Atbalsta Konsultcijas
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Atbalsta Konsultcijas

on

  • 2,996 views

 

Statistics

Views

Total Views
2,996
Views on SlideShare
2,994
Embed Views
2

Actions

Likes
1
Downloads
12
Comments
0

2 Embeds 2

http://www.slideshare.net 1
http://avvmatematika.blogspot.com 1

Accessibility

Upload Details

Uploaded via as Microsoft Word

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Atbalsta Konsultcijas Atbalsta Konsultcijas Document Transcript

  • Projekts „Atbalsts vispārējās izglītības pedagogu nodrošināšanai prioritārajos mācību priekšmetos”” (Vienošanās Nr. 2008/0001/1DP/1.2.1.2.2./08/IPIA/VIAA/002) Darbības ar skaitļiem Zīmju likumi Piemēri Ja skaitļiem ir vienādas zīmes-saskaitam un rezultātam *-2 – 4= - 6 liekam to zīmi, kura ir šiem skaitļiem. * 3 + 5= +8 Ja skaitļiem ir dažādas zīmes no lielākā skaitļa atņem *– 8 + 3= - 5 mazāko un rezultātam liek to zīmi, kura ir lielākam *– 2 + 8= +6 skaitlim. Reizinot vai dalot skaitļus ar Reizinot vai dalot skaitļus vienādām zīmēm rezultātā ar dažādām zīmēm liekam „+” zīmi. rezultātā liekam „-„ zīmi. + •− = − + •+ = + − •+ = − * 3 • 4 = 12 * 2 • (−5) = −10 − •− = + + ÷− = − * −2 • (−3) = 6 * −7 • 2 = −14 + ÷+ = + − ÷+ = − *9 ÷ 3 = 3 * 8 ÷ (−2) = −4 − ÷− = + * −15 ÷ (−5) = 3 * −16 ÷ 4 = −4 Darbības ar parastām daļām Piemēri Saskaitot vai atņemot daļskaitļus, ja ir vienādi saucēji: 2 3 2+3 5 + = = saskaita vai atņem skaitītājus, sausnejs nemainās: 7 7 7 7 a c a±c 7 2 7−2 5 ± = − = = b b b 9 9 9 9 Saskaitot vai atņemot daļas ar dažādiem saucējiem, rīkojas šādi: • atrod kopsaucēju – skaitli, kurš dalās ar abu daļu saucējiem; 15 3 4 5 + 12 17 • kopsaucēju izdala ar katras daļas saucēju; + = = 4 5 20 20 • pieraksta katrai daļai papildreizinātāju • sareizina daļu skaitītājus ar papildreizinātājiem un izpilda to saskaitīšanu vai atņemšanu 25 21 10 − 2 8 2 −1 = 1 =1 a c ad ± bc 3 15 15 15 ± = b d bd Reizinot daļas: sareizina daļu skaitītājus un daļu saucējus. Saīsina , ja daļu skaitītājā un saucēja ir vienādi 3 2 3• 2 1•1 1 • = = saī sin am = = dalītāji t.i.daļas skaitītājs un saucējs dalās ar vienu un to 12 9 12 • 9 6 • 3 18 pašu skaitli. a c a•c • = b d b•d Dalot daļas: 8 2 8•3 4 •1 4 1 • pirmās daļas skaitītāju reizina ar otrās daļas ÷ = = saī sin am = = =1 saucēju un rezultātu raksta daļas skaitītāja; 9 3 9•2 3 •1 3 3 • pirmās daļas saucēju reizina ar otrās daļas skaitītāju un rezultātu raksta daļas saucējā; 3 Ja daļa ir jaukta t.i. piemēram: 2 ,izpildot • saīsināt daļas drīkst tikai tad, kad dalīšanas zīme 4 © sk. Vija Vaičule 1
  • Projekts „Atbalsts vispārējās izglītības pedagogu nodrošināšanai prioritārajos mācību priekšmetos”” (Vienošanās Nr. 2008/0001/1DP/1.2.1.2.2./08/IPIA/VIAA/002) tiek aizstāta ar reizināšanas zīmi. reizināšanu vai dalīšanu to pārveido par neīsto a b a•d 3 2 • 4 + 3 11 ÷ = šādi: 2 = = c d c•b 4 4 4 Darbības ar decimāldaļām Piemēri Saskaitot vai atņemot daļas rakstos: • skaitļu paraksta citu zem cita 25,12 52,78 • veselos zem veseliem + 0,15 - 10,28 • komatu zem komata 25,27 42,50 • desmitdaļas zem desmitdaļām un simtdaļas zem simtdaļām un t.t. 2,8 • 1,3 = 3,64 • saskaitīšanu vai atņemšanu iesāk ar zemākajām 28,5 • 600 = 17100,0 šķirām Decimāldaļas reizina kā veselus skaitļus, komatu neievērojot, bet pēc tam reizinājumā ar komatu no labās puses atdala tik decimālciparu, cik to ir abos reizinātājos kopā. 25,3 • 100 = 2530 Reizinot dec.daļas ar 10, 100, 1000 un t.t. komats jāpārceļ 0,13 • 10 = 1,3 par 1, 2, 3 vietām uz labo pusi. Skaitli ar decimāldaļu dala tā: dalītāja, bet dalāmajā pārceļ komatu par tik cipariem uz labo pusi, cik decimālciparu 2,76 ÷ 1,2 = 27,6 ÷ 12 = 2,3 dalītājā. Pēc tam dala kā veselu skaitli. Dalot dec.daļas ar 10, 100, 1000 un t.t. komats jāpārceļ par 82,7 ÷ 10 = 8,27 1, 2, 3 vietām uz kreiso pusi. 1,3 ÷ 100 = 0,013 Darbību kārtība Piemēri Ja skaitliskā izteiksmē ir iekavas, saskaitīšana atņemšana 2  1 vai reizināšana un dalīšana, tad 2,7 − 4 ÷  3,7 ⋅ 3,04 − 0,744 ⋅  =2,3 5  3 • izpilda darbības iekavās : reizina vai dala un saskaita 1)3,7 ⋅ 3,04 = 11,248 vai atņem; • reizina vai dala; 1 0,744 ⋅ 1 2)0,744 ⋅ = = 0,248 • atņem vai saskaita. 3 3 3)11,248 − 0,248 = 11 2 22 22 ⋅ 1 2 4)4 ÷ 11 = ÷ 11 = = = 0,4 5 5 5 ⋅ 11 5 5) 2,7 − 0,4 = 2,3 Darbības ar pakāpēm Piemēri a = a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a n a m ⋅ a n = a m+n 1 2 = 2⋅2⋅2 = 8 3 3 2 ⋅ 33 = 3 2+3 = 35 = 243 a −n = n n − reizes a m ÷ a n = a m−n a −n n a0 = 1 (a ) = a m n m⋅n a   =  b b a a =a 1 ( ab ) = a m ⋅ b m m m a m a m a n = n am   = m b b © sk. Vija Vaičule 2
  • Projekts „Atbalsts vispārējās izglītības pedagogu nodrošināšanai prioritārajos mācību priekšmetos”” (Vienošanās Nr. 2008/0001/1DP/1.2.1.2.2./08/IPIA/VIAA/002) 4 6 ÷ 4 3 = 4 6−3 = 4 3 = 64 1 1 5 −2 = 2 = 5 25 3⋅2 (2 ) = 2 = 2 6 = 64 3 2 −2 2 3 2 4   =  = 2 3 9 1 27 = 3 271 = 3 3 2 3 ⋅ 33 = 6 3 = 216 3 3 33 27   = 3 = 4 4 64 © sk. Vija Vaičule 3 View slide
  • Projekts „Atbalsts vispārējās izglītības pedagogu nodrošināšanai prioritārajos mācību priekšmetos”” (Vienošanās Nr. 2008/0001/1DP/1.2.1.2.2./08/IPIA/VIAA/002) Algebrisko vienādojumu risināšana Vienādojumu risināšana Piemērs Risinot lineāro vienādojumu: 1. • nezināmos locekļus pārnes uz vienādojuma 8( x + 7 ) − 6( x − 5) = 86 kreiso pusi, bet zināmos – uz labo pusi; 8 x + 56 − 6 x + 30 = 86 • pārnesot locekli uz vienādības otru pusi, tam 8 x − 6 x = 86 − 56 − 30 jāmaina zīmi; 2x = 0 • vienkāršo izteiksmes katrā vienādības pusē – 0 savelkot līdzīgus locekļus; x= =0 • izsaka mainīgo – dalot labo pusi ar koeficientu 2 2.  ax = b  5( 2 x + 1) + 2( 4 x + 3) = 2 x − 1   pie nezināmā kreisajā pusē :  b  10 x + 5 + 8 x + 6 = 2 x − 1 x =   a  10 x + 8 x − 2 x = −1 − 5 − 6 • ja vienādojumā ir iekavas, tad atver tās: 16 x = −12 1. reizina ar iekavas izteiksmi skaitli kas − 12 3 atrodas pirms iekavas; x= =− 16 4 2. maina zīmes, ja iekavas priekšā ir skaitlis ar „-„ zīmi. Risinot racionālo vienādojumu (daļveida) 1. • visus locekļus pārnes vienā pusē, otrā pusē 15 − y 2 y + 16 − =1 paliek 0; 6 5 • iegūto izteiksmi pārveido par daļu (nosaka 15 − y 2 y + 16 − −1 = 0 kopsaucēju, saliek papildreizinātājus); 6 5 • daļa = 0, ja skaitītājs = 0, bet saucējs nav 0 5(15 − y ) − 6( 2 y + 16) − 30 =0 f ( x)  f ( x) = 0 30 t.i., = 0, ja  75 − 5 y − 12 y − 96 − 30 = 0 g ( x)  g ( x) ≠ 0 − 17 y = −75 + 96 + 30 − 17 y = 51 51 y=− = −3 17 2. 5 3 = 3x + 1 4 x − 2 5 3 − =0 3x + 1 4 x − 2 5( 4 x − 2) − 3( 3 x + 1) =0 ( 3x + 1) ⋅ ( 4 x − 2) 20 x − 10 − 9 x − 3 = 0 11x = 13 13 2 x= =1 11 11 3 x + 1 ≠ 0;4 x − 2 ≠ 0 3 x ≠ −1;4 x ≠ 2 1 2 1 x ≠ − ;x ≠ ≠ 3 4 2 2 Atbilde : x = 1 11 © sk. Vija Vaičule 4 View slide
  • Projekts „Atbalsts vispārējās izglītības pedagogu nodrošināšanai prioritārajos mācību priekšmetos”” (Vienošanās Nr. 2008/0001/1DP/1.2.1.2.2./08/IPIA/VIAA/002) Nevienādības ar vienu nezināmo Lineāras nevienādības Piemērs Risinot lineāru nevienādību: 1. • nezināmos locekļus pārnes vienā pusē, bet − 3( 4 − x ) + 7 < −3( x + 2 ) − 3 zināmos otrā pusē; − 12 + 3 x + 7 < −3 x − 6 − 3 • vienkāršo izteiksmes katrā nevienādību pusē 3 x + 3 x < −6 − 3 + 12 − 7 un iegūst nevienādības: ax > b(ax < b; ax ≤ b; ax ≥ b) ; 6 x < −4 • izsakot nezināmu labo pusi t.i. b dala ar a un −4 x< b 12 iegūst x > ; a 1 x<− • ja koeficients pie xt.i.a < 0 , tad izsakot 3 nezināmo nevienādības zīme jāmaina uz pretējo; • iegūto rezultātu atliek uz skaitļu taisnes ar  1 x ∈  − ∞;−  „caurspīdīgu” punktu, ja nevienādības zīme ir  3 > vai <; un ar „iekrāsotu, tumšu”punktu, ja 2. nevienādības zīmes ir ≤ vai ≥ ; 4x + 7 ≤ 6x + 1 • intervāla galā, kurš beidzas vai sākas ar gaišu 4x − 6x ≤ 1 − 7 punktu liek apaļas iekavas ( ). Ja intervāls − 2 x ≤ −6 sākas vai beidzas ar aizkrāsotu punktu liek nevienādības zīme jāmaina! konturiekavas [ ] ; −6 x≥ • iegūto rezultātu pieraksta nosaucot kuram −2 intervālam pieder ∈ x. x≥3 x ∈ [ 3; ∞ ) Daļveida nevienādības Piemērs Risinot daļveida nevienādību: x −1 • visus locekļus pārnes vienā pusē; ≥0 x+3 f ( x) 1. • pārveido izteiksmi par daļu g ( x ) > 0(≥; <; ≤) ; x − 1 = 0; x + 3 ≠ 0 Intervālu metode x = 1; x ≠ −3 1. Skaitītāju pielīdzina 0 f ( x) = 0; Punktu 1 uz taisnes atliek ar tumšu, aizpildītu punktu, 2. Saucējs nedrīkst būt vienāds ar 0 bet – 3 ar caurspīdīgu punktu! g ( x) ≠ 0; 3. Iegūtos rezultātus atliek uz taisnes (tās x vērtības ar kuriem saucējs ir 0 nedrīkst būt iekrāsoti punkti), sadalot to intervālos. Izvēloties 0 no vidējā intervāla 4. Nosaka daļas zīmi vienā no intervāliem nosakām daļas zīmi: izvēloties kādu skaitli no intervāla. 5. Blakus intervālos zīmes mainās: (+;-;+;- un Blakus intervālos liekam zīmes”+” t.t.). Nevienādības zīme ir , jāizvēlas 6. Atzīmē nevienādībā prasīto: ja intervālus ar ”+” zīmi. nevienādībai ir zīme > vai ≥ , tad izvēlas Atbilde: intervālus ar „+” zīmi, bet ja nevienādībai ir zīmes < vai ≤ , tad jāizvēlas intervāli ar „-„ zīmi. 7. uzraksta atbildi. © sk. Vija Vaičule 5
  • Projekts „Atbalsts vispārējās izglītības pedagogu nodrošināšanai prioritārajos mācību priekšmetos”” (Vienošanās Nr. 2008/0001/1DP/1.2.1.2.2./08/IPIA/VIAA/002) Kvadrātnevienādības Piemērs Lai atrisinātu kvadrātnevienādību 1. ax 2 + bx + c ≥ 0(> 0; < 0; ≤ 0) x 2 + 6x − 7 < 0 • visus locekļus pārnes vienā pusē; x 2 + 6x − 7 = 0 • pārveido lai a > 0; D = 6 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−7) = 36 + 28 = 64 ax 2 + bx + c = 0 − 6 − 64 − 6 − 8 − 14 D = b 2 − 4ac x1 = = = = −7 • atrod saknes; 2 ⋅1 2 2 −b± D −6+8 2 x1, 2 = x2 = = =1 2a 2 2 • atliek iegūtās saknes uz taisnes; • risinot izmanto intervālu metodi, ja Punkti sadala taisni 3 intervālos, nosakam zīmi videjā kvadrātvienādojumam ir saknes; intervālā izvēloties 0 : iegūstam 0 2 + 6 ⋅ 0 − 7 = −7 • vai uzskicē parabolu, ja sakņu nav : Izvēlētā intervālā ir „-„zīme, tad blakus intervālos ir a) ja a > 0 ,tad parabolas zari vērsti uz „+” zīmes. augšu ∪ Nevienādības zīme ir <, tātad jāizvēlas intervāls ar „- b) ja a < 0 , tad parabolas zari vērsti uz „ zīmi. leju  Atbilde x ∈ ( − 7;1) 2. x − 4x + 5 > 0 2 D = 16 − 20 = −4 Kvadrātvienādojumam sakņu nav un ar intervālu metodi izrēķināt nevar .Risinājumam izmantojam parabolu, kuru attēlojam virss x ass ar zariem uz augšu Atbilde x ∈ ( − ∞; ∞ ) © sk. Vija Vaičule 6
  • Projekts „Atbalsts vispārējās izglītības pedagogu nodrošināšanai prioritārajos mācību priekšmetos”” (Vienošanās Nr. 2008/0001/1DP/1.2.1.2.2./08/IPIA/VIAA/002) Kvadrātvienādojumi Piemēri Lai atrisinātu kvadrātvienādojumu ax 2 + bx + c = 0 , • Visus locekļus pārnes vienādības kreisajā pusē; • Vienkāršo izteiksmi; • Ja koeficients a < 0 , vienādojuma abas puses reizina ar (-1). Vispārīgais Reducētājs 1. kvadrātvienādojums kvadrātvienādojums x 2 + 5x − 6 = 0 ax + bx + c = 0 2 Ja kv v. ax + bx + c = 0 2 x1 ⋅ x 2 = −6 D = b − 4ac 2 Izdalīt ar a , iegūsim: x1 + x 2 = −5 b c −b± D x + x+ =0 2 x1 = −6 x1, 2 = a a 2a b c x2 = 1 1. Ja D > 0 , tad Apzīmēsim = p; = g a a 1 ⋅ (−6) = −6, bet kv.v. ir divas Iegūto vienādojumu jo dažādas saknes: − 6 + 1 = −5 x 2 + px + g = 0 sauc pa 2. x1unx 2 . reducēto. Vienādojuma x 2 + 5 x − 14 = 0 2. Ja D = 0 , tad atrisināšanai var izmantot x ⋅ x = −14 kv.v. ir divas Vjeta teorēmu: sakņu 1 2 vienādas saknes: summa ir otrais koef. ar x1 + x 2 = −5 b x1 = x 2 = − pretējo zīmi x1 + x 2 = − p x1 = −7 2a sakņu reizinājums ir x2 = 2 3. Ja D < 0 , tad kv.v. brīvais loceklis: sakņu nav 2 ⋅ (−7) = −14, bet x1 ⋅ x 2 = g jo − 7 = 2 = −5  x1 + x 2 = − p  Vjeta teor.  x1 ⋅ x 2 = g Nepilnie kvadrātvienādojumi Piemēri b=c=0 c=0 b=c=0 c=0 ax = 0 2 ax + bx = 0 2 b=0 x 2 −3 x = 0 x1, 2 = 0 x(ax + b) = 0 ax + c = 0 2 3x = 0 2 x ( x −3) = 0 x1 = 0vaiax + b = 0 ax = −c 2 0 x2 = = 0 x = 0vaix −3 = 0 c 3 x1, 2 = ± − x1, 2 = 0 = 0 x2 = 3 ax = −b a b Kv.v.ir saknes, x2 = − c b=0 a ja − ≥ 0 a 5 x 2 − 20 = 0 5 x 2 = 20 20 x2 = =4 5 x1, 2 = ± 4 = ±2 x1 = 2; x 2 = −2 © sk. Vija Vaičule 7