Expresiones Algebraicas

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Expresiones Algebraicas

  1. 2. OPERACIONES ALGEBRAICAS I.Q. IGNACIO ROSALES ORTIZ PROFESOR DE MATEMÁTICAS e-mail: rosorig@gmail.com
  2. 3. BREVE INTRODUCCIÓN <ul><li>Desde nuestros primeros años de estudiantes, nuestros profesores, nos enseñaron a utilizar números y letras; principalmente en GEOMETRÍA . </li></ul><ul><li>De manera que, posiblemente de manera inconsciente, pero lo hicimos; empezamos a utilizar el ÁLGEBRA . </li></ul>
  3. 4. PRINCIPIOS BÁSICOS <ul><li>El ÁLGEBRA , lo podemos definir en forma sencilla, como la “ generalización de la aritmética ”; en ésta vamos a utilizar coeficientes y literales, en lugar de números concretos. </li></ul><ul><li>Antes de abordar nuestros temas, vamos a comenzar nombrando algunos conceptos básicos en álgebra: </li></ul><ul><ul><li>Los MONOMIOS </li></ul></ul><ul><ul><li>y los POLINOMIOS . </li></ul></ul>Breve Introducción
  4. 5. LOS MONOMIOS <ul><li>El MONOMIO , es la mínima expresión algebraica, en la cual consta de: </li></ul>Breve Introducción
  5. 6. <ul><li>EJEMPLOS: </li></ul><ul><li>Donde: </li></ul>Breve Introducción
  6. 7. LOS POLINOMIOS <ul><li>El POLINOMIO , no es otra cosa que la unión o sucesión de monomios unidos o interrelacionados por medio de un signo o alguna operación aritmética. </li></ul><ul><li>Se pueden dividir de acuerdo al número de términos que consta: </li></ul><ul><ul><li>BINOMIO : Polinomio de dos términos, </li></ul></ul><ul><ul><li>TRINOMIO : Polinomio de tres términos, </li></ul></ul><ul><ul><li>POLINOMIO : Se le da este nombre a los que ya son mayores de cuatro términos. </li></ul></ul>Breve Introducción
  7. 8. <ul><li>EJEMPLOS: </li></ul><ul><li>Donde: </li></ul><ul><li>Si marcamos con una “ x ”, los nombres de las siguientes expresiones, tenemos: </li></ul>Breve Introducción
  8. 9. <ul><li>Explicando un poco el polinomio. </li></ul><ul><li>Tomaremos la siguiente expresión: </li></ul><ul><li>Como son dos términos, entonces se llama: BINOMIO . </li></ul><ul><li>Tendiendo esto como base, entonces trabajaremos en lo siguiente: </li></ul>Primer Término Signo que une Segundo Término Breve Introducción
  9. 11. SUMA DE MONOMIOS
  10. 12. SUMA DE MONOMIOS <ul><li>Nosotros cuando empezamos a aprender cuestiones matemáticas, nuestros profesores, nos motivaron (posiblemente así lo fue) de la siguiente manera: </li></ul>
  11. 13. <ul><li>Desde ese momento, nosotros indirectamente empezábamos a utilizar el álgebra, ya que de una imagen o representación lo asimilábamos con un número. Veamos: </li></ul><ul><li>Representemos a cada manzana , por la letra “m” . Así que, nos queda de la siguiente manera: </li></ul>Suma de monomios
  12. 14. <ul><li>Retomando lo último, tenemos: </li></ul>Suma de monomios Sumamos las cuatro “ m”. El valor del coeficiente de la letra es 1 . <ul><li>También lo podemos hacer como, se nos habían enseñado por medio de conjuntos. Tenemos, por ejemplo: </li></ul><ul><li>PROBLEMA </li></ul>Enrique, tenía en su colección 4 carritos, y después adquirió otros 6 carritos. ¿Cuántos carritos tiene ahora? Nos resta preguntar: ¿Cuántas “m´s” hay? Pues hay 4m.
  13. 15. <ul><li>Ahora, representamos a los carritos con la letra “c”. Así, pues, tenemos: </li></ul>Suma de monomios <ul><li>Retomando lo último, lo representamos en forma gráfica y tenemos lo siguiente: </li></ul>4 Carritos 6 Carritos 10 Carritos ¡Y este es el resultado!
  14. 16. <ul><li>También podemos representar una suma de monomios con el cálculo del perímetro de una figura geométrica. Por ejemplo: </li></ul><ul><li>PROBLEMA </li></ul>Suma de monomios
  15. 17. SUMA DE POLINOMIOS
  16. 18. <ul><li>Partamos de un problema sencillo. </li></ul><ul><li>PROBLEMA: </li></ul>SUMA DE POLINOMIOS <ul><li>Comencemos con representarlo gráficamente: </li></ul>El día de ayer José Antonio, compró 7 aviones y 3 soldados; y el día de hoy, se compró 3 aviones y 5 soldados más. ¿Cuántos aviones y soldados tiene ahora?
  17. 19. <ul><li>Ahora, representamos a los aviones con “a” y a los soldados con “s”. Así, pues, tenemos: </li></ul>Suma de polinomios
  18. 20. <ul><li>Retomando lo último, tenemos: </li></ul>Suma de polinomios Para darle solución a este tipo de problemas, lo abordamos sumando por columnas; es decir, literales que sean iguales; “a” con “a” y “s” con “s”, en este caso. Quedándonos de la siguiente forma: ¡Y este es el resultado! Ahora sabemos que tiene: 10 aviones y 8 soldados. <ul><li>Se puede encontrar de la siguiente forma también: </li></ul><ul><li>A este fenómeno, también se le conoce como: REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES. </li></ul>
  19. 21. RESTA DE MONOMIOS
  20. 22. RESTA DE MONOMIOS <ul><li>Este tipo de ejercicio lo podemos abordar de igual manera que la suma, solo que ahora será sustracción de términos. </li></ul><ul><li>Partamos de un problema sencillo. </li></ul><ul><li>PROBLEMA: </li></ul>Enriqueta tenía 10 muñecas en su alcoba, el día que llegó su prima, le regaló 3 de las que tenía. ¿Cuántas muñecas le quedan?
  21. 23. <ul><li>Comencemos con representarlo gráficamente, (como Enriqueta regaló, entonces la operación será una sustracción). Por tanto, tenemos: </li></ul>Resta de monomios <ul><li>Representamos a las muñecas con “m” y realizamos la operación sustractiva. Quedándonos de la siguiente forma: </li></ul>
  22. 24. <ul><li>Aquí aplicamos lo que se aprendió, cuando se nos enseñó lo de suma y resta de números con signo. Recordemos: </li></ul>Resta de monomios ¡Y este es el resultado! Lo podemos representar de la siguiente manera:
  23. 25. Resta de monomios
  24. 26. RESTA DE POLINOMIOS
  25. 27. RESTA DE POLINOMIOS <ul><li>En este tipo de operaciones, lo que debemos aplicar, ante todo son las leyes de los signos para la multiplicación. </li></ul><ul><li>Recordemos: </li></ul><ul><li>Y decimos, “signos iguales se suman, signos diferentes se restan” . </li></ul>
  26. 28. <ul><li>Teniendo esto como base, realicemos un problema sencillo. </li></ul><ul><li>PROBLEMA: </li></ul>Resta de polinomios Luis Enrique, tenía 9 chocolates y 6 caramelos; si se comió 4 chocolates y 3 caramelos, ¿cuántos chocolates y caramelos le quedan? <ul><li>Representamos gráficamente esta situación; ahora, marcaremos a los chocolates con “x” y a los caramelos con “y”, una vez teniendo esto, realizamos la operación sustractiva. Quedándonos de la siguiente forma: </li></ul>
  27. 29. <ul><li>Colocándolo con las respectivas representaciones, nos queda: </li></ul>Resta de polinomios
  28. 30. <ul><li>Retomando lo anterior, tenemos: </li></ul>Resta de polinomios En este caso, vamos a realizar la sustracción. El signo de la resta solo afecta al polinomio (binomio) que ese encuentra en el sustraendo, la parte del minuendo, se queda igual. Es decir: El 4x, aunque no tiene signo pero se sobreentiende que es positivo. Aplicamos las leyes de los signos y de la distribución para la multiplicación, sabemos que “menos por más, es menos”. Quedándonos así: Realizamos las sumas o restas, por columnas como lo hicimos en la suma. 9x – 4x = 5x y 6y – 3y = 3y . Quedándonos por tanto, así: ¡Y este es el resultado!
  29. 31. SUMA Y RESTA DE MONOMIOS Y POLINOMIOS
  30. 32. <ul><li>Pueden presentarse, sumas y restas cuyos monomios llevan signo y exponente. Por ejemplo: </li></ul>Suma y resta de monomios y polinomios
  31. 33. <ul><li>Pueden presentarse, sumas y restas cuyos monomios y polinomios, llevan signo y exponente y teniendo otra manera de presentarlo. Por ejemplo: </li></ul>Suma y resta de monomios y polinomios
  32. 34. Suma y resta de monomios y polinomios
  33. 35. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIO POR MONOMIO
  34. 36. MULTPLICACIÓN DE MONOMIO POR MONOMIO <ul><li>Para poder resolver este tipo de problemas, tenemos que aplicar las leyes de los signos y de los exponentes, para la multiplicación. </li></ul><ul><li>Las leyes de los signos para la multiplicación, las hemos recordado; solo nos resta recordar la de los exponentes. </li></ul>NOTA: Solo recordaremos las que son aplicables en forma general, para este tipo de operaciones.
  35. 37. <ul><li>Veamos por ahora dos leyes de los exponentes, donde se aplica la multiplicación: </li></ul>Multiplicación de monomio por monomio ¡Es el mismo resultado!
  36. 38. <ul><li>Ahora hagamos lo siguiente: </li></ul>Multiplicación de monomio por monomio ¡Es el mismo resultado!
  37. 39. <ul><li>Una vez hecho el recordatorio, vayamos a realizar un ejercicio, donde apliquemos la multiplicación: </li></ul>Multiplicación de monomio por monomio <ul><li>Hagamos de cuenta que tenemos la siguiente situación: </li></ul>Comenzamos por los signos: “ menos por menos, es más ” Posteriormente, nos pasamos a los coeficientes, en este caso: 5 por 10, es 50 Por último nos vamos con las literales, en este caso como tienen exponentes, entonces aplicamos las leyes de los exponentes.
  38. 40. Multiplicación de monomio por monomio <ul><li>Dicho en otras palabras, tenemos: </li></ul>Aunque en la “ y ” no tiene exponente, pero se sabe que tiene el valor de 1.
  39. 41. Multiplicación de monomio por monomio
  40. 42. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIO POR BINOMIO
  41. 43. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIO POR BINOMIO <ul><li>Nuevamente, utilizaremos las leyes de los exponentes, de los signos y de la distribución para la multiplicación. </li></ul><ul><li>Recordemos, cómo es la ley distributiva para la multiplicación: </li></ul>
  42. 44. Multiplicación de monomio por polinomio Esta es la ley distributiva para la multiplicación y es ésta la que vamos a ocupar en nuestra operación.
  43. 45. <ul><li>Partamos de un ejercicio para aplicar esta situación: </li></ul><ul><li>PROBLEMA </li></ul><ul><li>Calcular el área del siguiente rectángulo: </li></ul>Multiplicación de monomio por polinomio ¡Y este es el resultado!
  44. 46. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIO POR POLINOMIO
  45. 47. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIO POR POLINOMIO <ul><li>De igual manera, vamos a utilizar las leyes de los signos y de los exponentes. </li></ul><ul><li>PROBLEMA </li></ul><ul><li>Calcular el área del siguiente cuadrado: </li></ul>Podemos abordar su cálculo, mediante el desglose de cada una de las figuras, como está compuesto por un cuadro grande, un pequeño y dos rectángulos, podemos calcular el área de cada una de ellas y luego sumarlas. Veamos:
  46. 48. <ul><li>Si lo resolvemos dividiendo el cuadrado en partes, quedaría de la siguiente manera: </li></ul>Multiplicación de polimio por polinomio Como el área de un cuadrado es: Sustituimos y nos queda: Y como el área de un rectángulo es: Sustituimos y nos queda: Pero como son dos rectángulos iguales los sumamos y entonces tenemos lo siguiente:
  47. 49. <ul><li>Retomando lo anterior (juntamos todas las áreas y las sumamos) tenemos: </li></ul>Multiplicación de polimio por polinomio Como tenemos términos semejantes, entonces reducimos: Nos queda, por tanto, como: ¡Y este es el resultado!
  48. 50. <ul><li>También lo podemos resolver de la siguiente forma: </li></ul><ul><li>Como sabemos, cada lado mide (x + 2) , entonces, aplicamos la fórmula para calcular el área de un cuadrado: </li></ul>Multiplicación de polimio por polinomio
  49. 51. <ul><li>Retomando lo anterior, tenemos: </li></ul>Multiplicación de polimio por polinomio Como tenemos términos semejantes, entonces reducimos: ¡Y este es el resultado! Multiplicamos los términos para poder encontrar el valor:
  50. 52. <ul><li>Lo podemos resolver, también de la siguiente manera: </li></ul>Multiplicación de polimio por polinomio Multiplicamos cada uno de los términos del binomio de abajo por cada uno de los términos del binomio de arriba. Se va a colocar de tal forma que queden términos semejantes para poder hacer la suma o resta correspondiente. ¡Y este es el resultado!
  51. 53. DIVISIÓN DE MONOMIO ENTRE MONOMIO
  52. 54. DIVISIÓN DE MONOMIO ENTRE MONOMIO <ul><li>De igual manera, vamos a utilizar las leyes de los signos y de los exponentes. </li></ul><ul><li>Pero ahora, vamos a ocupar otra ley, que es aplicable a la división. Veamos: </li></ul><ul><li>PROBLEMA </li></ul><ul><li>Realizar la siguiente operación: </li></ul>
  53. 55. División de monomio entre monomio
  54. 56. <ul><li>A lo que llegamos de conclusión: </li></ul>Calcular la altura del siguiente rectángulo, cuya área es: Y de base es: División de monomio entre monomio <ul><li>Aplicando este criterio realicemos el siguiente problema. </li></ul><ul><li>PROBLEMA </li></ul>En la división de dos números de la misma base y elevados a un exponente cada uno de ellos, va ser igual a la base elevado a la sustracción de sus exponentes.
  55. 57. División de monomio entre monomio Sustituimos en esta fórmula despejada, los valores tanto del área como de la base.
  56. 58. <ul><li>Retomando lo anterior, tenemos: </li></ul>División de monomio entre monomio Aquí comenzamos realizando las operaciones: primero se inicia con los signos (“ más entre más, es más ”, en este caso como son positivos ambos términos de la fracción, se sobreentiende la operación), posteriormente se hace la operación de los coeficientes y por último las literales, como tienen exponente aplicamos la ley del exponente para la división (en caso la ley del exponente que se aplica, es: Quedándonos de la siguiente forma: ¡Y este es el resultado!
  57. 59. DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE MONOMIO
  58. 60. DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE MONOMIO <ul><li>De igual manera, vamos a utilizar las leyes de los signos y de los exponentes, para la división. </li></ul><ul><li>Partamos de un ejercicio. </li></ul><ul><li>PROBLEMA </li></ul>Calcular la Base del rectángulo, si de área tiene: Y de altura:
  59. 61. <ul><li>Sustituyendo los valores, tenemos: </li></ul>División de polinomio entre monomio
  60. 62. División de polinomio entre monomio ¡Y este es el resultado! Primero dividimos la fracción de dos partes (como entonces la convertimos en una suma de monomio entre monomio (éste tipo de operaciones las realizamos en el tema anterior). Y aplicamos las leyes de los signos.
  61. 63. DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE POLINOMIO
  62. 64. DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE POLINOMIO <ul><li>En este tipo de problemas, lo podemos resolver por medio de dos métodos: </li></ul><ul><ul><li>Por “algoritmo” de la división y </li></ul></ul><ul><ul><li>Por división sintética . </li></ul></ul><ul><ul><li>Para resolver estos problemas, necesitaremos aplicar las leyes de los signos y de los exponentes para la división. </li></ul></ul><ul><ul><li>Veamos, comenzaremos con el primer método: </li></ul></ul>NOTA: Sólo trataremos estos dos métodos, para darle solución a una división entre polinomios.
  63. 65. a) “ALGORITMO” DE LA DIVISIÓN <ul><li>Antes de abordar la solución a este tipo de problemas, pongamos unas reglas: </li></ul><ul><ul><li>Se ordenan ambos polinomios en orden decreciente respecto al grado de la variable. </li></ul></ul><ul><ul><li>Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, con lo que se obtiene el primer término del cociente. </li></ul></ul><ul><ul><li>Al dividendo se le resta el producto del divisor por el primer término del cociente y se obtiene un primer residuo. </li></ul></ul>
  64. 66. <ul><ul><li>Se divide el primer término de este residuo entre el primer término del divisor, con lo que se obtiene el segundo término del cociente. </li></ul></ul><ul><ul><li>Se procede de manera similar hasta obtener un residuo cero o de grado menor que el divisor. </li></ul></ul><ul><ul><li>Se comprueba el resultado verificando que: </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>(cociente) (divisor) + residuo = dividendo. </li></ul></ul></ul>División de polinomio entre polinomio &quot;Algoritmo&quot; de la división <ul><li>Comencemos con un ejercicio: </li></ul>
  65. 67. División de polinomio entre polinomio &quot;Algoritmo&quot; de la división
  66. 68. <ul><li>Retomando lo anterior, tenemos: </li></ul>Este término lo vamos a colocar en la parte superior de nuestra división, en la segunda posición donde van los términos que tienen solo una “x” (como sabemos el exponente es 1, no se pone porque se sobreentiende). Quedándonos así: División de polinomio entre polinomio &quot;Algoritmo&quot; de la división
  67. 69. <ul><li>Retomando lo anterior, tenemos: </li></ul>Una vez realizada la multiplicación de 2x (3x -2); los colocamos en la parte inferior de nuestra división. Pero aquí hay una característica, como estamos dividiendo vamos a cambiar los signos, es decir, 2x (-2) = - 4x , pero como estamos dividiendo el resultado lo ponemos como + 4x ; al igual que, 2x (3x) = 6x , como estamos dividiendo, lo ponemos como - 6x . Realizamos las sumas y restas correspondientes, quedándonos así: Ahora, bajamos el último término, que en este caso es: + 4. División de polinomio entre polinomio &quot;Algoritmo&quot; de la división
  68. 70. <ul><li>Retomando lo anterior, tenemos: </li></ul>De igual manera, éste número lo colocamos en la parte superior de nuestra de división (cociente) y multiplicamos el número por el divisor. División de polinomio entre polinomio &quot;Algoritmo&quot; de la división
  69. 71. <ul><li>Retomando lo anterior, tenemos: </li></ul>Nuevamente, multiplicamos -2(3x -2); poniendo el resultado en la parte inferior de la división. Recordando sólo que, como estamos dividiendo hay que cambiar el signo (en -2(3x) = - 6x , pero como estamos en la división queda: + 6x ; de igual forma - 2(-2) = + 4 , pero como estamos dividiendo queda: - 4 ). Así, pues, tenemos: Realizamos las sumas y restas correspondientes, nos queda cero en ambos términos, dándonos a entender que es exacta la división División de polinomio entre polinomio &quot;Algoritmo&quot; de la división
  70. 72. <ul><li>Retomando lo anterior, concluimos: </li></ul>¡Y este es el resultado! ¡FELICIDADES! División de polinomio entre polinomio &quot;Algoritmo&quot; de la división
  71. 73. b) DIVISIÓN SINTÉTICA <ul><li>Este método lo único que tenemos que hacer es lo siguiente: </li></ul><ul><ul><li>En primer lugar, dejamos de escribir las potencias de “x” y únicamente escribimos los coeficientes ; </li></ul></ul><ul><ul><li>En segundo lugar, sólo escribimos las operaciones relevantes. </li></ul></ul><ul><ul><li>Partimos de una situación, el término del divisor es: </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>(x – a) </li></ul></ul></ul>
  72. 74. <ul><ul><ul><li>(x – a), es el término del divisor. Por ejemplo: </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Si tuviéramos: (x – 3), el valor de a = 3 ; en el caso de tener: ( x + 3), ahora el valor de a = - 3. </li></ul></ul></ul>División de polinomio entre polinomio División sintética <ul><li>Retomando lo anterior, tenemos: </li></ul>PROBLEMA Resolver la siguiente operación:
  73. 75. División de polinomio entre polinomio División sintética Primero, tomamos el valor de “ a ” y lo colocamos en un casillero, éste nos va a servir de multiplicador. Posteriormente, colocamos en línea los valores de los coeficientes en forma descendente (el 2 corresponde al valor del x al cuadrado, el 8 del término en x y el – 10 el término independiente). Finalmente, bajamos el primer término (en este caso es, 2). <ul><li>Una vez, teniendo esto, nos vamos a las operaciones: </li></ul>El valor de “a” que es – 5, lo vamos a multiplicar por 2 y el resultado lo colocamos en la parte intermedia debajo del segundo término, luego sumamos las dos cantidades: 8 – 10 = - 2. Quedándonos así:
  74. 76. División de polinomio entre polinomio División sintética Descrito gráficamente lo anterior, así es lo que tenemos. Una vez teniendo esto, pasamos al paso siguiente que es: <ul><li>Retomando lo anterior, tenemos: </li></ul>Multiplicar el valor de “a” que es – 5, por el número encontrado en la última suma que es, - 2; quedándonos así: (- 5)(- 2) = + 10. Y luego realizamos la suma, dándonos como resultado: cero (0). Esto significa que es exacta nuestra división.
  75. 77. División de polinomio entre polinomio División sintética <ul><li>Retomando lo anterior, concluimos: </li></ul>Estos dos números son los que vamos a tomar, pero los vamos a tomar de la siguiente manera: El primer 2 corresponderá al primer término: “2x” y el segundo, será el otro término así como está, sin incógnita: - 2. El último número corresponderá al residuo, en este caso, no hay residuo. <ul><li>El resultado es: </li></ul>(2x – 2) ¡Y este es el resultado! ¡FELICIDADES!
  76. 78. ¡Gracias! ¡Hasta pronto!

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