Teoria estructuras

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Teoria estructuras

  1. 1. Tema : Introducción Tema : INTRODUCCIÓN TRACCIÓN CORTADURAF F F TORSIÓN FLEXIÓN M F 1
  2. 2. Tema: IntroducciónI.1.- INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALESLa MECÁNICA estudia los SÓLIDOS RÍGIDOSLa RESISTENCIA DE MATERIALES estudia los SÓLIDOS DEFORMABLESSe propone el siguiente ejemplo:Se quiere levantar un cuerpo de 100 Kg de peso y para hacer menor el esfuerzo a realizar, seutiliza una barra, que a través de un apoyo intermedio O, se usará como una palanca. Se deseaen un principio calcular el esfuerzo P que se deberá aplicar en el extremo de la barra P 100 Kg O 1m 2m Fig. I.1.aSuponiendo la barra utilizada, como rígida, es la Mecánica la que resuelve el problema. Asípor la ecuación de equilibrio: ∑M O =0 P.2 = 100.1 → P = 50 KgPero la barra, en realidad, es un sólido deformable y como tal, podría ocurrir que se rompieseo que se deformase demasiado y por tanto no nos sirviese para elevar el peso de 100 Kg. 100 Kg La barra se rompe O P 1m 2m Fig. I.1.b 100 Kg La barra se deforma demasiado O P 1m 2m Fig. I.1.cSerá precisamente la RESISTENCIA DE MATERIALES la que nos ayude a dimensionar labarra a utilizar, para evitar que se rompa o que se deforme demasiado2
  3. 3. Sección I1: Introducción a la Resistencia de Materiales¡ Que no se rompa la barra ¡Las fuerzas exteriores que aplicamos sobre los cuerpos, provocan en ellos fuerzas interioreso tensiones que se oponen a las exteriores. Ello es debido porque las fuerzas exteriores alteranlas posiciones de reposo que mantenían las partículas elementales del interior del cuerpo y sedesarrollan entonces fuerzas internas que tratan de recuperar las posiciones iniciales de lasmismas Fint Fint Fext Fext en reposo Fig. I.2Al aumentar el valor de las fuerzas exteriores aumentará el valor de las fuerzas interiores yello sucederá así hasta que éstas llegan a su valor límite y ya no pueden crecer más. A partirde aquí el sólido romperá. F1int F1ext F2int>F1int F2ext>F1ext F3int=Fint max>F2int F3ext>F2ext La barra se rompe F4ext>F3ext Fig. I.3Se denomina resistencia mecánica de un cuerpo: “a las fuerzas internas máximas otensiones que es capaz de desarrollar dicho cuerpo”. Dependerá de las dimensiones delmismo y del material del que esté hecho.¡ Que no se deforme demasiado la barra ¡En el ejemplo gráfico anterior, se observa que a medida que se va aumentando la fuerzaexterna, el cuerpo se va deformando más. Se tendrá que controlar que los sólidos no sedeformen demasiado y dejen de ser útiles.Se denomina rigidez de un cuerpo: “a la resistencia que presenta a dejarse deformar”Conclusión final:La RESISTENCIA DE MATERIALES permitirá calcular: • Las fuerzas internas o tensiones. (A través de ellas se controlará que los cuerpos no se rompan) • Las deformaciones. (A través de ellas se controlará que los cuerpos no se deformen demasiado) 3
  4. 4. Tema: IntroducciónI.2.-PRINCIPIOS GENERALES EN LOS QUE SE VA A BASAR LA RESISTENCIADE MATERIALESA continuación se enunciarán tres Principios que aplicaremos en la mayor parte de laResistencia de Materiales y que servirán para simplificar los cálculosPrincipio de los Pequeños DesplazamientosSegún este Principio, se admite que al aplicar las fuerzas exteriores sobre los cuerpos, losdesplazamientos que se originan, son en la mayoría de los casos pequeños en relación con lasdimensiones de los mismos. Ello nos permitirá que las ecuaciones de equilibrio de la Estáticalas podamos aplicar sobre el cuerpo en su posición inicial, es decir sin haberse deformado.Ejemplo: Sea una estructura formada por dos cables que soportan una carga. Se desea calcularlas tensiones en los cables β α O P Fig. I.4.aAl considerar la estructura deformable, las ecuaciones de equilibrio de fuerzas, se deberíanplantear, en rigor, en la estructura ya deformada. Es decir cuando los extremos inferiores delas cuerdas y por tanto la carga P se ha trasladado al punto O´.Estableciendo pues, las ecuaciones de equilibrio en el punto O´ se tendría: β-∆β F2 α+∆α F1 β-∆β α+∆α O´ O P Fig. I.4.c O´ P ∑F x =0 F2 .sen ( β − ∆β ) = F1 .sen (α + ∆α ) Fig. I.4.b ∑F y =0 F2 . cos( β − ∆β ) + F1 . cos(α + ∆α ) = PCon estas ecuaciones de equilibrio no se podrán obtener los valores de F1 y F2 pues sedesconocen las variaciones ∆α y ∆β que han sufrido las inclinaciones de los cables.4
  5. 5. Sección I.2: Principios GeneralesSi se supone ahora que las deformaciones de los cables van a ser pequeñas y aplicamos el“Principio de los Pequeños Desplazamientos”, las ecuaciones de equilibrio se aplicarán ahoraa la estructura de cables aún sin deformar (en el punto O) y se podrá resolver fácilmente elvalor de las tensiones en ambos cables. β α F2 β F1 α O O P Fig. I.4.e P ∑F x =0 F2 .sen β = F1 .sen α Fig. I.4.d ∑F y =0 F2 . cos β + F1 . cos α = PCon estas dos ecuaciones se obtienen los valores de F1 y F2Observaciones:Los valores obtenidos de F1 y F2 no serán exactamente los reales, pero tendrán unaaproximación suficiente pata considerarlos como válidos. A partir de ellos se podrá estudiar ladeformación de la estructura.Si los desplazamientos de la estructura no fuesen tan pequeños, los resultados así obtenidosno serían válidos y no se podría aplicar este Principio.Este Principio se podrá aplicar en la mayor parte de los problemas que resuelve la Resistenciade Materiales, ya que generalmente se trabajará con pequeñas deformacionesPrincipio de la Superposición de los EfectosEste Principio dice que: “ Los efectos producidos por varias cargas actuando sobre uncuerpo (fuerzas internas o tensiones y deformaciones), se pueden obtener, siempre que lasdeformaciones producidas sean pequeñas, como suna de los efectos producidos por cadauna de las cargas actuando separadamente” = + (1) (2)tensiones = tensiones (1) + tensiones (2)deformaciones = deformaciones (1) + deformaciones (2) Fig. I.5 5
  6. 6. Tema: IntroducciónObservaciones:Este Principio es de gran utilidad y se aplicará también en muchos problemas de laResistencia de Materiales, dado que permite dividir el caso de una solicitación general decargas, que puede ser compleja, en casos sencillos que resultan haciendo actuar por separadodichas cargas y así en muchos casos poder utilizar los Prontuarios que dan soluciones paradichos casos simples de cargas.Si las deformaciones producidas fuesen grandes este Principio no se podría aplicar. Éste seríael caso, por ejemplo, de una viga de “gran esbeltez” (vigas de longitudes grandes y pequeñassecciones) sometida a una carga de compresión y otra de flexión F F P P ≠ + Fig. I.6.a Fig.I.6.b Fig.I.6.cP actuando sola → acorta la viga (Fig. I.6.b)F actuando sola → flexiona la viga (Fig. I.6.c)P y F actuando juntas → F (flexiona la viga) y P (acorta la viga y la flexiona aún más)(Fig. I.6.a)Principio de Saint VenantEste Principio dice: “Si se sustituye el sistema de fuerzas que está actuando sobre un cuerpopor otro equivalente a él, los efectos que ambos sistemas producen (tensiones ydeformaciones) serán similares en todos los puntos del cuerpo, salvo en aquellos que seencuentran en la zona próxima a donde estaban aplicadas las fuerzas” F2 R = F1 +F2 +F3 F1 F3 Fig. I.7.a Fig. I.7.bSegún este Principio las tensiones y deformaciones producidas por las cargas en (Fig. I.7.a),son las mismas que las que aparecerán en (Fig. I.7.b), salvo en la zona rayada, próxima adonde actúan las cargas, que serán diferentes:En la zona rayada: tensiones y deformaciones (Fig. I.7 a) ≠ tensiones y deformaciones (Fig.I.7.b)En el resto: tensiones y deformaciones (Fig. I.7.a) = tensiones y deformaciones (Fig. I.7.b)6
  7. 7. Sección I.2: Principios GeneralesAsí, se podrá aplicar este Principio a problemas de Resistencia de Materiales en donde lasuperficie donde actúa la carga, es pequeña en relación con las dimensiones de la pieza, puesen este caso la zona afectada por el cambio (zona rayada) tendría poca consideración. SI R=ΣF → Fig. I.8.a NO R=ΣF → Fig. I.8.bComo se observa en (Fig. I.8.a), la zona rayada (donde se van a producir las alteraciones en elestado de tensiones y deformaciones), es pequeña, con lo cual la sustitución del sistema defuerzas por su resultante, apenas va a suponer alteración de dicho estado en la viga. No ocurrelo mismo en el caso de (Fig. I.8.b), donde la zona rayada es grande y por tanto la zona dondese van a dar las alteraciones en el estado de tensiones y deformaciones, al sustituir el sistemade fuerzas por su resultante, es muy amplia, con lo cual no se podrá hacer dicha sustitución,pues se cometerían errores graves en los cálculos. 7
  8. 8. Tema 1: TensionesTema 1 : TENSIONES F1 S ∆S u σ nS F4 O ρ ∆F τ F2 1
  9. 9. Tema 1: Tensiones1.1.- CONCEPTO DE TENSIÓNConsideremos un sólido sometido a un sistema de fuerzas: F1, F2, F3, ..,Fn y que esté enequilibrio estático (no se mueve) y en equilibrio elástico (ya está deformado). F3 F1 S F4 F5 Fn F2 Fig. 1.1.aDebido a las fuerzas exteriores aparecen en el interior del sólido las fuerzasinteriores, que se oponen a la acción de las exteriores y tratan de llevar al sólido a laposición que tenía inicialmente de reposo. Para ponerlas de manifiesto seccionemos elsólido por la superficie S. F3 F1 S S ∆F ∆F Fn F4 O O F5 ∆S ∆S F2 Fig. 1.1.b Fig. 1.1.cLas dos partes en que ha quedado dividido el sólido no estarían ahora en equilibrio. Parareproducir dicho equilibrio se tendría que restablecer las acciones que cada parte delsólido ejercía sobre la otra. Estas acciones son las fuerzas interiores (∆F), fuerzas quelas partículas de un lado de la superficie S ejercían sobre las del otro ladoSe denomina: r r ∆FTensión media en el punto O: ρ med = ∆S r r ∆FTensión en el punto O: ρ = lim ∆S →0 (1.1) ∆S2
  10. 10. Sección 1.2: Tensiones normales y cortantes1.2.- TENSIONES NORMALES Y CORTANTES F1 S ∆S u σ nS F4 O ρ ∆F τ F2 Fig. 1.2 r r ∆FTensión en el punto O: ρ = lim ∆S →0 ∆S res un vector de la misma dirección y sentido que ∆F pero de menor módulo (vadividido por ∆S) r rTensión normal (σ ) : es la componente de la tensión ρ sobre la dirección normal a lasuperficie S. r r r rSe obtendrá: σ = ρ .u σ = σ .u (1.2) r siendo u el vector unitario normal a la superficie S r rTensión cortante (τ ) : es la componente de la tensión ρ sobre la propia superficie S r r rSe cumplirá que: ρ = σ +τ ρ = σ 2 +τ 2 (1.3) r r rcon lo cual: τ = ρ −σ τ = ρ2 −σ 2 (1.4)1.3.- ESTADO DE TENSIONES EN UN PUNTOSi se hubiese seccionado el sólido por diferentes superficies S que pasen por el punto O rse hubiesen obtenido diferentes valores de la tensión ρ en dicho punto, puesto que lasacciones que se estaban ejerciendo sobre el punto O por parte de los que le rodean noserían las mismas F3 F1 ρ2 ρ3 ρ1 Fn F4 F5 ρ4 F2 ρn Fig. 1.3 3
  11. 11. Tema 1: TensionesAl conjunto de todos los valores de las tensiones ρ en un punto O, correspondientes atodas las superficies que pasen por él, se le denomina: ESTADO DE TENSIONES DELPUNTO OAsí, según se ve en (Fig. 1.4.a y b), si seccionásemos por la superficie S1 actuaría latensión ρ1, si seccionásemos por la superficie Sn actuaría la tensión ρn, etc..Luego cadatensión va asociada a una Superficie F1 F1 S1 Sn ρ1 F4 F4 F2 F2 ρn Fig. 1.4.a Fig. 1.4.bCOMPONENTES DEL ESTADO DE TENSIONES EN UN PUNTODe todas las tensiones que puede haber en un punto, se verá cómo, si seleccionamos 6de ellas, a las que denominaremos “Componentes del estado de tensiones en unpunto”, a partir de ellas, se podrán conocer todas las demás.Sea O un punto del sólido cuyo “Estado de tensiones” se quiere conocer. Aislemos unelemento de volumen diferencial, en forma de paralelepípedo recto, con vértice en O,origen de un sistema de ejes coordenados: x,y,z, coincidentes con las aristas delparalelepípedo. Al ir reduciendo las dimensiones del paralelepípedo, manteniéndolesemejante a sí mismo, en el límite, el paralelepípedo tiende al punto O y todas sus caraspasan por O, con lo cual se podrá considerar las tensiones sobre sus caras comotensiones en el punto O. F3 F1 y O F4 x F5 Fn F2 z Fig. 1.54
  12. 12. Sección 1.3: Estado de tensiones en un puntoAmpliemos el paralelepípedo y por lo visto en 1.2., sobre cada una de las caras de dichoparalelepípedo habrá una tensión normal σ y una tensión cortante τ. Si descomponemosésta a su vez, en sus dos componentes sobre las direcciones de los ejes respectivos, setendrán 3 tensiones en cada una de las caras y por tanto 18 tensiones sobre elparalelepípedo completo. y σ´y τ´yx τ´yz σz τzx τ´xy τxz dy σx τ´zy σ´x τzy σ´z τ´zx τ´xz τxy O dx x τyx τyz dz z σy Fig. 1.6Nomenclatura utilizadaPara las tensiones normales: σx → el subíndice “x”, indica que esta tensión está sobreuna superficie normal al eje XPara las tensiones cortantes: τxy → el primer subíndice “x”, indica que está sobre unasuperficie normal al eje X y el segundo subíndice “y”, indica que lleva la dirección deleje YObservación: en las caras del paralelepípedo paralelas a las que contienen a los ejescoordenados, las tensiones se las distingue con un “prima” en la parte superior: σ´x, τ´xyConvenios de signos para las tensionesPara las tensiones normales: σ → se consideran positivas, (σ > 0), cuando vandirigidas en el mismo sentido que la normal saliente a la superficie donde está aplicada.(Si se observa en (Fig. 1.6), todas las tensiones normales dibujadas en las diferentescaras del paralelepípedo serían positivas).Para las tensiones cortantes: τ → se consideran positivas, (τ > 0), cuando las que estánaplicadas sobre las caras del paralelepípedo que pasan por O llevan sentido contrario alde los ejes positivos y las que están aplicadas en las caras que no pasan por O llevan elmismo sentido que los ejes positivos. (Si se observa en (Fig. 1.6), todas las tensionescortantes dibujadas en las diferentes caras del paralelepípedo serían positivas). 5
  13. 13. Tema 1: TensionesLas tensiones en las tres caras del paralelepípedo que no pasan por O ( σ´x, σ´y, σ´z, τ´xy,τ´yz, τ´zx ) se podrían expresar matemáticamente en función de las tensiones en las otrastres caras que pasan por O ( σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx ) por desarrollo de Tylor: ∂σ x ∂τ xy ∂τ xz σ ´x = σ x + .dx τ ´xy = τ xy + .dx τ ´xz = τ xz + .dx ∂x ∂x ∂x ∂σ y ∂τ yx ∂τ yz σ ´y = σ y + .dy τ ´yx = τ yx + .dy τ ´yz = τ yz + .dy (1.5) ∂y ∂y ∂y ∂σ z ∂τ zx ∂τ zy σ ´z = σ z + .dz τ ´zx = τ zx + .dz τ ´zy = τ zy + .dz ∂z ∂z ∂zSi reduciésemos las dimensiones del paralelepípedo, manteniéndose semejante a símismo, el paralelepípedo tendería al punto O y en el límite todas sus caras pasarían porO, con lo cual se podría considerar que: σ ´x = σ x τ ´xy = τ xy τ ´xz = τ xz σ ´y = σ y τ ´yx = τ yx τ ´yz = τ yz (1.6) σ ´z = σ z τ ´zx = τ zx τ ´zy = τ zyAsí pues, en este caso, serán sólo 9 las tensiones distintas que actúan sobre las caras dedicho paralelepípedo: 3 tensiones normales y 6 tensiones cortantes.Por último si establecemos las ecuaciones de equilibrio del paralelepípedo:Σ F = 0,Σ M = 0, se obtendría que: τ xy = τ yx τ yz = τ zy τ zx = τ xz (1.7 )Conclusión: Serán sólo 6 las tensiones distintas que actúan sobre las caras delparalelepípedo, que serán: σx σy σz τ xy τ yz τ zxa estas 6 tensiones se las denomina:Componentes del estado de tensiones del punto O6
  14. 14. Sección 1.3: Estado de tensiones en un puntoTENSOR DE TENSIONESSupuestamente conocidas las 6 componentes del estado de tensiones en un punto Ocualquiera: σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx , vamos a desarrollar una fórmula que permita conocerlas tensiones sobre cualquier superficie que pase por O.Para ello tracemos una superficie S que cortará al paralelepípedo diferencial en un planode área dS y aislemos del cuerpo el elemento de volumen diferencial que en forma detetraedro con vértice en O se nos ha formado. F3 F1 y dS F4 O x F5 Fn F2 z Fig. 1.7Ampliando dicho tetraedro y situando las tensiones sobre las caras del mismo será: y σz dS ρ n τxz τzx τ σx r r r r τzy σ siendo en general : ρ = ρ x .i + ρ y . j + ρ z .k u τxy x y estando la superficie dS definida por : O τ r τyx yz u ( cos α , cos β , cos γ ) σy Fig. 1.8 zEstableciendo las ecuaciones de equilibrio del tetraedro:∑F x =0 ρ x .ds = σ x .ds.cos α + τ yx .ds.cos β + τ zx .ds.cos γdividiendo por ds : ρ x = σ x .cos α + τ yx .cos β + τ zx .cos γy haciendo lo mismo en los otros ejes :∑F x =0 ρ x = σ x .cos α + τ yx .cos β + τ zx .cos γ∑F y =0 ρ y = τ xy .cos α + σ y .cos β + τ zy .cos γ (1.8)∑F z =0 ρ z = τ xz .cos α + τ yz .cos β + σ z .cos γecuaciones que expresadas en forma matricial quedará: 7
  15. 15. Tema 1: Tensiones ⎡ ρ x ⎤ ⎡σ x τ yx τ zx ⎤ ⎡ cos α ⎤ ⎢ ρ ⎥ = ⎢τ ⎥ σ y τ zy ⎥.⎢cos β ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢ xy ⎢ ⎥ (1.9) ⎢ ρ z ⎥ ⎢τ xz ⎣ ⎦ ⎣ τ yz σ z ⎥ ⎢ cos γ ⎥ ⎦⎣ ⎦ r ry en forma abreviada: ρ = T .u (1.10)siendo: ⎡σ x τ yx τ zx ⎤ ⎢ ⎥ T = ⎢τ xy σ y τ zy ⎥ "Tensor de Tensiones " (1.11) ⎢τ xz τ yz σ z ⎥ ⎣ ⎦Conclusión:Conocidas las componentes del Estado de Tensiones en un punto: σx, σy, σz, τxy, τyz, τzxy dada una superficie S cualquiera que pase por dicho punto, definida por su vectornormal unitario: u (cosα, cosβ, cosγ ), se podrá conocer, por la ecuación obtenida (1.9)la tensión ρ sobre dicha superficie.Una vez conocida la tensión ρ, se podrá obtener por las ecuaciones (1.2) y (1.3): rr r r σ = ρ .u σ = σ .u r r r (1.12) τ = ρ −σ τ = ρ 2 −σ 2Caso Particular: TENSIONES PLANAS:Se considera que un estado de tensiones es plano cuando se cumpla: σz = 0, τxz = 0, τyz = 0(Este es un caso que se presenta con mucha frecuencia)La ecuación matricial (1.9) sería: ⎡ ρ x ⎤ ⎡σ x τ yx 0⎤ ⎡ cos α ⎤ ⎢ ρ ⎥ = ⎢τ σy 0⎥.⎢cos β ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢ xy ⎥⎢ ⎥ ⎢ρ z ⎥ ⎢ 0 ⎣ ⎦ ⎣ 0 0⎥ ⎢ cos γ ⎥ ⎦⎣ ⎦o lo que es lo mismo: ⎡ ρ x ⎤ ⎡σ x τ yx ⎤ ⎡cos α ⎤ ⎢ ρ ⎥ = ⎢τ . σ y ⎥ ⎢cos β ⎥ (1.13) ⎣ y⎦ ⎣ xy ⎦⎣ ⎦ ρz = 08
  16. 16. Sección 1.4: Tensiones Principales1.4.- TENSIONES PRINCIPALESDe las infinitas Tensiones que puede haber en un punto de un sólido, relativas a lasinfinitas superficies S que pasen por él, habrá unas que tengan los valores máximo ymínimo, a las que se denominará: TENSIONES PRINCIPALES. A las superficies Scorrespondientes se las denominará : SUPERFICIES PRINCIPALES y a lasdirecciones de los vectores normales a dichas superficies se las denominará:DIRECCIONES PRINCIPALES.Para su cálculo se tendrá en cuenta, aunque no se demostrará, que en las Superficies r r rPrincipales se cumplirá: τ = 0 con lo cual : ρ = σ Existirán pues muchas superficies, como la dS1, (Fig.1.9 a), en las cuales habrátensiones normales (σ1) y cortantes (τ1) y habrá algunas, como la dS2, (Fig.1.9 b), en lasque no habrá tensiones cortantes y por tanto sólo habrá tensiones normales (σ2), con locual, en estos casos, la tensión total (ρ2) coincidirá con la tensión normal F3 F1 F3 F1 y σ1 y ρ1 ρ2 = σ 2 dS1 u1 dS2 u2 O x F4 O x F4 τ1 F5 F5 F2 z F2 z τ2 = 0 Fig. 1.9.a Fig. 1.9.b dS1: Superficie cualquiera dS2: Superficie PrincipalCÁLCULO DE LAS TENSIONES PRINCIPALESSupongamos conocidas las 6 componentes del Estado de Tensiones en un punto O:σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx y sea S una Superficie Principal que pasa por O, definida por suvector normal unitario: u (cosα, cosβ, cosγ ). r rEn función de lo dicho antes, se deberá cumplir: ρ = ρ .u con lo cual: ρ x = ρ . cos α ρ y = ρ . cos β ρ z = ρ . cos γ (1.14)y llevando estas expresiones a la ecuación (1.8) que da el valor de ρ, quedará: 9
  17. 17. Tema 1: Tensiones ρ x = σ x .cos α + τ yx .cos β + τ zx .cos γ = ( por 1.14) = ρ .cos α ρ y = τ xy .cos α + σ y .cos β + τ zy .cos γ = ( por 1.14) = ρ .cos β ρ z = τ xz .cos α + τ yz .cos β + σ z .cos γ = ( por 1.14) = ρ .cos γoperando: (σ x − ρ ). cos α + τ yx . cos β + τ zx . cos γ = 0 τ xy . cos α + (σ y − ρ ). cos β + τ zy . cos γ = 0 (1.15) τ xz . cos α + τ yz . cos β + (σ z − ρ ). cos γ = 0Y para que este sistema de ecuaciones homogéneo, tenga solución no nula, tendrá queverificarse que el determinante formado por los coeficientes sea nulo, es decir: σx −ρ τ yx τ zx τ xy σy −ρ τ zy = 0 (1.16) τ xz τ yz σz −ρResolviendo este determinante, que da lugar a una ecuación de tercer grado, seobtendrán las Tensiones Principales : ρ1, ρ2, ρ3y se cumplirá: ρ1 = σ1, ρ2 = σ2, ρ3 = σ3CÁLCULO DE LAS DIRECCIONES PRINCIPALESUna vez obtenidas las tensiones principales: ρ1, ρ2, ρ3, para conocer las direcciones enlas que éstas aparecen: direcciones principales, se resolverá el sistema de ecuaciones(1.15) obtenido anteriormente, sustituyendo en él la tensión ρ, para cada uno de losvalores obtenidos de las tensiones principales. Así será: (σ x − ρ i ). cos α i + τ yx . cos β i + τ zx . cos γ i = 0 τ xy . cos α i + (σ y − ρ i ). cos β i + τ zy . cos γ i = 0 (1.17.a ) τ xz . cos α i + τ yz . cos β i + (σ z − ρ i ). cos γ i = 0 ry para que la dirección obtenida se exprese como un vector unitario: ui = 1se auxiliará con la euación: cos 2 α i + cos 2 β i + cos 2 γ i = 1 (1.17.b)Las direcciones principales se obtendrán pues resolviendo el sistema de ecuacionesformado por (1.17.a) y (1.17.b):para ρ i = ρ1 → cos α1 , cos β1 , cos γ 1para ρ i = ρ 2 → cos α 2 , cos β 2 , cos γ 2para ρ i = ρ 3 → cos α 3 , cos β 3 , cos γ 310
  18. 18. Sección 1.4: Tensiones PrincipalesCASO PARTICULAR: TENSIONES PLANASPara el caso de tensiones planas: σz = 0, τxz = 0, τyz = 0, le ecuación (1.16) que da elcálculo de las tensiones principales se verá reducida a la ecuación siguiente: σx −ρ τ yx =0 (1.18) τ xy σy −ρResolviendo este determinante, que da lugar a una ecuación de segundo grado, seobtendrán las Tensiones Principales : ρ1, ρ2y se cumplirá: ρ1 = σ1, ρ2 = σ2Desarrollando el determinante: ρ 2 − ρ .(σ x + σ y ) + (σ x .σ y − τ xy ) = 0 2siendo las raíces de esta ecuación: (σ x + σ y ) + (σ x + σ y ) 2 − 4.(σ x .σ y − τ xy ) 2 ρ1 = 2 (σ x + σ y ) − (σ x + σ y ) 2 − 4.(σ x .σ y − τ xy ) 2 ρ2 = 2y operando: σx +σ y 1 ρ1 = σ 1 = + . (σ x − σ y ) 2 + 4 .τ xy 2 2 2 (1.19) σx +σ y 1 ρ2 = σ 2 = − . (σ x − σ y ) 2 + 4.τ xy 2 2 2Por su parte las direcciones principales se obtendrán a partir de las ecuaciones (1.17.a) y(1.17.b) eliminando los términos representativos de la tercera dimensión y se veránreducidas a las expresiones: (σ x − ρ i ). cos α i + τ yx . cos β i = 0 (1.20.a ) τ xy . cos α i + (σ y − ρ i ). cos β i + = 0 cos 2 α i + cos 2 β i = 1 (1.20.b)Las direcciones principales se obtendrán pues resolviendo el sistema de ecuacionesformado por (1.20.a) y (1.20.b): para ρ i = ρ1 → cos α1 , cos β1 para ρ i = ρ 2 → cos α 2 , cos β 2 11
  19. 19. Tema 1: Tensiones1.5.- REPRESENTACIÓN DE MOHREn los apartados anteriores se ha visto un método de cálculo analítico para el cálculo deTensiones. En este apartado se verá un método gráfico.CASO PARTICULAR: TENSIONES PLANASEl método gráfico se va a desarrollar en primer lugar para el caso de Tensiones Planas,pues es el que mas se utilizará debido a su sencillez de aplicación y la gran ayuda de suaportación gráfica.Supongamos conocidas las tres componentes del estado de tensiones plano en un puntoO: σx, σy, τxy (Fig.1.10 a). Al no existir tensiones en la tercera dimensión (z), se podrásimplificar el dibujo y representar tan sólo la proyección del ele mento diferencial devolumen sobre el plano xy. (Fig.1.10 b) y σy y σy τyx τyx τxy σ σx σx S u τxy σx α σx τxy O τxy τ x τyx O τ x z yx σy σy Fig.1.10.a Fig.1.10.bSe desea conocer las tensiones correspondientes a una superficie S cualquiera, quepasa por O y definida por su vector normal unitario:u (cosα, cosβ, 0).Empleando las ecuaciones analíticas (1.13) y (1.12) para cada superficie S se obtendránlos valores de las tensiones σ y τ correspondientes. Así: para α = α1 → superficie S1 → σ 1 ,τ 1 para α = α 2 → superficie S 2 → σ 2 ,τ 2 ............................................................................. para α = α n → superficie S n → σ n ,τ n Si representásemos estos valores obtenidos en unos ejes coordenados, en los que en eleje de abcisas llevásemos las tensiones normales y en el de ordenadas, las cortantes yuniésemos todos ellos, se demuestra, no lo haremos, que el lugar geométrico de losmismos es una circunferencia, a la que denominaremos “Circunferencia de Mohr” τ (σ2,τ2) (σ1,τ1) O σ (σn,τn) Fig.1.1112
  20. 20. Sección 1.5: Representación de MohrSe demuestra, aunque no se hará, que la circunferencia de Mohr obtenida al unir todoslos puntos: (σ1τ1), (σ2τ2),…… (σnτn), es una circunferencia que tiene por Centro yRadio los siguientes valores: 2 ⎛σ +σ y ⎞ ⎛ σ −σ y ⎞ (1.21) ⎟ + τ xy 2 Centro : ⎜ x ,0⎟ Radio : ⎜ x ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠siendo: σx, σy, τxy, las tres componentes del estado de tensiones planas en el punto O.Criterios de signos para las tensiones, al utilizar el método gráfico de Mohr • Tensiones normales (σ): se consideran positivas las tensiones normales cuyo sentido es saliente de la superficie, es decir en el sentido de la normal exterior a la superficie. Negativas en caso contrario σ<0 σ>0 S S next next Fig.1.12.a Fig.1.12.b • Tensiones cortantes (τ): se consideran positivas cuando su sentido deja a la derecha a la superficie. Dicho de otro modo, cuando su sentido de circulación (en sentido figurado), alrededor del elemento es horario. En la (Fig. 1.13.a) se representan las diferentes posiciones de τ > 0, con respecto a la superficie S. Las posiciones de τ < 0, caso contrario, se indican en la (Fig.1.13.b) τ τ τ τ τ τ S S S S S S τ S τ>0 S τ τ S τ<0 S τ S S S S S τ S τ τ τ τ τ Fig.1.13.a Fig.1.13.bObservación: Los criterios de signos utilizados para las tensiones cortantes, en larepresentación gráfica de Mohr, no coinciden con los dados en 1.3. para la resoluciónanalítica. Este hecho habrá de tenerse siempre en cuenta en la resolución de losproblemas. 13
  21. 21. Tema 1: TensionesConstrucción de la circunferencia de Mohr:Supónganse conocidas las componentes del estado de tensiones plano en un punto O:σx, σy, τxy (Fig.1.14.a) y tracemos unos ejes coordenados en donde en el eje de abcisasllevaremos las tensiones normales (σ) y en el de ordenadas las tensiones cortantes (τ).(Fig.1.14.b).La construcción de la Circunferencia de Mohr relativa a dicho estado de tensiones sehará de la siguiente forma:La superficie SA ( σx>0, τxy<0, por criterios de signos de Mohr), vendrá representada enlos ejes coordenados por el punto A. A su vez, la superficie SB ( σy>0, τyx>0, porcriterios de signos de Mohr), vendrá representada en los ejes coordenados por el puntoB. Si unimos, con una recta, los puntos A y B, la intersección de ésta con el eje deabcisas (punto C), será el centro de la circunferencia de Mohr. (Fig.1.14.b) y σy τ τyx B SB τxy σx τyx SA SA σx σy σx τxy O E C D σ SB τxy O x τyx A σy Fig.1.14.a Fig.1.14.b OD + OE σ x + σ yEfectivamente con la construcción realizada, el centro será: OC = = 2 2 2 ⎛σ x −σ y ⎞y el radio será: CA = (CD ) + (DA ) 2 2 = ⎜ ⎜ ⎟ + τ xy ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠expresiones que coinciden con las expresadas anteriormente en (1.21).14
  22. 22. Sección 1.5: Representación de MohrCálculo de las tensiones σ y τ en una superficie S cualquiera:A partir de las componentes del estado de tensiones plano en un punto O: σx, σy, τxy, sedibujará en un sistema de ejes coordenados: (σ, τ), la circunferencia de Mohr tal y comose ha indicado en el apartado anterior, obteniendo su centro y su radioIndiquemos a continuación cómo poder conocer gráficamente las tensiones σ y τcorrespondientes a una superficie S cualquiera que pase por O, definida por su vectornormal unitario: us (cosα, cosβ, 0).(Ver Fig.1.15.a) β y σy τ S τyx β 2α B SB α σ τxy τ S τyx σx uS τ SA uA σx σ σx O σy C H D σ τxy τxy O x τyx A σy Fig.1.15.a Fig.1.15.bEl procedimiento será el siguiente: Para pasar de la superficie SA (definida por uA), a lasuperficie S (definida por uS), se deberá girar, en sentido antihorario, el ángulo α. Puesbien, para pasar en la circunferencia de Mohr, del punto A, (representativo del estado detensiones de la superficie SA), al punto S, (que representará el estado de tensiones de lasuperficie S), se tendrá que girar, igualmente en sentido antihorario, el ángulo 2α (“ eldoble del anterior ”). (Ver Fig.1.15.b)Mediante este procedimiento las tensiones en la superficie S serán pues:tensión normal: σ = OH = OC + CH = OC + CS .cos βtensión cortante: τ = SH = CS .sen β(los valores de OC “centro” y CS “radio” se han obtenido anteriormente de lacircunferencia de Mohr)Observación:Como consecuencia del procedimiento anterior resultará, que dos superficiesperpendiculares que pasen por O, estarán representadas gráficamente en lacircunferencia de Mohr por dos puntos diametralmente opuestos de dichacircunferencia. Véase por ejemplo el caso de las superficies SA y SB representadas enlos puntos diametralmente opuestos A y B de la circunferencia de Mohr. (Fig.1.15.a y1.15.b) 15
  23. 23. Tema 1: TensionesCálculo de las tensiones principales:Se sabe, por lo visto en (1.4) que las tensiones principales son las tensiones máxima ymínima y que en las superficies donde aparecen, no hay tensiones cortantes. Es decir, secumple: ρ =σ, τ = 0. y 90º σy τ SB τyx B σ1=σmax σ2=σmin τyx σx uM ϕ1 σ2 σx M SN uA σx O N σy C D σ1 σ τxy SM τxy τxy SA 2ϕ1 O x A τyx σy Fig.1.16.a Fig.1.16.bDe la circunferencia de Mohr, (Fig.1.16.b), se observa que los puntos M y N de dichacircunferencia cumplen dichas condiciones. Así pues las tensiones principales serán: 2 σx +σ y ⎛σ x −σ y ⎞σ 1 = ρ1 = σ max = OM = OC + C M = C entro + Radio = + ⎜ ⎟ + τ xy 2 2 ⎝ 2 ⎠ 2 σx +σ y ⎛σx −σ y ⎞ σ 2 = ρ 2 = σ min = ON = OC − CN = Centro − Radio = − ⎜ ⎟ + τ xy 2 2 ⎝ 2 ⎠ (1.22)(son las mismas ecuaciones (1.19) obtenidas analíticamente)Las direcciones principales también se podrán obtener a partir de la circunferencia deMohr. Se observa (Fig.1.16.b), para pasar del punto A del circulo (representativo delestado de tensiones de la superficie SA), al punto M, que es donde se dará la tensiónprincipal: σ1 = σmax, hay que girar en sentido antihorario el ángulo 2ϕ1. Así pues paraobtener la superficie principal: SM, sobre la que se dará dicha tensión principal, sedeberá girar la Superficie SA, en el mismo sentido (es decir antihorario), el ángulo ϕ1.(Fig.1.16.a). AD τ xy tag 2ϕ1 = = ⇒ ϕ1siendo: CA σ x − σ y (1.23) 2La otra dirección principal, la correspondiente al punto N, donde se dará la tensiónprincipal mínima: σ2 = σmin, se obtendrá girando la anteriormente hallada otros 90º. (verFig.1.16.a), es decir en la dirección: ϕ2 = ϕ1 ± 90º (los puntos M y N están a 180º en lacircunferencia).16
  24. 24. Sección 1.5: Representación de MohrCálculo de la tensión cortante máxima:Los puntos del círculo de Mohr donde la tensión cortante es máxima, son los puntos F yG, los de máxima ordenada. (Fig.1.17). τ F B τmax τyx σ2 σx M O N σy C D σ1 σ τxy 2ϕ1 τmax A G Fig.1.17El valor de la tensión cortante máxima será pues: 2 ⎛σ x −σ y ⎞ τ max = CF = Radio = ( por ecuación 1.21) = ⎜ ⎟ + τ xy 2 (1 .24) ⎝ 2 ⎠o bien: Diámetro OM − ON σ 1 − σ 2 τ max = Radio = = = (1.25) 2 2 2Las superficies SF y SG, donde se darán las τmax, estarán a ± 45º de las superficiesprincipales SM y SN, pues los puntos F y G de la circunferencia se encuentran a 90º delos puntos M y N. (Fig.1.17).CASO DE TENSIONES TRIAXIALESSe dice que un elemento de material se encuentra en un estado de tensiones triaxialcuando está sometido a tensiones en los tres ejes coordenados.Supongamos un punto O, un paralelepípedo diferencial alrededor de él y sean los ejes 1,2 y 3, los ejes principales 2 σ2 σ3 σ1 σ1 σ3 O 1 3 σ2 Fig.1.18 17
  25. 25. Tema 1: TensionesSi se corta por una superficie inclinada S, paralela al eje 3, las tensiones σ y τ sobredicha superficie las podremos obtener del círculo de Mohr (A), (ver fig. 1.20),correspondiente a las tensiones σ1 y σ2, similar a un estado de tensiones plano (pues lastensiones σ3 no afectarían a dicha superficie). 2 nS σ θ S τ σ1 σ3 σ3 O 1 3 σ2 Fig.1.19La misma conclusión general es válida si cortásemos por una superficie S paralela al eje2 (en este caso las tensiones σ y τ sobre dicha superficie las podríamos obtener delcírculo de Mohr (B), (ver fig.1.20), correspondiente a las tensiones σ1 y σ3, similar a unestado de tensiones plano (pues las tensiones σ2 no afectarían a dicha superficie) o sicortásemos por una superficie S paralela al eje 1 (en este caso las tensiones σ y τ sobredicha superficie las podríamos obtener del círculo de Mohr (C), (ver fig.1.20),correspondiente a las tensiones σ2 y σ3).Se ha supuesto en la construcción de los círculos que: σ1 > σ2 > σ3 B τ τMAX A C τ O O σ3 σ2 σ1 σ Fig.1.20En cada uno de los círculos podremos hallar la τmax correspondiente, siendo la τMAXabsoluta la correspondiente al círculo de Mohr mayor (B) y valdría: σ −σ3 τ MAX = 1 2En el análisis anterior hemos considerado el cálculo de las tensiones σ y τ sobresuperficies S paralelas a uno de los ejes principales. Si se quisieran calcular sobre otrassuperficies S cualquiera, (no paralelas a ningún eje principal), el análisis sería algo máscomplejo y no se verá en este apartado, aunque se sabe que los valores correspondientesde σ y τ darán puntos situados sobre el área limitada por las tres circunferencias deMohr18
  26. 26. Sección 1.6: Formas de trabajo de una sección. Relaciones entre tensiones y solicitaciones1.6.- FORMAS DE TRABAJO DE UNA SECCIÓN. RELACIONES ENTRETENSIONES Y SOLICITACIONESFORMAS DE TRABAJO DE UNA SECCIÓNConsideremos un sólido sometido a un sistema de fuerzas exteriores y que se encuentraen equilibrio estático y elástico. F1 F3 S Fn F4 F5 F2 Fig. 1.21.aSegún lo visto en el apartado 1.1, si se desea conocer las Fuerzas Internas o Tensionesque aparecen en una superficie determinada S, seccionamos el sólido por dichasuperficie y nos quedamos con una de las dos partes del mismo F1 S ∆F F4 O ∆S F2 Fig. 1.21.bEl trozo de sólido seccionado no estará en equilibrio, a no ser que se restablezcan lasacciones que el otro trozo ejercía sobre él. Estas acciones son precisamente las FuerzasInternas o Tensiones que aparecerían sobre los puntos de la superficie S seccionada.Pues bien, para saber algo de ellas, hagamos lo siguiente: F1 S z G x F4 F2 y Fig. 1.21.cTomemos un sistema de ejes coordenados con origen en G (centro de gravedad de lasección S), siendo el eje X perpendicular a la superficie S y con sentido positivo salientede la misma y los ejes Y y Z los ejes principales de la sección S, con sus sentidospositivos de tal forma que formen un triedro directo 19
  27. 27. Tema 1: TensionesLa acción de las Fuerzas Exteriores, actuando sobre este trozo del sólido, en el punto G,vendrán dadas por: Rext y Mext F1 Rext Mext S z Rext = Resultante de las Fuerzas Exteriores G x Mext = Momento resultante de las Fuerzas F4 Exteriores respecto de G F2 y Fig. 1.21.dPara que este trozo de sólido seccionado esté en equilibrio, el sistema de FuerzasInteriores extendido a lo largo de la superficie S, (fuerzas que las partículas del otrolado de la superficie S que hemos apartado, estaban actuando sobre las partículas de lasuperficie S del lado del sólido que nos hemos quedado), producirán una acción en Gdada por: Rint y Mint y se tendrá que cumplir que: Rint = - Rext Mint = - Mext F1 Rext Mext S z G x F4 F2 Mint Rint y Fig. 1.21.ePor último, si proyectamos Rint y Mint sobre los tres ejes de referencia XYZ, nos darán 6componentes: Rx, Ry, Rz, Mx, My, Mz, F1 z S Rz Mz Rx G x F4 Mx My F2 Mint Ry Rint y Fig. 1.21.f20
  28. 28. Sección 1.6: Formas de trabajo de una sección. Relaciones entre tensiones y solicitacionesCada una de esas componentes nos indica una Forma de Trabajo o de Solicitación de lasección S: Rx (fuerza normal) → N (TRACCIÓN – COMPRESIÓN) Ry (fuerza cortante) → Vy (CORTADURA en eje Y) Rz (fuerza cortante) → Vz (CORTADURA en eje Z) Mx (momento torsor) → T (TORSIÓN) My (momento flector) → My (FLEXIÓN en plano XZ, alrededor del eje Y) Mz (momento flector) → Mz (FLEXIÓN en plano XY, alrededor del eje Z)Ejemplos: F1 TRACCIÓN COMPRESIÓN S z N F F F F F4 G x x x F2 y CORTADURA en eje Y F1 S F z G x F4 x F2 Vy y y F1 z CORTADURA en eje Z Vz S z G x F4 x F2 y y F TORSIÓN F1 M S z G x F4 T x F2 y FLEXIÓN en plano XZ F1 (alrededor eje y) S z z G x F4 F2 x My y y F FLEXIÓN en el plano XY F1 (alrededor eje Z) Mz S z F G x F4 F2 x y Fig.1.22 y 21
  29. 29. Tema 1: TensionesRELACIONES ENTRE TENSIONES Y SOLICITACIONESCada una de estas Solicitaciones así obtenidas serán resultado de las Tensiones (oFuerzas Internas) distribuidas a lo largo de la sección S. Unas y otras estaránrelacionadas de la siguiente manera: F1 Sección S Vz z S Mz T N G x G F4 dS σ My y z τ ρ z τxz F2 Vy τxy τ y y Fig. 1.23.a Fig.1.23.b N = ∫ σ x .dS V y = ∫ τ xy .dS V z = ∫ τ xz .dS S S S (1.26) T = ∫ (τ S xz . y − τ xy .z ).dS M y = ∫ σ x .z.dS S M z = ∫ σ x . y.dS SEstas ecuaciones se utilizarán para calcular las Tensiones o Fuerzas internas en cadauno de los puntos de una sección S, una vez conocidas las Solicitaciones (Resultante yMomento resultante de las Fuerzas interiores: N, Vy, Vz, T, My, Mz) .22
  30. 30. Tema 2: DeformacionesTema 2 : DEFORMACIONES F1 F3 γ1/2 γ2/2 ε2 ε1 u1 δ1 δ2 u2 u3 δ3 O ε3 γ3/2 F2 Fn 1
  31. 31. Tema 2: Deformaciones2.1.- INTRODUCCIÓNLos cuerpos se deforman debido a la acción de las fuerzas aplicadas. Para conocer ladeformación de un cuerpo es preciso conocer primero la deformación de uno cualquierade los paralelepípedos elementales que lo forman.Veremos a continuación cómo la deformación de un paralelepípedo elemental se puededescomponer e cuatro partes:1º.- Una TRASLACIÓN que lleva el origen del paralelepípedo del punto O al punto O´ F3 F1 y O x Fn F4 O´ F5 F2 z Fig. 2.12º.-Una ROTACIÓN del paralelepípedo alrededor de un eje que pasa por O´ F3 F1 Eje Rotación F4 O´ F5 Fn F2 Fig. 2.2Estas dos primeras partes van a originar el movimiento del paralelepípedo, pero sindeformarse2
  32. 32. Sección 2.1: Introducción3º.-Unas DEFORMACIONES LINEALES de las aristas del paralelepípedo F3 F1 F4 O´ F5 Fn F2 Fig. 2.34º.- Unas DEFORMACIONES ANGULARES “SIMÉTRICAS” de los ángulos queforman las aristas del paralelepípedo, inicialmente a 90º. F3 F1 F4 O´ F5 Fn F2 Fig. 2.4Estas dos últimas partes son las que originan la deformación propiamente dicha delparalelepípedo.Observación:En la 4ª parte nos hemos referido a Deformaciones Angulares “Simétricas”. El por quéde ello lo veremos a continuación:Supongamos la cara del paralelepípedo contenida en el plano XOY y supongamos, porejemplo, que la arista OA gira 4º en sentido antihorario y la arista OB gira 2º en sentidohorario. Estas deformaciones angulares las podemos obtener como suma de dosacciones: en una primera acción hacemos girar las aristas el mismo ángulo, lo quedenominaremos deformación angular simétrica, que sería la media aritmética de las dos,o sea: 3º y en la segunda acción completamos la deformación angular inicial, con lo cualla arista OA habría que girarla 1º mas en sentido antihorario y la arista OB restarla 1º,osea, girarla 1º en sentido horario. Ésta acción sería una rotación 2º 3º 1º B deformación B deformación B rotación angular angular simétrica = + 4º 3º 1º O A O A O A 3
  33. 33. Tema 2: Deformaciones2.2.- CONCEPTO DE DEFORMACIÓNComo consecuencia de la deformación propiamente dicha del paralelepípedo:deformaciones lineales y deformaciones angulares simétricas, el vértice D delparalelepípedo experimentará el desplazamiento DD´, con lo cual el elemento linealOD, modifica su longitud y gira un ángulo transformándose en el elemento lineal OD´. y D D´ Do δ 1 Do´ O x z Fig. 2.5Definición: Se denomina DEFORMACIÓN UNITARIA (δ) del elemento lineal OD, alcociente entre el desplazamiento sufrido por su extremo: DD´ y la longitud del elementolineal: OD, es decir: r DD´ δ = (2.1) ODSi observamos la fig.2.5. se ve que δ es el desplazamiento que sufre el vector unitarioODo en la dirección del elemento lineal OD. En efecto, por semejanza de triángulosODD´y ODoDo´ se obtiene: δ DD´ DD´ = → δ= 1 OD ODDescompondremos a continuación el vector δ en dos componentes: una sobre la propiadirección del elemento lineal OD, a la que denominaremos: DEFORMACIÓNLONGITUDINAL UNITARIA (ε) y otra en dirección perpendicular al elemento linealOD, a la que denominaremos: DEFORMACIÓN ANGULAR UNITARIA (γ/2). Secumplirá: y D r D´ r r γ δ =ε + γ/2 2 Doε (2.2) 1 δ Do´ ⎛γ ⎞ 2 δ = ε2 +⎜ ⎟ x ⎝2⎠ O z Fig. 2.64
  34. 34. Sección 2.2: Concepto de deformación2.3.- ESTADO DE DEFORMACIONES EN UN PUNTOComo se verá a continuación, va a existir una analogía entre el Estado de Tensiones y elEstado de DeformacionesTal y como se vió en 1.3 que……………..”a cada superficie S que pase por un punto Ode un sólido le corresponde una tensión ρ, con componentes: σ (tensión normal) y τ(tensión cortante)”……………..y “al conjunto de todas las tensiones que pueda haberen un punto O se las denomina: Estado de Tensiones del punto O”En el caso de las deformaciones va a ocurrir algo similar:“A cada elemento lineal que pasa por un punto O de un sólido le corresponde unadeformación unitaria δ, con componentes: ε (deformación longitudinal unitaria) y γ/2(deformación angular unitaria).” F1 F3 γ1/2 γ2/2 ε2 ε1 u1 δ1 δ2 u2 u3 δ3 O ε3 γ3/2 F2 Fn Fig. 2.7“Al conjunto de todas las deformaciones que pueda haber en el punto O sw ledenomina: Estado de Deformaciones del puno O”Siguiendo con dicha analogía, vimos en 1.3 que…………….”de las infinitas Tensionesque puede haber en un punto O correspondientes a las infinitas superficies que pasanpor él, conocidas 6 de ellas: σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx, denominadas componentes delestado de tensiones en el punto O, podremos conocer todas las demás a través de laecuación (1.9): ⎡ ρ x ⎤ ⎡σ x τ yx τ zx ⎤ ⎡ cos α ⎤ ⎢ ρ ⎥ = ⎢τ ⎥⎢ ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢ xy σ y τ zy ⎥.⎢cos β ⎥ ⎢ ρ z ⎥ ⎢τ xz τ yz σ z ⎥ ⎢ cos γ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦Pues bien, en el caso de las Deformaciones ocurrirá algo similar y así podremos decir:“De las infinitas Deformaciones que puede haber en un punto O, correspondientes a lasinfinitas direcciones de elementos lineales que puedan pasan por él, conocidas 6 deellas: εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx, denominadas componentes del estado de deformaciones en elpunto O, podremos conocer todas las demás, a través de una ecuación matricial, quecomo ahora se verá, será similar a la de las tensiones (1.9).” 5
  35. 35. Tema 2: DeformacionesSea un punto O del interior de un sólido en el que se suponen conocidas las 6componentes del estado de deformaciones: εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx y sea OD un elementolineal cuya deformación unitaria δ se desea conocer.La dirección del elemento lineal OD la definiremos por su vector unitario: u = ODo ,dado por sus cosenos directores: u (cos α, cos β, cos γ). Construyamos ahora unparalelepípedo con diagonal entre vértices opuestos ODo = 1 (ver fig.2.8). Elparalelepípedo así construido tendrá por aristas: cos α (en dirección del eje OX), cos β(en dirección del eje OY) y cos γ (en dirección del eje OZ). y D D´ Do δ cos β 1 Do´ u O cos α x cos γ z Fig. 2.8Para obtener el valor de la deformación unitaria δ calcularemos y sumaremos loscorrespondientes desplazamientos sufridos por el punto Do debidos a las deformacioneslongitudinales y angulares unitarias dadas, correspondientes al punto O: εx, εy, εz, γxy,γyz, γzx. • Desplazamiento δ debido a las deformaciones longitudinales: εx, εy, εz, y εy.cosβ δ cos β cos α εx.cosα O x cos γ εz.cosγ z Fig. 2.9 δ x = ε x . cos α δ y = ε y . cos β δ z = ε z . cos γ6
  36. 36. Sección 2.3: Estado de deformaciones en un punto • Desplazamiento δ debido a las deformaciones angulares: γxy, γyz, γzx. y (γyx/2).cosβ δ γyx/2 γ yx δx = . cos β 2 cos β (γxy/2).cosα γ xy δy = . cos α 2 γxy/2 O cos α x O cos α γxz/2 x γ zx cos γ (γxz/2).cosα δx = . cos γ 2 γ xz γzx/2 δz = . cos α 2 δ z (γzx/2).cosγ (γyz/2).cosβ y δ γ zy δy = . cos γ γyz/2 2 (γzy/2).cosγ γ yz cos β δz = . cos β 2 γzy/2 O z cos γ Fig. 2.10.a), b), c)Sumando finalmente todos los desplazamientos δ obtenidos quedaría: γ yx γ zx δ x = ε x . cos α + . cos β + . cos γ 2 2 γ xy γ zy (2.3) δy = . cos α + ε y . cos β + . cos γ 2 2 γ xz γ yz δz = . cos α + . cos β + ε z . cos γ 2 2 7
  37. 37. Tema 2: DeformacionesPoniendo las ecuaciones (2.3) en forma matricial, sería: ⎡ γ yx γ zx ⎤ ⎢ εx ⎥ ⎡δ x ⎤ ⎢ 2 2 ⎥ ⎡cos α ⎤ ⎢δ ⎥ = ⎢ γ xy εy γ zy ⎥ ⎢ .⎢cos β ⎥ (2.4) ⎢ y⎥ ⎢ 2 2 ⎥ ⎥ ⎢δ z ⎥ ⎢ γ ⎣ ⎦ γ yz ⎥⎣⎢ cos γ ⎥ ⎦ ⎢ xz εz ⎥ ⎣ 2 2 ⎦ r ry en forma abreviada: δ = D.u (2.5)siendo: γ yx γ zx εx 2 2 γ xy γ zy D= εy "Tensor de Deformaciones" 2 2 γ xz γ yz εz 2 2Conclusión:Conocidas las componentes del Estado de Deformaciones en un punto O: εx, εy, εz, γxy,γyz, γzx y dada una dirección OD cualquiera, definida por su vector unitario:u (cosα, cosβ, cosγ ), se podrá conocer, por la ecuación obtenida (2.4), la deformación δen dicha dirección.Una vez conocida la deformación δ, se podrá obtener ε y γ/2, (ver fig.2.6): rr r r ε = δ .u ε = ε .u r r (2.6) γ r γ =δ −ε = δ 2 −ε 2 2 2CASO PARTICULAR: DEFORMACIONES PLANASSe considera un estado de deformaciones planas cuando se cumpla: ε z = 0, γ xz = 0, γ yz = 0La ecuación matricial (2.4) se verá reducida a: ⎡ γ yx ⎤ ⎡δ x ⎤ ⎢ ε x ⎥ 2 ⎥.⎡ cos α ⎤ ⎢δ ⎥ = ⎢ γ ⎢cos β ⎥ (2.7) ⎣ y ⎦ ⎢ xy εy ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ 2 ⎣ ⎥ ⎦8
  38. 38. Sección 2.3: Estado de deformaciones en un puntoConvenios de signos para las deformacionesPara las deformaciones longitudinales: ε → se consideran positivas, (ε > 0), cuandoexpresen alargamientos (negativas en caso contrario) D D ε>0 ε<0 1 Do´ Do 1 Do O Do´ O Fig. 2.11 el vector unitario ODo, en la dirección OD, el vector unitario ODo, en la dirección OD, se alarga y pasa a ODo´ se acorta y pasa a ODo´Para las deformaciones angulares: γ → se consideran positivas, (γ > 0), cuandoindiquen una disminución del ángulo recto inicial que forman las aristas delparalelepípedo que están en los ejes coordenados (negativas en caso contrario) y γyx/2 y γ /2 B yx B´ B´ B γxy > 0 γxy < 0 A´ γxy/2 A O A x O γxy/2 x A´ Fig. 2.12Lo mismo sería con γxz y γyzObservaciones: Analogías entre el Estado de Tensiones y el Estado dedeformacionesVistas las analogías entre el Estado de Tensiones y el Estado de Deformaciones, sepodrá concluir que si se en todas las ecuaciones obtenidas en el Tema 1 sobreTensiones, se hacen los siguientes cambios: r r r r r γ ρ → δ σ → ε τ → 2se obtendrán las ecuaciones equivalentes correspondientes al Tema 2 sobreDeformaciones.En efecto: 9
  39. 39. Tema 2: Deformaciones TENSIONES DEFORMACIONES ⎡ γ yx γ zx ⎤ ⎢ εx ⎥ ⎡ ρ x ⎤ ⎡σ x τ yx τ zx ⎤ ⎡ cos α ⎤ ⎡δ x ⎤ ⎢ 2 2 ⎥ ⎡cos α ⎤ ⎢ ρ ⎥ = ⎢τ ⎥ ⎢δ ⎥ = ⎢ γ xy γ zy ⎥ ⎢ .⎢cos β ⎥ (2.4) ⎢ y ⎥ ⎢ xy σ y τ zy ⎥.⎢cos β ⎥ (1.9) ⎢ y⎥ ⎢ 2 εy ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎥ ⎢ ρ z ⎥ ⎢τ xz ⎣ ⎦ ⎣ τ yz σ z ⎥ ⎢ cos γ ⎥ ⎢δ z ⎥ ⎢ γ ⎣ ⎦ γ yz ⎥⎣⎢ cos γ ⎥ ⎦ ⎦⎣ ⎦ εz ⎥ ⎢ xz ⎣ 2 2 ⎦ rr r r rr r r σ = ρ .u σ = σ .u ε = δ .u ε = ε .u (1.12) r r (2.6) r r r γ r γ τ = ρ −σ τ = ρ 2 −σ 2 =δ −ε = δ 2 −ε 2 2 22.4.- DEFORMACIONES PRINCIPALESDe las infinitas Deformaciones que puede haber en un punto O de un sólido, relativas alas infinitas direcciones OD que se puedan considerar, habrá unas que tengan losvalores máximo y mínimo a las que se denominará: DEFORMACIONESPRINCIPALES. A las direcciones correspondientes en la que eso ocurre, se lasdenominará : DIRECCIONES PRINCIPALES.Ocurrirá pues igual que con las tensiones, que en las direcciones principales se cumpliráque: γ / 2 = 0 y por tanto: δ = ε. F3 F3 F2 F2 y D y D Do ε γ/2 Doε = δ 1 1 δ O x z O x z γ/2 = 0 Fn Fn F1 F1 OD: dirección OD: dirección cualquiera principal Fig. 2.1310

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