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Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales a problemas vaciado de tanques (autoguardado)

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Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales a problemas vaciado de tanques (autoguardado)

  1. 1. Universidad De La Guajira Facultad de Ingeniería CONTENIDOINTRODUCCION.ECUACIONES DIFERENCIALES. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Ecuaciones Diferenciales Parciales.  Orden De Una Ecuación Diferencial.  Grado De Una Ecuación Diferencial.  Solución de una Ecuación Deferencial. o Solución General. o Solución Particular. o Solución Singular.TEOREMA DE TORRICELLI.VACIADO DE TANQUES. Modelo Matemático Del Vaciado De Tanques. Vaciado De Tanques. Algunos Tipos de Tanques. Tiempo De Descarga En Tanques Y Recipientes. Influencia De La Geometría Del Recipiente.EJERCICIOS RESUELTOS.EJERCICIOS PROPUESTOS.BIBLIOGRAFÍA. INTRODUCCION
  2. 2. Universidad De La Guajira Facultad de IngenieríaEl principal propósito de este trabajo es explicar mediante ejemplos laresolución de problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias al vaciado detanques que pueden contener líquidos, este caso es utilizado en muchosproyectos y para ello se necesita saber predecir el tiempo que demora envaciarse todo o alguna parte del contenido, como también saber el volumen deliquido que desaloja en un determinado instante; aquí se demuestra comoconseguir esta información con la ayuda de las Ecuaciones Diferenciales de 1 ergrado.Un ejemplo claro de la utilización de estas ecuaciones en la vida cotidiana esen procesos industriales, en la industrias existe en un momento dado lanecesidad de vaciar sus tanques sea confines de limpieza temporaria osimplemente para efectuar algún trabajo de mantenimiento en los mismos. Enotras situaciones, se precisa trasvasar producto de un equipo a otroaprovechándolas diferencias de niveles entre ellos cualquiera seasu disposición, esto es, descarga por gravedad desde un nivel superior a otroinferior o bien entre tanques ubicados horizontalmente.En ambos casos, se trata de aprovechar la gravedad para producir estosefectos sin necesidad de tener que recurrir a un equipo de bombeo, evitandode esta forma también el gasto energético que su empleo requiere. Como yaexpresáramos, se busca pues eliminar actividades que generen costos y noagreguen valor a o los productos elaborados. Muchos problemas físicosdependen de alguna manera de la geometría. Uno de ellos es la salida delíquido de un tanque a través de un orificio situado al fondo del mismo. Laforma geométrica del recipiente determina el comportamiento físico del agua.El vaciado de tanques y recipientes así como la transferencia de productosentre ellos son operaciones frecuentes en las plantas de procesos (almacenajede petróleo y combustibles, cervecerías, bodegas, lácteos, bebidas en general,etc.). Estas operaciones pueden efectuarse por medio de bombas o bien porconvección natural aprovechando las diferencias de niveles entre tanques. Eneste último caso es importante conocer los tiempos requeridos dado quepueden ser importantes para la operación y la planificación de actividadesvarias sobre estos equipos. El tema que presenta interés práctico, no es tratadoen los textos clásicos de operaciones unitarias pero sí en publicacionestécnicas de la especialidad con lo que se demuestra la importancia de susaplicaciones en la industria. ECUACIONES DIFERENCIALES
  3. 3. Universidad De La Guajira Facultad de IngenieríaLas ecuaciones diferenciales aparecen a partir de las familias de curvasgeométricas y del intento de describir en términos matemáticos, problemasfísicos en ciencias e ingeniería.Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas deuna o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variablesindependientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales sedividen en:  Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.  Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables. Orden de una ecuación diferencialEl orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial sedenomina orden de la ecuación. Grado de una ecuación diferencialEs la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación,siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así seconsidera que no tiene grado. Solución de una Ecuación DeferencialUna solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a lafunción incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verificala ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos desoluciones:  Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.
  4. 4. Universidad De La Guajira Facultad de Ingeniería  Solución particular: Si fijando cualquier punto por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto , que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.  Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general. TEOREMA DE TORRICELLIEl teorema de Torricelli es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia elflujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio,bajo la acción de la gravedad. A partir del teorema de Torricelli se puedecalcular el caudal de salida de un líquido por un orificio. "La velocidad de unlíquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendría un cuerpocualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta elcentro de gravedad del orificio":Donde:Vt es la velocidad teórica del líquido a la salida del orificio.V0 es la velocidad de aproximación.h es la distancia desde la superficie del líquido al centro del orificio.g es la aceleración de la gravedad.Para velocidades de aproximación bajas, la mayoría de los casos, la expresiónanterior se transforma en:Donde:Vr es la velocidad real media del líquido a la salida del orificio.Cv es el coeficiente de velocidad.Experimentalmente se ha comprobado que la velocidad media de un chorro deun orificio de pared delgada, es un poco menor que la ideal, debido a laviscosidad del fluido y otros factores tales como la tensión superficial, de ahí elsignificado de este coeficiente de velocidad.
  5. 5. Universidad De La Guajira Facultad de Ingeniería VACIADO DE TANQUESEl vaciado de tanques y recipientes es un proceso en régimen no estacionariodado que tenemos una salida de masa del sistema a una velocidad variableque dependerá del nivel de líquido en el mismo. Al no haber ingreso de masasal tanque, esta descarga provocará un cambio en el contenido inicial delequipo, de modo que podemos plantear el balance general de masas y energíadel sistema de la siguiente forma:Esta ecuación es conocida en hidrodinámica, la ley de Torricelli el cualestablece que la velocidad v de el flujo (o salida) del agua a través de unagujero de bordes agudos en el fondo de un tanque lleno con agua hasta unaaltura (o profundidad) h es igual a la velocidad de un objeto (en este caso unagota de agua), que cae libremente desde una altura h; esto es,Donde g es la aceleración de la gravedad. Esta última expresión se origina aligualar la energía cinética, ½ (mv2), con la energía potencial, mgh, despejandov. Modelo Matemático Del Vaciado De Tanques
  6. 6. Universidad De La Guajira Facultad de IngenieríaSe considera un recipiente lleno de agua hasta una altura h, donde A es elárea de la sección transversal constante, y a es el área de un orificio desección transversal por el que fluye el agua, el cual está ubicado en la base deltanque.Sea h la altura del agua en el tanque en un tiempo t (nivel 1) y h + Ah la alturaen un tiempo t + At (nivel 2). Se desea establecer la altura del líquido en eltanque en cualquier instante t y el tiempo que este demora en vaciarse.La cantidad de agua que se pierde cuando el nivel baja de 1 a 2 es igual a lacantidad de agua que se escapa por el orificio.Sea h(t) la altura del liquido en el tanque en cualquier instante t y V(t) elvolumen del agua del tanque en ese instante. La velocidad v del agua a travésdel orificio esDonde g es la gravedad. La ecuación anterior representa la velocidad que unagota de agua adquirirá al caer libremente desde la superficie del agua hasta elagujero. En condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contracción quesufre un chorro de agua en un orificio, por lo que se obtendráDonde c es el coeficiente de descarga comprendido entre 0 y 1. En algunosproblemas, cuando el coeficiente de descarga no se indica, se asume que c=1.Según el Teorema de Torricelli, la razón con la que el agua sale pro el agujero(variación dl volumen de liquido en el tanque respecto al tiempo) se puedeexpresar como el área del orificio de salida por la velocidad v del agua. Esto esSustituyendo en la ecuación
  7. 7. Universidad De La Guajira Facultad de IngenieríaSi A(h) denota el área de la sección transversal horizontal del tanque a la alturah, aplicando el método del volumen por secciones transversales se obtieneDerivando respecto a t y aplicando el teorema fundamental del cálculoComparando las ecuacionesEsta es una ecuación diferencial de variables separables, la cual al resolversujeta a la condición de conocer la altura inicial h0 para el tiempo t=0, permiteobtener la variación de la altura del liquido en el tanque en función del tiempo.Las medidas o dimensiones de los tanques se pueden expresar de la siguienteforma: Elemento Notación Unidades Altura h(t) cm mt pies Volumen B(t) Cm3 Mt3 Pies3 Tiempo t seg seg seg 32pies/ g 981cm/seg2 9,81mt/ seg2 Gravedad seg2 Área del orificio de a Cm2 Cm2 Pies2 salida Área de la sección A(h) Cm2 Cm2 Pies2 transversal Coeficiente de c Sin Unidades descargaLa constante C depende de la forma del orificio:Si el orificio es de forma rectangular, la constante C = 0,8.Si el orificio es de forma triangular, la constante 0,65 ≤ C ≤ 0,75.Si el orificio es de forma circular, la constante C = 0,6.Y en algunos casos viene especificada.
  8. 8. Universidad De La Guajira Facultad de Ingeniería Algunos Tipos De Tanques Caso 1: Cilindro circular de altura h0 y radio R, dispuesto en forma vertical y con un orificio circular de diámetro d.y separando variables, IntegrandoCon las condiciones iniciales t=0 y h= h0, se halla la constante C, así:Entonces de la ecuación se despeja el tiempo
  9. 9. Universidad De La Guajira Facultad de IngenieríaEsto es el tiempo que demora en vaciarse el tanque cilíndrico vertical. Caso 2: El mismo cilindro pero dispuesto horizontalmente y con el orificio en el fondo. EntoncesReemplazando en (*)Con las condiciones iniciales, t0=0 y h=2r, se halla la constante de integración.El tiempo de vaciado tv se produce cuando h=0 Caso 3: Un cono circular recto de altura h0 y radio R dispuesto verticalmente con orificio circular en el fondo de diámetro d.
  10. 10. Universidad De La Guajira Facultad de IngenieríaPor semejanza de triángulos se conoce queCondiciones iniciales cuando t=0 y h= h0, el tiempo de vaciado tv se producecuando h=0 Tiempo De Descarga En Tanques Y RecipientesEl diseño de tanque más difundido es sin dudas, el tanque cilíndrico de ejevertical con fondo plano. Considerando este y otros diseños, ya detallados,como base se puede calcular el tiempo de descarga de los mismos, que sepueden obtener simplemente utilizando la ecuación diferencial, halladaanteriormente, claro, teniendo en cuentas las condiciones iniciales que se danencada caso.  Influencia De La Geometría Del RecipienteMuchos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. Unode ellos es la salida de líquido de un tanque a través de un orificio situado alfondo del mismo. La forma geométrica del recipiente determina elcomportamiento físico del agua. A medida que se produce la descargadel líquido y según la forma geométrica del tanque, pueden presentarse dossituaciones:1. Que el área transversal del recipiente sea constante en toda su altura, o2. Que el área transversal varíe en distintos niveles.En efecto, el planteo e integración de las ecuaciones anteriores se simplificadado que en el caso analizado la sección transversal del tanque cilíndrico semantiene constante en toda su altura. Si el área transversal varía, el tema esmás complicado y para obtener los tiempos de descarga se tiene que conocerla función que relaciona el área con la altura de líquido, esto es, encontrar larelación: Esta cuestión es importante dado que es otro de los casos frecuentesque se presentan en la práctica industrial en los tanques y recipientes talescomo• Recipientes esféricos• Recipientes cilíndricos horizontales de: o Cabezales Semielípticos. o Cabezales Semiesféricos. o Cabezales Toriesféricos. o Cabezales Planos.
  11. 11. Universidad De La Guajira Facultad de Ingeniería• Recipientes cilíndricos verticales de: o Fondo Semielíptico. o Fondo Semiesférico. o Fondo Toriesférico.La siguiente imagen muestra el tiempo de descarga de los recipientes según suforma geométrica.
  12. 12. Universidad De La Guajira Facultad de Ingeniería EJERCICIOS RESUELTOS  Un cilindro recto circular de 10 pies de radio y 20 pies de altura, está lleno con agua. Tiene un pequeño orificio en el fondo de 1 pulgada de diámetro, ¿Cuándo se vaciara el tanque? Primero se debe convertir la unidad de área del orificio a pies, el diámetro de este es de 1 pulgada, por lo tanto su radio es de ½ pulgada; 1 pulgada es igual a 1/12 pies. Dado que el orificio es una circunferencia, su área es igual a (π(radio)2), entonces el área del orificio de salida es:Así mismo, el área de la sección transversal, A(h)= π(10)2= 100 π 2El coeficiente de descarga no está dado, por lo tanto se asume que c= 1, lagravedad g= 32pies/ seg2Sustituyendo todos los valores en la ecuación asociada a los problemas devaciado de tanque, se obtiene: * (1/ π)Esta ecuación debe resolverse sujeta a la condición que para t=0, h0=20pies. * Luego se integra 
  13. 13. Universidad De La Guajira Facultad de Ingeniería ySe sustituyen los resultados en la ecuaciónPara hallar el valor de la constante de integración, se sustituyen los valoresiniciales del problema.  *Para determinar el tiempo que demora en vaciarse el tanque, se debe sustituirh=0 en la anterior ecuaciónAsí, el tanque logra vaciarse en un tiempo de 64398.75 segundos, es decir,17horas 53 min 19seg.  Un tanque tiene la forma de un cubo de 12 pies de arista. Debido a un pequeño orificio situado en el tanque, de 2 pulgadas cuadradas de área, presenta un escape. Si el tanque esta inicialmente lleno hasta las tres cuartas partes de su capacidad, determine: a) ¿Cuándo estará a la mitad de su capacidad? b) ¿Cuándo estará vacio? Como las dimensiones del tanque están dadas en pie, y puesto que 1 pulg=1/12 pies, entonces haciendo la conversión, el área del orificio de salida será El coeficiente de descarga es c=1 y la gravedad es g=32pies/seg2.Como puede observarse en la figura las secciones transversales del tanquevan a ser cuadrados de lados constantes iguales a 12pies, independientementede la altura a la cual se efectúa el corte, por lo tanto, el área de la seccióntransversal será A(h)=144pies2Ya que las secciones transversales son de área constante y puesto que eltanque está inicialmente lleno ¾ de su capacidad, resulta que la altura inicialserá h=3/4 de la altura total. Así, como la altura inicial del tanque es h1= 12pies,entonces la altura inicial h0= ¾ ht = 9pies
  14. 14. Universidad De La Guajira Facultad de IngenieríaSustituyendo estos valores en la ecuación inicial se obtieneSe simplifica, y se obtieneLa anterior es una ecuación diferencial de variables separables, para separarlas variables se multiplica la ecuación por el factorY se obtieneLuego se integra toda la ecuaciónAmbas integrales son inmediatas ySustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación se obtienePara determinar el valor de la constante de integración se reemplaza lacondición inicial h= 9pies y t=0 resultando C= -7776, este valor se sustituye enla ecuaciónMultiplicando porY elevando al cuadradoLa anterior, es la ecuación que define la altura del líquido en el tanque encualquier instante t.Se requiere determinar el tiempo para el cual el volumen del liquido del tanquees igual a la mitad de su capacidad, es decir, cuando h=6pies, este valor sesustituye en la ecuación,Elevando a la ½Multiplicando por -1
  15. 15. Universidad De La Guajira Facultad de IngenieríaSumando 3 y multiplicando por 2592Así se conoce que debe transcurrir un tiempo t=1425,6seg es decir 23 min 45seg.  Un tanque en forma de cono circular recto, de altura H radio R y vértice por debajo de la base, está totalmente lleno con agua. Determine el tiempo de vaciado total, si H=12pies, R=5pies, a= 1pulg2 y C= 0,6. Como las dimensiones del tanque están dadas en pie, y puesto que 1 pulg=1/12 pies, entonces haciendo la conversión, el área del orificio de salida será El coeficiente de descarga es c= 0,6 y la gravedad es 2 g=32pies/seg .Según puede observarse en la figura, las secciones transversales soncircunferencias cuyo radio varía dependiendo de la altura a la cual se efectúe lasección transversal. El área de la sección transversal es variable y está dadaporPara expresar r en función de h se debe visualizar el tanque no como un solidosino como una figura plana, así:Si se ubican los ejes coordenados detal forma que el vértice del cono coincidacon el origen del sistema de coordenadas,entonces se tiene una figura simétricarespecto del eje y, tal y como se muestra
  16. 16. Universidad De La Guajira Facultad de IngenieríaPor simetría, será suficiente trabajar con uno de los triángulos. Por semejanzade triángulos se tiene entonces la siguiente relación de proporción:Y sustituyendo en la ecuación:Sustituyendo todos los valores en la ecuación inicial: integrandoPara determinar el valor de la constante de integración se sustituyen losvalores de la condición inicial en la ecuaciónLa anterior ecuación es la razón de variación de la altura del liquido en eltanque en cualquier instante t. el tiempo total de vaciado se obtiene cuando laaltura es h=0Se conoce entonces que el tanque se vacía completamente en 3264.83seg, esdecir, 54min 25seg.  Una taza hemisférica de radio R está llena de agua. Si hay un pequeño orificio de radio r en el fondo de la superficie convexa, determine el tiempo de vaciado. Como el radio de la taza hemisférica es R y el tanque se encuentra lleno entonces la altura inicial de líquido en el tanque es R, es decir, h(0) = R. El orificio de salida tiene
  17. 17. Universidad De La Guajira Facultad de Ingenieríaradio r, por lo tanto, el área del orificio de salida esSea C el coeficiente de descarga y g la gravedad.Las secciones transversales del tanque hemisférico, son circunferencias deradio variable, según la altura donde se realice la sección transversal. Sea x elradio variable de la sección transversal. Por ser circunferencia, el área es:Se debe establecer una relación entre el radio x y la altura h, de tal forma queel área de la sección transversal quede expresada en función de la altura h.Observando el tanque de frente como una figura plana y ubicándolo en unsistema de coordenadas cartesianas rectangulares. Puesto que la figuraresultante es simétrica respecto del eje y, será suficiente trabajar con lamitad de la figura. El triángulo que se forma, tiene como base el radio=x, altura=(R-h) e hipotenusa= R Aplicando el teorema de Pitágoras a este triángulo se obtiene,Sustituyendo este valor en la ecuación del área, obtenemos:Ahora se sustituyen A(h) y a en la ecuación inicial:Separando variables,A partir de la ecuación anterior y sabiendo que para el tiempo t=0 la altura esh=R, se debe determinar el tiempo de vaciado, esto es el tiempo para el cual laaltura del liquido en el tanque es cero.
  18. 18. Universidad De La Guajira Facultad de IngenieríaSe plantea así el problema de valor en la frontera:Integrando desde t=0 a t=tv y h=R a h=0  Un tanque de agua tiene la forma que se obtiene al hacer girar la curva y= x4/3 alrededor del eje y. Siendo las 11:27 de la mañana se retira un tapón que está en el fondo y en ese momento la profundidad del agua en el tanque es 12 pies. Una hora más tarde la profundidad del agua ha descendido a la mitad. Determine: a) ¿A qué hora estará vacío el tanque? b) ¿A qué hora quedara en el tanque 25% del volumen de líquido inicial? La curva y= x4/3 que se hace girar alrededor del eje y para generar el tanque tiene su vértice en el origen. Cuando la variable y toma el valor de la máxima profundidad de líquido en el tanque, esto es, y = 12, la variable x que representa el radio de giro toma el valor x =(12)3/4= 6,45.El coeficiente de descarga es c = 1 y la gravedad es g = 32 pies/seg 2. El área adel orificio de salida debe determinarse.
  19. 19. Universidad De La Guajira Facultad de IngenieríaLas secciones transversales son circunferencias de radio variable r. Por lotanto, el área de las secciones transversales es:El radio r debe expresarse en función de la altura h. Para ello debe observarseel tanque como una figura plana, vista desde el frente. El punto P(r, h) pertenece a la curva y = x4/3; esto quiere decir que las coordenadas del punto P satisfacen la ecuación de la curva. Sustituyendo x= r, y = h Y entonces,Una vez que el área de la sección transversal del tanque ha quedadoexpresada en función de la altura, se sustituyen A(h), c y g en la ecuacióninicial,La ecuación anterior es la ecuación diferencial asociada al problema devaciado planteado y debe resolverse sujeta a dos condiciones: la primeracondición es que para el tiempo t = 0 seg, la altura es h = 12 pies; la segundacondición es que luego de una de iniciado el proceso de vaciado, es decir, parat = 3600 seg, la altura de líquido en el tanque ha descendido a la mitad, estoes, h = 6pies.Por lo tanto, lo que debe resolverse es el problema de valor defronteraIntegramos definidamente
  20. 20. Universidad De La Guajira Facultad de IngenieríaEste valor que se obtuvo para a se sustituye en la ecuación;Se pide determinar el tiempo que demora en vaciarse el tanque, es decir, eltiempo para el cual la altura de líquido en el tanque se hace cero. Para ello sedebe resolver el problema de valor en la fronteraIntegramos definidamenteDe aquí se sabe que el tanque tarda en vaciarse t= 4800seg, lo que equivale a1 hora y 20min. Si el proceso de vaciado se inicio a las 11:27am, entonces eltanque estará vacio a las 12:47pm.Ahora bien, para saber a qué hora queda en el tanque el 25% de su capacidad,se debe comenzar por establecer cuál es la altura de líquido en el tanquecuando resta el 25% de su capacidad. Como se conoce la altura inicial delíquido en el tanque, el volumen total se determina por el método del volumenpor secciones transversalesAsí el 25% de volumen esConocido el volumen cuando resta el 25% de liquido en el tanque, utilizando elmismo método por secciones transversales, se podrá determinar cuál es laaltura de liquido en el tanque en este caso.
  21. 21. Universidad De La Guajira Facultad de IngenieríaSustituyendo A(h) y v=25%Resolviendo la integral definidaSustituyendo el resultado en la integral de la función anteriorMultiplicando porElevando a 2/5Una vez conseguida la altura de liquido en el tanque cuando queda el 25% devolumen total, se procede a buscar el tiempo que demora en llegar a estaaltura. Para ello debe resolverse el problema de valor en la fronteraLa ecuación se integra de forma definida; el tiempo varia entre t=0seg y t= t25%la altura varía entre h= 12pies y h=
  22. 22. Universidad De La Guajira Facultad de IngenieríaSustituyendo los resultados:Se sabe entonces que el tanque tarda 3216,66seg en vaciarse hasta el 25% desu capacidad inicial, lo que equivale a 53 min y 36seg; si el proceso de vaciadocomenzó a las 11:27am entonces el tanque tendrá el 25% de su capacidad alas 12:20:36pm.  El tanque que se muestra en la figura está totalmente lleno de líquido. Se inicia el proceso de vaciado, por una perforación circular de área 1 cm2 ubicada en la base inferior del depósito. Si se ha establecido el coeficiente de descarga C = 0,447 y la gravedad es g = 10 m/seg2. Determine: a) Tiempo que debe transcurrir para que quede en el tanque un contenido equivalente al 18,75%de su capacidad. b) Tiempo de vaciado total del tanque. El área del orificio de salida es a = 1 cm 2, pero como las dimensiones del tanque están en metros debe efectuarse la conversión. Puesto que 1 cm = 0,01 m = 10-2m entonces a = 1 cm2 = (10-2m)2= (10-4m)2 .En el enunciado del problema dan el coeficiente de descarga C = 447.10-3 y lagravedad g =10m/seg2.Según puede observarse en la figura, las secciones transversales sonrectángulos, dos de los lados paralelos de longitud constante e igual a 8 y losotros dos lados de longitud variable r. El área de la sección transversal esentonces A(h)= 8r.Debe expresarse la longitud r en función de la altura h. Para ello si se observael tanque de frente, como una figura en un plana, ubicada en un sistema decoordenadas cartesianas rectangulares, se verá como lo muestra la siguientefigura:
  23. 23. Universidad De La Guajira Facultad de Ingeniería Obsérvese que el punto P(r, h) pertenece a la recta que pasa por los puntos (1, 0) y (2, 4). La pendiente la recta es La ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 0) (o (2, 4)) y tiene pendiente 4 es:Ya que el punto P (r, h) pertenece a la recta L, entonces satisface la ecuaciónde dicha recta, por lo tanto sustituyendo x = r , y = hDespejando rSustituyendo en la ecuación, se tiene el área de la sección transversal enfunción de la altura hY se sustituyen los valores en la ecuación principalSimplificandoLa ecuación anterior, es una ecuación diferencial de variables separables ydebe resolverse sujeta a la condición de que la altura inicial de líquido en eltanque es 4 m, es decir, h(0) = 4.Para separar las variables se debe multiplicar la ecuación por el factorIntegrandoAmbas integrales son inmediatas
  24. 24. Universidad De La Guajira Facultad de IngenieríaSustituyendo los resultados de las ecuacionesPara determinar el valor de la constante de integración se usa la condicióninicial h(0)= 4 y t= 0Este valor obtenido se sustituye en la ecuaciónDespejando tLa anterior ecuación representa la relación entre la altura el tiempo.Ya que se debe determinar el tiempo que debe transcurrir para que en eltanque quede solo el 18,75% del volumen total de líquido, para usar laecuación será necesario conocer la altura de liquido en el tanque, cuando eneste queda el 18,75% del volumen total.Se comienza por determinar el volumen total de líquido en el tanque. Como eltanque se encuentra lleno, la altura total del liquido en el tanque coincide con laaltura inicial.Así el volumen total del liquido en el tanque es 48m3, así calculamos el 18.75%del volumenUsando la misma ecuación se puede determinar la altura de liquido en eltanqueSustituyendo los datos
  25. 25. Universidad De La Guajira Facultad de IngenieríaSe tiene entonces una ecuación de segundo gradoDe aquí resulta h= -9 y h= 1Ya que h debe ser positivo, pues representa una altura, el valor h = –9 sedescarta, por lo tanto, la altura de líquido en el tanque cuando el volumen es de18,75% del volumen total es h = 1m. Luego, para determinar el tiempo quedemora en vaciarse el tanque hasta 18,75% del volumen total, será suficientecon sustituir h = 1 m en la ecuaciónAsí el tanque se demora en vaciarse 126727,1934seg, es decir, 32 horas12min 7seg.Ahora bien para determinar el tiempo de vaciado total del tanque, es decir,cuando la altura del liquido en el tanque es cero, se sustituye h=0 en laecuaciónAsí que el tanque demora en vaciarse totalmente 213435,273seg, es decir,59horas 17min 15seg.  El tanque que se muestra en la figura se encuentra lleno en un 100%. El líquido escapa por un orificio de 5cm2 de área situado en el fondo del tanque. Determine: a) El tiempo de vaciado total. b) Tiempo para que el volumen total de liquido descienda 5mt. El coeficiente de descarga es C=1 y la gravedad es g= 9,81m/seg2. El área del orificio de salida está dada en cm2, pero como las dimensiones del tanque están dadas en mt, debe realizarse la conversión a una sola unidad. Así, a=5cm2 = 5x10-4mt2.
  26. 26. Universidad De La Guajira Facultad de IngenieríaSegún se muestra en la figura, las secciones transversales del tanque sonrectángulos, cuyos lados varían en función de la altura a la cual se efectúe lasección transversal, sean L y M las longitudes de los lados. Entonces el áreade sección transversal es A(h)= LM.Se deben expresar ambos lados en función de la altura.Si se observa el tanque por una de sus caras y se considera una figura planaubicándola en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, seobtiene lo que se ve en la siguiente figura. Como puede observarse la figura es simétrica respecto al eje y, por lo tanto, a fin de establecer relación entre L y h se trabaja con la mitad de trapecio que se forma como se muestra a continuaciónSe puede obtener la relación entre L y h, a través de la recta que pasa por lospuntos (3/2, 0) y (4,12), recta a la cual pertenece el punto (L/2, h). sin embargo,se mostrara otro procedimiento, el cual nos conduce a la misma relación.Observando la figura como un rectángulo y un triangulo. Así; Ahora debe visualizarse el tanque respecto de una de las dos caras no paralelas a la anterior. La
  27. 27. Universidad De La Guajira Facultad de Ingenieríafigura plana que se observa, variación en las dimensiones de las aristas deltrapecio antes mostrado, asíComo puede observarse, esta figura es simétrica respecto al eje y, por lo tanto,a fin de establecer la relación entre My h se trabaja con la mitad del trapecioque se formaSe puede obtener la relación entre my h, a través de la recta que pasa por lospuntos (3/2,0) y (4,12), recta a la cual pertenece el punto (L/2,h).Las ecuaciones que se han planteado se sustituyen en la ecuación A(h)= LM, asísabemos que el área de las secciones transversales en función de la altura esAhora sustituyendo todos los valores en la ecuación principalLa anterior es la ecuación, es la ecuación diferencial asociada el problema ydebe resolverse sujeta a la condición h(0)= 12.Esta es una ecuación de variables separables. Para separar las variables sedebe multiplicar r el factor Resultando efectuando las operaciones
  28. 28. Universidad De La Guajira Facultad de IngenieríaA partir de esta ecuación, debe determinarse el tiempo de vaciado del tanque,es decir, el tiempo para el cual la altura de liquido en el tanque es cero. Paraello se debe integrar de forma definida la anterior ecuación; el tiempo varia det=0seg a t= tv; la altura varia de h= 12m a h= 0mResolviendo las integralesSustituyendo los valoresAsí, el tanque tarde en vaciarse completamente 41709,9673seg, es decir,11horas 35min 10seg.Ahora debe determinarse el tiempo que demora en descender 5m la cantidadde liquido del tanque con respecto a la altura inicial, es decir, cuando la alturadel liquido en el tanque es igual a 7m. para ello, se integra la ecuación en formadefinida; el tiempo vatia entre t= 0seg y t= t1; la altura varias de h= 12m ah=7m.
  29. 29. Universidad De La Guajira Facultad de IngenieríaSustituyendo los resultados de las integrales.Así el líquido en el tanque tarda en descender 18315,3400seg, es decir, horasmin 15seg.  Se tiene un tanque en forma de paraboloide con el eje vertical hacia abajo cuyas dimensiones son 2 mt de diámetro y altura 3 mt. El tanque inicialmente está lleno en su totalidad y el líquido escapa por un orificio de 20 cm2 de área situado al fondo del tanque. Determine a) Cuánto tiempo debe transcurrir para que quede en el tanque sólo un tercio de su capacidad inicial b) Calcular el tiempo que tarda en vaciarse totalmente.
  30. 30. Universidad De La Guajira Facultad de Ingeniería El área del orificio de salida está dada en cm2, pero como las dimensiones del tanque están dadas en mt, debe realizarse la conversión a una sola unidad. Así, a=2cm2 = 2x10-4mt2. El coeficiente de descarga es c= 1 y la gravedad es g=9,81m/seg2.Como puede observarse en la figura, las secciones transversales del tanquesin circunferencias cuyo radio r varía de acuerdo con la altura a la cual seefectúe el corte. Así, el área de las secciones transversales es A(h)=πr 2 laecuación de la curva que gira alrededor del eje y para generar el tanque noesta dada explícitamente por lo que debe determinarse. La ecuación ordinariade parábola de vértice (x0, y0), el eje y abre hacia abajo y donde p es ladistancia entre el vértice y el foco es (x-x0)2= -4p(y-y0). El vértice de la parábola que se muestra es el punto (0,3) y pasa por los puntos (1,0) y (-1,0). Sustituyendo en la ecuación ordinaria de la parábola las coordenadas del vértice y las coordenadas de uno cualquiera de los puntos por donde pasa De aquí que, la ecuación de la parábola que se gira alrededor del eje y para generar el paraboloide de la forma del tanque esEl punto P(r,h), según se muestra en la anterior figura, es un punto de laparábola. Por lo tanto satisface la ecuación de la misma. Sustituyendo x= r ,y=h en la ecuación.Sustituyendo los valores
  31. 31. Universidad De La Guajira Facultad de IngenieríaLa anterior ecuación representa el área de las secciones transversales enfunción de la altura. Entonces se sustituyen todos los datos en la ecuaciónprincipal.La ecuación anterior es la ecuación asociada al problema de vaciadoplanteado, la misma debe resolverse sujeta a la condición inicial h(0)= 3.La misma, es una ecuación de variables separables. Para separar la variablesse debe multiplicar por el factorIntegrandoSustituyendo los valores en la ecuaciónPara determinar el valor de la constante de integración, se usa la condicióninicial h(0)=3.Este valor se sustituye en la ecuaciónDespejando tSacando factor común
  32. 32. Universidad De La Guajira Facultad de IngenieríaEsta ecuación establece la relación fundamental entre tiempo y altura de liquidoen el tanque, es decir a partir de esta ecuación conociendo una determinadaaltura se puede establecer el tiempo que demora en alcanzarse; también sepuede determinar a la altura del liquido en el tanque para un tiempo dado.Ahora se debe establecer el tiempo que debe transcurrir para que quede en eltanque un tercio de volumen total. Se comienza por determinar el volumen totaldel líquido en el tanque. Para ello se utiliza el método del cálculo de volumen através de las secciones transversales, esto esAsí, el volumen total del liquido en el tanque es Conociendo esto es posible determinar la altura del líquido en eltanque para ese volumen.Multiplicando por 6/π  6(h-h2), es una ecuación de segundo grado,resolviéndola se obtiene ÓEl valor de h superior a la altura máxima debe descartarse. Por lo tanto, cuandoel volumen de liquido en el tanque es un tercio del volumen total, la altura deliquido en el tanque es h= 0,55m. ahora para saber el tiempo que demora enllegar a ese volumen, se sustituye h= 0,55 en la ecuación
  33. 33. Universidad De La Guajira Facultad de IngenieríaAsí, deben transcurrir 3251,1378seg, es decir, 54min 11seg para que en eltanque quede un tercio de volumen total.Para establecer el tiempo de vaciado total del tanque, se sustituye h= 0 en laecuaciónAsí, el tanque se vacía totalmente en un tiempo t= 8189,7429seg, es decir, en2 horas 16min 30seg.  Un depósito en forma de cono circular recto invertido y truncado con 2mt de radio menor, 4 mt de radio mayor y 8 mt de altura, está lleno en un 90% de su capacidad. Si su contenido se escapa por un orificio de 10cm2 de área, ubicado al fondo del tanque, y sabiendo que el coeficiente de descarga se ha establecido en 0,75, determine el tiempo que tardará en vaciarse totalmente. El área del orificio de salida está dada en cm2, pero como las dimensiones del tanque están dadas en mt, debe realizarse la conversión a una sola unidad. Así, a= 10cm2= 10x10-2m2 = 10-3m2 El coeficiente de descarga es c= 0,75 y la gravedad es g= 9,81m/seg2. Las secciones transversales del tanque son circunferencias de radio variable r, según puede verse en la figura, el cual varía dependiendo la altura donde se haga el corte transversal. Entonces el área de las secciones transversales es A(h)= πr2 donde r debe expresarse en función de la altura.Para poder expresar el radio r enfunción de la altura h se debevisualizar el tanque de frente,como una figura plana y ubicarlaen un sistema de coordenadascartesianas rectangulares, tal ycomo se muestra a continuaciónP(h,r) pertenece a la recta quepasa por los puntos (2,0) y (4,8).La pendiente de la recta es:
  34. 34. Universidad De La Guajira Facultad de IngenieríaPara escribir la ecuación de la recta se usa cualquiera de los dos puntos.Luego, la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2,0) y (4,8) es y=4(x-2)el punto P(r,h) es un punto de la recta, entonces sustituyendo x=r,y= h; h=4(r-2)despejando rEsta resultado se reemplaza en la ecuación para hallar el área de la seccióntransversalAhora se sustituyen todos lo valores en la ecuación principalLa anterior, es la ecuación diferencial asociada al problema, la cual deberesolverse sujeta a la condición de que al tiempo t=0seg el volumen inicial es90% del volumen total.Como la ecuación relaciona las variables tiempo y altura, es necesariodeterminar la altura inicial del liquido en el tanque, esto es, la altura cuando eltanque está lleno al 90% de su capacidad. Se debe determinar primero elvolumen total del tanque. Para ello se usa el método del volumen por seccionestransversales, según el cual el volumen viene dado como entoncesUna vez conocido el volumen inicial, la altura inicial puede determinarseutilizando la ecuación que permite obtener el volumen a partir del área de lassecciones transversales. Así se tendrá
  35. 35. Universidad De La Guajira Facultad de IngenieríaAl resolver la integral definida se obtiene una ecuación de tercer grado, la cualpuede no tener raíces enteras, por lo tanto sería necesario determinar lasraíces del polinomio.Para evitar estas complicaciones la integral puede ser resuelta efectuando uncambio de variableEntoncesSe aquí resulta que Multiplicando por sumando 8 y elevando a 1/3 restando 2 y multiplicando por 4Una vez obtenida la altura inicial, se procede a resolver la ecuación diferencialsujeta a la condición inicial h(0)= 6,77. Se desea determinar el tiempo devaciado total del tanque, es decir, el tiempo para el cual la altura de liquido enel tanque es cero.Se plantea entonces resolver el problema de valor en la frontera.La ecuación diferencial a resolver es una ecuación de variables separables,para separar las variables se debe multiplicar por el factor
  36. 36. Universidad De La Guajira Facultad de IngenieríaIntegrando de forma definidaSustituyendo los resultados de las integrales en la ecuaciónEl tanque demora un tiempo t= 5515,5375seg, equivalente a 1hora 31min56seg en vaciarse totalmente.  El día 15 de julio de 2006, a las 2,25 pm, se pone a vaciar un tanque cilíndrico con eje horizontal, el cual está inicialmente lleno en un 100%. La longitud del tanque es de10 mt, el radio 4 mt. Si el agua fluye por un orificio de área 2cm2, situado en el fondo del tanque y se ha establecido el coeficiente de descarga en 0,6, determine qué día y a qué hora el taque se vacía totalmente.
  37. 37. Universidad De La Guajira Facultad de IngenieríaEl área del orificio de salida es a=2cm 2. Como las dimensiones del tanqueestán dadas en metros, debe efectuarse la conversión a m. del área del orificiode salida a=2cm2=2x10-2m2=2x10-4m2El coeficiente de descarga es 0,6 y la gravedad 9,81m/seg2.Si se observa en la figura, las secciones transversales son rectángulos de 10mde largo y ancho variable, dependiendo de la altura a ala cual se efectúe elcorte transversal. Sea r la longitud del lado variable, entonces el área de lassecciones transversales es A(h)=10r.La longitud r debe expresarse en función de la altura h. para ello se debe,efectuar una abstracción del sólido que es el tanque, visualizar el tanque defrente y representarlo en un sistema de coordenadas cartesianas rectangularescomo una figura plana como se muestra en la figura. De acuerdo con la figura, la curva plana que resulta es una circunferencia de centro en (0,4) y radio 4, la cual tiene por ecuación x2+(y-4)2=16 desarrollando y simplificando x2+y2-8y=0 Como puede observarse en la figura el punto P(r,h) es un punto de la circunferencia, es decir, las coordenadas del punto satisfacen la ecuación. Sustituyendo en la ecuación x=r, y=h r2+h2-8h=0Despejando rSustituyendo en la ecuación para hallar el área de la sección transversalAhora se sustituyen los valores en la ecuación principal
  38. 38. Universidad De La Guajira Facultad de IngenieríaSimplificandoLa anterior, es la ecuación diferencial asociada al problema, la cual deberesolverse sujeta a la condición inicial h(0)=8La misma es una ecuación de variables separables. Para separar las variablesse multiplica la ecuación por el factorAmbas integrales son inmediatasSustituyendo los resultados de las integralesPara determinar el valor de la constante de integración se usa la condicióninicial h(0)=8. Este valor obtenido para C se sustituye en la ecuaciónLa anterior ecuación, representa la variación de la altura en función del tiempo.Para saber cuándo se vacía totalmente el tanque, es decir, cuando la altura delíquido en el tanque es cero, se sustituye este valor de h en la ecuación.Así que el tanque demora en vaciarse un tiempo t= 283800,3808seg, lo queequivale a 78horas 50min; lo que equivale a 3 días y 6 horas, así entonces seconcluye que el tanque de vacio después de 3 días y 6 horas y 50min deiniciado el proceso de vaciado, el cual comenzó el día 15 de julio de 2006 a las2:25 pm. Por lo tanto el tanque termino de vaciarse el día 18 de julio de 2006 alas 9:15pm.
  39. 39. Universidad De La Guajira Facultad de Ingeniería BIBLIOGRAFIA Dennis G. Zill, Ecuaciones Diferenciales 6ª Edición; Cap. 1 Sección 1.3 pág. 24-25. Eduardo Espinoza Ramos, Ecuaciones Diferenciales-Aplicaciones 5ª Edición; Murray R. Spiegel, Ecuaciones Diferenciales Aplicadas 3ª Edición; pág. 123-124 http://es.scribd.com/doc/56836322/28/VACIADO-DE-TANQUES http://es.scribd.com/doc/50990788/VACIADO-DE-TANQUES
  40. 40. Universidad De La Guajira Facultad de Ingeniería http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial

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