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  • 1. Autovalor, Autovetor e Formas Quadráticas Ole Peter Smith, IME, UFG 28 de julho de 20111 PermutaçõesPor uma permutação dos números (1, 2, . . . , n), entendemos estes números colocadosnuma ordem diferente, (j1 , j2 , . . . , jn ), ondem nemhum ji se repete. Podemos repre-sentar isso em forma de matriz: 1 2 ··· n p= j1 j2 ··· jnLemos isto: 1 vai em j1 , 2 vai em j2 , e assim por diante. Denotamos por Pn o con-junto de todas as n! permutações de ordem n. Introduzindo a composição de duaspermutações 1 2 ··· n 1 2 ··· n p1 ◦ p2 = ◦ = i1 i2 ··· in j1 j2 ··· jn 1 2 ··· n i1 i2 ··· in ◦ = i1 i2 ··· in j1 j2 ··· jn 1 2 ··· n j1 j2 ··· jnLemos isto: 1 vai em i1 que vai em j1 , 2 vai em i2 que vai em j2 , etc. É claro que:e ◦ e = e, e e ◦ p = p ◦ e = p, ∀p ∈ Pn .A permutação: 1 2 ··· n e= 1 2 ··· ndeixa os números em ordem inalterado, assim asociamos esta com o elemento neutro.As transposições: ··· i ··· j ··· tij = ··· j ··· i ···troca as posições de i e j. Trocando as posições de i e j duas vezes, claro, deixa aordem inalterado: tij ◦ tij = t2 = e ij 1
  • 2. 1.1 Exemplo: P2 1 PERMUTAÇÕES1.1 Exemplo: P2Em P2 temos 2! = 2 permutações: 1 2 e= 1 2 1 2 p= 2 1Formamos o quadro de composição: ◦ e p e e p p p e1.2 Exemplo: P3Nesse caso mais simples, temos 3! = 6 permutações: 1 2 3 e= = (1)(2)(3) 1 2 3 1 2 3 t1 = = (1)(2 3) 1 3 2 1 2 3 t2 = = (2)(1 3) 3 2 1 1 2 3 t3 = = (3)(1 2) 2 1 3 1 2 3 p= = (1 2 3) 3 1 2 1 2 3 p2 = = (1 2 3)2 2 3 1Temos: t2 = t2 = t2 = p3 = e. Mais: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 t1 ◦ p = ◦ = = t2 1 3 2 3 1 2 3 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 t2 ◦ p = ◦ = = t3 3 2 1 3 1 2 2 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 t3 ◦ p = ◦ = = t1 2 1 3 3 1 2 1 3 2Similarmente: p ◦ t1 = t3 p ◦ t2 = t1 p ◦ t3 = t2 2
  • 3. 2 APLICAÇÕES LINEARESMais: t1 ◦ p2 = (t1 ◦ p) ◦ p = t2 ◦ p = t3 t2 ◦ p2 = (t2 ◦ p) ◦ p = t3 ◦ p = t1 t3 ◦ p2 = (t3 ◦ p) ◦ p = t1 ◦ p = t2 p2 ◦ t1 = p ◦ (p ◦ t1 ) = p ◦ t3 = t2 p2 ◦ t2 = p ◦ (p ◦ t2 ) = p ◦ t3 = t3 p2 ◦ t3 = p ◦ (p ◦ t3 ) = p ◦ t2 = t1Completando: t1 ◦ t2 = t3 ◦ t1 = p t1 ◦ t3 = t2 ◦ t1 = p2Formamos o quadro de composição: ◦ e p p3 t1 t2 t3 e e p p3 t1 t2 t3 p p p2 e t3 t1 t2 p2 p2 e p t2 t3 t1 t1 t1 t2 t3 e p p2 t2 t2 t3 t1 p2 e p t3 t3 t1 t2 p p2 e2 Aplicações Lineares: Autovetor e AutovalorSeja A = (aij ) um matriz quadrática de ordem n, definindo uma aplicação linear,f : R n → Rn : f (x) = A x, x ∈ Rn (1)A linearidade da aplicação, f , expressamos em: f (x + y) = f (x) + f (y) (2)E: f (αx) = αf (x) (3) nDizemos que v ∈ R é um autovetor de autovalor λ ∈ R, se: f (v) = λv (4)ou seja, se a imagem do v é paralela com v, reescrevendo a definição: A v = λv = λI v 3
  • 4. 2 APLICAÇÕES LINEARESEquivalentemente: A − λI v = 0 (5)Fixando um λ ∈ R, isto é um sistema linear homogêneo. Denotamos por Sλ ⊆ Rna solução completa deste sistema: o autoespaço do A do autovalor λ. Primeiramenteobservamos que os autoespaços formam um espaço vetorial, ou seja tem uma estruturalinear, pois: x, y ∈ Sλ ⇒ x + y ∈ Sλ (6)E: x ∈ Sλ , α ∈ R ⇒ αx ∈ Sλ (7)É claro, que por qualquer λ ∈ R, Sλ é não-vasil: pois 0 ∈ Sλ . Isto é, os autoespaçoscontém no mínimo a solução trivial, 0. Interessante então, é se temos autoespaços quecontém algo mais do que somente a solução trivial. Podemos escrever: {0} ⊆ Sλ ⊆Rn . Por outro lado, é claro que os autoespaços são disjuntos: Sλ1 ∩ Sλ2 = ∅, λ1 = λ2 (8)E: Sλ ⊆ Rn (9) λ∈RPela teoria de matrizes e sistemas lineares, sabemos que a dimensão dos autoespaçosdo (5) é igual o posto, ρλ , do matriz A − λI. De fato, a equação (5) tem soluçõesnão-triviais, se e somente se ρλ < n, ou seja: det A − λI = 0 (10)O determinante aparecendo aqui é um polinômio de grau n em λ: a11 − λ a12 ··· a1n a21 a22 − λ ··· a2n P (λ) = det A − λI = . . . (11) . . . . . . an1 an2 ··· ann − λChamamos este o polinômio caraterístico do A. Seus raízes reais, no máximo n, deno-tamos o espectro do A, sendo os autovalores cuja seu autoespaço é não-trivial, ou sejacontém vetores não-trivias. Podemos calcular os coeficientes desse polinômio. Pondo: P (λ) = an λn + an−1 λn−1 + . . . + a1 λ + a0 (12) 4
  • 5. 2.1 Exemplo: Caso n = 2 2 APLICAÇÕES LINEARES2.1 Exemplo: Caso n = 2Neste caso, calculamos o polinômio caraterístico: a11 − λ a12 P (λ) = det A − λI = = a21 a22 − λ (a11 − λ)(a22 − λ) − a12 a21 = 2 λ − (a11 + a22 )λ + (a11 a22 − a12 a21 )O polinômio tem raízes reais, se e somente se o discriminante: ∆ = (−(a11 + a22 ))2 − 4(a11 a22 − a12 a21 ) = (a11 − a22 )2 + 4a12 a21é não-zero. No caso importantíssimo que A é uma matriz simétrica: a12 = a21 , vemos: ∆ = (a11 − a22 )2 + 4a2 ≥ 0 12Assim mostramos, o que vale por qualquer ordem n, que uma matriz simétrica tem n autovaloresreais.2.2 Exemplo: Caso n = 3Como no exemplo anterior, calculamos o polinômio caraterístico: a11 − λ a12 a13 P (λ) = det A − λI = a21 a22 − λ a23 = a31 a32 − λ a33 − λ a22 − λ a23 a21 a23 a21 a22 − λ (a11 − λ) − a12 + a13 = a32 − λ a33 − λ a31 a33 − λ a31 a32 − λ (a11 − λ) (a22 − λ) (a33 − λ) −a23 a32 (a11 − λ) −a12 (a21 (a33 − λ) − a31 a23 ) +a13 (a21 a32 − a31 (a22 − λ)) = (a11 − λ) (a22 − λ) (a33 − λ) + (a23 a32 + a12 a21 + a13 a31 ) λ −a23 a32 a11 − a12 a21 a33 − a13 a31 a22 +a12 a31 a23 + a13 a21 a32 = −λ3 + λ2 (a11 + a22 + a33 ) −λ (a23 a32 + a12 a21 + a13 a31 − a11 a22 − a22 a33 − a33 a11 ) −a23 a32 a11 − a12 a21 a33 − a13 a31 a22 +a12 a31 a23 + a13 a21 a32 + a11 a22 a33Reconhecemos aqui o traço do A, TA (o coeficiente de λ2 ) e o determinante do A (o termoconstante). Encontramos também a quantidade: 5
  • 6. 2.2 Exemplo: Caso n = 3 2 APLICAÇÕES LINEARES ΣA = a23 a32 + a12 a21 + a13 a31 − a11 a22 − a22 a33 − a33 a11Assim, podemos escrever: P (λ) = −λ3 + TA λ2 + ΣA λ + det APor ser de grau ímpar, sabemos apriori que P (λ) tem no mínimo uma raíz real, λ0 . Casonecessário, podiamos estimar este raíz numericalmente. Escrevemos: P (λ) = (λ0 − λ) λ2 + aλ + b = −λ3 + (λ0 − a)λ2 + (aλ0 − b)λ + bλ0Comparando coeficientes, vemos: λ0 − a = TA aλ0 − b = ΣA bλ0 = det AAssim, usando as primeiras duas equações: a = λ0 − TA b = aλ0 − ΣAUsando a última equação, verificamos: det A = bλ0 = aλ0 − ΣA λ0 = λ0 − TA λ0 − ΣA λ0 = λ3 − TA λ2 − ΣA λ0 0 0Ou seja: λ3 + TA λ2 + ΣA λ0 + det A = 0 0 0O que se diz: λ0 é raíz no polinômio caraterístico. Temos três raízes reais, caso: 2 a2 − 4b = λ0 − TA − 4 aλ0 − ΣA = 2 λ0 − TA −4 λ0 − TA λ0 − ΣA = λ2 0 − 2TA λ0 + 2 TA − 4λ2 + 4TA λ0 + 4ΣA = 0 −3λ2 + 2TA λ0 + TA + 4ΣA ≥ 0 0 2Da mesma maneira, obtemos no caso geral: an = (−1)n an−1 = (−1)n−1 (a11 + a22 + . . . + ann ) = (−1)n−1 TA a0 = P (0) = det A 6
  • 7. 2.3 Exemplo: Núcleo de uma Aplicação Linear 2 APLICAÇÕES LINEARES2.3 Exemplo: Núcleo de uma Aplicação LinearO núcleo de uma aplicação linear, NA , é definido como os vetores cuja imagem é o vetor trivial,0: A x = 0. Este já apareceu no teoria de sistemas lineares, onde o chamamos a soluçãocompleta do sistema homogêneo. Também apareceu nacima, onde nos o chamamos o autoespaçodo autovalor λ = 0: NA = S0 .O autoespaço S + 0, ou seja o núcleo, contém vetores não triviais, se e somente se, λ = 0 é raízno polinômio caraterística, isto é, se e somente se o matriz é singular: det A = 0. 7