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  • 1. Capítulo 1 Matrices Uso de las matrices: w Realizar cálculos de manera eficiente w Resolver sistemas de ecuaciones lineales (sels) w Representar objetos abstractos como “transformaciones lineales”, “ cambios de bases”, “formas cuadráticas”, etc. ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
  • 2. 1.1. Definiciones w Matriz A es un arreglo rectangular de escalares  a11 a12 ... a1n  a a22 ... a2 n  A =  21  = a  M M M M   ij     am1  am 2 ... amn  Elemento aij , ij-ésimo elemento m renglones, n columnas tamaño m × n •Matrices A y B son iguales (A=B) si son del mismo tamaño y los elementos correspondientes son iguales ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
  • 3. 1.2. Adición de matrices y multiplicación con escalares Sean A =  aij  , B = bij  matrices del mismo tamaño     •Suma A+ B  a11 + b11 a12 + b12 K a1n + b1n  a + b a22 + b22 K a2 n + b2 n   21 21  M M M      am1 + bm1 am 2 + bm 2 K amn + bmn   •Multiplicación por escalar kA = k  aij    •Negativa de A, − A = (−1) A •Resta A − B = A + (− B ) ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
  • 4. 1.3. Multiplicación de Matrices •Sean A =  aij  , B = bij      •Número de columnas de A igual al número de renglones de B (e.g. A es m p x y B es p x n) p •AB es una matriz m x n con cij = ai1b1 j + ai 2 b2 j + L + aip bpj = ∑ aik bkj k =1  a11 L a1 p  b11 L bij L b1n   c11 L c1n  M M  M M  M   M   M    ai1 L aip  M M M = cij       M M  M M M  M M  a L amp  bp1 L b pj L b pn   cm1 L cmn   m1     •AB no está definido si A es m x p y B es q x n y p?q ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
  • 5. 1.3. Multiplicación de Matrices •Multiplicación no es conmutativa, i.e. en general, AB? BA •Asociativa, (AB)C=A(BC) •Distributiva por la derecha, A(B+C)=AB+AC •Distributiva por la izquierda, (B+C)A=BA+CA •Multiplicación por escalar conmuta, k(AB)=(kA)B=AkB ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
  • 6. 1.4. Matriz Transpuesta w La transpuesta de A, AT, se obtiene escribiendo las columnas de A como renglones. w Si A=[aij], tamaño m x n, entonces AT=[bij], tamaño n x m, donde bij=aji •Algunas propiedades • (A+B)T=AT+BT • (AT)T=A • (kA)T=kAT • (AB)T=BTAT ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
  • 7. 1.5. Matriz Cuadrada w Mismo número de renglones y columnas, n x n (orden n) w Diagonal (o diagonal principal), conjunto de elementos con mismos índices, i.e. a11, a22, …, ann w Traza de A, tr(A) es la suma de los elementos diagonales Algunas propiedades: Sean A, B matrices cuadradas n tr(A+B)= tr(A)+ tr(B) n tr(kA)= k tr(A) T n tr(A )= tr(A) n tr(AB)= tr(BA) ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
  • 8. 1.6. Matriz Identidad (Unitaria) w I o In : matriz cuadrada con unos en la diagonal w AI=IA=A w Si B es m x n, entonces BIn=ImB=B w Función delta de Kronecker 0 si i ≠ j δ ij =  1 si i = j ∴ Matriz Identidad I = δ ij    ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
  • 9. 1.7. Matriz Invertible w Definición Matriz cuadrada A es invertible (no singular), si existe matriz B (la inversa de A, A-1) tal que AB=BA=I •Teorema Si B existe, entonces es única •Demostración Sean B1, B2 matrices cuadradas que son inversas de A Entonces AB1 = B1 A = I y AB2 = B2 A = I Entonces B1 = B1 I = B1 ( AB2 ) = ( B1 A) B2 = IB2 = B2 ∴ B1 = B2 ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
  • 10. 1.7. Matriz Invertible w Algunas propiedades. A y B invertibles AB es invertible y ( AB) −1 = B −1 A−1 En general ( A1 A2 L Ak ) −1 = Ak−1 Ak−−1 L A2−1 A1−1 1 ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
  • 11. Fórmula para obtener la Inversa de una Matriz de Orden 2 a b  ax1 + by1 = 1 Sea A =  Sistema de  c d  ecuaciones ax2 + by2 = 0 lineales Buscar 4 escalares x1 , x 2 , y1 , y2 tal que cx1 + dy1 = 0 (capítulo 2)  a b   x1 x2   1 0  cx2 + dy2 = 1   =   c d   y1 y2   0 1  Resolviendo para x1 , x2 , x3 y x4 d −b Haciendo operaciones x1 = ; x2 = ad − bc ad − bc  ax1 + by1 ax2 + by2   1 0  −c a  =  y1 = ; y2 =  cx1 + dy1 cx2 + dy2   0 1  ad − bc ad − bc ad − bc determinante de A ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
  • 12. w Teorema n det(A)=0 si y solo si A no tiene inversa w Encontrar la inversa de una matriz de orden n es equivalente a encontrar la solución de un SEL de orden n w Como encontrar estas soluciones de manera eficiente? n Respuesta: parte del material del capítulo 2 ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
  • 13. 1.8. Algunas Matrices Especiales Matriz cuadrada diagonal D = ( dij ) . Elementos no diagonales son cero D = diag (d11 , d 22 ,L , d nn ) Matriz cuadrada triangular (superior) A = ( aij ) Elementos por debajo de la diagonal son cero. Esto es, aij = 0 para i > j Algunas propiedades para A = ( aij ) , B = ( bij ) , triangulares de orden n 1. A+b, kA, AB son triangulares con diagonales ( a11 + b11 ,K , ann + bnn ), ( ka11 ,K , kann ), ( a11b11 ,K , ann bnn ) respectivamente 2. A es invertible si y solo si cada elemento diagonal aii?0. Si A-1 existe, entonces es triangular •Idem para matrices triangulares inferiores ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
  • 14. 1.8. Algunas Matrices Especiales w Matriz Simétrica. A=AT. Elementos simétricos con respecto a la diagonal son iguales (aij=aji) •Matriz antisimétrica. –A=AT. Elementos simétricos con respecto a la diagonal son los complementos (negativos) (aij=-aji). Como aii=-aii, entonces aii=0 ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
  • 15. 1.8. Algunas Matrices Especiales Matrices Ortogonales Haciendo operaciones •Matriz cuadrada A es ortogonal si y solo si AT=A-1 a12 + a2 + a3 = 1 2 2 → u1 • u1 = 1, paralelos Esto es, AAT=ATA=I a1b1 + a2 b2 + a3b3 = 0 → u1 • u2 = 0, ortogonales a1c1 + a2 c2 + a3 c3 = 0 •Porqué ortogonal? b12 + b22 + b32 = 1 c12 + c2 + c3 = 1 2 2 Sean u1 = ( a1 , a2 , a3 ), u2 = (b1 , b2 , b3 ), a1b1 + a2 b2 + a3b3 = 0 a1c1 + a2 c2 + a3 c3 = 0 u3 = (c1 , c2 , c3 ) vectores que forman b1c1 + b2 c2 + b3 c3 = 0 b1c1 + b2 c2 + b3 c3 = 0 los renglones de A i.e. Entonces AAT = I ui • u j = 1 = δ ij si i = j  a1 a2 a3  a1 b1 c1   1 0 0  ui • u j = 0 si i ≠ j       b1 b2 b3  a2 b2 c2  =  0 1 0  c ∴ u1, u2, u3 son vectores unitarios  1 c2 c3  a3  b3 c3   0 0 1     y ortogonales entre si (conjunto ortonormal de vectores) ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
  • 16. 1) AAT = I = AT A 2) AAT → renglones de A es conjunto ortonormal de vectores 3) AT A → columnas de A es conjunto ortonormal de vectores Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes 1. A es ortogonal 2. Renglones de A son un conjunto ortonormal 3. Columnas de A son un conjunto ortonormal Definición. Matriz Normal A es normal si conmuta con su transpuesta. Esto es AAT = AT A Teorema Si A es simétrica y ortogonal, entonces A es normal ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
  • 17. Ejemplo matriz normal Normal? si  6 −3  Simétrica? no (por inspección) A=   3 6 Ortogonal? no AT ≠ A−1 A = ad − bc = 45 a b A=  −11  6 3  c d A =   45  −3 6  6 −3  6 3   45 0  1  d −b  AA =  T  =  A = -1   3 6  −3 6   0 45  A  −c a  6 3  6 −3   45 0  A A= T  =   −3 6  3 6   0 45  ©Dr. Arturo Sanchez Carmona