Matemáticas, papiroflexia y balones de fútbol José Ignacio Royo Prieto
Reglas de la Papiroflexia (ortodoxa) <ul><li>Se empieza con un único trozo de papel cuadrado; </li></ul><ul><li>Sólo se pu...
Modelos tradicionales Ilustración de “A través del Espejo”, de Lewis Carrol Barco de papel
León, leona y cría (David Brill)
Mantis religiosa (Ronald Koh)
Bruja (José Aníbal Voyer Iniesta)
Dos Cisnes (David Derudas)
Peces (John Montroll)
Demonio  (Jun Maekawa)
Dragón (Shatoshi Kamiya)
Insectos   (Robert Lang)
Rosa (Toshikazu Kawasaki)
 
Eric Joise l
Jedi Master Yoda (Fumiaki Kawahata)
 
Demonio de Tasmania (J.I.R.)
Origami Ori = Doblar Kami= Papel
“ Un mago convierte hojas de papel en pájaros” Grabado en madera japonés de 1818.
“ Senbazuru Orikata” Japón, 1789
Miguel de Unamuno (Zuloaga)
Monumento a la Pajarita (Ramón Acín), Parque de Huesca
Akira Yoshizawa
Akira Yoshizawa
 
Elefantes (Akira Yoshizawa)
Avispa (Kamiya)
Avispa (Kamiya)
Avispa (Kamiya)
Avispa (Kamiya)
Tomoko Fuse
Instrucciones de plegado de un insecto de Robert Lang
Relación Matemáticas-Papiroflexia <ul><li>Papiroflexia modular </li></ul><ul><li>Constructibilidad de puntos con Origami <...
Poliedros <ul><li>Definición:  conjunto conexo de  R 3   formado por polígonos (caras) que cumplen: </li></ul><ul><ul><ul>...
Poliedros convexos Su interior es convexo, y su interior se puede definir mediante fórmulas: Siendo  C  el número de caras.
Sólidos Platónicos -  Definición:  Un poliedro convexo es regular si: -sus caras son polígonos regulares; -en cada vértice...
 
Pirámide de Micerinos (Gizeh, Egipto)
Icosaedro truncado, cuestión de estado.
Papiroflexia modular <ul><li>Hacer figuras geométricas ensamblando piezas de papel sencillas e idénticas (módulos) </li></...
Clases de módulos <ul><li>Por vértices; </li></ul><ul><li>por aristas; </li></ul><ul><li>por caras. </li></ul>
Problema de la coloración <ul><li>Construir el poliedro en cuestión de modo que sus caras, vértices o aristas sigan un pat...
Grafos planos de los sólidos platónicos
Coloración icosaedro  Coloración icosidodecaedro
Icosidodecaedro
6 ciclos de aristas en un icosidodecaedro
Coloración icosaedro estrellado    Coloración triacontaedro rómbico
Triacontaedro rómbico
Coloración icosaedro estrellado usando módulos Sonobè
Dualidad de poliedros
Dualidad icosaedro-dodecaedro
Cinco Tetraedros Intersecados
Satoshi Kamiya
Balón de fútbol <ul><li>12 pentágonos; </li></ul><ul><li>20 hexágonos; </li></ul><ul><li>En cada vértice, se juntan 2 hexá...
Fullerenos <ul><li>Están formados por hexágonos y pentágonos; </li></ul><ul><li>Concurren 3 aristas en cada vértice </li><...
Característica de Euler
Pentágonos de un fullereno
Construcción de nuevos fullerenos
Fullereno gigante (810 piezas)
Teorema de Steinitz Problema de Steinitz Un grafo se puede realizar como un poliedro convexo de   3  si y sólo si es plan...
Fórmula de Euler para   2
Dominios fundamentales Roberto Gretter (555 piezas) Sergei Lupashin (120 piezas) Sarah Belcastro (105 piezas)
Curvatura de   2  con origami <ul><li>Pentágonos: curvatura positiva </li></ul><ul><li>Hexágonos: curvatura cero </li></u...
Trisección del ángulo con Origami Método de Hisashi Abe
Axiomática de Humiaki Huzita O1 O6 O5 O4 O3 O2
New York Journal of Mathematics, 2000
Métodos matemáticos de diseño
Propiedades del mapa de cicatrices de un modelo plano
Proyección sobre la base de un modelo plano Mapa de cicatrices y base correspondiente
Método de Kawahata-Meguro
Pliegue oreja de conejo Hipérbola: lugar geométrico de los incentros
Figuras de Fumiaki Kawahata
Treemaker de Robert Lang
“ Tree theorem” de Lang
Figura diseñada con Treemaker
Origag (Roberto Morassi, 1984)
 
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Papiroflexia

  1. 1. Matemáticas, papiroflexia y balones de fútbol José Ignacio Royo Prieto
  2. 2. Reglas de la Papiroflexia (ortodoxa) <ul><li>Se empieza con un único trozo de papel cuadrado; </li></ul><ul><li>Sólo se puede plegar el papel; </li></ul><ul><li>No se pueden realizar cortes; </li></ul><ul><li>No se puede usar pegamento. </li></ul>
  3. 3. Modelos tradicionales Ilustración de “A través del Espejo”, de Lewis Carrol Barco de papel
  4. 4. León, leona y cría (David Brill)
  5. 5. Mantis religiosa (Ronald Koh)
  6. 6. Bruja (José Aníbal Voyer Iniesta)
  7. 7. Dos Cisnes (David Derudas)
  8. 8. Peces (John Montroll)
  9. 9. Demonio (Jun Maekawa)
  10. 10. Dragón (Shatoshi Kamiya)
  11. 11. Insectos (Robert Lang)
  12. 12. Rosa (Toshikazu Kawasaki)
  13. 14. Eric Joise l
  14. 15. Jedi Master Yoda (Fumiaki Kawahata)
  15. 17. Demonio de Tasmania (J.I.R.)
  16. 18. Origami Ori = Doblar Kami= Papel
  17. 19. “ Un mago convierte hojas de papel en pájaros” Grabado en madera japonés de 1818.
  18. 20. “ Senbazuru Orikata” Japón, 1789
  19. 21. Miguel de Unamuno (Zuloaga)
  20. 22. Monumento a la Pajarita (Ramón Acín), Parque de Huesca
  21. 23. Akira Yoshizawa
  22. 24. Akira Yoshizawa
  23. 26. Elefantes (Akira Yoshizawa)
  24. 27. Avispa (Kamiya)
  25. 28. Avispa (Kamiya)
  26. 29. Avispa (Kamiya)
  27. 30. Avispa (Kamiya)
  28. 31. Tomoko Fuse
  29. 32. Instrucciones de plegado de un insecto de Robert Lang
  30. 33. Relación Matemáticas-Papiroflexia <ul><li>Papiroflexia modular </li></ul><ul><li>Constructibilidad de puntos con Origami </li></ul><ul><li>Diseño de figuras con métodos matemáticos </li></ul>
  31. 34. Poliedros <ul><li>Definición: conjunto conexo de R 3 formado por polígonos (caras) que cumplen: </li></ul><ul><ul><ul><li>cada lado de cada cara es compartido con otra cara ; </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>en cada vértice hay un circuito cerrado de polígonos. </li></ul></ul></ul>
  32. 35. Poliedros convexos Su interior es convexo, y su interior se puede definir mediante fórmulas: Siendo C el número de caras.
  33. 36. Sólidos Platónicos - Definición: Un poliedro convexo es regular si: -sus caras son polígonos regulares; -en cada vértice concurre el mismo número de aristas. - (Teeteto, 425-379 a.C.): Tan sólo existen cinco, y son: Cubo Octaedro Tetraedro Dodecaedro Icosaedro
  34. 38. Pirámide de Micerinos (Gizeh, Egipto)
  35. 39. Icosaedro truncado, cuestión de estado.
  36. 40. Papiroflexia modular <ul><li>Hacer figuras geométricas ensamblando piezas de papel sencillas e idénticas (módulos) </li></ul><ul><li>El interés para con las matemáticas es doble: </li></ul><ul><ul><li>representación de poliedros y otras figuras; </li></ul></ul><ul><ul><li>la construcción nos acerca a las propiedades de esas figuras. </li></ul></ul>
  37. 41. Clases de módulos <ul><li>Por vértices; </li></ul><ul><li>por aristas; </li></ul><ul><li>por caras. </li></ul>
  38. 42. Problema de la coloración <ul><li>Construir el poliedro en cuestión de modo que sus caras, vértices o aristas sigan un patrón. Ejemplo: que no concurran dos colores iguales </li></ul><ul><li>Utilizaremos el grafo plano de un poliedro </li></ul>
  39. 43. Grafos planos de los sólidos platónicos
  40. 44. Coloración icosaedro  Coloración icosidodecaedro
  41. 45. Icosidodecaedro
  42. 46. 6 ciclos de aristas en un icosidodecaedro
  43. 47. Coloración icosaedro estrellado  Coloración triacontaedro rómbico
  44. 48. Triacontaedro rómbico
  45. 49. Coloración icosaedro estrellado usando módulos Sonobè
  46. 50. Dualidad de poliedros
  47. 51. Dualidad icosaedro-dodecaedro
  48. 52. Cinco Tetraedros Intersecados
  49. 53. Satoshi Kamiya
  50. 54. Balón de fútbol <ul><li>12 pentágonos; </li></ul><ul><li>20 hexágonos; </li></ul><ul><li>En cada vértice, se juntan 2 hexágonos y un pentágono. </li></ul>
  51. 55. Fullerenos <ul><li>Están formados por hexágonos y pentágonos; </li></ul><ul><li>Concurren 3 aristas en cada vértice </li></ul>Cúpula geodésica de Montreal (Richard Buckminster Fuller)
  52. 56. Característica de Euler
  53. 57. Pentágonos de un fullereno
  54. 58. Construcción de nuevos fullerenos
  55. 59. Fullereno gigante (810 piezas)
  56. 60. Teorema de Steinitz Problema de Steinitz Un grafo se puede realizar como un poliedro convexo de  3 si y sólo si es plano y 3-conexo. Decidir cuándo un grafo se puede realizar en  3 como un poliedro convexo circunscrito en la esfera usual.
  57. 61. Fórmula de Euler para  2
  58. 62. Dominios fundamentales Roberto Gretter (555 piezas) Sergei Lupashin (120 piezas) Sarah Belcastro (105 piezas)
  59. 63. Curvatura de  2 con origami <ul><li>Pentágonos: curvatura positiva </li></ul><ul><li>Hexágonos: curvatura cero </li></ul><ul><li>Heptágonos: curvatura negativa </li></ul>
  60. 64. Trisección del ángulo con Origami Método de Hisashi Abe
  61. 65. Axiomática de Humiaki Huzita O1 O6 O5 O4 O3 O2
  62. 66. New York Journal of Mathematics, 2000
  63. 67. Métodos matemáticos de diseño
  64. 68. Propiedades del mapa de cicatrices de un modelo plano
  65. 69. Proyección sobre la base de un modelo plano Mapa de cicatrices y base correspondiente
  66. 70. Método de Kawahata-Meguro
  67. 71. Pliegue oreja de conejo Hipérbola: lugar geométrico de los incentros
  68. 72. Figuras de Fumiaki Kawahata
  69. 73. Treemaker de Robert Lang
  70. 74. “ Tree theorem” de Lang
  71. 75. Figura diseñada con Treemaker
  72. 76. Origag (Roberto Morassi, 1984)
  73. 78. Bibliografía
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