2. INTRODUCCIÓN
En 1815 George Boole propuso una herramienta matemática llamada
Algebra de Boole.
Luego en 1938 Claude Shannon propuso que con esta algebra es posible
modelar los llamados Sistemas Digitales. El Algebra de Boole ´ es un
sistema matemático que utiliza variables y operadores lógicos. Las
variables pueden valer 0o 1. Y las operaciones básicas son OR(+) y
AND(·).Luego se definen las expresiones de conmutación como un número
finito de variables y constantes, relacionadas mediante los operadores
(AND y OR).En la ausencia de paréntesis, se utilizan las mismas reglas de
precedencia, que tienen los operadores suma (OR) multiplicación (AND) en
el ´algebra normal. RAE Algebra
3. HISTORIA
• Se denomina así en honor a George Boole (2 de noviembre de 1815 a
8 de diciembre de 1864), matemático inglés autodidacta, que fue el
primero en definirla como parte de un sistema lógico, inicialmente en
un pequeño folleto: The Matemática Análisis of Logic,1 publicado en
1847, en respuesta a una controversia en curso entre Augustus De
Morgan y Sir William Hamilton. El álgebra de Boole fue un intento de
utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica
proposicional. Más tarde como un libro más importante: The Laws of
Thought,2 publicado en 1854.
• En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada
en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en
aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables,
en 1948. Esta lógica se puede aplicar a dos campos:
• Al análisis, porque es una forma concreta de describir como funcionan
los circuitos.
• Al diseño, ya que teniendo una función aplicamos dicha álgebra, para
poder desarrollar una implementación de la función.
4. DEFINICION
Dado un conjunto:
que se ha definido:
formado cuando menos por los elementos:
en el
Una operación unaria interna, que llamaremos complemento:
En esta operación definimos una aplicación que, a cada elemento a de B, le
asigna un b de B.
Para todo elemento a en B, se cumple que existe un único b en B, tal que b es
el complemento de a.
La operación binaria interna, que llamaremos suma:
por la que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B,
le asigna un c de B.
Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple
único c en B, tal que c es el resultado de sumar a con b.
que
existe
un
La operación binaria interna, que llamaremos producto:
Con lo que definimos una aplicación
de B por B, le asigna un c de B.
que,
a
cada
par
Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple
único c en B, tal que c es el resultado del producto a y b.
ordenado
que
(a, b)
existe
un
Dada la definición del álgebra de Boole como una estructura algebraica
genérica, según el caso concreto de que se trate, la simbología y los nombres
de las operaciones pueden variar.
5. AXIOMAS NECESARIOS
Diremos que este conjunto y las operaciones así definidas:
un álgebra de boole, si cumple las siguientes axiomas:
1a: La ley asociativa de la suma:
1b: La ley asociativa del producto:
2a: Existencia del elemento neutro para la suma:
2b: Existencia del elemento neutro para el producto:
3a: La ley conmutativa de la suma:
3b: La ley conmutativa del producto:
4a: Ley distributiva de la suma respecto al producto:
4b: Ley distributiva del producto respecto a la suma:
5a: Existe elemento complemento para la suma:
5b: Existe elemento complemento para el producto:
son
6. TEOREMAS FUNDAMENTALES
Partiendo de los cinco axiomas anteriores, se pueden deducir y demostrar los
siguientes teoremas fundamentales:
6a: Ley de idempotencia para la suma:
6b: Ley de idempotencia para el producto:
7a: Ley de absorción para la suma:
7b: Ley de absorción para el producto:
8a: Ley de identidad para la suma:
8b: Ley de identidad para el producto:
9: Ley de involución:
10: Ley del complemento:
11: Leyes de De Morgan:
7. ORDEN EN EL ALGEBRA DE BOOLE
Orden en el álgebra de Boole
Sea:
un álgebra de Boole, sean a, b dos elementos del conjunto, podremos
decir entonces que a antecede a b y lo denotamos:
si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
1.
2.
3.
4.
Estas cuatro condiciones se consideran equivalentes y el cumplimiento de una de ellas implica
necesariamente el cumplimiento de las demás. Definiendo un conjunto parcialmente ordenado
8. PRINCIPIO DE DUALIDAD
El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley
lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los
operadores suma con los de producto, y de los con los .
