Primer Principio de
TermodinámicaTermodinámica
BIOFISICOQUIMICA
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CONTENIDOCONTENIDO
1.- Trabajo, Calor, Energía.
2.- El Primer Principio de la Termodinámica.
Energía Interna (U)
3.- Ental...
PRIMER PRINCIPIO LA ENERGÍA DEL UNIVERSO SE
CONSERVA
Es imposible realizar un trabajo sin consumir una energía
.
uff, uff
...
PRIMER PRINCIPIO LA ENERGÍA DEL UNIVERSO SE
CONSERVA
La energía
potencial se
transforma en
energía cinética
La pérdida de ...
1.1.-- TRABAJO. CALOR, ENERGÍA.TRABAJO. CALOR, ENERGÍA.
TRABAJO (PV)TRABAJO (PV)
Pext
F P A====
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• Frente a Pext=P2 constante
2
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( ) 0W P V V= − − <
TRABAJO (PV) Expansión-(Compresión)
Pext
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1.1.-- TRABAJO. CALOR, ENERGÍA.TRABAJO. CALOR, ENERGÍA.
CALORCALOR
Un sistema cede E en forma de Q si se transfiere como r...
PRIMER PRINCIPIO
T=20ºC T=40ºC
1.1.-- TRABAJO. CALOR, ENERGÍA.TRABAJO. CALOR, ENERGÍA.
Estado Inicial Estado Final
Q
PRIMER PRINCIPIO LA ENERGÍA DEL UNIVERSO SE
CONSERVA
El calor y el trabajo son formas equivalentes de
variar la energía de...
1.1.-- TRABAJO. CALOR, ENERGÍA.TRABAJO. CALOR, ENERGÍA.
Calor y el trabajo se “distinguen” por su efecto sobre las
molécul...
1.1.-- TRABAJO. CALOR, ENERGÍA.TRABAJO. CALOR, ENERGÍA.
SISTEMA
TRABAJO
Transferencia
electrónica
CALOR
• son formas de va...
1.1.-- TRABAJO. CALOR, ENERGÍA.TRABAJO. CALOR, ENERGÍA.
Criterio de signosCriterio de signos
W > 0 W < 0
SISTEMA
Q > 0
W >...
La energía es la capacidad para hacer un trabajo
1.1.-- TRABAJO. CALOR, ENERGÍA.TRABAJO. CALOR, ENERGÍA.
ENERGÍAENERGÍA
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No es posible conocer la energía de un sistema,
sólo conocemos su cambio en un proceso ∆∆∆∆U=U2-U1
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2.2.-- PRIMER PRINCIPIO. ENERGÍA INTERNA.PRIMER PRINCIPIO. ENERGÍA INTERNA.
∆∆∆∆U = Q + W
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Termodinámic...
2.2.-- PRIMER PRINCIPIO. ENERGÍA INTERNA.PRIMER PRINCIPIO. ENERGÍA INTERNA.
∆∆∆∆U = Q + W
1er Principio de la
Termodinámic...
Proceso a V = cte V2 = V1 dV=0
2.2.-- PRIMER PRINCIPIO. ENERGÍA INTERNA.PRIMER PRINCIPIO. ENERGÍA INTERNA.
ENERGÍA INTERNA...
Proceso a P = cte
3.3.-- ENTALPÍA.ENTALPÍA.
1º Principio ∆U=Q+W
2
V
U Q W Q P dV∆ = + = −∫
2
( )
V
Q P dV Q P V V= − = − −...
3.3.-- ENTALPÍA.ENTALPÍA.
H ≡≡≡≡ U + PV
• Una forma de determinar ∆U = QV
• Una forma de determinar ∆H = QP
Q=I.V.t
Relaci...
4.4.-- CAPACIDAD CALORÍFICA.CAPACIDAD CALORÍFICA.
( , , ) 2 1( )T P VQ mC T T= −= −= −= −
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T T
Q q
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T dT→→→→
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4.4.-- CAPACIDAD CALORÍFICA.CAPACIDAD CALORÍFICA.
Puesto que Q = ∆U y Q = ∆H
Capacidad calorífica molar de una sustancia: ...
CP
(J/g.K)
t (ºC)
300bar
500bar
1bar0
5
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350
650
150bar
CP≡f(T,P,V)
Differential Scanning Calorimetry (DSC)
t (ºC)
(J/g....
¿Cuál es la relación entre CP y CV?
4.4.-- CAPACIDAD CALORÍFICA.CAPACIDAD CALORÍFICA.
P V
P V
H U
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T T
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¿Cuál es la relación entre CP y CV?
4.4.-- CAPACIDAD CALORÍFICA.CAPACIDAD CALORÍFICA.
P V
P V
H U
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T T
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4.4.-- CÁLCULO DECÁLCULO DE ∆∆U yU y ∆∆H en procesos sencillosH en procesos sencillos
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4.4.-- CÁLCULO DECÁLCULO DE ∆∆U yU y ∆∆H en procesos sencillosH en procesos sencillos
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4.4.-- CÁLCULO DECÁLCULO DE ∆∆U yU y ∆∆H en procesos sencillosH en procesos sencillos
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4.4.-- CÁLCULO DECÁLCULO DE ∆∆U yU y ∆∆H en procesos sencillosH en procesos sencillos
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  1. 1. Primer Principio de TermodinámicaTermodinámica BIOFISICOQUIMICA Dra.BelkysHidalgoDra.BelkysHidalgoDra.BelkysHidalgoDra.BelkysHidalgo
  2. 2. CONTENIDOCONTENIDO 1.- Trabajo, Calor, Energía. 2.- El Primer Principio de la Termodinámica. Energía Interna (U) 3.- Entalpía (H) 4.- Capacidad Calorífica 5.- Cálculo de ∆∆∆∆U y de ∆∆∆∆H en procesos sencillos de sistemas cerrados
  3. 3. PRIMER PRINCIPIO LA ENERGÍA DEL UNIVERSO SE CONSERVA Es imposible realizar un trabajo sin consumir una energía . uff, uff Fuerza 2X X W Fdx= ∫ W=F x Trabajo realizado por el hombre Fuerza aplicada Distancia que se desplaza el objeto Fuerza distanciaX1 X2 1X∫ Trabajo=área [N.m=J] Energía = Capacidad para realizar un trabajo
  4. 4. PRIMER PRINCIPIO LA ENERGÍA DEL UNIVERSO SE CONSERVA La energía potencial se transforma en energía cinética La pérdida de energía potencial acelera el se acelera 21 2mgh mv cte+ = potencial acelera el deslizamiento del objeto cae energía química (carbón) energía interna (agua líquida vapor de agua) el vapor se expande Trabajo energía cinética Reacción Química Cambio de Fase
  5. 5. 1.1.-- TRABAJO. CALOR, ENERGÍA.TRABAJO. CALOR, ENERGÍA. TRABAJO (PV)TRABAJO (PV) Pext F P A==== Pext . J/K.mol at.l x . J . at.l/Kmol = 8 314 1 101 4 0 082 Unidades xw F dx==== Pint Equilibrio mecánico x extF P A==== Pext = Pint /A V x==== Pext > Pint Pint dx sistema ext w P dV= −= −= −= − embolo ext w P dV==== Pext = Pint Estado inicial Estado final
  6. 6. ( ) 0W P V V= − − < TRABAJO (PV) Expansión-(Compresión) Pext dx P 1Pext 2 P’ • Frente a Pext=P2 constante 2 1 V extV W P dV= −∫ 2 2 1 ( ) 0W P V V= − − < Pext < Pint Pint Estado Inicial 1 VPint Pext = Pint Estado Final 2 [ ]1 2 2 '( ' ) ( ')W P V V P V V= − − + − 2 etapas V’
  7. 7. 2 2 1 ( ) 0W P V V= − − < TRABAJO (PV) Expansión-(Compresión) Pext dx P V 1 Pext 2 • Frente a Pext=P2 constante 2 1 V extV W P dV= −∫Irreversible Pext < Pint Pint Estado Inicial 1 V Pint Pext = Pint Estado Final 2 V 1P 2 • Expansión Reversible ∝∝∝∝ etapas 2 2 1 1 V V ext gasV V W P dV P dV= − = −∫ ∫ • Gas Ideal nRT W dV V = −∫ • G I y T=cte dV W nRT V = − ∫ 2 1 V V W nRT Ln= − Reversible
  8. 8. 1.1.-- TRABAJO. CALOR, ENERGÍA.TRABAJO. CALOR, ENERGÍA. CALORCALOR Un sistema cede E en forma de Q si se transfiere como resultado de una diferencia de T entre el sistema y el entorno. ( , ) 2 1( )T PQ mC T T= −= −= −= −( , ) 2 1( )T PQ mC T T= −= −= −= − la T sistema varía hasta igualar la Talrededores Unidades : Julio 1 cal = 4.184 J
  9. 9. PRIMER PRINCIPIO T=20ºC T=40ºC 1.1.-- TRABAJO. CALOR, ENERGÍA.TRABAJO. CALOR, ENERGÍA. Estado Inicial Estado Final Q
  10. 10. PRIMER PRINCIPIO LA ENERGÍA DEL UNIVERSO SE CONSERVA El calor y el trabajo son formas equivalentes de variar la energía de un sistema Joule Trabajo mecánico calor Trabajo eléctrico
  11. 11. 1.1.-- TRABAJO. CALOR, ENERGÍA.TRABAJO. CALOR, ENERGÍA. Calor y el trabajo se “distinguen” por su efecto sobre las moléculas del entorno Q W
  12. 12. 1.1.-- TRABAJO. CALOR, ENERGÍA.TRABAJO. CALOR, ENERGÍA. SISTEMA TRABAJO Transferencia electrónica CALOR • son formas de variar la E del sistema • no son funciones de estado • no es “algo” que posea el sistema BANCO efectivo cheques
  13. 13. 1.1.-- TRABAJO. CALOR, ENERGÍA.TRABAJO. CALOR, ENERGÍA. Criterio de signosCriterio de signos W > 0 W < 0 SISTEMA Q > 0 W > 0 W < 0 Q < 0
  14. 14. La energía es la capacidad para hacer un trabajo 1.1.-- TRABAJO. CALOR, ENERGÍA.TRABAJO. CALOR, ENERGÍA. ENERGÍAENERGÍA E = U+ E E debida a la posición del sistema en un campo de fuerzas (gravitacional, eléctrico, magnético) y a su movimiento en conjunto: Eotras Esistema= U+ Eotras Energía Interna, U característica del sistema (Et, Er, Ev de moléculas) depende del estado de agregación del sistema La energía es una función de estado La energía es una propiedad extensiva Unidades: Julio (J) ( , , )U f T P V≡≡≡≡ [[[[ ]]]]/J mol U U n ====Puedo definir una propiedad intensiva
  15. 15. No es posible conocer la energía de un sistema, sólo conocemos su cambio en un proceso ∆∆∆∆U=U2-U1 2.2.-- PRIMER PRINCIPIO. ENERGÍA INTERNA.PRIMER PRINCIPIO. ENERGÍA INTERNA. ENERGÍAENERGÍA Energía interna (U) (Suma de energías a nivel molecular) • Función de estado • Magnitud extensiva (Suma de energías a nivel molecular) ¿Cómo podemos aumentar U de un sistema cerrado? 1) Realizando un trabajo 2) Calentándolo ⇒ calor ∆∆∆∆U = Q + W 1er Principio de la Termodinámica
  16. 16. 2.2.-- PRIMER PRINCIPIO. ENERGÍA INTERNA.PRIMER PRINCIPIO. ENERGÍA INTERNA. ∆∆∆∆U = Q + W 1er Principio de la Termodinámica Proceso Cíclico A→A P V A B 0final inicial A AU U U U U∆ = − = − =∆ = − = − =∆ = − = − =∆ = − = − = Proceso Cíclico A→A W Q= −= −= −= − Es imposible realizar un trabajo sin consumir una energía
  17. 17. 2.2.-- PRIMER PRINCIPIO. ENERGÍA INTERNA.PRIMER PRINCIPIO. ENERGÍA INTERNA. ∆∆∆∆U = Q + W 1er Principio de la Termodinámica Proceso Cíclico A→A UU ==== ∆∆∆∆∆∆∆∆P V A B 0final inicial A AU U U U U∆ = − = − =∆ = − = − =∆ = − = − =∆ = − = − = Proceso Cíclico A→A W Q= −= −= −= − Es imposible realizar un trabajo sin consumir una energía BABA UU ==== ∆∆∆∆∆∆∆∆ ( , , )U f T P V≡≡≡≡ V T U U dU dT dV T V ∂ ∂    = +    ∂ ∂    U ≡≡≡≡ función de estado
  18. 18. Proceso a V = cte V2 = V1 dV=0 2.2.-- PRIMER PRINCIPIO. ENERGÍA INTERNA.PRIMER PRINCIPIO. ENERGÍA INTERNA. ENERGÍA INTERNAENERGÍA INTERNA v ∆U = Q + 0 = Q⇒ • Nuevo significado de ∆U = QV • Nos da una forma de determinar ∆U 2 1 V extV W P dV=−∫ V
  19. 19. Proceso a P = cte 3.3.-- ENTALPÍA.ENTALPÍA. 1º Principio ∆U=Q+W 2 V U Q W Q P dV∆ = + = −∫ 2 ( ) V Q P dV Q P V V= − = − −∫ 2 2 1 1 ( ) ( )P Q U PV U PV= + − += + − += + − += + − + H ≡≡≡≡ U + PV Entalpía (H) • Función de estado H≡≡≡≡f(T,P,V,U) • Propiedad extensiva • Unidades de energía (J) • [ / ] H H J mol n ≡≡≡≡ v 2 1 extV U Q W Q P dV∆ = + = −∫ 1 2 1 ( )ext VP PQ P dV Q P V V= − = − −∫ P=cte H2 H1 = ∆∆∆∆HQP ∆U=U2-U1 •Nos da una forma de determinar ∆H
  20. 20. 3.3.-- ENTALPÍA.ENTALPÍA. H ≡≡≡≡ U + PV • Una forma de determinar ∆U = QV • Una forma de determinar ∆H = QP Q=I.V.t Relación entre ∆H y ∆U ∆H = ∆U + ∆(PV) Si P=cte ∆H = ∆U + P∆V ∆H ≅ ∆U proceso sól/líq ∆(PV) = P∆V+V∆P+∆P∆V = P2V2-P1V1 Q=I.V.t
  21. 21. 4.4.-- CAPACIDAD CALORÍFICA.CAPACIDAD CALORÍFICA. ( , , ) 2 1( )T P VQ mC T T= −= −= −= − 2 1 lim T T Q q C T dT→→→→ ≡ =≡ =≡ =≡ = ∆∆∆∆ El Q se definió como la energía trasferida como consecuencia de una diferencia de T Capacidad Calorífica •si no hay cambio de fase •ni reacción química Capacidad calorífica de una sustancia: cantidad infinitesimal de calor necesaria para elevar su T en una cantidad dT . [J⋅K-1] • Depende de la naturaleza de la propia sustancia • Puesto que Q depende de la trayectoria del cambio de estado, para definir C hay que definir la trayectoria
  22. 22. 4.4.-- CAPACIDAD CALORÍFICA.CAPACIDAD CALORÍFICA. Puesto que Q = ∆U y Q = ∆H Capacidad calorífica molar de una sustancia: cantidad de calor necesaria para elevar la T de un mol de dicha sustancia un grado. Calor específico de una sustancia: cantidad de calor necesaria para elevar la T de un gramo de dicha sustancia un grado. [J⋅g-1⋅K-1] [[[[ ]]]]/ .C J K mol≡≡≡≡ p v v 1 1 n n 1 1 n T n P P V q H C dT T q U C d T ∂  = =   ∂  ∂  = =   ∂  Capacidad calorífica molar a P cte Capacidad calorífica molar a V cte Puesto que QV = ∆U y QP = ∆H en un sistema cerrado, en equilibrio o proceso reversible y sólo W(P-V) es posible definir : U,H≡f(T,P,V) ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ p. Intensivas f=(T,P,V)
  23. 23. CP (J/g.K) t (ºC) 300bar 500bar 1bar0 5 25 350 650 150bar CP≡f(T,P,V) Differential Scanning Calorimetry (DSC) t (ºC) (J/g.K) CP P (bar) 400ºC 0 5 30 0 1000500 500ºC350ºC 600ºC H2O CP > 0 CV > 0 CP ≠ CV
  24. 24. ¿Cuál es la relación entre CP y CV? 4.4.-- CAPACIDAD CALORÍFICA.CAPACIDAD CALORÍFICA. P V P V H U C C T T ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂             − = −− = −− = −− = −            ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂             P P V U V U P T T T ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂                     = + −= + −= + −= + −                    ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂                     H U PV≡ +≡ +≡ +≡ + ( , )U f T V≡≡≡≡ H U PV≡ +≡ +≡ +≡ + ( , )V f T P≡≡≡≡ V T U U dU dT dV T V ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂             = += += += +            ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂             P T V V dV dT dP T P ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂             = += += += +            ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂             P V T P U V C C P V T     ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂             − = +− = +− = +− = +                ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂                 P V T P U U U V T T V T ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ = += += += + ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂                                                                                       
  25. 25. ¿Cuál es la relación entre CP y CV? 4.4.-- CAPACIDAD CALORÍFICA.CAPACIDAD CALORÍFICA. P V P V H U C C T T ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂             − = −− = −− = −− = −            ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂             P P V U V U P T T T ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂                     = + −= + −= + −= + −                    ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂                     H U PV≡ +≡ +≡ +≡ +H U PV≡ +≡ +≡ +≡ + P V T P U V C C P V T     ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂             − = +− = +− = +− = +                ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂                 Gas Ideal PV nRT==== 0 T U V ∂∂∂∂     ====    ∂∂∂∂     P V nR T P ∂∂∂∂     ====    ∂∂∂∂     CP-CV = nR Gas Ideal
  26. 26. 4.4.-- CÁLCULO DECÁLCULO DE ∆∆U yU y ∆∆H en procesos sencillosH en procesos sencillos de sistemas cerradosde sistemas cerrados ( , )U f T V≡≡≡≡ ( , )H f T P≡≡≡≡ V T U U dU dT dV T V ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂             = += += += +            ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂             H H dH dT dP ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂             = += += += + V T U C dT dV V ∂∂∂∂     = += += += +     ∂∂∂∂     H C dT dP ∂∂∂∂     = += += += + De forma general ( , )H f T P≡≡≡≡ P T H H dH dT dP T P ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂             = += += += +            ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂             P T H C dT dP P ∂∂∂∂     = += += += +     ∂∂∂∂     • En un proceso cíclico 0f iU U U∆ = − =∆ = − =∆ = − =∆ = − = 0f iH H H∆ = − =∆ = − =∆ = − =∆ = − = 0T P V∆ = ∆ = ∆ =∆ = ∆ = ∆ =∆ = ∆ = ∆ =∆ = ∆ = ∆ =
  27. 27. 4.4.-- CÁLCULO DECÁLCULO DE ∆∆U yU y ∆∆H en procesos sencillosH en procesos sencillos de sistemas cerradosde sistemas cerrados • Cambio de Fase a T y P constante T 100ºC tiempo H2O 1at P extU q w Q P dV∆ = + = −∫ ∫ ∫ U H P V∆ = ∆ − ∆∆ = ∆ − ∆∆ = ∆ − ∆∆ = ∆ − ∆ • El QP se emplea en ∆∆∆∆V y en ∆∆∆∆U, que depende del estado de agregación
  28. 28. 4.4.-- CÁLCULO DECÁLCULO DE ∆∆U yU y ∆∆H en procesos sencillosH en procesos sencillos de sistemas cerradosde sistemas cerrados • Proceso Isobárico (P≡≡≡≡cte) sin cambio de fase P T H H dH dT dP T P ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂ = += += += + ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂                                        ( )PH C T dT∆ = ∫ PC T= ∆ P=cte Si CP cte dU q w= + T tiempo 100ºC H2O 1at dU q w= + extW P dV= −∫ P=cte U H P V∆ = ∆ − ∆ • Proceso Isocórico (V≡≡≡≡cte) V T U U dU dT dV T V ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂ = += += += + ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂                                        V=cte ( )VU C T dT∆ = ∫ VC T= ∆ Si CV cte ( )H U PV U V P∆ = ∆ + = ∆ + ∆ V=cte
  29. 29. 4.4.-- CÁLCULO DECÁLCULO DE ∆∆U yU y ∆∆H en procesos sencillosH en procesos sencillos de sistemas cerradosde sistemas cerrados • Cambio de estado de un Gas Ideal 0 V T U U dU dT dV T V ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂ = += += += + ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂                                        ( )VU C T dT∆ = ∫ VC T= ∆ G I Si CV cte 0 P T H H dH dT dP T P ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂ = += += += + ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂                                        ( )PH C T dT∆ = ∫ PC T= ∆ G I Si CP cte 0 • Proceso Isotérmico (T=cte) de un Gas Ideal 0dT = ∆∆∆∆U=0 ∆∆∆∆H=0 extW P dV= −∫ W P V= − ∆P cte rev. o irrev. 2 2 1 1 V P W nRT Ln nRT Ln V P = − = T cte gas nRT P dV dV V = − = −∫ ∫rev. U Q W∆ = + Q = -W G I
  30. 30. 4.4.-- CÁLCULO DECÁLCULO DE ∆∆U yU y ∆∆H en procesos sencillosH en procesos sencillos de sistemas cerradosde sistemas cerrados • Proceso Adiabático (Q=0) de un Gas Ideal dU q w= + ( )VU C T dT∆ = ∫ W= extP dV= −∫ 0 • Proceso Adiabático (Q=0) Irreversible (P cte) de un G.I.• Proceso Adiabático (Q=0) Irreversible (P cte) de un G.I. extW P V= − ∆ ( )VU C T dT∆ = ∫ VC T P V= ∆ = − ∆ Si CV cte P PH C dT C T∆ = = ∆∫ Si CP cte
  31. 31. 4.4.-- CÁLCULO DECÁLCULO DE ∆∆U yU y ∆∆H en procesos sencillosH en procesos sencillos de sistemas cerradosde sistemas cerrados • Proceso Adiabático (Q=0) de un Gas Ideal dU q w= + ( )VU C T dT∆ = ∫ W= extP dV= −∫ 0 • Proceso Adiabático (Q=0) Reversible de un Gas Ideal• Proceso Adiabático (Q=0) Reversible de un Gas Ideal VdU C dT w= = P PH C dT C T∆ = = ∆∫ Si CP cte gas nRT P dV dV V = − = − V dT dV C nR T V = − 2 2 1 1 V T V C Ln nRLn T V = − VU C T W∆ = ∆ =
  32. 32. 4.4.-- CÁLCULO DECÁLCULO DE ∆∆U yU y ∆∆H en procesos sencillosH en procesos sencillos de sistemas cerradosde sistemas cerrados • Proceso Adiabático (Q=0) Reversible de un Gas Ideal 2 2 1 1 V T V C Ln nRLn T V = − P /nR C     PV cte= T=cte V / 2 1 1 2 VnR C T V T V =             G I P V C C R− = P V C C γ ≡ 1 2 1 1 2 T V T V γ − =             1 TV cteγ − ≡ PV cteγ ≡ PV cteγ = PV cte= Q = 0
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