Your SlideShare is downloading. ×
Makalah Erick matematika diskrit 2013
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×

Introducing the official SlideShare app

Stunning, full-screen experience for iPhone and Android

Text the download link to your phone

Standard text messaging rates apply

Makalah Erick matematika diskrit 2013

13,125
views

Published on

Y.N.W.A

Y.N.W.A


4 Comments
6 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total Views
13,125
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
379
Comments
4
Likes
6
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 TUGAS MANDIRI MATEMATIKA DISKRIT Disusun Oleh : Nama : Erik Sutrisno NPM : 130210144 Prodi : Teknik Informatika Dosen : Renita, S.Si UNIVERSITAS PUTRA BATAM 2013 / 2014 - 1-
  • 2. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 KATA PENGANTAR Assalamualaikum Wr. Wb. Dengan memanjatkan puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, atas segala limpahan rahmat dan karunia-Nya kepada saya sehingga dapat menyelesaikan makalah ini yang berjudul “Matematika Diskrit”. Mungkin pembaca juga mengetahui bahwa didalam pembuatan makalah ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak, untuk itu dalam kesempatan ini saya menghaturkan rasa hormat dan terima kasih yang sebesar - besarnya kepada semua pihak yang membantu dalam pembuatan makalah ini. Saya menyadari bahwa dalam proses penulisan makalah ini masih jauh dari kesempurnaan baik itu dari materi maupun cara penulisannya. Namun demikian, saya telah berupaya dengan segala kemampuan dan pengetahuan yang saya miliki, serta dengan waktu yang begitu singkat buat saya. Karena dengan selingan waktu kerja dan waktu kuliah yang saya jalani, terasa begitu berat. Tapi, saya menganggap nya dengan sebuah tantangan di dalam kehidupan saya. Sehingga dengan ketekunan, makalah ini dapat selesai dengan baik. Kami juga menyadari sepenuhnya bahwa di dalam makalah ini terdapat kekurangankekurangan dan jauh dari apa yang kami harapkan. Untuk itu, kami berharap adanya kritik, saran dan usulan dari pembaca demi perbaikan di masa yang akan datang. Semoga makalah yang sederhana ini dapat dipahami bagi siapapun yang membacanya. Sekiranya makalah yang telah disusun ini dapat bermanfaat bagi kami sendiri maupun orang yang membacanya. Sebelumnya kami mohon maaf apabila terdapat kesalahan kata - kata yang kurang berkenan. Akhir kata kami ucapkan terima kasih. Batam, November 2013 Penyusun - 2-
  • 3. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 PENDAHULUAN Pada umumnya, belajar matematika identik dengan menghafalkan rumus-rumus tertentu. Dengan buku paket dan LKS yang sangat tebal dan banyak. Itulah yang menyebabkan para pelajar / siswa merasa bosan untuk belajar matematika. Seringkali mereka bertanya, " Apa sih manfaat belajar matematika dalam kehidupan sehari-hari ? “. Pertanyaan - pertanyaan seperti itu sudah sering mereka lontarkan kepada guru-guru pembimbing mereka. Pertanyaan itu mereka lontarkan karena mereka sudah kesal terhadap pelajaran mereka yang terasa membosankan dan tidak perlu. Tetapi sebenarnya, matematika sangat berfungsi dalam kehidupan sehari-hari, baik yang paling mudah sampai yang tersulit sekalipun. Matematika sebagai media untuk melatih berpikir kritis, inovatif, kreatif, mandiri dan mampu menyelesaikan masalah sedangkan bahasa sebagai media menyampaikan ide-ide dan gagasan serta yang ada dalam pikiran manusia. Jelas sekali bahwa Matematika sangat berperan dalam kehidupan sehari-hari, kita tidak dapat menghindar dari Matematika, sekalipun kita mengambil jurusan ilmu sosial tetap saja ada pelajaran Matematika di dalamnya karena mau tidak mau matematika digunakan dalam aktivitas sehari-hari. Salah satunya penerapan himpunan dalam kehidupan sehari-hari. Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai himpunan sangatlah berguna. Pengertian himpunan merupakan salah satu dasar dari matematika. Konsep dalam matematika dapat dikembalikan pada pengertian himpunan, misalnya garis adalah himpunan titik. Sebetulnya pengertian himpunan mudah dipahami dan dapat diterima secara intuitif. Tetapi dalam matematika dapat dibuat definisinya. Kata himpunan dan kumpulan digunakan dalam definisi secara bersamaan, meskipun keduanya mempunyai arti yang sama. Demikian pula dengan kata himpunan dan koleksi. Bukan hanya himpunan saja, tetapi logika, matriks, fungsi, relasi, bilangan bulat dan lain sebagai nya juga sangat berfungsi di dalam kehidupan kita sehari – hari. Ilmu – ilmu matematika diskrit sangat lah berfungsi untuk kita semua di dalam kehidupan kita sehari – hari. - 3-
  • 4. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 Daftar Isi Kata Pengantar 1 Pendahuluan 2 Daftar Isi 3 Bab I Logika 5 I. 1. Pernyataan 2. Operasi / Perangkai Logika 3. Tabel Kebenaran 5 6 6 Bab II Himpunan 17 II. 1. Teknik Penyajian Himpunan 18 2. Kardinalitas 19 3. Jenis – jenis Himpunan 20 4. Operasi Terhadap Himpunan 22 5. Himpunan Crisp dan Himpunan Fuzzy 26 6. Manfaat Belajar Himpunan Dalam Kehidupan Sehari-Sehari 28 Bab III Matriks 29 III. 1. Jenis – Jenis Matriks 29 2. Operasi Aritmatika Matriks 31 Bab IV Relasi 33 IV. 1. Representasi Relasi 34 2. Sifat – sifat relasi 36 3. Klosur Relasi 39 4. Relasi Inversi 41 5. Mengkombinasikan Relasi 42 6. Mengkombinasi kan Relasi dengan Matriks 42 7. Komposisi Relasi 43 - 4-
  • 5. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 8. Relasi n – Ary 46 8.1. Basis Data 48 8.2. Query 48 V. Fungsi 52 V. 1. Jenis – Jenis Fungsi 54 2. Fungsi Berdasarkan Daerah Hasil 56 3. Fungsi Komposisi 58 4. Fungsi Infers 60 VI. Algoritma Dan Bilangan Bulat 63 VI. 1. Algoritma 63 1. A. Notasi Untuk Algoritma 63 1. B. Teorema Euclidean 64 1. C. Algoritma Euclidean 65 1. D. Pembagi Bersama Terbesar (PBB) 66 1. E. Kombinasi Lanjar 66 1. F. Relatif Prima 68 1. G. Aritmetika Modulo 68 1. H. Kongruen 69 2. Bilangan Bulat 73 2.A. Proposisi Bilangan bulat 73 2. B. Prinsip induksi sederhana 73 2. C. Prinsip induksi yang dirampatkan 74 Penutup 75 Daftar Pustaka 75 - 5-
  • 6. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 BAB I LOGIKA 1. PERNYATAAN Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran benar saja atau salah saja dan tidak kedua-duanya. Istilah - istilah lain nya dari pernyataan adalah kalimat matematika tertutup, kalimat tertutup, kalimat deklaratif, statement atau proposisi. A. Pernyataan Tunggal Pernyataan tunggal atau pernyataan sederhana adalah pernyataan yang tidak memuat pernyataan lain atau sebagai bagiannya Contoh dari pernyataan tunggal :  Ibu kota Provinsi Jawa Barat adalah Semarang  Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama  6 adalah bilangan genap  Batu adalah benda padat  22 + 5 = 27 B. Pernyataan Majemuk Pernyataan majemuk dapat merupakan kalimat baru yang diperoleh dengan cara menggabungkan beberapa pernyataan tunggal, dengan perangkai dengan perangkai logika seperti dan, atau, jika….maka…., jika dan hanya jika, tidak. Dua pernyataan tunggal atau lebih dapat digabungkan menjadi sebuah kalimat baru yang merupakan pernyataan majemuk, sedangkan tiap pernyataan bagian dari pernyataan majemuk disebut komponen-komponen pernyataan majemuk. Komponen - komponen dari pernyataan majemuk itu tidak selamanya harus pernyataan tunggal, tetapi mungkin saja pernyataan majemuk. Namun yang terpenting adalah bagaimana menggabungkan pernyataan pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk. - 6-
  • 7. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 Contoh pernyataan majemuk: 1. Bunga mawar berwarna merah dan bunga melati berwarna putih 2. Begadang itu boleh, jika ada guna nya 3. Suatu segitiga dikatakan segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sudutnya sama 4. Air itu bersih, jika tidak terkontaminasi dengan zat lain 5. P : 5 adalah bilangan prima Q : 8 adalah bilangan genap Jadi, p dan q : 5 adalah bilangan prima dan 8 adalah bilangan genap 2. OPERASI / PERANGKAI LOGIKA Untuk membentuk suatu Tabel Kebenaran yaitu, suatu tabel yang menunjukkan secara sistematis satu demi satu nilai-nilai kebenaran sebagai hasil kombinasi dari proposisi-proposisi yang sederhana. Maka , Perangkai Logika Matematika perlu dipahami terlebih dahulu. Perangkai - perangkai logika yang digunakan, Perangkai logika dalam bentuk simbol digunakan untuk membuat bentuk-bentuk logika. Tabel Perangkai Logika Matematika Jenis penghubung Simbol Bentuk Prioritas Negasi ( Not ) ~ Tidak ... 5 Konjungsi ( And ) ˄ ... Dan ... 4 Disjungsi ( Or ) ˄ ... Atau ... 3 Implikasi → Jika ... Maka ... 2 Biimplikasi ↔ ... Jika dan hanya Jika ... 1 3. TABEL KEBENARAN A. Negasi Negasi adalah menyangkal kebenaran suatu pernyataan, yang dilambangkan dengan tanda ~ yang menggunakan penghubung Tidak. - 7-
  • 8. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 Tabel Kebenaran Negasi : Q ~Q T F F T Contoh Dari Negasi : Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut: a) Hari ini Jakarta banjir b) Kambing bisa terbang c) Didi anak bodoh d) Siswa-siswi SMANSA memakai baju batik pada hari Rabu e) P adalah “Semarang ibu kota Jawa Tengah” Penyelesain nya : a) Hari ini Jakarta tidak banjir b) Kambing tidak bisa terbang c) Didi bukan anak bodoh d) Siswa-siswi SMANSA tidak memakai baju batik pada hari Rabu e) ~P adalah “Semarang Bukan ibukota Jawa Tengah” B. Konjungsi Konjungsi adalah sebuah pernyataan majemuk dengan dengan kata hubung „Dan’ Konjungsi dari pernyataan P dan Q di notasikan dengan “ P dan Q yang dilambangkan dengan ˄ Tabel Kebenaran Konjungsi : P Q P˄Q T T T T F F F T F - 8-
  • 9. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 F F F Dari tabel di atas, tampak bahwa konjungsi selalu bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar. Yang lain nya jika ada yang bernilai Salah, maka hasil nya Salah. Contoh Konjungsi dan penyelisain nya : 1. P : = 40 Bernilai Salah Q : 25 : 5 = 5 Bernilai benar Jadi, P ˄ Q = 2. P : - 6 > - 10 = 40 dan 25 : 5 = 5 Bernilai Salah (T) Q : 88 : 22 = 4 ( T ) Jadi, P ˄ Q =- 6 > - 10 dan 88 : 22 = 4 ( T ) C. Disjungsi Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung Atau. Disjungsi dari pernyataan P dan Q dinotasikan dan di baca P atau Q. Disjungsi ada dua macam : 1. Disjungsi Inklusif Maksud nya yaitu sebuah pernyataan majemuk yang dilambangkan dengan ˄ yang menggunakan kata penghubung „ Dan / Atau „ Misal kan P dan Q adalah pernyataan. Disjungsi dan / atau dari P dan Q adalah pernyataan majemuk “ P dan / atau Q “. Tabel Kebenaran Disjungsi Inklusif P Q P˄Q T T T T F T F T T F F F - 9-
  • 10. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 Contoh soal Dan penyelesain nya : 1. P : 4 + 8 = 12 (T) Q:4>7 (F) Jadi P ˄ Q : 4 + 8 = 12 dan / atau 4 > 7 2. P : 7 adalah bilangan genap (F) Q : air adalah zat padat (T ) (F) Jadi, P ˄ Q : 7 adalah bilangan genap dan / atau 4 > 7 (F) 2. Disjungsi Eksklusif Misal kan P dan Q adalah pernyataan majemuk. Disjungsi atau dari P dan Q adalah pernyataan majemuk “ P atau Q” yang dilambangkan dengan . Tabel kebenaran Disjungsi Eksklusif P Q T T F T F T F T T F F F P Q Contoh soal dan penyelesain nya : Bentuk lah Disjungsi dari : 1. P : 12 – 8 > 6 Q : 8 + 12 = 20 Jadi, P (F) (T) Q = 12 – 8 > 6 atau 8 + 12 = 20 adalah ( T ) 2. P : 4 adalah bilangan genap (T) Q : 7 adalah bilangan ganjil ( T ) - 10 -
  • 11. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 Jadi, P Q = 4 adalah bilangan genap atau 7 adalah bilangan ganjil ( F ) D. Implikasi Implikasi disebut juga dengan kondisional adalah suatu pernyataan bersyarat satu arah. Dua proposisi s dan t dikombinasikan dengan kata “jika…, maka…”. Proposisi “s” disebut hipotesa (anteseden) dan proposisi “t” disebut konklusi (konsekuen). Implikasi bernilai salah jika hipotesa benar dan konklusi salah. Notasi: s → t. Tabel kebenaran Implikasi Bahwa implikasi selalu Bernilai Bernilai ( F ), jika P = ( T ) dan Q = ( F ). P Q P→Q T T T T Dari tabel disamping,tampak F F F T T F F T Dan selain nya selalu ( T ) Contoh soal dan penyelesain nya : 1. s : Satuan untuk arus listrik adalah Ampere. ( T ) t : 1+1=2 ( T ) Sehingga s→t = jika satuan untuk arus listrik adalah Ampere maka 1+1=2 ( T ) 2. P : Indonesia berada di benua Eropa ( F ) Q : 8 + 8 = 12 (F) Sehingga P → Q = Jika Indonesia berada di benua Eropa, maka 8 + 8 = 12 ( T ). E. Biimplikasi ( Ekuivalensi ) Bi-implikasi merupakan pernyataan majemuk bersyarat dua arah. Dua proposisi P dan Q dikombinasikan dengan kata “jika dan hanya jika” dan dilambangkan dengan . Bi implikasi bernilai benar jika kedua proposisinya bernilai sama, atau bi implikasi bernilai salah jika kedua proposisinya bernilai berbeda. - 11 -
  • 12. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 Tabel Kebenaran Bi implikasi P T Jadi, P F F T F F Q:-6>-7=2 T F 1. P : 8 + 11 = 16 ( F ) T T Contoh dan penyelesaian : Q F T P Q (T) Q = 8 + 11 = 16 jika dan hanya jika - 6 > - 7 = 2 2. P : 12 + 33 = 45 (F) (T) Q : 20 : 2 = 10( T ) Jadi, P Q = 12 + 33 = 45 jika dan hanya jika 20 : 2 = 10 ( T ). Menyusun tabel kebenaran untuk pernyataan majemuk : Contoh soal dan penyelesaian nya : 1. Buat lah tabel kebenaran untuk pernyataan berikut : a. – – p q T T F F T T F T T F F T F F T F F T F T b. (p → q) ↔ (-q → -p) p q p→q -q -p -q → -p (p → q) ↔ (-q → -p) T T T F F T T T F F T F F T F T T F T T T - 12 -
  • 13. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 F F T T T T T F. Tautologi Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari hukum-hukum Ekuivalensi Logika. Contoh soal Tautologi : 1. Buktikan : ¬(A ^ B ) v B adalah tautologi ? Bukti : Buat Tabel Kebenarannya seperti berikut : A B A˄ – ˄B B F F F T T F T F T T T F F T T T T T F T Jadi, pernyataan dari ¬(A ^ B ) v B disebut Tautologi, karena semua hasil nya benar. → 2. Buktikan lah kalo pernyataan dari Buktikan dengan tabel kebenaran : → A B C B C adalah tautologi ! → F F F T T F T T T F F T T F F F T T F T F F T F T T T F T T F F F T T T T F F T T F T T T T F T T F F F T T T T F F T T T T T - 13 -
  • 14. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 T T T F F T T T T Jadi ekspresi logika diatas adalah tautology karena pada table kebenarannya semua pasangannya menghasilkan nilai T. G. Kontradiksi Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari hukum-hukum Ekuivalensi Logika. Contoh soal Kontradiksi : ˄ B adalah Kontradiksi ! 1. Buktikan jika pernyataan dari ˄ B A B F F T T F F F F T T F T T F T F F T T F F T T F F T F F B Jadi, ekspresi logika di atas terjadi kontradiksi, karena semua hasil nya salah. 2. p ˄ ¬ p P ¬p p˄¬p T F F F T F H. Kontingensi - 14 -
  • 15. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 Adalah Suatu ekspresi logika yang mempunyai nilai benar dan salah di dalam tabel kebenarannya, tanpa mempedulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada di dalamnya. Contoh soal Kontingensi : 1. A A B C F T F F T F F T T F T F T F F F T T T F T F T T A 2. P P Q T T T T T F F F F T F T F F F T P Dari kedua tabel di atas, Nilai-nilai kebenaran pada nilai kebenaran sebagai hasil akhir di tabel kebenaran tidak harus selalu berurutan antara F dan T, yang penting ada T dan ada F, maka disebut dengan Kontingensi. I. Konvers, Kontraposisi Dan Invers Jika p → q adalah sebuah implikasi maka terdapat beberapa pernyataan yang berhubungan dengan p → q yaitu: 1.Pernyataan q → p disebut konvers dari pernyataan p → q 2.Pernyataan (¬ q) → (¬p) disebut kontraposisi atau kontrapositif dari p → q 3.Pernyataan (¬ p) → (¬q) disebut invers dari p → q - 15 -
  • 16. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 Contoh soal : Tulislah konvers, kontraposisi dan invers dari implikasi-implikasi berikut: 1. X=3 → x adalah bilangan bulat ganjil konvers : x adalah bilangan bulat ganjil → x=3 kontraposisi : x bukan bilangan bulat ganjil → x≠3 invers : x≠3 → x bukan bilangan bulat ganjil 2. Jika hari hujan maka saya basah kuyup Konvers : Jika saya basah kuyup maka hari hujan kontraposisi : Jika saya tidak basah kuyup maka hari tidak hujan invers : Jika hari tidak hujan maka saya tidak basah kuyup J. Implikasi Logis Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Jika p → q tautologi, maka p → q selalu benar untuk semua nilai p dan q yang mungkin dan dilambangkan dengan p q dan di baca “ p implikasi logis q “. Artinya p → q digunakan apabila pernyataan p selalu mengimplikasi pernyataan q tanpa memperhatikan nilai dari variabel – variabel penyusun nya. Contoh soal : Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan majemuk berikut adalah implikasi logis : 1. (p ˄ q) → p p q T T T T T F F F F T F T F F F T p 2. ¬ p →(p → q) - 16 -
  • 17. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 –p p q T T F F T T F T T F F T F F T F F T F T K. Ekuivalensi Logis Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekuivalensi logis dengan notasi S1 S2 dibaca dengan S1 ekuivalen logis dengan S2 Contoh soal : ↔p 1. ¬ p T T F F 2. ¬ (p ˄ q) ↔ (¬p)˄(¬ q) P T F T F ¬ ¬ T F F F F T T T p T T F F ¬ (p ˄ q) Q T T F F ¬q F F T T T T T T (¬p)˄(¬q) F F T T F T F T L. Hukum Logika - 17 - F T T T ¬ (p ˄ q) ↔ (¬p)˄(¬ q) T T T T
  • 18. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 Jadi, kita tidak hanya bisa membuktikan sebuah pernyataan majemuk dengan menggunakan tabel kebenaran, tetapi juga bisa di buktikan dengan hukum logika diatas. BAB II HIMPUNAN Himpunan adalah sekumpulan objek diskrit yang memiliki sifat tertentu dan memiliki objek yang berbeda. Objek ini selanjutnya dinamakan yaitu anggota atau elemen dari himpunan tersebut. Istilah kelompok, kumpulan, maupun gugus dalam matematika disebut dengan istilah himpunan. Konsep tentang himpunan pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan berkebangsaan Jerman bernama Georg Cantor (1845-1918). Notasi 1. Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar A,B,C,H,K dan sebagainya. Untuk menyatakan suatu himpunan digunakan simbol “{}”, sementara itu untuk melambangkan anggota himpunan biasanya menggunakan huruf kecil a,b,c,x,y dan sebagainya. - 18 -
  • 19. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 2. Untuk menyatakan anggota suatu himpunan digunakan lambang “∈” di baca anggota sedangkan untuk menyatakan bukan anggota suatu himpunan digunakan lambang "∉ " di baca bukan anggota. Contoh Kelompok/kumpulan yang merupakan suatu himpunan: Kelompok hewan berkaki empat. Yang merupakan anggota, misalnya : Gajah, sapi, kuda, kambing Yang merupakan bukan anggota, misalnya : ayam, bebek, itik. Contoh Kelompok/kumpulan yang bukan merupakan suatu himpunan: Kumpulan siswa di kelasmu yang berbadan tinggi. Pengertian tinggi tidak jelas harus berapa cm batasannya. Mengapa disebut begitu, karena batasan contoh di atas tidak jelas. Di dalam Matematika kumpulan tidak dapat disebut himpunan jika batasannya tidak jelas. 1. TEKNIK PENYAJIAN HIMPUNAN A. Enumerasi Enumerasi artinya menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal . Biasanya suatu himpunan di beri nama dengan menggunakan huruf kapital maupun dengan simbol-simbol lainnya. Contoh : 1. Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4} 2. C = {a, {a}, {{a}} } B. Notasi Pembentuk Himpunan Notasi = {x| syarat yang harus dipenuhi oleh x} - 19 -
  • 20. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 Contoh : 1. Jika B himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 8 dinyatakan ke dalam bentuk notasi= B = {x | x ∈ p, x < 8} B = {1,2,3,4,5,6,7} C. Simbol Simbol Baku P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... } N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... } Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks Himpunan yang universal : semesta, disimbolkan dengan U Contoh : Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A={1, 3, 5} D. Diagram Venn Dalam diagram venn, himpunan semesta (U) digambarkan sebagai suatu segi empat sedangkan himpunan lainnya digambarkan sebagai lingkaran di dalam segi empat tersebut. Contoh : 1. Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8} Diagram Venn = U A B 1 2 8 7 3 5 6 4 - 20 -
  • 21. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 2. KARDINALITAS Definisi kardinalitas : sebuah himpunan dikatakan berhingga (finite set) jika terdapat n, elemen berbeda (distinct) yang dalam hal ini n adalah bilangan bulat tak negatif. Sebaliknya himpunan tersebut dinamakan tak berhingga (infinite set). Misalkan A merupakan himpunan berhingga, maka jumlah elemen berbeda di dalam A, disebut sebagai kardinal dari himpunan A. Contoh soal : 1. B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 }, atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka 2. T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka =8 =5 3. JENIS – JENIS HIMPUNAN A. Himpunan Kosong ( Himpunan Hampa ) Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota sama sekali atau himpunan dengan kardinal 0. Himpunan kosong dilambangkan dengan tanda { } atau Ø. Contoh soal dan penyelesaian nya : 1. A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0 2. B = {bilangan genap antara 2 dan 4}, ditulis B = {} = {0} B. Himpunan Bagian ( Subset ) Definisi : Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini,B dikatakan superset dari A. - 21 -
  • 22. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 Penulisan A B berbeda dengan A B  Jika kita menekankan bahwa A adalah himpunan bagian dari B tetapi A tulis A B, maka kita B  Jika kita menekankan bahwa A adalah himpunan bagian B, tapi A = B, maka tulis dengan A B Untuk sembarang himpunan A berlaku hal - hal sebagai berikut :  A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri  Himpunan kosong adalah himpunan bagian dari A  Jika A B dan B C maka A C Contoh soal dan penyelesaian nya : 1. { 1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5} 2. {1, 2, 3} {1, 2, 3} C. Himpunan Yang Sama Definisi : Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya mempunyai elemen yang sama. Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka kita katakan A tidak sama dengan B. Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut : A. A = A, B = B, dan C = C B. jika A = B, maka B = A C. jika A = B dan B = C, maka A = C Contoh soal dan penyelesaian nya : - 22 -
  • 23. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 1. Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B 2. Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B D. Himpunan yang Ekuivalen Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama. Contoh soal : 1. Jika A= {b,c,d} dan B={d,c,b}, Maka karena =3 2. Jika A = {3,3,2,4,2,3} dan B = {2,2,4,5,3,3} Maka karena =6 E. Himpunan Saling Lepas Definisi : Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama. Contoh : U Jika A = { x | x * P, x < 8 } dan A B B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B F. Himpunan Kuasa Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. Contoh : Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }} - 23 -
  • 24. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 4. OPERASI TERHADAP HIMPUNAN A. Irisan (Intersection) Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah sebuah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunan B. U A B B A B A Contoh : S = {a,b,c,d} T = {f,b,d,g} S T = {b,d} = T S B. Gabungan ( Union ) Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B. U Contoh : 1. Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 } Maka A 2. A A B B = { 2, 5, 7, 8, 22 } =A C. Komplemen Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen U yang bukan elemen A. - 24 -
  • 25. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 U A Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 }, jika A = {1, 3, 7, 9}, maka jika A = { x | x/2 = {2, 4, 6, 8} P, x < 9 }, maka = { 1, 3, 5, 7, 9 } D. Selisih ( Difference) U Contoh : 1. Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 } A maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A = B 2. {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2} E. Beda Setangkup ( Symmetric Difference) Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B tetapi tidak pada keduanya. Contoh : 1. Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A 2. Jika A = { 2,4,6 } dan B ={ 2,3,5 }, maka A F. Perkalian Kartesian (Cartesian Product) - 25 - B = { 3, 4, 5, 6 } B = { 3,4,5,6 }
  • 26. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan (ordered pairs) yang dibentuk dari komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B. Contoh : 1. Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } 2. Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka A x B = himpunan semua titik di bidang datar Catatan : 1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: |A x B| = |A| . |B| 2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) 3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A x B (b, a) B x A dengan syarat A atau B tidak kosong. G. Perampatan Operasi Himpunan Operasi himpunan dapat dilakukan terhadap 2 atau lebih himpunan. Dalam hal ini kita melakukan perampatan (generalization) himpunan dengan menggunakan dasar perampatan yang ada pada operasi aritmatika biasa. - 26 -
  • 27. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 n A1 A2 ... A An i i 1 n A1 A2 ... A An i i 1 Misalkan A = {1, 2}, B = {a, b}, dan C = { , }, maka n A1 A2 ... An Ai i 1 n A1 A A2 B ... An i 1 Ai C = {(1, a, ), (1, a, ), (1, b, ), (1, b, ), (2, a, ), (2, a, ), (2, b, ), (2, b, ) } H. Hukum Aljabar Himpunan Hukum Aljabar Himpunan 1 2 Hukum Identitas (i) A =A (ii) A (i) A =A (ii) A 4 Hukum Komplemen 3 (i) A U 5 Hukum Idempotent (ii) A = 6 Hukum Involusi (i) (i) A =A (i) A B=B (ii) A 9 8 Hukum Komutatif A B=B (ii) A (B (ii) A C) = (A (B C) = (A B) B) (A (A C) C) I. Prinsip Inklusi dan Eklusi Untuk dua himpunan A dan B : A B = A + B – A B)=A (AUB)=A (B (B C) = (A C) = (A 10 Hukum De Morgan (i) = (ii) = Hukum Distributif (i) A (A Hukum Asosiatif (i) A A A=A Hukum Absorpsi ( Penyerapan ) (ii) A 7 =U (i) A U A = A =U (ii) A Hukum Null / Dominasi B - 27 - B) U C B) C
  • 28. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 A B = A + B –2 A B Contoh : 1. Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5 ? Penyelesaian: A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3, B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5, A B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan yang habis dibagi oleh KPK – Kelipatan Persekutuan bulat Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15) Yang ditanyakan adalah A B ? A = 100/3 = 33, B = 100/5 = 20, A B = 100/15 = 6 A B = A + B – A B = 33 + 20 – 6 = 47 Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5. 5. HIMPUNAN CRISP DAN HIMPUNAN FUZZY A. Himpunan Crisp Pada himpunan tegas (crisp), nilai keanggotaan suatu item x dalam suatu himpunan A, yang sering ditulis dengan µ A[x], memiliki 2 kemungkinan, yaitu: 1. Satu (1), yang berarti bahwa suatu item menjadi anggota dalam suatu himpunan, atau 2. Nol (0), yang berarti bahwa suatu item tidak menjadi anggota dalam suatu himpunan Contoh, Jika di ketahui : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} adalah semesta pembicaraan - 28 -
  • 29. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 A = {1, 2, 3} B = {3, 4, 5} Bisa dikatakan bahwa : 1. Nilai keanggotaan 2 pada himpunan A, µA [2]=1, karena 2∈A. 2. Nilai keanggotaan 3 pada himpunan A, µA [3]=1, karena 3∈A. 3. Nilai keanggotaan 4 pada himpunan A, µA [4]=0, karena 4∈A. 4. Nilai keanggotaan 2 pada himpunan B, µB [2]=0, karena 2∈B. 5. Nilai keanggotaan 3 pada himpunan B, µB [3]=1, karena 3∈B. B. Himpunan Fuzzy Pada gambar di atas, dapat dilihat bahwa : 1. Seseorang yang berumur 40 tahun, termasuk dalam himpunan MUDA dengan µMUDA[40]=0,25; namun dia juga termasuk dalam himpunan PAROBAYA dengan µPAROBAYA[40]=0,5. 2. Seseorang yang berumur 50 tahun, termasuk dalam himpunan MUDA dengan µTUA[50]=0,25; namun dia juga termasuk dalam himpunan PAROBAYA dengan µPAROBAYA [50]=0,5. Kalau pada himpunan crisp, nilai keanggotaan hanya ada 2 kemungkinan, yaitu 0 atau 1, pada himpunan fuzzy nilai keanggotaan terletak pada rentang 0 sampai 1. Apabila x memiliki nilai keanggotaan fuzzy µA[x]=0 berarti x tidak menjadi anggota himpunan A, demikian pula - 29 -
  • 30. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 apabila x memiliki nilai keanggotaan fuzzy µA[x]=1 berarti x menjadi anggota penuh pada himpunan A. Terkadang kemiripan antara keanggotaan fuzzy dengan probabilitas menimbulkan kerancuan. Keduanya memiliki nilai pada interval [0,1], namun interpretasi nilainya sangat berbeda antara kedua kasus tersebut. Keanggotaan fuzzy memberikan suatu ukuran terhadap pendapat atau keputusan, sedangkan probabilitas mengindikasikan proporsi terhadap keseringan suatu hasil bernilai benar dalam jangka panjang. Misalnya, jika nilai keanggotaan suatu himpunan fuzzy MUDA adalah 0,9; maka tidak perlu dipermasalahkan berapa seringnya nilai itu diulang secara individual untuk mengharapkan suatu hasil yang hampir pasti muda. Di lain pihak, nilai probabilitas 0,9 muda berarti 10% dari himpunan tersebut diharapkan tidak muda. Himpunan fuzzy memiliki 2 atribut, yaitu : 1. Linguistik, yaitu penamaan suatu grup yang mewakili suatu keadaan atau kondisi tertentu dengan menggunakan bahasa alami, seperti: MUDA, PAROBAYA, TUA. 2. Numeris, yaitu suatu nilai (angka) yang menunjukkan ukuran dari suatu variabel seperti: 40, 25, 50, dsb. 6. MANFAAT BELAJAR HIMPUNAN DALAM KEHIDUPAN SEHARI-SEHARI Membahas mengenai manfaat himpunan dalam kehidupan sehari-hari, mengingatkan kita yang mungkin sebagai guru atau orang tua saat ada pertanyaan yang terlontar dari anak dengan wajah polosnya. “Apa manfaat himpunan dalam kehidupan kita sehari-hari?” Mereka belum tahu betapa pentingnya himpunan yang merupakan dasar dari segala ilmu Matematika. Dengan mempelajari himpunan, diharapkan kemampuan logika akan semakin terasah dan akan memacu kita agar kita mampu berpikir secara logis, karena dalam hidup, logika memiliki peran penting karena logika berkaitan dengan akal pikir. Banyak kegunaan logika antara lain: Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren. Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif. Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri. - 30 -
  • 31. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asasasas sistematis. Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta kesesatan. Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian. BAB III MATRIKS Pengertian dari Matriks adalah susunan bilangan – bilangan dalam baris dan kolom yang berbentuk persegi panjang. Baris sebuah matriks adalah susunan bilangan – bilangan yang mendatar dalam matriks. Kolom sebuah matriks adalah susunan bilangan – bilangan yang tegak dalam matriks. Masing-masing bilangan dalam matriks disebut entri atau elemen. Ordo (ukuran) matriks adalah jumlah baris kali jumlah kolom. Contoh matriks : 1. A3x2 = Baris ke 2 Kolom ke 1 A adalah lambang huruf untuk matriks A3x2 berarti matriks berordo 3 x 3 mempunyai 3 baris dan 3 kolom 1. JENIS – JENIS MATRIKS A. Matrik Baris Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris. A1x2 = B. Matriks Kolom B2x1 = C. Matriks Persegi ( Bujur Sangkar ) - 31 -
  • 32. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 Matriks persegi adalah matriks yang banyak baris dan kolom nya sama A2x2 = D. Matriks Diagonal Adalah matriks persegi dengan setiap elemen yang bukan elemen – elemen diagonal utama nya adalah 0 ( nol ), sedangkan elemen pada diagonal utama nya tidak selalu semua nya 0 (nol). A3x3 B4x4 = Merah adalah Diagonal Utama E. Matriks Identitas Adalah matriks persegi dengan semua elemen pada diagonal utama nya ada 1 (satu) dan elemen lain nya adalah nol semuanya. A3x3 B4x4 = F. Matriks Segi Tiga Atas Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen-elemen di atas diagonal bernilai nol. A3x3 B4x4 = G. Matriks Segi Tiga Bawah Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal bernilai nol. A3x3 B4x4 = H. Matriks Transpose Matriks transpose adalah matriks yang diperoleh dengan mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom A3x3 = AT = - 32 -
  • 33. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 I. Matriks Setangkup ( Simetri ) Matriks Simetri adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga aij = aji . BT 4x4 = B4x4 = J. Matriks 0 / 1 ( zero – one ) Matriks 0/1 adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1. Matriks ini banyak digunakan untuk menunjukkan relasi. B4x4 = K. Matrik Skalar Adalah matriks diagonal yang mana semua komponen diagonal utama nya sama, jika komponen diagonal utama nya 1, matriks tersebut matriks identitas M= 2. OPERASI ARITMATIKA MATRIKS A. Penjumlahan Dua Buah Matriks (A+B) Jika A dan B adalah matriks yang berordo sama, maka jumlah matriks A dan B (ditulis A+B) adalah matriks baru yang diperoleh dari menjumlahkan setiap unsur A dengan unsur yang seletak A= B= A+B= B. Pengurangan Dua Buah Matriks ( A-B ) A= B= A-B= Sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan matriks - 33 -
  • 34. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 Komutatif : A+B=B+A Assosiatif : (A+B)+C=A+(B+C) Terdapat sebuah matriks identitas penjumlahan yaitu dimana A+0=0+A=A Setiap matriks A mempunyai lawan (negatif) yaitu –A dimana A+(-A) = 0 C. Perkalian Dua Buah Matriks A= B= AxB= = Sifat – sifat Perkalian Matriks 1. Perkalian matriks tidak komutatif, yaitu AB BA 2. Hukum asosiatif, berlaku pada operasi matriks, ( AB ) C = A ( BC ) 3. Hukum distributif kiri pada matriks : ( B + C ) A = BA + CA 4. Hukum distributif kanan, berlaku pada matriks : A (B + C) = AB + AC 5. Perkalian matriks dengan identitas, tidak mengubah matriks : AI = IA = A 6. Perpangkatan matriks didefinisikan sebagai berikut : =I dan AAT = AT A = I 7. A adalah matriks orthogonal jika BAB IV RELASI - 34 - =
  • 35. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 Suatu relasi (biner) F dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu perkawanan elemen-elemen di A dengan elemen-elemen di B. didefinisikan sebagai berikut : Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal, dengan elemen pada B. Relasi antara himpunan A dan B disebut sebagai relasi biner. Relasi biner antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A x B a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b adalah notasi untuk (a, b) R,yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R Contoh : 1. Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan (p, q) R jika p habis membagi q, maka kita peroleh R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) } 2. Misalkan R adalah relasi pada A = {2, 3, 4, 8, 9} yang di definisikan oleh (x, y) R jika x adalah faktof prima dari y, maka R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 3), (3, 9)} Relasi pada sebuah himpunan adalah relasi yang khusus Relasi pada himpunan A adalah relasi dari A A Relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari A A 1. REPRESENTASI RELASI A. Representasi Relasi Dengan Diagram Panah 2 2 - 4 35 - 2 3 3
  • 36. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 Contoh no. 1 Contoh no. 2 2 3 4 Relasi R Relasi R B. Representasi Relasi dengan Tabel Contoh No. Contoh No. 1 2 P Q 2 2 2 4 4 4 3 8 4 8 3 9 3 15 A A 2 2 2 4 2 8 3 3 3 3 C. Representasi Relasi dengan Matriks Misalkan R adalah relasi dari A = {a1 , a2 ..., am} dan B = {b1, b2, …, bn} Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = b1 b2 bn - 36 -
  • 37. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 a1 m11  m1n a2 m21   m22   m2 n   am mm1 M= m12 mm 2  mmn Yang dalam hal ini, 1, (ai , b j ) R mij 0, (ai , b j ) R Contoh No. 1 MR = D. Representasi Relasi dengan Graf Berarah Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph) Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain. Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc) Jika (a, b) ˄ R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex). Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop). Contoh : Misalkan R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d, b)} adalah relasi pada himpunan {a, b, c, d}. - 37 -
  • 38. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 R direpresentasikan dengan graf berarah sbb : a b c d 2. SIFAT – SIFAT RELASI A. Refleksif ( Raflexive ) Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a R untuk setiap a A. A sedemikian sehingga (a, a) R. Contoh : 1. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka (a) Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan (4, 4). (b) Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } tidak bersifat refleksif karena (3, 3) R.  Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang elemen diagonal utamanya semua bernilai 1, atau mii = 1, untuk i = 1, 2, …, n,  Graf berarah dari relasi yang bersifat refleksif dicirikan adanya gelang pada setiap simpulnya. - 38 -
  • 39. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 B. Menghantar (Transitive) Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b) R, untuk a, b, c R dan (b, c) R, maka (a, c) A. Contoh : Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka a. R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersifat menghantar. Lihat tabel berikut: Pasangan berbentuk (a, b) (b, c) (a, c) (3, 2) (2, 1) (3, 1) (4, 2) (2, 1) (4, 1) (4, 3) (3, 1) (4, 1) (4, 3) (3, 2) (4, 2) b. R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak manghantar karena (2, 4) dan (4, 2) 2) R, begitu juga (4, 2) dan (2, 3) R, tetapi (4, 3) R, tetapi (2, R. c. Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas menghantar d. Relasi R = {(1, 2), (3, 4)} menghantar karena tidak ada (a, b) R dan (b, c) R sedemikian sehingga (a, c) R. Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = {(4, 5)} selalu menghantar. C. Setangkup ( Symmetric ) / Cermin Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (a, b) R, maka (b, a) R untuk a, b A. Contoh : Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka - 39 -
  • 40. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4. 4)} bersifat setangkup karena (1, 2) (2,1) R1 ; (2,4) R1 dan (4,2) R1 dan R1 R1 = R2 = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) tidak setangkup karena (2,3) R2 tetapi (3,2) R2 R2 = D. Tolak Setangkup ( Antisymmetric / Anti Cermin Relasi R pada himpunan A disebut tolak setangkup apabila a, b maka a = untuk semua a, b R, maka (b,a) R, A Contoh : Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (2, 2)} bersifat tolak setangkup karena (1, 1) R1 dan (2,2) R1 dan 2 =2 R1 = = R2 = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2)} bersifat tidak tolak setangkup karena (2,4) dan 4 = 2 - 40 - R2 dan (4,2) R2
  • 41. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 R2 = = E. Relasi yang Mengandung Beberapa Sifat Sekaligus Contoh : a b d c 1. R tidak refleksif karena pada simpul a tidak terdapat loop 2. R tidak setangkup sebab (b,a) , (b,c) (d,c) 3. R tidak tolak setangkup karena (a, c) . (a, d) R ,tetapi (a, b) ,(c, b) (c, d) R dan (c, a) , (d,a) 4. R menghantar ? R = {(b,a) ,( b,c) , (d,c) , (c, a) , (a, c) , (a, d) , (d,a) , (d,d) ,( c, c) , (b,b)} R = tidak menghantar karena (b,a) R ; (a, c) R ; (b,c) R = tidak menghantar karena ( c,a) R ; (a,d) R; R (c,d) 3. KLOSUR RELASI A. Refleksif A = {1,2,3} dan relasi pada himpunan A adalah R, R = {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 2)} = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} sehingga klosur refleksif dari R adalah - 41 -
  • 42. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 = {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 2)} {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1,3), (2,3), (3,2)} B. Setangkup A = {1,2,3} dan relasi pada himpunan A adalah R, R = {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 2),(3,3)} = {(2, 1), (3,1), (1, 2), (2, 3),(3,3)} Sehingga klosur setangkup dari R adalah R = {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 2),(3,3)} {(2, 1), (3,1), (1, 2), (2, 3),(3,3)} = {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 2),(3,3),(2, 1), (3,1), (1, 2), (2, 3),(3,3)} = {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 2),(3,3),(3,1), (2,3)} C. Menghantar Contoh : Misalkan himpunan A = {1,2,3} MR = = - 42 -
  • 43. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 MRoR = MR . MR = MRoRoR = . = = MR . MR . MR = MR = = . = = Sehingga klosur menghantar = = MR V MRoR V MRoRoR = V V = 4. RELASI INVERSI Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R–1, adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh Contoh : 1. Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan (p,q) R jika p habis membagi q, maka kita peroleh : R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) } MR = adalah invers dari relasi R yaitu relasi Q ke P dengan (p,q) kelipatan p - 43 - R-1 jika q adalah
  • 44. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 = {(2, 2), (4, 2), (4, 4), (8, 2), (8, 4), (9, 3), (15, 3) } = = 5. MENGKOMBINASIKAN RELASI Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup antara dua relasi atau lebih juga berlaku. Jika R1 dan R2 masing – masing adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, maka R1 R2, R1 R2, R1 – R2, dan R1 R2 juga adalah relasi dari A ke B. Contoh : 1. Misalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d} Relasi R1 = {(a, a), (b, b), (c, c)} Relasi R2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)} R1 R1 = {(a, a)} R1 R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)} R1 - R2 = {(b, b), (c, c)} R2 - R1 = {(a, b), (a, c), (a, d)} R1 R2 = {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)} 6. MENGKOMBINASI KAN RELASI DENGAN MATRIKS Contoh : 1. Misalkan : K = {a,b,c} dan L {p,q,r,s} ; A dan B adalah relasi dari K ke L A= B= - 44 -
  • 45. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 Kita dapat mengkombinasi kan kedua relasi tersebut dengan irisan. = M A ˄ MB Irisan dilambangkan dengan MA = = MB = = = = 2. Misal kan himpunan A = {a,b,c} R1 dan R2 menyatakan relasi dari himpunan A, sebagai berikut : R1 = dan R2 = Maka matriks gabungan dan irisan adalah sebagi berikut : = dan = 7. KOMPOSISI RELASI Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi R dan S, dinotasikan dengan S ˄ R,adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh : S R = {(a, c) | a A, c C, dan untuk beberapa b B, (a, b) R dan (b, c) Contoh : R = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)} adalah relasi dari himpunan {2, 4, 6, 8} ke himpunan {s, t, u}, maka komposisi relasi R dan S adalah : S R = {(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u) } Komposisi relasi R dan S lebih jelas jika di peragakan dengan diagram panah : - 45 - S }
  • 46. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 1 2 s 2 4 t 3 6 u 8 R S 1 s 2 t 3 u R S A. Komposisi Relasi – Matriks Jika relasi R1 dan R2 masing - masing dinyatakan dengan matriks matriks yang menyatakan komposisi dari kedua relasi, relasi tersebut adalah dan , maka = . operator ".|" sama seperti pada perkalian matriks biasa, tetapi dengan mengganti tanda kali dengan " ˄ " dan mengganti tanda tambah dengan " ˄ ". Contoh : 1. Misalkan himpunan A = {a,b,c} dan himpunan B = {d,e,f} dan himpunan C = { g,h,i} Relasi antara himpunan A dengan B di nyatakan dengan R1 Relasi antara himpunan B dengan C dinyatakan dengan R2 = = dan = = - 46 - =
  • 47. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 = . = . = = 2. 2 1 s 4 2 t 6 3 u 8 R MR = MRos = MR . Ms = S = Ms = . = MRos = MR . Ms = B. Komposisi Relasi – Matriks – Komposisi dengan Dirinya Sendiri Simbol Rn digunakan untuk mendefinisikan komposisi relasi dengan diri nya sendiri sebanyak n kali. - 47 -
  • 48. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 Contoh : 1. Himpunan A = {1,2,3} Relasi antara himpunan A dengan A / relasi antara A dinyatakan dengan dirinya sendiri, dengan R = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3,1), (3, 2)} Sehingga R R = {(1, 1), (1, 3), (1,2), (2,2), (3, 1), (3,3), (3, 2)} MR = = = MR . MR = . = = 8. RELASI N – ARY Relasi biner hanya menghubungkan antara dua buah himpunan. Relasi yang lebih umum menghubungkan lebih dari dua buah himpunan. Relasi tersebut dinamakan relasi n-ary (baca: ener). Jika n = 2, maka relasinya dinamakan relasi biner (bi = 2). Relasi n-ary mempunyai terapan penting di dalam basisdata. Misalkan A1, A2, …, An adalah himpunan. Relasi n-ary R pada himpunan-himpunan tersebut adalah himpunan bagian dari A1 x A2 x … x An , atau dengan notasi . Himpunan A1, A2, …, An disebut daerah asal relasi dan n disebut derajat. Contoh : NIM = {13598011, 13598014, 13598015, 13598019, 13598021, 13598025} - 48 -
  • 49. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 Nama = {Amir, Santi, Irwan, Ahmad, Cecep, Hamdan} MatKul = {Matematika Diskrit, Algoritma, Struktur Data, Arsitektur Komputer} Nilai = {A, B, C, D, E} Relasi MHS terdiri dari 5-tupel (NIM, Nama, MatKul, Nilai) : MHS NIM x Nama x MatKul x Nilai Satu contoh relasi yang bernama MHS adalah : MHS = {(13598011, Amir, Matematika Diskrit, A), (13598011, Amir, Arsitektur Komputer, B), (13598014, Santi, Arsitektur Komputer, D), (13598015, Irwan, Algoritma, C), (13598015, Irwan, Struktur Data C), (13598015, Irwan, Arsitektur Komputer, B), (13598019, Ahmad, Algoritma, E), (13598021, Cecep, Algoritma, A), (13598021, Cecep, Arsitektur Komputer, B), (13598025, Hamdan, Matematika Diskrit, B), (13598025, Hamdan, Algoritma, A, B), (13598025, Hamdan, Struktur Data, C), (13598025, Hamdan, Ars. Komputer, B)} Relasi MHS di atas juga dapat ditulis dalam bentuk Tabel : NIM Nama Matkul Nilai 13598011 Amir Matematika Diskrit A 13598011 Amir Arsitektur Komputer B 13598014 Santi Algoritma D 13598015 Irwan Algoritma C 13598015 Irwan Struktur Data C 13598015 Irwan Arsitektur Komputer B 13598019 Ahmad Algoritma E 13598021 Cecep Algoritma B 13598021 Cecep Arsitektur Komputer B 13598025 Hamdan Matematika Diskrit B 13598025 Hamdan Algoritma A 13598025 Hamdan Struktur Data C 13598025 Hamdan Arsitektur Komputer B - 49 -
  • 50. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 1. Basis Data Basisdata (database) adalah kumpulan tabel. Salah satu model basisdata adalah model basisdata relasional (relational database). Model basisdata ini didasarkan pada konsep relasi n-ary. Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiap kolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalah himpunan tempat semua anggota atribut tersebut berada. Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik sebagai sebuah file. Satu baris data pada tabel menyatakan sebuah record, dan setiap atribut menyatakan sebuah field. Secara fisik basisdata adalah kumpulan file, sedangkan file adalah kumpulan record, setiap record terdiri atas sejumlah field. Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik elemen relasi disebut kunci (key). 2. Query Query adalah operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintah pertanyaan. Query terhadap basis data relasional dapat dinyatakan secara abstrak dengan operasi pada relasi n-ary. Contoh query : 1. “tampilkan semua mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematika Diskrit” 2. “tampilkan daftar nilai mahasiswa dengan NIM = 13598015” 3. “tampilkan daftar mahasiswa yang terdiri atas NIM dan mata kuliah yang diambil” Ada beberapa operasi yang dapat digunakan, diantaranya adalah seleksi, proyeksi, dan join. Biar lebih jelas, mari kita simak penjelasan dibawah ini. A. Seleksi Operasi seleksi adalah memilih baris tertentu dari suatu tabel yang memenuhi persyaratan tertentu. - 50 -
  • 51. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 Contoh : Misalkan untuk relasi MHS kita ingin menampilkan daftar mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematik Diskrit. NIM Nama Matkul Nilai 13598011 Amir Matematika Diskrit A 13598011 Amir Arsitektur Komputer B 13598014 Santi Algoritma D 13598015 Irwan Algoritma C 13598015 Irwan Struktur Data C 13598015 Irwan Arsitektur Komputer B 13598019 Ahmad Algoritma E 13598021 Cecep Algoritma B 13598021 Cecep Arsitektur Komputer B 13598025 Hamdan Matematika Diskrit B 13598025 Hamdan Algoritma A 13598025 Hamdan Struktur Data C 13598025 Hamdan Arsitektur Komputer B Operasi seleksinya adalah : Matkul = ”Matematika Diskrit” (MHS) Hasil nya adalah : NIM Nama Mata Kuliah Nilai 13598011 Amir Matematika Diskrit A 13598025 Hamdan Matematika Diskrit B B. Proyeksi Operasi proyeksi adalah memilih kolom tertentu dari suatu tabel. Jika ada beberapa baris yang sama nilainya, maka hanya diambil satu kali. - 51 -
  • 52. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 Contoh : NIM Nama Matkul Nilai 13598011 Amir Matematika Diskrit A 13598011 Amir Arsitektur Komputer B NIM Nama 13598014 Santi Algoritma D 13598011 Amir 13598015 Irwan Algoritma C 13598014 Santi 13598015 Irwan Struktur Data C 13598015 Irwan 13598015 Irwan Arsitektur Komputer B 13598019 Ahmad 13598019 Ahmad Algoritma E 13598021 Cecep 13598021 Cecep Algoritma B 13598025 Hamdan 13598021 Cecep Arsitektur Komputer B 13598025 Hamdan Matematika Diskrit B 13598025 Hamdan Algoritma A 13598025 Hamdan Struktur Data C 13598025 Hamdan Arsitektur Komputer B NIM. Nama ( MHS) C. Join Operasi join adalah menggabungkan dua buah tabel menjadi satu bila kedua tabel mempunyai atribut yang sama. Contoh : Misalkan relasi MHS 1 dinyatakan dengan tabel 1 dan relasi MHS 2 dinyatakan dengan tabel 2. - 52 -
  • 53. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 Tabel 1 Tabel 2 NIM Nama JK NIM Nama Mata Kul Nilai 13598001 Hananto L 13598001 Hananto Algoritma A 13598002 Guntur L 13598001 Hananto Basis data B 13598004 Heidi W 13598004 Heidi Kalkulus B 13598006 Harman L 13598006 Harman Teori bahasa C 13598007 Karim L 13598006 Harman Agama A 13598009 Junaidi Statistik B 13598010 Farizka Otomata C Operasi Join nya adalah : NIM, NAMA ( MHS 1, MHS 2 ) NIM Nama JK Mata Kul Nilai 13598001 Hananto L Algoritma A 13598001 Hananto L Basis data B 13598004 Heidi W Kalkulus B 13598006 Harman L Teori bahasa C 13598006 Harman L Agama A - 53 -
  • 54. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 BAB V FUNGSI Fungsi adalah relasi yang khusus : 1. Tiap elemen di dalam himpunan A harus digunakan oleh prosedur atau kaidah yang mendefinisikan f 2. Frasa “dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B” berarti bahwa jika (a, b) dan (a, c) f f, maka b = c 3. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B , yang artinya f memetakan A ke B 4. A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f 5. Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b di dalam B 6. Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b. 7. Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B A B f a b Notasi : f:A B 8. Relasi dari himpunan A ke B disebut fungsi /pemetaan atau transformasi jika dan hanya jika tiap unsur dalam himpunan A berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur dalam himpunan B x Y=f(x) A B Y:x y = f (x) - 54 -
  • 55. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 Y = f(x) disebut rumus atau aturan untuk fungsi f X disebut peubah ( variabel ) bebas Y disebut peubah ( variabel ) tak bebas Y:x y = f (x) Supaya nilai F(x) adalah real maka harus ditentukan daerah asal Contoh : 1. f (x) = , maka x 2. g(x) = -1, jadi Df = {x|x R dan x -1} = sehingga g(x) bernilai real, maka (x-1)(x-3) sehingga x 1 dan x 3 jadi Dg = {x|x 0 R dan x 1;x 3} ; supaya h(x) bernilai real, maka x2 – 5x + 6 > 0 3. h(x) = (x – 2)(x – 3) > 0 sehingga x < 2 atau x > 3, jadi Dh = {x|x < 2 atau x > 3 ; x R} Fungsi dapat dispesifikasikan dalam berbagai bentuk, diantaranya : 1. Himpunan pasangan terurut, Seperti pada relasi. 2. Formula pengisian nilai (assignment). Contoh: f(x) = 2x + 10, f(x) = x2, dan f(x) = 1/x. 3. Kata-kata Contoh: “f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 di dalam suatu string biner”. 4. Kode program (source code) Contoh : Fungsi menghitung |x| function abs (x : integer) : integer; begin if x < 0 then abs:=-x else abs:=x; end; - 55 -
  • 56. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 1. JENIS – JENIS FUNGSI A. Fungsi Konstan / Fungsi Tetap Fungsi konstan mempunyai ciri khusus yaitu untuk semua unsur himpunan A berkaitan hanya dengan sebuah unsur dari himpunan B 1 2 a 3 4 B A f:x k, k = tetapan B. Fungsi Identitas Fungsi identitas mempunyai ciri khusus yaitu semua unsur dalam himpunan A berkaitan dengan dirinya sendiri. A B 1 1 2 2 3 3 4 4 I:x x, I (x) = x C. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi Genap Jika fungsi f memenuhi untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi genap. - 56 -
  • 57. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 y f(x) y = f(x) -x x x Catatan : grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu – y Contoh : f (x) = x2 +5 f(-x) = (-x)2 + 5 = x2 +5 = f(x) maka f(x) = x2 + 5 adalah fungsi genap Fungsi Ganjil Jika fungsi f memenuhi untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi ganjil. y y = f(x) f(x) x x = -f(x) -x Cacatan : Grafik Fungsi ganjil simetri terhadap titik asal. Contoh : f (x) = x3 -x f (-x) = (-x)3 – (-x) = - x3 + x = - (x3 – x ) = - f(x) maka f(x) = x3- x adalah fungsi ganjil. f (x) = x3 – 1 f (-x) = (-x)3 – 1 = - x3 – oleh karena f(-x) + f(x) dan f (-x) - f (x) maka f (x) = x3 – genap dan bukan fungsi ganjil.  Grafik fungsi genap selalu simetri atau setangkup terhadap sumbu Y  Grafik fungsi ganjil selalu simetri atau setangkup terhadap sumbu X - 57 - bukan fungsi
  • 58. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 D. Fungsi Linear Bentuk umum : y = f(x) = ax + b, a dan b konstanta a = kemiringan garis dan tidak sama dengan 0 b = perpotongan garis dengan sumbu-y Grafik : y = f(x) = ax + b memotong sumbu X di titik x = - dan memotong sumbu Y di titik b y y = ax + b b x E. Fungsi Kuadrat Grafik : y y y y = x2 y=x x y = x3 x 0 0 x 0 2. FUNGSI BERDASARKAN DAERAH HASIL a. Fungsi Surjektif Fungsi f : A B disebut fungsi surjektif – onto atau fungsi kepada jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau Rf = B Fungsi f : A B disebut fungsi surjektif – into atau fungsi kedalam jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f merupakan bagian dari himpunan B atau f : A - 58 - B
  • 59. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 1 1 a 2 b 3 c 4 4 d A A a 2 b 3 B B Fungsi surjektif onto e Fungsi surjektif into b. Fungsi Injektif / Fungsi Satu – Satu Fungsi f : A B disebut sebagai fungsi injektif atau fungsi satu-satu jika dan hanya jika untuk setiap a1, a2 A dan a1 a2 berlaku f (a1) f (a2) a 1 b 2 c 3 d 4 e f A B c. Bijektif Fungsi f : A B disebut sebagai fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi f sekaligus merupakan fungsi surjektif dan fungsi bijektif. - 59 -
  • 60. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 1 b 2 c 3 d 4 e A B Aljabar Fungsi Jika diketahui fungsi f(x) dan g(x) dan n adalah bilangan rasional Jumlah fungsi dan ditulis = + Selisih fungsi dan ditulis = - Perkalian fungsi Pembagian fungsi dan ditulis dan Perpangkatan fungsi = ditulis = dengan bilangan n ditulis = n Contoh soal : 1. f3 (x) - – Domain fungsi f3(x) adalah - {x|x 0 dan x R} 3. FUNGSI KOMPOSISI Karna fungsi merupakan bentuk khusus dari relasi, kita juga dapat melakukan komposisi dari dua buah fungsi. Misal kan G adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi f dan g, dinotasikan dengan f adalah fungsi dari A ke C yang didifinisikan oleh : ( - 60 - ) (a) = f (g(a)) ,
  • 61. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 ( ) (a) A B C g(a) f (g(a)) g(a) a f (g(a)) Komposisi dua buah fungsi Contoh soal : 1. Diberikan fungsi = x2 + 1. Tentukan = x – 1 dan dan Penyelesaian : (x) = f = f (x2 + 1) = x2 + 1 – 1 = x2 (x) = g = g (x – 1) = (x – 1)2 + 1 = x2 – 2x + 2 Ini memperlihatkan bahwa komposisi dua fungsi, f dan g, tidak komitatif, kecuali jika f = g 2. f(x) = 4x – 1 dan g(x) = x2 + 2 tentukan (x), (x), (x), penyelesaian : (x) = f = 4 (x2 + 2) – 1 = 4 x2 + 8 – 1 = 4 x2 + 7 (x) = g = (4x – 1)2 + 2 = 16 x2 – 8x + 1+2 = 16 x2 – 8x + 3 (x) = 4(4x – 1) – 1 = 16x – 4 – 1 = 16x – 5 (x) = (x2 + 2)2 + 2 = x4 + 4x2 + 4 +2 = x4 + 4x2 + 6 Sifat Fungsi Komposisi Contoh soal : 1. f(x)= 2x , g(x) x2 - 4x , h(x)= x2 + 1 - 61 - (x)
  • 62. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 a. (f = 2(x2 - 4x) = 2x2 - 8x g)(x) = f b. = (2x)2 - 4 =g c. = 4x2 – 8x (x) = = (x2 + )2 – 4(x2 + 1) = x4 + 2 x2 +1 - 4x2 – 4 = x4 - 2x2 – 3 = 2(x4 - 2x2 – 3) = 2x4 -4x2 – 6 (x) = 2x4 -4x2 – 6 d. I (f =x I)(x) = 2x 2. Menentukan fungsi jika fungsi komposisi dan fungsi lain diketahui a. (f g)(x) = 3x + 1 dan g(x) = x – 2 b. (f = x2 – 6x + 3 dan g(x) = x – 1 g)(x) Tentukan g (x) = ... ? Tentukan f (x) = ... ? (f (f g)(x) = 3x + 1 g)(x) = x2 – 6x + 3 = 3x + 1 = x2 – 6x + 3 2 = 3x + 1 (x – 1) = x2 – 6x + 3 (x – 1) = (x – 1)2 + 2x – 1 – 6x + 3 = 3x + 1 + 2 (x – 1) = (x – 1)2 – 4x + 2 g(x) = 3x + 3 (x – 1) = (x – 1)2 – 4(x – 1) - 4 + 2 (x – 1) = (x – 1)2 – 4(x – 1) – 2 f(x) = x2 – 4x – 2 4. FUNGSI INFERS Jika fungsi f : A → B dinyatakan dengan pasangan terurut, f : maka invers dari fungsi f adalah f - 1 : B → A dinyatakan dengan pasangan terurut. f : . x f y=f(x) x f – 1=invers y=f(x) A B - 62 - ,
  • 63. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 Cara mendapatkan fungsi infers : Ubah persamaan y = f(x) dalam bentuk x sebagai fungsi y Bentuk x sebagai fungsi y pada langkah pertama diberi nama f – 1(y) Ganti y pada f – 1(y) untuk mendapatkan f – 1(x) yang merupakan fungsi invers f(x) Contoh soal : Tentukan fungsi invers nya ! 1. Fungsi f(x) = x2 + 1 f(x) = y = x2 + 1 y – 1 = x2 x= f – 1(y) = = 2. Fungsi f(x) = x2 – 4x + 2, carilah fungsi invers nya ! f(x) = y = x2 – 4x+ 2 y – 2 = x2 – 4x y – 2 = (x – 2)2 – 4 ( selesaikan dengan kuadrat sempurna ) y – 6 = (x – 2)2 (x – 2) = X= +2 X = f – 1(y) = +2 = +2 Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi Contoh soal : 1. misalkan fungsi f(x) = x + 2, g(x) = 4 - 2x carilah rumus (f g)(x) dan (f g)- 1 (x) ! - 63 -
  • 64. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 Penyelesaian : a. fungsi komposisi (f = g(x) + 2 = 4 – 2x + 2 = -2x + 6 g)(x) = b. fungsi invers komposisi g(x)= y = 4 – 2x f(x) = y = x + 2 x=y–2 x= =x–2 (f g)- 1 (x) = (g-1 = )(x) = = = = c. fungsi invers komposisi (g (g f)- 1 (x) = (f-1 f)- 1 (x) )(x) = = -2 –2 = = - 64 -
  • 65. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 BAB VI ALGORITMA DAN BILANGAN BULAT 1. ALGORITMA Algoritma adalah urutan langkah-langkah logis penyelesaian masalah yang disusun secara sistematis. A. Notasi Untuk Algoritma 1. Deskripsi Algoritma dapat dituliskan dalam berbagai notasi, misalnya notasi kalimat deskriptif. Kalimat nya dijelaskan secara deskripsi pada setiap langkah – langkah dalam bahasa sehari –hari secara gemblang. Setiap langkah di awali dengan kata kerja seperti „kerja‟, „hidung‟ dan sebagai nya. Sedangkan pernyataan bersyarat dinyatakan dengan „jika ...maka...‟ . Contoh nya, kita akan menuliskan algoritma untuk mencari elemen terbesar dari sebuah himpunan yang beranggotakan n buah bilangan bulat. Bilangan bulat itu dinyatakan sebagai a1, a2, ... an. Elemen terbesar akan disimpan di dalam peubah ( variabel ) yang bernama maks. Algoritma Cari Elemen Terbesar : 1. Asumsikan a1 sebagai elemen terbesar sementara. Simpan a1 ke dalam maks. 2. Bandingkan maks dengan elemen a2, jika a2 > maks, maka nilai maks deganti dengan a2 3. Ulangi langkah ke 2 untuk elemen-elemen berikutnya (a3, a4, a5,…an) 4. Berhenti jika tidak ada lagi elemen yang dibandingkan . Dalam hal ini maks berisi nilai elemen terbesar. 2. Notasi bahasa komputer ( bahasa pemrograman ) Misalkan bahasa pascal atau bahasa C. Dalam bahsa pascal, algoritma mencari elemen terbesar ditulis seperti dibawah ini : Program carielementerbesar; Uses wincrt; Var i : integer; - 65 -
  • 66. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 Nmaks : 1000 (const); Begin Maks : = a(1); For i :=2 to n do If a(i) > maks then Maks := a(i); End. 3. Notasi Pseudo-code Karena sintaks yang rumit para ilmuan komputer lebih menyukai menuliskan algoritma dalam notasi yang lebih praktis, yaitu notasi Pseudo-code. Pseudo-code artinya semu atau tidak sebenarnya. Dengan menggunakan notasi Pseudo-code , algoritma mencari elemen terbesar di tuliskan sbb: Procedure CariElemenTerbesar (input a1,a2,...an : ineger, output maks : integer) Deklarasi i : integer algoritma : maks ← a1 for i ← 2 to n do if a1 > maks then maks ← a1 endif endfor B. Teorema Euclidean Misalkan m dan n bilangan bulat, n > 0. Jika m dibagi dengan n maka terdapat bilangan bulat unik q (quotient) dan r (remainder), sedemikian sehingga m = nq + r dengan 0 - 66 -
  • 67. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 Contoh : 1. 28 : 6 = 4, sisa 4 28 = 6 . 4 + 4 2. – 22 : 3 = - 8, sisa 2 -22 = 3 (- 8 ) + 2 Tapi -22 = 3(-7) – 1 salah Karena r = -1 (syarat 0 C. Algoritma Euclidean Tujuan : algoritma untuk mencari PBB dari dua buah bilangan bulat. Penemu : Euclides, seorang matematikawan Yunani yang menuliskan algoritmanya tersebut dalam buku, Element. Misalkan m dan n adalah bilangan bulat tak negatif dengan m n. Misalkan ro = m dan r1 = n. Lakukan secara berturut-turut pembagian untuk memperoleh : ro = r1q1 + r2 0 r2 r1, r1 = r2q2 + r3 0 r3 r2, rn– 2 = rn–1 qn–1 + rn 0 rn rn–1, rn–1 = rnqn + 0 Menurut Teorema 2, PBB(m, n) = PBB(r0, r1) = PBB(r1, r2) = … = PBB(rn– 2, rn– 1) = PBB(rn– 1, rn) = PBB(rn, 0) = rn Jadi, PBB dari m dan n adalah sisa terakhir yang tidak nol dari runtunan pembagian tersebut. Contoh : m = 80, n = 12 dan dipenuhi syarat m 80 = 6 . 12 + 8 n 12 = 1 . 8 + 4 8=2.4+0 Sisa pembagian terakhir sebelum 0 adalah 4, maka PBB(80, 12) = 4 - 67 -
  • 68. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 D. Pembagi Bersama Terbesar (PBB) Misalkan a dan b bilangan bulat tidak nol Pembagi bersama terbesar (PBB – greatest common divisor atau gcd) dari a dan b adalah bilangan bulat terbesar d sedemikian hingga d | a dan d | b. Contoh : Faktor pembagi 21 = 1, 3, 7, 21; Faktor pembagi 16 = 1, 2, 4, 8, 16; Faktor pembagi bersama 21 dan 16 : 1 Jadi, PBB (21, 16) = 1 Teorema : Misalkan m dan n bilangan bulat, dengan syarat n > 0 sedemikian sehingga m = nq + r , maka PBB(m, n) = PBB(n, r) Contoh : m = 60, n = 18, 60 = 18 . 3 + 6 maka PBB(60, 18) = PBB(18, 6) = 6 E. Kombinasi Lanjar PBB(a,b) dapat dinyatakan sebagai kombinasi lanjar (linear combination) a dan b dengan dengan koefisien-koefisennya. Contoh : PBB (80, 12) = 4 , 4 = (-1) . 80 + 7 . 12 Teorema : Misalkan a dan b bilangan bulat positif, maka terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga PBB (a, b) = ma + nb Contoh : Nyatakan PBB (21, 45) sebagai kombinasi lanjar dari 21 dan 45 Penyelesaian : 45 = 2 (21) + 3 21 = 7 (3) + 0 Sisa pembagian terakhir sebelum 0 adalah 3, maka PBB(45, 21) = 3 - 68 -
  • 69. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 Substitusi dengan persamaan–persamaan di atas menghasilkan : 3 = 45 – 2 (21) yang merupakan kombinasi lanjar dari 45 dan 21 Contoh soal : Nyatakan PBB (312, 70) sebagai kombinasi lanjar 312 dan 70 Penyelesaian : Terapkan algoritma Euclidean untuk memperoleh PBB (312, 70) 312 = 4 . 70 + 32 (i) 32 = 5 . 6 + 2 (iii) 70 = 2 . 32 + 6 (ii) 6=3.2+0 (iv) Sisa pembagian terakhir sebelum 0 adalah 2, maka PBB (312, 70) = 2 Susun pembagian nomor (iii) dan (ii) masing-masing menjadi 2 = 32 – 5 . 6 (iv) 6 = 70 – 2 . 32 (v) Sulihkan (v) ke dalam (iv) menjadi 2 = 32 – 5 . (70 – 2 . 32) = 1 . 32 – 5 . 70 + 10 . 32 = 11 . 32 – 5 . 70 (vi) Susun pembagian nomor (i) menjadi 32 = 312 – 4 . 70 (vii) Sulihkan (vii) ke dalam (vi) menjadi 2 = 11 . 32 – 5 . 70 = 11 . (312 – 4 . 70) – 5 . 70 = 11 . 312 – 49 . 70 Jadi, PBB (312, 70) = 2 = 11 . 312 – 49 . 70 - 69 -
  • 70. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 F. Relatif Prima Dua buah bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima jika PBB (a, b) = 1 Contoh : (i) 20 dan 3 relatif prima sebab PBB(20, 3) = 1 (ii) 7 dan 11 relatif prima karena PBB(7, 11) = 1 (iii) 20 dan 5 tidak relatif prima sebab PBB(20, 5) = 5 1 Contoh : Bilangan 20 dan 3 adalah relatif prima karena PBB(20, 3) = 1, atau dapat ditulis 2 . 20 + (–13) . 3 = 1 (m = 2, n = –13) Tetapi 20 dan 5 tidak relatif prima karena PBB (20, 5) = 5 1 sehingga 20 dan 5 tidak dapat dinyatakan dalam m . 20 + n . 5 = 1 G. Aritmetika Modulo Operator yang dipakai adalah mod ( memberikan sisa pembagian ) Contoh : Beberapa hasil operasi dengan operator modulo : (i) 23 mod 5 = 3 (23 = 5 . 4 + 3) (ii) 27 mod 3 = 0 (27 = 3 . 9 + 0) (iii) 6 mod 8 = 6 (6 = 8 . 0 + 6) - 70 -
  • 71. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 (iv) 0 mod 12 = 0 (v) – 41 mod 9 = 4 (vi) – 39 mod 13 = 0 (0 = 12 . 0 + 0) (–41 = 9 (–5) + 4) (–39 = 13(–3) + 0) Penjelasan untuk (v): Karena a negatif, bagi |a| dengan m mendapatkan sisa r‟. Maka a mod m = m – r‟ bila r‟ 0. Jadi |– 41| mod 9 = 5, sehingga –41 mod 9 = 9 – 5 = 4 H. Kongruen Misalnya 38 mod 5 = 3 dan 13 mod 5 = 3, maka dikatakan 38 13 (mod 5) (baca: 38 kongruen dengan 13 dalam modulo 5) Misalkan a dan b bilangan bulat dan m adalah bilangan > 0, maka a b (mod m) jika m habis membagi a – b. Jika a tidak kongruen dengan b dalam modulus m, maka ditulis a Contoh 1. 17 2 (mod 3) ( 3 habis membagi 17 – 2 = 15) 2. –7 15 (mod 11) (11 habis membagi –7 – 15 = –22) 3. 12 / 2 (mod 7) (7 tidak habis membagi 12 – 2 = 10 ) 4. –7 / 15 (mod 3) (3 tidak habis membagi –7 – 15 = –22) 1. 17 2 (mod 3) 17 = 2 + 5 . 3 2. –7 15 (mod 11) –7 = 15 + (–2)11 Contoh : a mod m = r dapat juga ditulis sebagai a r (mod m) Contoh : (i) 23 mod 5 = 3 23 3 (mod 5) - 71 - / b (mod m)
  • 72. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 (ii) 27 mod 3 = 0 27 0 (mod 3) (iii) 6 mod 8 = 6 6 6 (mod 8) (iv) 0 mod 12 = 0 0 0 (mod 12) (v) – 41 mod 9 = 4 –41 4 (mod 9) (vi) – 39 mod 13 = 0 – 39 0 (mod 13) Contoh Soal Dan Penyelesaian Nya : 1. Hitunglah hasil pembagian Modulo berikut : a. Mod 21 Mod 21 = : b. 0 Mod 34 = 34 Jawab : ( 0 = 34 · 0 + 34 ) c. – Mod 45 = : : 45 = d. – Sisa Mod 9 = : :9= Sisa 2. Tentukan PBB dari pasangan bilangan bulat a dan b berikut : a. PBB ( 220 , 1.400 ) Jawab : 1.400 = 6 · 220 + 80 220 = 2 · 80 + 60 - 72 -
  • 73. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 80 = 1 · 60 + 20 60 = 3 · 20 + 0 PBB ( 1.400 , 220 ), PBB (220 , 80 ), PBB ( 80 , 60 ), PBB ( 60 , 20 ), PBB ( 20 , 0 ) Jadi PBB nya adalah 20 Sisa pembagian terakhir sebelum 0 adalah 20, maka PBB ( 220 , 1.400 ) = 20 b. PBB ( 110 , 273 ) Jawab : 273 = 2 · 110 + 53 110 = 2 · 53 + 4 53 = 13 · 4 + 0 PBB ( 273 , 110 ), PBB ( 110 , 53 ), PBB ( 53 , 4 ), PBB ( 4 , 0 ), Jadi PBB nya adalah 4 Sisa pembagian terakhir sebelum 0 adalah 4, maka PBB ( 220 , 1.400 ) = 4 c. PBB ( 315 , 825 ) Jawab : 825 = 2 · 315 + 195 315 = 1 · 195 + 120 195 = 1 · 120 + 75 120 = 1 · 75 + 45 75 = 1 · 45 + 30 45 = 1 · 30 + 15 30 = 2 · 15 + 0 Sisa pembagian terakhir sebelum 0 adalah 15, maka PBB ( 315 , 825 ) = 15 d. PBB ( - 456 , 680 ) Jawab : 680 = 2 · ( - 456 ) + ( - 224 ) - 456 = 2 · ( - 224 ) + ( - 8 ) - 224 = 28 · ( -8 ) + 0 Sisa pembagian terakhir sebelum 0 adalah - 8, maka PBB ( - 456 , 680 ) = - 8 - 73 -
  • 74. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 3. Tentukan nilai X dan Y pada persamaan 58 x + 23 y = 128 Yang merupakan kombinasi lanjar dengan teori euclidean ? Jawab : 128 = 23 y + 58 x → 128 = 23 x a x 5 Y = 23 x 5 + 3 Y = n dan x = 5 c x = 13 X = 13 Y = 55 4. Tentukan himpunan penyelesaian dari 20 + 11 y = 2011 Yang merupakan kombinasi lanjar dengan teori euclidean ? Jawab : Jika y = 1, maka 20 + 11 = 2011 20 = 2011 – 11 20 = 2.000 = = 100 X= X = 10 Jadi, HP dari 20 + 11 y = 2011 adalah X = 10 5. Tentukan infersi dari a modulo m, jika a = - 39 dan m = 14 Jawab : - 39 Mod 14 = - 39 = 2 · 14 – 11 14 = - 1 · +3 - 11 = -2 3= -2=-2·1+0 +1 Jadi, infersi dari a modulo m, jika a = - 39 dan m = 14 adalah 1 - 74 -
  • 75. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 2. BILANGAN BULAT Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0 Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil yang mempunyai titik desimal, seperti 8.0, 34.25, 0.02 A. Proposisi Bilangan Bulat Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah Pembuktian : n=1 1=1= n=2 1+2=3= n = .................... ? contoh nya : 1. Setiap bilangan bulat positif n ( n 2 ) dapat dinyatakan dengan perkalian dari satu atau lebih bilangan prima 2. Untuk semua n 1, (n3 + 2n) adalah kelipatan 3 3. Untuk membayar biaya possebesar n sen dolar ( n 8 ) selalu d apat digunakan perangko 3 sen dan 5 sen 4. Di dalam sebuah pesta, setiap tamu berjabat tangan dengan tamu lain nya hanya sekali. Jika ada n orang tamu, maka jumlah jabat tangan yang terjadi adalah B. Prinsip Induksi Sederhana misalkan p (n) adalah proposisi perihal bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan positif n. Untuk membuktikan proposisi ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa - 75 -
  • 76. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 1. p (1) benar, dan 2. Jika p (n) benar maka p (n +1) juga benar untuk setiap n 1 Sehingga p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n Langkah 1 disebut sebagai basis induksi sedangkan langkah 2 disebut sebagai langkah induksi. Langkah induksi berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa p(n) benar, asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi. C. Prinsip Induksi Yang Dirampatkan Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) besar untuk semua bilangan bulat n n0 . untuk membuktikan ini kita perlu menunjukkan bahwa 1. P(n0 ) benar, dan 2. Jika p(n) benar untuk semua bilangan bulat n n0 . Misalkan p(n) adalah proposisi bahwa untuk semua bilangan bulat tak negatif 20 + 21 + 22 + ... + 2n = 2n+1 – 1 1. Basis induksi p(3) 20 + 21 + 22 + 23 = 23+1 – 1 2. Langkah induksi Misalkan p(n) = 20 + 21 + 22 + ... + 2n = 2n+1 – 1 Maka p(n+1) = 20 + 21 + 22 + ... + 2n + 2n+1 = 2(n+1) – 1 (buktikan) Bukti 20 + 21 + 22 + ... + 2n + 2n+1 = (20 + 21 + 22 + ... + 2n ) + 2n+1 = ( n+1 2 – 1) + 2n+1 – 1 = 2n+1 – 1 +2n+1 = 2n+1 +2n+1 – 1 = (2 x 2n+1) – 1 = (21 x 2n+1) –1 = (21 x 2n+1+1) – 1 = ( 2(n+1+1) – 1 - 76 -
  • 77. Universitas Putra Batam 2013 / 2014 Penutup Demikian lah makalah matematika diskrit ini saya buat, jika ada kata – kata saya yang kurang berkenan, mohon di maklumi. Karena setiap karya seorang manusia pasti ada kekurangan dan kelebihan nya. Saya juga sangat berterima kasih jika ada nya saran dan masukan dari pembaca, karena saran anda sangat bermanfaat dan membantu saya untuk pembuatan makalah yang selanjut nya. Ilmu matematika diskrit sangatlah berguna untuk kita di dalam kehidupan sehar – hari, tanpa ilmu matematika, kita dengan mudah saja di bodohi dan di per olok – olok kan oleh orang lain. Maka dari itu, marilah kita bersama – sama untuk belajar matematika, demi masa depan yang cerah. Karena pelajaran matematika sebenar nya bukan lah sulit, semua nya tergantung dari niat dan kefokusan kita dalam mempelajari nya , serta dengan sering – sering mempelajari contoh – contoh soal yang diberikan oleh dosen atau guru kita. Akhir kata saya ucapkan Assalammu‟alaikum Wr. Wb. Daftar Pustaka Muhir, Rinaldi, Matematika Diskrit, Bandung, 2005. Muhir, Rinaldi, Algoritma & Pemograman dalam Bahasa Pascal dan C++, Bandung, 2007. www.google.com www.wikipedia.com www.elearninguniversitasputrabatam.com - 77 -