Your SlideShare is downloading. ×
0
Cosenos directores x y z
Cosenos directores x y z
Cosenos directores x y z
Cosenos directores x y z
Cosenos directores x y z
Cosenos directores x y z
Cosenos directores x y z
Cosenos directores x y z
Cosenos directores x y z
Cosenos directores x y z
Cosenos directores x y z
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Cosenos directores x y z

11,202

Published on

matemática física

matemática física

Published in: Education
0 Comments
5 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
11,202
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
126
Comments
0
Likes
5
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Universidad Tecnológica de Panamá Centro Regional de Chiriquí CAPÍTULO 2 ESTÁTICA DE PARTÍCULAS 2. 1 Definición de Fuerza La fuerza es un vector por lo que podemos aplicar los métodos para operaciones de vectores conocidos. 2.2 Métodos para Suma de Vectores a. Métodos Gráficos Los métodos gráficos requieren trazar los vectores a escala y utilizar regla y transportador para indicar dirección y módulo. El método del Paralelogramo se emplea para sumar sólo dos vectores y el método del polígono (o poligonal) para sumar dos o más vectores. Método del Paralelogramo: Consiste en colocar los vectores de forma que coincidan los puntos de aplicación de los dos vector y formar un paralelogramo con la proyección de estos vectores en los lados opuestos. El vector suma ( Resultante R ) se obtendrá de la diagonal del paralelogramo que se ha formado. Ing. Cynthia Samudio Mecánica1 Una fuerza representa la acción de un cuerpo sobre otro y, generalmente, está caracterizada por su punto de aplicación, su magnitud y su dirección. Clasificación de los métodos para sumar vectores Métodos Gráficos Métodos Analíticos Método del Paralelogramo Método del Polígono Método de Componentes Rectangulares Método del Triángulo Módulo Figura 1. Representación de un vector Fuerza
  • 2. Universidad Tecnológica de Panamá Centro Regional de Chiriquí Método del Polígono. Consiste en colocar los vectores uno a continuación del otro y así sucesivamente hasta que todos los vectores estén presentes. El vector suma (Resultante) se obtiene trazando el vector que va del origen del primero al extremo del último vector. b. Métodos Analíticos Los métodos analíticos son el método de componentes para 2 o más vectores y el método del triángulo (una variación del método poligonal donde se requiere emplear métodos trigonométricos para resolver las incógnitas) para dos vectores. Método del Triángulo Se aplica el método del polígono (un vector a continuación del otro) y luego se trabaja con le triángulo que se forma al trazar la resultante. Ing. Cynthia Samudio Mecánica2 Como se observa en la figura 1. Los vectores A y B se colocan de forma que coinciden sus puntos de aplicación. Figura 3. Método del Paralelogramo Figura 3. Método del Polígono Figura 4. Método del Triángulo
  • 3. Universidad Tecnológica de Panamá Centro Regional de Chiriquí Si el triángulo es rectángulo: Se pueden aplicar las funciones trigonométricas y el teorema de Pitágoras para determinar la resultante y el ángulo que nos indica su dirección. Si el triángulo es oblicuo (Un triángulo oblicuo es cualquier triángulo que no sea recto) Para poder obtener la Resultante y su dirección debe obtenerle por medio de la ley de cosenos y la ley de los senos enunciadas a continuación. Ley de los Cosenos : te permite encontrar cualquier lado de un triángulo, si conoces los otros dos y el ángulo opuesto al lado que quieres determinar. Ley de los Senos En cualquier triángulo se verifica que las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. Expresado en función del triángulo de la figura Ing. Cynthia Samudio Mecánica3 Funciones Trigonométricas Sen A= lado opuesto/hipotenusa = a/c Cos A = lado adyacente/hipotenusa= b/c Tan A= lado opuesto/lado adyacente=a/B Teorema de Pitágoras R2 = A2 + B2 Figura 5. Triángulo Rectángulo a2 = b2 + c2 - 2bc cos α b2 = a2 + c2 - 2ac cos β c2 = a2 + b2 - 2ab cos γ Figura 6. Triángulo Oblicuo
  • 4. Universidad Tecnológica de Panamá Centro Regional de Chiriquí Método de los Componentes Cualquier fuerza que actúa sobre una partícula se puede descomponer en dos o más componentes, esto es, puede ser reemplazada por dos o más fuerzas que originen el mismo efecto sobre la partícula. Pasos para Aplicar el Método de las Componentes 1-Dibuje todos los vectores a partir del origen en un sistema coordenado 2.-Descomponga todos los vectores en sus componentes "X" y "Y". (Nota: Recuerde tomar en cuenta la dirección negativa o positiva de los componentes) 3.-Encuentre la componente "X" de la resultante sumando los componentes "X" de todos los vectores. Rx= Ax+Bx+Cx+..... 4.-Encuentre la componente "Y" de la resultante sumando los componentes "Y" de los vectores. Ry= Ay+By+Cy+...... 5.-Obtenga la magnitud y dirección de la resultante a partir de dos vectores perpendiculares, aplicando el teorema de Pitágoras y la función trigonométrica tangente. Ing. Cynthia Samudio Mecánica4 x y Fy Fx Se dice que una fuerza se ha descompuesto en dos componentes rectangulares si sus componentes Fx y Fy son perpendiculares entre sí y están dirigidos a los largo de los ejes coordenados Figura 7. Triángulo Oblicuo. Figura 8. Componentes Fx y Fy del vector F. F
  • 5. Universidad Tecnológica de Panamá Centro Regional de Chiriquí En la Figura 9 se observa la coexistencia de los vectores A, B y C. El vector resultante se obtiene a través del Método de los Componentes; observe la manera en que se obtienen las proyecciones de cada vector: se descomponen rectangularmente Empleando Vectores Unitarios Otra forma de sumar vectores utilizando las componentes rectangulares es usar los vectores unitarios para representar la dirección de las componentes en sus ejes x, y y z. Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia. Se usan los símbolos i,j, y k para representar los componentes en x, y y z respectivamente. Ing. Cynthia Samudio Mecánica5 Figura 9. Descomposición de vectores
  • 6. Universidad Tecnológica de Panamá Centro Regional de Chiriquí Los vectores puede escribirse así: F= Fxi + Fyj + Fzk Donde Fx, Fy y Fz son los componentes de un vector fuerza. Para sumar dos o más, se suman las componentes en x, y y z. Por ejemplo R=(Ax +Bx)i+(Ay+By)j+(Az+Bz)k 2.3 Operaciones con Vectores. Producto Punto. Producto Cruz. a. Producto Punto o Escalar Dado dos vectores A y B, se define el producto escalar de ellos al número real dado por la ecuación: αcosbaba =⋅ siendo ∝ el ángulo que los relaciona.. El producto punto se representa por un punto ( · ) y su resultado es un número (escalar). Teniendo en cuenta que el producto escalar de los vectores : i · i = 1; j· j = 1; k · k = 1 Y cualquier otro producto es igual a cero el resultado de multiplicar escalarmente a por b es: a · b = ax· bx + ay · by+ az · bz En el cuadro podemos apreciar el resultado de aplicar el producto punto a los vectores unitarios . i j k i 1 0 0 j 0 1 0 k 0 0 1 El producto escalar se aplica para determinar. a. ángulo entre dos vectores. b. La proyección de un vector sobre otro. Ing. Cynthia Samudio Mecánica6 Figura 10. Vectores Unitarios
  • 7. Universidad Tecnológica de Panamá Centro Regional de Chiriquí c. La perpendicularidad entre vectores (Si el resultado del producto punto es 0, los vectores son perpendiculares) Producto Cruz o Producto Vectorial El producto cruz de dos vectores (A y B en la figura) contenidos en un mismo plano es igual a un vector perpendicular al mismo. El producto cruz se representa por una exe (X) y su resultado es un vector.La dirección de ese vector se establece utilizando la regla de la mano derecha. Dicha regla dice que los dedos de la mano derecha giran desde A hasta B siguiendo el camino más corto, y el pulgar indica la dirección del C. De forma más sencilla podemos aplicar el siguiente procedimiento. La dirección de la flecha indica el sentido positivo del producto cruz si multiplicamos i X j el resultado será k, si multiplicamos kX i el resultados será j. Por el contrario si nos movemos en sentido contrario al indicado entonces la respuesta será negativa. j X i = -k y k X j = -i Es importante recalcar que no se puede calcular el producto cruz de dos vectores con un ángulo de 0º entre sí, porque la respuesta será 0 decir i x i =0, j x j = 0 y k x k =0 El siguiente cuadro presenta un resumen del producto vectorial para vectores unitarios- Ing. Cynthia Samudio Mecánica7 Figura 11. Producto Cruz j k i +
  • 8. Universidad Tecnológica de Panamá Centro Regional de Chiriquí X i j k i 0 k -j j -k 0 i k j -i 0 2.4 Componentes de una fuerza en el espacio tridimensional a. Empleando los cosenos directores Una fuerza en el espacio tridimensional se puede descomponer en componentes rectangulares Fx, Fy y Fz. Denotando por xθ , yθ y zθ , los ángulos que F forma, respectivamente con los ejes x, y y z (figura )., se tiene entonces que. xx FF θcos= Los cosenos de xθ , yθ y zθ , se conocen como los cosenos directores de la fuerza F. Expresando la Fuerza en función de los vectores unitarios Ing. Cynthia Samudio Mecánica8 yy FF θcos= zz FF θcos= kFjFiFF zyx ++= Figura 12. Cosenos directores
  • 9. Universidad Tecnológica de Panamá Centro Regional de Chiriquí También se puede expresar en función de los cosenos directores de forma que Lo cual demuestra que F es el producto de su magnitud F y el vector unitario Como la magnitud de λ es igual a la unidad, se debe cumplir que Cuando las componentes rectangulares Fx, Fy y Fz de una fuerza F son conocidas, la magnitud F de la fuerza se encuentra escribiendo Y los cosenos directores de F se obtienen a partir de las ecuaciones () F F F F F F z z y y x x === θθθ coscoscos b. Conocido la magnitud de la Fuerza y los ángulos yθ y Φ En caso de que la fuerza este expresada en función del ángulo yθ y del ángulo Φ (ángulo que se forma entre el eje x y el plano que contiene la fuerza F (figura ). Entonces empleando el ángulo yθ podemos encontrar Fy y la componente horizontal Fh. Con Fh y el ángulo Φ encontramos Fx y Fz aplicando funciones trigonométricas. Las componentes escalares son: Fy = F cos yθ Fh= F sen yθ Fx = Fh cos Ф Fz = Fh sen Ф Sustituyendo en (3) y (4) el valor de Fh Fy = F cos yθ Fx = Fh cos Ф =F sen yθ cos Ф Fz = Fh sen Ф= F sen yθ sen Ф Ing. Cynthia Samudio Mecánica9 )coscos(cos kjiFF zyx θθθ ++= kji zyx θθθλ coscoscos ++= 1coscoscos 222 =++ zyx θθθ 222 zyx FFFF ++= x z y F B A C O Ф Θ y Fy Fh Fx Fz
  • 10. Universidad Tecnológica de Panamá Centro Regional de Chiriquí c. Conocida la magnitud de la Fuerza y dos puntos a lo largo de su línea de acción Sean los puntos M y N a lo largo de la línea de acción de la fuerza F para obtener sus componentes rectangulares. Primero, se expresa el vector MN . 2.3 Equilibrio de una Partícula Es decir que si al sumar los vectores obtenemos como resultado que la resultante sea igual a cero, se dice que el cuerpo está en equilibrio. ∑ == 0FR 0=∑ xF 0=∑Fy Expresadas en vectores unitarios: ( ) 0)( =+= ∑∑ jFyiFxR º Ing. Cynthia Samudio Mecánica10 Cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es igual a cero, la partícula está en equilibrio.
  • 11. Universidad Tecnológica de Panamá Centro Regional de Chiriquí CLAVES PARA RESOLVER PROBLEMAS DE EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA Debe dibujar un diagrama de cuerpo libre claro y preciso para resolver cualquier problema de equilibrio. Recuerde tomar adecuadamente la dirección de la fuerza según sea el elemento del problema. Ing. Cynthia Samudio Mecánica11

×