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Ecuaciones e inecuaciones

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  • 1. ECUACIONES E INECUACIONES MATEMÁTICAS 4º ESO
  • 2. ECUACIONES DE PRIMER GRADO (Repaso) a· x + b = 0 a, b  a0 Para resolverlas  Se opera para eliminar los paréntesis  Se buscan fracciones equivalentes con denominador común (el m.c.m. de los denominadores) para eliminar los denominadores.  Se transponen los términos. Los términos con incógnitas se sitúan en un miembro de la ecuación y los términos numéricos en el otro. RECUERDA! Los términos que cambian de miembro cambian de signo.  Se operan los términos semejantes.  Se despeja la incógnita. El número que va multiplicando a x, pasa dividiendo al otro miembro, con el mismo signo. Ejemplo:
  • 3. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Ecuaciones de segundo grado completas a· x2 + b· x + c =0 a, b, c  a  0Se resuelven con la fórmula: es el discriminante. Si   0, la ecuación tiene dos soluciones reales. Si  = 0, la ecuación tiene una solución real doble. Si   0, la ecuación no tiene solución real.Ejemplos:
  • 4.  Ecuaciones de segundo grado incompletas: a· x2 + b· x =0 a, b  a0 Se saca factor común y se igualan los distintos factores a cero. Ejemplo: Ecuaciones de segundo grado incompletas: a· x2 + c =0 a, c  a0 Se despeja x2. Ejemplo:
  • 5. ECUACIONES BICUADRADAS Ecuaciones del tipo: a· x4 + b· x2 + c =0 a, b, c  a  0 Para resolverlas:  Se hace un cambio de variable: x2 = t x4 = t2 a· t2 + b· t + c =0  Se resuelve la ecuación de segundo grado.  Se deshace el cambio de variable: Ejemplo:
  • 6. ECUACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Para resolverlas hay que eliminar los denominadores buscando fracciones algebraicas equivalentes con denominador común, el m.c.m. de los denominadores. CUIDADO! En estas ecuaciones hay falsas soluciones! Son falsas soluciones aquellas que hacen cero al denominador de las fracciones algebraicas. Siempre hay que comprobar si las soluciones son válidas o no. Ejemplo:
  • 7. ECUACIONES IRRACIONALES Son aquellas en las que la incógnita aparece dentro de una raíz. Para resolverlas:  Se aísla algún término con raíces para un miembro.  Se elevan al cuadrado (cuando las raíces son cuadradas) los dos miembros de la ecuación. CUIDADO! Aparecen muchas veces identidades notables.  Si continúan quedando raíces, se repite el proceso anterior.  Se resuelve la ecuación resultante.  Se comprueba la solución porque a veces hay falsas soluciones.Ejemplos:
  • 8. ECUACIONES LOGARÍTMICAS Aplicamos propiedades de logaritmos hasta obtener: log(Expresión 1) = log(Expresión 2) Entonces: Expresión 1 = Expresión 2 y resolvemos esa ecuación. RECUERDA:Comprobar la solución:No serán válidas las solucionesque hagan que tengamosque calcular logaritmos denúmeros menores o iguales a cero. Ejemplos:
  • 9. INECUACIONES DE PRIMER GRADOCON UNA INCÓGNITA Una inecuación es una desigualdad que se compone de dos expresiones algebraicas separadas por los signos >, <, ≥, ≤. La solución a una inecuación es un intervalo. Se resuelven como si fuesen ecuaciones de primer grado, pero, cuando llegamos a tener los términos con x en el primer miembro y sin x en el segundo, el coeficiente que va con x tiene que ser positivo. Si no es así, le cambiamos el signo a todos los términos de la ecuación y también cambiamos el signo de la desigualdad. Ejemplo:
  • 10. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADOCON UNA INCÓGNITA Se resuelve la ecuación de segundo grado asociada. Las soluciones delimitan distintos intervalos en los que hay que probar si se cumple o no la desigualdad. Ejemplo: