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Geometria Nao Euclidiana
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Geometria Nao Euclidiana

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Geometria Não-Euclidiana

Geometria Não-Euclidiana

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  1. GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS
  2. <ul><li>INTRODUÇÃO: </li></ul><ul><li>Esta apresentação é o resultado do trabalho realizado pelo Professor Paulo Petros Caratsoris, aluno do curso de pós-graduação em Novas Tecnologias no Ensino da Matemática (latu senso), que foi realizado durante as atividades da disciplina Informática na Educação II, sob a supervisão da tutora a distância, a Professora Maria Inês de Souza Reynaud. </li></ul><ul><li>O objetivo principal deste trabalho é o de realizar uma apresentação às Geometrias Não-euclidianas, com a intenção de divulgar esse conteúdo muito pouco explorado nos ensinos Fundamental e Médio. </li></ul>
  3. <ul><li>GEOMETRIA NÃO-EUCLIDIANA </li></ul><ul><li>As primeiras idéias geométricas foram abstraídas da natureza pelo homem nos primeiros dias da civilização e influenciaram o desenvolvimento da humanidade. </li></ul><ul><li>Inicialmente, essas idéias refletiam as necessidades que o homem teve de buscar alternativas de sobrevivência na agricultura e no pastoreio. Em diferentes locais do planeta o homem produziu conhecimento geométrico para resolver problemas como a demarcação de terras, construção de casas, templos, palácios, entre outros. </li></ul>
  4. <ul><li>Cerca de 300 a. C., em Alexandria, Euclides sistematizou o conhecimento geométrico da época, numa obra chamada Elementos, onde, de uma forma lógica, ele organizou e sistematizou a geometria, estabelecendo os termos primitivos, axiomas, postulados e teoremas. </li></ul><ul><li>Usando como termos primitivos as noções de ponto, reta e plano, Euclides construiu seu sistema formal alicerçado em cinco postulados, a saber: </li></ul><ul><li>P 1. É possível traçar uma linha reta de qualquer ponto a </li></ul><ul><li>qualquer ponto. </li></ul><ul><li>P 2. É possível prolongar um segmento de reta indefinidamente para a construção de uma linha reta. </li></ul><ul><li>P 3. É possível traçar um círculo a partir de um centro e um raio. </li></ul><ul><li>P 4. Todos os ângulos retos são iguais entre si. </li></ul><ul><li>P 5. Se uma reta incidindo sobre duas linhas retas forma ângulos internos de um mesmo lado menores do que dois retos, prolongando-se essas duas retas indefinidamente elas se interceptarão no lado em que os dois ângulos são menores do que dois retos. </li></ul>
  5. <ul><li>O quinto postulado ficou conhecido como “Axioma das Paralelas” porque se prova que é equivalente ao seguinte: “Por um ponto exterior a uma reta passa sempre uma paralela à reta dada”. </li></ul><ul><li>Devido à complexidade relativa de formulação e o insuficiente apelo intuitivo do 5º Postulado, durante séculos diversos matemáticos tentaram deduzi-lo, e assim demonstrá-lo como um teorema. O resultado desse esforço que durou cerca de dois mil anos resistiu a todas as tentativas de demonstração. </li></ul><ul><li>O fato é que a Geometria Euclidiana funciona muito bem em superfícies planas. Porém, para algumas situações geométricas, como superfícies curvas, tal geometria é insatisfatória. </li></ul><ul><li>Foi a partir do século dezenove que, trabalhando de modo independente, alguns matemáticos famosos como Gauss, Lobachevski, Bolyai e, um pouco mais tarde, Riemann estabeleceram a independência do quinto postulado, e criaram assim novas geometrias consistentes, aplicáveis a espaços curvos, conhecidas por não-euclidianas, como a geometria esférica e a hiperbólica. </li></ul>
  6. <ul><li>GEOMETRIA ESFÉRICA </li></ul><ul><li>A geometria esférica é a geometria da superfície bi-dimensional duma esfera. </li></ul><ul><li>Nesta superfície, as linhas retas são circunferências máximas. Duas quaisquer dessas retas cortam-se em dois pontos e não existem paralelas. As trajetórias mais curtas entre os pontos, são chamadas de geodésicas. As distâncias entre dois pontos são os comprimentos medidos ao longo de um arco de circunferência máxima, e o ângulo entre duas retas é o ângulo entre estas circunferências máximas. </li></ul><ul><li>Neste tipo de geometria aplica-se uma trigonometria esférica, onde, por exemplo, a soma dos ângulos interiores dum triângulo excede os 180 graus. </li></ul><ul><li>A geometria esférica tem importantes aplicações práticas na navegação e da astronomia. </li></ul>
  7. <ul><li>GEOMETRIA HIPERBÓLICA </li></ul><ul><li>Vimos, a geometria esférica pode ser visualizada, em duas dimensões, através da superfície de uma esfera (ou elipsóide) com curvatura positiva. </li></ul><ul><li>A geometria hiperbólica, por sua vez, deve ser representada por uma superfície com curvatura negativa. Apesar do seu nome, as melhores escolhas para isso não envolvem uma hipérbole. </li></ul><ul><li>A soma dos ângulos de um triângulo desenhado nesta superfície é menor que 180 graus. Vemos também que quanto maior o triângulo, menor é a soma de seus ângulos. Isso é exatamente o contrário do que se passa na superfície da esfera que a representa. Além disso, por um ponto P podem passar infinitas &quot;retas&quot; paralelas a outra reta. </li></ul>
  8. COMPARAÇÃO ENTRE A GEOMETRIA PLANA, ESFÉRICA E HIPERBÓLICA
  9. <ul><li>REFERÊNCIAS BILBIOGRÁFICAS </li></ul><ul><li>.Thomaz, M. L. , Franco, V. S. (2008) – Geometria Não-Euclidiana/ Geometria Esférica. Paraná. </li></ul><ul><li>. Gaiowski, A. O. , Bassoi, T. S. , A Inserção das Geometrias Não-Euclidianas no Currículo da Educação Básica do Estado do Paraná. Paraná </li></ul><ul><li>. Wikipedia (2009), Geometria Esférica - Enciclopédia Livre </li></ul><ul><li>http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_esf%C3%A9rica </li></ul><ul><li>. Seara da Ciência (2009), A Geometria Hiperbólica e a Pseudo-esfera – </li></ul><ul><li>http--www_searadaciencia_ufc_br-donafifi-hiperbolica-curvaturas_gif.mht </li></ul><ul><li>. Observatório Nacional (ON), A Geometria dos Espaços Curvos ou Geometria Não-Euclidiana. </li></ul><ul><li>http://www.miniweb.com.br/ciencias/artigos/a_geometria_dos_espacos_curvos.pdf </li></ul>

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