Funciones de Lyapunov basado en Krasovskii
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  • 1. Funciones de Lyapunov basadas en la aplicación del Teorema de Krasovskii
  • 2. Ejemplos de control por seguimiento
    Objetivo: Obtener dinámica exponencialmente estable de la forma
    Raíces del siguiente polinomio en el semiplano izquierdo
    Sistema equivalente
    Autovalores: Parte real negativa
  • 3. Ejemplos de control por seguimiento (II)
    Forma canónica controlable
    Se aplica la estrategia de control
    Resulta
  • 4. Ejemplos de control por seguimiento (III)
    Ejemplo: Sea el modelo de un péndulo invertido
    Se define la ley de control
    Raíces en el semiplano izquierdo
    Sistema asintóticamente estable
  • 5. Ejemplos de control por seguimiento (IV)
    Resultado
  • 6. Ejemplos de control por seguimiento (V)
    Un eslabón robótico
    Se define la ley de control
    Resulta
    Un brazo articulado
    Se define la ley de control
    Resulta:
  • 7. Ejemplo de estabilización
    Sistema caótico de Duffin
    Se desea el siguiente sistema asintóticamente estable
    Se propone un controlador que cancele las no linealidades
  • 8. Ejemplo de estabilización (II)
    Resultado
  • 9. Jacobiano en lazo abierto
    Para representar al sistema
    Se define un conjunto de reglas, para cada función de estado
    Función no lineal equivalente
    FP Gausiana
  • 10. Jacobiano en lazo abierto (II)
    Basado en
    Se definen
    Se cumple
  • 11. Jacobiano en lazo abierto (III)
    Cálculo de términos del Jacobiano
    Basado en desarrollo resulta
  • 12. Jacobiano en lazo abierto (IV)
    Análisis del término Jacobiano
    El Jacobiano, evaluado en el punto de equilibrio x=0,
    nos informa de la estabilidad en el origen
    del sistema en lazo abierto
  • 13. Jacobiano en lazo cerrado
    Definición del conjunto de reglas
    ¡u en el consecuente!
  • 14. Jacobiano en lazo cerrado (II)
    Funciones equivalentes
    Después de desarrollar, se cumple
  • 15. Jacobiano en lazo cerrado (III)
    Diferencial del término Jacobiano (desarrollo)
    Expresiones y parámetros
    Planta
  • 16. Jacobiano en lazo cerrado (IV)
    Diferencial del término Jacobiano
    Evaluado en el punto x=0
  • 17. Teorema de Krasovskii
    Sistema no lineal
    Jacobiano:
    Puede representarse por:
    Si resulta definida negativa:
    Una función candidata de Lypunov es:
    Si, adicionalmente, se cumple:
    El sistema es global y asintóticamente estable en el punto de equilibrio
    La función candidata de Lyapunov se define en términos de f(x) y no de x
  • 18. Teorema de Krasovskii (II)
    Ejemplo
    Términos del Jacobiano
    Se cumple
    Función de Lyapunov
  • 19. Búsqueda de funciones de Lyapunov
    Sistema dinámico representado por sistemas borrosos
  • 20. Búsqueda de funciones de Lyapunov (II)
    Términos del Jacobiano en x=0
    [0, 1]
    [0, 1]
    Seleccionar parámetros de forma tal que
    Sea definida negativa, entonces
    Es una función de Lyapunov