axiomas de algebra
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  • A Matemática é muito bela. A maioria das pessoas nem imagina que se precisaria provar que a*0=0.
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  • 1. Pedagogía en Matemáticas e Informática Educativa Prof. Jorge Ávila Contreras 28 de marzo de 2011 Álgebra I AXIOMAS DE CUERPO EN R
  • 2. Definiciones preliminares AXIOMAS: afirmaciones que se asumen como verdaderas por su trivialidad. TEOREMAS: afirmaciones o proposiciones no triviales y muchas veces poco intuitivas, que se demuestran utilizando axiomas u otros teoremas ya demostrados. COROLARIOS: consecuencias inmediatas que se deducen de un teorema.
  • 3. Axiomas de cuerpo en R
    • Existen dos operaciones internas denominadas suma (+) y producto (  ):
    • Si “x” e “y”  R, entonces (x + y)  R, y (x  y)  R. Y se verifica que:
      • Existe conmutatividad en la suma y en el producto:
      • x + y = y + x ; x y = y x.
      • Existe asociatividad en la suma y la multiplicación:
      • (x + y) + z = x + (y + z) ; (x y) z = x (y z).
      • Existe distributividad del producto respecto a la suma:
      • x (y + z) = x y + x z.
      • Existe un elemento de R, llamado elemento neutro aditivo , denotado por 0 ,
      • tal que x + 0 = 0 + x = x para todo x  R.
      • Para todo x  R, existe el inverso aditivo de x ( opuesto de x ) , denotado por (-x)  R ,
      • tal que x + (-x) = x – x = 0.
      • Existe un elemento de R, llamado elemento neutro multiplicativo , denotado por 1 ,
      • tal que x  1 = 1  x = x , para todo x  R.
      • Para todo x  R, x  0, existe inverso multiplicativo de x , denotado por
      • tal que
  • 4. Axiomas de cuerpo en R (con una presentación más sintética y simbólica) Existen dos operaciones internas suma (+) y producto (  ) que cumplen con la propiedad de clausura en R. Y se verifican los siguientes axiomas: Respecto a la suma: Respecto a la multiplicación:
  • 5. Ejemplos de consecuencias de los axiomas de cuerpo en R Demostración, de la propiedad 1: a  0 = a  0 + 0 ; por axioma del elemento neutro aditivo = a  0 + (a + (  a)) ; por inverso aditivo = (a  0 + a ) + (  a) ; por asociatividad = (a  0 + a  1 ) + (  a) = a  (0 + 1) + (  a) ; por distributividad de  con respecto a la + = a  1 + (  a) ; por elemento neutro aditivo = a + (  a) ; por elemento neutro multiplicativo = 0 ; por inverso aditivo ; por elemento neutro multiplicativo
    • Proposición: Si a y b son números reales, entonces:
        • a  0 = 0
        •  (  a) = a
        • (a ) = a
        • (ab) = a  b
     1  1  1  1  1 a  0 = 0 q.e.d.
  • 6. Demostración, de la propiedad 2:  (  a) =  (  a) + 0 ; por axioma del elemento neutro aditivo =  (  a) + (a + (  a)) ; por inverso aditivo =  (  a) + ( (  a) + a ) ; por conmutatividad = (  (  a) + (  a) ) + a ; por asociatividad = 0 + a ; por inverso aditivo = a ; por elemento neutro aditivo Demostración, de la propiedad 3: = 1  a ; por inverso multiplicativo = a ; por elemento neutro multiplicativo  (  a) = a q.e.d.  1  1 (a ) =  1  1 (a )  1 ; por elemento neutro multiplicativo =  1  1 (a )  ; por inverso multiplicativo  1 ( a  a ) =  1  1 ((a )  ; por asociatividad  1 a )  a (a ) = a q.e.d.  1  1