO 4 12 x 2 a 2 1 1. 6xa 2 2 x 2a 164
  • 165. MATEMÁTICA BÁSICA IDESARROLLAR LAS OPERACIONES INDICADAS CONEXPONENCIALES. EJERCICIOS RESUELTOS1. (2a2) (3a4) (a5) = 6a112. (-3a2) (-5a5) = 15a 7 | EJERCICIOS PROPUESTOS1. 34 x 32 102 10. 522. 52 x 52 6 253 3 11. 33. 5 34 2 3 35 12.4. 4 4 3 4 25 25. 3 13. 2 3 4 45 16. 2 14. 4 5 57 15. (42 )37. 55 2 2 16. (23 x 32)28. 5 x 2 3 3 17. (24 x 3)29. 3 x 4 18. (42 x 2)3 165
  • 166. MATEMÁTICA BÁSICA I 19. (3a6) (2a4) 18 x 5 y 7 24. 3x 2 y 3 20. (4x4) (3x3) 2 25. (3x3)2 4 21. 5 a7 26. a3 b9 22. b5 27. (5a4)3 20 c 4 d 2 28. (-4b2)3 23. 5c2d 29. (-a3 b2 c4)2 SIMPLIFICAR LAS SIGUIENTES EXPRESIONES: EJERCICIOS RESUELTOS 42 h 9 y 7 k 4 1. 5 4 3 = 7h 4 y 3k 6h y k 5 36 x 5 y 6 z 3 5 2. 2 xy3 z 2 32x5 y15z10 4 3 18 x y z = EJERCICIOS PROPUESTOS 24 x 4 y 5 z 2 28 a 7 b8 d 3 1. 3. 3x 2 y 3 z 2 4a 2 b 4 d 3 3 27 c 5 d 4 e 5 9 a 4 b6 c8 2. 4. 3c 4 d 2 e 3 3 a3 b4 c5 166
  • 167. MATEMÁTICA BÁSICA I 4 18 a 4 b 2 7c 3 d 4 18c 4 e7 5. 13. 6a 3 b 2 6e5 21d 5 27 h3 k 3 27 r 4 s 2 t 2 6. 14. 16h5 k 3 12 r 2 s 2 t 5 3 5 4 x3 y 3 2 r 3 s5 7. 15. 2 y2 3 r 5 s3 48 a 7 b3 c5 4 8. 12a 7 b 3 c 6 32a 5 b 4 c 16. 18 a 5 b 6 c 10 81 x 8 y 6 z 4 9. 14 x 5 y 4 z 9 5 36 x 4 y 7 z 5 17. 7 x2 y7 z8 3a 2 b3 4a 3 c 2 10. 18. (3a3)2 (4a4)2 2c 4 9b 2 3 4 3 5 5 2 6h 4 k 7 6x y z 10w x 19. 11. 9h 3 k 9 5w 2 9 y5 y7 12h3 y 4 15h 4 k 3 12. 5k 5 8 y6Si los exponentes son iguales se multiplican las bases y se indicael exponen común. 20. (2a2 bc3)2 (4a 3b2c)2 21. (5h4 y3 k2)4 (h2 y4 k)4 167
  • 168. MATEMÁTICA BÁSICA I Si los exponentes son iguales se dividen las bases y se indica el exponente común. EJERCICIOS RESUELTOS 5 5 5 4 c 3 d2 3 e5 5 4c 3d 2 3e5 ce c 5e5 1. = 3 e4 8c 2 d 2 3e 2 8c 2 d 2 2 32 3 3 3 3 3 4h 2 9h 4 6k 6 4h 2 9h 4 6k 6 2h 6 8h18 2. 3k 3 2k 2 18k 7 3k 3 2k 2 18k 7 k6 k 18 3. a3y+2 a2y-4 a2-5y= a 0 1 a 3n 4 b 2n 1 a 3n b 2 n a 2nb n 4. = a 2 n 6b n 2 a n 2 1 n b a n 6b n 2 a 6b 2 EJERCICIOS PROPUESTOS 2 2 3 3 3 3r2 4r2 3d 2 2d 5 c 5. 9. 2r2 3r3 d3 3c 3 d6 3 2 3 a2 b c4 6. 2c3 3a 2 b 2 3x 3 4 4y 4 2x 4 10. 4 4 2y 2 3x 3 y 2x 3 y 2 6 z5 7. 3 x4 2x 4 y 2 2 (5a 4b 2 c3 ) 4 (4a 3b 4 c 2 ) 4 2 11. 2a 2 3b a2 (10a8b5 c5 ) 4 8. b3 a3 6b 168
  • 169. MATEMÁTICA BÁSICA I (8h 4 j 3 k 2 )5 (2h3 j 2 k 3 )5 (h 3 h 2 ) 3 (h 3 k 2 ) 4 12. 21. (16h 6 j 6 k 6 )5 (h 3 k 2 ) 5 13. a3n + 5 a2n-5 (2a 3 x 4 ) 2 ( 4a 2b) 3 22. 14. b2x+3 bx-1 bx-2 (2a 2 x 3 ) 3 15. c2x-1 cx+2 c1-5x ( 4c 2 de 2 ) 3 (2c 3 d 2 e 4 ) 3 23. a n 2 x 2n 1 (6c 3 d3 e 7 ) 3 16. a n 2 x 1 2n a 5n 4 b 3n 8 24. (a 2 b 3 ) 2 (ab 2 ) 2 a 2n 1 17. (h 2b) 3 (a n 1 b n 2 ) 2 25. (2x 3 y 2 z 3 ) 2 (6x 4 yz 2 ) 2 a 2n b 4 18. (12x 5 y 4 z 5 ) 2 (a 2n 1 b n 1 ) 3 26. a n 2 x 3n 1 an 3 b3 19. a n 4 x1 n (a 2 x 3 ) 4 20. (ax 2 ) 2 (a 2 x 3 ) 23.4 EXPONENTES NEGATIVOS Encuéntrese el valor de las expresiones en los problemas 6 a 24. EJERCICIOS RESUELTOS 0 1. (-2) = 1 0 2 2. = 1 3 169
  • 170. MATEMÁTICA BÁSICA I 3. (3-2)-1 (22) – 1= 3 2 2 2 1 62 1 36 1 35 -2 3 -2 4 6 54 625 4. (5 8 ) = 5 8 86 262144 1 1 5. (4-2)2 = 4 4 44 256 EJERCICIOS PROPUESTOS 6. 4-1 15. 3-4 7. 5-2 16. (3-1) (3-2) 0 17. (2-4) (2-2) 3 8. 4 18. (4-5) (42) 9. (2-3)-3 19. (3-8) (35) 10. (32)-1 (22) – 1 20. (3 – 122)3 11. (32)-1 (2-2)-1 21. (42 3-3)-2 12. (3-2)-1 (2-2)-1 22. (2-2 43)-3 13. [ (3) (5)]0 23. (32)-1 14. 2-3 24. (5-1)2 170
  • 171. MATEMÁTICA BÁSICA IMediante el uso de exponentes negativos, escríbanse sindenominadores las expresiones de los problemas 30 a 36. EJERCICIOS RESUELTOS 4x 2 25. = 4x2 y 3 3 y 4x2 y 26. = 4 3 1 x2 y 2 z 2 3 y3 z 2 x2 27. = 3 1x 5 3x 2 x 5 EJERCICIOS PROPUESTOS 2a 2 35. 3 a 2 b3 c 30. b 2 1 a 1 b4 c 2 3h 2 k 36. 2h 3 j 2 k 4 31. k 2 j3 3 2 h 4 jk 2 4a 2 b3 4r 3 s 1 t 2 32. 37. 2cd 2 1 r4 s 2 t 1 3a 2b 4 8x3 y 3 z 33. 38. 40 a 3 b 5 4 1 x4 y 2 z3 7 x2 y 2 34. 3x 5 y 3 171
  • 172. MATEMÁTICA BÁSICA I Simplifíquense las siguientes expresiones: EJERCICIOS RESUELTOS 1 1. c0z-3 = z3 1 2. x-2 x-3 = x5 3 3 x 3 1 1 3. = 3 2 y 2 x y x y6 9 2 3 2 5 4. 3x-a + a = a x x Xa xa 2 c3 1 2 5. = c 3d 2 c6d 4 d2 c d2 3 2 3 2b 3x 6. 2x-1 + 3b-1 = x b bx 1 1 y x x 1 y 1 x y xy x 2 y 2 ( y x) xy 7. = x2 y 2 1 1 y 2 x 2 xy( y x)( y x) y x x2 y2 x y 2 2 1 1 x3 y 3 3 3 y x x3 x3 x3 y 2 8. 2 3 3 2 x y x y 1 1 x y 2 3 3 2 x y x y x3 y 3 x3 y 3 ( x3 y3 ) y( x 2 xy y 2 )( x y) y( x 2 xy y2 ) x3 y 2 ( x y) x y 172
  • 173. MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOS9. x0 y-2 2r 2 3 3 22. 4 1 r3 s 210. by-4 3 2 a 2 b2 e0 f 1 23.11. 2 1 a2 b 1 g 3 1 a b12. x-3 x 24. 1 b a13. a-1 x-1 a b 25. a2 2 b1 a114. b 3 26. a-1 + b-1 2 a 2 62 x 2 y 3 z 115. 27. b 3 23 xy 2 z 3 24 p 4 q 2 r 4 50 h 2 k 116. 28. 2 1 2 15 p 3 q 4 r 5 2 j k 18 x 3 y 2 z 0 12 x 3 y 2 z 017. 29. 12 x 1 yz 2 8 x 1 yz 2 4 2 a 1 b2 c 3 9c 1 d 3 e 218. 3 2 3 30. 2 a b c 2 12bc 2 d 1 e019. a-1 b-2 2 2 a 3 b2 c 1 31. 3 2 ab 2 c 3 a 2c 220. a 1 2 y x 1y 1 32. 2 y x1y1 x 1y 321. x 4 10 2 173
  • 174. MATEMÁTICA BÁSICA I y1 x2 x 1 y 2 33. 38. x 1 y 1 x 2y y 1 2 2 1 y 2x 1 y 1 x 2 x y 34. 39. 3 x 1y 2 x 2 y 1 x 3 2 35. 3x-1y + 2xy-1 40. z z 4 z -1 -1 -1 36. a b c – abc a 3 b 2 37. a 1 x1 y 1 41. x2 y 2 2 y 3x 1 y 1 2 x 2 42. x 1y 2 x 2 y 1 2 1 xy x 43. 2 1 1 y x y 44. -3 (x + 1) (x – 1)-4 + (x – 1)-3 45. -2 (2x + 5)2 (x + 1)-3 + 4(2x – 5) (x + 1)-2 46. –2 (2x – 1)2 (x – 3)-3 + 4(2x – 1) (x - 3)-2 47. 2(3x + 1)-1 (x + 2)-3 + 3(3x – 1)-2 (x + 2)-2 174
  • 175. MATEMÁTICA BÁSICA I3.5 EXPONENTES RACIONALES EJERCICIOS RESUELTOS 3 1. 25 2 = 253 56 52 125 2 2 8 3 82 23 22 4 2. = 3 3 27 27 2 3 2 32 9 3 1 27 2 125 52 5 5 5 5 15 5 15 3. = 125 27 32 3 3 3 3 3 9 1 125 2 32 3 3 3 5 3 15 4. = 27 5 2 5 5 5 5 25 EJERCICIOS PROPUESTOS 5. 93 1 10. 8 5 1 6. 01 3 2 11. (.001) 3 1 7. 64 3 3 12. (100) 2 1 8. 64 4 3 13. 16 4 3 9. 32 5 5 4 3 14. 9 175
  • 176. MATEMÁTICA BÁSICA I 5 3 81 2 20. 32 8 15. 16 3 3 21. 81 4 4 2 16. 25 1 22. (001) 3 1 17. 8 3 3 4 2 23. 1 25 18. 25 2 1 19. 64 2 Escríbanse sin radicales los valores de las expresiones de los problemas 26 a 43. EJERCICIOS RESUELTOS 9x 2 y 4 3 xy 2 24. 1 1 2 5z 4 25z 3 4 8 1 1 2 4 8 27a x 3 a x12 12 12 4 3 a x3 3 25. 12 6 9 18 1 3 3 64b 9 y 18 2 b y12 12 12 22 b4 y 2 176
  • 177. MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOS 26. 25 36. 3 25a 3 b 2 27. 3 64 37. 8x 3 y 4 5 28. 5 5 38. 3 16a 5 b 0 c 3 n 29. 3 n 39. 4 4a 2 b 3 30. 4 3 16 x 3 y 4 40. 6 3 31. 8 2 9z 2 32. 4 4 41. 64 x 4 y 6 33. 6 32 42. 3 27a 6 b 9 34. 5 32h10 k 5 9p 3 q 4 43. 8 16 r 6 s 0 35. 4 256r 8 s12Escríbanse en su forma más simple y sin emplear exponentesnegativos o fraccionarios, las expresiones de los problemas47 a 59. EJERCICIOS RESUELTOS 3 6 3 1 1 3a 4 b 2 3a 4 2 3a 4 34 a 44. 6 1 2 b3 b3 b a2 177
  • 178. MATEMÁTICA BÁSICA I 3 2 3 a8 y 8 a8 a3 45. 3 2 8 3 8 8 x3 y 2 x y x8 2 1 46. c 4 = c 2 c EJERCICIOS PROPUESTOS 3 1 3 5 47. x 2 54. 4 2 a2 b2 2 3 3 3 48. b 3 32 6 h 8 k 2 55. 3 3 1 4 3 88 h 8 k 2 x 7 b 7 49. 3 1 2 c 7 2 x 3 y2 56. 8 3 2 2 1 1 a 2 y 6 50. 57. 8 3 x 3 y 3 7 c8 2 3 1 58. 32 8 a 8 b 8 2 3 51. x 4 y 4 3 1 1 59. 9 2 x5 y 5 3 52. a 2 1 2 1 42 x 3 y 2 53. 1 1 8 2 x3 178
  • 179. MATEMÁTICA BÁSICA IElimínense de los radicales en los problemas 13 a 68, todos losfactores racionales. EJERCICIOS RESUELTOS 1 1. 32 = 16 2 4 2 4 22 3 3 3 2 2. 8x 2 = 2 2x 2 2 2x 2 1 3. 3 81 = 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 4. 4 162 = 4 3 4 2 3 2 3 2 2 3 5. a 2nb 3n = a nb 2n 1 6. 450 = 9 25 2 3 5 2 15 2 2 3 7. 4r 3 3s 6 = 3 43356 3 12x3 56 x52 3 12 48a 7 2 3 6a 6 a 2a 2 8. 3 = 3 6a b9 b9 b9 4 9. 80a 5b 8 c 6 = 5 2 4 5b8c 4 c 2 2b 2 c 4 5c 2 10. 5 243p 20 q7r 12 = 5 35 p 20q 5 q 2 r10 r 3 p 4 qr 2 q 2 r x 1 x 2 x 3 x 2 11. ( x 2 3x 2) ( x 2 x 6) = x 2 x2 2x 3 179
  • 180. MATEMÁTICA BÁSICA I 12. 3 (a b) (a 2 b 2 ) (a 3 b3 ) 3 a b a b a b a b a2 ab b 2 a b 3 a b a2 ab b 2 EJERCICIOS PROPUESTOS 13. 96 27. 2x 2 14. 128 28. 5x 2 y 4 15. 162 29. 27a 2 b 5 16. 150 30. 7a 2 b 2 17. 320 31. 3h 4 k 6 18. 588 32. 45 x 5 y 4 19. 3 16 3 20. 3 250 33. 54a 4 b 7 21. 3 108 34. 3 192x 5 y 8 22. 4 32 35. 3 48u 7 v 10 23. 4 384 36. 3 725r 11s10 24. 4 324 3 37. 6u 9 v 6 25. 8 x 3 38. 3 2p 9 q12 26. 12y 5 180
  • 181. MATEMÁTICA BÁSICA I 339. 16a 2 b15 40a 5 b 6 52. 3 54c 740. 5 64x 7 y15 z11 128 x 7 y 12 53. 441. 4 625r 16 s12 t 7 162z 842. 5 294a 9 b10c 13 128u 9 v 6 54. 5 486w 2043. 396x 8 y12 z15 81b 9 55. 444. 768h17 j 8 k 5 c 1245. 960u9v11w10 8a 7 56. 3 b9 9x46. 4y 2 50e 5 f 4 57. 64g 8 20a 547. b6 72x 6 y 7 58. 49z 10 4 27a48. 3 b7 40a 5 b 6 59. 3 54c 7 3 16 x49. 3 y5 3 3 60. 8x 4 16b 3 450. 3 3 c6 61. 16a 3 98r 9 s 8 256c 6 d1251. 62. 4 25t 12 625e 8 181
  • 182. MATEMÁTICA BÁSICA I 63. (a b) (a 2 b2 ) 64. (2a b) (4a 2 b2 ) 2 5 65. 9x 3 y 8 66. a 2nb 3n 67. n a 2n b 3n 68. 4 a 4n b 8nRedúzcase el orden de los radicales de los problemas 69 a 84, yelimínense de los radicales obtenidos todos los factores posibles. EJERCICIOS RESUELTOS 6 69. 8 = 6 23 2 70. 4 64x 6 = 4 26 x 6 23 x3 2x 2x 71. 9 27 = 9 33 3 3 72. 6 x 2 6 2 3 2x 1= x 1 x 1 EJERCICIOS PROPUESTOS 73. 4 25 76. 10 x2 74. 6 4 77. 6 8x 3 12 75. x6 182
  • 183. MATEMÁTICA BÁSICA I 78. 4 16a 8 b 2 82. 8 16r 2 s 4 79. 6 27x 3 y 6 83. 12 27h 6 k 9 4 a2 80. 4 81u 8 v 10 84. 4a 4 81. 9 64a 3 b12Redúzcanse los radicales de los problemas 88 a 92 a expresionesque contengan sólo un signo de radical. Redúzcase de ser posibleel orden de los radicales obtenidos. EJERCICIOS RESUELTOS 85. 3 a3 = 6 a3 a 3 86. 5 32a15 = 15 25 a15 a15 25 a3 2 87. 4 8 81x 6 y 12 = 32 34 x 6 y12 16 32 a 3 y 6 16 9a 3 y 6 EJERCICIOS PROPUESTOS 3 88. 4 x2 91. 4 6 25a 2 b12 4 89. 8a 3 92. 3 6 27a 6 b 9 90. 3 9a 3 183
  • 184. MATEMÁTICA BÁSICA I Simplifíquense las siguientes expresiones radicales. EJERCICIOS RESUELTOS 3 3 1. 3 9 = 3 3 32 3 33 3 2. 3 27 = 3 33 34 32 9 3 1 3 16 1 16 23 2 3. 3 3 2 27 2 27 33 3 4. 2a 3 b 6ab 2 = 12a 4b3 22 3a 4b 2b 2a 2b 3b 1 28 28 1 6 2 2 1 128 2 32 2 32 3 5. 2 9 23 2 8 2 3 3 3x 2 6x 1 1 1 1 6. = 2 4y 3xy 12 xy 2 2y2 y 2 2y 72u 3 v 9 72u 2 v 9 v2 7. = 27u 5 w 5 32v 7 w 3 27 32u 5v 7 w8 12u 2 w8 (a b ) a b a b a b 8. = a b a b 2 a 2 b 2 a b a b a b a b a b a b u2 v2 1 u v u v u v 9. (u v) u v u v u v u v 184
  • 185. MATEMÁTICA BÁSICA I 3 (w 2 z 2 ) ( w z) w z w z w z w z10. 3 2 2 3 2 3 (w z) 2 ( w z) 2 w z w z w z w z w z w2 z 2 3 2 w z w z EJERCICIOS PROPUESTOS11. 2 8 4 80 21. 4 512. 3 75 3 500 22.13. 3 4 3 54 3 414. 3 9 3 81 5 288 23. 5 915. 8 32 216. 3 4 3 16 24. 3 2 27 517. 25. 3 32 818. 3 4 3 54 7 26. 12 3 119. 3 3 4 8 4 27. 5 24320. 3 28. 8u 3 uw 5 12uv 7 29. 15r 4 s 3 15a 2b 185
  • 186. MATEMÁTICA BÁSICA I 30. 8h 3 k 6h 5 k 44. 18 32 24 31. 6c 5 d7 12cd3 60 45. 20 30 32. 5a 5 b 3 15a 2b 30 5 3 46. 33. 8x y 4xy 27 15 3 34. 3 16u 2 v 4 4uv 3 12r 5 s 2 47. 5 7 3 4 24rs 7 3 35. 6c d 9cd 28x 3 y 36. 4p3 4 q2 3 2p q 7 5 48. 35x 5 y 3 37. 3 9x 2 y 1z 3 12xy 4 z 3 32c 4 d 2 49. 3 38. 10xy 5 48c 2 d 7 6x 3 y 2 4 3 5 48uv 6 2a 9b 50. 39. 4 64u 6 v 2 3b 8a 5 3 72t5 6 u 2 6c 5 10d 2 51. 40. 3 5d 8 5c 7 27tu 7 12u 3 20v 7 531x 4 y 2 41. 52. 5v 5 27u 4 59x 1y 2 4 243x 3 y 9 3 3 36 x 2 y 9xz 4 42. 53. 4 6x 5 v 2 3 12y 5 z 7 12 24 43. 8 186
  • 187. MATEMÁTICA BÁSICA I 416 x 3 y 5 3 (x y) 2 54. 58. 1 3 (x 2 52xy y 2 ) ( x y) 540a 5 b 3 c2 3 c2 d2 55. 59. 15abc 3 (c d) 2 (c d) 816c 3 de 4 (x 2 y2 ) x y 56. 60. 1 3 34c d e x y 3 a b 57. 3 (a 2 b 2 ) (a b )Simplificar los radicales de las expresiones siguientes y efectúense lasadiciones posibles. EJERCICIOS RESUELTOS 1. 45 20 5 125 9 5 4 5 5 25 5 3 5 2 5 5 5 5 5 3 3 3 3 2. 432 343 128 54 3 2 3 33 2 3 73 3 26 2 3 32 2 63 2 7 43 2 33 2 73 2 7 7 3 2 1 187
  • 188. MATEMÁTICA BÁSICA I 3. 12a 4b a 2 27b 2a 12a 2b 2a 2 3b 3a 2 3b 8a 2 3b 3a 2 3b 4. 48x 7 y x 27x 5 y x 2 12x 3 y 2 4 3x 6 xy x 32 3x 4 xy x 2 2 2 3x 2 xy 4 x 3 3xy 3x 3 3xy x 3 3xy 3x 2 3xy 2 5u 2 80u 3 25u 2 5. v v v 5u 2u 2 4 5u 2u 25u 2 2u 5 5u 25u 2 5u 5 4u v v v 5u v v 5uv 2u 5 4 5uv 5u 5u 2u 5 4 5uv 5u 5u v v v v 6. 3 54x 2 y 10 3 24x 5 y 4 y 3 2x 2 y 7 2x 3 24x 2 y 4 3 33 2 x 2 y 5 y 3 23 3x 3 x 2 y 2 y y3 2 x 2 y 6 y 2 x3 23 3x 2 y 3 y 3y3 3 2x2 y 2 xy 3 3xy y3 3 2x2 y 4 x 2 y 2 3x 2 y 2 y3 3 2x2 y y3 3 2x2 y 4 x 2 y 2 3 3x 2 y a b a b 7. a b a b a b a b a b a b a2 b2 a 2 b2 2 2 a b a b a b a b a b a2 b2 a b a2 b2 2a a 2 b 2 a2 b2 a2 b2 188
  • 189. MATEMÁTICA BÁSICA I8. x2y 2 2x y2 x2y 1 2xy y3 x2 x2 x2 y 2 2x y2 x2 y 1 2 xy y3 2x y2 2 xy y3 y2 y 2 2 x2 2 xy 2 y4 x2 2 xy 2 y4 x y2 x y2 y2 y y2 y x y2 x y2 x y2 x y2 y x y2 1 y y y y y y EJERCICIOS PROPUESTOS 3 3 3 39. 3 12 48 18. 54 32 16 25610. 8 18 50 19. x 8x 2 y 18x 4 y x 2 32y11. 75 48 108 12 20. 6 5u e v u 20u 4 v u 2 45u 2 v 3 3 312. 16 54 250 4a 9a 3 4 21.13. 3 32 3 108 3 256 a a2 a14. 3 24 3 192 3 375 3 81 18x 32x 3 4 22. x 2 2x x 3 315. 50 24 192 8 a 27a 3a 3 6a 2 4 3 4 23.16. 32 108 1250 72 b b2 b 3a17. 32 45 72 20 24. 9a 2 b 25ab 2 16ab 2 4a 2 b 189
  • 190. MATEMÁTICA BÁSICA I 25. 8r 3 2 27r 2 3 2r 3 2 3r 2 3 26. 3 8u 2 v 7 3 27u10 v 2 y 3 8u 7 v 2 v 3 u2 v 4 cd 2 16c 2 d 9cd 2 c 2d 27. 2 3 2 3 25p 4 2q p 2q 28. 3 2q 3 p 2q 9p 3h 3h 3k 3h 3 3 3k 7 29. 5k 2 2 k 4h k 2k h 3a 3b 1 2a 1 3b 30. 3 3 3 b 3b 2a 2a 2b 8a 4 6 31. 2ab 4a 2b 2 8a 3b 3 32. 3 8x 4 y x 6 x2y2 2 9 x 12 y 3 81a 4 729a 2 75a 33. 8 4 4 2 2b 16b 4b 64 x 2 y 2 512x y 3 3 x4y4 34. 6 29 12 4z 2 8z 3 16z 4 x y x y x2 3y 2 35. x y x y x y x2 y2 36. x 18 81 x 1 x2y 1 18xy 1 81y 1 190
  • 191. MATEMÁTICA BÁSICA I OPERACIONES CON EXPRESIONES IRRACIONALES EJERCICIOS RESUELTOS1. ( 2 3 5) ( 2 3 5) 2 3 5 2 3 5 3 6 10 9 6 15 5 10 15 6 2 62. (2 2 3 ) (7 2 3 ) 2 2 3 7 2 3 14 14 3 12 4 3 2 10 33. ( h k )3 3 2 2 3 h 3 h k 3 h k k h h 3h k 3k h k k4. ( a 2b c) ( a 2b c) a 2b c a 2b 6 a 2ab ac 2ab 2b 2bc c ac 2bc a c 2 2ab 2b 191
  • 192. MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOS 5. ( 3 2) ( 3 2) 3 3 3 5 10. 8 8 8 8 6. (2 2 3 ) (7 2 3) 11. ( a b) ( a b) 7. (5 6) ( 2 3) 12. ( x y )2 1 3 1 3 8. 2 2 2 2 13. (u w v) ( u v) 3 5 3 5 9. 4 4 4 4 14. ( r s rs ) ( r s rs ) 15. ( xy xz yz ) ( xy xz yz ) 16. (2x 3x x 2x ) ( x 2x x 2x ) En los problemas 19 a 29, introdúzcanse debajo del signo radical los factores externos y luego ordénense los radicales en orden de su magnitud. EJERCICIOS RESUELTOS 17. 2 4 33 , 3 4 6 , 4 4 2 18. 6 17 , 10 6 , 7 13 4 528; 4 486 ; 512 612 ; 600 ; 637 4 528; 4 512 ; 4 486 637 ; 612 ; 600 192
  • 193. MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS RESUELTOS19. 4 3, 3 6 , 2 10 6 3 25. 3 3 5 , 5 3 ,7 3 5 720. 3 3 4 , 2 3 6 , 4 3 2 1 1 1 26. a , a5 5 , a3 ,a 121. 2 70 , 3 30 , 5 10 a a a322. a 2 , a 2a , a 2a 3 , a 1 27. 5 13 , 2 2 , 7 6 , 8 523. 2ab 6b , 3a 3b3 , 2b 7a 2b 28. 6 3 5 , 4 3 17 , 7 3 3 , 8 3 2 1 2 1 29. 3 2560; 3 1088; 3 1029; 3 102424. 6 ,3 ,4 3 3 2Redúzcanse al mismo orden los radicales de los problemas 33 a 37. EJERCICIOS RESUELTOS 4 3 3 2 4 3 12 4ab 2 ; 12 2a 3b30. 4ab , 2a b 12 256a 4b8 ; 12 8a 9b 331. 3 2a 2b3 , 6 3a 5b , 8 4a 5b7 8 4 3 24 2a 2b 3 ; 24 3a 5b ; 24 4a 5b 7 1 1 1 2 1 4 632. x 2 y 8 , x2 y3 , x2 y 1 1 6 1 2 3 1 2 2 8 2 3 2 12 x y ; 12 x y ; 12 x y 3 3 12 4 12 x y ; x y 2 ; 12 xy 2 3 2 193
  • 194. MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOS 33. 3x , 3 4 x 2 34. 2x , 3 3 x 2 y , 4 x 3 y 2 3 35. ab 2c , 4 2a 3bc , 6 3a 5b 4c 2 1 1 2 3 4 36. 6 a , 3a , 2 2a 3 3 37. r 2 s , 6 3r 5 s 2 , 9 2r 7 s 5 Redúzcanse al mismo orden los radicales de los problemas 39 a 45 y luego efectúense las operaciones indicadas. EJERCICIOS RESUELTOS 38. 3 4a 2 8a 3 26 3 6 4a 2 8a 3 6 16a 4 512a 9 6 2 4 2 9 a13 6 212 2a12a 2 6 a 6 6 2a 64a 6 6 2a EJERCICIOS PROPUESTOS 39. 2 34 2ab 4 8a 3 b 5 43. 3 34 48 4a 2 b 40. 3 3 x 2 y 4 27 xy 3 3 4 2 44. 41. 3b 27b 6 243 xy 5 2x 3 4 42. 3 4 2ab 4a 5 b 4 4x 3 45. 6 2ac 5 194
  • 195. MATEMÁTICA BÁSICA IRacionalícense los denominadores de los problemas 49 a 66. EJERCICIOS RESUELTOS 14 8 14 8 2 7 10 7 15 246. 2 2 2 7 2 7 2 7 2 7 14 8 2 7 a. 28 8 2 98 8 7 2 7 8 2 7 2 8 7 10 7 15 2 10 7 15 247. 3 2 2 7 2 7 5 3 6 1 3 6 1 3 2 148. 1 2 3 1 2 3 3 2 1 3 6 1 3 2 1 3 18 3 6 12 2 1 3 6 2 3 2 2 3 2 a. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 2 6 3 3 6 2 2 2 195
  • 196. MATEMÁTICA BÁSICA I 2 4 2 2 3 2 2 2 4 8 2 4 3 4 2 16 4 6 2 2 2 2 2 2 4 8 b. 12 4 2 4 3 4 6 3 2 3 6 4 EJERCICIOS PROPUESTOS 2 14 7 49. 56. 3 1 2 1 6 3 6 4 50. 57. 3 2 2 3 1 14 4 15 51. 58. 5 2 5 3 2 52. 14 10 6 2 59. 2 5 3 53. x y 2 xy 7 2 60. x y 5 5 54. 3 2 1 5 61. 3 2 3 3 55. 2a b ab 3 1 62. 2 a b 196
  • 197. MATEMÁTICA BÁSICA I x3 x x 65. 2 6 63. x x 3 2 5 2 2 6 3 1 64. 66. 1 2 3 1 2 3Encuéntrese los valores de la siguiente expresiones, con unaaproximación de milésimas. 1 1 67. 71. 3 5 1 2 68. 72. 1 2 3 1 1 3 5 3 69. 73. 1 3 5 3 5 7 2 70. 74. 3 1 7 2 197
  • 198. MATEMÁTICA BÁSICA I 198
  • 199. MATEMÁTICA BÁSICA I CAPÍTULO IV ALGEBRA DE MATRICESSe denomina “MATRIZ”, a un conjunto de números ordenados ydispuestas en filas (horizontal), y, columnas (vertical), entre barras; queverifican ciertas reglas del ALGEBRA. Los números o funciones a i,j se lesconoce como elementos. El primero sub – índice indica: La fila y lasegunda: La columna, esquemáticamente la matriz se puede representar“matriz ai,j m x n” donde m representa a la fila, y n a la columna. Si noexisten dudas del orden de una matriz, se representa por una letramayúscula. Ejemplo: “matriz A”1) Matrices cuadradas. Si se tiene la matriz a1,1 a1, 2 a1,3 ....... a1,n a 2,1 a 2, 2 a 2,3 ....... a 2,n A . . . ....... . a m,1 a m, 2 a m,3 ....... a m,n Además n = m se dice que es una matriz cuadrada. Se denomina diagonal principal a los elementos a1,1; a2,2; a3,3……… an,n y la suma de estos se conoce como TRAZA. 199
  • 200. MATEMÁTICA BÁSICA I2) Igualdad de matrices. La condición necesaria y suficiente para que dos matrices A = ai,j y B = bi,j sean iguales: deben tener el mismo orden y cada uno de su elementos sean iguales.3) Matriz Nula. Cuando todos sus elementos son nulos, o sea A = 04) Suma Algebraica de Matrices. Sean las matrices: A = ai,j y B = bi,j de orden m x n; la suma o diferencia de ambas A B es otra matriz C = i , j de orden m x n (el producto el número de filas por columnas se denomina: orden) Ejemplo: 2 3 5 7 5 3 A 4 2 8 y B 8 4 2 6 5 3 6 4 2 2 7 3 5 5 3 7 5 3 A B 4 8 2 4 8 2 8 4 2 6 6 5 4 3 2 6 4 2 2 7 3 5 5 3 5 8 2 A B 4 8 2 4 8 2 12 2 10 6 6 5 4 3 2 12 9 1 200
  • 201. MATEMÁTICA BÁSICA I Dos matrices del mismo orden se conoce como “conformes” para la suma algebraica de matrices.5) Propiedades de la suma algebraica de matrices. 5.1. Conmutativa A + B = B + A 5.2. Asociativa A + (B + C) = (A + B) + C 5.3. Distributiva con un escalar K (A + B) = KA + KB 5.4. Existe una matriz D; tal que A + D = B6) Multiplicación de matrices. Se desarrolla: Fila por columna Ejemplo: 5 7 A 3 5 4 8 B 2 4 A B 3 5 5 7 42 8 4 A B 15 35 8 32 Dos o mas matrices son “conformes” para la multiplicación, sí y sólo si, el número de elementos de la fila es igual al número de elementos de la columna. Ejemplo: a1,1 a1, 2 b1,1 b1, 2 A a2,1 a 2, 2 B b2,1 b2, 2 a3,1 a3, 2 201
  • 202. MATEMÁTICA BÁSICA I a1,1 b1,1 a1, 2 b2,1 a1,1b1, 2 a1, 2 b2, 2 A B a 2,1 b1,1 a 2, 2 b2,1 a 2,1b1, 2 a 2, 2 b2, 2 a3,1 b1,1 a3, 2 b2,1 a3,1b1, 2 a3,1b2, 2 Propiedades de la multiplicación 6.1. Distributiva : A(B + C) = AB + AC Distributiva (A + B)C = AC + BC 6.2. Asociativa: A (BC) = (BC) C 6.3. Si AB = AC, no necesariamente B = C.7) Tipos de Matrices 7.1. Por la forma: 7.1.1. Matriz fila: Si la matriz tiene una sola fila, es decir: m = 1, su orden será: 1 x n 7.1.2. Matriz columna: Representa una sola columna: n = 1 y su orden será: m x 1. 7.1.3. Matriz cuadrada: Si el número de filas es igual al número de columnas, es decir: Am x n 7.1.4. Matriz transpuestas: Cuando se intercambian filas por T columnas y su representa Ab m 7.1.5. Matriz simétrica: Una matriz cuadrada es simétrica, cuando los elementos e la diagonal principal permanecen fijos al intercambiar las filas por columnas. La simetría es con respecto a la diagonal principal. 202
  • 203. MATEMÁTICA BÁSICA I7.2. Con relación a los elementos: 7.2.1. Matriz Nula: Si todos sus elementos son nulos Ejemplo: A = 0 7.2.2. Matriz Diagonal: Es una matriz cuadrada, cuando los elementos que no pertenecen, la diagonal principal son nulos. Ejemplo: 3 0 0 A 0 5 0 0 0 7 7.2.3. Matriz escalar: Es la matriz diagonal, cuyos elementos de la diagonal principal son iguales. Ejemplo: 3 0 0 B 0 3 0 0 0 3 7.2.4. Matriz Identidad: Si todos los elementos de la matriz diagonal, son iguales a uno. Se dice también que es matriz unidad. Ejemplo: 1 0 0 A 0 1 0 0 0 1 203
  • 204. MATEMÁTICA BÁSICA I 7.2.5. Matriz Triangular Superior: Es la matriz cuadrada que presenta elementos desde la diagonal principal hacia la parte superior. Ejemplo: 2 3 8 A 0 5 3 0 0 4 7.2.6. Matriz Triangular Inferior: Cuando presenta elementos desde la diagonal principal hacia la parte superior. Ejemplo: 8 0 0 B 5 4 0 6 3 2 204
  • 205. MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS RESUELTOS1. Si: 3 7 4 5 6 4A 4 6 2 B 7 2 5 8 5 3 4 3 3 7 3 4 D 2 8 5 5 6 21.1. Hallar A + B 3 7 4 5 6 4 2 1 8 A B 4 6 2 7 2 5 11 4 7 8 5 3 4 3 3 4 2 01.2. Hallar C – D 5 8 2 7 3 4 2 11 2 C D 6 2 4 2 8 5 4 6 1 7 3 3 5 6 2 2 3 5 Cambie de signo mentalmente a la matriz D.1.3. Hallar: 3A; -5B 3 7 4 9 21 12 3A 3 4 6 2 12 18 6 8 5 3 24 15 9 5 6 4 25 30 20 5B 57 2 5 35 10 25 5 6 2 25 30 10 205
  • 206. MATEMÁTICA BÁSICA I 2. Sí: 5 3 8 6 p q A 4 6 ; B 3 4; C r s 3 8 2 3 t u Hallar: A + 2B – C = 0 5 3 16 12 p q A 2B C 4 6 6 8 r s 3 8 4 6 t u 5 16 p 3 12 q A 2B C 4 6 r 6 6 s 3 4 t 8 4 u -11= p; 10 = r; -7 = t: 9 = q; 12 = 5; -12 = u 7 3. Si A 5 6 3 B 4 3 7 A B 5 -6 3 4 - 35 - 24 9 50 3 7 4. Si A 2 B 4 -8 3 6 7 28 56 21 A B 2 4 -8 3 8 16 6 6 24 48 18 206
  • 207. MATEMÁTICA BÁSICA I 7 4 7 25. A -2 4 -3 B 5 2 5 6 3 3 3 8 7 4 7 2 A B -2 4 -3 5 2 5 6 3 3 3 8 14 20 - 9 -8 -8 -9 -14 - 20 - 9 -4 24 - 24 25 - 25 - 43 -4 7 4 6 26. A 6 5 2 B 6 3 2 3 3 7 4 6 2 14 24 18 20 A B 6 5 2 6 12 30 6 24 3 2 3 3 6 12 9 3 3 2 17. Sí A 4 5 2 Hallar: A2; A3; A5. 3 6 3 3 2 1 3 2 1 A2 4 5 2 4 5 2 3 6 3 3 6 3 9 8 3 6 10 6 3 4 3 4 22 2 2 A 12 20 6 8 25 12 4 10 9 38 5 23 9 24 18 6 30 18 3 12 9 3 54 0 207
  • 208. MATEMÁTICA BÁSICA I PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Sí: 1 2 3 3 1 2 4 1 2 A 5 0 2 B 4 2 5 y C 0 3 2 1 1 1 2 3 0 1 2 3 Hallar: A + B ; A – C -2C, O x B; A + (B - C) = (A + B) – C 2. Sí: 1 1 1 1 2 3 A 3 2 1 y B 2 4 5 2 1 0 1 2 3 Demostrar: A x B = 0 AxB 0 3. Sí se tienen las matrices: 1 3 2 1 4 1 0 2 1 1 2 A 2 1 3 ; B 2 1 1 1 y C 3 2 1 1 4 3 1 1 2 1 2 2 5 1 0 Demostrar: AB = AC 4. Con las matrices: 1 1 1 1 3 1 2 3 4 A 2 0 3 ; B 0 2 y C 2 0 2 1 3 1 2 1 4 Demostrar: (AB)C = A(BC) 208
  • 209. MATEMÁTICA BÁSICA I5. Con las matrices: 2 3 5 1 3 5 2 2 4 A 1 4 5 ; B 1 3 5 y C 1 3 4 1 4 4 1 3 5 1 2 3 Demostrar: AB = BA = 0 AC = A CA = C6. Demostrar que las matrices A y B son inversas. 1 2 3 6 2 3 A 1 3 3 y B 1 1 0 1 2 4 1 0 1 AB = BA = I7. Demostrar que las matrices A y B son transpuestas y se cumplen: (A + B)‟ = A‟ + B‟ (AB)‟ = A‟, B‟8. Demostrar que la matriz 1 2 3 A 2 4 5 Es simétrica 3 5 69. Demostrar que la matriz A es idempotente de orden tres 2 2 4 A 1 3 4 A2 A 1 2 3 209
  • 210. MATEMÁTICA BÁSICA I 10. Demostrar que la matriz A es nilpotente 1 1 3 A 5 2 6 A3 0 2 1 3 11. Demostrar que las matrices A y B son idempotentes. 2 3 5 1 3 5 A 1 4 5 y A 1 3 5 1 3 4 1 3 5 Son idempotentes: A2 A B2 B 12. Con la matriz 1 2 2 A 2 1 2 2 2 1 2 Demostrar: A 4 A 5I 0 13. Con la matriz: 2 1 3 A 1 1 2 1 2 1 Demostrar: A3 2 A2 9 A 0 14. Demostrar que la matriz: 1 2 6 A 3 2 9 es periódica. 2 0 3 210
  • 211. MATEMÁTICA BÁSICA I15. Demostrar que la matriz: 1 3 4 A 1 3 4 es nilpotente. 1 3 416. Demostrar que A y B: 1 1 1 1 A y B 2 1 4 1 No son conmutativas y se cumple: 2 A B A2 B217. Demostrar que las matrices A y B son inversas. 1 2 3 3 2 1 A 2 5 7 y B 4 1 1 2 4 5 2 0 118. Demostrar que las matrices A y B son involutivas. 1 1 1 4 3 3 A 4 3 4 y B 1 0 1 3 3 4 4 4 319. Demostrar que la matriz 2 2 4 A 1 3 4 es Idempotente 1 2 3 211
  • 212. MATEMÁTICA BÁSICA I 20. Demostrar que la matriz 1 1 3 |A 5 2 6 es Nilpotente de orden 3 2 1 3 21. Demostrar que las matrices Ay B son Idempotente 2 3 5 1 3 5 A 1 4 5 y B 1 3 5 son Idempotente 1 3 4 1 3 5 1 2 2 22. Si A 2 1 2 demostrar que : A2 4 A 5 0 2 2 1 1 1 1 23. Si A 0 1 0 ; demostrar A4 0 0 1 1 2 6 24. Si A 3 2 9 es una matriz de periód0 2 2 0 3 25. Demuestre que las matrices A y B son permutables 1 2 3 2 1 6 A 3 2 0 y B 3 2 9 1 1 1 1 1 4 26. Demuestre que las matrices A y B; son involutivas 0 1 1 4 3 3 A 4 3 4 y B 1 0 1 3 3 4 4 4 3 212
  • 213. MATEMÁTICA BÁSICA I DETERMINANTE DE UNA MATRIZSe denomina de una matriz A y se representa por A ; a la sumaintercalada (+; -; +; -; ……) de un elemento y sólo uno, por cada fila ocolumna: a1,1 a1, 2 a1,3A a1,1 a 2, 2 a 2,3 a1, 2 a 2,1 a 2,3 a1,3 a 2,1 a 2,3 a 2,1 a 2, 2 a2,3 a 3, 2 a 3, 3 a 3, 2 a 3, 3 a3,1 a3,3 a3,1 a3, 2 a3,3Propiedades de las determinantes:I) Si los elementos correspondientes a toda una fila o columna son ceros; el determinante es nulo.II) Si una matriz cuadrada A A toda propiedad relativa a la columna se cumple en la fila y viceversa.III) Si los elementos correspondientes a una fila o columna se multiplican o dividen por un número cualquiera; el determinante queda multiplicado o dividido por dichos números.IV) Si la determinante B se obtiene permutando dos filas o columnas adyacentes: B AV) En toda determinante si dos filas o columnas son idénticas el determinante es nulo AVI) Si los elementos correspondientes a una fila o columna de un determinante, se multiplican por un mismo número y se suman a otra fila o columna: A B 213
  • 214. MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS RESUELTOS1) Hallar: A 2 3 8 3 11 1 42) Hallar: 1 0 2 B 14 5 03 5 23 4 2 0 4 6 3 4 5 4 7 5 7 5 6 5 6 7 2 3 4 3. A 1 0 2 utilice la fila o columna que tenga elemento cero 0 5 6 =2 0 2 1 3 4 2( 10) 1(18 20) 20 2 18 5 6 5 6 1 0 2 4. A 3 4 5 14 5 23 4 28 30 2(18 20) 2 4 6 5 6 7 6 7 5 6 1 0 0 5. B 2 3 5 3 5 9 5 4 4 1 3 1 3 214
  • 215. MATEMÁTICA BÁSICA IResolver por determinantes:6. 7 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 7 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 x 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 2 3 2 1 7 2 2 12 2 14 4 7 0 14 18 2 2 2 11 3 1 2 6 2 0 14 18 0 4 8 12 1 x=1 4 8 12 21 y z 7 y z 7 2 y z 5 1 2y z 2 2y z 2 2 2y z 4 3y 9 y 3 3 z 5 z 5 3 z 27. 1 1 2 6 1 3 1 3 6 3 6 1 1 1 2 3 1 2 1 2 3 2 3 1 x 3 1 2 1 3 2 3 2 1 3 1 2 2 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 3 1 12 9 2 6 3 x 3 2 3 14 3 22 1 215
  • 216. MATEMÁTICA BÁSICA I 1 21 18 4 4 x 2 3 7 6 2 6 y 2z 1 4 y 3z 6 y 30 5 y 2z 5 y 35 y 3z 10 z 15 z 158. 3 1 2 3 2 4 2 4 3 4 3 2 3 1 5 3 5 3 5 5 5 5 3 x 1 1 2 2 4 1 4 1 2 1 1 2 1 2 4 3 5 1 5 1 3 1 3 5 3 10 12 1 15 20 2 9 10 6 35 38 3 x 1 10 12 1 5 4 2 3 2 2 9 10 1 x 3 2 y 4z 0 4z 2 3 y 5z 2 1 6 y 8z 0 z 2 6 y 10 2 2y 2 y 1 216
  • 217. MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOS1) Resolver las determinantes: 3 2 5 7 8 6 A ; B ; C 5 3 4 3 5 4 6 42) Desarrollar los determinantes: 7 3 5 8 3 5 A 4 3 6; B 2 6 3 5 3 2 5 7 43) Desarrollo directo de una determinante cuadrada: a1,1 a1, 2 a1,3 A a2,1 a2, 2 a 2,3 a3,1 a3, 2 a3,3 a1,1a2, 2 a3,3 a2,1a3, 2 a1,3 a1, 2 a2,3 a3,1 a1,3 a2, 2 a3,1 a2,3 a1, 2 a3,1 a1, 2 a2,1a3,3 4. Desarrollar 1 0 2 3 4 5 28 25 38 A 3 0 4 B 1 2 3 C 42 38 65 2 5 1 2 5 4 56 47 83 1 4 8 2 3 4 D 2 1 5 E 5 6 3 3 2 4 4 2 3 217
  • 218. MATEMÁTICA BÁSICA I 5. Desarrollar utilizando el método directo: 1 2 10 1 2 7 1 2 3 A 2 3 9 B 2 3 5 C 2 3 4 4 5 11 4 5 8 4 5 3 4 3 3 D 1 0 1 4 4 3 Desarrollar utilizando la VI propiedad 2 3 2 4 1 0 1 2 3 2 1 2 2 3 2 2 A B 3 2 3 4 2 4 2 1 2 4 0 5 3 1 5 3 1 2 3 4 2 1 2 1 C 0 0 1 1 3 4 1 2 3 5 7 2 1 2 3 4 2 4 1 1 2 1 4 3 D E 2 0 0 0 2 3 4 5 1 1 3 4 3 4 5 6 1 2 3 2 2 1 1 1 6 2 1 1 3 2 2 4 1 6 F G 1 1 2 1 1 4 1 2 9 1 4 3 2 5 2 4 2 7 3 2 2 2 2 218
  • 219. MATEMÁTICA BÁSICA I CAPÍTULO V ÁLGEBRA DE ECUACIONESPROBLEMA.- Es una verdad matemática en la que se hallan valoresdesconocidos, hallar incógnitas (se representan con las últimas letras delalfabeto: u; v; w; x; y; Z).ECUACIÓN.- Es un problema en la que se verifica una igualdad para lasolución de este problema.INECUACIÓN.- Es un problema con desigualdad que verifica ladesigualdad dada (> ; ;<; ) para la solución de dicho problema.GRADO DE UNA ECUACIÓN O INECUACIÓN.- Depende delexponente máximo de la variable o incógnita de la ecuación oinecuación.5.1 ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Son aquellas cuyas variables o incógnitas son iguales a uno. Entoda ecuación, la adición para como sustracción de un miembro a otro yviceversa. Toda multiplicación pasa como división y viceversa. Lapotencia como raíz y viceversa.PROPIEDADES DE LAS ECUACIONESPrimera Propiedad.- Si a los dos miembros de una ecuación; se les:suma; resta; multiplica; divide, por un mismo número; se lleva a la mismapotencia; se les halla la misma raíz; la ecuación no altera el valor. 219
  • 220. MATEMÁTICA BÁSICA ISegunda propiedad.- Para resolver una ecuación, se realiza el siguienteproceso:2.1 Se quitan denominadores;2.2 Se efectúan las operaciones indicadas;2.3 Se efectúa la transposición de términos, entre las expresiones que tienen la incógnita y los otros de términos conocidos;2.4 Se reducen los términos en ambos miembros;2.5 Se despeja la incógnita y se halla el valor de la misma.2.6 Se reemplaza en el ejercicio y se debe cumplir la relación de igualdad (identidad).5.2 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Son aquellas que afectan la forma: ax2 + bx + c = 0 donde ax 2 esel término cuadrático; bx, el segundo término, y c, es el términoindependiente. Si b, o, c son iguales a cero; se tienen ecuacionesincompletas de segundo grado, de las formas: ax2 + bx = 0 ax2 + c = 0 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADOa. Sea la ecuación de segundo grado ax 2 + bx + c = 0.b. Pasemos el término independiente al segundo miembro: ax2 + bx = -cc. Multipliquemos por 4a la ecuación para formar un trinomio cuadrado perfecto: 4a2x2 + 4abx = -4ac 220
  • 221. MATEMÁTICA BÁSICA Id. Formemos el trinomio cuadrado perfecto 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ace. Factoricemos: (2ax + b)2 = b2 – 4acf. Hallemos raíces: 2ax + b = ± b2 4acg. Realicemos las operaciones indicadas: 2ax = -b ± b2 4ac b b2 4ac x = 2a Es la fórmula para hallar la ecuación completa de segundo grado. La expresión: b2 – 4ac, se conoce como discriminante; y se presentan tres casos: A = b2 – 4ac < 0; las ecuaciones presenta; raíces imaginarias = b2 – 4ac = 0; la ecuación presenta una sola respuesta. = b2 – 4ac > 0; la ecuación presenta dos respuestas.5.3 INECUACIONES DE PRIMER GRADO Como se ha observado oportunamente, son aquellas quepresentan desigualdades, ejemplo: ax>b ax<b ax b ax b 221
  • 222. MATEMÁTICA BÁSICA IPropiedades.-1) Si, a los términos de una inecuación, se suma o resta; se multiplica o divide; se potencia o radica; la misma expresión positiva; se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.2) Si se cambian de signos a todos los elementos de una desigualdad; cambia el sentido de la desigualdad.3) Si los dos miembros de una desigualdad tienen el mismo signo; sus inversos forman otra desigualdad de distinto sentido al original.Si las desigualdades representan dos o más incógnitas; representaninecuaciones simultánea de primero o segundo grado.- En el proceso dedesarrollo se utilizan las propiedades indicadas.Demuéstrese, mediante sustitución directa, que el número dado aladerecha en los problemas 5 a 12 es una raíz de la ecuación propuestaen cada problema. EJERCICIOS RESUELTOS 11. 6x + 1 = 8 – 8x, . 2 6x + 1 = 8 - 8x 6x + 8x = 8 - 1 14x = 7 1 x = 2 222
  • 223. MATEMÁTICA BÁSICA I x 3 x 1 52. ,5 4 3 6 x 3 x 1 5 - = 4 3 6 C1D 12 - 3(x-3) - 4(x-1) = 10 - 3x-9 - 4x+4 = 10 -x = -5 x = 53. ax + bc – bx = ac, c ax - bx = ac - bc x(a-b) = c(a-b) c ( a b) x = a b x = c bx 1 ab bx 14. a , b x b x a bx 1 ab bx + a = b x b x bx - 1 + a(b+x) = ab + bx bx - 1 + ab+ax = ab + bx ab - ab + bx - bx + = 1 ax ax = 1 1 x = a 223
  • 224. MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOS5. 4x + 1 = 6x – 3,2.6. 9x – 3 = 10x + 3, -6. 37. 5x – 1 = 3x + 2, 2 2x 4 x 18. x 2, 17 2 4 2x 1 x x 2 89. , 3 4 6 3 x 1 3 210. 2 , x 1 x 1 3 111. a2x – b = a – abx, a a x b 2b x12. ,b a b a aResuélvanse las ecuaciones de los problemas 18 a 72. EJERCICIOS RESUELTOS13. 4 (3x – 1) = -5 (-3x + 2) a(3x-1) = -5(-3x+2) 12x - 4 = 15x – 10 12x -15x = -10 + 4 -3x = -6 x = 2 224
  • 225. MATEMÁTICA BÁSICA I 3 1 214. 8 x 3 x 1 5x 9. 2 4 3 3x 1 2x 8 - 3 1 = 5x-9 2 4 3 12x - 2 - 2x + 3 = 5x – 9 10x - 5x = -9 – 1 5x = -10 x = -2 4 1 2 515. x 3 x 3 3 3 3 4 x 2x 5 - - 3 = - 3 3 3 3 4 - x - 9 = 2-x - 5 -x - 2x = -5 - 4 + 9 3x = 0 x = 0 116. x–b= - abx a 1 x - b = - abx a ¡Error! No se pueden crear ax - ab = 1 - objetos modificando códigos de campo. ax - a 2 bx = ab + 1 2 x ( a a b) = ab + 1 ab 1 x = a a 2b ab 1 x = a(1 ab) 1 x = a 225
  • 226. MATEMÁTICA BÁSICA I x 1 x 1 2x x 117. x 3 x 1 x 3 (x 3) ( x 1) x 1 x 1 2x x 1 + = + x 3 x 1 x 3 ( x 3)( x 1) (x-3)(x- c1d = 1) (x+1)(x- (x+1)(x-1) + = 2x(x-1) + x+1 3) x 2 -1 + x -2x -3 2 = 2 x 2 -2x + x+1 x 2 + x 2 -2 x 2 - 2x+2x-x = 1 +1 + 3 -x = 4 x = -4 EJERCICIOS PROPUESTOS18. 5x = 3x + 619. 9x + 1 = 2x – 1320. 7x + 4 = 3x + 621. 5x – 1 = 2x + 122. 6x – 3 = 7x + 223. 8x – 5 = 7 + 4r24. 7x – 3 = 2 – 3x25. 9 – 8x = 7x + 326. S (x + 2) – (x – 4) = 027. 3 (5x – 2) + 4 (1 – 3x) = 028. 7x (4x + 15) – 6 (8x + 4) = 1 1 1 129. 4 x (8 x 6) 2 4 2 2 1 230. 6 x (12x 6) 5. 3 6 3 226
  • 227. MATEMÁTICA BÁSICA I 4 2 3 131. 9 x 12 x 7x 4. 3 3 4 6 1 3 132. x x 5 2 4 4 3 2 4 133. x 2x x 4 3 3 4 1 2 3 734. x x 2 2 3 2 3 1 735. x 5 x 1 2 6 3 136. x 5 x 7 4 2 2 137. x 1 x 1 3 2 3 1 238. x 2 x 5 3 5 1 139. ax - = - bx a b40. ax + b (1 - x) = 26 – a41. a + b2x = a2x – b 3x 142. = 2x + 3 2 2x 443. x=2- 3 1 x 644. x 2 2 6 227
  • 228. MATEMÁTICA BÁSICA I 4x 2 145. 3x 2 3 4 x 2 x 146. 3 3 2 3x 4 4x 547. 4- 4 12 2x 5 3x 2 548. 5 3 6 5x 3 2x 4 749. 4 3 3 4x 3 2x 450. x 1 6 9 3x 5 2x 7 2151. 3x 5 4 5 2x 5 3x 2 352. 2x 6 9 2 6x 7 4x 353. 2 (6 2x ) 0 5 3 ax b bx a b54. a a a cx d dx c c2 d255. d c cd a2 x b2 bx a a b56. ab a b 2px 3q p 3qx 3q57. p q p 228
  • 229. MATEMÁTICA BÁSICA I x 3 x 458. x 1 x 2 2x 5 3x 559. 4x 1 6x 1 4x 3 8x 560. 2x 3 4x 1 3x 3 3x 461. 2x 1 2x 5 2 3 662. x 1 x 3 (x 1) ( x 3) 5 4 1063. x 1 x 2 (x 1) ( x 2) 3 5 1064. 2 x 2 x 4 x 2x 8 1 1 1065. 2 x 3 x 3 x 9 4 3 866. 2 x 2 x 1 x x 2 1 3 367. 2x 3 x 3 2x 2 3x 9 2 1 568. 2 x 2 2x 1 2x 3x 2 4 3 569. 0 2x 3 x 2 5x 4 229
  • 230. MATEMÁTICA BÁSICA I 4 1 570. 3x 2 2x 3 6x 3 4 3 171. 3x 1 2x 3 6x 24 4 2 172. 4x 5 x 4 x 3Demuéstrese que las ecuaciones de los problemas 73 a 80 no tienensolución. 4x 7 173. 3 x 2 x 2 2 4 2x74. 1 x 1 x 1 2 1 175. 2 x 1 x 1 x 2 1 1 176. 2 x 2 x 3 x 5x 6 x 1 x 1 x2 177. 1 x 2 x 1 ( x 1) ( x 2) x 1 x x 1 x278. x 2 x 1 x 1 (x 1) ( x 2) x 1 x 3 x 1 x2 x 179. x 2 x 1 x 1 ( x 2) ( x 1)5.4 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE EL USO DEECUACIONES Un problema que se puede resolver mediante una ecuación,comprende varias cantidades de las cuales unas son conocidas y otras 230
  • 231. MATEMÁTICA BÁSICA Idesconocidas. Igualmente contiene datos que permiten observar laigualdad entre dos combinaciones de esas cantidades. Si el problema sepuede resolver mediante una ecuación de una variable, entonces lascantidades desconocidas deben expresarse en términos de una solaletra.El procedimiento para resolver un problema mediante el uso de unaecuación no siempre es fácil y para lograr cierta aptitud se requiere unapráctica considerable. Para ello se sugiere el siguiente esquema:1. Leer cuidadosamente el problema y estudiarlo hasta que quede perfectamente clara la situación que plantea.2. Identificar las cantidades comprendidas en el problema, tanto las conocidas como las desconocidas.3. Elegir una de las cantidades desconocidas y representarla mediante una letra, generalmente x. Después, expresar las otras cantidades desconocidas en términos de esta letra.4. Buscar en problema los datos que indiquen qué cantidades o qué combinaciones de éstas son iguales.5. Formular la ecuación, igualando las cantidades o combinaciones apropiadas encontradas en el paso anterior.6. Resolver la ecuación obtenida y comprobar la solución.A continuación se expondrán algunos ejemplos de los varios tipos deproblemas que pueden resolverse mediante el uso de ecuaciones. Elprocedimiento general que se explica en esos ejemplos se puede aplicara los problemas similares que se presentan, y a todos los ejercicios queaparezcan en este trabajo y que comprendan el planteo de problemas. 231
  • 232. MATEMÁTICA BÁSICA I1. Problemas que implican movimiento a velocidad uniforme. Generalmente los problemas de este tipo establecen una relación entre distancias recorridas, entre velocidades o entre tiempos empleados. La fórmula fundamental para estos problemas es: d = vt EJERCICIOS RESUELTOS1. Encuéntrense tres números enteros consecutivos cuya suma sea 57. x x + x + 1 + x + 2 = 57 x + 1 - 3x = 57 x + 2 3 3x = 54 x = 18 Los números son : 18; 19; 202. Los señores Fernández, González y Ramírez compraron una tienda en S/.25,000. Entre Fernández y González aportaron S/.17,000, en tanto que Ramírez puso S/.1,000.00 más que González. Encuéntrese la cantidad de dinero que puso cada uno. 17,00 1000 F - x 0 0 G x 7000 100 R x + 8000 0 17,000 - x + x + x + 1000 = 25000 x = 25000 - 18000 x = 7000 232
  • 233. MATEMÁTICA BÁSICA I3. La renta producida por dos casas en un año fue de S/. 15,700.00. Encuéntrese la renta mensual de cada una, si entre sí difieren en S/. 250.00 y la más cara estuvo desocupada dos meses. 10x + 12(x - 250) = 15700 x - 250 10x + 12x - 3000 = 15700 x 22x = 18700 18700 x = 22 x = 850 y = 6004. Un estanque se puede llenar en 3 horas con el agua que recibe de un tubo y se puede vaciar en 5 horas abriendo la válvula del tubo de drenaje. ¿En cuánto tiempo se llena el estanque dejando abiertas las válvulas de los dos tubos? 1 1 En una hora del estanque se desagua en una hora 3 5 1 1 x 1 3 5 2 x 1 2x = 15 15 x = 7.5 Llena el estanque en 7 horas y media5. Una persona puede remar 2 kilómetros río arriba y 6 kilómetros río abajo en el mismo tiempo. Si la velocidad de la corriente es 2 km/hr, encuéntrese la velocidad del bote en agua estancada. Velocidad en agua tranquila: x V= 2k/h 2 6 = x 2 x 2 2(x+2) = 6(x-2) 2x+4 = 6x-12 16 = 4x 233
  • 234. MATEMÁTICA BÁSICA I x = 4 k/h EJERCICIOS PROPUESTOS6. Encuéntrense dos números tales que uno sea 4 veces mayor que el doble del otro, y que la suma de ambos sea 37.7. Encuéntrese dos números tales que uno sea 5 veces menor que el triple del otro, y que la suma de ambos sea 19.8. Encuéntrese la longitud de cada lado de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 82 metros y que un lado es 7 veces mayor que el otro.9. Encuéntrese las dimensiones de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 84 metros y que el largo es el doble del ancho.10. Tomás tiene S/. 13.00 más que Ricardo, ¿Cuánto dinero tiene cada uno si entre los dos reúnen S/. 29.00?11. Después de pagar S/. 3.00 Juan a Tomás, ambos tienen igual cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero tenía antes de que se efectuara el pago, si el primero tenía el doble que el segundo?12. Entre tres hermanos, Tomás, Ricardo y Enrique, compraron un automóvil usado. Tomás contribuyó con una cantidad igual a un cuarto del precio del automóvil. Ricardo pagó S/. 50.00 más que Tomás y Enrique S/.50.00 más que Ricardo. Encuéntrese el precio pagado por el automóvil.13. Un hombre cercó un terreno rectangular de 60 metros de frente y 400 metros de perímetro a un costo de S/. 3,720.00. Si el costo 234
  • 235. MATEMÁTICA BÁSICA I de la cerca del frente fue S/. 2.00 mayor por metro que el de los otros tres lados, encuéntrese el precio por metro en cada caso.14. Un terreno rectangular que tiene 420 metros de perímetro está cercado con una barda cuyo costo es de S/. 12.00 por metro en la parte del frente y de S/. 10.00 por metro en los otros tres lados. Encuéntrense las dimensiones del terreno si el costo total de la barda del frente fue un quinto del costo del resto de la barda.15. Un granjero vendió 15 cerdos, 20 novillos y 10 caballos por 4 S/. 31,500.00 Cada cerdo se vendió por del precio de cada 9 novillo y el precio de cada caballo fue de S/. 350.00 mayor que el precio por cerdo. Encuéntrese el precio de cada uno.16. Una parte de S/. 7,000.00 se invirtió al 3 por ciento y la otra parte al 4 por ciento. Si el interés devengado fue de S/. 240.00, encuéntrese el valor de cada parte.17. Un 1° de enero, el señor González invirtió su dinero en cierto tipo de acciones que pagaban un dividendo anual de 4 por ciento. Al principiar el segundo año vendió parte de sus acciones por valor de S/. 3,000.00 y reinvirtió este dinero en un negocio que pagaba 5 por ciento anual. Si el interés devengado en estas inversiones en dos años fue de S/. 430.00, encuéntrese el valor de la inversión original.18. Si se agrega 27 a un número de dos cifras, los dígitos de las unidades y de las decenas se invierten. Encuéntrense los números si el dígito de las unidades es doble que el de las decenas. 235
  • 236. MATEMÁTICA BÁSICA I19. En un número de tres cifras, cada dígito después del primero es doble del que le precede. Si a ese número se agrega 297 se intercambia el dígito de las centenas con el de las unidades. Encuéntrese el número.20. Un padre y su hijo tienen 30 años y 6 de edad, respectivamente. ¿En cuántos años más el padre tendrá la edad doble que la del hijo?21. Juan es 3 veces mayor que Roberto, y en 6 años más su edad será el doble. Encuéntrese la edad actual de cada uno.22. En una caja se tienen S/. 6.00 en monedas de 5, 10 y 25 centavos respectivamente. El número de monedas de 10 centavos es doble del de las de 25 centavos y el número de la de 5 centavos es igual a la suma de las de 10 y 25 centavos. ¿Cuántas monedas de cada denominación hay en la caja?23. Un automóvil sale de Monterrey a las 13 horas con dirección a Torreón y otro sale de Torreón a Monterrey a las 14 horas del mismo día. En el camino se encuentran a las16 horas. La velocidad del segundo automóvil era de 16 km/hr. Menor que la del primero y las dos ciudades están a 392 km. Una de otra. Encuéntrese la velocidad de cada automóvil.24. Dos barcos se encuentran a mitad del océano y luego continúan navegando en direcciones opuestas. Después de 7 horas están a 280 millas náuticas uno de otro. Encuéntrese la velocidad de cada uno sabiendo que éstas difieren entre sí 5 nudos.25. Dos personas salen del mismo hotel al mismo tiempo y viajan en igual dirección sobre una misma carretera. Después de 5 horas sus automóviles se encuentran a 80 kilómetros uno de otro. 236
  • 237. MATEMÁTICA BÁSICA I 5 Encuéntrense las velocidades de cada uno, si uno de ellos es 6 más rápido que el otro.26. Cinco minutos después de haber ocurrido un accidente automovilístico y de haber huido el culpable, llega al lugar del accidente un automóvil de la policía. Este inicia inmediatamente la persecución del culpable y lo alcanza después de 1 hr. 10 min. Encuéntrese la velocidad de cada automóvil sabiendo que la del automóvil de la policía fue 8 km/hr. Mayor que la del otro.27. Un piloto vuela de un aeropuerto a otro a la velocidad de 288 km/hr y regresa a su punto de partida a la velocidad de 240 km/hr. Si el viaje de ida empleó 1 hora menos que en el de regreso, encuéntrese la distancia entre los dos aeropuertos.28. Dos grupos de turistas salen de un mismo hotel, en sus respectivos automóviles, para recorrer una carretera que forma un circuito cerrado y a lo largo de la cual se puede contemplar el paisaje. Al salir, cada automóvil lo hace en dirección opuesta. Un automóvil viaja a 80 km/hr. Y el otro a 68 km/hr. Encuéntrese la distancia recorrida si el automóvil más rápido la recorre en 54 min. menos que el otro.29. Un agricultor puede arar un terreno en 4 días. Su hijo, empleando maquinaria más pequeña puede hacerlo en 8 días. ¿En cuánto tiempo pueden arar el terreno si trabajan conjuntamente?30. Un operario puede pintar un techo en 12 horas y su ayudante puede hacerlo en 15 horas. ¿En cuánto tiempo pueden pintarlo trabajando los dos simultáneamente? 237
  • 238. MATEMÁTICA BÁSICA I31. El mayor de tres hermanos puede segar un prado en 3 horas; el segundo hermano puede cortarlo en 4 horas y el menor de los tres en 6 horas. ¿Cuánto tiempo emplearán si lo hacen conjuntamente?32. Si en el problema anterior el hermano menor empieza sólo el trabajo y después de 3 horas empiezan a ayudarle los otros dos, ¿en cuánto tiempo terminan de segar el prado?33. En una piscina la entrada de agua se hace a través de dos tubos. Con el agua proveniente de uno de ellos se puede llenar en 12 horas y con la del otro en 8 horas. ¿En cuánto tiempo se llena si recibe agua de ambos?34. Si en el problema anterior se abre la válvula del menor de los tubos y hasta pasadas 3 horas se abre la válvula del otro, ¿en cuánto tiempo se llena la piscina?35. Un tanque que se emplea para regar puede llenarse en 6 horas y vaciarse en 4 horas. Si al comenzar un cierto trabajo el tanque está lleno y al mismo tiempo se abren las válvulas de entrada y de salida del agua, ¿en cuánto tiempo se vacía el tanque?36. ¿Cuántos kilogramos de tabaco de precio S/. 50.00 por kilogramo se deben mezclar con 30 kilogramos de otro cuyo precio es S/. 60.00 por kilogramo para poder vender la mezcla obtenida al precio de S/. 56.00 por kilogramo?37. Una persona mezcla café de precio S/. 11.60 por kilogramo con 80 kilogramos de otro cuyo precio es de S/. 16.80 por kilogramo, con el deseo de obtener una mezcla que pueda venderse al precio de S/. 14.80 por kilogramo. ¿Cuántos kilogramos de la variedad más barata deben emplearse en la mezcla? 238
  • 239. MATEMÁTICA BÁSICA I38. Un químico agrega una cierta cantidad de una solución de 86 por ciento de alcohol, a 11 litros de otra solución al 71 por ciento de alcohol. Obtiene una solución al 77 por ciento de alcohol. Encuéntrese la cantidad de litros de la primera solución que se agregaron a la segunda.39. Una pieza metálica que contiene 59 por ciento de plata se agrega a 70 kilogramos de una aleación al 83 por ciento de plata. Se obtiene una aleación de 73 por ciento de plata. Encuéntrese cuántos kilogramos de la pieza metálica se emplearon.40. Se llena el radiador de un automóvil, de capacidad 24 litros, con una solución al 25 por ciento de alcohol. ¿Cuántos litros se deben sacar del radiador y reemplazarlos con una solución al 70 por ciento de alcohol, para dejar en el radiador una solución al 40 por ciento de alcohol?41. El radiador de un automóvil tiene una pequeña rotura y se hace necesario ponerle agua durante el viaje. El radiador de capacidad 24 litros, se llena con una solución al 30 por ciento de alcohol al iniciar el viaje. Al finalizar éste se llena con agua y la solución queda al 25 por ciento de alcohol. Encuéntrese la cantidad de agua agregada.42. Un aeropuerto B está al norte de otro A. Un piloto vuela por la mañana de A a B y regresa por la tarde. En el curso de la mañana soplaba viento del sur a la velocidad de 16 km/hr, y por la tarde el viento cambió de dirección proviniendo del norte a la velocidad de 30 km/hr. Si el viaje de la mañana se hizo en 4 ½ horas y el de la tarde en 4 horas, encuéntrese la velocidad del avión relativa al aire. 239
  • 240. MATEMÁTICA BÁSICA I43. un grupo de excursionistas recorren en igual tiempo, 160 km. En una carretera pavimentada y 120km en un camino de herradura. Encuéntrese la velocidad media en cada tramo de camino, si la velocidad en la carretera pavimentada es 15 km/hr mayor que en el camino.44. Los aeropuertos A y C están localizados a 1240 kilómetros al oeste y a 960 kilómetros al norte de B respectivamente. Un piloto vuela de A a B, descansa ahí dos horas y continúa después hasta C. Estuvo soplando viento del oeste con velocidad de 32 Km/hr, durante la primera parte del viaje y viento del norte con velocidad de 40 km/hr, durante la segunda parte. Encuéntrese la velocidad del avión relativa al aire si los dos tramos del recorrido se hicieron en igual tiempo.45. Una persona sale de su casa y viaja en automóvil con una velocidad de 72 km/hr hasta llegar a un aeropuerto; ahí espera 10 minutos y luego continúa su viaje en un avión con velocidad de 192 km/hr. Si durante el viaje recorre 384 kilómetros y el tiempo total empleado es de 3 horas, encuéntrese la distancia de su casa al aeropuerto.46. Un vaquero cuyo caballo se rompió una pierna, camina hasta el rancho más próximo en donde alquila otro caballo y regresa después a su propio rancho. Si recorre en total 22.4 kilómetros, parte a pie y parte a caballo, y si las velocidades en cada caso son 48 km/kr y 9.6 km/kr., encuéntrese la distancia que hay entre el lugar del accidente y su rancho si en el recorrido total empleó 3 horas. 240
  • 241. MATEMÁTICA BÁSICA I47. Una persona ejerce una fuerza de 75 kilogramos sobre un extremo de una palanca de 5 metros de largo. ¿En dónde debe colocarse el punto de apoyo para que levante un peso de 300 kilogramos?48. Dos niñas cuyos pesos son 25 y 30 kilogramos respectivamente, se balancean en una tabla de 4 metros de largo. ¿A qué distancia de la niña de menor peso está el punto de apoyo?5.5 SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO Una ecuación de primer grado con varias incógnita, admitediferentes métodos de solución. Para que se puede resolver unaecuación simultánea con varias incógnitas; es necesario que estéconstituido por tantas ecuaciones; como incógnitas tenga. De locontrario serán indeterminado (varias soluciones). Se presentanconsecuentemente ecuaciones simultáneamente imposibles de solución.MÉTODOS PARA RESOLVER ECUACIONES SIMULTÁNEAS1. Transposición.- En una las ecuaciones se despeja una de las incógnitas; y se reemplaza en la otra; desarrollándose como una ecuación de primer grado con una incógnita. El mismo número hallado al reemplazar en la ecuación despejada.2. Igualación.- En ambas ecuaciones se despeja la misma incógnita y se igualan, resolviéndose como una ecuación de primer grado con una incógnita. El número hallado se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones despejadas.3. Eliminación.- Se igualan los coeficientes de una de las incógnitas con signo cambiado; se suma, el resultado se reemplaza en una de las ecuaciones; así sucesivamente. 241
  • 242. MATEMÁTICA BÁSICA I4. Método de Cramer.- Mediante determinantes.Resuélvanse los pares de ecuaciones de los problemas 3 a 16 por elmétodo de adición o sustracción EJERCICIOS RESUELTOS1. x + 2y = 5 3x – y = 1 x + 2y = 5 3x - y = 1 3 - y = 1 x + 2y = 5 - y = -2 6x - 2y = 2 y = 2 7x = 7 x = 12. 20x - 30y = -27 8x + 15y = 0 3 20x - 30y = -27 20( ) - 30y = -27 4 8x + 15y = 0 -15 - 30y = -27 20x - 30y = -27 - 30y = -12 12 16x + 30y = 0 y = 30 2 36x = -27 y = 5 3 x = 4 EJERCICIOS PROPUESTOS 4. 4x + 3y = -13. 3x – 4y = -2 2x – y = 7 x + 2y = -4 242
  • 243. MATEMÁTICA BÁSICA I5. 6 – 5y = -4 12. 24x + 12y = 49 3x + y = 5 3x + 8y = -26. 2x + 3y = 3 2 1 x y 1 3x + 5y = 4 3 4 13. 1 3 x y 47. 5x - 4y = 1 3 4 2x - 3y = 6 1 3 x y 3 2 58. 3x + 8y = 1 14. 3 2 2x + 7y = 4 x y 2 2 59. 4x + 5y = 1 3x + 2y = -8 3 1 x 2y 4 4 15.10. 2x + 4y = 11 2 3 x y 4x - 3y = 9 3 411. 3x - 2y = 1 3 1 x y 2 2 3 12x - 18y = -11 16. 1 1 x y 1 4 6Resuélvanse por sustitución de los pares de ecuaciones de losproblemas 18 a 32. EJERCICIO RESUELTO17. 8x + 3y = 12 6x – y = 22 8x + 3y = 12 8(3) + 3y = 12 6x - y = 22 3y = 12 - 24 243
  • 244. MATEMÁTICA BÁSICA I 8x + 3y = 12 3y = -12 18x - 3y = 66 26x = 78 y = 4 x = 3 EJERCICIOS PROPUESTOS18. 2x + 7y = 3 x – 5y = -7 26. 2x - 4y = -5 4x + 2y = 519. 4x + 9y = -1 5x – y = 11 27. 3x + 4y = 5 24x – 36y = -1120. 5x - 7y = 1 28. 5x + 2y = 3 x + 3y = 9 30x – 50y = -1321. 7x - 3y = -1 1 1 3 x y 3x – 2y = -4 29. 2 3 2 x 2y 522. 4x + 5y = -14 2x – 3y = 26 3 2 x y 1 30. 2 3 3x 2y 023. 6x + 5y = 5 4x + 3y = 1 2 3 5 x y 31. 3 4 624. 3x - 5y = -10 4x 3y 4 4x – 3y = 16 5 2 1 x y 32. 3 5 425. x + 2y = 3 2x y 1 12x – 18y = 1 244
  • 245. MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOS1. 2x – y + z = 7 8. 2x - 3y + 3z = -9 x – 2y – z = 2 5x - 7y + z = -1 3x + 2y + z = 2 3x – 2y + z = 72. 3x + y + 2z = 1 9. 3x + 5y + 2z = -7 2x – y – 3z = -6 2x + 4y + 3z = -2 x + y + 2z = -3 5x + 7y + 5z = 33. x + y + 2z = 3 10. 2x - 3y + 2z = 13 x + 2y + 4z = 3 3x + 5y - 3z = 31 x – 3y – 5z = 5 5x + 2y – 5z = 204. 2x + 3y + z = 8 11. 4x + 2y - 6z = 10 3x + 2y + z = -5 3x - 5y + 7z = -7 x + 3y + z = 6 5x + 3y – 5z = 175. 3x - 2y + z = -1 12. 4x + 2y - 3z = 10 2x + 3y + 2z = 17 5x - 3y + 2z = 8 4x – 4y – z = -1 3x + 5y – 7z = 66. 5x + 2y + 2z = -9 13. 2x + 3y + 4z = 6 3x - y + z = 8 3x - 6y + 2z = 2 7x + y + 4z = -3 4x + 9y – 8z = 27. x + 2y + 3z = 6 14. 6x - 5y - 3z = 3 x + 3y + 2z = -2 4x - 10y + 6z = 10 2x + 5y + 7z = 10 2x + 15y – 9z = -3 245
  • 246. MATEMÁTICA BÁSICA I15. 8x - 6y + 4z = 5 22. 3x + y = 9 4x + 9y - 8z = 5 2x + z=3 6x + 3y + 3z = 10 2x + 3y – 5z = -4316. 3x - 4y + 6z = -2 23. x + 2y = 3 6x + 2y + 3z = 7 y + 2z = 2 2x + 8y + 4z = 12 3x – 5y + 6z = 817. 4x + 3y + 2z = 6 24. 4y + z = 4 2x - 6y + z = -7 3x + z=5 6x + 9y - 3z = 0 3x – 4y + 5z = 1618. 10x + 5y - 4z = 6 25. x + 2z = -3 x + y + 4z = 2 2y + z = 3 6x + y – 8z = 1 2x – 3y =219. 6x - 3y + 2z = 6 26. x - 3y = 1 2x - y + 4z = 8 y + 2z = 14 3x - 6y + 2z = 2 3x + 2z = 120. 8x - 6y - 3z = 4 27. 3x + z = 1 16x - 2y + z = 9 3y + 2z = -1 4x – 3y + 6z = 7 4x - 3y = -1 28. 2x + 3y = -1221. x + 2z = 5 4x - z=3 y + 3z = 14 3y + 9z = 3 3x + 2y – 3z = -17 246
  • 247. MATEMÁTICA BÁSICA IResuélvanse los problemas siguientes introduciendo más de unavariable. EJERCICIOS RESUELTOS1. Entre dos hermanos compran una bicicleta en S/. 300.00. Encuéntrese la cantidad que aportó cada uno, si uno de ellos pagó S/.12.00 más que el otro. x y 300 156 y 300 x y 12 y 300 156 2 x 312 y 144 x 156 Rpta: Pagaron S/.156 y S/.144.2. Un pescador fue hasta un lago y luego regresó por otro camino que era 15 km. más largo que el de ida. Si en total recorrió 265 km., encuéntrese la distancia recorrida en cada camino. x y 15 x y 265 y 265 140 2 x 280 y 125 x 140 Rpta: 140 Km. Y 125 Km.3. Un granjero vendió 30 aves, entre gallinas y gallos, en S/. 500.00. Si recibió S/. 10.00 por cada gallo y S/. 20.00 por cada gallina, encuéntrese el número de cada variedad. 247
  • 248. MATEMÁTICA BÁSICA I x y 30 10 x 20 y 500 x 30 20 x y 30 x 10 x 2y 50 y 20 y 20 Rpta: Vendió 20 gallinas y 10 gallos. EJERCICIOS PROPUESTOS4. Después de haber pagado Jaime a Francisco S/. 5.00, aquél tenía la mitad de dinero que éste. Si entre los dos juntaban S/. 21.00, encuéntrese la cantidad de dinero que originalmente poseía cada uno.5. La colecta de la Cruz Roja en una escuela primaria fue de S/. 45.00 Si había 650 niños y cada uno aportó una moneda de cinco centavos o una de diez centavos, encuéntrese cuántas monedas de cada valor hubo en la colecta.6. La suma de los dígitos de un número de dos cifras es 11. Si los dígitos se invierten, el número se incrementa en 45. Encuéntrese el número.7. La suma de los dígitos de un número de dos cifras es 8. Si el número se sustrae del que se obtiene al invertir los dígitos, el resultado es 18. Encuéntrese el número.8. Un hombre y su esposa hacen cada uno su lista de compras y encuentran que la suma de los dos es S/. 850.00. La señora elimina entonces un artículo cuyo costo equivalía a la novena 248
  • 249. MATEMÁTICA BÁSICA I parte de su pedido y su marido a su vez elimina otro por valor de un octavo del importe de su lista. Si con estas supresiones podían gastar S/.100.00 menos, encuéntrese el valor del pedido original de cada uno.9. Durante el año de 1950, un propietario recibió S/. 18,100.00 por concepto de rentas de dos casas, aún cuando una de ellas estuvo desalquilada dos meses. Si la suma de las rentas por mes, fue S/. 1,650.00, encuéntrese el valor de la renta de cada una.10. Un contratista tiene 40 operarios en su lista de raya. A una parte de ellos les paga a razón de S/. 8.00 diarios y a los otros a S/. 10.00 también diarios. Encuéntrese cuántos trabajadores hay con un sueldo y cuántos con otro, sabiendo que el importe diario de salarios es de S/. 350.00.11. En 10 meses el propietario de una casa recibe por concepto de renta una cantidad que es S/. 500.00 menor que el 10 por ciento del valor de la casa. Durante los 12 meses siguientes, y cobrando S/. 50.00 menos por mes, recibió una cantidad que fue S/. 100.00 mayor que el 10 por ciento del valor de la casa. Encuéntrese el valor de la casa y la renta mensual durante los 10 primeros meses.12. Un grupo de 40 estudiantes hizo un viaje de excursión en un autobús de alquiler y en varios de sus automóviles. El pago en el autobús fue a razón de S/.15.00 por persona y los que fueron en auto contribuyeron con S/. 12.50 cada uno para pagar los gastos. Encuéntrese cuántos estudiantes viajaron en autobús, sabiendo que el costo total por transporte fue S/. 575.00. 249
  • 250. MATEMÁTICA BÁSICA I13. Dos jóvenes cuyo peso total es 156 kg., se balancean en una viga. Si el punto de apoyo está a 2.1 mts., de uno y a 1.8 mts del otro, encuéntrese los respectivos pesos.14. Las cantidades que una persona ha invertido en dos compañías distintas, difieren entre sí en S/. 250.00. La mayor de ellas reditúa 4 por ciento y la otra 3 por ciento. Encuéntrese el valor de cada una sabiendo que el ingreso total que recibe al año es de S/. 272.50.15. Un piloto viajó hasta un aeropuerto 700 km. al norte y regresó al punto de partida. Durante todo el viaje estuvo soplando viento del norte a velocidad constante. Encuéntrese la velocidad del avión relativa al aire y la velocidad del viento, si el tiempo empleado en la primera parte del viaje fue 7 horas y 5 horas de regreso.16. Un estudiante va a su casa en vacaciones. El viaje de ida lo hace en autobús y el de regreso en automóvil, pero por un camino más corto. Las velocidades medias del autobús y del automóvil fueron 80 km/hr., y 96 km/hr., respectivamente. Encuéntrese las distancias recorridas en cada parte del viaje, si en total empleó 9 horas, y en el viaje de ida empleó una hora más que en el de regreso.17. Dos automóviles de turismo salen del mismo hotel al mismo tiempo y parten en direcciones opuestas por un camino que circunda un lago. Cuando se encuentra en el lado opuesto, el automóvil más rápido ha recorrido 150 km., y el otro, 120 km. Encuéntrese la velocidad de cada automóvil, si el más rápido hace el recorrido completo en 1 hora 21 minutos menos que el otro. 250
  • 251. MATEMÁTICA BÁSICA I18. Dos poblaciones, A y B, están a 324 km. una de otra. A las 6 horas sale de A un automóvil para hacer el viaje de ida y regreso a B, y a las 8:15 horas sale un camión de B para hacer el mismo recorrido. Se encuentran por primera vez a las 10 horas y vuelven a encontrarse siete horas más tarde en el viaje de regreso. Encuéntrese la velocidad de cada automóvil sabiendo que cada uno perdió una hora antes de iniciar el viaje de regreso.19. Dos pedazos de metal contienen 10 por ciento y 25 por ciento de cobre, respectivamente. Encuéntrese el peso de cada uno sabiendo que al fundirlos conjuntamente se obtienen 60 kg., de una aleación con 20 por ciento de cobre.20. Dos diferentes clases de leche, una con 4 por ciento de grasa y la otra con 3 por ciento, se mezclaron para obtener 80 litros de leche con 3 ¼ por ciento de grasa. Encuéntrese cuántos litros de cada clase de leche se emplearon.21. Dos soluciones de un ácido, una con 97 por ciento y otra con 90 por ciento, se mezclaron para obtener 21 litros de solución con 95 por ciento. ¿Cuántos litros de cada solución se emplearon?22. Un pintor y su ayudante aplican una primera mano de pintura a 3 una casa en 3 días. Si la aplicación de la segunda mano 5 requiere cuatro días de los cuales sólo tres trabaja el ayudante, ¿cuánto tiempo emplea cada uno en aplicar una mano?. Considérese que la aplicación de cada una de las dos manos requiere igual tiempo.23. Un aeropuerto B está a 700 km. al este de otro A. Un piloto sale de A hacia B al mismo tiempo que otro sale de B hacia A y sus 251
  • 252. MATEMÁTICA BÁSICA I aviones se encuentran después de transcurridas dos horas. El avión que viaja al este completa su recorrido en 1 ½ hora más 2 tarde, y el que viaja hacia el oeste lo hace 2 después de haber 3 encontrado al otro. Si estuvo soplando viento del oeste a razón de 20 km/kr., encuéntrese la velocidad relativa al aire de cada avión.24. Una persona cerca un terreno rectangular, uno de cuyos lados menores limita con una carretera. Al mismo tiempo lo divide en dos partes con una cerca paralela a los lados mayores. A lo largo de la carretera el costo de la cerca fue S/. 15.00 metro y en las otras partes S/. 12.00 metro. El costo total fue S/. 5,400.00 y la cerca de la orilla de la carretera costó S/.3,400.00 menos que la del resto. Encuéntrese las dimensiones del terreno.25. Un joven compró un “bat”, una pelota y un guante de béisbol en $ 80.00. El costo del guante fue S/. 10.00 mayor que el costo de la pelota y el “bat” juntos, y el precio de la pelota fue S/. 40.00 menor que el del “bat” y el guante juntos. ¿Cuánto costó cada uno?26. Un equipo de fútbol está formado con 45 jugadores de las escuelas de Preparatoria, de Ingeniería y de Contabilidad. La suma del número de jugadores de Ingeniería y de Contabilidad es cinco unidades mayor que el de los de Preparatoria y la suma de los de Preparatoria e Ingeniería es el doble de los de Contabilidad. Encuéntrese cuántos miembros de cada escuela hay en el equipo.27. Una colecta produjo S/. 32.00 en monedas de diez, veinticinco y cincuenta centavos. ¿Cuántas monedas de cada clase había si en total eran 150 y la suma de monedas de diez y de veinticinco centavos importó S/. 22.00? 252
  • 253. MATEMÁTICA BÁSICA I28. La suma de los tres dígitos de un número es 11. Si se añade 396 al número, se intercambian los dígitos de las centenas y de las unidades. Si se agrega 27 al número original, los dígitos de las decenas y de las unidades del número quedan intercambiados. Encuéntrese este número.29. La suma de las edades de un padre, de su hijo y de su hija es 65 años. Si diez años más tarde el padre tiene el doble de la edad del hijo y hace cinco años la edad de éste era el doble de la de su hermana, encuéntrense las edades de cada uno.30. Un granjero camina a caballo hasta su rancho a razón de 9.6 km/hr., luego toma su automóvil y se dirige a la estación de ferrocarril a 64 km/kr., y asciende al tren que lo lleva a 80 km/kr., hasta la ciudad más próxima. La distancia total recorrida fue 577.20 km. y el tiempo empleado 9 ½ horas. Si permaneció 5 horas más en el tren que en el recorrido a caballo, encuéntrense las distancias de cada tramo. 131. Tomas, Ricardo y Enrique pueden segar un campo en 1 hora 3 trabajando conjuntamente. Cuando sólo trabajan Tomás y Enrique 2 se necesitan 2 hora para hacer la misma tarea, y Ricardo y 3 Enrique pueden hacerlo en 2 horas. ¿Qué tanto tiempo emplearía cada uno trabajando solo? 253
  • 254. MATEMÁTICA BÁSICA IResuélvanse por medio de determinantes los siguientes sistemas deecuaciones.17. 3x – y = 5 2x + 3y = 718. 2x + 5y = -4 x - 3y = 919. x + 2y = 4 3x + y + 3 = 020. 4x – 5y = -3 3x + 2y + 8 = 0Resuélvanse las ecuaciones simples de segundo grado, señaladas enlos problemas 2 a 20.Observación: a. Si son cuadrados perfectos, factorice y resuelva. EJERCICIO RESUELTO 1. 25x2 – 36 = 0 25 x 2 36 0 5x 6 5x 6 0 6 x1 5x 6 0 5 5x 6 0 6 x2 5 254
  • 255. MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOS2. x2 – 4 = 03. 16x2 – 1 = 04. 49x2 – 9 = 0b. Se puede simplificar convierta en cuadrados perfectos. EJERCICIO RESUELTO5. 7x2 – 28 = 0 7x2 28 0; x2 4 0 x 2 x 2 0 x 2 0 x1 2 x 2 0 x2 2 EJERCICIOS PROPUESTOS6. 8x2 – 32 = 07. 3x2 – 27 = 08. 2x2 – 18 = 0 255
  • 256. MATEMÁTICA BÁSICA I c. Si al simplificar no encuentra cuadrados perfectos; procesa a su desarrollo: EJERCICIOS RESUELTOS 9. 3x2 – 4 = 0 3x 2 4 0 2 3 x 3 3x 2 4 2 3 2 3 2 4 x1 ; x2 x 3 3 3 4 2 10. 3x2 + 27 = 0 x ; x 3 3 27 3x 2 27 0 3x 2 3 x2 9 x 9 x 9 1 x 3 1 x 3i 1 i x1 3i x2 3i EJERCICIOS PROPUESTOS 11. 2x2 – 9 = 0 17. 4x2 -100 = 0 12. 4x2 – 12 = 0 18. 16 x2 + 9 = 0 13. 10x2 – 45 = 0 19. 8x2 + 50 = 0 14. x2 – 4 = 0 20. x2 + 5 = 0 15. 5x2 + 45 = 0 21. 3x2 + 21 = 0 16. 6x2 + 24 = 0 256
  • 257. MATEMÁTICA BÁSICA IResuélvanse por factorización las ecuaciones siguientes: EJERCICIOS RESUELTOS22. x2 – x – 2 = 0 x 2 0 x2 x 2 0 x1 2 x 2 x 1 0 1 x x2 1 1 x 2 x 1 023. 2x2 + 7x + 3 = 0 2x 1 0 2 x1 1 2x 2 7x 3 0 1 x 1 1 x1 2 6 x 3 x 3 0 7 x2 3 2x 1 x 3 024. 14x = 8x2 + 3 14 x 8x 2 3 8 x 2 14 x 3 0 - Se ordena. - Si el término cuadrático tiene 8 x 2 14 x 3 0 signo negativo, se cambiará 4x 1 2 de signo. 12 2x 3 14 257
  • 258. MATEMÁTICA BÁSICA I 4x 1 0 2x 3 0 4x 1 2x 3 1 3 x x 4 2 EJERCICIOS PROPUESTOS 25. x2 – x – 6 = 0 38. 4x2 = 11x + 3 26. x2 + 36 = 0 39. 6x2 = 1 – x 27. x2 + x = 20 40. 6x2 = 3 – 7x 28. x2 + 4x + 3 = 0 41. 6x2 + 17x + 5 = 0 29. x2 + 2 = 3x 42. 6 = 6x2 + 5x 30. x2 + 12 = 7x 43. 6x2 – 6 = 5x 31. x2 – 6x + 5 = 0 44. 10x2 = 3 – 13x 32. 2x2 + 1 = 3x 45. 12x2 = 3x + 2 33. 3x2 – 2x = 1 46. 10x2 – 11x = 6 34. 4x2 = 1 – 3x 47. 20x2 + 6 = 23x 35. 2x2 + 3x + 1 = 0 48. 16x2 = 2x + 5 36. 3x2 + 2 = 7x 49. x2 – x – 6 = 0 37. 4x2 + 7x = 2 258
  • 259. MATEMÁTICA BÁSICA I 50. 40x2 + 6 = 31x 60. 36x2 + 69x + 28 = 0 51. 21x2 = 5x + 6 61. 34x + 15 = 72x2 52. x2 – x – 6 = 0 62. x2 + 2ax = 3a2 53. 52x = 12 + 35x2 63. 6x2 + bx – 2b2 = 0 54. 33x = 40x2 – 18 64. 2a2x2 – abx – 3b2 = 0 55. 7x = 15 - 36x2 65. 3d2x2 + 2dcx – 8c2 = 0 56. 35x2 + 94x + 24 = 0 66. x2 – ax – bx + ab = 0 57. 16x2 = 54x - 35 67. abx2 + a2x + b2x + ab = 0 58. 15 = 64x2 + 68x 68. 2x2 – ax + 2bx – ab = 0 59. 45x2 = 69x + 10 69. 3ax2 + 9ax + 2x + 6 = 0Resuélvanse, completando el cuadrado, las ecuaciones de losproblemas 4 a 60. EJERCICIOS RESUELTOS 2 1. x = 4x + 21 x2 4 x 21 0 2 - Se pasa el término x 4x 21 independiente al x2 4x 4 21 4 segundo término. x 2 2 24 - Se forma el trinomio cuadrado. x 2 24 - Se factoriza. x 2 24 - Se halla la raíz. - Se despeja y x 2 4 6 simplifica. x 2 2 6 x1 21 6 x2 21 6 259
  • 260. MATEMÁTICA BÁSICA I 2. x2 + ax = 2a2 a2 a2 x2 ax 2a 2 2 4 4 9 x 5 18 x a 2 9a 2 9 x 2 18 x 5 x 2 4 9 x 2 18 x 9 9 5 2 a 9a 2 3x 3 4 x 2 4 3x 3 4 a 3a 3x 3 2 x 2 2 3x 3 2 2a x1 ; x1 a 3 2 2 x 3 4a x2 ; x2 2a 5 1 2 x1 ; x2 3 3 3. a2x2 – a3x + a2b – b2 = 0 a2 x2 a 3 x a 2b b 2 0 a2 x2 a3 x a4 b2 a 2b a 4 2 ax a 2 b2 a 2b a 4 ax a 2 b2 a 2b a 4 ax a2 b2 a 2b a 4 a2 b2 a 2b a 4 x a 2 2 a b a 2b a 4 x1 a 2 2 a b a 2b a 4 x2 a 260
  • 261. MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOS4. x2 + 4x + 3 = 0 20. 6x2 = x + 155. x2 + 2x – 8 = 0 21. 6x2 + 2 = -7x6. x2 + 2x – 24 = 0 22. 10x2 + 3 = - 17x7. 9x2 + 5 = 18x 23. 8x2 – 22x – 21 = 08. x2 = 2 - x 24. 12x2 = -11x – 29. x2 + x – 6 = 0 25. 10x2 – 7x = 1210. x2 = 5x – 6 26. x2 + 6x = 511. x2 – 4 = 3x 27. x2 – 2x = 112. 4x2 + 15 = 16x 28. x2 + 1 = 4x13. 4x2 = 8x + 5 29. x2 + 7 = 6x14. 3x2 – 2x = 5 30. x2 = 2x + 215. 2x2 + 3x = 2 31. 4x2 = 4x + 116. 3x2 + 7x - 6 = 0 32. 9x2 + 1 = 12x17. 2x2 – x = 0 33. 4x2 + 1 = 12x18. 3x2 – 5x = 2 34. 4x2 – 2x = 119. 3x2 + 10x = 8 35. 3x2 + 6x + 2 = 0 261
  • 262. MATEMÁTICA BÁSICA I 36. 9x2 + 9x + 1 = 0 49. x2 + 5x + 7 = 0 37. 4x2 + 9 = 16x 50. 9x2 + 18x + 14 = 0 38. 9x2 + 23 = 30x 51. x2 – 3b2 = 2bx 39. x2 + 2x + 2 = 0 52. x2 – ab = (a – b) x 40. x2 + 5 = 4x 53. x2 – 2ab = (b – 2a) x 41. x + 2x + 10 = 0 54. x2 – 2ax + a2 – b2 = 0 42. x2 + 13 = 6x 55. b2x2 – b3x = a2 – ab2 43. 2x2 + 1 = 2x 56. abx2 – (a2 – b2) x – ab = 0 44. 2x2 + 5 = 6x 57. 6x2 + (2b - 3a) x = ab 45. 9x2 – 6x + 5 = 0 58. (a + b) x2 – 2ax = b – a 46. 9x2 – 12x + 5 = 0 59. a2x2 – a2x = ab + b2 47. 4x2 + 7 = 8x 60. (a2 - b2) x2 + 4abx + 1 = 0 48. 4x2 + 8x + 7 = 0 Resolver las ecuaciones: 1. x2 – 5x + 6 = 0 4. x2 – 2x – 8 = 0 2. x2 – 5x + 4 = 0 5. 2x + 3 = 7x 3. x2 + x – 6 = 0 6. 3x2 + x = 2 262
  • 263. MATEMÁTICA BÁSICA I7. 4x2 + 7x – 2 = 0 14. 8x2 + 18x + 9 = 08. 5x2 + 3x – 2 = 0 15. 27x2 = 12x + 79. 6x2 + 5x = 6 16. 56x2 + 17x – 28 = 010. 15x2 = 14x + 8 17. x2 – 2x = 111. 12x2 + 6 = 17x 18. x2 + 4x = - 112. 40x2 = 7x + 20 19. x2 – 6x + 7 = 013. 16x2 + 18x + 5 = 0 20. x2 + 6x + 4 = 0Use la fórmula de la ecuación de segundo grado para efectuar lasoperaciones que se requieran en los problemas 22 a 28. EJERCICIO RESUELTOS21. Resuélvase 4x2 – 9y2 - 2x + 9y – 2 = 0 para y. 4x 2 9y2 2x 9 y 2 0 Ordene para “y” 9 y 2 9 y 4x 2 2x 2 0 Cambie de signo 9 y 2 9 y 4x 2 2x 2 0 Represente la fórmula de una ecuación de segundo grado. bb 2 4ac y 2a Indique las constantes a 9; b 9; c x2 2x 2 Reemplace y desarrolle. 263
  • 264. MATEMÁTICA BÁSICA I 9 81 4 9 x 2 2x 2 y 29 9 81 36 x 2 72 x 72 y 18 9 36 x 2 36 x 9 y 18 9 36 x 2 36 x 9 y 18 6x 6 2 y1 9 6x 3 18 y x 1 18 y1 9 6x 3 3 y x 2 18 y2 3 EJERCICIOS PROPUESTOS 22. Resuélvase y2 – x2 – 3x + y – 2 = 0 para y. 23. Resuélvase y2 – x2 + 5x + y – 6 = 0 para y. 24. Resuélvase y2 – 4x2 + 8x - 2y – 3 = 0 para x. 25. Resuélvase 9x2 – y2 -- 3x + 3y – 2 = 0 para x. 26. Resuélvase y2 – 9x2 + 12x - 4 = 0 para x. 27. Resuélvase x2 – 16y2 + 24y - 9 = 0 para y. 28. Resuélvase 9y2 – 16x2 + 6y + 16x – 3 = 0 para x. 264
  • 265. MATEMÁTICA BÁSICA I Resuélvanse las ecuaciones de los problemas 29 a 40 empleando la fórmula de la ecuación de segundo grado, y encuéntrense las raíces con tres cifras decimales con ayuda de la Tabla. 29. 3x2 – 2x – 2 = 0 35. 7x2 = 2x + 1 30. 2x2 = 3x + 18 36. 8x2 + 6x = 3 31. 4x2 + 6x = 9 37. 10x2 – 3 = 4x 32. 6x2 + 8x = 9 38. 3x2 = 12x – 1 33. 5x2 – 5x + 1 = 0 39. 12x2 – 4x = 3 34. 2x2 – 9 = 4x 40. 9x2 – 3x – 4 = 0Para resolver una ecuación que comprende radicales de segundo orden,se efectúan los pasos siguientes:1. Se deja en uno de los miembros un solo radical, trasladando al otro miembro los demás términos.2. Se elevan al cuadrado los dos miembros de la ecuación obtenida y se igualan entre sí.3. Si la ecuación que se obtenga no contiene radicales se resuelve para x. Si por el contrario contiene uno o más radicales se resuelve para x. Si por el contrario contiene uno o más radicales se repiten los pasos 1 y 2 hasta obtener una ecuación sin radicales. Luego se resuelve esta última ecuación para x. 265
  • 266. MATEMÁTICA BÁSICA I4. Se sustituyen en la ecuación original los valores obtenidos para x en el paso anterior y se determinan los valores de x que son raíces y los que no lo son.El proceso de aplicar los pasos 1 y 2, hasta liberar la ecuación deradicales, se conoce con el nombre de racionalización de la ecuación.PROBLEMAS CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO EJERCICIOS PROPUESTOS1. Encuéntrense dos números consecutivos, enteros, positivos, sabiendo que la suma de sus cuadrados es 85.2. Encuéntrense dos números consecutivos enteros, cuyo producto es mayor en 41 a su suma.3. Encuéntrense un número positivo tal que su cuadrado menos cinco veces el número, sea igual a 14.4. Encuéntrense un número negativo talque su cuadrado más tres veces el mismo número sea 40.5. Encuéntrense dos números que difieran entre sí en 18 y cuyo producto sea 144.6. Encuéntrense dos números cuya diferencia sea 2, y cuyo producto sea 288.7. Divídase 40 en dos partes tales que el producto de ellas sea 256.8. Divídase 33 en dos partes tales que el producto de ellas sea 216. 266
  • 267. MATEMÁTICA BÁSICA I9. Si cada lado de un cuadrado se incrementa en 2 unidades, la superficie se multiplica por 4. Encuéntrense la longitud original de los lados.10. La suma de un número y de su recíproco es 13/6. Encuéntrense el número.11. Encuéntrense el número que es 4 veces mayor que 12 veces su recíproco.12. La suma de un entero y del recíproco de su consecuente es 13/4. Encuéntrense el número.13. El área de un rectángulo es 36mt2 y el largo excede al ancho en 5 mts. Encuéntrense las dimensiones del rectángulo.14. La superficie de un terreno rectangular es 9,800 mts2, y el largo excede en 70 mts. al ancho. Encuéntrense las dimensiones del terreno.15. El área del piso de un cuarto rectangular es 240 mts. Encuéntrense sus dimensiones sabiendo que el largo es 4 metros menor que el doble del ancho.16. El largo de un rectángulo es 7 cm. mayor que el ancho, y la diagonal mide 13 cm. Encuéntrense las dimensiones del rectángulo.17. El perímetro de un rectángulo mide 40 mts. y el área 96 mts 2 Encuéntrense sus dimensiones.18. Un granjero construye un establo rectangular aprovechando para uno de los lados la pared de un granero. La superficie del establo 267
  • 268. MATEMÁTICA BÁSICA I es 200mts2, y en los otros lados emplea 40 mts. de cerca. Encuéntrense las dimensiones del establo.19. Encuéntrense los catetos de un triángulo rectángulo, sabiendo que difieren entre sí y en 7 mts. y que el área es 30 mts. 2.20. El área de un triángulo rectángulo es 84 mts.2. Encuéntrense las dimensiones de los catetos sabiendo que difieren entre sí 17 metros.21. El lado de un cuadrado es 3 cm. menor que el largo de un rectángulo y 4 cm. mayor que el ancho. Encuéntrense las dimensiones de cada uno sabiendo que el área del cuadrado es el doble de la del rectángulo.22. Las dimensiones exteriores de un cuadro enmarcado son 20 y 18 cms. Encuéntrense el ancho de la moldura sabiendo que su área es ¼ del área del cuadro sin marco.23. Dos muchachos reman en una canoa y recorren 6 km. Río abajo. Regresan a su punto de partida empleando en total 4 horas. Si la velocidad de la corriente es 2 km/hr., encuéntrese la velocidad de la canoa relativa al agua.24. Un piloto hizo un viaje contra el viento y regresó a su punto de partida en 4 ½ horas. Encuéntrese la velocidad del avión relativa al aire, sabiendo que la velocidad del viento fue 20 km/hr. y el recorrido total 400 kms.25. Un avión recorrió 1,000 kms. a velocidad uniforme. Su hubiera ido 50 km/hr. más aprisa hubiera empleado 1 hora menos en el viaje. Encuéntrese la velocidad de crucero. 268
  • 269. MATEMÁTICA BÁSICA I26. Un automóvil viajó 140 kms. a velocidad uniforme. Otro recorrió 180 kms. a una velocidad mayor a la del anterior en 5 km/hr., y empleó 30 minutos más en su recorrido. Encuéntrese la velocidad de cada automóvil.27. Un mensaje debe ser transportado a una distancia de 35 kms. Una persona lo lleva durante 20 kms. a una velocidad uniforme, y otra lo lleva el resto de la distancia a una velocidad que es menor en 2 ½ km/hr. Encuéntrese cada velocidad si el tiempo total del recorrido es de 4 horas.28. Un carpintero puede hacer cierto trabajo en 2 días menos que su ayudante. Trabajando conjuntamente puede hacer el trabajo en 2 2/5 días ¿Cuántos días empleará cada uno en hacerlo trabajando separadamente?29. Un hombre y su hijo pueden pintar un automóvil en dos días. ¿En cuánto tiempo pueden pintarlo cada uno si el hijo requiere para ello 3 días más que el padre?30. Un hombre compró dos granjas en $ 450,000.00 cada una. Si pagó $ 500.00 más por hectárea en una que en otra y si en total compró 750 hectáreas, encuéntrense el precio por hectárea de cada una.31. Un comerciante vendió 2 lotes de huevos en $ 220.00 y $ 150.00 respectivamente, habiendo 10 docenas más en el primero que en el segundo. Si el precio por docena del primer lote fue 50 centavos mayor que el del segundo, encuéntrense cuántas docenas había en cada uno. 269
  • 270. MATEMÁTICA BÁSICA I32. Los muchachos de cierta familia compraron a prorrata un automóvil usado en $ 6,000.00. Después de 6 meses uno de ellos vendió su parte a los otros en $ 900.00. Cuando este costo adicional se repartió entre los demás hermanos, cada uno contribuyó con una cantidad de $ 120.00 menor que la aportada originalmente. ¿Cuántos muchachos eran? 270
  • 271. MATEMÁTICA BÁSICA I CAPÍTULO VI DESIGUALDADES: INECUACIONESSe dice que una cantidad a es mayor que otra cantidad b cuando ladiferencia a – b es positiva. Así 4, es mayor que –2 porque la diferencia4–(-2) = 4 + 2 = 6 es positiva; -1 es mayor que –3 porque –1–(-3)=-1+3=2es una cantidad positiva.Se dice que una cantidad a es menor que otra cantidad b cuando ladiferencia a – b es negativa. Así, -1 es menor que 1 porque la diferencia–1 –1 = -2 es negativa: -4 es menor que –3 porque la diferencia –4 – (-3)= -4 + 3 = -1 es negativa.De acuerdo con lo anterior, cero es mayor que cualquier cantidadnegativa.Así, 0 es mayor que –1 porque 0 – (-1) = 0 + 1 = 1, cantidad positiva.6.1 DESIGUALDAD Es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menorque otra.Los signos de desigualdad son , que se lee mayor que, y que se leemenor que. Así 5 3 se lee 5 mayor que 3; -4 -2 se lee –4 menor que–2. 271
  • 272. MATEMÁTICA BÁSICA IMIEMBROSSe llama miembro de una desigualdad a la expresión que está a laizquierda y segundo miembro a la que está a la derecha del signo dedesigualdad.Así, en a + b c – d el primer miembro es a + b y el segundo c – d.TÉRMINOSDe una desigualdad son las cantidades que están separadas de otraspor el signo + 0 – 0 la cantidad que está sola en un miembro. En ladesigualdad anterior los términos son a, b, c y –d.Dos desigualdades son del mismo signo o subsisten en el mismo sentidocuando sus primeros miembros son mayores o menores, ambos, que lossegundos.Así, a byyc d son desigualdades del mismo sentido.Dos desigualdades son de signo contrario o no subsisten en el mismosentido cuando sus primeros miembros no son ambos mayores omenores que los segundos miembros. Así, 5 3 y 1 2 sondesigualdades de sentido contrario.PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES1) Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no varía. Así, dada la desigualdad a b, a+c b+cya–c b – c. podemos escribir: 272
  • 273. MATEMÁTICA BÁSICA I Consecuencia: Un término cualquiera de una desigualdad se puede pasar de un miembro al otro cambiándole el signo. Así, en la desigualdad b + c podemos pasar c al primer miembro con signo – y quedará a – c b, porque equivale a restar c a los dos miembros. En la desigualdad a – b c podemos pasar b con signo + al segundo miembro y quedará a b + c, porque equivale a sumar b a los dos miembros.2) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varía. a b Así, dada la desigualdad a b y siendo c ac bc y c c una cantidad positiva, podemos escribir Consecuencia: Se pueden suprimir denominadores en una desigualdad, sin que varíe el signo de la desigualdad, porque ello equivale a multiplicar todos los términos de la desigualdad, o sea sus dos miembros, por el m.c.m. de los denominadores.3) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad varía.Así, si en la desigualdad a b, 273
  • 274. MATEMÁTICA BÁSICA Imultiplicamos ambos miembros -ac -bcpor –c, tendremos: a by dividiéndolos por –c, o sea - c c 1multiplicando por - , tendremos: c Consecuencia: Si se cambia el signo a todos los términos, o sea a los dos miembros de una desigualdad, el signo de la desigualdad varía porque equivale a multiplicar los dos miembros de la desigualdad por –1. Así, si en la desigualdad a – b - c cambiamos el signo a todos los términos, tendremos: b – a c4) Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de signo. Así, si a b es evidente que b a.5) Si se invierten los dos miembros, la desigualdad cambia de signo. 1 1 Así, siendo a b se tiene que . a b6) Si los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia. Así, 5 3. Elevando al cuadrado: 52 32 o sea 25 9 274
  • 275. MATEMÁTICA BÁSICA I7) Si los dos miembros o uno de ellos es negativo y se elevan a una potencia impar positiva, el signo de la desigualdad no cambia. Así, - 3 - 5. Elevando al cubo: (-3)3 (-5)3 o sea – 27 - 125. 2 - 2. Elevando al cubo: 23 (-2) o sea 8 - 8.8) Si los dos miembros son negativos y se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad cambia Así, -3 - 5. Elevando al cuadrado: (-3)2 = 9 y (-5)2 = 25 y queda 9 25.9) Si un miembro es positivo y otro negativo y ambos se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad puede cambiar. Así, -3 - 5. Elevando al cuadrado: 32 = 9 y (-5)2 = 25 y queda 9 25. Cambia. 8 - 2. Elevando al cuadrado: 82 = 64 y queda 64 4. No Cambia.10) Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les extrae una misma raíz positiva, el signo de la desigualdad no cambia. n n Así, si a b y n es positivo, tendremos: a b.11) Si dos o más desigualdades del mismo signo se suman o multiplican miembro a miembro, resulta una desigualdad del mismo signo. Así, si a byc d, tendremos: a + c b y ac bd 275
  • 276. MATEMÁTICA BÁSICA I12) Si dos desigualdades del mismo signo se restan o dividen miembro a miembro, el resultado no es necesariamente una desigualdad del mismo signo, pudiendo ser una igualdad. Así, 10 8y5 2. Restando miembro a miembro: 10 – 5 = 5 y 8 – 2 = 6; luego queda 5 6; cambia el signo. Si dividimos miembro a miembro las desigualdades 10 8y5 4, 10 8 tenemos =2y = 2; luego queda 2 = 2, igualdad. 5 46.2 INECUACIONES Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o máscantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica paradeterminados valores de las incógnitas. Las inecuaciones se llamantambién desigualdades de condición.Así, la desigualdad 2x – 3 x + 5 es una inecuación porque tiene laincógnita x y sólo se verifica para cualquier valor de x mayor que 8.En efecto: Para x = 8 se convertiría en igualdad y para x 8 seconvertiría en una desigualdad de signo contrario.Resolver una inecuación es hallar los valores de las incógnitas quesatisfacen la inecuación. 276
  • 277. MATEMÁTICA BÁSICA IPRINCIPIOS EN QUE SE FUNDA LA RESOLUCIÓN DE LASINECUACIONESLa resolución de las inecuaciones se funda en las propiedades de lasdesigualdades, expuestas anteriormente, y en las consecuencias que delas mismas se derivan.RESOLUCIÓN DE INECUACIONES1. Resolver la inecuación 2x – 3 x+5 Pasando x al primer miembro y 3 al segundo: 2x – x 5+3 Reduciendo: x 8. R. 8 es el límite inferior de x, es decir que la desigualdad dada sólo se verifica para los valores de x mayores que 8. x 5x2. Hallar el límite de x en 7 - -6 2 3 Suprimiendo denominadores: 42 – 3x 10x – 36 Transponiendo: -3x – 10x - 36 – 42. -13x - 78 Cambiando el signo a los dos miembros, lo cual hace cambiar el signo de la desigualdad, se tiene: 13 x 78. 78 Dividiendo por 13: x o sea x 6. R. 13 6 es el límite superior de x, es decir, que la desigualdad dada sólo se verifica para los valores de x menores que 6. 277
  • 278. MATEMÁTICA BÁSICA I3. Hallar el límite de x en (x + 3) (x – 1) (x – 1)2 + 3x. ( x 3)( x 1) ( x 1) 2 3x x2 2 x 3 x 2 2 x 1 3x Transponiendo: x 2 x 2 2 x 2 x 3x 1 3 Simplificando x 4 El límite superior es 4; se verifica el valor de x, para números menores que “4” 4 0 4Hallar el límite de x en las inecuaciones siguientes: EJERCICIOS RESUELTOS 5 x1. 2x - + 10. 3 3 5 x 2x 10 3 3 0 6x 5 x 10 3 6x x 10 5 5x 15 x 3 278
  • 279. MATEMÁTICA BÁSICA I2. 6 (x2 + 1) – (2x – 4) (3x + 2) 3 (5x + 2) 6( x 2 2 x 1) 4 x 2 ( x 7) 4( x 3 6 x 2 12 x 8) 6 x 2 12 x 6 4 x 3 28 x 2 4 x 3 24 x 2 48 x 32 4 x 3 4 x 3 22 x 2 24 x 2 12 x 48 x 6 32 0 2 x 2 36 x 38 0 x 2 18 x 19 0 ( x 19)( x 1) 0 x 19 x 1 1 19 1 x 19 EJERCICIOS PROPUESTOS3. x–5 2x – 6. 6. 3x – 14 7x – 2.4. 5x – 12 3x – 4. x 5x 7. 3x – 4 + +2 4 25. x–6 21 – 8x. 8. (x –1)2 – 7 (x – 2)29. (x + 2) (x – 1) + 26 (x + 4) (x + 5)10. 3(x-2) +2x (x + 3) (2x – 1) (x + 4)11. (x – 4) (x + 5) (x – 3) (x – 2)12. (2x – 3)2 + 4x2 (x – 7) 4 (x – 2)3 279
  • 280. MATEMÁTICA BÁSICA I 2x 1 2x 513. 3x 1 3x 2 x 3 4 x14. - 3 x 2 3 5 9 215. - 2 3x 1 9x 1 3x 1 1 1 116. 2 2 - 2 x x x x x xRESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON RADICALES QUE SEREDUCEN A PRIMER GRADOVamos a estudiar la resolución de ecuaciones en las cuales la incógnitaaparece bajo el signo radical.Ejemplos:1. Resolver la ecuación 4x 2 15 2x 1 Aislando el radical: 4x 2 15 2x 1 Elevando al cuadrado ambos miembros para eliminar el radical: ( 4x 2 15) 2 = (2x – 1)2 o sea 4x2 – 15 = 4x2 – 4x + 1. Suprimiendo 4x2 en ambos miembros: -15 = - 4x + 1 4x = 16 x = 4. R.2. Resolver la ecuación: x 4 x 1 5 Aislando un radical: x 4 5 x 1 280
  • 281. MATEMÁTICA BÁSICA I Elevando al cuadrado: ( x 4 )2 (5 x 1) 2 O sea: x + 4 = 52 – 2 x 5 x 1+ (x 1) 2 Efectuando: x + 4 = 25 – 10 x 1 +x–1 Aislando el radical: x + 4 - 25 – x + 1 = - 10 x 1 Reduciendo: - 20 = - 10 x 1 20 = 10 x 1 Dividiendo por 10: 2= x 1 Elevando al cuadrado: 4 = x – 1 x = 5. R.3. Resolver la ecuación : x 7 x 1 2 x 2 0 Aislando un radical: x 7 + x 1= 2 x 2 Elevando al cuadrado: (x 7) 2 + 2 ( x 7) ( x 1) + (x 1) 2 4 (x 2) Efectuando: x + 7 + 2 x2 6x 7 + x – 1 = 4x + 8 Aislando el radical: 2 x2 6x 7 = 4x + 8 – x – 7 – x + 1 Reduciendo: 2 x2 6x 7 = 2x + 2 Dividiendo por 2: x2 6x 7 =x+1 Elevando al cuadrado: x2 + 6x – 7 = (x + 1 )2 O sea : x2 + 6x – 7 = x2 + 2x + 1 6x – 2x = 7 + 1 4x = 8 x = 2. R. 281
  • 282. MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOSResolver las ecuaciones:1. x 8 = 2 15. 5x 1 3 5x 262. 5 - 3x 1= 0 16. 13 13 4x 2 x3. 7 + 3 5x 2 9 17. x 4 x 4 2 x 14. 9x 2 5 3x 1 18. 9x 7 x 16x 7 0 19. 9x 10 2 x 3 x 25. x2 2x 1 9 x 3 7x 1 12 20. 18x 8 2x 4 2 2x 1 06. 15 -7. x x 7 7 21. 8x 9 18x 34 2x 7 08. 3x 5 3x 14 99. x 10 x 19 1 22. x 2 x 5 4x 2310. 4x 11 7 2x 29 23. x 6 9x 70 2 x 911. 5x 19 5x 1 24. x a x a 4x 2a12. x 2 5 x 53 25. x 4ab 2b x13. 9x 14 3 x 10 4 26. x 4a x 2a 1 114. x 16 x 8 4 282
  • 283. MATEMÁTICA BÁSICA IECUACIONES CON RADICALES EN LOS DENOMINADORES 2Resolver la ecuación: x 4 x 1 x 1Suprimiendo denominadores: x2 3x 4 (x 1) 2 2 x2 3x 4 (x 1) 2 x2 3x 4 x 1Elevando al cuadrado: x2 + 3x – 4 = x2 + 2x + 1 3x – 2x = 4 + 1 = R. EJERCICIOS PROPUESTOSResolver las ecuaciones: 10 81. x x 5 6. x 3 x 9 x x 9 55 x 4 x 112. 4x 11 2 x 4x 11 7. x 2 x 1 4 93. x x 7 8. 2 x 6 4x 3 x 4x 3 x 2 x 14. x 2 2 x 5 x 4 x 13 9. x 2 2 x 1 65. x 8 x 6 x 5 10. x 14 x 7 x 7 283
  • 284. MATEMÁTICA BÁSICA IResolver las ecuaciones exponenciales siguientes: EJERCICIOS RESUELTOS1. (a x ) x (a 8 ) 2 2 ax a16 x2 16 x 16 x 4 x1 4 x2 4 Los resultados negativos no tienen validez en las ecuaciones exponenciales y logarítmicas2. (105-x)6-x = 100 x 6 x 105 100 5 x 6 x 10 10 2 30 11x x 2 2 0 x 2 11x 28 0 x 7 x 4 0 x1 7 x2 4 EJERCICIOS PROPUESTOS3. (a x ) 2 (a x ) x 6. x a ax x4. (ab-x)x = ax 7. 100 . 10x = 1000 55. (43-x)2-x = 1 8. 2x+1 + 4x = 80 284
  • 285. MATEMÁTICA BÁSICA I9. 2x + 4x = 272 11. 3x+2 + 9x+1 = 81010. 2x+3 + 4x+1 = 320Resolver las ecuaciones siguientes: EJERCICIOS RESUELTOS 2 x 5x 51. 7 16807 2 7x 5x 9 7.5 x 2 5x 9 5 x 2 5x 4 0 x 4 x 1 0 x1 4 x2 12. 3x 2 9x 1 810 x 2x 9 3 9 3 810 0 2x x 3 3 90 0 x 3 10 3x 9 0 x 3 10 3x 9 3 x 32 x 2 EJERCICIOS PROPUESTOS2. 3x = 177 147 4. 3x/2 = 768 3 x 1 5. 243x-2 = 10 0003. 51 4 2 285
  • 286. MATEMÁTICA BÁSICA I6. 3 x = 243 15. . 32x – 7 . 3x – 3 456 = 07. 5x-3x = 625 779 375 16. 2 . 5x - -3 = 0 5x 2 7x 128. x x =1 15 247 17. 3x+1 + 3x-2 - = 3x 1 3x 2 x 4 18x2 869. 6 = 7 776 18. 3x+1 - 3x-2 - 3x-3 + 3x-4 = 75010. 2x+1 + 4x = 80 19. 32x . 52x-3 = 7x-1 . 4x+311. 3x + 9x = 6 642 20. 2x+3 = 192 . 3x-312. 2x+3 + 4x+1 = 320 4 2 2 4 x-1 (a b) 2 x13. 52x – 7 . 5x – 450 = 0 21. (a – 2ª b + b ) = (a b) 214. 72x – 6 . 7x + 5 = 0 22. a . a3 . a5 . a7 … a2x-1 = 11Aplicación: a = 2, n = 512 ; a = 2, n = 65 536 286
  • 287. MATEMÁTICA BÁSICA I LOGARITMOSHistoria: El calculo quedo muy simplificado a principios del siglo XVII(1614) con la invención de los logaritmos. Dio las pautas Vieta (1590) loreferente a los logaritmos.El varon Napier o Neper de Menchistaun (Escoces, 1500-1617) inventolos logaritmos, que le costo mas de 20 años razonan las propiedades y laexistencia de los logaritmos. En la que  es la base del logaritmo natural. 1 1 1 1 .......... .. 0! 1! 2! n!Operacional muchas tablas y 1630 los logaritmos formaban parte delequipo de los astrónomos.Briggs (ingles 1561-1631) publico su tabla en base diez y es utilizadasimultáneamente.Definición: Es el exponente, a la que se debe elevar un numero llamadobase; para encontrar el número dado.Clases: Tal como hemos indicado en la ligera historia de los logaritmos:1. Logaritmos Naturales o Neperianos, cuya base es el numero trascendente epsilon 2.718281828......(Ln)2. Logaritmos comunes vulgares de Briggs, cuya base es el numero diez(10) (log) 287
  • 288. MATEMÁTICA BÁSICA I Propiedades: I. Los números negativos no tienen logaritmos. II. EL logaritmo del numero UNO (1) es (0). III. El logaritmo de los números mayores que el número uno (1) son positivos. IV. El logaritmo de los números mayores que cero (0) y menores que el numero uno (1) son negativos. V. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de las expresiones a efectuar; log a, b, c log a log b log c VI. El logaritmo de un cociente, es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. ab log log a log b log c log d cdVII. El logaritmo de una potencia es igual a la potencia por el log de la base a nb m log n log n m log b u log c cuVIII. El logaritmo de una raíz, es igual al logaritmo de la expresión sub- radical, dividido entre el índice de la raíz. a mb y m log a y log b x log c u log d log n c xd u n 288
  • 289. MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIO RESUELTO x1. log x log 288 3 log 2 x log x 3 log log 288 2 x log 3 log 288 x 2 x 288 x3 8 8 x 288 x 3 8 288 x 2 288 x 8 x 36 x 6 x1 6 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. x + y = 65 6. log x – log 288 = 3 log x/2 2. x2 + y2 = 425 7. log x + log y = 2 3. logx = = log24 - log 8 8. x4 + y4 = 641 4. 2logx = log 192 + log ¾ 9. 2log x + 2 log y = 2 5. log x = 3 log 18 – 4 log 12 10. log x + log y = 3 289
  • 290. MATEMÁTICA BÁSICA I 11. 5x2 – 3y2 = 11 300 18. 116x-7y = 14 641 12. log x - log 5 = 0,5 19. log x + log y = 3/2 13. log x + 2 log y = 1,505150 20. log x – log y = 1/2 14. 2 log y – log x = 0,124939 21. 3x . 4y = 3 981 312 15. log3+2logx+logy = 1,732393 22. 2y . 5x = 400 000 x 16. logx – log 5 = log 10 23. x y 2 17. 53x-2y = 3 125 24. (x + y) 3x = 279 936 290
  • 291. MATEMÁTICA BÁSICA I CAPÍTULO VII RELACIONESEstablecer una relación en matemática es utilizado con frecuencia; así,como en la vida cotidiana: “es igual a”, “es menor que b”; “es congruentea”; etc. Una de las relaciones más importantes es la:7.1 RELACIÓN BINARIA Si se tienen dos conjuntos A y B; se denomina relación binaria al conjunto formado con un elemento de A y otro, de B; en ese orden: Ej: A = {a; b; c; d} y B = {f; g; h} R. B. = { (a; f) ; (a; h) ; (d; f) ……. } Las Relaciones Binarias se representan entre paréntesis. Al conjunto A se le denomina Dominio o Primera Proyección y al Conjunto B: Recorrido o segunda Proyección. Se denomina Relación Inversa y se representa R-1 a la relación que existe entre B y A. Existen también relaciones: Ternaria; lo mismo que N-ARIA cuando intervienen tres o más conjuntos: PROPIEDADES DE LAS RELACIONES BINARIAS Una relación binaria R entre elementos de un conjunto A puede ser: 1) reflexiva : x: x A (x; x) R. 291
  • 292. MATEMÁTICA BÁSICA I 2) no reflexiva : x/x A (x; x) R. 3) a-reflexiva : x: x A (x; x) R. La propiedad 2 es la negación de la propiedad reflexiva. En el caso 3 ninguna cupla con elementos iguales pertenece a la relación. 4) simétrica : (a; b) R (b; a) ‟R‟ 5) no – simétrica : (a; b) R / (b; a) R. 6) a-simétrica : (a; b) R (b; a) R. 7) anti-simétrica : [(a; b) R (b; a) R] a=b 8) transitiva : [(a; b) R (b; c) R] (a; c) R 9) No-transitiva : (a; b) R (b; c) R / (a; c) R 10) a-transitiva : [(a; b) R (b; c) R] (a; c) R 11) lineal o conexa : [a A b A a b] (a;b) R v (b;a) R Ley de tricotomía: a A, b A: a R b v b R a v a = b TIPOS DE RELACIONES Las relaciones binarias definidas en un conjunto pueden cumplir o no las propiedades anteriores. Las relaciones más usuales en matemática son: a) Relaciones de equivalencia. b) Relaciones de orden. c) Relaciones funcionales o aplicaciones. 292
  • 293. MATEMÁTICA BÁSICA I7.2 RELACIONES DE EQUIVALENCIA Definición: una relación binaria R en un conjunto A es de equivalencia si y sólo si es reflexiva, simétrica y transitiva. O sea, una relación binaria R (simbolizada ) en un conjunto A es una relación de equivalencia si y sólo si posee las siguientes propiedades: E1 : a A a a E2 : a b b a E3 : [a b b c] a c Ejemplos: a) La relación de “congruencia módulo n” para n número natural, definida en el conjunto de los números enteros, es una relación de equivalencia. Sea Z el conjunto de los enteros y a b3 a – b = 3q con q Z. E1 : a Z, a – a = 0 a a3 E2 : a Z, b Z, a – b = 3q b - a = 3 (-q) o sea a b3 b a3 E3 : a Z, b Z, c Z, [a – b = eq b – c = 3q‟] a – c = 3 (q + q‟) = 3h o sea [a b3 b a3] a c3 b) Otras relaciones de equivalencia: A = {a/a número natural} y R: “idéntico a” 293
  • 294. MATEMÁTICA BÁSICA I B = {b/b círculo en el plano euclídeo} y R: “tiene igual radio que” C = {c/c triángulo en el plano euclídeo} y R: “tiene igual área que” D = {p/p es una proposición} y R: “sí y sólo sí” Clases de equivalencia y conjunto cociente Ya se ha probado que la relación de congruencia módulo n, definida sobre el conjunto Z de los enteros, es una relación de equivalencia. Si se considera en especial la congruencia módulo 3, esta relación separa a los números enteros en tres clases no vacías y disjuntas: Z0 = {......., -9, -6, -3, 0, 3, 6.....} Z1 = {......., -8, -5, -2, 1, 4, 7.....} Z3 = {......., -7, -4, -1, 2, 5, 8.....}7.3 PARTICIÓN DE UN CONJUNTO La serie de lemas anteriores permite demostrar, según ya se ha indicado, que toda relación de equivalencia definida en un conjunto separa a sus elementos, de manera única, en clases no vacías y disjuntas dos a dos, es decir, establece una partición del conjunto dado. Definición: Un conjunto {A1, A2, A3, A4,......} de subconjuntos no vacíos de un conjunto A es una partición de A si y sólo si: 294
  • 295. MATEMÁTICA BÁSICA I 1) A es la unión de A1, A2, A3 ...... es decir, A = U A. 2) La intersección de dos subconjuntos distintos es el conjunto vacío. Además, toda partición de un conjunto define sobre el mismo una relación de equivalencia. Se llega así, al siguiente enunciado, básico en el estudio de relaciones de equivalencia.7.4 RELACIONES DE ORDEN Las colecciones ordenadas abundan en matemáticas: puntos de una recta, números naturales, etc. La noción es tan fundamental e intuitiva que aparece en la vida cotidiana: se ordenan libros, sillas, alumnos, etc. ¿Cuál es el significado intuitivo de un “orden”? Simplemente, dados dos objetos x e y, x “precede a” y, o y “precede a” x. Usualmente en el caso de puntos de una recta horizontal “precede” significa “a la izquierda de”; en el caso de números naturales, significa “menor que”; en el caso de calles que corren de norte a sur, “precede” significa “al este de”, etc. En matemática, el concepto de orden admite distintas variantes. Se habla de orden amplio, estricto, parcial, total, de buena ordenación, etc. 1) Orden Amplio Definición: Una relación binaria R definida en un conjunto A es de orden amplio sí y sólo sí es reflexiva, antisimétrica y transitiva. 295
  • 296. MATEMÁTICA BÁSICA I Es decir, A1 : x A xRx A2 : (x R y y R x) x=y A3 : (x R y y R x) xRz Ejemplos: a) En z = {x/x número entero} se define a b c número natural o cero tal que a + c = b b) En z = {x/x número entero} se define a b c Z/b = a.c c) Sea A = {1,2,3,4,5} y la relación caracterizada por x y x = y o el camino de x a y tiene el sentido indicado en el diagrama: 1 2 3 5 4 2) Orden Estricto Definición: Una relación binaria R definida en un conjunto A es de orden estricto sí y sólo si es a-reflexiva, a-simétrica y transitiva. Es decir, S1 : xRy x y S2 : xRy yRx S3 : (x R y y R z) xRz 296
  • 297. MATEMÁTICA BÁSICA ILa relación R de orden estricto se indica “ ”Ejemplos:a) Z = {x/x número entero} y a b c N /a + c = bb) A = {a, b, c, d}y R = { (a;b) , (a;c), (a;d); (b;c), (b;d), (c;d) }3) Orden parcial y totalSi un conjunto A está ordenado en forma amplia o estricta segúnlas condiciones anteriores, pueden existir elementos del conjuntopara los cuales a R b b R a, es decir, elementos nocomparables según la relación dada. En esta situación el ordendefinido es parcial.Es decir, el conjunto de propiedades A1, A2 y A3 es de ordenparcial amplio y el conjunto S1, S2 y S3 es de orden parcialestricto.Si a las propiedades de orden amplio se agrega la propiedad linealse obtiene un orden total amplio. Si a las de orden estricto seañade la ley de tricotomía, el orden es total y estricto.En ambos casos no existen elementos incomparables.Ejemplos:a) La relación R, definida en el ejemplo anterior, es de orden estricto total.b) La relación definida en el tercer ejemplo de orden amplio es parcial, pues existen elementos incomparables. Por ejemplo: 4 R 5 5 R 4 4 5 297
  • 298. MATEMÁTICA BÁSICA I Es conveniente aclarar que las denominaciones de orden varían según los autores. Algunos prefieren considerar simplemente la siguiente clasificación: 1) Orden parcial: relación reflexiva, antisimétrica y transitiva. 2) Orden lineal: relación a-reflexiva, lineal y transitiva. 4) Buena ordenación Interesan especialmente los conjuntos ordenados donde cada subconjunto no vacío tiene primer elemento o elemento mínimo. Un elemento a, perteneciente a un conjunto totalmente ordenado A, es primer elemento de A sí y sólo si (x A x a) a R x- Definición: Una relación binaria R definida en A es de buena ordenación sí y sólo si es de orden total y todo subconjunto no vacío de A tiene primer elemento.7.5 POSTULADO DE CANTOR – DEDEKIND Los puntos de una recta orientada son coordinables con los números: - ................ –3 -2 -1 0 1 2 3 ............ + 298
  • 299. MATEMÁTICA BÁSICA IDISTANCIA ENTRE DOS PUNTOSEs igual al punto terminal menos el punto inicial, en valor absoluto. P1(X1) P2(X2)P1P2 = /X2 - X1/DIVISIÓN DE UN SEGMENTOMediante una razón: P1(X1) P(x) P2(X2) p1 p ----------- = r p p2 x – x1 ----------- = r x2 – x x – x1 = r (x2 – x) x – x1 = rx2 – rx x + rx = x2r + x1 x (1+r) = r x2 + x1 x1 + r x 2 x = -------------------- ; para r -1 1+r 299
  • 300. MATEMÁTICA BÁSICA I7.6 SISTEMA CARTESIANO RECTANGULAR Es la intersección perpendicular de dos semi-rectas orientadas. y ordenada x abscisa 0 Dibujar una figura para cada ejercicio. EJERCICIOS RESUELTOS 1. Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: (-5) y (6); (3) y (-7); (-8) y (-12). A B A B -5 0 6 0 3 6 AB b 5 11u AB 6 3 3u A B A B -8 -7 0 -12 -8 0 AB 7 8 1u AB 8 12 4u 300
  • 301. MATEMÁTICA BÁSICA I2. Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento dirigido cuyos extremos son los puntos (-7) y (-19). x1 x2 -19 -7 0 1 19 7 x1 rx2 3 x x 1 r 1 1 19 7 3 x 1 1 64 x 13 x 3 4 3 r 1 x 163. Los vértices de un triángulo rectángulo son los puntos (1, -2), (4,-2), (4,2). Determinar las longitudes de los catetos, y después calcular el área del triángulo y la longitud de la hipotenusa. y BC 4 AB 3 x C(4,2) AC 16 9 AC 5u x 4 3 x x A A(1,-2) B(4,-2) 2 A 6u 2 301
  • 302. MATEMÁTICA BÁSICA I 4. Los vértices de un cuadrilátero son los puntos (1, 3), (7, 3), (9,8) y (3, 8). Demostrar que el cuadrilátero es un paralelogramo y calcular su área. 3 3 0 m1 7 1 6 D=(3,8) C=(9,8) 8 8 0 m2 9 3 6 AB // CD h=5u 8 3 5 m3 3 1 2 8 3 5 A=(1,3) 6u B=(7,3) m4 9 7 2 AD // BC A 6 5 30u 2 EJERCICIOS PROPUESTOS 5. La distancia entre dos puntos es 9. Si uno de los puntos es (- 2), hallar el otro punto. (Dos casos). 6. En un sistema coordenado lineal, P1(x1) y P2(x2) son los puntos extremos dados de un segmento dirigido. Demostrar que la coordenada (x) de un punto P que divide a P1P2 en la razón dada r=P1P : PP2 es: x1 + rx2 x = --------------, r -1. 1+r 302
  • 303. MATEMÁTICA BÁSICA I7. Haciendo r = 1 en la fórmula obtenida en el ejercicio 6, demostrar que la coordenada del punto medio de un segmento rectilíneo es la media aritmética de las coordenadas de sus puntos extremos.8. Un extremo de segmento dirigido es el punto (-8) y su punto medio es (3). Hallar la coordenada del otro extremo.9. Los extremos de un segmento dirigido son los puntos P 1(4) y P2(-2). Hallar la razón P2P: PP1 en que el punto P(7) divide a este segmento.10. Un cuadrado, de lado igual a 2a, tiene su centro en el origen y sus lados son paralelos a los ejes coordenados. Hallar las coordenadas de sus cuatro vértices.11. Tres vértices de un rectángulo son los puntos (2, -1), (7, -1) y (7,3). Hallar el cuarto vértice y el área del rectángulo.12. En el triángulo rectángulo del ejercicio 13, determinar primero los puntos medios de los catetos y, después, el punto medio de la hipotenusa.13. Hallar la distancia del origen al punto (a, b).14. Hallar la distancia entre los puntos (6, 0) y (0, -8).15. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos (-1, 1) y (3,1). Hallar las coordenadas del tercer vértice. (Dos casos).16. Demostrar que los puntos (-5, 0), (0, 2) y (0, -2) son los vértices de un triángulo isósceles, y calcular su área.17. Demostrar que los puntos (0, 0), (3, 4), (8, 4) y (5, 0) son los vértices de un rombo, y calcular su área. 303
  • 304. MATEMÁTICA BÁSICA I7.7 CARÁCTER DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA La Geometría elemental, conocida ya del lector, se llama Geometría pura para distinguirla del presente estudio. Acabamos de ver que por medio de un sistema coordenado es posible obtener una correspondencia biunívoca entre puntos y números reales. Esto, como veremos, nos permitirá aplicar los métodos del Análisis a la Geometría, y de ahí el nombre de Geometría analítica. Al ir avanzando en nuestro estudio veremos, por ejemplo, cómo pueden usarse, ventajosamente, los métodos algebraicos en la resolución de problemas geométricos. Recíprocamente, los métodos de la Geometría analítica pueden usarse para obtener una representación geométrica de las ecuaciones y de las relaciones funcionales. El concepto de sistema coordenado, que caracteriza a la Geometría analítica, fue introducido por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes (1596-1650). Por esta razón, la Geometría analítica se conoce también con el nombre de Geometría cartesiana. Por la parte que toma en la unificación de las diversas ramas de las matemáticas, la introducción de la Geometría analítica representa uno de los adelantos más importantes en el desarrollo de las matemáticas. En Geometría pura, el estudiante recordará que, generalmente, era necesario aplicar un método especial o un artificio, a la solución de cada problema; en Geometría analítica, por el contrario, una gran variedad de problemas se pueden resolver muy fácilmente por medio de un procedimiento uniforme asociado con el uso de un sistema coordenado. El estudiante debe tener siempre presente que está siguiendo un curso de Geometría 304
  • 305. MATEMÁTICA BÁSICA I analítica y que la solución de un problema geométrico no se ha efectuado por Geometría analítica si no se ha empleado un sistema coordenado. Según esto, un buen plan para comenzar la solución de un problema es trazar un sistema de ejes coordenados propiamente designados. Esto es de particular importancia en los primeros pasos de la Geometría analítica, porque un defecto muy común del principiante es que si el problema que trata de resolver se le dificulta, está propenso a caer en los métodos de la Geometría pura. El estudiante deberá hacer un esfuerzo para evitar esta tendencia y para adquirir el método y espíritu analítico lo más pronto posible.7.8 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DADOS Sean P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos dados cualesquiera. Vamos a determinar la distancia d entre P1 y P2, siendo d = /P1 P2/. Por P1 P2 tracemos las perpendiculares P1 A y P2D a ambos ejes coordenados, como se indica en la figura, y sea E su punto de intersección. Consideremos el triángulo rectángulo P1 EP2. Por el teorema de Pitágora, tenemos: d2 = P1P22 = P22 + EP12 Y B P1(x1,y1) C A X‟ X O P2(x2,y2) D E Y‟ 305
  • 306. MATEMÁTICA BÁSICA I Las coordenadas de los pies de las perpendiculares a los ejes coordenados son A (x1, 0), B (0, y1), C (x2, 0), D (0, y2). Luego, por el teorema 1 (Art. 3) tenemos: P2E = CA = x1 - x2, EP1 = DB = y1 – y2 Sustituyendo estos valores en (1), obtenemos: de donde, d2 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 , d= (x1 x 2 )2 (y1 y 2 )2 Este resultado se anuncia como sigue: Teorema 2. La distancia d entre dos puntos P 1 (x1 , x2) y P2 (x2 , x2) está dada por la fórmula: d= (x1 x 2 )2 (y1 y 2 )2 Dibujar una figura para cada ejercicio. EJERCICIOS RESUELTOS 1. Los vértices de un triángulo son A (3, 8), B (2, -1) y C (6, -1). Si D es el punto medio del lado BC, calcular la longitud de la mediana AD. Y 2 2 A(3,8) d x2 x y2 y1 x 2 2 d 3 4 8 1 d 1 81 d 82 X x x B(2,-1) C(6,-1) M(4,-1) 306
  • 307. MATEMÁTICA BÁSICA I2. Determinar la ecuación algebraica que expresa el hecho de que el punto (x, y) equidista de los dos puntos (-3, 5), (7, -9). Y A(-3,5) x X AP PB 2 2 2 2 x 3 y 5 x 7 y 9 x B(7,-9) x 2 6 x 9 y 2 10 y 25 x 2 14 x 49 y 2 18 y 81 Rta : 5 x 7 y 24 0 EJERCICIOS PROPUESTOS3. Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son (-3, - 1), (0, 3), (3, 4), (4, -1).4. Demostrar que los puntos (-2, -1), (2, 2), (5, -2), son los vértices de un triángulo isósceles.5. Demostrar que los puntos (2, -2), (-8, 4), (5, 3) son los vértices de un triángulo rectángulo, y hallar su área.6. Demostrar que los tres puntos (12, 1), (-3, -2), (2, -1), son colineales, es decir, que están sobre una misma línea recta. 307
  • 308. MATEMÁTICA BÁSICA I 7. Demostrar que los puntos (0, 1), (3, 5), (7, 2), (4, -2) son los vértices de un cuadrado. 8. Demostrar que los cuatro puntos (1, 1), (3, 5), (11, 6), (9, 2) son los vértices de un paralelogramo. 9. Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos (0, 0), (1, 2), (3, -4). Sugestión. 10. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el punto (3, -2). Si la abscisa del otro extremo es 6 hallar su ordenada. (Dos soluciones).Ecuación de la mediatriz EJERCICIO RESUELTO 11. Los puntos medios de los lados de un triángulo son: (2, 5), (4, 2) y (1, 1). Hallar las coordenadas de los tres vértices. Sean los puntos extremos Y B(5,6) A x1; y1 B x2 ; y2 y C x3 ; y3 x Utilicemos la formula de x los puntos medios A(-1,4) x1 x2 y1 y2 x ;y 2 2 X 1) AB : x1 x2 22 4 2) BC : x2 x3 2(4) 8 x C(3,-2) 3) AC : x1 x3 2(1) 2 308
  • 309. MATEMÁTICA BÁSICA I Sumando las tres ecuaciones: 2 x1 x2 x3 14 x1 x2 x3 7 Resolviendo (1) (2) y (3) se tiene: x1 1; x2 5; x3 3 Procediendo en la misma forma para y: y1 4 ; y2 6 ; y3 2 Los puntos serán A 1;4 , B 5;6 , C 3; 2 EJERCICIOS PROPUESTOS12. Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos (-2, 3) y (6, -3).13. Los puntos extremos de un segmento son P1 (2, 4) y P2 (8, - 4). Hallar el punto P (x, y) que divide a este segmento en dos partes tales que P2P : PP1 = -2.14. Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7, 8), y su punto medio es (4, 3). Hallar el otro extremo.15. Los extremos de un segmento son los puntos P1 (7, 4) y P2 (-1, -4). Hallar la razón P1P : PP2 en que el punto P (1, -2) divide al segmento.16. Los vértices de un triángulo son A (-1, 3), B (3, 5) y C (7, -1). Si D es el punto medio del lado AB y E es el punto medio del lado BC, demostrar que la longitud del segmento DE es la mitad de la longitud del lado AC.17. En el triángulo rectángulo del ejercicio 3, demostrar que el punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vértices. 309
  • 310. MATEMÁTICA BÁSICA I 18. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados sucesivos del cuadrilátero del ejercicio 1 forman un paralelogramo. 19. Los vértices de un triángulo son (2, -1), (-4, 7), (8, 0). Hallar, para cada una de las medianas, el punto de trisección más cercano al punto medio del lado correspondiente. Demostrar que este punto es el mismo para cada una de las medianas y, por tanto, que las medianas concurren en un punto. Este punto se llama baricentro del triángulo. 20. En el triángulo cuyos vértices son (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), demostrar que las coordenadas del baricentro son: (1/2 [x1 + x2 + x3] , ½ [y1 + y2 + y3] Utilizar este resultado para comprobar el ejercicio 19.7.9 PENDIENTE DE UNA RECTA Dos rectas al cortarse forman dos pares de ángulos opuestos por el vértice. Por tanto, la expresión “el ángulo comprendido entre dos rectas” es ambigua, ya que tal ángulo puede ser el o bien su suplemento el ß, para hacer una distinción entre estos dos ángulos, consideramos que las rectas están dirigidas y luego establecemos la siguiente. Se llama ángulo de dos rectas dirigidas al formado por los dos lados que se alejan del vértice. Se llama ángulo de inclinación de una recta el formado por la parte positiva del eje X y la recta, cuando ésta se considera dirigida hacia arriba. 310
  • 311. MATEMÁTICA BÁSICA IAsí, de acuerdo con las definiciones 1 y 2, el ángulo de inclinaciónde la recta l es , y el de l‟ es ‟. Evidentemente, puede tenercualquier valor comprendido entre 0° y 180°; es decir, su intervalode variación está dado por: 0° 180° (2)Para la mayor parte de los problemas de Geometría analítica,emplearemos más la tangente del ángulo de inclinación que elángulo mismo.Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta a latangente de su ángulo de inclinación.La pendiente de una recta se designa comúnmente por la letra m.Por lo tanto, podemos escribir. m = tg (1)Por (1) y (2) se ve que la pendiente puede tomar todos los valoresreales. Si es agudo, la pendiente es positiva, como para la rectal; si ‟ es obtuso, como para la recta l‟, la pendiente es negativa.Cualquier recta que coincida o sea paralela al eje Y seráperpendicular al eje X, y su ángulo de inclinación será de 90°.Como tg 90° no está definida, la pendiente de una recta paralelaal eje Y no existe. Podemos establecer, por lo tanto, que todarecta perpendicular al eje X no tiene pendiente. El estudianterecordará, probablemente la igualdad tg 90° = , cuyo significadodebe considerar muy cuidadosamente ya que no es un número.Es igualdad es una manera simbólica de expresar que, a medidaque el ángulo se aproxima más y más a 90°, tg se hace y 311
  • 312. MATEMÁTICA BÁSICA I permanece mayor que cualquier número positivo por grande que se suponga. Si P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la pendiente de la recta es: y1 y2 m = , x1 x2 x1 x2 Después, por el teorema 5, tenemos: 4 2 3 9 36 6 6 tg C = 4 2 27 8 7 1 , 3 9 de donde, C = 40°36‟. Dibujar una figura para cada ejercicio: EJERCICIOS RESUELTOS 1. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (-3, 2) y (7, -3). Y A(-3,2) d X B(7,-3) 312
  • 313. MATEMÁTICA BÁSICA I y2 y1 m x2 x1 2 3 5 1 m 3 7 10 5 1 tg 5 180 26.56505118 153.4349488; 153 266"2. Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos (-2, 1), (3, 4) y (5, -2). Comprobar los resultados. Y m1 mCB ; m2 mCA ; m3 m AB x B(3,4) 3 3 m1 3 ; m2 ; m3 7 5 13 tgA ; 54 10 18 A(-2,1) x 9 tgB ; 77 28 X 2 9 tgC ; 48 22 8 x C(5,-2)3. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 135°. Sabiendo que la recta final tiene una pendiente de –3, calcular la pendiente de la recta inicial. 135 m2 3 3 m tg135 1 3m1 tg135 1 3 m1 1 1 m1 1 3m1 2 313
  • 314. MATEMÁTICA BÁSICA I 4. Los vértices de un triángulo son los puntos (2, -2), (-1, 4) y (4, 5. Calcular la pendiente de cada uno de sus lados. 5. Demostrar, por medio de pendientes, que los puntos (9, 2), (11, 6), (3, 5) y (1, 1) son vértices de un paralelogramo. 6. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3, 2). La abscisa de otro punto de la recta es 4. Hallar su ordenada. 7. Una recta de pendiente –2 pasa por el punto (2, 7) y por los puntos A y B. Si la ordenada de A es 3 y la abscisa de B es 6, ¿cuál es la abscisa de A y cuál la ordenada de B?. 8. Tres de los vértices de un paralelogramo son (-1, 4), (1, -1) y (6, 1). Si la ordenada del cuarto vértice es 6, ¿cuál es la abscisa? 9. Demostrar que los puntos (1, 1), (5, 3), (8, 0) y (4, -2) son vértices de un paralelogramo, y hallar su ángulo obtuso. 10. Demostrar que los puntos (1, 1), (5, 3) y (6, -4) son vértices de un triángulo isósceles, y hallar uno de los ángulos iguales. 11. Hallar los ángulos del cuadrilátero cuyos vértices son los puntos (2, 5), (7, 3), (6, 1) y (0, 0). Comprobar los resultados. 12. Dos rectas se cortan forman un ángulo de 45°. La recta inicial pasa por los puntos (-2, 1) y (9, 7) y la recta final pasa por el punto (3, 9) y por el punto A cuya abscisa es –2. Hallar la ordenada de A. 13. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son A (1, -3), B (3, 3) y C (6, -1) empleando el seno del ángulo BAC. Sugestión. Ver apéndice IC, 12. 14. Por medio de las pendientes demuéstrese que los tres puntos (6, -2), (2,1) y (-2, 4) son colineales. 314
  • 315. MATEMÁTICA BÁSICA I15. Una recta pasa por los dos puntos (-2, -3), (4, 1). Si un punto de abscisa 10 pertenece a la recta, ¿cuál es su ordenada?16. Hallar la ecuación a la cual debe satisfacer cualquier punto P (x, y) que pertenezca a la recta que pasa por los dos puntos (2, -1), (7, 3). Si P(x; y) ; A(2; -1) y B(7; 3) pertenecen a una misma recta; entonces: 3 1 y 1 mAB mAP 7 2 x 2 Resolviendo 4 x 5 y 13 017. Hallar la ecuación a la cual debe satisfacer cualquier punto P (x, y) que pertenezca a la recta que pasa por el punto (3, -1) y que tiene una pendiente igual a 4.18. Demostrar que la recta que pasa por los dos puntos (-2, 5) y (4, 1) es perpendicular a la que pasa por los dos puntos (-1, 1) y (3, 7).19. Una recta l1 pasa por los puntos (3, 2) y (-4, -6), y otra recta l2 pasa por el punto (-7, 1) y el punto A cuya ordenada es –6. Hallar la abscisa del punto A, sabiendo que l1 es perpendicular a l2.20. Demostrar que los tres puntos (2, 5), (8, -1) y (-2, 1) son los vértices de un triángulo rectángulo, y hallar sus ángulos agudos.21. Demostrar que los cuatro puntos (2, 4), (7,3), (6, -2) y (1, -1) son vértices de un cuadrado y que sus diagonales son perpendiculares y se dividen mutuamente en partes iguales. 315
  • 316. MATEMÁTICA BÁSICA I 22. Demostrar que los cuatro puntos (2, 2), (5, 6), (9, 9) y (6, 5) son vértices de un rombo y que sus diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio. RESUMEN DE FÓRMULAS A intervalos apropiados el estudiante debe construir tablas que comprendan un sumario de los resultados obtenidos. En tales tablas se apreciará a simple vista no solamente las relaciones importantes sino también algunas analogías o propiedades comunes; también servirán para reducir a un mínimo los resultados que deben aprenderse de memoria. Como ejemplo, presentamos a continuación un resumen, en forma de tabla, de los principales resultados obtenidos en este capítulo. El estudiante debe tener estos resultados claramente definidos en su mente, y, en particular, debe notar el paralelismo entre la condición geométrica por una parte y su representación analítica por otra. Condición Geométrica Representación analíticaLongitud P1P2 de un segmento de recta dirigido,P1P2 con punto inicial P1 y punto final P2.P1P2 coincidiendo con el eje X: P1 (x10), P2 (x20).P1P2 paralelo al eje X: P1 (x1, y), P2 (x2, y), y0. P1P2 = x2 - x1P1P2 coincidiendo con el eje Y: P1 (0, y1), P2 (0,y2). P1P2 paralelo al eje Y: P1 (x, y1), P2 (x, y2), x 0. P1P2 = y2 - y1Distancia d entre dos puntos dadosP1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) d= (x1 x 2 )2 (y1 y 2 )2 316
  • 317. MATEMÁTICA BÁSICA ICoordenadas (x, y) del punto P que divide al x 1 rx 2 xsegmento rectillíneo dirigido P1P2, con puntos 1 r r -1extremos dados P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) en la y 1 ry 2 yrazón dada r = P1P : PP2. 1 rCoordenadas (x, y) del punto medio del x1 rx 2 xsegmento dirigido, P1P2 cuyos extremos dados 2son los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) y1 ry 2 y 2Pendiente m de la recta que pasa por los dos y1 y2 m , x1 x2puntos dados diferentes P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) x1 x2Angulo formado por dos rectas con pendiente Tginicial m1 y pendiente final m2 m 2 m1 , m1m 2 1 1 m1 m 2Condición necesaria y suficiente para el m1 = m2paralelismo de dos rectas dadas de pendientesm1 y m2Condición necesaria y suficiente para laperpendicularidad de dos rectas dadas de m1 m2 = -1.pendientes m1 y m27.10 DISCUTIR Y GRAFICAR UNA ECUACIÓN Discutir una ecuación es estudiar la ecuación en sus diferentes características: a) Intersección con los ejes coordenados.- Cada una de las variables de la ecuación se igualan a cero. Se resuelven las ecuaciones y se hallan los puntos de intersección. En caso 317
  • 318. MATEMÁTICA BÁSICA I de no obtener un número real; o se hace infinito: la recta no tiene intersección con los ejes coordenados. b) Simetría.- Cuando un punto de la curva, tiene otro punto a igual distancia. Se nota a simple vista observando la ecuación. Si la variable “y” tiene potencias pares, es simétrico al eje “x”. Si la variable “x” tiene potencias pares, es simétrico al eje “y”. Si ambas potencias están elevadas a potencias pares, es simétrico al origen. c) Extensión.- Cuando las variables toman cualquier valor: son abiertas; caso contrario: cerrados. d) Asintontas.- Son rectas a la que la curva se aproxima y no tienen ningún punto común únicamente las ecuaciones que presentan productos de variables tienen asíntotas. Para hallar la asíntota: los denominadores se igualan a cero, al resolverlas se hallan las asíntotas. 318
  • 319. MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOSEn cada uno de los ejercicios 1-25 discútase la ecuación estudiante lasintercepciones, simetría y extensión. Después trácese la gráficacorrespondiente.Observaciones:1ro Si la ecuación es de la forma ax by c 0 ; es una recta, será suficiente hallar dos puntos P 0; 1 y P2 ;0 y graficar:1. 5x + 4y – 20 = 0 5x 4 y 20 Y Si P 0;5 1 P2 4;0 X 5x+4y=202. 3x – 2y = 02da Si la ecuación es de la forma: ax 2 ay 2 c Observe que los coeficientes son iguales y el termino independiente es positivo; se trata de una circunferencia con centro en el origen de coordenadas: 319
  • 320. MATEMÁTICA BÁSICA I Ejemplo:3. 3x2 + 3y2 – 10 = 0 Hallemos el radio despejando una de las incógnitas; representar con cero a la otra: 1.1 y 0 x 1.1 -1.1 1.1 -1.14. 3x2 + 4y2 – 12 = 0 3ra Si la ecuación es de la forma: ax 2 by 2 c Observe que los coeficientes son diferentes y el termino independiente positivo: se trata de una elipse despeje cada incógnita separadamente y halle sus vértices. Ejemplo:5. 4x2 + 3y2 – 12 = 0 2 4 x 2 3 y 2 12 -1.7 y 0 x 1.7 1.7 x 0 y 2 -24ta Si la ecuación es de la forma ax 2 by 2 c Uno de los coeficientes es negativo, se refiere a una hipérbola. Los puntos de intersección se hallan, igualando a acero la segunda incógnita. 320
  • 321. MATEMÁTICA BÁSICA I X6. 4x2 - 9y2 – 36 = 0 4x 2 9 y 2 36 y 0 x 3 -3 3 Y7. 9x2 - 4y2 – 36 = 05ta En los otros casos; discuta y grafique las ecuaciones:8. 16x2 – y = 0 y 16x 2 a) Intersección con los ejes: x 0 y 0 pasa por el origen: x y 0 0 1 16 b) Simetría: y y Varia la ecuación, uso simétrico a x x x No varia la ecuación simétrico al eje y c) Extensión: abierta toma todos los valores Y d) Asuntotas: no tiene x x Parábola X 321
  • 322. MATEMÁTICA BÁSICA I9. 16y2 - x = 0 18. x2 – 6x + y2 = 010. x2 - y2 – 9 = 0 19. x2 + y2 – 2x – 2y = 1411. y = x3 + x2 – 9x – 9 20. x2 – 4x – 4y + 16 = 012. 8x3 – y = 0 21. x2 + 4x + 3y + 1 = 013. x8 – x – y = 0 22. y2 – 2x – 8y + 12 = 014. x4 – 9x2 – y = 0 23. x2 + 4y2 – 2x – 16y + 13 = 015. x – y4 + 9y2 = 0 24. 4x2 – y2 – 2y = 216. x2 – y8 = 0 25. y2 – 9x2 – 18x – 8y – 2 = 017. x2 + y2 – 4y = 0En cada uno de los siguientes ejercicios, construir la curvacorrespondiente a la ecuación dada. EJERCICIOS RESUELTOS1. xy – 2y – 3 = 0 Solución Sean f (x,y):xy-2y-3=0 I. Intersecciones a) Con el eje X: Si y 0 0 2(0) 3 0 3 0 No hay intersección 322
  • 323. MATEMÁTICA BÁSICA I b) Con el eje Y: Si x 0 2y 3 0 y 3 P 0, 3 2 2II. Simetría: a) Con el eje X: f x, y : x y 2 y x 2y 3 0 f x, y f x, y No es simétrica b) Con el eje Y: f x, y : x y 2y 3 xy 2 y 3 0 f x, y f x, y No es simétrica c) Con el origen: f x, y : x ( y) 2( y) 3 xy 2 y 3 0 f x, y f x, y No es simétricaIII. Extensión a) Dominio de la ecuación: y f (x) 3 y x R 2 Dominio = ,2 2, x 2 b) Rango de la ecuación: x f ( y) 2y 3 y y R 0 Rango = ,0 0, yIV. Asíntotas a) Asíntotas Horizontales: yx 2 y 3 0 y 0 es una A.H. b) Asíntotas Verticales: ( x 2) y 3 0 x 2 es una A.V.V. Tabla de Valores 3 y X 3 5 1 -1 x 2 Y 3 1 -3 -1 323
  • 324. MATEMÁTICA BÁSICA I Si x>2 y es (+) Si x<2 y es (-) VI. Trazado de la gráfica y 0 x 2 P2. xy – 3y – x = 0 Solución Sean f (x,y):xy-3y-x=0 I. Intersecciones a) Con el eje X: Si y 0 0 0 x 0 x 0 b) Con el eje Y: Si x 0 0 3y 0 0 y 0 La curva pasa por el origen II. Simetría: a) Con el eje X: f x, y : x y 3 y x xy 3 y x 0 f x, y f x, y No es simétrica c) Con el eje Y: f x, y : x y 3y x xy 3 y x 0 f x, y f x, y No es simétrica 324
  • 325. MATEMÁTICA BÁSICA I d) Con el origen: f x, y : x ( y) 3( y) ( x) xy 3 y x 0 f x, y f x, y No es simétricaIII. Extensión a) Dominio de la ecuación: y f (x) x y x R 3 Dominio = ,3 3, x 3 b) Rango de la ecuación: x f ( y) 3y y y R 1 Rango = ,1 1, y 1IV. Asíntotas a) Asíntotas Horizontales: y 1 x 3 y 0 y 1 es una A.H. b) Asíntotas Verticales: ( x 3) y x 0 x 3 es una A.V.V. Tabla de Valores x y x 4 6 2 -3 x 3 y 4 2 -2 -1/2 Si x>3, la curva se extiende encima de la recta y=1. Si x<3, la curva se extiende debajo de la recta y=1.VI. Trazado de la gráfica y 1 0 x 3 P 325
  • 326. MATEMÁTICA BÁSICA I3. xy – 2x – 2y + 2 = 0 Solución Sean f (x,y): xy-2x-2y+2=0 I. Intersecciones a) Con el eje X: Si y 0 2x 2 0 x 1 A(1,0) b) Con el eje Y: Si x 0 2y 2 0 y 1 B(0,1) II. Simetría: a) Con el eje X: f x, y : xy 2x 2 y 2 0 f x, y f x, y No es simétrica b) Con el eje Y: f x, y : xy 2x 2 y 2 0 f x, y f x, y No es simétrica c) Con el origen: f x, y : xy 2x 2 y 2 0 f x, y f x, y No es simétrica III. Extensión a) Dominio de la ecuación: y f (x) 2x 2 y x R 2 Dominio = x 2 ,2 2, b) Rango de la ecuación: x f ( y) 2y 2 y y R 2 Rango = ,2 2, y 2 IV. Asíntotas a) Asíntotas Horizontales: y 2 x 2y 2 0 y 2 0 y 2 b) Asíntotas Verticales: ( x 2) y 2x 2 0 x 2 0 x 2 326
  • 327. MATEMÁTICA BÁSICA I V. Tabla de Valores 2x 2 y x 3 6 -1 3/2 x 2 y 4 5/2 4/3 -2 Si x>3, la curva se extiende encima de la recta y=1. Si x<3, la curva se extiende debajo de la recta y=1. VI. Trazado de la gráfica y 2 0 x 2 P4. x2 + 2xy + y2 + 2x – 2y - 1 = 0 Solución Sean f (x,y): x 2 2 xy y2 2x 2 y 1 0 I. Intersecciones a) Con el eje X: Si y 0 x2 2x 1 0 x 1 2 b) Con el eje Y: Si x 0 y2 2y 1 0 x 1 2 II. Simetría: a) Con el eje X: f x, y : x 2 2 xy y2 2x 2 y 1 0 f x, y f x, y No es simétrica b) Con el eje Y: f x, y : x 2 2 xy y2 2x 2 y 1 0 f x, y f x, y No es simétrica 327
  • 328. MATEMÁTICA BÁSICA I c) Con el origen: f x, y : x 2 2 xy y2 2x 2y 1 0 f x, y f x, y No es simétrica III. Extensión a) Dominio de la ecuación: y 2 2x 1y x2 2x 1 0 2 y x 1 x 1 x2 2x 1 1 x 2 4x y 2 4x 0 x 1 Dominio = ,1 2 2 b) Rango de la ecuación: x 2 2 y 1x y2 2y 1 0 2 y y 1 y 1 y2 2y 1 y 1 4y 2 y 4y 2 0 x 1 Rango = 1 , 2 2 IV. Asíntotas Como los coeficientes de x 2 e y 2 son constantes, la curva de la ecuación dado no tiene asíntotas horizontales y verticales. V. Tabla de Valores y 1 x 2 4x x 1/4 1/4 -1/2 -1/2 y 7/4 -1/4 7/2 -1/2 VI. Trazado de la gráfica y P 0 x 328
  • 329. MATEMÁTICA BÁSICA I5. x3 + y2 – 4y + 4 = 0 Solución Sean f (x,y): x 3 y2 4y 4 0 I. Intersecciones a) Con el eje X: Si y 0 x3 4 0 x 3 4 A(3 4 ,0) b) Con el eje Y: Si x 0 y2 4y 4 0 y 2 B(0,2) II. Simetría: a)Con el eje X: f x, y : x 3 y2 4y 0 f x, y f x, y No es simétrica b)Con el eje Y: f x, y : x 3 y2 4y 4 0 f x, y f x, y No es simétrica c) Con el origen: f x, y : x 3 y2 4y 4 0 f x, y f x, y No es simétrica III. Extensión a) Dominio de la ecuación: y f (x) 2 y 2 x3 y 2 x x y x 0 x 0 Dominio = ,0 b) Rango de la ecuación: x f ( y) x 3 4y y2 4 y , es real. Rango = R IV. Asíntotas Como los coeficientes de las variables x 3 e y 2 son constantes, la curva no tiene asíntotas horizontales ni verticales. 329
  • 330. MATEMÁTICA BÁSICA I V. Tabla de Valores y 2 x x x -1 -1 -2 -2 y 1 3 -0.82 4.82 VI. Trazado de la gráfica y B x A 06. y3 – x2 + 3y2 + 2x + 3y = 0 Solución La ecuación podemos transformarla del siguiente modo: 3 2 y3 3y 2 3y 1 x2 2x 1 0 f x, y : y 1 x 1 I. Intersecciones 2 a) Con el eje X: Si y 0 x 1 1 x 1 1ó x 1 1 x 2ó x 0 A(2,0) y 0(0,0) 3 b) Con el eje Y: Si x 0 y 1 1 y 0 0(0,0) II. Simetría: a) Con el eje X: f x, y : y 1 3 x 1 2 f x, y f x, y No es simétrica 3 2 b) Con el eje Y: f x, y : y 1 x 1 f x, y f x, y No es simétrica 330
  • 331. MATEMÁTICA BÁSICA I 3 2 c) Con el origen: f x, y : y 1 x 1 f x, y f x, y No es simétricaIII. Extensión a) Dominio de la ecuación: y f (x) 3 2 y 1 x 1 y, x R Dominio =R b) Rango de la ecuación: x f ( y) 3 y 1 y 1 x y 1 0 y 1 Rango = 1,IV. Asíntotas Como los coeficientes de las variables x2 e y3 son constantes, la curva no tiene asíntotas horizontales ni verticales.V. Tabla de Valores 3 2 y 1 x 1 x 1 3 -1 -2 y -1 0.58 0.58 1.08VI. Trazado de la gráfica y B x A 0 331
  • 332. MATEMÁTICA BÁSICA I7. x2y – 4y – x = 0 Solución Sean f (x,y): x 2 y 4 y x 0 I. Intersecciones a) Con el eje X: Si y 0 x 0 b) Con el eje Y: Si x 0 y 0 La curva pasa por el origen. II. Simetría: a) Con el eje X: f x, y : x 2 y 4 y x 0 f x, y f x, y No es simétrica b) Con el eje Y: f x, y : x 2 y 4 y x 0 f x, y f x, y No es simétrica c) Con el origen: f x, y : x 2 y 4 y x x2 y 4 y x 0 f x, y f x, y No es simétrica III. Extensión x a) Dominio de la ecuación: y f ( x) y 2 x 4 y x 2 Dominio = R-{-2,2} b) Rango de la ecuación: x f ( y) yx 2 x 4y 0 1 1 16 y 2 x x y 0 Rango =R-{0} 2y IV. Asíntotas a) Asíntotas Horizontales: yx 2 x 4y 0 y 0 b) Asíntotas Verticales: x 2 4 y x 0 x2 4 0 x 2 332
  • 333. MATEMÁTICA BÁSICA I V. Tabla de Valores x y 2 x 1 -1 3 -3 x 4 y -1/4 1/43/ 3/5 -3/5 VI. Trazado de la gráfica y -2 0 2 x8. x2y – xy – 2y – 1 = 0 Solución Sean f (x,y): x 2 y xy 2 y 1 0 I. Intersecciones a) Con el eje X: Si y 0 1 0 No hay intersección b) Con el eje Y: Si x 0 2y 1 0 y 1 A(0, 1 ) 2 2 La curva pasa por el origen. II. Simetría: a) Con el eje X: f x, y : x 2 y xy 2 y 1 0 f x, y f x, y No es simétrica b) Con el eje Y: f x, y : x 2 y xy 2 y 1 0 f x, y f x, y No es simétrica c) Con el origen: f x, y : x 2 y xy 2 y 1 0 f x, y f x, y No es simétrica 333
  • 334. MATEMÁTICA BÁSICA I III. Extensión 1 a) Dominio de la ecuación: y f ( x) y x 2 x 1 y x 2, x 1 Dominio = R-{2,-1} b) Rango de la ecuación: x f ( y) yx 2 yx (2 y 1) 0 y 9y2 4y De donde: x x 9y2 4y 0 y 0 2y x 1 ó y 4 Rango = , 4 0, 9 9 IV. Asíntotas a) Asíntotas Horizontales: yx 2 yx 2 y 1 0 y 0 b) Asíntotas Verticales: x 2 x 2y 1 0 x2 x 2 0 x 1 ó x 2 V. Tabla de Valores 1 y x 1 3 -2 -3 x 2 x 1 y -1/2 1/43/ 1/4 1/10 VI. Trazado de la gráfica y -1 0 2 x 334
  • 335. MATEMÁTICA BÁSICA I9. x2 – xy + 5y = 0 Solución Sean f (x,y): x 2 xy 5 y 0 I. Intersecciones Como la ecuación carece de término independiente la curva pasa por el origen. II. Simetría: a) Con el eje X: f x, y : x 2 xy 5 y 0 f x, y f x, y No es simétrica b) Con el eje Y: f x, y : x 2 xy 5 y 0 f x, y f x, y No es simétrica c) Con el origen: f x, y : x 2 xy 5 y 0 f x, y f x, y No es simétrica III. Extensión x2 a) Dominio de la ecuación: y f ( x) y x 5 y x 5 Dominio = R-{5} 1 b) Rango de la ecuación: x f ( y) x y y2 20 y 2 x y 2 20 y 0 y 0 ó y 20 Rango = ,0 20, IV. Asíntotas a) Asíntotas Horizontales: No tiene b) Asíntotas Verticales: 5 x y x 2 0 5 x 0 x 5 c) Asíntotas Oblicuas: y=mx+k (1) 335
  • 336. MATEMÁTICA BÁSICA I Sustituyendo en la ecuación dada y ordenando términos se tiene: 1 m x 2 5m k x 5k 0 y 1 m 0 m 1 y 5m k 0 k 5 Luego, en (1): y x 5 V. Tabla de Valores x2 y x 4 6 -2 -5 x 5 y -16 363/ -4/7 -5/2 VI. Trazado de la gráfica y 2 0 y=x+5 5 -1 0 5 x10. x2y – x2 – 4xy + 4y = 0 Solución Sean f (x,y): x 2 y x 2 4 xy 4 y 0 I. Intersecciones Como la ecuación carece de término independiente la curva pasa por el origen. II. Simetría: a) Con el eje X: f x, y : x 2 y x 2 4 xy 4 y 0 f x, y f x, y No es simétrica b) Con el eje Y: f x, y : x 2 y x 2 4 xy 4 y 0 336
  • 337. MATEMÁTICA BÁSICA I f x, y f x, y No es simétrica c) Con el origen: f x, y : x 2 y x 2 4 xy 4 y 0 f x, y f x, y No es simétricaIII. Extensión x2 a) Dominio de la ecuación: y f ( x) y 2 x 2 y x 2 Dominio = R-{2} b) Rango de la ecuación: x f ( y) y 1 x 2 4 yx 4 y 0 x 2y 4y2 y 1 4y 2y 2 y x y 0 Rango = 0,IV. Asíntotas a) Asíntotas Horizontales: y 1 x 2 4 yx 4 y 0 y 1 2 b) Asíntotas Verticales: x 2 y x 2 0 x 2 0 x 2V. Tabla de Valores 2 x y x 1 3 6 -2 x 2 y 1 93/ 1/4 9/4VI. Trazado de la gráfica y 1 0 2 x 337
  • 338. MATEMÁTICA BÁSICA I11. x2y2 - 4x2 – 4y2 = 0 Solución Sean f (x,y): x 2 y 2 4 x 2 4 y 2 0 I. Intersecciones a) Con el eje X. Si y 0 4x 2 0 x 0 b) Con el eje Y. Si x 0 4y2 0 y 0 El origen es un punto que pertenece a la gráfica. II. Simetría: Como todos los términos de la ecuación dada son de grado par, la curva es simétrica respecto de los ejes X e Y, y al origen. III. Extensión 2x a) Dominio de la ecuación: y f ( x) y 2 x 4 y x2 4 0 x2 4 x 2ó x 2 Dominio = , 2 2, 2y b) Rango de la ecuación: x f ( y) x 2 y 4 x y2 4 0 y2 4 y 2 ó y 2 Rango = , 2 2, IV. Asíntotas a) Asíntotas Horizontales: y 2 4 x2 4y2 0 y2 4 0 y 2 ó y 2 b) Asíntotas Verticales: x 2 4 y 2 4 x 2 0 x2 4 0 x 2 ó x 2 338
  • 339. MATEMÁTICA BÁSICA I V. Tabla de Valores 2x y x 5/2 4 -5/2 -4 x2 4 y 3.3 3/ 2.3 3.3 2.3 VI. Trazado de la gráfica y 2 -2 0 2 x -212. x3 – xy2 + 2 y2 = 0 Solución Sean f (x,y): x 3 xy 2 2y2 0 I. Intersecciones a) Con el eje X. Si y 0 x3 0 x 0 b) Con el eje Y. Si x 0 2y2 0 y 0 La curva pasa por el origen. II. Simetría: Como la variable y es de grado par, la curva es simétrica sólo con el eje X. III. Extensión: x VII. Dominio de la ecuación: y f ( x) y x x 2 339
  • 340. MATEMÁTICA BÁSICA I x y 0 x 0 ó x 2 x 2 Dominio = ,0 2, IV. Asíntotas a) Asíntotas Horizontales: No tiene b) Asíntotas Verticales: 2 x y 2 x3 0 2 x 0 x 2 c) Asuntotas Oblicuas: y=mx+k (1) Sustituyendo en la ecuación dada y ordenando términos se tiene: 1 m 2 x 3 2 m 2 mk x 2 k 2 4mk x 2k 2 0 Entonces: 1 m 2 0 m1 0 ó m2 1 m 2 mk 0 k1 1 ó k2 1 Luego, en (1), las asíntotas oblicuas de la curva son L1 : y x 1 y L2 y x 1 V. Tabla de Valores x x 3 4 -1 -2 y x 2 y 5.2 3/ 5.6 0.57 1.41 VI. Trazado de la gráfica y L1 0 2 x L2 340
  • 341. MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOS13. xy - 2x – 1 = 0 20. xy2 – 9x – y – 1 = 014. x4 + y4 = 16 21. xy2 + xy - 2x - 2 = 015. x3 + x – y = 0 22. xy2 + 2xy – y2 + x = 016. xy 3x – y = 0 23. x2y – x2 + xy + 3x = 217. x4 – 4x2 – y = 0 24. xy2 – y2 – xy + y = 018. x2 – 2xy + y2 – 6x – 6y + 3 = 0 25. y3 + x2y – x2 = 019. x3 – 3x2 – y2 + 3x – 2y - 2 = 0Dibujar una figura para cada ejercicio. EJERCICIOS RESUELTOS1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (1, 5) y tiene pendiente 2. Solución Según la forma (1), la ecuación de la recta es: y 5 2( x 1) L : 2x y 3 02. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (-6, -3) y tiene un ángulo de inclinación de 45°. Solución Como m Tg m Tg 45 1 Según la forma (1): y 3 1( x 6) L: x y 3 0 341
  • 342. MATEMÁTICA BÁSICA I3. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es –3 y cuya intercepción con el eje Y es –2. Solución Tenemos: m=-3 y b=-2 Según la forma (2): y 3x 2 L : 3x y 2 04. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos A (4, 2) y B (-5, 7). Solución 2 7 Según la forma (3): y 2 ( x 4) 4 5 De donde: L : 5 x 9 y 38 05. Los vértices de un cuadrilátero son A (0, 0), B (2, 4), C (6, 7), D (8, 0). Hallar las ecuaciones de sus lados. Solución Según la fórmula (3) se tiene: 4 0 AB: y 0 ( x 0) AB: 2 x y 0 2 0 7 4 BC: y 7 ( x 6) BC: 3x 4 y 10 0 6 2 0 7 CD: y 0 ( x 8) BC: 7 x 2 y 56 0 8 6 AD= y 0 (Ecuación del eje X) y C B x A0 D 342
  • 343. MATEMÁTICA BÁSICA I6. Los segmentos que una recta determina sobre los ejes X y Y son 2 y –3, respectivamente. Hallar su ecuación. Solución Tenemos a=2 y b=-3, entonces por la forma (4): x y 1 L : 3x 2 y 6 0 2 37. Una recta pasa por los dos puntos A (-3, -1) y B (2, -6). Hallar su ecuación en la forma simétrica. Solución 6 1 Según la forma (3): y 1 ( x 3) 2 3 De donde: L : x y 4 x y Dividiendo entre -4 se tiene, L : 1 4 48. Una recta de pendiente –2 pasa por el punto A (-1, 4). Hallar su ecuación en la forma simétrica. Solución Por la forma (1): y 4 2( x 1) L : 2x y 2 x y Dividiendo entre 2 se tiene, L : 1 1 29. Una recta pasa por el punto A (7, 8) y es paralela a la recta C (-2, 2) y D (3, -4). Hallar su ecuación. Solución 4 2 6 Si L1 es la recta que pasa por C y D, entonces m1 3 2 5 6 , luego: y 8 6 Si L L1 m m1 x 7 5 5 De donde: L : 6 x 5 y 82 0 343
  • 344. MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOS10. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento A (-3, 2), B (1, 6). y P B L 0 x11. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (-2, 4), y determina sobre el eje X el segmento –9.12. Demostrar que los puntos A (-5, 2), B (1, 4) y C (4, 5) son colineales hallando la ecuación de la recta que pasa por dos de estos puntos.13. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento que los ejes coordenados determinan en la recta 5x + 3y – 15 = 0.Los ejercicios 14 – 21 se refieren al triángulo cuyos vértices son A (-2, 1),B (4, 7) y C (6, -3).14. Hallar las ecuaciones de los lados.15. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el vértice A y es paralela al lado opuesto BC.16. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el vértice B y trisecan al lado opuesto AC.17. Hallar los vértices del triángulo formado por las rectas que pasan por los vértices A, B y C y son paralelas a los lados opuestos. 344
  • 345. MATEMÁTICA BÁSICA I18. Hallar las ecuaciones de las medianas y las coordenadas de su punto de intersección.19. Hallar las ecuaciones de las mediatrices de los lados y las coordenadas de su punto de intersección. Este punto se llama circuncentro.20. Hallar las ecuaciones de las alturas y su punto de intersección. Este punto se llama ortocentro.21. Hallar las coordenadas del pie de la altura correspondiente al lado AC. A partir de estas coordenadas hállese la longitud de la altura y luego el área del triángulo.22. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es –4, y que pasa por el punto de intersección de las rectas 2x + y – 8 = 0 y 3x – 2y + 9 = 0.23. Las ecuaciones de los lados de un cuadrilátero son 3x – 8x + 36 = 0, x + y – 10 = 0, 3x – 8y – 19 = 0 y x + y + 1 = 0. Demostrar que la figura es un paralelogramo, y hallar las coordenadas de sus vértices.24. Hallar el área del triángulo rectángulo formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecuación es 5x + 4y + 20 = 0.25. Las coordenadas de un punto P son (2, 6), y la ecuación de una recta l es 4x + 3y = 12. Hallar la distancia del punto P a la recta l siguiendo en orden los siguientes pasos: a) Hallar la pendiente del, b) Hallar la ecuación de la recta l‟ que pasa por P y es perpendicular a l, c) Hallar las coordenadas de P‟, punto de intersección de l y l‟, d) Hallar la longitud del segmento PP‟.26. El punto P de ordenada 10 está sobre la recta cuya pendiente es 3 y que pasa por el punto A (7, -2). Calcular la abscisa de P. 345
  • 346. MATEMÁTICA BÁSICA I27. Determinar el valor de los coeficientes A y B de la ecuación Ax – By + 4 = 0 de una recta, si debe pasar por los puntos C (-3, 1) y D (1, 6).28. Las ecuaciones de los lados de un triángulo son 5x – 7y + 27 = 0, 9x – 2y – 15 = 0 y 4x + 5y + 11 = 0. Hallar sus ángulos y comprobar los resultados.29. Deducir la ecuación de la recta cuya pendiente es m y determina sobre el eje X el segmento a. Compárese este resultado con la ecuación de una recta conocida su pendiente y su ordenada en el origen, dada en el Artículo 27.30. Una recta pasa por los dos puntos A (-1, 3) y B (5, 4). Escríbase su ecuación en forma de determinante. Verifíquese el resultado desarrollando el determinante. 346
  • 347. MATEMÁTICA BÁSICA I7.11 ANGULO DE INCLINACIÓN O ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Es el ángulo formado por el eje “x” y el lado de la recta contrahoraria. y x7.12 PENDIENTE DE UNA RECTA Se denomina así a la tangente de la recta en posición normal. y x m = tgd 347
  • 348. MATEMÁTICA BÁSICA I7.13 FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA En los artículos precedentes hemos visto que la ecuación de unarecta cualquiera, en el plano coordenado, es de la forma lineal. Ax + Bx + C = 0, (1)En donde ya sea A o B debe ser diferente de cero y C puede o no serigual a cero. La ecuación (1) se llama la forma general de la ecuación deuna recta.Ahora consideraremos el problema inverso, a saber, la ecuación lineal(1), ¿representa siempre una línea recta? Para contestar a esta preguntaexaminaremos las dos formas posibles de la ecuación (1) con respecto alcoeficiente de y, es decir, las formas para B = 0 y B 0.Caso I. B = 0. Si B = 0, entonces A 0, y la ecuación (1) se reduce a laforma C x = - (2) APero (2) es de la forma x = k, de la que anteriormente se demostró quees la ecuación de una recta paralela al eje Y (Art. 18).Caso II. B 0. B 0, podemos dividir la ecuación (1) por B, y entoncespor trasposición se reduce a la forma: A C y = x B B 348
  • 349. MATEMÁTICA BÁSICA IPero (3) está en la forma y = mx + b (Art. 27) y, por tanto , es la Aecuación de una recta cuya pendiente es - y cuya ordenada en el B Corigen es - . BSolución. Representemos por Ax + By + C = 0 la ecuación de todas lasrectas paralelas a l. Por el apartado (a) del teorema 6 se verifica. A B 7 , o sea, B A 5 7 5Por tanto, la ecuación de todas las rectas paralelas a l es: 7A Ax - y C 0 5de donde, 5C 5x – 7y + = 0, Ao sea, 5x – 7y + k = 0, (6) 5Cen donde k = es una constante arbitraria. ASi la recta (6) debe pasar por el punto (4, 2), las coordenadas debensatisfacer (6). Por tanto: 5.4–7.2+k=0de donde k = -6, y la recta buscada es 5x – 7y – 6 = 0 349
  • 350. MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOSDibujar una figura para cada ejercicio.1. Transformar la forma general de la ecuación de una recta a la forma simétrica. Establecer las restricciones a que deben estar sometidos los coeficientes para permitir esta transformación.2. Hallar la ecuación de la recta, determinando los coeficientes de la forma general, que pasa por el punto (-2, 4) y tiene una pendiente igual a –3.3. Hallar la ecuación de una recta, determinando los coeficientes de la forma general, si los segmentos que determina sobre los ejes X y Y, es decir, sus intercepciones, son 3 y –5, respectivamente.4. Hallar la ecuación de la recta, determinando los coeficientes de la forma general, que es perpendicular a la recta 3x – 4y + 11 = 0 y pasa por el punto (-1, -3).5. Hallar el valor de k para que la recta kx + (k – 1) y – 18 = 0 sea paralela a la recta 4x + 3y + 7 = 0.6. Determinar el valor de k para que la recta k 2x + (k + 1) y + 3 = 0 sea perpendicular a la recta 3x – 2y – 11 = 0.7. Hallar la pendiente e intercepciones de la recta 7x – 9y + 2 = 0.8. Hallar la pendiente, ángulo de inclinación y las intercepciones de la recta que pasa por el punto (2, 3) y es perpendicular a la recta 2x – 7y + 2 = 0.9. Determinar el valor de k para que la recta 4x + 5y + k = 0 forme con los ejes coordenados un triángulo rectángulo de área igual a 2 ½ unidades cuadradas. 350
  • 351. MATEMÁTICA BÁSICA I10. En las ecuaciones ax + (2 – b) y –23 = 0 y (a – 1 ) x + by + 15 = 0 hallar los valores de a y b para que representen rectas que pasan por el punto (2, -3).11. Demostrar que la recta que pasa por los puntos (4, -1) y (7, 2) bisecta al segmento cuyos extremos son los puntos (8, -3) y (-4, - 3).12. Demostrar que las rectas 2x – y – 1 = 0, x – 8y + 37 = 0, 2x – y – 16 = 0 y x – 8y + 7 = 0 forman un paralelogramo, y hallar las ecuaciones de sus diagonales.13. Demostrar que las rectas 5x – y – 6 = 0, x + 5y – 22 = 0, 5x – y – 32 = 0 y x + 5y + 4 = 0 forman un cuadrado.14. Demostrar que los ángulos suplementarios formados por las dos rectas Ax + By + C = 0 y A‟x + B‟y + C‟ = 0 están dados por las fórmulas: A B AB tg = AA BB15. Hallar el ángulo agudo formado por las rectas 4x – 9y + 11 = 0 y 3x + 2y – 7 = 0.16. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (2, -1) y que forman cada una un ángulo de 45° con la recta 2x – 3y + 7 = 0.17. A partir del resultado del ejercicio 14, deducir las condiciones necesarias y suficientes para el paralelismo y perpendicularidad de dos rectas, dadas en los apartados (a) y (b) del teorema 6, artículo 30.18. Si k es una constante cualquiera diferente de cero, demuéstrese que todo punto que esté sobre la recta Ax + By + C = 0 también estará sobre la recta k Ax + kBy + kC = 0. Por tanto, dedúzcase la 351
  • 352. MATEMÁTICA BÁSICA I condición necesaria y suficiente para la coincidencia de dos rectas, dada en el apartado (c) del teorema 6, artículo 30.19. Por medio de determinantes obténgase la condición necesaria y suficiente para que las dos rectas Ax + By + C = 0 y A‟x + B‟y + C‟ = 0 se corten en uno y solamente un punto, dada en el apartado (d) del teorema 6, Artículo 30.20. Si tres rectas se cortan en un punto común, se dice que son concurrentes. Si las tres rectas A1x + B1y + C1 = 0, A2x + B2y + C2 = 0 y A3x + B3y + C3 = 0 son concurrentes, demuéstrese que sus coeficientes satisfacen la condición. A1 B1 C1 A2 B2 C2 = 0 A3 B3 C321. Demostrar que las tres rectas 3x – 5y + 7 = 0, 2x + 3y - 8 = 0 y 6x – 7y + 8 = 0 son concurrentes.22. Demostrar analíticamente que las medianas de cualquier triángulo son concurrentes.23. Demostrar analíticamente que las mediatrices perpendiculares a los lados en su punto medio en cualquier triángulo son concurrentes.24. Demostrar analíticamente que las alturas de cualquier triángulo son concurrentes.25. Los vértices de un triángulo son (1, 1), (4, 7) y (6, 3). Demostrar que el baricentro (punto de intersección de las medianas), el circuncentro (punto en donde los signos del radical se escogen de acuerdo con el teorema 8, Artículo 32. Por tanto, (18) es la ecuación de la bisectriz l1. 352
  • 353. MATEMÁTICA BÁSICA IAnálogamente, de (17) tenemos como ecuación de la bisectriz l 2, Ax By C A x B y C 2 2 2 2 A B A BEste resultado conduce al siguiente.Teorema 11. Las ecuaciones de las bisectrices de los ángulossuplementarios formados por dos rectas que se cortan, Ax + By + C = 0 yA‟x + B‟y + C‟ = 0 son: Ax By C A x B y C A2 B2 A2 B2 Ax By C A x B y C A2 B2 A 2 B´2en donde los signos de los radicales se escogen de acuerdo con elteorema 8, Artículo 32.Ejemplo 2. Los vértices de un triángulo son A (-2, 3), B (5, 5) y C (4, -1).Hallar la ecuación de la bisectriz del ángulo interior ACB.Solución. Sea 1 la bisectriz buscada. Por el teorema 3. Artículo 27, lasecuaciones de los lados BC y AC son: 6x – y – 25 = 0 y 2x + 3y – 5 = 0respectivamente.Sea P (x,y) un punto cualquiera sobre l, y representemos por d 1 y d2 lasdistancias dirigidas de los lados BC y AC, respectivamente, al punto P.Entonces, como P y el origen están al mismo lado de BC y de lados 353
  • 354. MATEMÁTICA BÁSICA Iopuestos de AC, el teorema 10 se deduce que d1 = -d2. Por tanto, por elteorema 11, la ecuación de la bisectriz l es 6x y 25 2x 3y 5 62 1 22 32la cual, simplificada, toma la forma 6 13 2 37 x 13 3 37 y 25 3 5 37 0 EJERCICIOS PROPUESTOSDibújese una figura para cada ejercicio:1. Hallar la distancia de la recta 4x – 5y + 10 = 0 al punto P (2, -3).2. Hallar la distancia dirigida de la recta x + 2y + 7 = 0 al punto P (1, 4).3. Los vértices de un triángulo. 354
  • 355. MATEMÁTICA BÁSICA I CAPÍTULO VIII LA CIRCUNFERENCIAINTRODUCCIÓNDespués de la recta, la línea más familiar al estudiante es lacircunferencia, pues la conoce desde sus primeros estudios deGeometría elemental. La circunferencia es como un ejemplo específicode lugar geométrico.8.1 ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA; FORMA ORDINARIA La ecuación de la circunferencia se obtendrá a partir de la siguiente: DEFINICIÓN Circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano. El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante se llama radio. TEOREMA 1 La circunferencia cuyo centro es el punto (h,k) y cuyo radio es la constante, tiene por ecuación (x - h)2 + (y - k)2 = r2 Demostración.- Sea P (x, y) (fig.1) un punto cualquiera de la circunferencia de centro C (h,k) y radio r. Entonces, por definición 355
  • 356. MATEMÁTICA BÁSICA I de circunferencia, el punto P debe satisfacer la condición geométrica / CP / = r, (1) la cual, por distancia 1, esta expresada, analíticamente por la ecuación (x - h) 2 (y - k) r 2 de donde, (x - h)2 + (y - k)2 = r2 . Recíprocamente, sea P1 (x1, y1) un punto cualquiera cuyas coordenadas satisfacen la ecuación (2) de manera que se verifica la igualdad (x1 - h)2 + (y1 - k)2 = r2 . De aquí se deduce, extrayendo la raíz cuadrada, (x1 - h) 2 (y1 - k) 2 r que es la expresión analítica de la condición geométrica (1) aplicada al punto P1. Por tanto, demostrados los teoremas directo y reciproco, resulta que (2) es la ecuación buscada. Y P(x,y) X O X r C(h,k) Para el caso particular en el centro C esta en el origen, h = K = O, y tenemos: Y 356
  • 357. MATEMÁTICA BÁSICA ICOROLARIO.- La circunferencia de centro en el origen y radio rtiene por ecuación X2 + y2 = r2Por el teorema 1 observamos que, si se conocen las coordenadasdel centro y la longitud del radio, la ecuación puede escribirseinmediatamente. Esto sugiere un método para obtener la ecuaciónde una circunferencia en cualquier problema dado; todo lo que senecesita es obtener las coordenadas del centro y la longitud delradio a partir de las condiciones dadas. La construcción de unacircunferencia, en geometría elemental implica la determinacióndel centro y el radio; el método allí empleado, aunque no siemprees el mas corto, puede usarse para obtener una geometríaanalítica, la ecuación de una circunferencia.EjemploHallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulocuyos vértices son P1 (-1, 1), P2 (3, 5) y P3 (5, -3).SoluciónLa construcción de la circunferencia que pasa por los tres puntosdados es un problema conocido de la Geometría elemental. Elmétodo consiste en construir las mediatrices l1 y l2,respectivamente, de dos cualesquiera de los lados, digamos P1 P2y P2 P3- La intersección C de l1 y l2 es el centro y la distancia de Ca uno cualquiera de los puntos P1, P2, P3 es el radio. Ahoradeterminaremos la ecuación de la circunferencia siguiendo estemismo método analíticamente. 357
  • 358. MATEMÁTICA BÁSICA I Por los métodos del Capítulo III, se puede demostrar rápidamente que las ecuaciones de las mediatrices l1 y l2 son x + y = 4 y x – 4y = 0, respectivamente. La solución común de estas dos ecuaciones 16 4 es x = , y = , de manera que las coordenadas del centro C 5 5 16 4 son , 5 5 Por el teorema 2 del Artículo 6, el radio está dado por 2 2 16 4 1 r = CP1 1 1 442 5 5 5 Por tanto, el teorema l anterior, la ecuación buscada es: 2 2 16 4 442 x y 5 5 25 Se recomienda al estudiante que verifique el hecho de que las coordenadas de los puntos P1, P2 y P3 satisfacen la ecuación hallada de la circunferencia.Dibujar una figura para cada ejercicio. EJERCICIOS RESUELTOS1. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro C (-3, -5) y radio 7. Solución 2 2 Por el teorema 1, la ecuación pedida es: x 3 y 5 492. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A (2, 3) y B (-4, 5). Hallar la ecuación de la curva. 358
  • 359. MATEMÁTICA BÁSICA I Solución y El centro C biseca al diámetro AB. 2 4 3 5 Entonces: C , C 1,4 2 2 B C A 2 2 r AC 2 1 3 4 10 B 0 x Luego, la ecuación buscada es: 2 2 x 1 y 4 103. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C (7, -6) y que pasa por el punto A (2, 2). Solución 2 2 Por definición: r CA 7 2 6 2 89 Luego, por el Teorema 1, la ecuación de la circunferencia es: 2 2 x 7 y 6 894. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C (2, -4) y que es tangente al eje Y. Solución Como h=distancia de C al eje Y r h 2 Luego, la ecuación de la circunferencia es: 2 2 x 2 y 4 45. Una circunferencia tiene su centro en el punto C (0, -2) y es tangente a la recta 5x – 12y + 2 = 0. Hallar su ecuación. 359
  • 360. MATEMÁTICA BÁSICA I Solución Por una propiedad de las tangentes: y L 5(0) 12( 2) 2 26 x r d C, L 2 0 25 144 13 r C Luego, la ecuación de la circunferencia es: 2 2 x 0 y 2 46. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (-4, - 1) y que es tangente la recta 3x + 2y – 12 = 0. Rp. x 4 2 2 y 1 527. La ecuación de una circunferencia es (x – 3)2 + (y + 4)2 = 36. Demostrar que el punto A (2, -5) es interior a la circunferencia y que el punto B (-4, 1) es exterior. Solución 2 2 En efecto: AC 3 2 4 5 2 6 Como AC r , entonces B es un punto exterior a la circunferencia.8. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 3x – 2y – 24 = 0, 2x + 7y + 9 = 0. Solución Si C(h, k ) L1 3h 2k 24 0 y si C(h, k ) L2 2h 7k 9 0 Al resolver el sistema de ecuaciones obtenemos: h=6 y k=-3 2 2 Luego, la ecuación buscada es: x 6 y 3 25 360
  • 361. MATEMÁTICA BÁSICA I9. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A (7, - 5) y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 7x – 9y – 10 = 0 y 2x – 5y + 2 = 0. Solución Si C(h, k ) ( L1 L2 ) C(4,2) 2 2 r AC 4 7 2 5 57 2 2 Luego, la ecuación de la circunferencia es: x 4 y 2 5810. Una cuerda de la circunferencia x2 + y2 = 25 está sobre la recta cuya ecuación es x – 7y + 25 = 0. Hállese la longitud de la cuerda. Solución Tenemos: x2 y2 25 (1) x 7y 25 (2) Sustituyendo (2) en (1) se tiene: 2 7 y 25 y2 25 y2 7 y 12 0 y1 3 ó y2 4 x1 4 ó x2 3 Luego, los extremos de la cuerda son: A(-4,3) y B(3,4) y su 2 2 longitud: AB 3 4 4 3 5 2 EJERCICIOS PROPUESTOS 361
  • 362. MATEMÁTICA BÁSICA I11. Hallar la ecuación de la mediatriz de la cuerda del ejercicio 10, y demostrar que pasa por el centro de la circunferencia.Los ejercicios 12-16 se refieren al triángulo cuyos vértices son A (-1, 0),B (2, 9/4) y C (5, 0).12. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el vértice A y que es tangente al lado BC.13. Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo.14. Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo.15. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos medios de los lados del triángulo.16. Demostrar que la circunferencia del ejercicio 15 pasa por los pies de las alturas del triángulo.17. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje X y que pasa por los dos puntos A (1, 3) y B (4, 6).18. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje Y y que pasa por los puntos A (2, 2) y B (6, -4).19. Una circunferencia pasa por los puntos A (-3, 3) y B (1, 4) y su centro está sobre la recta 3x – 2y – 23 = 0. Hállese su ecuación.20. Las ecuaciones de los lados de un triángulo son 9x + 2y + 13 = 0, 3x + 8y – 47 = 0 y x – y – 1 = 0. Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita.21. La ecuación de una circunferencia es x2 + y2 = 50. El punto medio de una cuerda de esta circunferencia es el punto (- 2, 4). Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita. 362
  • 363. MATEMÁTICA BÁSICA I22. La ecuación de una circunferencia es (x – 4)2 + (y – 3)2 = 20. Hallar la ecuación de la tangente a este círculo en el punto (6, 7).23. La ecuación de una circunferencia es (x + 4)2 + (y – 3)2 = 5. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia que pasa por el punto (3, 3). (Dos soluciones).24. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A (7, - 5) y es tangente a la recta x – y – 4 = 0 en el punto B (3, -1).25. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre la recta 6x + 7y – 16 = 0 y es tangente a cada una de las rectas 8x + 15y + 7 = 0 y 3x – 4y – 18 = 0. (Dos soluciones).8.2 FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Si desarrollamos la ecuación ordinaria (x – h)2 + (y – k)2 = r2, (1) obtenemos x2 + y2 – 2hx – 2ky + h2 + k2 – r2 = 0, lo cual puede escribirse en la forma x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (2) en donde D = -2h , E = -2k y F = h2 + k2 – r2 Se deduce, por lo tanto, que la ecuación de una circunferencia cualquiera puede escribirse en la forma (2), llamada forma general de la ecuación de la circunferencia. El problema que se presenta ahora es averiguar si, recíprocamente, toda ecuación de la forma 363
  • 364. MATEMÁTICA BÁSICA I general (2) representa una circunferencia. Para contestar esta pregunta, pasaremos de la forma (2) a la forma (1) empleando el método de completar cuadrados. Ordenando los términos de (2), resulta (x2 + Dx) + (y2 + Ey) = - F; D2 4 E2 y sumando a ambos miembros, obtenemos: 4 D2 E2 D2 E2 4F x2 Dx y2 Ey 4 4 4 de donde: 2 2 D E D2 E2 4F x y 2 2 4Comparando las ecuaciones (1) y (3), vemos que depende del valor delsegundo miembro es (3) el que (3) represente o no una circunferencia.Hay tres casos posibles por considerar:a) Si D2 + E2 – 4F 0, la ecuación (3) representa una circunferencia D E de centro en el punto , y radio igual a 2 2 1/ 2 D 2 E2 4F .b) Si D2 + E2 – 4F = 0, la ecuación (3) se dice, con frecuencia, que representa una circunferencia de radio cero; se dice también que es un círculo punto o círculo nulo. Desde nuestro punto de vista, 364
  • 365. MATEMÁTICA BÁSICA I sin embargo, la ecuación (3) representa un solo punto de D E coordenadas , . 2 2c) Si D2 + E2 – 4F 0, la ecuación (3) se dice que representa un círculo imaginario. En nuestra Geometría real, sin embargo, la ecuación (3) no representa, en este caso, un lugar geométrico. Aunque el caso (b) puede considerarse como un caso límite del caso (a), en adelante consideraremos que una ecuación representa una circunferencia solamente en el caso (a). Por tanto, tenemos el siguiente: TEOREMA 2 La ecuación x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 representa una circunferencia de radio diferente de cero, solamente si D2 + E2 – 4F 0. D E Las coordenadas del centro son, entonces, , y el radio 2 2 es 1/ 2 D 2 E2 4F . Nota. Si se da la ecuación de una circunferencia en la forma general, se aconseja al estudiante que no proceda mecánicamente, usando las fórmulas dadas en el teorema 2, para obtener el centro y el radio. En vez de esto, es conveniente que reduzca la ecuación a la forma ordinaria por el método de 365
  • 366. MATEMÁTICA BÁSICA I completar cuadrados, tal como se hizo en la deducción del teorema mismo. Ejemplo. Reducir las tres ecuaciones siguientes a la forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia. Si la ecuación representa una circunferencia hállense su centro y su radio. a) 2x2 + 2y2 – 10x + 6y – 15 = 0. b) 36x2 + 36y2 + 48x - 108y + 97 = 0. c) x2 + y2 – 8x + 6y – 29 = 0.Solución.a) Primero dividimos la ecuación por 2, coeficiente de x2, y pasamos al término independiente al segundo miembro. Esto nos da, después de volver a ordenar los términos. 15 (x2 – 5x) + (y2 + 3y) = 2 Para completar los cuadrados, sumamos el cuadrado de la mitad del coeficiente de x y el cuadrado de la mitad del coeficiente de y a ambos miembros. Esto nos da 25 9 15 25 9 x2 5x y2 3yx 4 4 2 4 4 que puede escribirse en la forma 366
  • 367. MATEMÁTICA BÁSICA I 2 2 5 3 x y 16 2 2 Por tanto, la ecuación dada representa una circunferencia cuyo 5 3 centro es , y cuyo radio es 4. 2 2b) Dividiendo la ecuación por 36, trasponiendo el término independiente, y volviendo a ordenar los términos, obtenemos: 4 97 x2 x y2 3y 3 36 Completando los cuadrados, resulta 4 4 9 97 4 9 x2 x y2 3y 3 9 4 36 9 4 de donde, 2 2 2 3 x y 0 3 2 Por tanto, el lugar geométrico de la ecuación (b) es el punto único. 2 3 , . 3 2c) Ordenando los términos y completando los cuadrados, obtenemos: (x2 – 8x + 16) + (y2 + 6y + 9) = -29 + 16 + 9 de donde, 367
  • 368. MATEMÁTICA BÁSICA I (x – 4)2 + (y + 3)2 = - 4 Por tanto, la ecuación (c) no representa ningún lugar geométrico real.8.3 DETERMINACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA SUJETA A TRES CONDICIONES DADAS En la ecuación ordinaria de la circunferencia. (Art. 39), (x – h)2 + (y – k)2 = r2 (1) hay tres constantes arbitrarias independientes, h, k y r. De manera semejante, en la ecuación general. (Art. 40) x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, (2) hay tres constantes arbitrarias independientes, D, E y F. Como la ecuación de toda circunferencia puede escribirse en cualquiera de las dos formas (1) o (2), la ecuación de cualquier circunferencia particular puede obtenerse determinando los valores de tres constantes. Esto requiere tres ecuaciones independientes, que pueden obtenerse a partir de tres condiciones independientes. Por tanto, analíticamente, la ecuación de una circunferencia se determina completamente por tres condiciones independientes. Geométricamente, una circunferencia queda, también, perfectamente determinada por tres condiciones independientes; así, por ejemplo, queda determinada por tres cualesquiera de sus puntos. El estudiante debe comparar estas observaciones con la discusión análoga sobre la recta. Vemos, por lo tanto, que además de estudiada tenemos ahora otro método para determinar la ecuación de una circunferencia. 368
  • 369. MATEMÁTICA BÁSICA IEjemplo 1. Determinar la ecuación, centro y radio de lacircunferencia que pasa por los tres puntos A (-1, 1), B (3, 5) y C(5, -3).Solución. Este problema es idéntico al ejemplo anterior.Supongamos que la ecuación buscada es, en la forma general. X2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, (2)En donde las constantes D, E y F deben ser determinadas.Como los tres puntos dados están sobre la circunferencia, suscoordenadas debe satisfacer la ecuación (2). De acuerdo conesto, tenemos las tres ecuaciones siguientes correspondiente alos puntos dados: (-1, 1) 1+ 1– D+ E+F=0 (3, 5) 9 + 25 + 3D + 5E + F = 0 (5, -3) 25 + 9 + 5D – 3E + F = 0que pueden escribirse más abreviadamente así: D - E -F=2 3D + 5E + F = - 34 5D – 3E + F = - 34La solución de este sistema de tres ecuaciones nos da 32 8 34 D=- , E=- , F = - , 5 5 5 369
  • 370. MATEMÁTICA BÁSICA I de manera que sustituyendo estos valores en (2), obtenemos 32 8 34 x2 + y2 - x- y- = 0, 5 5 5 o sea, 5x2 + 5y2 – 32x – 8y – 34 = 0 como ecuación de la circunferencia buscada. El centro y el radio se obtienen reduciendo la última ecuación a la forma ordinaria 2 2 16 4 442 x y 5 5 25 16 4 1 de donde el centro es , y el radio es 442 5 5 5 Ejemplo 2. Hallar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los puntos (6, 2), (8, 0) y cuyo centro está sobre la recta 3x + 7y + 2 = 0. Solución. Supongamos que la ecuación buscada, en la forma ordinaria, es (x – h)2 + (y – k)2 = r2 (1) Como el centro (h, k) está sobre la recta 3x + 7y + 2 = 0, sus coordenadas satisfacen la ecuación de la recta, y tenemos 3h + 7k + 2 = 0 (3) También, como los puntos (6, 2) y (8, 0) están sobre la circunferencia, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación (1). Por tanto, tenemos las dos ecuaciones. (6 – h)2 + (2 – k)2 = r2 (4) (8 – h)2 + k2 = r2 (5) 370
  • 371. MATEMÁTICA BÁSICA Ila solución del sistema formado por las tres ecuaciones (3), (4) y(5) con las tres incógnitas h, k y r da. h = 4, k = -2, r = 2 5Por tanto, la ecuación buscada es (x – 4)2 + (y + 2)2 = 20El centro es el punto (4, -2) y el radio es 2 5 . La gráfica apareceen la figura 55. En el Artículo 35 obtuvimos la ecuación de larecta que pasa por dos puntos dados diferentes en forma dedeterminante. Por un argumento semejante, podemos obtener laecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos dados, nocolineales, P1 (x1, y1), P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3), en formadeterminante. El resultado está dado por el siguiente: TEOREMA 3La ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos dadosno colineales P1 (x1, y1), P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3) viene dada por eldeterminante. x2 + y2 x y 1 x12 + y12 x1 y1 1 = 0 x22 + y22 x2 y2 1 x32 + y3 2 x3 y3 1 371
  • 372. MATEMÁTICA BÁSICA I Nota.- Esta forma es útil para determinar si cuatro puntos dados están o no sobre una circunferencia. Se dice que tales puntos son concíclicos. EJERCICIOS RESUELTOSDibujar una figura para cada ejercicio.En cada uno de los ejercicios l-3, reduciendo la ecuación dada a laforma ordinaria, determinar si representa o no una circunferencia. Si larespuesta es afirmativa, hallar su centro y su radio.1. 2x2 + 2y2 – 6x + 10y + 7 = 0.2. 4x2 + 4y2 – 28x - 8y + 53 = 0.3. 16x2 + 16y2 – 64x + 8y + 177 = 0.4. Hallar el área del círculo cuya ecuación es: 9x2 + 9y + 72x - 12y + 103 = 05. Hallar la longitud de la circunferencia cuya ecuación es: 25x2 + 25y2 + 30x - 20y - 62 = 06. Demostrar que las circunferencias 4x 2 + 4y2 – 16x + 12y + 13 = 0 y 12x2 + 17y2 – 48x + 36y + 55 = 0 son concéntricas.7. Demostrar que las circunferencias x2 + y + 4x + 6y – 23 = 0 y x2 + y – 8x – 10y + 25 = 0 son tangentes.8. Demostrar, por dos métodos, que las circunferencias x2 + y + 2x – 8y + 13 = 0 y 4x2 + 4y2 – 40x + 8y + 79 = 0 no se cortan. 372
  • 373. MATEMÁTICA BÁSICA IEn cada uno de los ejercicios 9-11, determinar la ecuación, centro y radiode la circunferencia que pasa por los tres puntos dados, usando elmétodo del ejemplo 1, artículo 41.9. (0, 0), (3, 6), (7, 0).10. (2, -2), (-1, 4), (4, 6).11. (4, -1), (0, -7), (-2, -3).12. Resolver el ejercicio 9 por el método del ejemplo del Artículo 39.13. Resolver el ejercicio 10 por el método del ejemplo 2, Artículo 41.14. Resolver el ejercicio 11 usando el determinante del teorema 3, Artículo 41.15. Por medio del teorema 3, Artículo 41, demostrar que los cuatro puntos (-1, -1), (2, 8), (5, 7), (7, 3) son concíclicos.16. Resolver el ejercicio 15 hallando la ecuación de la circunferencia que pasa por tres cualesquiera de los puntos y demostrando después que las coordenadas del cuarto punto satisfacen esta ecuación.17. Las ecuaciones de dos circunferencias diferentes son: X2 + y2 + D1x + Ey + F1 = 0 y x2 + y + D2x + E2y + F2 = 0Hallar las condiciones que deben satisfacer los coeficientes para quesean concéntricas.18. La ecuación de una circunferencia es 4x2 + 4y2 – 16x + 20y + 25 = 0. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica que es tangente a la recta 5x – 12y = 1. 373
  • 374. MATEMÁTICA BÁSICA I19. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia. x2 + y2 + x – 2y – 39 = 0 en el punto (4, 5).20. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (11, 4) y es tangente a la circunferencia x2 + y2 – 8x – 6y = 0. (Dos soluciones).21. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (.- 1, -4), (2, -1) y cuyo centro está sobre la recta 4x + 7y + 5 = 0.22. Una circunferencia de radio 5 es tangente a la recta 3x – 4y – 1 = 0 en el punto (3, 2). Hallar su ecuación (dos soluciones).23. Una circunferencia de radio 13 es tangente a la circunferencia x2 + y2 – 4x + 2y – 47 = 0 en el punto (6, 5). Hallar su ecuación (dos soluciones).24. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (1, 4) y es tangente a la circunferencia x2 + y2 + 6x + 2y + 5 = 0 en el punto (-2, 1).25. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (5, 9) y es tangente a la recta x + 2y – 3 = 0 en el punto (1, 1).26. Una circunferencia de radio 5 pasa por los puntos (0, 2), (7, 3). Hállese su ecuación. (Dos soluciones).27. Demostrar, analíticamente, que cualquier recta que pasa por el punto (-1, 5) no puede ser tangente a la circunferencia x2 + y2 + 4x - 6y + 6 = 0. Interpretar el resultado geométricamente. 374
  • 375. MATEMÁTICA BÁSICA I28. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre la recta 7x – 2y – 1 = 0 y que es tangente a cada una de las rectas 5x – 12y + 5 = 0 y 4x + 3y – 3 = 0. (Dos soluciones).29. Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo cuyos lados son 4x – 3y = 0, 4x + 3y – 8 = 0, y = 0.30. Una circunferencia que es tangente a un lado de un triángulo y a las prolongaciones de los otros dos lados se llama ex inscrita al triángulo., Hallar las ecuaciones de las tres circunferencias ex inscritas al triángulo del ejercicio 29.8.4 FAMILIAS DE CIRCUNFERENCIAS Ahora consideramos familias o haces de circunferencias de la misma manera como consideramos familias rectas. En anterior oportunidad demostramos que una circunferencia y su ecuación se determinan cada una por tres condiciones independientes. Una circunferencia que satisface menos de tres condiciones independientes no es, por lo tanto, única. La ecuación de una circunferencia que satisface solamente a dos condiciones, contiene una constante arbitraria llamada parámetro. Se dice entonces que tal ecuación representa una familia de circunferencias de un parámetro. Por ejemplo, la familia de todas las circunferencias concéntricas cuyo centro común es el punto (1, 2) tiene por ecuación (x – 1)2 + (y – 2)2 = k2 en donde el parámetro k es cualquier número positivo. 375
  • 376. MATEMÁTICA BÁSICA I Consideremos ahora el caso importante de la familia de curvas que pasan por las intersecciones de dos circunferencias dadas. Sean, C1 y C2 dos circunferencias diferentes dadas cualesquiera, cuyas ecuaciones son: C1 : x2 + y2 + D1x + E1y + F1 = 0 (1) 2 2 C2 : x + y + D2x + E2y + F2 = 0 (1) De (1) y (2) se deduce la ecuación x2 + y2 + D1x + E1y + F1 + k (x2 + y2 + D2x + E2y + F2) = 0 (3) en donde el parámetro k puede tomar todos los valores reales. Supongamos que los círculos C1 y C2 se cortan en dos puntos distintos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2). Como las coordenadas (x1, y1) de P1 satisfacen ambas ecuaciones (1) y (2), también satisfacen a la ecuación (3), y ésta se reduce entonces a la forma 0 + k = 0, que es verdadera para todos los valores de k. Análogamente, las coordenadas (x2, y2) de P2 que satisfacen ambas ecuaciones (1) y (2) satisfacen también a la ecuación (3) para todos los valores de k. Por tanto, la ecuación (3) representa la familia de curvas que pasan por las dos intersecciones de las circunferencias C 1 y C2. Para determinar la naturaleza de las curvas de esta familia, escribimos la ecuación (3) en la forma. k+1)x2 + (x+1)2 + (D1+kD2)x + (E1 + kE2)y + F1 + kF2 = 0 (4) Si k = -1, la ecuación (4) se reduce a una de primer grado y, por lo tanto, representa una línea recta. Pero, para cualquier otro valor de k, la ecuación (4) representa una circunferencia de acuerdo a 376
  • 377. MATEMÁTICA BÁSICA Ilo estudiado. En particular, para k = 0, la ecuación (4) se reduce ala ecuación C1.La ecuación (3) se particularmente útil para obtener la ecuaciónde una curva que pasa por las intersecciones de lascircunferencias dadas, ya que entonces no es necesariodeterminar las coordenadas de los puntos de intersección.Ejemplo. Las ecuaciones de dos circunferencias son: C1 : x2 + y2 + 7x - 10y + 31 = 0 C2 : x2 + y2 - x - 6y + 3 = 0Hallar la ecuación de la circunferencia C3 que pasa por lasintersecciones de C1 y C2 y tiene su centro sobre la recta l: x – y –2 = 0.Solución. La circunferencia buscada C3 es un elemento de lafamilia. x2 + y2 + 7x – 10y + 31 + k (x2 + y2 - x – 6y + 3= 0 (5)en donde el parámetro k debe determinarse por la condición deque el centro de C3 está sobre la recta l. El centro de cualquiercircunferencia de la familia (5) se halla fácilmente y sus k 7 3x 5coordenadas son , . Como estas coordenadas 2(k 1) k 1deben satisfacer la ecuación de l, tenemos k 7 3k 5 2 0 2 (k 1) k 1 377
  • 378. MATEMÁTICA BÁSICA I 3 de donde k = - . Sustituyendo este valor de k en (5) y 7 simplificando, obtenemos para ecuación de C3: x2 + y2 – 7x – 3y – 18 = 0 TEOREMA 4 Si las ecuaciones de dos circunferencias dadas cualesquiera C1 y C2 son: C1 : x2 + y2 + D1 x + E1y + F1= 0 C1 : x2 + y2 + D2 x + E2y + F2= 0 La ecuación x2 + y2 + D1x + E1y + F1 + k (x2 + y + D2x + E2y + F2) = 0 representa una familia de circunferencias todas las cuales tienen sus centros en la recta de los centros de C1 y C2. Si C1 y C2 se cortan en dos puntos diferentes, la ecuación representa, para todos los valores de k diferentes de –1, todas las circunferencias que pasan por los dos puntos de intersección C1 y C2, con la única excepción de C2 misma. Si C1 y C2 son tangentes entre sí, la ecuación representa, para todos los valores de k diferentes de –1, todas las circunferencias que son tangentes a C1 y C2 en su punto común, con la única excepción de C2 misma. 378
  • 379. MATEMÁTICA BÁSICA I Si C1 y C2 no tienen ningún punto común la ecuación representa una circunferencia para cada valor de k diferente de –1, siempre que la ecuación resultante tenga coeficientes que satisfagan las condiciones especificadas en el teorema 2 del Artículo 40. Ningún par de circunferencias de la familia tiene un punto común con ninguna de las dos circunferencias C1 y C2.8.5 EJE RADICAL En el artículo precedente hemos considerado dos circunferencias diferentes, C1 y C2 de ecuaciones. C1 : x2 + y2 + D1 x + E1y + F1= 0 (1) 2 2 C1 : x + y + D2 x + E2y + F2= 0 (2) A partir de estas ecuaciones formamos la ecuación. x2 + y2 + D1x + E1y + F1 + k (x2 + y + D2x + E2y + F2) = 0 (3) y la discutimos como ecuación de una familia de circunferencias para todos los valores de k, excepto –1. Si k = - 1, la ecuación (3) toma la forma. (D1 – D2) x + (E1 – E2) y + F1 – F2= 0 (4) Si C1 y C2, no son concéntricas, se verificará D1 D2 o E1 E2, o ambas, de manera que por lo menos uno de los coeficientes de x y y en (4) será diferente de cero, y la ecuación (4) representa entonces una línea recta llamada eje radical de C1 y C2. 379
  • 380. MATEMÁTICA BÁSICA I Si C1 y C2 se cortan en dos puntos diferentes, se sigue, con la discusión del eje radical que pasa por estos dos puntos y, por tanto, coincide con su cuerda común. Si C1 y C2 son tangentes entre sí, su eje radical es la tangente común a ambas circunferencias. Si C1 y C2 no tienen ningún punto común y no son concéntricas, su eje radical no tiene ningún punto común con ninguna de las dos circunferencias. Ahora demostraremos que el eje radical de dos circunferencias cualesquiera es perpendicular a su recta de los centros. En efecto, anteriormente vimos que la ecuación de la recta de los centros de C1 y C2 es: 2 (E1 - E2) x – 2 (D1 y D2) y + D2 E1 - D1 E2 = 0 E1 E2 y la pendiente de esta recta es , si D1 D2. La pendiente D1 D2 D1 D2 del eje radical, deducida de la ecuación (4), es - , si E1 E2 E1 E2. Como estas pendientes son negativamente reciprocadas, se sigue que el eje radical es perpendicular a la recta de los centros. Si D1 = D2, entonces, por la ecuación (4), resulta que el eje radical es paralelo al eje X, y por la ecuación anterior, la recta de los centros es paralela al eje Y; por tanto, en este caso, el eje radical y la línea de los centros también son perpendiculares entre sí. Análogamente, si E1= E2, el eje radical es paralelo al eje Y y la recta de los centros es paralela al eje X; por lo tanto, son perpendiculares entre sí. 380
  • 381. MATEMÁTICA BÁSICA IEjemplo 1. Hallar la ecuación del eje radical de lascircunferencias. C1 : 2x2 + 2y2 + 10x – 6y + 9 = 0 (5) 2 2 C2 : x + y - 8x – 12y + 43 = 0 (6)Y demostrar que es perpendicular a su recta de los centros.Solución. Si multiplicamos la ecuación (6) por 2 y la restamos dela ecuación (5), obtenemos: L : 26x + 18y – 77 = 0. 13Como ecuación del eje radical. Su pendiente es - . 9Las coordenadas de los centros C1 y C2 se encuentran fácilmente 5 3y son , y (4, 6), respectivamente, de manera que la 5 2 6 (3 / 2) 9pendiente de la recta de los centros es , que es 4 (5 / 2) 13negativamente recíproca de la pendiente del eje radical. Por tanto,el eje radical es perpendicular a la recta de los centros. Lascircunferencias C1 y C2, su recta de los centros y su eje radical setraza.Para reducir una propiedad importante del eje radical,estableceremos el siguiente teorema: 381
  • 382. MATEMÁTICA BÁSICA I TEOREMA 5 Si t es la longitud de la tangente trazada del punto exterior P 1(x1, y1) a la circunferencia (x – h)2 + (y – k)2 = r2, entonces t= (x1 h) 2 (y1 k)2 r2 DEMOSTRACIÓN Sea T el punto de tangencia, de manera que t = P1T. Como P1T es tangente a la circunferencia, el radio CT es perpendicular a P1T. Por tanto, en el triángulo rectángulo P1Tc, tendremos: t2 = CP12 – r2 (7) Por el teorema 2, artículo 6, CP12 = (x1 – h)2 + (y1 – k)2 valor que, sustituido en la ecuación (7), da t2 = (x1 – h)2 + (y1 – k)2 - r2 de donde, t= (x1 h) 2 (y1 k)2 r2 Ejemplo 2. Hallar la longitud de la tangente trazada del punto (-3, 2) a la circunferencia 9x2 + 9y2 – 30x – 18y – 2 = 0. 382
  • 383. MATEMÁTICA BÁSICA ISolución. Para aplicar el teorema 5, es necesario hacer que loscoeficientes de x2 y y2 sean iguales a la unidad. Para ellodividiendo por 9, resulta: 10 2 X2 + y2 - x – 2y - =0 3 9Sustituyendo x por –3 y y por 2 en el primer miembro de estaecuación, obtenemos 2 169 t2 = 9 + 4 + 10 – 4 - = 9 9 13de donde se deduce que la longitud de la tangente es t = . 3Debe observarse que, si se utilizara la ecuación de lacircunferencia en la forma original, es decir, sin dividir por 9, elresultado sería el triple del valor correcto. Se recomienda alestudiante que dibuje la figura correspondiente a este ejercicio.Por medio del ejercicios anteriores, podemos demostrarfácilmente que el eje radical de dos circunferencias noconcéntricas es el lugar geométrico de un punto que se mueve detal manera que las longitudes de las tangentes trazadas desde éla las dos circunferencias son iguales. En efecto, sean C1 y C2 lasdos circunferencias no concéntricas dadas por las ecuaciones (1)y (2), respectivamente. Sea P (x, y) el punto móvil y sean t 1 y t2,respectivamente, las longitudes de las tangentes trazadas de P aC1 y C2. Entonces, por el teorema 5, t12 = x2 + y2 + D1x + E1y + F1,y t22 = x2 + y2 + D2x + E2y + F2, 383
  • 384. MATEMÁTICA BÁSICA I Como, por hipótesis, t1 = t2, de estas dos últimas ecuaciones se deduce que (D1 – D2)x + (E1 – E2) y + F1 – F2 = 0 que, según (4), es la ecuación del eje radical de C1 y C2. Podemos demostrar, recíprocamente, que, si P1 (x1 , y1) es un punto que está sobre el eje radical, las longitudes de las tangentes trazadas de P1 a C1 y C2 son iguales. Los resultados precedentes se resumen en el siguiente: TEOREMA 6 Si las ecuaciones de dos circunferencias no concéntricas C1 y C2 son: C1 : x2 + y2 + D1 x + E1y + F1 = 0, C2 : x2 + y2 + D2 x + E2y + F2 = 0, La eliminación de x2 y y2 entre estas dos ecuaciones da la ecuación lineal (D1 – D2)x + (E1 – E2) y + F1 – F2 = 0 que es la ecuación del eje radical de C1 y C2. Si C1 y C2 se cortan en dos puntos diferentes, su eje radical coincide con su cuerda común; si C1 y C2 son tangentes entre sí, su eje radical es su tangente común, y si C1 y C2 no tienen ningún punto común, su eje radical no tiene ningún punto común con ninguno de ellos. 384
  • 385. MATEMÁTICA BÁSICA I El eje radical de C1 y C2 es perpendicular a la recta de los centros; es también el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que las longitudes de las tangentes trazadas por él a C1 y C2 son iguales. Consideremos tres circunferencias, de las cuales no hay dos que sean concéntricas. Cada par tiene un eje radical, y las tres, tomadas a pares, tienen tres ejes radicales. Si las tres circunferencias no tienen una recta de los centros común, sus tres ejes radicales se cortan en un punto llamado centro radical. La demostración de la existencia del centro radical de tres circunferencias dadas se deja como ejercicio al estudiante. EJERCICIOS PROPUESTOSDibujar una figura para cada ejercicio.1. Escribir la ecuación de la familia de circunferencias concéntricas cuyo centro común es el punto (-3, 5). Dibujar tres elementos de la familia, especificando el valor del parámetro en cada caso.2. Escribir la ecuación de la familia de circunferencias cuyos centros están sobre el eje Y. Desígnense los dos parámetros por k 1 y k2. Dibújense tres elementos de la familia conservando a k 1 constante y asignando a k2 tres valores diferentes. Dibújense otros tres miembros de la familia haciendo que k2 permanezca constante y asignando a k1 tres valores diferentes. 385
  • 386. MATEMÁTICA BÁSICA I3. Escribir la ecuación de la familia de todas las circunferencias que pasan por el origen. Dibujar seis elementos de la familia asignando valores a los dos parámetros como en el ejercicio 2.4. Determinar la ecuación de la familia de circunferencias, cada una de las cuales pasa por el origen y el punto (1, 3). Dibujar tres elementos de la familia, especificando el valor del parámetro en cada caso.5. Dibujar las dos circunferencias cuyas ecuaciones son: C1 x2 + y2 + 4x – 8y + 7 = 0 y C2 x2 + y – 16x – 4y + 3 = 0 También dibujar tres elementos de la familia C1 + kC2 = 0 para valores de k diferentes de 0 y –1, y demostrar que sus centros están sobre la recta de los centros de C1 y C2.6. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A (- 8, 5) y por las intersecciones de las circunferencias x2 + y2 – 8x – 6y + 17 = 0 y x2 + y – 18x – 4y + 67 = 0.}7. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro sobre el eje X y pasa por las intersecciones de las dos circunferencias dadas en el ejercicio 6.8. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el eje Y y pasa por las intersecciones de las dos circunferencias dadas en el ejercicio 6.9. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro sobre la recta 2x + y – 14 = 0 y que pasa por las intersecciones de las circunferencias. X2 + y2 – 8x – 4y + 11 = 0 y x2 + y2 – 4x + 4y – 0 = 0 386
  • 387. MATEMÁTICA BÁSICA I 510. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 2 y que pasa 2 por las intersecciones de las circunferencias x2 + y2 + 2x – 6y – 16 = 0 y x2 + y2 – 6x + 2y = 0. (Dos soluciones).11. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a C1 y C2 del ejercicio 13 en su punto común y cuyo centro está sobre la recta 3x + y + 5 = 0.12. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a C1 y C2 del ejercicio 13 en su punto común y que es tangente a la recta x – 2y – 1 = 0. (Dos soluciones).13. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A (- 10, -2) y por las intersecciones de la circunferencia x2 + y + 2x – 2y – 32 = 0 y la recta x – y + 4 = 0.14. Hallar la ecuación del eje radical de las circunferencias. X2 + y2 – 2x – 10y + 10 = 0, 4x2 + 4y – 32x – 12y + 37 = 0. Y demostrar que es perpendicular a su recta de los centros.15. Hallar la ecuación y la longitud de la cuerda común de las circunferencias x2 + y – 8y + 9 = 0 y x2 + y2 – 14x – 6y + 38 = 0.16. Demostrar analíticamente que si dos circunferencias diferentes son concéntricas, su eje radical no existe.17. Hallar la longitud de la tangente trazada del punto P (-1, 3) a la circunferencia 3x2 + 3y2 – 14x – 15y + 23 = 0.18. Obtener las coordenadas de un punto que se encuentre sobre el eje radical del ejercicio 19, y demostrar que las longitudes de las 387
  • 388. MATEMÁTICA BÁSICA I tangentes trazadas de ese punto a las dos circunferencias son iguales.19. Hallar las coordenadas del centro radical de las tres circunferencias x2 + y + 2x – 4y – 6 = 0, x2 + y – 4x – 2y = 0 y x2 + y + 2x + 12y + 36 = 0.20. Demostrar que las tres circunferencias x + y + 10x + 2y + 17 = 0, x + y + 4x – 4y = 0 y x2 + y2 – 8x – 16y + 71 = 0 no tienen centro radical. Explicar el resultado.8.6 TANGENTE DE UNA CURVA En Geometría elemental solamente se estudia, en general, la tangente a una curva: la circunferencia. La tangente se define como una recta que tiene un solo punto común con la circunferencia. Esta definición, suficiente para la circunferencia, es inadecuada para las curvas planas en general, pues hay curvas planas en las cuales una tangente en un punto corta a la curva en uno o más puntos diferentes. Por esto, vamos a dar ahora una definición de tangente que se aplique a todas las curvas planas en general. Sea la ecuación de una curva plana cualquiera C f (x, y) = 0 (1) Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos diferentes cualesquiera de C tales que el arco de curva que los une sea continuo; es decir, P 2 puede moverse hacia P1 permaneciendo siempre sobre la curva. La recta que pasa por P1 y P2 se llama secante. Considerare2mos que P1 es un punto fijo mientras que P2 se mueve a lo largo de C 388
  • 389. MATEMÁTICA BÁSICA Ihacia P1. Entonces, a medida que P2 se aproxima a P1, la secantegira en el sentido contrario al de las manecillas de un reloj entorno a P1 y, en general, tiende a una posición límite representadapor la recta P1T que se define como la tangente a la curva C en elpunto P1. El punto P1 se llama punto de tangencia o punto decontacto de la tangente. La pendiente de la curva C en el punto P 1se define como la pendiente de la tangente a C en P1.Para determinar la ecuación de la tangente a una curva dada enun punto particular de la curva, se conoce como un punto, el puntode contacto; por lo tanto, queda por hallar la pendiente de latangente. La pendiente de la secante P1 P2 es y1 y2 m8 = , x1 x2 x1 x2 389
  • 390. MATEMÁTICA BÁSICA I 390
  • 391. MATEMÁTICA BÁSICA I CAPÍTULO IX LA PARÁBOLAINTRODUCCIÓNEn su estudio previo de Geometría elemental, el estudiante conoció doslíneas: la línea recta y la circunferencia. Las dos líneas ya han sidoestudiadas desde el punto de vista analítico. Ahora comenzamos elestudio de ciertas curvas planas no incluidas, ordinariamente, en el cursode Geometría –elemental.9.1 DEFINICIONES La ecuación de la parábola la deduciremos a partir de su definición como el lugar geométrico de un punto que se mueve de acuerdo con una ley especificada. Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de un recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. El punto se fijo se llama foco y la recta fija directriz de la parábola. La definición excluye el caso en que el foco está sobre la directriz. Designemos por F y l, el foco y la directriz de una parábola, respectivamente. La recta a que pasa por F y es perpendicular a l se llama eje de la parábola. Sea A el punto de intersección del eje y la directriz. El punto V, punto medio del segmento AF, está, por definición, sobre la parábola; este punto se llama vértice. El segmento de recta, tal como BB‟, que une dos puntos cualesquiera diferentes de la parábola se llama cuerda; en 391
  • 392. MATEMÁTICA BÁSICA I particular, una cuerda que pasa por el foco como CC‟, se llama cuerda focal. La cuerda focal LL‟ perpendicular al eje se llama lado recto. Si P es un punto cualquiera de la parábola, la recta FP que une el foco F con el punto P se llama radio focal de P, o radio vector.9.2 ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE UN EJE COORDENADO Veremos que la ecuación de una parábola toma su forma más simple cuando su vértice está en el origen y su eje coincide con uno de los ejes coordenados. De acuerdo con esto, consideremos la parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje X. Entonces el foco F está sobre el eje X; sean (p, 0) sus coordenadas. Por definición de parábola, la ecuación de la directriz l es x = -p. Sea P (x, y) un punto cualquiera de la parábola. Por P tracemos el segmento PA perpendicular a l. Entonces, por la definición de parábola, el punto P debe satisfacer la condición geométrica. /FP/ = /PA/ (1) Reemplazando, tenemos /FP/ = (x p) 2 y2 luego: /PA/ = /x + p/ Por tanto, la condición geométrica (1) está expresada, analíticamente, por la ecuación (x p) 2 y 2 = /x + p/ 392
  • 393. MATEMÁTICA BÁSICA ISi elevamos al cuadrado ambos miembros de esta ecuación ysimplificamos, obtenemos: y2 = 4 px. (2)Recíprocamente, sea P1 (x1, y1) un punto cualquiera cuyascoordenadas satisfagan (2). Tendremos: y12 = 4px1Si sumamos (x1 – p)2 a ambos miembros de esta ecuación, yextraemos la raíz cuadrada, obtenemos, para la raíz positiva, ( x1 p) 2 y12 = /x1 + p/que es la expresión analítica de la condición geométrica (1)aplicada al punto P1. Por tanto, P1 está sobre la parábola cuyaecuación está dada por (2).Ahora discutiremos la ecuación (2) siguiendo el método explicadoen el Artículo 19. Evidentemente, la curva pasa por el origen y notiene ninguna otra intersección con los ejes coordenados. La únicasimetría que posee el lugar geométrico de (2) es con respecto aleje X. Despejando y de la ecuación (2), tenemos: y= 2 px (3)Por tanto, para valores de y reales y diferentes de cero, p y xdeben ser el mismo signo. Según esto, podemos considerar doscasos: p 0yp 0.Si p 0, deben excluirse todos los valores negativos de x, y todoel lugar geométrico se encuentra a la derecha del eje Y. Como no 393
  • 394. MATEMÁTICA BÁSICA I se excluye ningún valor positivo de x, y como y puede tomar todos los valores reales, el lugar geométrico de (2) es una curva abierta que se extiende indefinidamente hacia la derecha del eje Y y hacia arriba y abajo del eje X. Esta posición, se dice que la parábola se abre hacia la derecha. Análogamente, si p 0, todos los valores positivos de x deben excluirse en la ecuación (3) y todo el lugar geométrico aparece en la izquierda del eje Y. Esta posición está indicada, y , en este caso, se dice que la parábola se abre hacia la izquierda. Es evidente que la curva correspondiente a la ecuación (2) no tiene asíntotas verticales ni horizontales. Según la ecuación (3), hay dos puntos sobre la parábola que tienen abscisa igual a p, uno de ellos tiene la ordenada 2p y el otro la ordenada –2p. Como la abscisa del foco es p, se sigue la longitud del lado recto que es igual al valor absoluto de la cantidad 4p. Si el vértice de la parábola está en el origen y su eje coincide con el eje Y, se demuestra, análogamente, que la ecuación de la parábola es x2 = 4 py (4) en donde el foco es el punto (0, p). Puede demostrarse fácilmente que, si p 0, la parábola se abre hacia arriba; y, si p 0, la parábola se abre hacia abajo. La discusión completa de la ecuación (4) se deja como ejercicio al estudiante. 394
  • 395. MATEMÁTICA BÁSICA ILas ecuaciones (2) y (4) se llaman a veces la primera ecuaciónordinaria de la parábola. Como son las ecuaciones más simplesde la parábola, nos referimos a ellas como a las formas cónicas.Los resultados anteriores se resumen en el siguiente: TEOREMA 1La ecuación de una parábola de vértice en el origen y eje el eje X,es: x2 = 4 py,en donde el foco es el punto (p, 0) y al ecuación de la directriz esx = -p. Si p 0, la parábola se abre hacia arriba; si p 0, laparábola se abre hacia abajo.En cada caso, la longitud del lado recto está dada por el valorabsoluto de 4p, que es el coeficiente del término de primer grado.Ejemplo. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo ejecoincide con el eje Y pasa por el punto (4, -2). Hallar la ecuaciónde la parábola, las coordenadas de su foco, la ecuación de sudirectriz y la longitud de su lado recto. Trazar la gráficacorrespondiente.Solución. Por el teorema 1, la ecuación de la parábola es de laforma x2 = 4 py (4) 395
  • 396. MATEMÁTICA BÁSICA I Como la parábola pasa por el punto (4, -2), las coordenadas de este punto deben satisfacer la ecuación (4), y tenemos 16 = 4p (-2) de donde, p = -2, y la ecuación buscada es x2 = -8y. También, por el teorema l, el foco es el punto (0, p), o sea, (0, -2), la ecuación de la directriz es y = -p, o sea, y=2 y la longitud del lado recto es /4p/ = 8.Dibujar para cada ejercicio la gráfica correspondiente.En cada uno de los ejercicios 1-4, hallar las coordenadas del foco, laecuación de la directriz y la longitud del lado recto para la ecuación dada,y discutir el lugar geométrico correspondiente. EJERCICIOS RESUELTOS1. y2 = 12x y Solución L P La ecuación es de la forma y 2 4 px 4 p 12 , de donde: p=3 (p>0) 0 x F a. Coordenadas del foco F(p,0) F(3,0) b. Ecuación de la directriz: x=-p x=-3 c. Lado recto: LR 4p LR 12 d. Como p>0, la curva se abre hacia la derecha del eje Y, y su eje coincide con el eje X. 396
  • 397. MATEMÁTICA BÁSICA I2. x2 = 12y y Solución La ecuación es de l forma x 2 4 py 4 p 12 , de donde: p 3 (p>0) F 0 x a. Coordenadas del foco F(0,p) F(0,3) L D b. Directriz: y=-p y=-3 c. Lado recto: LR 4p LR 12 d. Como p>0, la curva se abre hacia arriba y su eje coincide con el eje Y.3. y2 + 8x = 0 y P Solución D Si y 2 8 x , la curva de la forma y 2 4 px 0 x F 4p 8 , de donde: p=-2 (p>0) L a. Coordenadas del foco F(p,0) F(-2,0) b. Directriz: y=-p x=2 c. Lado p<0, la curva se abre hacia la izquierda del eje Y, y su eje de simetría coincide con el eje X. y L D4. x2 + 2y = 0 0 x F Solución P Si x 2 2 y , la curva es de la forma x 2 4 py a. Como p<0, la curva se abre hacia abajo y su eje coincide con el eje Y. 397
  • 398. MATEMÁTICA BÁSICA I5. Deducir y discutir la ecuación ordinaria x2 = 4py Solución Sea P(x,y) un punto cualquiera de la parábola, F(0,p) el foco y L su directriz. Por definición de parábola el punto P debe satisfacer la condición: FP d ( P, L) AP y 2 2 x 0 y p y p De donde: x 2 4 py P L: y p F 0 x A6. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y foco el punto (3, 0). Solución Como el foco F(3,0) está sobre el eje X, la forma de la ecuación de la parábola es: y 2 4 px (1) Además, si F(p,0) p=3, por lo tanto, en (1): y 2 12 x7. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y directriz la recta y – 5 = 0. Solución Siendo la directriz una recta horizontal, el eje de la parábola será vertical, por lo que, su ecuación será de la forma: x 2 4 py (1) Como L : y p , entonces p=-5, por tanto, en (1): x 2 20 y 398
  • 399. MATEMÁTICA BÁSICA I8. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y foco el punto (0, -3). Solución Como el foco F(0,-3) está sobre el eje Y, la forma de la ecuación de la parábola es: x 2 4 py (1) Además, si F(p,0) p=-3, por lo tanto, en (1): x 2 12 y EJERCICIOS PROPUESTOS9. Hallar un procedimiento para obtener puntos de la parábola por medio de escuadras y compás, cuando se conocen el foco y la directriz.10. Hallar un procedimiento para obtener puntos de la parábola por medio de escuadras y compás, si se dan el foco y el vértice.11. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y directriz la recta x + 5 = 0.12. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje X pasa por el punto (-2, 4). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto.13. Una cuerda de la parábola x2 + 4x = 0 es un segmento de la recta x – 2y + 3 = 0. Hallar su longitud.14. Hallar la longitud de la cuerda focal de la parábola x2 + 8y = 0 que es paralela a la recta 3x + 4y – 7 = 0.15. Demostrar que la longitud del radio vector de cualquier punto P 1 (x1, y1) de la parábola y2 = 4px es igual a /x1 + p/. 399
  • 400. MATEMÁTICA BÁSICA I16. Hallar la longitud del radio vector del punto de la parábola y2 – 9x = 0 cuya ordenada es igual a 6.17. De un punto cualquiera de una parábola se traza una perpendicular al eje. Demostrar que esta perpendicular es media proporcional entre el lado recto y la porción del eje comprendida entre el vértice y el pie de la perpendicular.18. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y los puntos extremos del lado recto de la parábola x2 – 4y = 0.19. Los extremos del lado recto de una parábola cualquiera se unen con el punto de intersección del eje con la directriz. Demostrar que estas rectas son perpendiculares entre sí.20. Una circunferencia cuyo centro es el punto (4, -1) pasa por el foco de la parábola x2 +6 16y = 0. Demostrar que es tangente a la directriz de la parábola.21. Hallar la ecuación de una parábola tomando como ejes X y Y, el eje y la directriz respectivamente.En cada uno de los ejercicios 22-25, aplicando la definición de laparábola, hallar la ecuación de la parábola a partir de los datos dados.Reducir la ecuación a la primera forma ordinaria por transformación decoordenadas.22. Foco (3, 4), directriz x – 1 = 0.23. Foco (3, -5), directriz y – 1 = 0.24. Vértice (2, 0), foco (0, 0).25. Foco (-1, 1), directriz x + y – 5 = 0. 400
  • 401. MATEMÁTICA BÁSICA I9.3 ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA DE VÉRTICE (H, K) Y EJE PARALELO A UN EJE COORDENADO Frecuentemente necesitaremos obtener la ecuación de una parábola cuyo vértice no esté en el origen y cuyo eje sea paralelo, y no necesariamente coincidente, a uno de los ejes coordenados. De acuerdo con esto, consideremos la parábola cuyo vértice es el punto (h, k) y cuyo eje es paralelo al eje X. Si los ejes coordenados son trasladados de tal manera que el nuevo origen O‟ coincida con el vértice (h, k), se sigue, por el teorema 1 la ecuación de la parábola con referencia a los nuevos ejes X‟ y Y‟ está dada por: y ‟2 = 4 px‟ (1) en donde la coordenadas del foco F son (p, 0) referido a los nuevos ejes. A partir de la ecuación de la parábola referida a los ejes originales X y Y, podemos obtener la ecuación (1) usando las ecuaciones de transformación del teorema 1, Artículo 50, a saber, x = x‟ + h, y = y‟ + k, de donde, x‟ = x - h, y‟ = y - k, Si sustituimos estos valores de x‟ y y‟ en la ecuación (1), obtenemos (y – k)2 = 4p (x - h) (2) Análogamente, la parábola cuyo vértice es el punto (h, k) y cuyo eje es paralelo al eje Y tiene por ecuación (x – h)2 = 4p (x – h) en donde /p/ es la longitud de aquella porción del eje comprendida entre el foco y el vértice. 401
  • 402. MATEMÁTICA BÁSICA I Las ecuaciones (2) y (3) se llaman, generalmente, segunda ecuación ordinaria de la parábola. Los resultados anteriores, junto con los obtenidos en el teorema, conducen al siguiente TEOREMA 2 La ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje paralelo al eje X, es de la forma (y – k)2 = 4p (x – h), siendo /p/ la longitud del segmento del eje comprendido entre el foco y el vértice. Si p 0, la parábola se abre hacia la derecha; si p 0, la parábola se abre hacia la izquierda. Si el vértice es el punto (h, k) y el eje de la parábola es paralelo al eje Y, su ecuación es de la forma (x – h)2 = 4p (y – k) Si p 0, la parábola se abre hacia arriba; si p 0, la parábola se abre hacia abajo. Ejemplo 1. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto (3, 4) y cuyo foco es el punto (3, 2). Hallar también la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto. 402
  • 403. MATEMÁTICA BÁSICA ISolución. Como el vértice V y el foco F de una parábola estánsobre su eje, y como en este caso cada uno de estos puntos tienela misma abscisa 3, se sigue que el eje a es paralelo al eje Y,como se indica. Por tanto, por el teorema 2, la ecuación de laparábola es de la forma (x – h)2 = 4p (y – k)Como el vértice V es el punto (3, 4), la ecuación puede escribirse (x – 3)2 = 4p (y – 4)Ahora bien, /p/ = /FV/ = /4 – 2/. Pero, como el foco F está abajodel vértice V, la parábola se abre hacia abajo y p es negativo. Portanto, p = -2, y la ecuación de la parábola es (x – 3)2 = -8 (y – 4)y la longitud del lado recto es 8.Designemos por A el punto en que el eje a corta a la directriz l.Como V (3, 4) es el punto medio del segmento AF, se sigue quelas coordenadas de A son (3, 6). Por tanto, la ecuación de ladirectriz es y = 6.Si desarrollamos y trasponemos términos en la ecuación (y – k)2 = 4p (x – h),Obtenemos y2 – 4px – 2ky + k2 + 4ph =) 0,que puede escribirse en la forma: y2 +a1x + a2y + a3 = 0 (4) 403
  • 404. MATEMÁTICA BÁSICA I en donde a1 = -4p, a2 = -2k y a3 = k2 + 4ph. Recíprocamente, completando el cuadrado en y, podemos demostrar que una ecuación de la forma (4) representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje X. Al discutir la ecuación de la forma (4) suponemos que a 1 0. Si a1 = 0, la ecuación toma la forma: y2 +a2y + a3 = 0 (5) que es una ecuación cuadrática en la única variable y. Si las raíces de (5) son reales y desiguales, digamos r y r2, entonces la ecuación (5) puede escribirse en la forma: (y – r1) (y – r2) = 0 y el lugar geométrico correspondiente consta de dos rectas diferentes, y = r1 y y = r2, paralelas ambas al eje X. Si las raíces de (5) son reales e iguales, el lugar geométrico consta de dos rectas coincidentes representadas geométricamente por una sola recta paralela al eje X. Finalmente, si las raíces de (5) son complejas, no existe ningún lugar geométrico. Una discusión semejante se aplica a la otra forma de la segunda ecuación ordinaria de la parábola: (x – h)2 = 4p (y – k), Los resultados se resumen en el siguiente: 404
  • 405. MATEMÁTICA BÁSICA I TEOREMA 3Una ecuación de segundo grado en las variables x y y quecarezcan del término en xy puede escribirse en la forma: Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0Si A = 0, C 0 yD 0, la ecuación representa una parábolacuyo eje es paralelo a (o coincide con) el eje X. Si, en cambio, D =0, la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas al eje X,dos rectas coincidentes paralelas al eje X, o ningún lugargeométrico, según que las raíces de Cy2 + Ey + F = 0 sean realesy desiguales, reales e iguales o complejas.Si A 0, C = 0 y E 0, la ecuación representa una parábola cuyoeje es paralelo a (o coincide con) el eje Y. Si, en cambio, E = 0, laecuación representa dos rectas diferentes paralelas al eje Y, dosrectas coincidentes paralelas al eje Y o ningún lugar geométrico,según que las raíces de Ax2 + Dx + F = 0 sean reales ydesiguales, reales e iguales o complejas.Ejemplo 2. Demostrar que la ecuación 4x2 – 20x – 24y + 97 = 0representa una parábola, y hallar las coordenadas del vértice y delfoco, la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto.Solución. Por el teorema 3, la ecuación: 4x2 – 20x – 24y + 97 = 0 (6)representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje Y. 405
  • 406. MATEMÁTICA BÁSICA I Si reducimos la ecuación (6) a la segunda forma ordinaria, completando el cuadrado en x, obtenemos 2 5 x = 6 (y – 3) (7) 2 De esta ecuación vemos inmediatamente que las coordenadas del 5 3 vértice son , 3 . Como 4p = 6, p , y la parábola se abre 2 2 hacia arriba. Entonces, como el foco está sobr e2l eje y el eje es paralelo al eje Y, se sigue que las coordenadas del foco son 5 3 5 9 ,3 , o sea, , . La ecuación de la directriz es y = 3 - 2 2 2 2 3 3 , o sea, y = , y la longitud del lado recto es /4p/ = 6. 2 2 Se recomienda al estudiante que dibuje la figura correspondiente a este ejemplo. También se recomienda resolver el problema por traslación de los ejes coordenados. En las dos formas de la segunda ecuación ordinaria de la parábola, dadas por el teorema 2, hay tres constantes arbitrarias independientes o parámetros, h, k y p. Por tanto, la ecuación de cualquier parábola cuyo eje sea paralelo a uno de los ejes coordenados puede determinarse a partir de tres condiciones independientes. Veamos un ejemplo. Ejemplo 3. Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo 3 al eje X y que pasa por los tres puntos , 1 , (0, 5) y (-6, -7). 2 406
  • 407. MATEMÁTICA BÁSICA ISolución. Por el teorema 2, la ecuación buscada es de la forma (y – k)2 = 4p (x – h)Podemos, sin embargo, tomar también la ecuación en la formadada por el teorema 3, a saber, Cy2 + Dx + Ey + F = 0Como C 0, podemos dividir toda la ecuación por C, obteniendoasí Y2 + D‟x + E‟y + F0 = 0 (8) D E FEn donde D‟ = , E‟ = y F‟ = son tres constantes por C C Cdeterminarse.Como los tres puntos dados están sobre la parábola, suscoordenadas deben satisfacer la ecuación (8). Por tanto,expresando este hecho, obtenemos las tres ecuaciones siguientescorrespondiendo a los puntos dados: (3/2, -1) , 1 + 3/2 D‟ - E‟ + F‟ = 0 (0,5), 25 + 5E‟ + F‟ = 0 (-6, -7), 49 – 6D‟ – 7E‟ + F‟ = 0que pueden escribirse así, 3/2,D‟ - E‟ + F‟ = - 1, 5E‟ + F‟ = - 25 6D‟ + 7E‟ - F‟ = 49 407
  • 408. MATEMÁTICA BÁSICA I La solución de este sistema de tres ecuaciones nos da D‟ = 9, E „ = -2, F‟ = -15. Sustituyendo estos valores en la ecuación (8), obtenemos Y2 + 8x – 2y – 15 = 0, que es la ecuación de la parábola que se buscaba. El estudiante debe dibujar la figura para este ejemplo y verificar el hecho de que las coordenadas de cada uno de los tres puntos dados satisfacen la ecuación de la parábola. También debe obtener la misma ecuación usando la forma (y – k)2 = 4p (x – h),Dibujar para cada ejercicio la figura correspondiente. EJERCICIOS PROPUESTOS1. Deducir y discutir la ecuación ordinaria (x – h)2 = 4p (y – k).2. Por transformación de coordenadas, reducir las dos formas de la segunda ecuación ordinaria a las dos formas correspondientes de la primera ecuación ordinaria de la parábola.3. Demostrar que si se tiene la ecuación de la parábola en la forma (y – k)2 = 4p (x – h), las coordenadas de su foco son (h + p, k), y la forma de ecuación de su directriz es x = h – p.4. Demostrar que si se tiene la ecuación de una parábola en la forma (x – h)2 = 4p (y – k), las coordenadas de su foco son (h, k + p), y la ecuación de su directriz es x = k – p.5. Por medio de la primera ecuación ordinaria, deducir la siguiente propiedad geométrica de la parábola: Si desde un punto 408
  • 409. MATEMÁTICA BÁSICA I cualquiera de un parábola se baja una perpendicular a su eje, el cuadrado de la longitud de esta perpendicular es igual al producto de las longitudes de su lado recto y del segmento del eje comprendido entre el pie de dicha perpendicular y el vértice. Toda parábola, cualquiera que sea su posición relativa a los ejes coordenados, posee esta propiedad geométrica llamada propiedad intrínseca de la parábola.6. Por medio de la propiedad intrínseca de la parábola, establecida en el ejercicio 5, deducir las dos formas de la segunda ecuación ordinaria de dicha curva.7. Hallar la ecuación de la parábola cuyos vértice y foco son los puntos (-4, 3) y (-1, 3), respectivamente. Hallar también las ecuaciones de su directriz y su eje.8. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos (3, 3) y (3, 1), respectivamente. Hallar también la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto.9. La directriz de una parábola es la recta y – 1 = 0, y su foco es el punto (4, -3). Hallar la ecuación de la parábola por dos métodos diferentes.10. La directriz de una parábola es la recta x + 5 = 0, y su vértice es el punto (0, 3). Hallar la ecuación de la parábola por dos métodos diferentes.En cada uno de los ejercicios 11-15, redúzcase la ecuación dada a lasegunda forma ordinaria de la ecuación de la parábola, y hallar lascoordenadas del vértice y del foco, las ecuaciones de la directriz y eje, yla longitud del lado recto. 409
  • 410. MATEMÁTICA BÁSICA I11. 4y2 – 48x – 20y = 71.12. 9x2 + 24x + 72y + 16 = 0.13. y2 + 4x = 7.14. 4x2 – 48y + 12x = 159.15. y = ax + bx + c.16. Resolver el ejemplo 2 del Artículo 56 trasladando los ejes coordenados.17. Resolver el ejercicio 14 trasladando los ejes coordenados.18. Discutir la ecuación Ax2 + Cy + Dx + Ey + F = 0 cuando A = E = 5 =0yC 0, D 0.19. Resolver el ejemplo 3 del Artículo 56 tomando la ecuación en la forma (y – k)2 = 4p (x – h).20. Hallar las coordenadas del foco y el vértice, las ecuaciones de la directriz y el eje, y la longitud del lado recto de la parábola del ejemplo 3 del Artículo 56.21. Determinar la ecuación de la familia de parábolas que tienen un foco común (3, 4) y un eje común paralelo al eje Y.22. La ecuación de una familia de parábolas es y = 4x2 + 4x + c. Discutir cómo varia el lugar geométrico cuando se hace variar el valor del parámetro c.23. La ecuación de una familia de parábolas es y = ax2 + bx. Hállese la ecuación del elemento de la familia que pasa por los dos puntos (2, 8) y (-1, 5).24. Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje X y que pasa por los tres puntos (0, 0), (8, -4) y (3, 1). 410
  • 411. MATEMÁTICA BÁSICA I25. Hallar la ecuación de la parábola de vértice del punto (4, -1), eje la recta y + 1 = 0 y que pasa por el punto (3, -3).26. Demostrar, analíticamente, que cualquier recta paralela al eje de una parábola corta a ésta en uno y solamente en un punto.27. Demostrar que la longitud del radio vector de cualquier punto P 1 (x1, y1) de la parábola (y – k)2 = 4p (x – h) es igual a /x1 – h + p/.28. Hallar la longitud del radio vector del punto de la parábola. y2 + 4x + 2y – 19 = 0 cuya ordenada es igual a 3.29. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia de la recta x + 3 = 0 es siempre 2 unidades mayor que su distancia del punto (1, 1).30. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico del centro de una circunferencia que es siempre tangente a la recta y – 1 = 0 y a la circunferencia x2 + y2 = 9.9.4 ECUACIÓN DE LA TANGENTE A UNA PARÁBOLA La determinación de la tangente a la parábola no requiere la introducción de ningún concepto nuevo. Como la ecuación de una parábola es de segundo grado, su tangente puede obtenerse empleando la condición para tangencia estudiada. 411
  • 412. MATEMÁTICA BÁSICA I Como para la circunferencia, consideraremos tres casos: 1. Tangente en un punto de contacto dado. Vamos a determinar la ecuación de la tangente a la parábola x2 = 4px (1) en un punto cualquiera P1 (x1, y1) de la parábola. La ecuación de la tangente buscada es de la forma Y – y1 = m (x – x1) (2) en donde está por determinarse la pendiente m. Si el valor de y dado por la ecuación (2) es sustituido en la ecuación (1), se obtiene (y1 + mx – mx1)2 = 4px. la cual se reduce a m2x2 + (2my1 – 2m2y1 – 4p) x + (y12 + m2x12 – 2mx1y1) = 0 Para la tangencia, el discriminante de esta ecuación debe anularse, y escribimos (2my1 – 2m2y1 – 4p)2 - 4m2 + (y12 + m2x12 – 2mx1y1) = 0 la cual se reduce a x1 m2 - y1m + p = 0 (3) de donde, 2 y1 y1 4px 1 m= 2x 1 412
  • 413. MATEMÁTICA BÁSICA IPero, como P1 (x1, y1) está sobre la parábola (1), tenemos y12 = 4px1 (4) y1de donde m = . Si sustituimos este valor de m en (2), 2x 1obtenemos, después de simplificar y ordenar los términos, 2x1y = y1 (x + x1) 2 y1De la ecuación (4), 2x1 = y si se sustituye este valor en la 2púltima ecuación se obtiene la forma más común de la ecuación dela tangente, y1y = 2p (x + x1)Muchas propiedades interesantes e importantes de la parábolaestán asociadas con la tangente en un punto cualquiera de lacurva. La deducción de tales propiedades es más sencilla, engeneral, usando la forma canónica (1) y, por tanto, la ecuación dela tangente que acabamos de obtener es especialmente útil. 413
  • 414. MATEMÁTICA BÁSICA I INTEGRALES MULTIPLES 1. INTEGRAL DOBLE Sea en el plano 0xy un dominio cerrado D, limitado por una curva L. Sea dada en el dominio D una función continua Dividamos el dominio D mediante curvas arbitrarias en n partes: , , ..., Las que llamaremos dominios parciales o elementos. Para no introducir nuevos símbolos designemos por …, no sólo a los propios elementos, sino también sus áreas. En cada (en su interior o en la frontera), elijamos un punto ; entonces obtenemos n puntos: , , .., Sean , ,…, los valores de la función en los puntos elegidos; formemos la suma de productos de la forma : (1) , Que se llama suma integral de la función en el dominio D. 414
  • 415. MATEMÁTICA BÁSICA ISi en el dominio D, entonces cada sumando sepuede representar geométricamente como el volumen de uncilindro elemental de base y de altura .Así, es la suma de los volúmenes de los cilindros elementalesindicados, es decir, el volumen de un cierto cuerpo “escalonado”.Examinemos una sucesión arbitraria de las sumas integrales,formadas con ayuda de la función en el dominio dado D: , , …, ,…Para diferentes métodos de división del dominio D en las partes . Supongamos que el diámetro máximo de los elementostiende a cero, cuando . En este caso resulta válido elsiguiente teorema que citemos aquí sin demostración.Teorema 1. Siendo una función continua en el dominiocerrado D, la sucesión (2) de las sumas integrales (1) tienen unlímite, si el diámetro máximo de tiende a cero, mientras que . Este límite siempre es el mismo para cualquier sucesiónde la forma (2), es decir, no depende del modo de división deldominio en los elementos no de la elección del punto dentrodel dominio en los elementos . 415
  • 416. MATEMÁTICA BÁSICA I Este límite se llama integral doble de la función extendida por el dominio D y se designa así: Es decir, Aquí D se llama dominio de integración. Si es la integral doble de extendida por el dominio D es igual al volumen Q de un cuerpo limitado por la superficie , el plano y la superficie cilíndrica, cuyas generatrices son paralelas al eje y la directriz es la frontera del dominio D. Examinemos ahora los siguientes teoremas acerca de la integral doble. Teorema 2. La integral doble de la suma de dos funciones , extendida por un dominio D es igual a la suma de las integrales dobles extendidas por este dominio D de cada una de las funciones por separado: Teorema 3. El factor constante se puede sacar fuera del signo de la integral doble: Si = const, tenemos: 416
  • 417. MATEMÁTICA BÁSICA ILa demostración de estos dos teoremas se efectúa de modoanálogo al que hemos practicado para demostrar teoremascorrespondientes de la integral definida.Teorema 4. Si el dominio D está dividido en dos dominiosparciales y , sin poseer puntos interiores comunes, y lafunción es continua en todos los puntos del dominio D,entonces: (3)Demostración: La suma integral por el dominio D se puederepresentar en la forma: (4)Donde la primera suma contiene términos correspondientes a loselementos del dominio , y la segunda, términoscorrespondientes a los elementos del dominio . En efecto, comola integral doble no depende del modo de dividir el dominio ,dividámoslo de manera que la frontera común de y seatambién una frontera de los elementos . Pasando en laigualdad (4) al límite, cuando , obtenemos la igualdad (3).Es evidente que este teorema es válida para cualquier número desumandos. 417
  • 418. MATEMÁTICA BÁSICA I 2. CALCULO D LA INTEGRAL DOBLE Sea un dominio del plano tal que toda recta paralela a uno de los ejes de coordenadas (por ejemplo, al eje ) y que pasa por un punto interior) del dominio, corta su frontera en dos puntos y . Supongamos que en el caso examinado el dominio está limitado por las curvas: , y las rectas, , ; que: , ; y además las funciones son continuas en el segmento . Convengamos llamar tal dominio regular en la dirección del eje . De modo semejante se determina el dominio regular en la dirección del eje Un dominio regular en las direcciones de ambos ejes de coordenadas llamaremos simplemente dominio regular. Sea una función continua en el dominio . Examinemos la expresión 418
  • 419. MATEMÁTICA BÁSICA Ila que llamaremos integral iterada de segundo orden de la función , extendida por el dominio . En esta expresión al principiose calcula la integral entre paréntesis. La integración se realizarespecto a , considerando constante. Como resultado de laintegración obtenemos una función continua de :Integramos la última función respecto a entre los límites desdehasta :En definitiva obtenemos un número constante.Ejemplo 1. Hallar la integral iterada de segundo ordenSolución. Calculemos al principio la integral interior, (entreparéntesis):Integrando la función obtenida desde 0 hasta 1 hallamos: 419
  • 420. MATEMÁTICA BÁSICA I Determinemos el dominio . En el caso dado es un dominio limitado por las líneas: , , , A veces puede ocurrir que el dominio es tal que una de las funciones , no puede ser dada por una sola expresión analítica en todo el intervalo de la variación de (desde hasta ). Sea, por ejemplo, ,y en el segmento , en el segmento , Donde y son funciones dadas analíticamente. En este caso escribamos la integral iterada de la manera siguiente_ 420
  • 421. MATEMÁTICA BÁSICA I La primera de estas igualdades está escrita en virtud de lapropiedad conocida de la integral definida y la segunda, porque enel segmento tenemos y en el segundo ,Si la función es dada por diferentes expresiones analíticasen varias partes del segmento , la inscripción de la integraliterada de segundo orden será análoga.Determinemos ciertas propiedades de la integral iterada desegundo orden.Propiedad 1. Si un dominio regular en la dirección del eje lodividimos en dos dominios y , mediante una recta paralela aleje o al eje , la integral iterada de segundo ordenextendida por el dominio será igual a la suma de integralessemejantes extendidas por los dominios y , es decir, (1)Demostración. a) Supongamos que la rectadivide el dominio en dos dominios y regulares en ladirección del eje . Entoncesb) Supongamos que la recta divide el dominio en dosdominios y regulares en dirección del eje . Designemospor y los puntos de intersección de la recta con la 421
  • 422. MATEMÁTICA BÁSICA I frontera y . Designemos las abscisas de estos puntos por y . El dominio está limitado por las curvas continuas: 1) ; 2) La curva , cuya ecuación escribimos convencionalmente en la forma , Teniendo en cuenta que cuando y , y que , cuando 3) Las rectas , El dominio está limitado por las curvas , , donde Aplicando a la integral interior el teorema sobre la descomposición del intervalo de integración, escribamos la identidad siguiente: 422
  • 423. MATEMÁTICA BÁSICA IDescompongamos la última integral en tres integrales aplicando elmismo teorema a la integral exterior:Como en los segmentos y , lasintegrales primeras y tercera son idénticamente iguales a cero.Por eso :Aquí la primera integral es una integral iterada de segundo ordenpor el dominio y la segunda, por el dominio . Porconsiguiente,La demostración será semejante cualquier que sea la posición dela secante . Si la recta divide a en tres o, incluso, enmayor número de dominios, obtenemos una relación, análoga a la(1) con el número correspondiente de los sumandos en elsegundo miembro. 423
  • 424. MATEMÁTICA BÁSICA I Corolario. Cada uno de los dominios obtenidos podemos dividir de nuevo en dominios regulares en la dirección del eje mediante una paralela a oa , y aplicar a éstos la igualdad (1). Por consiguiente, se puede dividir en cualquier número de dominios regulares mediante paralelas a los ejes de coordenadas En este caso también será válida la afirmación de que la integral iterada de segundo orden extendida por el dominio es igual a la suma de estas integrales extendidas por los dominios parciales, es decir: Propiedades 2. (Evaluación de la integral iterada de segundo orden). Sean y los valores mínimos y máximo de la función en el dominio . Designaremos por el área del dominio . En este caso tenemos la correlación 424
  • 425. MATEMÁTICA BÁSICA IDemostración. Evaluamos la integral interior, designándola por :Obtenemos:Es decir,Análogamente tenemos:Es decir.De las desigualdades y se deduce la correlación (3):En el párrafo siguiente aclaremos el significado geométrico deeste teorema.Propiedad 3 (Teorema de la media). La integral de segundoorden de una función , extendida por un dominio delárea es igual al producto de por el valor de la función en ciertopunto del dominio , es decir. 425
  • 426. MATEMÁTICA BÁSICA I Demostración. De la correlación (3) obtenemos: El número está comprendido entre los valores máximo y mínimo de la función en el dominio . En virtud de la continuidad de la función , ésta toma en cierto punto del dominio el valor igual a , es decir. de donde: (5) 3. CALCULO DE LA INTEGRAL DOBLE (CONTINUACION) Teorema. La integral doble de una función continua extendida por un dominio regular , es igual a la integral iterasa de segundo orden de esta función extendida por , es decir, Demostración. Dividamos el dominio por las paralelas a los ejes de coordenadas en n dominios regulares (rectangulares): En virtud de la propiedad 1 [formula (2)] del párrafo anterior tenemos: (1) 426
  • 427. MATEMÁTICA BÁSICA ITransformemos cada sumando del segundo miembro utilizando elteorema de la media para la integral iterada de segundo orden:Entonces, la igualdad (1) toma la forma , (2)donde es un punto en . A la derecha tenemos una sumaintegral para la función extendida por el dominio . Delteorema sobre la existencia de la integral doble se deduce que ellímite de esta suma existe y es igual a la integral doble de lafunción por , cuando y el diámetro máximo de losdominios parciales tiende a cero.El valor numérico de la integral iterada de segundo orden delprimer miembro de la igualdad (2) no depende de . Por tanto,pasando al límite en la igualdad (2) obtenemos: (3) 427
  • 428. MATEMÁTICA BÁSICA I Escribiendo la expresión de la integral iterada de segundo orden en forma más detallada, en definitiva obtenemos: (4) Observación 1. Cuando , la fórmula (4) toma una interpretación geométrica ilustrativa. Analicemos un cuerpo limitado por la superficie , el plano y la superficie cilíndrica cuyas generatrices son paralelas al eje y la directriz sigue la frontera del dominio . Calculemos el volumen (5) de este cuerpo. Hemos indicado ya que el volumen de este cuerpo es igual a la integral doble de la función extendida por el dominio : Calculemos ahora el volumen de este cuerpo utilizando los resultado de (4). Sobre el cálculo del volumen de un cuerpo según las áreas de secciones paralelas. Tracemos el plano secante , que corta el cuerpo. Calculemos el área de la figura obtenida en la sección . 428
  • 429. MATEMÁTICA BÁSICA IEsta figura es un trapecio curvilíneo limitado por las líneas , , . Porconsiguiente, esta área se expresará mediante la integral (6)Conociendo las áreas de las secciones paralelas, es fácil hallar elvolumen del cuerpo:o, sustituyendo en esta fórmula por su expresión de (6),tenemos: (7)Los primeros miembros de las fórmulas (5) y (7) son iguales portanto son iguales también sus segundos miembros:No es difícil aclarar ahora el significado geométrico del teoremasobre la evaluación de la integral iterada de segundo orden (laspropiedad 2 del párrafo anterior): el volumen V de un cuerpolimitado por la superficie , el plano y la superficiecilíndrica, cuya directriz sigue la frontera del dominio . Esto sededuce de que la integral iterada de segundo orden es igual alvolumen de este cuerpo.Ejemplo 1. Calcular la integral doble , si eldominio está limitado por las rectas , , , . 429
  • 430. MATEMÁTICA BÁSICA I Solución. En virtud de la fórmula tenemos: Ejemplo 2. Calcular la integral doble de la función , extendida por el dominio por las líneas: , , , . Observación 2. Supongamos que el dominio regular en la dirección del eje está limitado por las líneas Siendo Es evidente, que en este caso tenemos: (8) 430
  • 431. MATEMÁTICA BÁSICA IPara calcular una integral doble es preciso representarla en formade una integral de segundo orden. Esto se puede hacer por dosprocedimientos, utilizando la fórmula (4) o la (8). En cada casoconcreto, para calcular la integral doble elijamos una u otrafórmula según del dominio o del integrando.Ejemplo 3. Cambiar el orden de integración en la integralSolución. El dominio de integración está limitado por la recta y la parábola .Toda paralela al eje corta la frontera del dominio no más queen dos puntos. Por tanto, se puede calcular la integral según lafórmula (8) poniendoEntonces: 431
  • 432. MATEMÁTICA BÁSICA I Ejemplo 4. Calcular: Si el dominio es un triángulo limitado por las rectas Solución. Sustituyamos la integral doble dad por una integral iterada de segundo orden, utilizando la fórmula (4). (Si usáramos la fórmula (8), tendríamos que integrar la función respecto a ; pero esta integral no se expresa mediante las funciones elementales): Observación 3. Si el dominio no es regular en la dirección del eje (es decir, si existen rectas verticales y horizontales que pasan por los puntos interiores del dominio y cortan la frontera del dominio en más dos puntos), entonces podemos presentar la integral doble extendida por este dominio en la forma de una integral iterada de segundo orden. Si logramos dividir el dominio irregular en un número finito de dominio regulares en dirección del eje ó entonces, al calcular la integral doble por cada uno de estos dominios parciales (con ayuda de la 432
  • 433. MATEMÁTICA BÁSICA Iintegral iterada de segundo orden) y al sumar los resultados,obtenemos la integral buscada extendida por el dominioEjemplo 5. Calcular la integral dobleExtendida por el dominio , encerrado entre dos cuadrados con elcentro en el origen de coordenadas y los lados paralelos a los ejesde coordenadas, si cada lado del cuadrado interior es igual a 2 yel del exterior a 4.Solución. El dominio es irregular. Sin embargo, las rectas y lo dividen en cuatro dominios regulares Por eso:Representando cada una de estas integrales en forma de unaintegral iterada de segundo orden, hallamos: 433
  • 434. MATEMÁTICA BÁSICA I Observación 4. En adelante escribamos la integral iterada de segundo orden Omitiendo los paréntesis de la integral interior, es decir, en la forma: Aquí, (igual que en el caso, en que se ponen los paréntesis) convengamos que la primera integración se realiza respecto a la variable, cuya diferencial está escrita primera y después, respecto a la otra variable, cuya diferencial está escrita en el segundo lugar. Notemos, sin embargo, que esta regla no está generalmente aceptada. En algunas obras adoptado el procedimiento contrario: al principio, la integración se realiza respecto a la variable, cuya diferencial ocupa el último lugar). 434
  • 435. MATEMÁTICA BÁSICA I4. CALCULO DE AREA Y VOLUMENES CON AYUDA DE INTEGRALES DOBLES 1. Volumen. Como hemos visto en (1), el volumen V de un cuerpo, limitado por una superficie , donde es una función no negativa, el plano y la superficie cilíndrica, cuyas generatrices son paralelas al eje , y la directriz sigue la frontera del dominio , es igual a la integral doble de de la función extendida por : Ejemplo 1. Calcular el volumen de un cuerpo limitado por las superficies Solución Donde es el dominio en forma triangular del plano limitado por las rectas Poniendo los límites en la integral doble, calculemos el volumen: 435
  • 436. MATEMÁTICA BÁSICA I Así, unidades cúbicas. Observación 1. Si el cuerpo, cuyo volumen se busca, está limitado por arriba y por debajo por las superficies , respectivamente, siendo la proyección de ambas superficies sobre el plano , entonces, el volumen V de este cuerpo es igual a la diferencia entre los volúmenes de dos cuerpos “cilíndricos”, el primero de los cuales tiene como base inferior y la superficie como base superior, y el segundo tiene también como base inferior y la superficie como base superior. Por eso, el volumen V es igual a la diferencia de dos integrales dobles: (1) Es fácil demostrar que la fórmula (1) es válida no sólo cuando y son funciones no negativas, sino también, cuando y son funciones continuas arbitrarias que satisfacen la correlación: 436
  • 437. MATEMÁTICA BÁSICA IObservación 2. Si la función cambia de signo en eldominio , divida nos a éste en dos dominios: 1) dominio ,donde ; 2) dominio , donde . Supongamosque será positiva e igual al volumen del cuerpo dispuesto porencima del plano . La integral extendida por será negativa eigual por su valor absoluto al volumen del cuerpo dispuesto pordebajo del plano . Por consiguiente, la integral extendida por eldominio expresará la diferencia de los volúmenescorrespondientes.2. Cálculo del área de un dominio plano. Si formamos unasuma integral para la función por el dominio ,obtenemos el áreaCualquiera que sea la división. Pasando al límite en el segundomiembro de la igualdad, obtenemos: 437
  • 438. MATEMÁTICA BÁSICA I Si el dominio es regular, el área se expresará mediante la integral interada de segundo orden Después de la integración de la integral entre paréntesis, tenemos: Ejemplo 2. Calcular el área de un dominio limitado por las curvas. Solución. Determinemos el área los puntos de intersección de las curvas dadas. Las ordenadas de dos curvas son iguales en punto de intersección es decir, De donde: , Hemos obtenido dos puntos de intersección: Por tanto, el área buscada es: 5. INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES Sea dado en el sistema de coordenadas polares un dominio tal, que todo rayo pasante por un punto interior de corta la frontera del dominio no más que en dos puntos. Supongamos, 438
  • 439. MATEMÁTICA BÁSICA Itambién que el dominio está limitado por las curvas , y los rayos , y , siendo y . Diremos que un dominio tal es regular.Sea dada en el dominio una función continua de lascoordenadas y :Dividamos arbitrariamente en los dominios parcialesFormemos la suma integral:Donde es un punto en .Del teorema sobre la existencia de la integral doble se deduce quecuando el diámetro máximo de tiende a cero, la suma integral(1) tiene un límite V. Según la definición, este límite C es la (2)integral doble de la función extendida por el dominio D:Calculemos aquí esta integral doble.Como el límite de la suma integral no depende del modo de dividirD en los dominios parciales , podemos dividirlo, para lacomodidad, mediante rayos , , , … , (donde , , ) y lascircunferencias concéntricas , [dondees igual al valor mínimo de la función y , al valor máximode en el intervalo ; ]. 439
  • 440. MATEMÁTICA BÁSICA I Designaremos por el dominio parcial limitado por las líneas . Sean aquí tres tipos de los dominio parciales : 1) los que no se cortan por la frontera y se sitúan dentro del dominio D; 2) los que se cortan por la frontera y se sitúan fuera del dominio D; 3) lo que se cortan por la frontera del dominio D. La suma de los términos, correspondientes a los dominios parciales cortados, tiene por límite cero, cuando y , por lo que estos sumandos no se toman en cuenta. Los dominios parciales que se encuentran fuera de D y no entran en la sima integral no nos interesan por consiguiente, se puede escribir la suma integral en la forma: Donde es un punto arbitrario de . El signo de suma doble significa aquí, que al principio sumamos por el índice , considerando constante (es decir, sumamos todos los términos que corresponden a los dominios parciales comprendidos entre dos rayos vecinos). El signo de suma externo 440
  • 441. MATEMÁTICA BÁSICA Isignifica que nosotros unimos todas las sumas obtenidas durantela primera adición (es decir, sumamos por el índice ).Hallemos la expresión del área del dominio parcial , que secortan por la frontera de D. El área es igual a la diferencia de lasáreas de dos sectores:ó , dondeAsí, la suma integral tiene la formaDonde es un punto de . Saquemos el factor fueradel signo de la suma interior (esto se permite, puesto que es unfactor común para todos los términos de esta suma):Supongamos que y queda constante. En este caso, laexpresión entre paréntesis tenderá a la integralSuponiendo ahora que , definitiva obtenemos: (3)La fórmula (3) sirve para calcular integrales dobles en lascoordenadas polares. 441
  • 442. MATEMÁTICA BÁSICA I Si la primera integración se realiza por , y la segunda, por , obtenemos la formula: (3’ ) Supongamos que es preciso calcular integral doble de la función , dada en coordenadas rectangulares y extendidas por el dominio : Si es un dominio regular en coordenadas polares , el cálculo de la integral dada se puede reducir a la determinación de una integral iterada de segundo orden en coordenadas polares. En efecto, puesto que , , Por tanto, tenemos (4) 442
  • 443. MATEMÁTICA BÁSICA IEjemplo 1. Calcular el volumen V del cuerpo limitado por lasuperficie esféricay el cilindroSolución. Como el dominio de integración se puede tomar, eneste ejemplo la base de un cilindro , es decir,un circulo de radio y centro en el punto (0, ). La ecuación deeste círculo se puede escribir en la forma .Calculemos la cuarta parte del volumen V, es decir, la partedispuesta en el primer octante. Entonces, en la calidad deldominio de integración debemos tomar un semicírculo, cuyasfronteras son determinadas por las ecuaciones: , ,El integrado esPor tanto,Transformemos la integral obtenida para las coordenadas polares :Determinemos los límites de integración. Para esto escribamos laecuación de circunferencia dada en coordenadas polares: puestoque 443
  • 444. MATEMÁTICA BÁSICA I , , Tenemos: , ó Por consiguiente, las fronteras del dominio en coordenadas polares se determinan por las ecuaciones: , , , , el integrado tiene la forma Por consiguiente, obtenemos: 444
  • 445. MATEMÁTICA BÁSICA I6. SUSTITUCION DE VARIABLES EN UNA INTEGRAL DOBLE (CASO GENERAL) Sea dado en el plano un dominio D limitado por la curva L. Supongamos también que las coordenadas e son las funciones de las nuevas variables y : (1) Donde las funciones y son uniformes, continuas y que en las derivadas continuas en cierto dominio D´ que será definido abajo. En este caso, según la fórmula (1), a cada par de valores y corresponde un solo para de valores e . Supongamos, ahora, que las funciones son tales que, si damos a e los valores determinados en el dominio D, entonces, según las fórmulas (1) determinemos los valores definidos de y . Analicemos el sistema de coordenadas rectangulares . De lo expuesto arriba se deduce, que a todo punto en el plano 445
  • 446. MATEMÁTICA BÁSICA I corresponde uniformemente un punto del plano de coordenadas definidas por las fórmulas (1). Los números y se llaman coordenadas curvilíneas del punto P. Si un punto describe en el plano la curva cerrada L que limita el dominio D, entonces en el plano el punto correspondiente describirá una curva cerrada L‟ que limita un cierto dominio D´; además, a cada punto de D‟ le corresponde un punto de D. Por consiguiente, las fórmulas (1) establecen una correspondencia biunívoca entre los puntos de los dominios D y D‟, o, como se dice también, representan biun