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    Matematica ii Matematica ii Document Transcript

    • República bolivariana de Venezuela Universidad Fermín toro Decanato de ingeniería Alumno: Antonio castillo CI: 21125933 Asignatura: Matemática II Prof.: Domingo Méndez
    • La integral definida Notación sigma Los números cuya suma se indica en una notación sigma pueden ser naturales, complejos u objetos matemáticos más complicados. Si la suma tiene un número infinito de términos, se conoce como serie infinita. Dada una sucesión: Ésta se puede representar como la suma de los primeros términos con la notación de sumatoria o notación sigma. El nombre de esta notación se denomina de la letra griega (sigma mayúscula, que corresponde a nuesta S de "suma" ). La notación sigma es de la siguiente manera: La ecuación anterior se lee la "suma de desde hasta ." La tetra k es el índice de la suma o variable de la sumatoria y se reemplaza k en la ecuación después de sigma, por los enteros , y se suman las expresiones que resulten, con lo que resulte del lado derecho de la ecuación. Ejemplo: Solución:
    • Propiedades Entonces, para todo entero positivo y todo número real , sabemos: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Las propiedades son muy útiles para desarrollar expresiones que nos permiten calcular áreas limitadas por curvas planas.
    • Suma superior e inferior Si queremos calcular el área bajo la curva Y = F(x)= X2 + 1, donde F(x) ³ 0 y continúa en todo el intervalo cerrado x = a, x = b y el eje "x", podemos dividirla en una serie de polígonos (rectángulos), calculamos el área de cada uno de estos rectángulos la suma nos dará un valor aproximado del área real. figura 1 Si observamos la figura 1, el área se dividió en dos rectángulos y al calcular el área de cada uno de ellos, se incluye una parte del rectángulo que no pertenece al área buscada, por lo tanto esta es una aproximación. Figura 2 En la figura 2, el número de rectángulos se ha incrementado hasta 9 y observamos que la parte que no nos interesa es menor que cuando tomamos 2 rectángulos, lo que nos conduce a concluir que a mayor número de rectángulos "n" más nos aproximamos al área real. Podemos finalizar que si el número de rectángulos "n" se hace muy grande, entonces el área calculada será casi exactamente el área buscada. La Integral Definida y sus propiedades
    • La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b. Propiedades de la integral definida 1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración. 2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero. 3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b]. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales· 5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
    • Teorema del Valor Medio para Integrales Enunciado para una variable Para una función que cumpla la hipótesis de ser definida y continua [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) en que la pendiente de la curva es igual que la pendiente media de la curva en el intervalo cerrado [a, b]. En esencia el teorema dice que dada cualquier función f continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún
    • punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir: Este teorema lo formuló Lagrange. El teorema del valor medio de Lagrange de hecho es una generalización del teorema de Rolle que dice que si una función es definida y continua [a, b], diferenciable en el intervalo abierto (a, b), y toma valores iguales en los extremos del intervalo – en otras palabras, f(a) = f(b) – entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es horizontal, es decir f'(c) = 0. Demostración El conocimiento del significado de la derivada de una función en un punto, y de la ecuación punto-pendiente de una recta, permiten deducir que la ecuación de la recta tangente en un punto de la curva es: Donde los pares de puntos y son una pareja cualquiera de puntos de la curva. Vamos a demostrar que, una vez conocida una pareja de puntos de una curva continua y derivable, existe un punto c contenido en el intervalo (a, b) tal que la pendiente en dicho punto es paralela a la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Definimos una función: Puesto que f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), lo mismo se puede decir de g. Además g satisface las condiciones del Teorema de Rolle ya que: Por el Teorema de Rolle, como g es derivable en (a, b) y g(a) = g(b), existe un c perteneciente (a, b) tal que g'(c) = 0, y por tanto:
    • y así como queríamos demostrar. Forma integral del Teorema del valor medio Para una función continua en el cerrado , existe un valor en dicho intervalo, tal que1 Demostración Dado que la función es continua en el cerrado , posee un valor máximo en dicho intervalo para algún , que llamaremos y también un valor mínimo en el mismo intervalo: , para algún . Es decir y . Si consideramos las áreas de los rectángulos con base y altura ó tendremos la siguiente desigualdad: Lo que implica: De donde se deduce que debe existir algún para el cual la función alcanza el valor de la integral , es decir: El teorema no especifíca como determinar , pero resulta que coincide con el valor medio (promedio) de la función en el intervalo . Enunciado para varias variables
    • Sea un conjunto abierto y convexo y una función real diferenciable sobre ese abierto. Entonces se tiene que:2 Donde: , es la aplicación lineal que representa el jacobiano (gradiente). Teorema Fundamental del Calculo El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo. El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación. Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.
    • Intuición geométrica El área rayada en rojo puede ser calculada como h × f(x), o si se conociera la función A(X), como A(x+h) − A(x). Estos valores son aproximadamente iguales para valores pequeños de h. Supóngase que se tiene una función continua y = f(x) y que su representación gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una función A(x) que representa el área bajo la curva entre 0 y x aún sin conocer su expresión. Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre x y x+h. Se podría hacer hallando el área entre 0 y x+h y luego restando el área entre 0 y x. En resumen, el área de esta especie de "loncha" sería A(x+h) − A(x). Otra manera de estimar esta misma área es multiplicar h por f(x) para hallar el área de un rectángulo que coincide aproximadamente con la "loncha". Nótese que la aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de h. Por lo tanto, se puede decir que A(x+h) − A(x) es aproximadamente igual a f(x) · h, y que la precisión de esta aproximación mejora al disminuir el valor de h. En otras palabras, ƒ(x)·h ≈ A(x+h) − A(x), convirtiéndose esta aproximación en igualdad cuando h tiende a 0 como límite. Dividiendo los dos lados de la ecuación por h se obtiene
    • Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivada A’(x) de la función A(x) y que el miembro izquierdo se queda en ƒ(x) al ya no estar h presente. Se muestra entonces de manera informal que ƒ(x) = A’(x), es decir, que la derivada de la función de área A(x) es en realidad la función ƒ(x). Dicho de otra forma, la función de área A(x) es la antiderivada de la función original. Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y "hallar el área" bajo su curva son operaciones "inversas", es decir el objetivo del teorema fundamental del cálculo integral. Primer teorema fundamental del cálculo Dada una función f integrable sobre el intervalo , definimos F sobre por . Si f es continua en , entonces F es derivable en y F'(c) = f(c). Consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal es: Siendo f(t) una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables. Demostración Sea [[ ]] integrable sobre y Entonces
    • Demostración Por definición se tiene que . Sea h>0. Entonces . Se define y como: , Aplicando el 'lema' se observa que . Por lo tanto, Sea . Sean , . Aplicando el 'lema' se observa que . Como , entonces, .
    • Puesto que , se tiene que . Y como es continua en c se tiene que , y esto lleva a que Sustitución y cambio de Variable Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante un cambio de la variable independiente. Aunque algunos casos tienen un método preciso, es la práctica, en general, la que proporciona la elección del cambio de variable más conveniente. Se comenzará por estudiar aquellas integrales que son casi inmediatas. Si en lugar de x se tuviese una función u(x), x ® u(x) ® u(x)m , la regla de la cadena Por tanto, Como se ve, se ha escrito u en lugar de u(x) por simplificar la notación. Ejercicio: cálculo de integrales inmediatas por cambio de variable
    • ------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------- Resolución: Resolución: · Sin embargo, en la integral no se tiene 2x sino x. Este contratiempo se por la constante (en este caso 2) que falta. Resolución: Resolución:
    • · Se multiplica y se divide por 3: Si en lugar de x se tuviese una función de x, u(x), la derivada de ln | u(x) |, por la regla de Ejercicio: Resolución: · Se multiplica y se divide por 6:
    • Resolución: Por tanto, La derivada de ex es la propia función ex . Si en lugar de x se tuviese una función u( x ), la derivada de eu( x ) por la regla de la cadena es eu( x ) · u' ( x ). Por consiguiente,