Your SlideShare is downloading. ×
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Trigonometry
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Trigonometry

2,116

Published on

0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
2,116
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
205
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. TRIGONOMETRY SINE &TRIGONOMETRY TRIGONOMETRY COSINE RATIOS IDENTITY RULE TRIANGLE AREA
  • 2. A. Trigonometri ratios hypotenuseRight-angle side  Right-angle side S opposite side O Sine  = hypotenuse h c cosine = adjacent side a t hypotenuse h o tan = opposite side a adjacent side
  • 3. Secant( sec )  = hypotenuse adjacent sideCosecant ( csc/cosec ) = hypotenuse opposite sideCotangen( cot )  = adjacent side opposite side
  • 4. Sisi miringsisi depan  Sisi samping de sisi depan Sinus  = sisi miring mi Cosinus  = sisi samping sa sisi miring sisi depan mi tangen = de sisi samping sa
  • 5. sisi miringSecan  = 1 =( sec ) cos  sisi sampingCosecan  = 1 sin  = sisi miring( csc ) sisi depanCotangen( cot / ctg )  = cos  sin  = sisi samping sisi depan
  • 6. Example 1 :It is known that triangle ABC is right angled on point B withAB = 3 cm, BC = 4 cm and measure of angle BAC = Determine the value of : a. Sine  d. sec  b. Cos  e. csc  c. Tan  f. cot  Solution : C AC2 = AB2 + BC24 cm 5 = 32 + 42 = 9 + 16  A = 25 B 3 cm AC = 25 AC = 5
  • 7. a. sin  = 4 5b. cos  = 3 5c. Tan  = 4 3d. sec  = 5 3 e. csc  = 5 4 f. cot  = 3 4
  • 8. Example 2 : = 1If sine then determine the value of : d. sec  3a. Sine b. Cosine  e. csc c. tangen  f. Cot  Solution :  8 b. cosine = 3 tangen  3 1 1 2 1 1 c. =  8 2 2 8 8 8 4 8 d. Sec  = 3 = 3 2 8 4 e. csc  = 3 f. cot  = 8 1
  • 9. Example 3 : Determine other trigonometric ratios values if it is known that cos  = 0,4 .  is an acute angle Solution : 21 1 sin  =  21 5 5 5 21 1 21 tan  =  21 2 2  5 2 sec  = 2 5 5 4 2 csc  =  210,4 =  21 21 10 5 2 2 cot  =  21 21 21
  • 10. Perbandingan Trigonometri sudut-sudut khusus ( sudut istimewa = Extraordinary angles ) Sudut-sudut khusus yang dimaksud adalah : 00, 300, 450, 600, 900Untuk menentukan perbandingan trigonometri sudut 00 dan 900Kita bisa gunakan lingkaran satuan di koordinat Cartesius.
  • 11. P(x,y) Titik P (x,y) terletak pada lingkaran satuan. y Garis OP membentuk sudut  o dengan sumbu x. N x Panjang ON adalah x satuan, panjang PN adalah y satuan dan y panjang OP adalah 1 satuan ( krn OP jari-jari lingkaran ) ONP adalah segitiga siku – siku .Perbandingan trigonometri untuk sudut  adalah sbb :sin  = y 1 = y, cos  = x = x, tan  = y x 1
  • 12. Jika  = 00, maka garis OP berimpit dengan sumbu x,dengan demikian posisi P adalah ( 1, 0 ), akibatnya :Sin 00 = y = 0Cos 00 = x = 1 y 0Tan 00 =  0 x 1Jika  = 900, maka garis OP berimpit dengan sumbu y,dengan demikian posisi P adalah ( 0, 1 ), akibatnya :Sin 900 = y = 1Cos 900 = x = 0 y 1Tan 900 =   tak terdefnisi x 0
  • 13. Untuk sudut 300, Perhatikan gambar dibawah ini: B  ABC siku – siku di C, 600 c  BAC = 300 dan  ABC = 600 a 300  ADC merupakan pencerminanA b 900 C dari  ABC terhadap AC Karena setiap sudut pada  ABD = 600, maka  ABD= sama sisi D sehingga AB = AD = BD = 2a atau c = 2a Dalam  ABC berlaku teorema Pythagoras : c2 = a2 + b2 (2a)2 = a2 + b2 b2 = 4a2 – a2 b = 3a 2 a 3
  • 14. Kita peroleh : a a = 1 b a 3 1sin 300 = = Sin 600 = = = 3 c 2a 2 c 2a 2 b a 3 1 a a 1cos 300 = = = 3 Cos 600 = = = c 2a 2 c 2a 2 1 a b a 3 a= Tan 600 = = = 3Tan 300 = = 3 a a b a 3 3
  • 15. Untuk sudut 450 Perhatikan gambar dibawah ini : B  ABC siku siku di C dan  BAC = 450 c Karena  BAC = 450 maka a  ABC = 450 sehingga  ABC 450 merupakan segitiga siku-siku samaA b C kaki ( a = b ) c2 = a2 + b2 = a2 + a2 = 2a2 c = 2a 2 = a 2
  • 16. B Kita peroleh : a 2 Sin 450 = a = 1 a 2 a 2 2 450 CA a a 1 Cos 450 = = 2 a 2 2 a Tan 450 = = 1 a Berdasarkan nilai perbandingan trigonometri diatas, kita dapat mengganti panjang sisi – sisi pada gambar menjadi a = b = 1 dan c = 2
  • 17. Tabel perbandingan trigonometri sbb :Trigonometry ratios Extraordinary angles = sudut – sudut istimewa 00 300 450 600 900 1 1 sine  0 1 2 2 2 2 3 1 1 cosine  1 2 3 1 2 1 2 0 2 tan  0 1 3 1 3 undefined 3
  • 18. Example 1 :Determine the value of :a. sin 30  cos 45  tan 45 0 0 0b. sin 30 2 0  cos 302Solution :a. sin 30  cos 45  tan 45 0 0 0 = 1 1 – 1 + 2 2 2 1 1 = 2– 2 2
  • 19. b. sin 30  cos 30 2 0 2 = sin 30   cos 30  0 2 0 2 2 1 + 1  2 =    3 2 2  1 3 =   +   4 4 = 1
  • 20. cos 450. cos 300  sin 450. sin 600c. tan 300. tan 600 1 1 1 1 2. 3 2. 3 = 2 2 2 2 1 3. 3 3 1 1 1 6.  6 6 = 4 4 = 2 1 1 .3 3 1 = 6 2
  • 21. B. IDENTITAS TRIGONOMETRI Teorema Phytagoras : y x2 + y2 = r2 Jika dibagi dengan r2 maka : x2 y2 r2 B 2  2  2 r r r r 2 2 2 y  x  y r         r   r  rx O x A cos   sin   1 2 2
  • 22. x2 + y2 = r2 x2 + y2 = r2Jika dibagi x2 maka : Jika dibagi y2 maka : 2 2 2 2 2 2 x y rx y r  2  2 2  2  2x 2 x x y y y 2 2 2  x  y r 2 2 2 x  y r                y  y  y x  x  x       1+tan2  = sec2  cot   1  csc  2 2
  • 23. contoh Buktikan : cos  21.  1  sin  1  sin  Ruas kiri = cos 2 1  sin  = 1  sin 2   a b 2 2  a  ba  b 1  sin  1  sin  1  sin   = 1  sin  = 1 sin 
  • 24. 2. cos A  sin Acos A  sin A  1  2 sin 2 A ruas kiri := cos A  sin Acos A  sin A= cos 2 A  sin 2 A= 1  sin A  sin A 2 2= 1 2 sin 2 A
  • 25. 3. 4  cos  1  tan   cos  2  2 ruas kiri = 4  cos  1  tan  2 = cos  sec  4  2   1  = cos   4   cos   2  1  = cos  . cos   2 2   cos   2 = cos  2
  • 26. 4. 1  cot   csc  2 2 Ruas kiri : = 1 cot  2 sin 2  cos 2  =  sin  2 sin 2  = sin 2   cos 2  sin  2 = 1 = csc 2  sin 2
  • 27. 5 1  tan  1  cos    tan 2 2 2  Ruas kiri : = sec  . sin  2 2 1 = . sin  2 cos  2 = sin  2 cos  2 = tan  2
  • 28. KOORDINAT KUTUB / POLAR P(x,y) P(r,  ) r r y y  O O x xKoordinat cartesius Koordinat polar/kutubsin  = y r= x2  y2 r y = r sin  tan  = y x xcos  = r y  = arc tan x = r cos  x
  • 29. Tentukan koordinat cartesius dari titik berikut :1. P ( 5, 450 )  Pr ,   x = r cos  y = r sin  = 5 cos 450 = 5 sin 450 = 5. 1 1 2 = 5. 2 2 2 5 5 = 2 = 2 2 2 Jadi koordinat cartesius P ( x,y ) adalah 5 5   2 , 2 2 2 
  • 30. 2. Tentukan koordinat polar dari titik P ( 4, – 4 ) P ( 4, – 4 )  P x , y  y r x y tan   2 2 x r  4   4 2 2 4 tan    1 4 r  32 r4 2   arc tan 1   3150 Jadi koordinat kutub P(4,– 4 ) adalah  P 4 2 , 3150 
  • 31. ATURAN SINUS C Lihat ACD Lihat BCD CD CD b a sin A  sin B  AC BC CD = AC sin A CD = BC sin B BA D CD = a sin B CD = b sin A c CD = CD b sin A = a sin B a b  sin A sin B
  • 32. C E a Lihat ACE Lihat ABEb AE AE sin C  sin B  AC AB B AE = AC sin C AE = AB sin BA c AE = b sin C AE = c sin B AE = AE b sin C = c sin B b c  sin B sin C a b c Jadi   sin A sin B sin C
  • 33. Contoh 1Diket  ABC dengan A  300 Panjang sisi BC = 2 cm,Dan panjang sisi AB = 4 cm. Tentukan besar sudut danPanjang sisi yang belum diketahui. C a c b  2 sin A sin C 0 30 2  4A 4 B 0 sin 30 sin C 2 sin C = 4 sin 300 1 4. sin C  2 1 2 C  90 0
  • 34. b  c a 2 2 B  180  (30  90 ) 0 0 0 b  4 2 2 2 B  60 0 b  16  4 b  12 b2 32. Diket  ABC A  300 , C  450 dan panjang sisi AB = 5 cm. Tentukan besar sudut B dan panjang sisi a dan sisi b
  • 35. A 30 0 B  180  (30  45 ) 0 0 0 b 5 B  1050 450 C B a a c 5  a sin A sin C 2 a sin 450 = 5 sin 300 5 2 a . 1 1 2 2 a. 2  5. 2 2 5 1 a 2 5. 2 a 2 1 2 2
  • 36. b c  b  a sin B sin C sin B sin A b 5 5  2 sin 105 0 sin 45 b  2 0 sin 1050 sin 30b sin 450 = 5 sin 1050 5 2 . sin 1050b . 0,707  5. 0,97 b 2 0 5. 0,97 sin 30 b  1 0,707 5. 2 .0,97 4,85 b 2 b  1 0,707 2 b  6,859 b  6,859
  • 37. ATURAN COSINUS C Lihat ACD b BD = AB – AD a AD cos A  BD = c – b cos A AC D BA AD = AC cos A c AD = b cos A Lihat ACD Lihat BDCCD 2  AC 2  AD 2 CD2  BC 2  BD 2  b  b cos A  a  c  b cos A 2 2 2 2CD2  b 2  b 2 cos 2 A  a 2  (c 2  2bc cos A  b 2 cos 2 A) CD2  a 2  c 2  2bc cos A  b 2 cos 2 A
  • 38. CD2 = CD2a  c  2bc cos A  b cos A  b  b cos A 2 2 2 2 2 2 2 a  b  c  2bc. cos A 2 2 2Rumus untuk mencari sisi : a  b  c  2bc. cos A 2 2 2 b  a  c  2ac. cos B 2 2 2 c  a  b  2ab. cos C 2 2 2
  • 39. Untuk mencari besarnya sudut : b c a 2 2 2 cos A  2bc a c b2 2 2 cos B  2ac a 2  b2  c2 cos C  2ab
  • 40. Contoh 1: Diketahui segitiga ABC dengan a = 6 cm, b = 4 cm dan C  1200 Hitunglah panjang c. Jawab :A c  a  b  2ab. cos C 2 2 2 cb=4 1200 c  6  4  2.6.4. cos120 2 2 2 0 B C a=6  1 c  36  16  2.6.4.   2  2 c  76 2 c  76  c  2 19
  • 41. 2. Dalam segitiga ABC diketahui C  600 panjang sisi b = 6 cm, panjang sisi c = 2 13 cm Tentukan panjang sisi a. C c  a  b  2.a.b. cos C 2 2 2b=6 600 ? 2 13   a 2 2  6  2.a.6. cos 60 2 0 1 B 52  a  36  12a  2A c  2 13 2 52  a  36  6a 2 a  6a  16  0 2 a  8a  2  0 a 8  a  2
  • 42. 3. Sebuah segitiga KLM dengan panjang sisi KL = 12 cm panjang sisi KM = 10 cm dan panjang sisi LM =2 31 cm Tentukan besar sudut K l 2  m2  k 2 M cos K  2.l.m10 2 31 10 2  12 2  (2 31) 2 cos K  12 L 2.10.12K 100  144  124 cos K  240 120 1 cos K   240 2  K  60 0
  • 43. FORMULA OF RELATED ANGLE TRIGONOMETRIC RATIOS ( RUMUS PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI )A. ANGLE  WITH 900    B X ,Y  Y=X A x y r 900   B(X,Y)  r y  O C X A
  • 44. xsin   sin   y r r ycos   cos   x r r xtan   tan   y y x Relasi di kwadran I   sin 90    cos  0 cos 90 0     sin  tan 90 0     cot 
  • 45. y ysin   y sin   r r xcos    cos   x r r y tan    tan   y x B x r r y y   -x  o  x A x -y r -y r y y sin   sin    r r xcos    x cos   r r ytan   y tan    x x
  • 46. Relasi di kwadran II  sin 180    sin  0cos 180 0      cos  Relasi dikwadrat IVtan 1800      tan    sin 360     sin  0 cos 360 0     cos  tan 360      tan  Relasi dikwadran III 0  sin 180     sin  0cos 180 0      cos tan 1800     tan 
  • 47. x sin    r y y sin   cos   -x r r x x cos   tan    r y r y y tan    x r y  x xsin    r  sin   xcos    y r -y r r y cos    x x rtan    y y x x -x tan    y
  • 48. Relasi dikwadran II :  sin 90    cos  0cos 90 0      sin  Relasi dikwadran IV :tan 90 0      cot   0  sin 270     cos  Relasi dikwadran III : cos 270 0     sin   sin 270     cos  0 tan 270 0      cot cos 270 0      sin tan 270 0     cot 
  • 49. Matur Nuwun

×