Que es grafosEl origen de la palabra grafo es griego y su significado etimológico es "trazar". Aparececon gran frecuencia ...
Los grafos son estructuras de datos no lineales que tienen una naturaleza generalmentedinámica. Su estudio podría dividirs...
* siaj es lazo con extremo en vi ,con * _0Mi(D) = [bij]nxn / bij: = 1 si aj incide positivamente en vi y aj no es lazo-1 s...
y si G es simple, MG está formada ´únicamente por ceros y unos.2.- El grado de un vértice xi es la suma de los elementos d...
Un árbol es un grafo simple unidireccional G que satisface alguna de las siguientescondiciones equivalentes:       G es co...
Árbol etiquetado con 6 vértices y 5 aristas. El único  camino simple que conecta los vértices 2 y 6 es 2-4-5-6.  Vértices ...
representar la estructura de poder dentro de una sociedad al identificar los vínculos(aristas), su dirección e intensidad ...
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Grafos (angel)[1]

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Grafos (angel)[1]

  1. 1. Que es grafosEl origen de la palabra grafo es griego y su significado etimológico es "trazar". Aparececon gran frecuencia como respuesta a problemas de la vida cotidiana, algunos ejemplospodrían ser los siguientes: un gráfico de una serie de tareas a realizar indicando susecuenciación (un organigrama),grafos matemáticos que representan las relaciones binarias,una red de carreteras, la red de enlaces ferroviarios o aéreos o la red eléctrica de unaciudad.(Véase la figura 1).En cada caso, es conveniente representar gráficamente elproblema dibujando un grafo como un conjunto de puntos(vértices)con líneasconectándolos (arcos).De aquí se podría deducir que un grafo es básicamente un objeto geométrico aunque enrealidad sea un objeto combinatorio, es decir, un conjunto de puntos y un conjunto de líneastomado de entre el conjunto de líneas que une cada par de vértices. Por otro lado, y debidoa su generalidad y a la gran diversidad de formas que pueden usarse, resulta complejo tratarcon todas las ideas relacionadas con un grafo.Para facilitar el estudio de este tipo de dato, a continuación se realizará un estudio de lateoría de grafos desde el punto de vista de las ciencias de la computación. Considerandoque dicha teoría es compleja y amplia, aquí sólo se realizará una introducción a la misma,describiéndose el grafo como un tipo de dato y mostrándose los problemas típicos y losalgoritmos que permiten solucionarlos usando un ordenador.
  2. 2. Los grafos son estructuras de datos no lineales que tienen una naturaleza generalmentedinámica. Su estudio podría dividirse en dos grandes bloques: Grafos Dirigidos. Grafos no Dirigidos (pueden ser considerados un caso particular de los anteriores).Un ejemplo de grafo dirigido lo constituye la red de aguas de una ciudad ya que cadatubería sólo admite que el agua la recorra en un único sentido. Por el contrario, la red decarreteras de un país representa en general un grafo no dirigido, puesto que una mismacarretera puede ser recorrida en ambos sentidos. No obstante, podemos dar unasdefiniciones generales para ambos tipos.A continuación daremos definiciones de los dos tipos de grafos y de los conceptos quellevan asociados.REPRESENTACIÓN MATRICIAL EN GRAFOS Y DIGRAFOSDados G = {V, A,j} y D = {V, A,j} con | A | = m y | V | = n. Se definen:MATRIZ DE ADYACENCIAMa(G) = [bij]nxn / bij: cantidad de aristas con extremos {vi,vj} (cuadrada simétrica).Ma(D) = [bij]nxn / bij: cantidad de aristas con extremos (vi,vj) (cuadrada y noNecesariamente simétrica).MATRIZ DE ADYACENCIA BOOLEANAMa(G) = [bij]nxm = 1 si $a Î A :j (a) = {vi, vj}0 en otro casoMa(D) = [bij]nxm = 1 si $a Î A :j (a) = (vi, vj)0 en otro casoGrafos – Definiciones Matemática Discreta – FI – UBA Pág. 6MATRIZ DE INCIDENCIA2 si aj es lazo con extremo en viMi(G) = [bij]nxm / bij = 1 si vi y aj son incidentes y aj no es lazo0 si vi y aj no son incidentes
  3. 3. * siaj es lazo con extremo en vi ,con * _0Mi(D) = [bij]nxn / bij: = 1 si aj incide positivamente en vi y aj no es lazo-1 si aj incide negativamente en vi y aj no es lazo0 si vi y aj no son incidentesPropiedadSea un grafo o digrafo con matriz de adyacencia Ma, entonces el total de caminosDiferentes de longitud kW desde vi a vj es igual al elemento i,j de la matriz M(a)k.MATRIZ DE CONEXIÓN: Dados G = {V,A,j} con | A | = m y | V | = n.Se define la siguiente relación:" v ,w Î V vR w _ (v= w Ú $ un camino de v a w)Mc (G) = [bij]nxn = 1 si vR w0 en otro casoGrafos EulerianosInformalmente, un grafo (digrafo) euleriano es aquél en que pueden recorrerse todas sus lasaristas (arcos) de manera consecutiva y sin repetirlas. ¿Puede dibujarse cierta figura de unsolo trazo?, ¿puede un carteroefectuar su reparto sin tener que pasar dos veces por la mismacalle? son ejemplos de uso de este tipo degrafos. Y por supuesto el problema de los puentesde K¨onigsberg que, como comentamos en la introducción,dio inicio a la teoría de grafos.Muchas de las situaciones de aplicación de estas cuestiones se plantean sobre multígrafos(multidigrafos),por lo que debemos recordar que en ´estos pueden existir varias aristas(arcos) entre los mismosvértices y lazos.Puntualicemos además, que:Definición 19.- La matriz de adyacencia o matriz de un multígrafo G = (V,A) con vérticesV={x1, x2, . . . , xn}, es una la matriz cuadrada M = (mij)n×n donde mij = “no de aristas entrexi y xj ”.La matriz de adyacencia o matriz de un multidigrafo D = (V,A) con vértices V = {x1, x2, . .. , xn},es una la matriz cuadrada M = (mij)n×n donde mij = “no de arcos desde xi a xjObservaciones 21.- 1.- La matriz MG es sim´etrica. Si G no tiene lazos la diagonalprincipal es nula,
  4. 4. y si G es simple, MG está formada ´únicamente por ceros y unos.2.- El grado de un vértice xi es la suma de los elementos de la fila (o columna) i -´esimamás el númerode lazos en ese vértice. Es decir, gr(xi) =Pnk=1mik +mii_=Pnk=1mki +mii_(cada lazo cuenta 1 en la matriz, pero cuenta 2 en el grado del v´ertice).3.- El ingrado de un vértice vi es la suma de los elementos de la columna i -´esima de lamatriz MD, yel exgrado la suma de los elementos de la fila: ing(vi) =Pnk=1mki y exg(vi)=Pnk=1mik .Naturalmente, gr(vi) = ing(vi) + exg(vi).Grafo hamiltonianoCamino hamiltonianoEn el campo matemático de la teoría de grafos, un camino hamiltoniano en un grafo es uncamino, una sucesión de aristas adyacentes, que visita todos los vértices del grafo una solavez. Si además el último vértice visitado es adyacente al primero, el camino es un ciclohamiltoniano.El problema de encontrar un ciclo (o camino) hamiltoniano en un grafo arbitrario se sabeque es NP-completo.Los caminos y ciclos hamiltonianos fueron nombrados después que William RowanHamilton, inventor del juego de Hamilton, lanzara un juguete que involucraba encontrar unciclo hamiltoniano en las aristas de un grafo de un dodecaedro. Hamilton resolvió esteproblema usando cuaterniones, pero esta solución no se generaliza a todos los grafosArboles grafos
  5. 5. Un árbol es un grafo simple unidireccional G que satisface alguna de las siguientescondiciones equivalentes: G es conexo y no tiene ciclos simples. G no tiene ciclos simples y, si se añade alguna arista se forma un ciclo simple. G es conexo y si se le quita alguna arista deja de ser conexo. G es conexo y el grafo completo de 3 vértices K3 no es un menor de G. Dos vértices cualquiera de G están conectados por un único camino simple.Si G tiene muchos vértices, n, entonces las definiciones anteriores son también equivalentesa cualquiera de las siguientes condiciones: G es conexo y tiene n − 1 aristas. G no tiene aristas simples y tiene n − 1 aristas. La cantidad de hojas de un árbol siempre es mayor o igual a la mitad de la totalidad de los nodos.Un grafo unidireccional simple G es un bosque si no tiene ciclos simples.Un árbol dirigido es un grafo dirigido que sería un árbol si no se consideraran lasdirecciones de las aristas. Algunos autores restringen la frase al caso en el que todos lasaristas se dirigen a un vértice particular, o todas sus direcciones parten de un vérticeparticular.Un árbol recibe el nombre de árbol con raíz si cada vértice ha sido designado raíz, en cuyocaso las aristas tienen una orientación natural hacia o desde la raíz. Los árboles con raíz, amenudo con estructuras adicionales como orden de los vecinos de cada vértice, son unaestructura clave en informática; véase árbol (programación).Un árbol etiquetado es un árbol en el que cada vértice tiene una única etiqueta. Los vérticesde un árbol etiquetado de n vértices reciben normalmente las etiquetas {1,2, ..., n}.Un árbol regular u homogéneo es un árbol en el que cada vértice tiene el mismo grado Árbol
  6. 6. Árbol etiquetado con 6 vértices y 5 aristas. El único camino simple que conecta los vértices 2 y 6 es 2-4-5-6. Vértices v Aristas v-1 Número 2 si v> 1 cromático Propiedades Bipartito, expandible y plano (si el conjunto de vértices es numerable)Aplicaciones de grafosGracias a la teoría de grafos se pueden resolver diversos problemas como por ejemplo lasíntesis de circuitos secuenciales, contadores o sistemas de apertura. Se utiliza paradiferentes áreas por ejemplo, Dibujo computacional, en toda las áreas de Ingeniería.Los grafos se utilizan también para modelar trayectos como el de una línea de autobús através de las calles de una ciudad, en el que podemos obtener caminos óptimos para eltrayecto aplicando diversos algoritmos como puede ser el algoritmo de Floyd.Para la administración de proyectos, utilizamos técnicas como PERT en las que se modelanlos mismos utilizando grafos y optimizando los tiempos para concretar los mismos.La teoría de grafos también ha servido de inspiración para las ciencias sociales, en especialpara desarrollar un concepto no metafórico de red social que sustituye los nodos por losactores sociales y verifica la posición, centralidad e importancia de cada actor dentro de lared. Esta medida permite cuantificar y abstraer relaciones complejas, de manera que laestructura social puede representarse gráficamente. Por ejemplo, una red social puede
  7. 7. representar la estructura de poder dentro de una sociedad al identificar los vínculos(aristas), su dirección e intensidad y da idea de la manera en que el poder se transmite y aquiénes.Los grafos son importantes en el estudio de la biología y hábitat. El vértice representa unhábitat y las aristas (o "edges" en inglés) representa los senderos de los animales o lasmigraciónes. Con esta información, los científicos pueden entender cómo esto puedecambiar o afectar a las especies en su hábitat

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