Diagrama de venn

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DIAGRAMA DE VENN

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Diagrama de venn

  1. 1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DE EDUCACION SUPERIORINSTITUTO UNIVERSITARIO DE LA FRONTERA “IUFRONT” SAN CRISTOBAL EDO TACHIRA REALIZADO POR HERNADEZ ORANGELI C.I 19777519 PROF I4NA San Cristóbal Mayo 2011
  2. 2. Diagrama de Venn • Origen Los diagramas de Venn reciben su nombre de su creador, John Venn,matemático y filósofo británico. Estudiante y más tarde profesor en elCaius College de la Universidad de Cambridge, desarrolló toda su producciónintelectual entre esas cuatro paredes.Venn introdujo el sistema de representación que hoy conocemos con sunombre en julio de 1880 con la publicación de su trabajo titulado “De larepresentación mecánica y diagramática de proposiciones y razonamientos”(On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions andReasonings) en el Philosophical Magazine and Journal of Science,provocando un cierto revuelo en el mundo de la lógica formal. Aunque la primera forma de representación geométrica de silogismoslógicos se atribuye comúnmente a Gottfried Leibniz, y fue luego ampliadapor George Boole y Augustus De Morgan, el método de Venn superaba enclaridad y sencillez a los sistemas de representación anteriores, hasta elpunto de convertirse con el tiempo en un nuevo estandar. Venn fue elprimero en formalizar su uso y en ofrecer un mecanismo de generalizaciónpara los mismos. Más adelante desarrolló algo más su nuevo método en su libro “Lógicasimbólica”, publicado en 1881 con el ánimo de interpretar y corregir lostrabajos de Boole en el campo de la lógica formal. Aunque no tuvo demasiadoéxito en su empeño, su libro se convirtió en una excelente plataforma deejemplo para el nuevo sistema de representación. Siguió usándolo en su siguiente libro sobre lógica (Los principios de lalógica empírica, publicado en 1889), con lo que los diagramas de Venn fuerona partir de entonces cada vez más empleados como representación derelaciones lógicas. Sin embargo, la primera referencia escrita al término “diagrama deVenn” de la que se tiene constancia es muy tardía (1918), en el libro “ASurvey of Symbolic Logic”, de Clarence Irving Lewis. Los diagramas de Venn se emplean hoy día para enseñar matemáticaselementales y para reducir la lógica y la Teoría de conjuntos al cálculosimbólico puro. Se suelen usar también en el aula diagramas de Venn de dos
  3. 3. o tres conjuntos como herramienta de síntesis, para ayudar a losestudiantes a comparar y contrastar dos o tres de elementos; en este uso,se incluyen dentro de cada elemento las características exclusivas, y en lasintersecciones, las comunes con los otros. • Concepto A cada conjunto se le considera encerrado dentro de una curva (plana)cerrada. Los elementos del conjunto considerado pueden serespecíficamente dibujados o pueden quedar (implícitamente)sobreentendidos. Los diagramas son empleados, para representar tanto alos conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una poderosaherramienta geométrica, desprovista de validez lógica. Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de lasmatemáticas conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la relaciónmatemática o lógica entre diferentes grupos de cosas (conjuntos),representando cada conjunto mediante un óvalo o círculo. La forma en que esos círculos se sobreponen entre sí muestra todas lasposibles relaciones lógicas entre los conjuntos que representan. Porejemplo, cuando los círculos se superponen, indican la existencia desubconjuntos con algunas características comunes. • Tipos de diagramasDiagrama de la intersección de dos conjuntos.En teoría la intersección de dosconjuntos podemos definirla como laparte común que tienen dosconjuntos, si es que existe (Ejemplode inexistencia: la intersección de losnúmeros pares con los impares) . Puesel diagrama que viene a continuaciónrepresenta dicha situación.
  4. 4. La intersección de los conjuntos A y B es la parte azulada, en efectovemos que la parte común que comparte el conjunto A con el B es la parteazul.Diagrama de la intersección de dos conjuntos.En teoría la intersección de dosconjuntos podemos definirla como laparte común que tienen dosconjuntos, si es que existe (Ejemplode inexistencia: la intersección de losnúmeros pares con los impares). Puesel diagrama que viene a continuaciónrepresenta dicha situación. La intersección de los conjuntos A y B es la parte azulada, en efectovemos que la parte común que comparte el conjunto A con el B es la parteazul.Diagrama del complementario de un conjunto.En teoría el complementario de unconjunto se hace en referencia a unconjunto universal y se define como loselementos que no pertenecen al conjunto.Tan raro se entiende mejor con elsiguiente diagrama.El conjunto U es el universal (parteamarilla y blanca) y el complementario deA es solo la parte amarilla del dibujo. Elcomplementario de un conjunto serepresenta Ac.Diagrama de la diferencia de conjuntos.La diferencia B - A es la parte de B queno está en A.La diferencia de conjuntos en
  5. 5. matemáticas se expresa BA, para estecaso.Diagrama de la inclusión de conjuntos.En el diagrama se puede observar comoel conjunto B esta contenido (o incluido)en el conjunto A. Esto matemáticamentese expresa BÌA. Probabilidades Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemática que estudiaciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en quese conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certezade cuál será en particular el resultado del experimento. Por ejemplo,experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda, ellanzamiento de un dado, extracción de una carta de un mazo de naipes. La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0y 1, ambos inclusive. La probabilidad 0 indica que el resultado no ocurriránunca, y la probabilidad 1 que el resultado ocurrirá siempre. Los problemasmás sencillos estudian la probabilidad de un suceso favorable en unexperimento o acontecimiento con un número finito de resultados, todosellos con igual probabilidad de ocurrir. Si un experimento tiene n posibles resultados, y f de ellos seconsideran favorables, la probabilidad de un suceso favorable es f/n. Porejemplo, un dado no trucado se puede lanzar de seis formas posibles, portanto, la probabilidad de que salga un 5 ó un 6 es 2/6. Problemas más complicados estudian acontecimientos en que losdistintos resultados tienen distintas probabilidades de ocurrir. Por ejemplo,encontrar la probabilidad de que salga 5 ó 6 al lanzar un par de dados: losdistintos resultados (2, 3,…12) tienen distintas probabilidades. Algunosexperimentos pueden incluso tener un número infinito de posiblesresultados, como la probabilidad de que una cuerda de circunferenciadibujada aleatoriamente sea de longitud mayor que el radio
  6. 6. Entonces se puede decir que para calcular la probabilidad de queocurra algo simplemente se divide el número de eventos entre las opcionesposibles. Por ejemplo si tiras una moneda al aire ¿cuál es la probabilidad deque salga cruz? El evento es uno sólo (sólo lanzas la moneda una vez) y lasopciones son dos: cara o cruz. Por tanto la probabilidad de que salga cruz esde 1/2, o sea 50%. Si lanzas la moneda dos veces, la probabilidad de quealguna salga cruz es de 1/2 + 1/2, o sea 1. La probabilidad es que salga almenos una vez cruz. Por supuesto esto es sólo una probabilidad, nonecesariamente tiene por qué ocurrir. Sin embargo, cuando repites elexperimento muchas veces, digamos cien veces, la probabilidad de que salgacruz, será de 100/2 o sea es probable que salga cruz cincuenta veces decien. Prueba a hacerlo y verás como a medida que aumentas el número deveces que lanzas la moneda al aire, las veces que sale cruz se aproximan a lamitad. Permutación Es un reacomodo de objetos o símbolos en secuencias diferenciables.A cada ordenación única se le llama una permutación. Por ejemplo, con losnúmeros del uno al tres, cada ordenación posible de éstos, sin repetirlos, esuna permutación. En total existen 6 permutaciones para estos elementos lascuales son: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".Hay dos tipos de permutaciones: 1. Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333". 2. Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.Veamos un Ejemplo Si nueve estudiantes toman un examen y todos obtienen diferentecalificación, cualquier alumno podría alcanzar la calificación más alta. Lasegunda calificación más alta podría ser obtenida por uno de los 8restantes. La tercera calificación podría ser obtenida por uno de los 7restantes.
  7. 7. La cantidad de permutaciones posibles sería: P (9,3) = 9*8*7 = 504combinaciones posibles de las tres calificaciones más altas. Combinaciones Una combinación es un arreglo donde el orden NO es importante. Lanotación para las combinaciones es C(n,r) que es la cantidad decombinaciones de “n” elementos seleccionados, “r” a la vez. Es igual a lacantidad de permutaciones de “n” elementos tomados “r” a la vez divididopor “r” factorial. Esto sería P(n,r)/r! en notación matemática.Ejemplo: Si se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve, ¿cuántascombinaciones de cinco cartas habría?La cantidad de combinaciones posibles sería: P(9,5)/5! =(9*8*7*6*5)/(5*4*3*2*1) = 126 combinaciones posibles. Coeficiente BinominalLos coeficientes binomiales son una serie de números estudiados encombinatoria que indican el número de formas en que se pueden extraersubconjuntos a partir de un conjunto dado. Sin embargo, dependiendo delenfoque que tenga la exposición, se suelen usar otras definicionesequivalentes. Aproximación de Sticling an La utilidad de la aproximación de Stirling es para manejar grandesnúmeros como son las factoriales. Se dice que, los logaritmos son útiles (entre muchas otras cosas) paratransformar las progresiones geométricas en aritméticas (transforman, endefinitiva, productos en sumas). De modo que la aproximación de Stirlinghace uso del logaritmo de un factorial.
  8. 8. De esa manera, se tiene una aproximación para calcular el factorial den cuando n tiende a valores grandes. Se usa siempre que aparezcan factoriales grandes, como en lamecánica estadística donde se suelen encontrar factoriales de un númeroenorme de partículas. Esta aproximación no es válida para valores pequeños de n.

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