CôNicas Como Lugar Geometrico

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CôNicas Como Lugar Geometrico

  1. 1. CÔNICAS COMO LUGAR GEOMETRICO<br />Por: Profª Paula Patrícia<br />
  2. 2. Quando você ouve falar em hipérbole, elipse e parábola pensa que estão falando grego. E estão mesmo. Foram os discípulos de Pitágoras (cerca de 540 a.C.) que usaram pela primeira vez estes termos, e é graças a eles que podemos descrever o desenho curvo que a luz projeta na parede, a parte espelhada da lâmpada de uma lanterna ou a superfície da água no copo, entre outras coisas. No século XVI, Johannes Kepler (1571 a 1630) demonstrou que a linha curva descrita por um planeta que gira ao redor do Sol é uma elipse, e Galileu Galilei (1584 a 1642) concluiu que a trajetória de um projétil é uma parábola. Essas descobertas tornaram mais evidente a importância do estudo desses tipos de curvas.<br />ONDE ENCONTRAMOS ESSAS FIGURAS GEOMÉTRICAS? <br />
  3. 3. UM POUCO DE HISTÓRIA<br /> O grego Apolônio (262 a.C. a 190 a.C.) utilizou o termo cônicas ao observar que estas curvas eram obtidas a partir de secções da superfície de um cone de folha dupla. Muito tempo mais tarde, com a criação da Geometria Analítica pelo francês René Descartes (1596 a 1662), as cônicas passaram a ser reconhecidas a partir de suas equações. A Geometria Analítica tem como idéia central a representação de pontos do espaço por meio de coordenadas. Um grande número de propriedades geométricas faz das curvas cônicas um instrumento adequado para diversas aplicações práticas.  <br />
  4. 4. Elipse<br />É o lugar geométrico dos pontos do plano em que a soma de suas distâncias até dois pontos fixos (chamados focos) é constante.<br /> Uma forma simples de desenhar a elipse é fixar as extremidades de um fio (que deve ter um comprimento maior que a distância entre os dois focos) nos focos F e F&apos;  e, mantendo-o esticado, traçar com lápis uma linha, formando a elipse.<br /> A elipse também é definida como uma curva fechada plana que se produz quando um cone de revolução é cortado por um plano oblíquo a seu eixo <br />
  5. 5. Observações:<br />1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos focos dessa trajetória.<br />     A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos planetas também apresentam esse comportamento.<br />2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos focos.<br />3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base.<br />
  6. 6. Elementos<br />Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:<br />  <br />focos : os pontos F1 e F2 <br />centro: o ponto O, que é o ponto médio de <br />semi-eixo maior: a<br />semi-eixo menor: b<br />semidistância focal: c<br />vértices: os pontos A1, A2, B1, B2<br />eixo maior: <br />eixo menor: <br />distância focal: <br />
  7. 7. Relação fundamental<br />  <br />Na figura, aplicando o Teorema de Pitágoras<br />ao triângulo OF2B2 , <br />retângulo em O, podemos <br />escrever a seguinte relação <br />fundamental:<br />a2 = b2 + c2<br />
  8. 8. Excentricidade<br />Chamamos de excentricidade o número real e tal que:<br />e = c<br /> a<br />Pela definição de elipse, 2c &lt; 2a, então c &lt; a e, conseqüentemente, 0 &lt; e &lt; 1.<br />Observação:Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência.<br />
  9. 9. Equações<br /> Vamos considerar os seguintes casos:<br />a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal<br />b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical<br />
  10. 10. Hipérbole<br /> É uma curva de dois ramos que <br /> se origina do corte de um cone de <br /> revolução por um plano paralelo <br /> ao eixo do cone.<br />A hipérbole é o lugar geométrico <br />dos pontos do plano em que a <br />diferença de suas distâncias até <br />dois pontos fixos (focos da hipérbole) é um valor constante. <br />
  11. 11. Elementos<br />focos: os pontos F1e F2<br />vértices: os pontos A1 e A2<br />centro da hipérbole: o ponto <br /> O, que é o ponto médio de <br />semi-eixo real: a<br />semi-eixo imaginário: b<br />semidistância focal: c<br />distância focal: <br />eixo real: <br />eixo imaginário:<br />
  12. 12. Excentricidade<br />Chamamos de excentricidade o número real e tal que:<br />e = c<br /> a<br />Como c &gt; a, temos e &gt; 1.<br />
  13. 13. Equações<br />Vamos considerar os seguintes casos:<br />a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox<br />F1 (-c, 0)<br />F2 ( c, 0)<br />b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy<br />
  14. 14. Parábola<br />É uma curva aberta e plana resultante <br />do corte de um cone de revolução por<br />um plano paralelo à geratriz do cone <br />A parábola corresponde ao lugar geométrico dos pontos do plano que eqüidistam de um ponto fixo e de uma reta. O ponto fixo chama-se foco (F) da parábola e a reta chama-se diretriz (DD&apos;).<br />
  15. 15. Observações:<br />1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto:<br />2ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas parabólicas.<br />3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o foco.<br />4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de seu eixo com velocidade constante é parabólica.<br />
  16. 16. Elementos<br />foco: o ponto F<br />diretriz: a reta d<br />vértice: o ponto V<br />parâmetro: p<br />o vértice V e o foco F ficam numa mesma reta, o eixo de simetria e.<br />
  17. 17. Equações<br />Vamos considerar os seguintes casos:<br />a) parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal<br />y2 = 2px<br />
  18. 18. b) parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal<br />y2 = -2px<br />c) parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria vertical<br />x2=2py<br />
  19. 19. d) parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical<br />x2= - 2py<br />
  20. 20. Bibliografia:<br />Sites:<br />www.somatematica.com.br<br />www.klickeducacao.com.br<br />Trabalho realizado para disciplina Informática Educativa II do curso de Pós-Graduação em Novas Tecnologia no Ensino da Matemática<br />

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