1. Capítulo 1
Matrices
Uso de las matrices:
w Realizar cálculos de manera eficiente
w Resolver sistemas de ecuaciones lineales (sels)
w Representar objetos abstractos como
“transformaciones lineales”, “ cambios de
bases”, “formas cuadráticas”, etc.
©Dr. Arturo Sanchez Carmona

2. 1.1. Definiciones
w Matriz A es un arreglo rectangular de escalares
 a11 a12 ... a1n 
a a22 ... a2 n 
A =  21  = a 
M M M M   ij 
 
 am1
 am 2 ... amn 
Elemento aij , ij-ésimo elemento
m renglones, n columnas tamaño m × n
•Matrices A y B son iguales (A=B) si son del mismo
tamaño y los elementos correspondientes son iguales
©Dr. Arturo Sanchez Carmona

3. 1.2. Adición de matrices y multiplicación
con escalares
Sean A =  aij  , B = bij  matrices del mismo tamaño
   
•Suma A+ B
 a11 + b11 a12 + b12 K a1n + b1n 
a + b a22 + b22 K a2 n + b2 n 
 21 21 
M M M 
 

 am1 + bm1 am 2 + bm 2 K amn + bmn 

•Multiplicación por escalar kA = k  aij 
 
•Negativa de A, − A = (−1) A
•Resta A − B = A + (− B )
©Dr. Arturo Sanchez Carmona

4. 1.3. Multiplicación de Matrices
•Sean A =  aij  , B = bij 
   
•Número de columnas de A igual al número de renglones de B
(e.g. A es m p x y B es p x n) p
•AB es una matriz m x n con cij = ai1b1 j + ai 2 b2 j + L + aip bpj = ∑ aik bkj
k =1
 a11 L a1 p  b11 L bij L b1n   c11 L c1n 
M M  M M  M
  M   M  
 ai1 L aip  M M M = cij 
    
M M  M M M  M M 
a L amp  bp1 L b pj L b pn   cm1 L cmn 
 m1    
•AB no está definido si A es m x p y B es q x n y p?q
©Dr. Arturo Sanchez Carmona

5. 1.3. Multiplicación de Matrices
•Multiplicación no es conmutativa, i.e. en general, AB? BA
•Asociativa, (AB)C=A(BC)
•Distributiva por la derecha, A(B+C)=AB+AC
•Distributiva por la izquierda, (B+C)A=BA+CA
•Multiplicación por escalar conmuta, k(AB)=(kA)B=AkB
©Dr. Arturo Sanchez Carmona

6. 1.4. Matriz Transpuesta
w La transpuesta de A, AT, se obtiene escribiendo las
columnas de A como renglones.
w Si A=[aij], tamaño m x n, entonces AT=[bij], tamaño n x m,
donde bij=aji
•Algunas propiedades
• (A+B)T=AT+BT
• (AT)T=A
• (kA)T=kAT
• (AB)T=BTAT
©Dr. Arturo Sanchez Carmona

7. 1.5. Matriz Cuadrada
w Mismo número de renglones y columnas, n x n (orden n)
w Diagonal (o diagonal principal), conjunto de elementos con
mismos índices, i.e. a11, a22, …, ann
w Traza de A, tr(A) es la suma de los elementos diagonales
Algunas propiedades:
Sean A, B matrices cuadradas
n tr(A+B)= tr(A)+ tr(B)
n tr(kA)= k tr(A)
T
n tr(A )= tr(A)
n tr(AB)= tr(BA)
©Dr. Arturo Sanchez Carmona

8. 1.6. Matriz Identidad (Unitaria)
w I o In : matriz cuadrada con unos en la diagonal
w AI=IA=A
w Si B es m x n, entonces BIn=ImB=B
w Función delta de Kronecker
0 si i ≠ j
δ ij = 
1 si i = j
∴ Matriz Identidad I = δ ij 
 
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9. 1.7. Matriz Invertible
w Definición
Matriz cuadrada A es invertible (no singular), si existe
matriz B (la inversa de A, A-1) tal que AB=BA=I
•Teorema
Si B existe, entonces es única
•Demostración
Sean B1, B2 matrices cuadradas que son inversas de A
Entonces AB1 = B1 A = I y AB2 = B2 A = I
Entonces B1 = B1 I = B1 ( AB2 ) = ( B1 A) B2 = IB2 = B2
∴ B1 = B2
©Dr. Arturo Sanchez Carmona

10. 1.7. Matriz Invertible
w Algunas propiedades. A y B invertibles
AB es invertible y ( AB) −1 = B −1 A−1
En general ( A1 A2 L Ak ) −1 = Ak−1 Ak−−1 L A2−1 A1−1
1
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11. Fórmula para obtener la Inversa de una
Matriz de Orden 2
a b  ax1 + by1 = 1
Sea A =  Sistema de
 c d
 ecuaciones
ax2 + by2 = 0 lineales
Buscar 4 escalares x1 , x 2 , y1 , y2 tal que cx1 + dy1 = 0 (capítulo 2)
 a b   x1 x2   1 0  cx2 + dy2 = 1
  = 
 c d   y1 y2   0 1 
Resolviendo para x1 , x2 , x3 y x4
d −b
Haciendo operaciones x1 = ; x2 =
ad − bc ad − bc
 ax1 + by1 ax2 + by2   1 0  −c a
 =  y1 = ; y2 =
 cx1 + dy1 cx2 + dy2   0 1  ad − bc ad − bc
ad − bc determinante de A
©Dr. Arturo Sanchez Carmona

12. w Teorema
n det(A)=0 si y solo si A no tiene inversa
w Encontrar la inversa de una matriz de orden n es equivalente a
encontrar la solución de un SEL de orden n
w Como encontrar estas soluciones de manera eficiente?
n Respuesta: parte del material del capítulo 2
©Dr. Arturo Sanchez Carmona

13. 1.8. Algunas Matrices Especiales
Matriz cuadrada diagonal D = ( dij ) . Elementos no diagonales son cero
D = diag (d11 , d 22 ,L , d nn )
Matriz cuadrada triangular (superior) A = ( aij )
Elementos por debajo de la diagonal son cero.
Esto es, aij = 0 para i > j
Algunas propiedades para A = ( aij ) , B = ( bij ) , triangulares de orden n
1. A+b, kA, AB son triangulares con diagonales
( a11 + b11 ,K , ann + bnn ), ( ka11 ,K , kann ), ( a11b11 ,K , ann bnn ) respectivamente
2. A es invertible si y solo si cada elemento diagonal aii?0. Si A-1 existe,
entonces es triangular
•Idem para matrices triangulares inferiores
©Dr. Arturo Sanchez Carmona

14. 1.8. Algunas Matrices Especiales
w Matriz Simétrica. A=AT.
Elementos simétricos con respecto a la diagonal son iguales
(aij=aji)
•Matriz antisimétrica. –A=AT.
Elementos simétricos con respecto a la diagonal son los
complementos (negativos) (aij=-aji). Como aii=-aii, entonces
aii=0
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15. 1.8. Algunas Matrices Especiales
Matrices Ortogonales
Haciendo operaciones
•Matriz cuadrada A es ortogonal
si y solo si AT=A-1 a12 + a2 + a3 = 1
2 2
→ u1 • u1 = 1, paralelos
Esto es, AAT=ATA=I a1b1 + a2 b2 + a3b3 = 0 → u1 • u2 = 0, ortogonales
a1c1 + a2 c2 + a3 c3 = 0
•Porqué ortogonal?
b12 + b22 + b32 = 1 c12 + c2 + c3 = 1
2 2
Sean u1 = ( a1 , a2 , a3 ), u2 = (b1 , b2 , b3 ),
a1b1 + a2 b2 + a3b3 = 0 a1c1 + a2 c2 + a3 c3 = 0
u3 = (c1 , c2 , c3 ) vectores que forman
b1c1 + b2 c2 + b3 c3 = 0 b1c1 + b2 c2 + b3 c3 = 0
los renglones de A
i.e.
Entonces AAT = I ui • u j = 1 = δ ij si i = j
 a1 a2 a3  a1 b1 c1   1 0 0  ui • u j = 0 si i ≠ j
    
 b1 b2 b3  a2 b2 c2  =  0 1 0 
c ∴ u1, u2, u3 son vectores unitarios
 1 c2 c3  a3
 b3 c3   0 0 1 
   y ortogonales entre si
(conjunto ortonormal de vectores)
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16. 1) AAT = I = AT A
2) AAT → renglones de A es conjunto ortonormal de vectores
3) AT A → columnas de A es conjunto ortonormal de vectores
Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes
1. A es ortogonal
2. Renglones de A son un conjunto ortonormal
3. Columnas de A son un conjunto ortonormal
Definición. Matriz Normal
A es normal si conmuta con su transpuesta. Esto es AAT = AT A
Teorema
Si A es simétrica y ortogonal, entonces A es normal
©Dr. Arturo Sanchez Carmona

17. Ejemplo matriz normal
Normal? si
 6 −3  Simétrica? no (por inspección)
A= 
 3 6 Ortogonal? no AT ≠ A−1
A = ad − bc = 45
a b
A=  −11  6 3
 c d A =  
45  −3 6 
6 −3  6 3   45 0 
1  d −b  AA = 
T
 = 
A =
-1
  3 6  −3 6   0 45 
A  −c a 
6 3  6 −3   45 0 
A A=
T
 = 
 −3 6  3 6   0 45 
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