Papiroflexia
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  • 1. Matemáticas, papiroflexia y balones de fútbol José Ignacio Royo Prieto
  • 2. Reglas de la Papiroflexia (ortodoxa)
    • Se empieza con un único trozo de papel cuadrado;
    • Sólo se puede plegar el papel;
    • No se pueden realizar cortes;
    • No se puede usar pegamento.
  • 3. Modelos tradicionales Ilustración de “A través del Espejo”, de Lewis Carrol Barco de papel
  • 4. León, leona y cría (David Brill)
  • 5. Mantis religiosa (Ronald Koh)
  • 6. Bruja (José Aníbal Voyer Iniesta)
  • 7. Dos Cisnes (David Derudas)
  • 8. Peces (John Montroll)
  • 9. Demonio (Jun Maekawa)
  • 10. Dragón (Shatoshi Kamiya)
  • 11. Insectos (Robert Lang)
  • 12. Rosa (Toshikazu Kawasaki)
  • 13.  
  • 14. Eric Joise l
  • 15. Jedi Master Yoda (Fumiaki Kawahata)
  • 16.  
  • 17. Demonio de Tasmania (J.I.R.)
  • 18. Origami Ori = Doblar Kami= Papel
  • 19. “ Un mago convierte hojas de papel en pájaros” Grabado en madera japonés de 1818.
  • 20. “ Senbazuru Orikata” Japón, 1789
  • 21. Miguel de Unamuno (Zuloaga)
  • 22. Monumento a la Pajarita (Ramón Acín), Parque de Huesca
  • 23. Akira Yoshizawa
  • 24. Akira Yoshizawa
  • 25.  
  • 26. Elefantes (Akira Yoshizawa)
  • 27. Avispa (Kamiya)
  • 28. Avispa (Kamiya)
  • 29. Avispa (Kamiya)
  • 30. Avispa (Kamiya)
  • 31. Tomoko Fuse
  • 32. Instrucciones de plegado de un insecto de Robert Lang
  • 33. Relación Matemáticas-Papiroflexia
    • Papiroflexia modular
    • Constructibilidad de puntos con Origami
    • Diseño de figuras con métodos matemáticos
  • 34. Poliedros
    • Definición: conjunto conexo de R 3 formado por polígonos (caras) que cumplen:
        • cada lado de cada cara es compartido con otra cara ;
        • en cada vértice hay un circuito cerrado de polígonos.
  • 35. Poliedros convexos Su interior es convexo, y su interior se puede definir mediante fórmulas: Siendo C el número de caras.
  • 36. Sólidos Platónicos - Definición: Un poliedro convexo es regular si: -sus caras son polígonos regulares; -en cada vértice concurre el mismo número de aristas. - (Teeteto, 425-379 a.C.): Tan sólo existen cinco, y son: Cubo Octaedro Tetraedro Dodecaedro Icosaedro
  • 37.  
  • 38. Pirámide de Micerinos (Gizeh, Egipto)
  • 39. Icosaedro truncado, cuestión de estado.
  • 40. Papiroflexia modular
    • Hacer figuras geométricas ensamblando piezas de papel sencillas e idénticas (módulos)
    • El interés para con las matemáticas es doble:
      • representación de poliedros y otras figuras;
      • la construcción nos acerca a las propiedades de esas figuras.
  • 41. Clases de módulos
    • Por vértices;
    • por aristas;
    • por caras.
  • 42. Problema de la coloración
    • Construir el poliedro en cuestión de modo que sus caras, vértices o aristas sigan un patrón. Ejemplo: que no concurran dos colores iguales
    • Utilizaremos el grafo plano de un poliedro
  • 43. Grafos planos de los sólidos platónicos
  • 44. Coloración icosaedro  Coloración icosidodecaedro
  • 45. Icosidodecaedro
  • 46. 6 ciclos de aristas en un icosidodecaedro
  • 47. Coloración icosaedro estrellado  Coloración triacontaedro rómbico
  • 48. Triacontaedro rómbico
  • 49. Coloración icosaedro estrellado usando módulos Sonobè
  • 50. Dualidad de poliedros
  • 51. Dualidad icosaedro-dodecaedro
  • 52. Cinco Tetraedros Intersecados
  • 53. Satoshi Kamiya
  • 54. Balón de fútbol
    • 12 pentágonos;
    • 20 hexágonos;
    • En cada vértice, se juntan 2 hexágonos y un pentágono.
  • 55. Fullerenos
    • Están formados por hexágonos y pentágonos;
    • Concurren 3 aristas en cada vértice
    Cúpula geodésica de Montreal (Richard Buckminster Fuller)
  • 56. Característica de Euler
  • 57. Pentágonos de un fullereno
  • 58. Construcción de nuevos fullerenos
  • 59. Fullereno gigante (810 piezas)
  • 60. Teorema de Steinitz Problema de Steinitz Un grafo se puede realizar como un poliedro convexo de  3 si y sólo si es plano y 3-conexo. Decidir cuándo un grafo se puede realizar en  3 como un poliedro convexo circunscrito en la esfera usual.
  • 61. Fórmula de Euler para  2
  • 62. Dominios fundamentales Roberto Gretter (555 piezas) Sergei Lupashin (120 piezas) Sarah Belcastro (105 piezas)
  • 63. Curvatura de  2 con origami
    • Pentágonos: curvatura positiva
    • Hexágonos: curvatura cero
    • Heptágonos: curvatura negativa
  • 64. Trisección del ángulo con Origami Método de Hisashi Abe
  • 65. Axiomática de Humiaki Huzita O1 O6 O5 O4 O3 O2
  • 66. New York Journal of Mathematics, 2000
  • 67. Métodos matemáticos de diseño
  • 68. Propiedades del mapa de cicatrices de un modelo plano
  • 69. Proyección sobre la base de un modelo plano Mapa de cicatrices y base correspondiente
  • 70. Método de Kawahata-Meguro
  • 71. Pliegue oreja de conejo Hipérbola: lugar geométrico de los incentros
  • 72. Figuras de Fumiaki Kawahata
  • 73. Treemaker de Robert Lang
  • 74. “ Tree theorem” de Lang
  • 75. Figura diseñada con Treemaker
  • 76. Origag (Roberto Morassi, 1984)
  • 77.  
  • 78. Bibliografía