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    • Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.com RAÌCES DE ECUACIONES Método de la Bisección o punto medio Ing Yamil Armando Cerquera Rojas – yacerque@gmail.com Especialista en Sistemas Universidad Nacional Docente Universidad Surcolombiana Neiva - Huila Contenido Polinomios...................................................................................................................................2 Grado de un polinomio .............................................................................................................2 Raíces de un polinomio ............................................................................................................2 Factorización de un polinomio................................................................................................3 Representación gráfica de las raíces de un polinomio .......................................................3 Raíces Únicas y Múltiples:........................................................................................................5 Teorema fundamental del Álgebra ........................................................................................8 Todo polinomio de grado n tiene n raíces............................................................................8 Regla de los signos de Descartes ............................................................................................8 Conjunto de posibles raíces.....................................................................................................9 ¿Qué hacer cuando se tenga una raíz?.................................................................................10Método de la Bisección...............................................................................................................10 Descripción ...............................................................................................................................11 Las condiciones de terminación del proceso......................................................................13 Explicación General del método: .........................................................................................15 Procedimiento: ........................................................................................................................16 Algoritmo: .................................................................................................................................17 Ejercicio 1: ...............................................................................................................................18 Ejercicio 2: ...............................................................................................................................19 Ejercicio 3. ...............................................................................................................................20 Solución .............................................................................................................................20 Ejemplo 4: ................................................................................................................................21 Ejemplo 5..................................................................................................................................21 Raíz simple ..................................................................................... 22RECURSOS BIBLIOGRAFÍCOS..................................................................... 25 Bibliografía Básica:............................................................................ 25 Bibliografía Complementaria: ............................................................... 25 Bibliografía OnLine: ........................................................................... 26Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 1 de 26
    • Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.comPolinomiosUn polinomio es una suma de términos llamados monomios. Un monomio es elproducto de un coeficiente (un número real), una variable (casi siempre x o y) elevadaa un exponente (entero positivo).Existen polinomios con uno, dos o más términos, por ejemplo: 2 Monomio (un término): 5x En este caso el coeficiente es 5, la variable es x el exponente 2 7 Binomio (dos términos): 6 x − 2 Trinomio (tres términos): 3 x 5 + 4 x 3 − x 2En este trabajo se utilizaran polinomios con coeficientes enteros y potencias enteraspositivas.Grado de un polinomioEl grado de un polinomio es igual al exponente mayor de la variable. Por ejemplo: 5x 2 Es un polinomio de grado 2 6x7 − 2 Es de grado 7 3x 5 + 4 x 3 − x 2 Es de grado 5 2 x 4- x 3 - x 2 ¿De qué grado es? 5 2 6 x - 4 x - 19 x ¿De qué grado es? 3 x15 + x13 - x2 ¿De qué grado es? 13 ¿De qué grado es?Nota cómo se deben escribir los polinomios. Se deben escribir en orden decrecientecon respecto al grado de cada término.Raíces de un polinomioLa raíz de un polinomio es un número tal que hace que el polinomio valga cero. Esdecir que, cuando resolvamos un polinomio a cero, las soluciones son las raíces delpolinomio.Por ejemplo el polinomio f ( x) = x 2 + x − 12 , cuando se iguala a cero y se resuelve setiene: x 2 + x − 12 = 0 Igualando a cero. ( x + 4)( x − 3) = 0 Factorizando. x = −4 Raíz 1 x=3 Raíz 2Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 2 de 26
    • Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.comPuesto que x1 = −4 y x 2 = 3 , son soluciones de f(x) entonces f (−4) = 0 y f (3) = 0 . Sedice entonces que x1 = −4 y x 2 = 3 , son raíces del polinomio f ( x) = x 2 + x − 12Las raíces de f ( x) = x 3 − 4 x 2 + x + 6 son x = - 1, x = 2 y x = 3 ¿Por qué?Factorización de un polinomioEl número de factores en que se puede descomponer un polinomio es igual al gradodel polinomio. Para poder factorizar un polinomio es necesario encontrar sus raíces.Cuando se tengan estas, los factores correspondientes a cada raíz son de la forma (x-r)donde r es una de las raíces.Esto es, si r1, r2, ... , rn son raíces del polinomio f(x) entonces la factorización de f(x)es: f ( x) = ( x − r1 )( x − r2 )...( x − rn )Por ejemplo, si1. f ( x ) = x 3 − 4 x 2 + x + 6 : Como sus raíces son x = - 1, x = 2 y x = 3 entonces f(x) se ha factorizado como f ( x) = ( x − (−1))( x − 2)( x − 3) = ( x + 1)( x − 2)( x − 3)2. f ( x) = x 2 + x − 12 : Como sus raíces son x = - 4 y x = 3 entonces f(x) se ha factorizado como f ( x) = ( x − (−4))( x − 3) = ( x + 4)( x − 3)Representación gráfica de las raíces de un polinomioComo las raíces de un polinomio hacen que éste valga cero, en un plano cartesianoesto se identifica como las intersecciones de la gráfica del polinomio con el eje de lasX (abscisas).Esto es, los puntos en donde cruza la gráfica al eje horizontal tienen como abscisa laraíz del polinomio graficado.A continuación se presentan algunas funciones con sus raíces, factores y gráficas: Descripción GráficaFunción f ( x) = x 2 + x − 12Raíces -4y3Factorización f ( x) = ( x + 4)( x − 3)Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 3 de 26
    • Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.com Descripción GráficaFunción f ( x) = x 3 − 4 x 2 + x + 6Raíces - 1, 2 y 3Factorización f ( x) = ( x + 1)( x − 2)( x − 3)Función f ( x) = x 4 − 5 x 2 + 4Raíces - 2, - 1, 1 y 2Factorización f ( x) = ( x + 1)( x + 2)( x − 1)( x − 2)Función f ( x) = x 3 + 4 x 2 + 3xRaíces ¿Cuáles son?Factorización f(x) =Función f ( x) = x 3 − 2 x 2 − 5 x + 6Raíces 1, - 2 y 3Factorización f ( x) = ( x − 1)( x + 2)( x − 3)Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 4 de 26
    • Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.comRaíces Únicas y Múltiples:Los polinomios pueden tener raíces únicas en un punto determinado del eje x o raícesque se repiten en un número par o impar veces, es decir una raíz sobre el eje x puedeser la misma par o impar veces. Dicho de otra manera una raíz por ejemplo dos (2)puede ser la misma raíz pero repetida tres (3) veces (impar) o repetida 2 veces (par).La tabla siguiente muestra la función f ( x ) = x 2 − 4 , y en la gráfica se observa comoesta corta el eje x tanto en el punto -2 y 2 de un lado a otro siguiendo la forma de lafigura.Se puede decir que la figura pasa de un lado al otro el eje x en el punto de corte oraíz. Por lo tanto la raíz es única en el valor de menos dos (-2) y única en el valor dedos (2).Es un polinomio de orden dos por lo tanto solo tendrá dos (2) raíces.En la parte donde se muestra el polinomio factorizado f ( x) = ( x − 2)( x + 2) se puedeobservar que si la variable x toma el valor de 2 o toma el valor de -2 la función tomaráel valor de cero. Descripción GráficaFunción f ( x) = x 2 − 4Raíces - 2, 2Factorización f ( x) = ( x − 2)( x + 2)Para el caso del siguiente ejemplo la función f ( x) = x 2 − 2 x + 1 tiene dos (2) raíces, y siobserva la gráfica, esta no corta el eje x en ningún sector. Ahora si observa el valor deuno (1) en el eje x, es un punto donde la función se vuelve cero (0). Se debeconsiderar al valor de uno (1) como raíz de la función. Lo que pasa es que dicha raíz serepite par veces (para el caso del ejemplo 2 veces), por esta razón la gráfica no corta el ejex, sino que lo toca tangencialmente en el punto raíz y cambia su pendiente. Se puededecir matemáticamente que en el punto raíz, la derivada de la función es igual a cero(0) ó dicho de otra manera en este punto la tangente es igual a cero (0).En la factorización que se hace de la función, se puede observar que el único valorque hace que la función tome el valor de cero (0) es el punto uno (1) sobre el eje x, yUniversidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 5 de 26
    • Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.compuede ser en el término de la izquierda o en el término de la derecha, es decir dosveces. Descripción GráficaFunción f ( x) = x 2 − 2 x + 1Raíces 1, 1Factorización f ( x) = ( x − 1)( x − 1)Para el caso del siguiente ejemplo la función f ( x) = x 3 − 6 x 2 + 12 x + 8 tiene 3 raíces, y siobserva la gráfica, esta corta el eje x aparentemente en varios puntos cercanos a 2. Ahora siobserva el valor de 2 en el eje x, es un punto donde la función se vuelve cero. Se debeconsiderar al valor de 2 como raíz de la función. Lo que pasa es que dicha raíz se repite imparveces (para el caso del ejemplo 3 veces), por esta razón la gráfica corta el eje x de la formacomo se observa en la figura. En el punto de corte sobre el eje x, este y la gráfica sonparalelos superpuestos. Se puede decir matemáticamente que en el punto raíz la derivada dela función es igual a cero.En la factorización que se hace de la función, se puede observar que el único valor que haceque la función tome el valor de cero es 1, y puede ser en el término de la izquierda o en eltérmino de la derecha, es decir dos veces. Descripción GráficaFunción f ( x) = x 3 − 6 x 2 + 12 x + 8Raíces 2, 2, 2Factorización f ( x) = ( x − 2)( x − 2)( x − 2)Para el caso del siguiente ejemplo la función f ( x) = x 3 − 3 x 2 + 4 tiene 3 raíces, y si observala gráfica, esta corta el eje x aparentemente en un punto igual a menos uno (-1) y tocatangencialmente dicho eje en un valor igual a uno (1). Ahora si observa el valor de -1 en el ejeUniversidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 6 de 26
    • Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.comx, es un punto donde la función cruza el eje de las x con cierta pendiente, esto indica queese punto de corte es una raíz única. Ahora en le punto 1 sobre el eje de las x la curva ografica de la función toca tangencialmente el eje y cambia de pendiente. Esto debe asumirsecomo una raíz que se repite par veces. Como el polinomio de es orden 3 y ya se sabe de unaraíz única se puede decir que dicha raíz es par veces repetida. Se puede decirmatemáticamente que en el punto 1 considerado como raíz repetida par veces, la derivada dela función es igual a cero.En la factorización que se hace de la función, se puede observar que el único valor que haceque la función tome el valor de cero es -1, en el término de la izquierda o 1 en los dostérminos de la derecha.En el caso de que la raíz 1 se repitiera 4 veces diferenciaría la forma de la gráfica en que lapendiente de esta es mayor o menor al acercarse al eje. Descripción GráficaFunción f ( x) = x 3 − 3x 2 + 4Raíces - 1, 2, 2Factorización f ( x) = ( x + 1)( x − 2)( x − 2)En el siguiente ejemplo muestra la combinación de las tres formas que toma la gráficadependiendo si sus raíces se repiten par o impar veces o son raíces únicas. Descripción Gráfica f ( x) = x 6 − 17 x 5 + 102 x 4 − ....Función − 248 x 3 + 160 x 2 + 240 x − 288Raíces - 1, 2, 2, 2, 6, 6Factorización f ( x) = ( x + 1)( x − 2) 3 ( x − 6) 2Que análisis de acuerdo con lo mostrado anteriormente le puede realizar a lassiguientes funciones.Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 7 de 26
    • Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.com f ( x) = ( x + 1)( x − 1) 2 ( x − 1) f ( x) = ( x + 1)( x − 2) 5 ( x − 6) 4 f ( x) = ( x + 2)( x − 2) 3 ( x) f ( x) = ( x − 1) 2 ( x + 1) + 1 f ( x) = ( x + 1)( x − 2)5 ( x − 6) 4 + 1 f ( x) = ( x − 1) 2 − 1 f ( x) = ( x − 1) 2 + ( x − 1) f ( x) = (( x − 1) 2 + 1) 2 ( x − 1)Teorema fundamental del ÁlgebraCarl Friedrch Gauss ha sido uno de los matemáticos más grandes de todos los tiempos.Contribuyó a muchas ramas de las matemáticas. En 1798, ¡ a los 20 años de edad !,Gauss demostró el teorema fundamental del Álgebra que dice lo siguiente:Todo polinomio de grado n tiene n raíces.Si se toma una ecuación en términos generales, tal como la ecuación siguiente: a n x n + a n −1 x n −1 + a n −2 x n−2 + a n −3 x n −3 + ... + a3 x 3 + a 2 x 2 + a1 x1 + a 0 = 0 .Se puede decir entornes que es una ecuación de orden n y por tanto tiene n soluciones.Recuerde que en es este apartado sólo se tiene polinomios con coeficientes enteros.Observa la tabla anterior, donde se da la función, las raíces y la gráfica y verifica queefectivamente para cada polinomio de grado n hay n raíces.Una forma en la que se puede interpretar este teorema es como sigue, ya que sepuede factorizar un polinomio, dadas las raíces y hay n raíces para todo polinomio deeste grado, entonces si: f ( x) = a n x n + a n−1 x n−1 + a n−2 x n− 2 + a n −3 x n−3 + ... + a3 x 3 + a 2 x 2 + a1 x1 + a 0 ,Se puede decir que: f ( x) = ( x − r1 )( x − r2 )...( x − rn )Donde r1, r2, ... , rn son las raíces de f(x).La demostración de este teorema queda lejos del objetivo de esta página sin embargodaremos algunas herramientas para encontrar las n raíces.Regla de los signos de DescartesRene Descartes encontró un método para indicar el número de raíces positivas en unpolinomio.Esta regla dice lo siguiente:"El número de raíces reales positivas (+) de un polinomio f (x) es igual al número decambios de signo de término a término de f (x) "Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 8 de 26
    • Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.comHay que recordar que los polinomios se deben escribir en orden decreciente conformeal grado de cada término.Por ejemplo el polinomiof(x)= x2 + x - 12 tiene un cambio de signo, del segundo al tercer término, por lo tanto tiene una raíz positiva. 3 2g(x)= +x - 4 x + x + 6 tiene dos cambios de signo, tiene dos raíces positivash(x)= +x4 - 5 x2 + 4 tiene dos raíces positivasi(x)= x3 + 4 x2 + 3x No tiene cambios de signo, por tanto no tiene raíces reales positivas.j(x)= x3 - 2 x2 - 5 x + 6 ¿Cuántas raíces positivas tiene?También puede evaluar la expresión en los valores 1 y -1 teniendo en cuenta solo elsigno de cada término de la expresión. En caso de que un término no exista se tomacomo 0 (positivo). En el ejemplo de la siguiente tabla para el caso de la primerafunción al evaluar la función en 1, el primer término de la función toma un valorpositivo y el segundo toma un valor negativo, por tanto se dice que tiene una raízpositiva en razón a un solo cambio de signo (de positivo a negativo). Como se trata deuna ecuación de una recta pues tan solo tiene una raíz.Pero por probar se ha evaluado la función en -1, resultando en ambos términos unsigno -, o sea que no hay cambio de signo, indicando con esto que no hay raícesnegativas, en la función f ( x) = x − 1 . Nro Ecuación Signo Rai_Pos Rai_Neg f (1) = + − 1 f ( x) = x − 1 1 0 f ( − 1) = − − f (1 ) = + + − 2 f ( x) = x 2 + x − 12 f ( − 1) = + − − 1 1 f (1) = + − − + 3 f ( x) = x 3 − 2 x 2 − 5 x + 6 f ( − 1) = − − + + 2 1 f (1 ) = + + + + 4 f ( x) = x 3 + 4 x 2 + 3x f ( − 1) = − + − + 0 3 f (1 ) = + + − + + 5 f ( x) = x 4 − 5 x 2 + 4 f ( − 1) = + + − + + 2 2 f (1 ) = + − + + 6 f ( x) = x 3 − 4 x 2 + x + 6 f ( − 1) = − − − + 2 1Conjunto de posibles raícesExiste un método para encontrar un conjunto de números, los cuales pueden ser raícesde un polinomio. La regla que mencionaremos aquí es aplicable sólo para polinomioscon el coeficiente de la potencia mayor de x igual a 1. Es decir, sif ( x) = a n x n + a n−1 x n−1 + a n−2 x n− 2 + a n −3 x n−3 + ... + a3 x 3 + a 2 x 2 + a1 x1 + a 0 , se toma aa 0 = 1 . Esto es que sólo se trabaja con polinomios de la siguiente forma: f ( x) = x n + a n−1 x n −1 + a n−2 x n−2 + a n −3 x n −3 + ... + a3 x 3 + a 2 x 2 + a1 x1 + a0Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 9 de 26
    • Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.comEl conjunto de posibles raíces de f (x) se forma con los divisores de a0 (del términoindependiente), hay que considerar estos divisores tanto con signo positivo como connegativo.La forma en que se puede usar esta información del término independiente es lasiguiente, puesto que cualquier elemento de este conjunto puede ser raíz de f (x) hayque evaluar a f (x) en algún valor de este conjunto y si el resultado de la evaluaciónes cero, entonces ese valor escogido es raíz de f (x) .En la siguiente tabla se muestran varios polinomios, los divisores del términoindependiente y las raíces de los polinomios: Función Divisores del término independiente Raíces 1, 2, 3, 4, 6, 12, f ( x) = x 2 + x − 12 -1, -2, -3, -4, -6, -12 -4y3 1, 2, 3, 6, f(x)= x3 - 4 x2 + x + 6 - 1, 2 y 3 -1, -2, -3, -6 1, 2, 4, f(x)= x4 - 5 x2 + 4 - 2, - 1, 1 y 2 -1, -2, -4 1, 2, 3, 6, f(x)= x3 - 2 x2 - 5 x + 6 1, - 2 y 3 -1, -2, -3, -6¿Qué hacer cuando se tenga una raíz?Con lo visto en los apartados anteriores se tiene las herramientas necesarias para encontrarlas n raíces de un polinomio. Recuerde que para encontrar una raíz es necesario saber losdivisores del término independiente y evaluar nuestro polinomio en con el valor escogido.Además de haber encontrado una raíz usando el método anterior se ha hallado un factor delpolinomio. Se puede estar seguro de que si r es una raíz de f(x) entonces al dividir f ( x) /( x − r ) tendrá como resultado un polinomio de un grado menor a f(x) y como residuocero.Así se ha reducido el problema de encontrar n raíces en otro problema, el encontrar sólo n-1raíces.Método de la BisecciónSon múltiples los problemas en ciencia e ingeniería que se pueden modelar matemáticamentecomo una ecuación f(x) = 0, siendo f una función dependiente de la variable x. Los valores dex soluciones de dicha ecuación son llamados ceros de la función f ó denominadosgeneralmente raíces de la ecuación o ceros de la función.Es bien conocido que existen un sinnúmero de ecuaciones de la forma f ( x) = 0 que admitenuna solución expresable en función de los coeficientes de la ecuación, por ejemplo si f es unpolinomio de segundo grado. Sin embargo, existen otras ecuaciones que no admiten que susolución pueda ser expresada a través de funciones elementales.Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 10 de 26
    • Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.comSi f ( x ) = sin( x) − e , entonces la ecuación f ( x ) = 0 no puede resolverse de forma xanalítica. Sin embargo, por un sencillo argumento gráfico, es fácil comprobar que estaecuación tiene infinitas soluciones negativas y ninguna positiva. Estas soluciones son lasabcisas de los puntos de corte entre las gráficas de las funciones sin(x) y ex tal como seilustra en l fig. 1. Codigo para Matlab x=-8*pi:0.1:0; y1=exp(x); y2=sin(x); plot(x,y1,x,y2); grid on Fig. 1 Gráfica de sin(x) contra e x con n intercepciones en la parte negativa raíces de la ecuación f ( x ) = sin( x ) − e x Del eje x, consideradasEn este apartado se estudia una de las técnicas de modelado o análisis numérico que permitenabordar este tipo de problemas. Es importante destacar el hecho de que las técnicas que seestudian son siempre iterativas, es decir, se parte de una aproximación inicial x0 de la raízreal x de f(x) y posteriormente se construye una sucesión de números reales, que seconsideran aproximaciones a la raíz verdadera, {x n }, n ∈ N , y que converja hacia x cuandon → ∞.DescripciónEl método bisección o de mitad es uno de los métodos numéricos más sencillos decomprender y muy versátil para encontrar una raíz real en un intervalo en el queexiste una raíz de la ecuación dada, sin embargo, el número de cálculos aumentasustancialmente a medida que se desea mayor exactitud.Su singular ventaja consiste en que funciona incluso con funciones no analíticas; sinembargo, sólo se debe utilizar el método después de un análisis gráfico.El teorema de Bolzano establecía condiciones suficientes para la existencia de almenos un cero de una función continua.Teorema 1. (Teorema de Bolzano). Sea f (x) continua en cada punto del intervalocerrado [a; b] y suponga que f(a) y f(b) tienen signos opuestos ( f (a) * f (b)) < 0 . Existeentonces, al menos, un c ∈ ( a, b) tal que f (c ) = 0 .Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 11 de 26
    • Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.comEl procedimiento mitad se basa en el teorema de Bolzano que dice que si se tiene unafunción y = f (x) , de variable real y continua en el intervalo (a, b), y el signo de lafunción en el extremo a es distinto al signo de la función en el extremo b del intervalo,existe al menos un valor c dentro de dicho intervalo (a, b) tal que f(c)=0, c es portanto, la raíz buscada, véase la figura. Fig. 2 Punto medio m y raíz c a calcular.Suponga una ecuación f ( x ) = 0Para hallar la raíz de la función en el intervalo (a, b), se divide el intervalo en lamitad. m = ( a + b) / 2Puede ocurrir uno de estos tres casos: • Si f(m)=0 entonces m es la raíz buscada • Si f(a) y f(m) tienen signos contrarios, como en la figura, la raíz buscada está en el intervalo (a, m). • Si no se cumple la condición anterior, f(b) y f(m) tendrían signos contrarios y la raíz estaría en el intervalo (m, b).El nuevo intervalo reducido se divide por la mitad y se procede de igual forma.Finalmente, en una cierta etapa del proceso se tendrá bien la raíz exacta de lafunción f(x), o una secuencia de intervalos cada vez más reducidos (a1, b1), (a2,b2), .... (ai, bi)... tal que 1 f (an ) f (bn ) → 0 bn − a n = (b − a ) 2nComo los puntos extremos de la izquierda a1, a2, ... an, ...forman una sucesióncreciente y acotada, y los de la derecha b1, b2, ... bn, ... una sucesión acotadadecreciente, existe un límite común que es la raíz ξ buscada.Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 12 de 26
    • Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.com ξ = Lim a n = Lim bn n →∞ n →∞Las condiciones de terminación del proceso 1. El ordenador trabaja con números de precisión limitada, por lo que se debe colocar un criterio que establezca cuando la función f (x) se considera nula. Se dirá que f (x) es nula cuando el valor absoluto de f (x) sea menor que una cantidad pequeña pero no nula. f ( x) < ε 1 2. No se puede programar un proceso indefinido, es preciso, que la rutina repetitiva acabe en un momento dado. El criterio empleado es el siguiente an − bn < ε2 m Siendo ε 2 cierta cantidad prefijada. La raíz se encuentra en el intervalo (an, bn) y m es el punto medio de dicho intervalo. 3. El tercer criterio de terminación establece, que el proceso de búsqueda de la raíz se interrumpirá después de un número prefijado de iteraciones, notificándose al usuario que no se ha encontrado la raíz de la función con las condiciones fijadas en los puntos 1 y 2.Para poder codificar este procedimiento se ha de seguir los siguientes pasos: 1. Se parte de un intervalo (a, b) en el que la función f (x) cambia de signo 2. Se calcula m, abscisa mitad del intervalo mediante m=(a+b)/2 3. Se verifican las condiciones de terminación 4. Si f(a) y f(m) tienen signos contrarios, como se ve en la figura, la raíz está en el intervalo (a, m), entonces b toma el valor de m. 5. Si la condición anterior no es cierta, la raíz se encuentra en el intervalo (m, b), por lo que a tomará el valor de m. 6. Se repite el proceso hasta que se cumple una u otra condición de terminación do { m=(a+b)/2; ym=f(m); if(Math.abs(ym)<CERO) break; if(Math.abs((a-b)/m)<ERROR) break; if((f(a)*ym)<0) b=m; else a=m; iter++; }while(iter<MAXITER);Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 13 de 26
    • Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.com [Fig. 2]Suponga que tiene una función continua en el intervalo [a,b], tal que f (a ) y f (b)son de signos opuestos f (a ) f (b) < 0 . En ese caso se sabe que existe por lo menos unaraíz en el intervalo [a,b]. En realidad se debe considerar el caso de que tenga unnúmero impar de raíces. Si el número de raíces es par, entonces los extremos delintervalo tienen el mismo signo, y no se tiene evidencia de la existencia de raíces enel intervalo. Por ejemplo el caso de la figura Fig 2b muestra una función con una raízdoble que no sería detectado. Obsérvese el hecho de que no alcanza con que lafunción presente distinto signo en los extremos del intervalo, sino que también debeser continua en el mismo tal como se ilustra en la Fig. 2c.Para simplificar se asume que en el intervalo [a,b] existe una raíz si la condición f (a ) * f (b) < 0 . Partiendo de esta suposición, se divide el intervalo a la mitadm = (a + b) / 2 , generando dos subintervalos [a,p] y [p,b]. Evalué los productos f (a) f (m) y f (m) f (b) y seleccione como nuevo intervalo aquel para el cual elproducto correspondiente es negativo. De esta manera se tiene un intervalo máspequeño en el cual se encuentra la raíz buscada. Se repite este procedimiento enforma iterativa, hasta que haya acotado por izquierda y por derecha la raíz buscada(ver figura 4). [Fig. 4]Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 14 de 26
    • Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.comSi existieran más de una raíz en el intervalo (fig 2a), entonces se puede dar el caso deque una de ellas queda aislada, o bien en algún momento del procedimiento iterativoaparecerán los dos productos f (a ) f (m) y f ( p ) f (m) con el mismo signo. En ese casose debe detener las iteraciones y buscar otro intervalo para comenzar de nuevo elprocedimiento.También es útil verificar que f (mi ) − f (mi −1 ) → 0Para descartar casos como el de la fig 2c.Luego de n iteraciones el tamaño del intervalo es: (b − a ) / 2 nDonde a y b corresponden a los extremos del intervalo original. Si se toma comotolerancia del error al número ξ , el número de iteraciones necesarias para satisfacereste error es: (b − a ) b−a ≤ ε → n ≥ log 2   2 n  ε Un inconveniente de este método es que la convergencia es lenta, aunque es simple yrobusto, además de fácil de implementar.Explicación General del método:El método de la bisección se basa en el hecho de que, cuando un intervalo [a,c] tieneuna raíz, el signo de y (x) en los extremos es distinto, o sea, f (a) * f (b) < 0 .El primer paso de este método consiste en bisectar el intervalo [a, b] en dos mitades:[a, c] y [c, b], donde; c = ( a + b ) / 2.Si se verifican los signos de f (a ) f (c) y f (b) f (c) , se sabe en que mitad del intervalo seencuentra la raíz.De hecho, si 0 < f (a) f (c) , el intervalo [a, c], que incluye x = a y x = c, contiene a laraíz; de lo contrario, la raíz esta en el otro intervalo, [c,b].A continuación, se bisecta de nuevo el intervalo que contiene a la raíz.Al repetir este procedimiento, el tamaño del intervalo que contiene a la raíz se harácada vez más pequeño.En cada paso se toma el punto medio del intervalo como la aproximación másactualizada a la raíz.Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 15 de 26
    • Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.comLa iteración se detiene cuando el tamaño de la mitad del intervalo es menor que unatolerancia dada o error que se estime.El tamaño del intervalo después de n pasos de iteración es (b0 − a 0 ) / 2 n , donde a 0 y b0son valores iniciales de los extremos, de modo que el numerador es el tamaño deintervalo inicial.La ecuación anterior representa el máximo error que existe cuando se aproxima la raízcon el n-ésimo punto medio. Por tanto, si la tolerancia del error es t, el número depasos de iteración necesarios es el entero n más pequeño que satisface t < (b0 − a 0 ) / 2 n .De forma equivalente, n < log[(b0- a0)/ t ]/log(2) donde t es la tolerancia.Con este método, lo que se busca es determinar la raíz de una ecuación, o sea, suintersección con el eje de las x o su solución, por lo que se debe tener en cuenta queno todas las ecuaciones tienen una sola solución, y que no todas tienen solución,así que se debe tener una idea de la forma de la curva de la ecuación antes decomenzar a aplicar el método.Procedimiento:Primero hay que saber que lo que hace el método de bisección es, como su nombre lodice, ir partiendo en dos la distancia entre 2 puntos para obtener un punto central, sehace de la siguiente manera:Se tiran 2 puntos cualesquiera que sean sobre el eje de las x, y entre los cuales sepiense que puede estar la raíz, y si no está, el mismo método lo señalara.Después de seleccionar esos 2 puntos que se llaman A y C, se obtiene un tercertermino llamado B, B es el promedio de la distancia entre A y C, por lo que B=(A+C)/2.Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 16 de 26
    • Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.comUna vez que se tienen los 3 valores se procede a acomodarlos en 3 columnas llamadasA, B y C, que servirán mas adelante.Luego se sustituyen los valores de cada uno de los valores en la ecuación original,como se ve en la grafica, cada punto tiene su función: a tiene f (a ) , B tiene f (b) y ctiene f (c) , y se anota el resultado de la sustitución de cada cantidad en otras 3columnas llamadas precisamente f (a ) , f (b) , y f (c) .Algoritmo: 1. Elija valores Iniciales para “a” y “b” de forma tal que la función cambie de signo sobre el intervalo. Esto se puede verificar asegurándose de que: f (a) * f (b) < 0 2. La primera aproximación a la raíz se determina con la fórmula: xn = (a + b) / 2 3. Realizar las siguientes evaluaciones para determinar en que subintervalo se encuentra la raíz: f(a)*f(xn ) < 0 Entonces b = xn f(a)*f(xn) > 0 Entonces a = xn f(a)*f(xn) = 0 Entonces xn Es la Raíz 4. Calcule la nueva aproximación: xn+1 = (a + b) / 2 5. Evaluar la aproximación relativa Si ( xn+1 − xn ) / xn+1 < tolerancia (Falso) Repetir el paso 3, 4 y 5 (Verdadero) Entonces xn+1 Es la RaízUniversidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 17 de 26
    • Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.comEjercicio 1:Suponga que tiene la siguiente ecuación: f ( x) = x 3 + 6 x 2 + 2 x + 8 , y que los dos puntosiniciales que se seleccionar para iniciar las iteraciones son, a = −13 y b = 5 a b m f (a ) f (b) f (m) -13.00 5.00 -4.00 -1201 293 32Después, ya con todos los valores acomodados en su respectiva columna se poneatención a las 3 columnas con las f (x) y se ve entre cuales existe un cambio de signo,en este caso, entre f (a) y f (m) , lo que indica que la raíz esta entre esos 2 puntos, sino hay ningún cambio de signo entre ninguna de las 3 columnas, como ya se habíadicho antes, el método indica que no esta entre los 2 primeros puntos que seseleccionaron, y no tiene caso continuar, por lo que si desde el principio no hubocambio de signo es mejor escoger un nuevo par de datos para a y b .Como se determinó que el cambio de signo estaba entre a y m, entonces en lascolumnas de las f(x) se baja el resultado que tiene f (a ) porque tiene cambio designo, y el resultado de f (c) se elimina, y en vez de bajarlo se sustituye por el de f (b) , y lo mismo se hace con tres primeras columnas, el valor de A se baja, el de Cse elimina y es sustituido por el de B. A B m f (a ) f (b) f (m) -13 -4 5 -1201 32.000 293 -13 -4 -1201 -189.625 32Como se puede ver en esta nueva tabla, los espacios de b y f (b) están vacíos, parallenarlos solamente es necesario repetir el proceso que ya se realizó, para el valor deb se vuelve a utilizar la fórmula b=(a+c)/2 y luego se sustituye ese valor en la ecuaciónoriginal para obtener f (b) , y después se vuelve a ver donde hay cambio de signo, seelimina el valor de la columna donde no haya, y se bajan los valores donde si haya, elcaso es que los espacios de B y f (b) vayan quedando vacíos cada vez. El proceso serepetiría idealmente hasta que el valor absoluto en la columna de f (b) quede un 0,pero realmente eso nunca pasa, por lo que antes de empezar el proceso se puede fijarun valor al que se desea llegar, cercano a 0, como por ejemplo un 0.001, y cuando enla columna de f (b) , quede un numero igual o menor a 0.001, se termina el proceso yla raíz que se estaba buscando es ultimo valor que quede en la columna de B.Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 18 de 26
    • Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.comAquí se sigue con la tabla de arriba para que quede un poco mas claro elprocedimiento. A B C f(A) f(B) f(C) -13.00000 -4.00000 5.0000 -1201.000000 32.000000 293.00000 -13.00000 -8.50000 -4.0000 -1201.000000 -189.625000 32.00000 -8.50000 -6.25000 -4.0000 -189.625000 -14.265625 32.00000 -6.25000 -5.12500 -4.0000 -14.265625 20.732420 32.00000 -6.25000 -5.68750 -8.1250 -14.265625 6.733640 20.73242 -6.25000 -5.96875 -5.6875 -14.26562 -2.824188 6.73364 -5.96875 -5.82812 -5.6875 -2.82418 2.182000 6.73364Ejercicio 2:Calcular y = 2 . Se usará para la bisección un intervalo que es una especia de ensayoy error. Se conoce que 2 es un valor entre 1 y 2. Si se hace x = 1½, se tendrá que x2es mas grande que 2, por esto este x es grande. Si se hace x=1¼, se tendrá que x2 esmenor que 2, este x es menor al resultado real.Continuando este camino nos aproximamos que 2 es:1 1 , 1 1 , 1 3 ..... 2 4 8Programa en Matlab.M = 2a = 1b = 2k = 0;while b-a > eps x = (a + b)/2; if x^2 > M b = x else a = x end k = k + 1;endb = 1.50000000000000a = 1.25000000000000a = 1.37500000000000b = 1.43750000000000a = 1.40625000000000b = 1.42187500000000a = 1.41406250000000b = 1.41796875000000Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 19 de 26
    • Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.comb = 1.41601562500000b = 1.41503906250000b = 1.41455078125000.....b = 1.41421356237311a = 1.41421356237299a = 1.41421356237305a = 1.41421356237308a = 1.41421356237309b = 1.41421356237310b = 1.41421356237310Ejercicio 3.La función f ( x) = e − x + 4 x 3 − 5 tiene una raíz en x = 1.05151652 . Empezando con x1 = 1y x 2 = 2 , usar ocho iteraciones del método de la bisección para aproximar la raíz.Tabular el error después de cada iteración y también las estimaciones del errormáximo. ¿El error real siempre es menos que la estimación del error máximo? Loserrores reales continúan disminuyendo?SoluciónDe forma general, para hallar una raíz de f ( x) = 0 , dado que f es continua en elintervalo [x1 , x 2 ] , donde el signo de f ( x1 ) es opuesto al signo de f ( x 2 ) , esto es f ( x1 ) f ( x 2 ) < 0 , se usará el siguiente algoritmo del método de la bisección:mientras x 2 − x1 > 2 * tolerancia ó f ( x3 ) > 0 + error x3 = ( x1 + x 2 ) / 2 si ( f ( x3) * f ( x1) < 0) x 2 = x3 sino x1 = x3 fin_sifin_mientrasA continuación se presenta la tabla con los valores obtenidos para las ocho iteracionescorrespondientes: N (Iteración) x1 x2 x3 f ( x3 ) ∈max ∈real 1 1.000000 2.000000 1.500000 8.723130 0.500000 -0.448483 2 1.000000 1.500000 1.250000 3.099005 0.250000 -0.198485Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 20 de 26
    • Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.com 3 1.000000 1.250000 1.125000 3.694997 0.125000 -0.073483 4 1.000000 1.125000 1.062500 0.143442 0.062500 -0.010983 5 1.000000 1.062500 1.031250 -0.256598 0.031250 0.020267 6 1.031250 1.062500 1.046875 -0.059688 0.015625 0.004642 7 1.046875 1.062500 1.054688 0.041094 0.007813 0.003171 8 1.046875 1.054688 1.0500781 -0.009492 0.003906 0.000735Para ocho iteraciones se obtiene x3 = 1.05781 , que es el valor de x3 más próximo alvalor exacto. El error máximo y el error real para cada iteración vienen dados comosigue: x − x1 ∈max = 2 ∈real = x − x N 2Se nota que el error real es siempre de menor magnitud que el error máximo, es decir, x −xse cumple que: x N − x ≤ 2 n 1 ; N ≥ 1 . 2Además, los errores reales disminuyen con cada iteración ya que cada una de ellas esuna mejor aproximación que la anterior al valor exacto de la raíz.Ejemplo 4:Otra forma de programarlo con MatLab. Toca tener guardado el archivocorrespondiente a la función, que para este caso será f.mk = 0;while abs(b-a) > eps*abs(b) x = (a + b)/2; if sign(f(x)) == sign(f(b)) b = x; else a = x; end k = k + 1;endEjemplo 5/* Método de intervalo Medio o Bisección */#include <vcl.h>#pragma hdrstop#pragma argsused#include <stdio.h>#include <conio.h>#include <math.h>void Lee_Datos(void);Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 21 de 26
    • Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.comdouble Funcion(double X);double a, b, Error;int Max_Iter;int main(void){ double Error_Aprox, Prod; double Xr, Xn; int Ciclos = 0; Lee_Datos(); if ( Funcion(a)*Funcion(b) > 0 ) printf("n No existe Raiz en el intervalo ????"); else { Xr = ( a+b )/2; printf("n-------------------------------------------"); Error_Aprox = 1; printf("n Ciclo a b Xn Error"); printf("n-------------------------------------------"); printf("n%3d%10.4f%10.4f%10.4f",Ciclos,a,b,Xr); while ( Ciclos <= Max_Iter && Error < Error_Aprox) { Prod = Funcion(a)*Funcion(Xr); if (Prod == 0) printf(" La raiz es %lf",Xr); else if (Prod < 0) b = Xr; else a = Xr; Xn = ( a+b )/2; Ciclos += 1; Error_Aprox = fabs((Xn-Xr)/Xn); printf("n%3d%10.4f%10.4f%10.4f%10.4f",Ciclos,a,b,Xn,Error_Aprox); Xr = Xn; } if ( Ciclos< Max_Iter) { printf("n-------------------------------------------"); printf("nn La Raíz de la Ecuación es => %lf",Xn); printf("n Se encontró en %d Iteraciones",Ciclos); }else printf("n No se encontró raíz en %d Iteraciones",Ciclos); } getch(); return 0;}void Lee_Datos(void){ clrscr(); printf("nDar el valor de Xi ........... "); scanf("%lf",&a); printf("Dar el valor de Xf ........... "); scanf("%lf",&b); printf("Cual es el Error Permitido ... "); scanf("%lf",&Error); printf("Cual es el Máximo de Ciclos .."); scanf("%d",&Max_Iter);}double Funcion(double X){ return (pow((1+X),10)-1)/(X*pow((1+X),10)) - 5;}Raíz simpleUniversidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 22 de 26
    • Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.comComo en caso del procedimiento de aproximaciones sucesivas, se crea una clase baseabstracta denominada Ecuación con una función miembro denominada puntoMedioque describa el procedimiento numérico.public abstract class Ecuacion { protected static final double CERO=1e-10; protected static final double ERROR=0.001; protected final int MAXITER=200; public double puntoMedio(double a, double b) throws RaizExcepcion{ double m, ym; int iter=0; do{ m=(a+b)/2; ym=f(m); if(Math.abs(ym)<CERO) break; if(Math.abs((a-b)/m)<ERROR) break; if((f(a)*ym)<0) b=m; else a=m; iter++; }while(iter<MAXITER); if(iter==MAXITER){ throw new RaizExcepcion("No se ha encontrado la raíz"); } return m; } abstract public double f(double x);}class RaizExcepcion extends Exception { public RaizExcepcion(String s) { super(s); }}Cuando se cumple el tercer criterio de terminación, es decir, se supera el número deiteraciones MAXITER prefijada de antemano, se lanza (throw) una excepción queindica que la raíz buscada no se ha encontrado. Para lanzar la excepción, se ha decrear un objeto de la clase derivada RaizExcepcion de la clase base Exception.Como la clase Ecuación es abstracta, la clase derivada de ésta Funcion1 define lafunción f(x) particular cuyas raíz deseamos conocer en un determinado intervalo. Seapor ejemplo, la función estudiada en la sección anterior f ( x) = x − cos( x)Como s ha visto esta función tiene una raíz en el intervalo (0, π / 2) . La funcióncambia de signo en dicho intervalo, f (0) = −1, y, f (π / 2) = π / 2 .public class Funcion1 extends Ecuacion{ public double f(double x){ return(x-Math.cos(x)); }Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 23 de 26
    • Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.com}Para hallar la raíz de esta ecuación creamos un objeto de la clase derivada Funcion1,y llamamos desde éste a la función que describe el procedimiento numéricopuntoMedio. Ya que la función puntoMedio puede lanzar una excepción, la llamada adicha función se debe de efectuar en un bloque try ... catch. De este modo, senotifica al usuario que el procedimiento numérico ha sido incapaz de hallar la raíz dedicha ecuación, mediante el mensaje "No se ha encontrado la raíz" que se extrae delobjeto ex de la clase RaizExcepcion mediante la función getMessage. Ecuacion e=new Funcion1(); Try { System.out.println("solución1 "+e.puntoMedio(0.5, 0.9)); }catch(RaizExcepcion ex){ System.out.println(ex.getMessage()); }Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 24 de 26
    • Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.comRECURSOS BIBLIOGRAFÍCOSBibliografía Básica: MATHEUS. John H. Fink Kurtis D. Métodos Numéricos con MATLAB. Editorial Prentice HallBibliografía Complementaria: ALTZ, Franz L. Electronic. Digital. computers: Their use in science and Engineering. 1958 Academic Press inc. New York. BURDEN Richard L., J. Douglas Faires; Análisis numérico. tr. Efrén Alatorre Miguel; Revisión Técnica. Ildefonso. 1998 (Biblioteca USCO. Nro Topográfico: 515 / B949a.) CHAPRA Steven C., CANALE Raymond P, Numerical Methods for engineers. McGraw Hill, Inc. 1988. 839p. ISBN 0-07-909944-0. CHAPRA Steven C., CANALE Raymond P. Métodos numéricos para ingenieros: con aplicaciones en computadoras personales. 1988 (Biblioteca USCO Nro Topográfico: 519.5 / C467m) CONDE S. D, Carl de Boor. Análisis numérico elemental: Un enfoque algorítmico. Mc. Graw-Hill 1972, (Biblioteca USCO Nro Topográfico: 511.8 / C761 Biblioteca). CORMICK MC., John M. and SALVADOR M.C. Numerical Methods in FORTRAN. 1964. Prentice-Hall Inc Englewood Cliffs N:J. CURTIS, F. Gerald, WHEATLEY, O. Patrick. Análisis numérico con aplicaciones. Tr. Hugo Villagomez Vasquez. 6 Ed. Pearson Educación. 2000, 698p. ISBN 968-444-393-5 FADDEEVA, V.N. Computacional methods of linear algebra, Dover Publications. 1969, New York. GASTINEL Noél; Análisis numérico lineal. tr. Javier Ruiz Fernández de Pinedo. 1975. (Biblioteca USCO Nro Topográfico: 511.7 / G255). GREENSPAN, D. Theory and solutions of Ordinary Differencial Equations. 1960 The. Mc Millan Co. New York. KINCAID David y Ward Cheney; Análisis numérico: Las matemáticas del cálculo científico. tr. Rafael. 1994 (Biblioteca USCO Nro Topográfico: 515 / K51a). LUTHE. Rodolfo, OLIVERA Antonio, SCHUTZ Fernando, Métodos numéricos. 1986 (Biblioteca USCO Nro Topográfico: 511.7 / L973m). McCRACKEN, Daniel D., Métodos numéricos y programación fortran: con aplicaciones en ingeniería y ciencias. 1986. Editorial Limusa. México. (Biblioteca USCO Nro. Topográfico: 001.6424 / M117). NAKAMURA Shoichiro; Métodos numéricos aplicados con software. tr. Oscar Alfredo Palmas Velasco. Prentice Hall Hispanoamericana S.A. 1995. 570p. (Biblioteca USCO. Nro. Topográfico: 511.8 / N163m) ISBN 968-880-263-8 NAKAMURA Shoichiro; Análisis numérico y visualización gráfica con MatLab. tr. Roberto Escalona Garcia. Prentice Hall Hispanoamericana S.A. 1997. (Biblioteca USCO N ro Topográfico: 515.1 / N163a). 465p. ISBN 968-880-980-1 NIETO RAMIREZ José A., Métodos numéricos en computadoras digitales. Editorial Limusa 1980. (Biblioteca USCO Nro Topográfico: 001.64042 / N677). RALSTON Anthony; Introducción al análisis numérico. tr. Carlos E. Cervantes de Gortari. Editorial Limusa. Mexico. 1978. 629p. (Biblioteca USCO Nro Topográfico: 511.7 / R164.)Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 25 de 26
    • Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail.com SCARBOROUGH, J.B Numerical mathematics analysis SIERRA ROMERO, Alberto. Manual de Métodos Numéricos. Universidad Tecnológica de Pereira. SMITH, W. Allen; Análisis numérico. tr. Francisco Javier Sánchez Bernabe; Rev. Téc. José Luis Turriza Pinto. Prentice Hall Hispanoamericana S.A. 1988. 608p. (Biblioteca USCO Nro Topográfico: 515 / S664a) ISBN 968-880-119-4. STANTON, Ralp G. Numerical Methods for Science and Engineering. 1967. Prentice- Hall Inc. Englewood Cliffs N.JBibliografía OnLine:http://anamat1.csi.ull.es/anamat_p/Titulaciones/matematicas.htmhttp://arxiv.org/http://books.pdox.net/http://luda.azc.uam.mx/curso2/cp2indic.htmlhttp://mailweb.udlap.mx/~ccastane/Analisis_Numerico_html/Lindley.html#RegresaGral1http://mathworld.wolfram.com/http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/html/fisica.htmhttp://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/resumos.htmhttp://proton.ucting.udg.mx/posgrado/cursos/metodos/temario.htmlhttp://sai.uam.mx/apoyodidactico/mn/http://uprhmate01.upr.clu.edu/~pnm/notas4061/index.htmhttp://webdiee.cem.itesm.mx/web/servicios/archivo/tutoriales/metodos/index.htmlhttp://webdiee.cem.itesm.mx/web/servicios/archivo/tutoriales/metodos/algoritmos/index.htmlhttp://www.ciencia-hoy.retina.ar/indice.htmhttp://www.cnice.mecd.es/Descartes/http://www.damtp.cam.ac.uk/user/fdl/people/sd/lectures/nummeth98/contents.htmhttp://www.elprisma.com/http://www.fortunecity.com/campus/earlham/850/metodos_numericos/indice.htm#http://www.geocities.com/SiliconValley/Pines/7894/metodos/http://www.iesrodeira.com/metodos_numericos/index-2.htmhttp://www.ii.uam.es/~pedro/ccii/teoria/http://www.itlp.edu.mx/publica/tutors.htmhttp://www.monografias.com/trabajos13/tumatlab/tumatlab.shtmlhttp://www.rinconmatematico.com/libros.htmhttp://www.ucsc.cl/~kdt/numerico/index.htmhttp://www.unalmed.edu.co/~ifasmar/libro.shtmlhttp://www.uv.es/~diaz/mn/fmn.htmlhttp://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/index.html (Biografías)Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 26 de 26