• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
Matematica Completo
 

Matematica Completo

on

  • 15,792 views

 

Statistics

Views

Total Views
15,792
Views on SlideShare
15,748
Embed Views
44

Actions

Likes
2
Downloads
489
Comments
3

1 Embed 44

http://www.slideshare.net 44

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel

13 of 3 previous next Post a comment

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
  • Amei esses slides irão ajudar-me bastante em uma formação a qual sou orientadora.

    Muito obrigada.
    Deus abençõe seu trabalho.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
  • mande esse material de matematica pramim.
    gosto muito do slideshare
    obg
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
  • MUITO BOM .....ELIAS
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Matematica Completo Matematica Completo Presentation Transcript

    • 11/7/2003, 09:20 ENCCEJA Livro do Professor / Ensino Fundamental e Médio Matemática / Matemática e suas Tecnologias 1 Matematica.pmd
    • República Federativa do Brasil Luiz Inácio Lula da Silva Ministério da Educação – MEC Cristovam Buarque Secretaria Executiva do MEC Rubem Fonseca Filho Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira – INEP Otaviano Augusto Marcondes Helene Diretoria de Avaliação para Certificação de Competências Dirce Gomes Matematica.pmd 2 11/7/2003, 09:20
    • Matemática Matemática e suas Tecnologias Livro do Professor Ensino Fundamental e Médio Matem∙tica 1-8.pmd 1 11/7/2003, 09:20
    • Matem∙tica 1-8.pmd 2 11/7/2003, 09:20
    • Matemática Matemática e suas Tecnologias Livro do Professor Ensino Fundamental e Médio Brasília MEC/INEP 2003 Matem∙tica 1-8.pmd 3 11/7/2003, 09:20
    • © O MEC/INEP cede os direitos de reprodução deste material às Secretarias de Educação, que poderão reproduzi-lo respeitando a integridade da obra. Coordenação Geral do Projeto Andréia Correcher Pitta Maria Inês Fini André Ricardo de Almeida da Silva Augustus Rodrigues Gomes Coordenação de Articulação de Textos do Ensino Fundamental Célia Maria Rey de Carvalho Maria Cecília Guedes Condeixa David de Lima Simões Denise Pereira Fraguas Coordenação de Articulação de Textos do Ensino Médio Dorivan Ferreira Gomes Zuleika de Felice Murrie Érika Márcia Baptista Caramori Fernanda Guirra do Amaral Coordenação de Texto de Área Frank Ney Souza Lima Ensino Fundamental Ildete Furukawa Matemática Irene Terezinha Nunes de Souza Inacio Célia Maria Carolino Pires Jane Hudson Abranches Ensino Médio Kelly Cristina Naves Paixão Matemática e suas Tecnologias Marcio Andrade Monteiro Maria Silvia Brumatti Sentelhas Marco Antonio Raichtaler do Valle Maria Cândida Muniz Trigo Leitores Críticos Maria Vilma Valente de Aguiar Área de Psicologia do Desenvolvimento Mariana Ribeiro Bastos Migliari Márcia Zampieri Torres Nelson Figueiredo Filho Maria da Graça Bompastor Borges Dias Suely Alves Wanderley Leny Rodrigues Martins Teixeira Teresa Maria Abath Pereira Lino de Macedo Valéria de Sperandyo Rangel Área de Matemática Área de Matemática e suas Tecnologias Capa Eduardo Sebastiani Ferreira Milton José de Almeida (a partir de desenhos de Maria Eliza Fini Leonardo da Vinci) Maria Cristina Souza de Albuquerque Maranhão Coordenação Editorial Zuleika de Felice Murrie Diretoria de Avaliação para Certificação de Competências (DACC) Equipe Técnica Maria Inês Fini – Diretora Alessandra Regina Ferreira Abadio M425 Matemática : matemática e suas tecnologias : livro do professor : ensino fundamental e médio / Coordenação Zuleika de Felice Murrie . - Brasília : MEC : INEP, 2002. 150p. ; 28cm. ISBN 85-296-0033-9. 1. Matemática (Ensino fundamental). I. Murrie, Zuleika de Felice. CDD 372.73 Matem∙tica 1-8.pmd 4 11/7/2003, 09:20
    • SUMÁRIO I. AS BASES EDUCACIONAIS DO ENCCEJA .................................................................... 9 A. A PROPOSTA DO ENCCEJA PARA CERTIFICAÇÃO DO ENSINO FUNDAMENTAL ....................................................................................... 14 B. A PROPOSTA DO ENCCEJA PARA CERTIFICAÇÃO DO ENSINO MÉDIO ....................................................................................................... 18 II. EIXOS CONCEITUAIS QUE ESTRUTURAM O ENCCEJA ................................... 23 A. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ..................................................................................... 24 B. AS ORIGENS DO TERMO COMPETÊNCIA .................................................................. 27 C. AS COMPETÊNCIAS DO ENEM NA PERSPECTIVA DAS AÇÕES OU OPERAÇÕES DO SUJEITO ......................................................................... 31 III. AS ÁREAS DO CONHECIMENTO CONTEMPLADAS NO ENCCEJA .............. 39 MATEMÁTICA - Ensino Fundamental ........................................................................ 39 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Ensino Médio ......................................... 51 IV. AS MATRIZES QUE ESTRUTURAM AS AVALIAÇÕES ................................... 63 MATEMÁTICA - Ensino Fundamental ........................................................................ 64 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Ensino Médio ......................................... 70 V. ORIENTAÇÃO PARA O TRABALHO DO PROFESSOR MATEMÁTICA - Ensino Fundamental ............................................................................. 76 MATEMÁTICA - Ensino Médio ................................................................................... 117 Matem∙tica 1-8.pmd 5 11/7/2003, 09:20
    • Matem∙tica 1-8.pmd 6 11/7/2003, 09:20
    • Matem∙tica 1-8.pmd 7 11/7/2003, 09:20
    • Matem∙tica 1-8.pmd 8 11/7/2003, 09:20
    • I. As bases educacionais do ENCCEJA Os brasileiros têm ampliado sua envolveram, de alguma forma, em escolaridade. É o que demonstra o Censo práticas sociais da língua. É desse modo 2000, em recente divulgação feita pelo que se pode entender que o analfabeto Instituto Brasileiro de Geografia e possui um certo conhecimento das Estatística (IBGE). O principal fato a linguagens, ao assistir a um telejornal comemorar é a ampla freqüência às (que usa, em geral, a linguagem escrita, escolas do nível fundamental que, no oralizada pelos locutores), ao ditar uma ano 2000, acolhiam 94,9% das crianças carta, ao apoiar-se numa lista mental de entre 7 e 14 anos. Pode-se afirmar, produtos a serem comprados ou ao portanto, que o Ensino Fundamental, no reconhecer placas e outros sinais urbanos. Brasil, é quase universal para a faixa Evidencia-se, assim, a importância de etária prevista e correspondente. Além reconhecer, como ponto de partida, que o disso, comparando-se dados de 1991 e estilo de vida nas sociedades urbanas 2000, há crescimento na freqüência modernas não permite grau zero de escolar em todos os grupos de idade. letramento. Persiste, entretanto, um contingente Há uma possibilidade de “leitura do populacional jovem e adulto que carece da mundo” em todas as pessoas, até para formação fundamental. Segundo o referido aquelas sem nenhuma escolarização. Censo, 31,2% da população brasileira com O Censo Escolar realizado pelo Inep mais de 10 anos de idade tem apenas até 3 indica um total de 3.410.830 matrículas anos de estudo; logo, cerca de um terço em cursos de Educação de Jovens e dos brasileiros (mais de 50 milhões de Adultos (EJA), em 1999. Desse total, pessoas) não concluiu nem a primeira mais ou menos 1.430.000 freqüentam parte do Ensino Fundamental. Esses cursos correspondentes ao segundo cidadãos que não tiveram possibilidades segmento do ensino fundamental, de 5ª a de completar seu processo regular de 8ª série. Nesses cursos, encontra-se um escolarização, em sua maioria, já são público variado e heterogêneo, uma adultos, inseridos ou não no mundo do importante característica da EJA. Entre trabalho, e têm constituído diferentes eles, há uma parcela dos jovens de 15 a saberes, por esforço próprio, em resposta 17 anos de idade freqüentando a escola às necessidades da vida. Nesse sentido, e que, segundo o IBGE, representa quase assinala-se, nos termos da Lei, o direito a 79% da população dessa faixa. Os demais cursos com identidade pedagógica própria 21%, por diversos motivos, mas àqueles que não puderam completar a principalmente por pressões ou alfabetização, mas que, ao pertencerem a contingências socioeconômicas, um mundo impregnado de escrita, se deixaram precocemente o ambiente escolar. 9 Matem∙tica 9-38.pmd 9 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor Sendo dever dos poderes públicos e da físicas interessadas em colaborar. sociedade em geral oferecer condições Os objetivos desses programas ou para a retomada dos estudos em salas projetos são oferecer vagas e subsidiar de aula, destinadas especificamente a professores que trabalham com os jovens e adultos, diversos projetos têm cidadãos que não puderam iniciar ou sido desenvolvidos no âmbito do concluir seus estudos em idade própria governo federal. Para atender os ou não tiveram acesso à escola. Em municípios do Norte e Nordeste com conjunto com diversas outras iniciativas 1 baixo IDH , o Ministério da Educação de organizações não governamentais 2 (MEC) é parceiro no Projeto Alvorada , (ONGs), universidades ou outras formas organizando o repasse de verbas a de associação civil respondem ao enorme Estados e Municípios. Em apoio ao desafio de minimizar os efeitos da projeto, a Coordenadoria de Educação exclusão do Ensino Fundamental, de Jovens e Adultos (COEJA), da fenômeno histórico em nosso país que Secretaria do Ensino Fundamental (SEF– hoje está sendo superado na faixa etária MEC), tendo como parceira a Ação correspondente. Contudo, mais do que Educativa, organização não em razão do número de alunos em salas governamental de reconhecida de aula (ainda pequeno, considerando-se experiência no campo de formação de o enorme contingente de jovens e jovens e adultos, apresentou Proposta adultos não-escolarizados), tais ações do Curricular para Educação de Jovens e governo e da sociedade civil têm Adultos, 1º Segmento, que visa ao oferecido educação aos cidadãos mais programa Recomeço – Supletivo de afastados da cultura letrada, por viverem Qualidade. Além disso, em resposta às em lugares quase isolados do nosso país- demandas dos sistemas públicos continente ou por estarem desenraizados (estaduais e municipais) que aderiram de sua cultura de origem, habitando as aos Parâmetros Curriculares Nacionais periferias das grandes cidades. (PCN) em ação, a mesma COEJA Já nos primeiros artigos da Lei de promoveu a formulação e vem Diretrizes e Bases da Educação Nacional divulgando uma Proposta Curricular (LDB), de 1996, valorizam-se a para a EJA de 5ª a 8ª série, experiência extra-escolar e o vínculo fundamentada nos Parâmetros entre a educação escolar, o mundo do Curriculares Nacionais desse segmento. trabalho e a prática social. O Programa Alfabetização Solidária, por sua vez, foi lançado em 1997 e relata a Esse fato sinaliza o rumo que a alfabetização de 2,4 milhões de jovens educação brasileira já vem tomando e em 2001. Em 2002, encontra-se em marca posição quanto ao valor do 2.010 municípios. Caracteriza-se por ser conhecimento escolar, voltado para o um trabalho de ação conjunta entre pleno desenvolvimento do educando, diferentes parceiros, coordenados por seu preparo para o exercício da organização não governamental, e que cidadania, e sua qualificação para o inclui universidades, estados, trabalho (Artigo 2). Essas orientações municípios, empresas e até pessoas são reiteradas em muitas outras partes da mesma Lei, como nas diretrizes para 1 Índice de Desenvolvimento Humano, indicador estabelecido pelo Programa de Desenvolvimento Humano da UNESCO, que considera a esperança de vida ao nascer, o nível educacional e o PIB per capita. 2 Programa do governo federal de gerenciamento intensivo de ações e programas federais de infra-estrutura 10 social, de combate à exclusão social e à pobreza e de redução das desigualdades regionais pela melhoria das condições de vida nas áreas mais carentes do Brasil. Matem∙tica 9-38.pmd 10 11/7/2003, 09:21
    • I. As bases educacionais do ENCCEJA os conteúdos curriculares da educação propósitos e conceitos centrais: a básica, anunciadas no seu Artigo 27, difusão dos valores de justiça social e destacando-se a primeira delas, que dos pressupostos da democracia, o preconiza a difusão de valores respeito à pluralidade, o crédito à fundamentais ao interesse social, aos capacidade de cada cidadão de ler e direitos e deveres dos cidadãos, de interpretar a realidade, conforme sua respeito ao bem comum e à ordem própria experiência. democrática. Respondem por um paradigma, com Ainda outros documentos do Ministério lastro nos legados de Jean Piaget e da Educação, como os Parâmetros Paulo Freire, verificando-se, com eles, Curriculares Nacionais, para os níveis que é necessário disseminar as Fundamental e Médio, a Proposta pedagogias que buscam promover o Curricular da EJA (5ª a 8ª série) e a desenvolvimento da inteligência e a Matriz de Competências e Habilidades consciência crítica de todos os do Exame Nacional do Ensino Médio envolvidos no processo educativo, (ENEM), abordam o currículo escolar, tendo, na interação social e no diálogo integrado por competências e autêntico, o mais importante habilidades dos estudantes, ou norteado instrumento de construção do por objetivos de ensino/aprendizagem, conhecimento. Um paradigma com em que os conteúdos escolares são denominações variadas, pois usufrui de plurais e só têm sentido e significado se diferentes vertentes teóricas, mas com mobilizados pelo sujeito do algo em comum: a crítica à tradição do conhecimento: o estudante. Pode-se currículo enciclopédico, centrado em reconhecer, no conjunto desses conhecimentos sem vínculo com a documentos e em cada um deles, experiência de vida da comunidade esforços coletivos por um melhor e escolar e na crença de que a aquisição maior comprometimento da do conhecimento dispensa o exercício comunidade escolar brasileira com um da crítica e da criação por parte de novo paradigma pedagógico. Um quem aprende. Mas é essa tendência paradigma multifacetado, como que ainda orienta a maioria dos costuma acontecer com as tendências currículos praticados e, sociais em construção, diverso em suas conseqüentemente, os exames de nomenclaturas e que se vale de acesso a um nível escolar ou para numerosas pesquisas, em diferentes certificação. campos científicos, muitas ainda em Os exames de certificação para os fase de produção e consolidação. jovens e adultos não constituem Esse rico cenário acadêmico precisa exceção, uma vez que, na sua maioria, ainda ser mais eficazmente disseminado submetem os alunos a provas massivas, no ambiente complexo e plural da sem o correspondente cuidado com a educação brasileira. Mesmo assim, o qualidade do ensino e o respeito com o conjunto dos documentos que educando, como se encontra assinalado estruturam e orientam a Educação nas Diretrizes Curriculares Nacionais da Básica no Brasil é coeso em seus Educação de Jovens e Adultos 11 Matem∙tica 9-38.pmd 11 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor (DCNEJA). Por outro lado, recomenda- Embora que não seja possível, em âmbito se que o estudante da EJA, com a nacional, prever a enorme gama de maturidade correspondente, deva conhecimentos específicos estruturados encontrar, nos cursos e nos exames em meio à vivência de situações dessa modalidade, oportunidades para cotidianas, procurou-se levar em reconhecer e validar conhecimentos e consideração que o processo de competências que já possui. A mesma estruturação das vivências possibilita Diretriz prevê a importância da aquisições lógicas de pensamento que são avaliação na universalização da universais para os jovens e adultos e que qualidade de ensino e certificação de se, de um lado, devem ser tomadas como aprendizagem, ao apontar que os ponto de partida nas diversas exames da EJA devem primar pela modalidades de ofertas de ensino para qualidade, pelo rigor e pela adequação. essa população, de outro, devem A proposta do Exame Nacional de participar do processo de avaliação para Certificação de Competências de Jovens certificação. e Adultos (ENCCEJA) busca satisfazer Desse modo, objetivou-se superar a esses fundamentos político-pedagógicos, concepção de estruturação de provas expressos de forma mais abrangente na fundamentadas no ensino enciclopedista, Lei maior da educação brasileira, e, de centradas em conteúdos fragmentados e modo mais detalhado ou com ênfases descontextualizados, quase sempre especiais, nas Diretrizes, Parâmetros e associados ao privilégio da memória sobre outros referenciais que a contemplam, o estabelecimento de relações entre inclusive, o Documento Base do Exame idéias. Ainda que se reconheça o Nacional do Ensino Médio (ENEM). inequívoco papel da memória para o Com base na experiência dos conhecimento de fenômenos, das etapas especialistas e nesses documentos, dos processos, ou mesmo, de teorias, é buscou-se identificar conteúdos e preciso considerar, nas referências de métodos para a construção de um provas, bem como na oferta de ensino, as quadro de referências atualizado e múltiplas capacidades de operar com adequado ao Encceja. Um dos informações dadas. Ou seja, está-se resultados do processo são as Matrizes valorizando a autonomia do estudante em de Competências e Habilidades, em ler informações e estabelecer relações a nível de Ensino Fundamental e em nível partir de certos contextos e situações. E, de Ensino Médio. assim, o exame sinaliza e valoriza um cidadão mais apto a viver num mundo em As Matrizes de Competências e constantes transformações, onde é Habilidades constituem referencial de importante possuir estratégias pessoais e exames mais significativos para o coletivas para a solução de problemas, participante jovem ou adulto, mais fundamentadas em conhecimentos adequados às suas possibilidades de ler básicos de todas as disciplinas ou áreas da e de interagir com os problemas educação básica. cotidianos, com o apoio do conhecimento escolar. 12 Matem∙tica 9-38.pmd 12 11/7/2003, 09:21
    • I. As bases educacionais do ENCCEJA O processo de elaboração das Matrizes cognitivo das competências do sujeito de Competências e Habilidades do do conhecimento e permitiram a ENCCEJA, Fundamental e Médio, teve definição de habilidades específicas, que como meta principal garantir uma estabelecem as ações ou operações que proposta de continuidade e coerência descrevem desempenhos a serem entre o que se estabeleceria para os avaliados nas provas. Nessa concepção, exames em nível de Ensino Médio ou as referências de cada área descrevem as Fundamental. Dessas etapas resultaram interações mais abrangentes ou a definição das quatro áreas dos exames complexas (nas competências) e as mais e um conjunto de proposições para cada específicas (nas habilidades) entre as uma delas, que foram também ações dos participantes, que são os reconsideradas à luz das Diretrizes sujeitos do conhecimento, com os Curriculares Nacionais da EJA conteúdos disciplinares, selecionados e (DCNEJA), das políticas educacionais organizados a partir dos referenciais vigentes em âmbito federal e nas adotados. propostas estaduais, a fim de organizar Para a elaboração das competências do os quadros de referência dos exames. Ensino Médio, foram consideradas as As Matrizes de referência para a prova de competências por área, definida pelas cada área ou disciplina foram organizadas Diretrizes do Ensino Médio. Constituiu- em torno de nove competências amplas, se um importante desafio à elaboração por sua vez desdobradas em habilidades das matrizes do ENCCEJA para o Ensino mais específicas, resultantes da Fundamental, especificamente no que associação desses conteúdos gerais às diz respeito à definição das cinco competências do ENEM. As competências gerais das áreas. Isso competências já definidas para o ENEM porque, para o Ensino Fundamental, os correspondem aos eixos cognitivos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) básicos, a ações e operações mentais que e as Diretrizes Curriculares Nacionais todos os jovens e adultos devem trazem outra abordagem, não tendo desenvolver como recursos mínimos que incorporado a discussão mais recente, os habilitam a enfrentar melhor o mundo que visa à determinação de que os cerca, com todas as suas competências e habilidades de responsabilidades e desafios. aprendizagem como produto da Nas Matrizes do ENCCEJA, os conteúdos escolarização, ainda que preservem e tradicionais das ciências, da arte e da ampliem consideravelmente outros filosofia são denominados competências elementos didático-pedagógicos do de área, à semelhança dos conceitos já mesmo paradigma. consagrados na reforma do ensino Os documentos legais permitiram médio, porque já demonstram aglutinar construir matrizes semelhantes para o articulações de sentido e significação, ENCCEJA - Ensino Fundamental, apesar superando o mero elenco de conceitos e de oferecerem contribuições distintas teorias. Essas competências, em cada para a configuração das competências e área, foram submetidas ao tratamento habilidades a serem avaliadas. 13 Matem∙tica 9-38.pmd 13 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor A. A PROPOSTA DO ENCCEJA pertence um número maior de PARA A CERTIFICAÇÃO DO brasileiros. Esses jovens e adultos, já ENSINO FUNDAMENTAL trabalhadores com experiência profissional, leitores, participantes de Considerando-se a população que não vias informais da educação, com completou seus estudos do nível expectativa de melhor posicionamento fundamental, é possível aventar a no mercado de trabalho e/ou da existência de significativo número de retomada dos estudos em nível médio, pessoas desejosas de recuperar o precisam ter reconhecidos e validados reconhecimento social da condição os seus conhecimentos. Para eles, foi letrada, obtendo certificação de elaborado o Encceja, correspondente ao conhecimentos por meio de Exame nível fundamental. Supletivo do Ensino Fundamental. Tendo a LDB diminuído a idade mínima Essas pessoas, tendo-se afastado da para a certificação por meio de exames escola há bastante tempo ou mesmo supletivos, instalou-se uma questão tendo retomado estudos parciais de contraditória na educação nacional, pois forma esporádica, continuaram é supostamente desejável a aprendendo pela prática de leitura e permanência dos jovens de 15 anos na análise de textos escritos, de cálculos e escola, a fim de desenvolver suas outros estudos em situações específicas capacidades e compartilhar de seu interesse. Participam de meios conhecimentos, com o apoio e a informais, eventuais, ou mesmo, mediação da comunidade escolar. incidentais de educação com diferentes Entretanto, alguns precisaram propósitos. Por exemplo, em cursos interromper os estudos por motivos oferecidos por empresas para capacitação contingenciais e financeiros, por de pessoal, em grupos de estudo mudança de domicílio ou para ajudar a comunitários, ou mesmo através de família, entre outros motivos. Além programas educativos na TV, no rádio disso, como já apontado nas Diretrizes ou outras mídias. Assim, são capazes de Curriculares Nacionais para Educação de leitura autônoma para efeito de lazer, Jovens e Adultos (DCNEJA), há aqueles demandas do exercício da cidadania ou que, mesmo tendo condições do trabalho. Desse modo, lêem revistas financeiras, não lograram êxito nos esportivas e folhetos de instrução estudos, por razões de caráter técnica, programas de candidatos a sociocultural. Para esses jovens, a cargos eletivos e publicações vendidas certificação do Ensino Fundamental por em banca de jornal que dão instruções meio do ENCCEJA significa a para a realização de muitas atividades. possibilidade de retomar os estudos no Além disso, calculam para fins de mesmo nível que seus coetâneos, não compra e venda, analisam situações de sofrendo outras penalidades além qualidade de vida (ou sua carência). daquelas já impostas por suas condições de vida até então. Logo, já são leitores do mundo, superaram um estágio de decifração de As Diretrizes do Ensino Fundamental códigos da língua materna, ao qual contribuem diretamente para a seleção de 14 Matem∙tica 9-38.pmd 14 11/7/2003, 09:21
    • I. As bases educacionais do ENCCEJA conteúdos a serem avaliados pelo linguagens. Ressalte-se que esses ENCCEJA de, pelo menos, duas maneiras. aspectos guardam evidente proximidade Primeiramente, ao esclarecer a natureza com os Temas Transversais, dos conteúdos mínimos referentes às desenvolvidos no PCN do Ensino noções e conceitos essenciais sobre Fundamental: Ética, Meio Ambiente, fenômenos, processos, sistemas e Saúde, Orientação Sexual, Trabalho e operações que contribuem para a Consumo, e Pluralidade Cultural. constituição de saberes, conhecimentos, Com os mesmos propósitos, estudaram-se valores e práticas sociais indispensáveis também os textos da V Conferência ao exercício de uma vida de cidadania Internacional sobre Educação de plena, e, depois, ao recomendar: ao Adultos, com uma orientação temática utilizar os conteúdos mínimos, já de mesma natureza que os PCN e DCN divulgados inicialmente pelos Parâmetros do Ensino Fundamental. Isso pode ser Curriculares Nacionais, a serem ensinados exemplificado pela menção especial dos em cada área de conhecimento, é temas I, IV e VI. indispensável considerar, para cada I- Educação de adultos e democracia: o segmento (Educação Infantil, 1ª a 4ª e 5ª a desafio do século XXI. Alguns 8ª séries), ou ciclo, que aspectos serão compromissos desse tema: desenvolver contemplados na intercessão entre as participação comunitária, favorecendo áreas e aspectos relevantes da cidadania, cidadania ativa; sensibilizar com relação tomando-se em conta a identidade da aos preconceitos e à discriminação no escola e de seus alunos, professores e seio da sociedade; promover uma cultura outros profissionais que aí trabalham. da paz, o diálogo intercultural e os Decorre que também a EJA do direitos humanos; Fundamental deve considerar os aspectos IV- A educação de adultos, igualdade e próprios da identidade do jovem e adulto eqüidade nas relações entre homem e que retoma a escolarização, tanto para mulher e a maior autonomia da efeito de cursos, como para exames. Por mulher. Esse tema tem como um dos outro lado, corrobora a referência aos compromissos promover a capacitação conteúdos (conceitos, procedimentos, e autonomia das mulheres e a igualdade valores e atitudes) debatidos nos PCN de dos gêneros pela educação de adultos, 5ª a 8ª série (subsidiários à Proposta entre outros. Curricular da EJA), na escolha dos conteúdos do Encceja do Ensino VI- A educação de adultos em relação Fundamental. ao meio ambiente, à saúde e à população. Esse tema tem como A segunda linha de contribuições reside compromissos promover a capacidade e no levantamento do rol de aspectos da a participação da sociedade civil em vida cidadã que devem estar articulados responder e buscar soluções para os à base nacional comum, quais sejam: a problemas de meio ambiente e de saúde, a sexualidade, a vida familiar e desenvolvimento, estimular o social, o meio ambiente, o trabalho, a aprendizado dos adultos em matéria de ciência e a tecnologia, a cultura e as população e de vida familiar, reconhecer 15 Matem∙tica 9-38.pmd 15 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor o papel decisivo da educação sanitária na comparação entre idéias expressas por preservação e melhoria da saúde pública escrito, considerando valores e direitos e individual, assegurar a oferta de humanos. Tais ações ou operações do programas de educação adaptados à participante estão representadas na matriz cultura local e às necessidades do Encceja, nas diferentes habilidades. específicas, no que se refere à atividade Não se deve supor, contudo, que uma sexual. prova organizada a partir de habilidades Todas essas recomendações foram (articulações entre operações lógicas com consideradas para a seleção de valores e conteúdos relevantes) negligencie as conceitos integrados às competências e exigências básicas de conteúdos mínimos habilidades organizadoras do Encceja do e a capacidade de ler e escrever. Ensino Fundamental. Já para a definição Para o participante da prova, é do escopo e redação das competências imprescindível a prática autônoma da das áreas e disciplinas, consideraram-se leitura, que possibilita a percepção de especialmente os objetivos gerais para possíveis significados e a construção de ensino e aprendizagem delineados na opiniões e conhecimentos ao ler um texto, Proposta Curricular da EJA (5ª a 8ª série) um esquema ou outro tipo de figura. de Matemática, Língua Portuguesa, Espera-se, de fato, que o jovem e o Ciências Naturais, História e Geografia, adulto, ao certificarem-se com a e os objetivos gerais de todo o Ensino escolaridade fundamental pelo Encceja, Fundamental dos PCN e dos Temas já estejam lendo autonomamente, com Transversais. certa fluência, a partir de sua experiência Assim, foram constituídas as referências com textos diversos, em situações em para as provas de: que faça sentido ler e escrever. Cabe a 1- Língua Portuguesa, Artes, Língua eles construir os sentidos de um texto, Estrangeira e Educação Física, sendo as ao colocar em diálogo seus próprios três últimas áreas de conhecimento conhecimentos de mundo e de língua, consideradas sob a ótica da constituição como usuários dela, e as pistas do texto, das linguagens e códigos, não como oferecidas pelo gênero, pela situação de conteúdos conceituais isolados para comunicação e pelas escolhas do autor: avaliação; Nessa perspectiva, entende-se que ler não é 2- Matemática; extrair informação, decodificando letra por 3- História e Geografia; letra, palavra por palavra. Trata-se de uma 4- Ciências Naturais. atividade que implica estratégias de seleção, A Matriz para o Encceja concorre para a antecipação, inferência e verificação, sem as promoção de provas que dêem quais não é possível proficiência. É o uso desses oportunidade para jovens e adultos procedimentos que possibilita controlar o que aproveitarem o que aprenderam na vida vai sendo lido, permitindo tomar decisões prática, trabalhando com aspectos básicos diante de dificuldades de compreensão, da vida cidadã, como a tomada de avançar na busca de esclarecimentos, validar decisões e a identificação e resolução de no texto suposições feitas. problemas, a descrição de propostas e a (Brasil, c2000, v. 2, p. 69, 7º parágrafo) 16 Matem∙tica 9-38.pmd 16 11/7/2003, 09:21
    • I. As bases educacionais do ENCCEJA Devem-se considerar, entretanto, problematizando-os para que, por meio diferentes níveis de proficiência na da reflexão própria, ele reconheça o que leitura dos códigos e linguagens que já sabe e estabeleça conexões com o constituem as informações da realidade. conhecimento novo apresentado. Assim, A meio termo da formação básica, na para enfrentar situações-problema, são conclusão do Ensino Fundamental, os mobilizados elementos lógicos textos lidos ou formulados pelo pertinentes ao raciocínio científico e estudante da EJA já evidenciam uma também ao cotidiano, podendo explorar visão de mundo um tanto complexa, interações entre fatos e/ou idéias, para ainda que expressa em discurso mais entre eles estabelecer relações causais, sintético, mais direto, com muitos espaço-temporais, de forma e função, ou nomes do cotidiano preservados e seqüenciando grandezas. elementos do senso comum, se Não se pode perder de vista, tampouco, o comparados com produções do exercício simplificado da metacognição estudante em nível de Ensino Médio. por parte daqueles que pouco É a partir dessas concepções de leitura freqüentaram a escola. Não é de se esperar que as provas são elaboradas, como que possam raciocinar com desenvoltura possibilidades de abordagem pedagógica sobre a estrutura do conhecimento em si, das competências e habilidades do uma qualidade intelectual daqueles que Encceja na avaliação para certificação. freqüentaram a escola (Oliveira, 1999). Para tanto, os textos oferecidos em Respeitar essa característica representa questões de prova são rigorosos do ponto uma exigência para a formulação de uma de vista conceitual, ao observarem os prova em que se reconhecem as marcos teóricos de referência em cada possibilidades intelectuais dos cidadãos área de conhecimento. Contudo, procura- que não tiveram oportunidade de exercitar se delimitar cuidadosamente a diversidade a compreensão dos objetos de do vocabulário utilizado, além da conhecimento descontextualizada de suas magnitude da rede conceitual empregada ligações com a vida imediata. e das operações lógicas exigidas. Isso Portanto, sem perder de vista a pluralidade das realidades brasileiras e a porque o participante precisa de situações diversidade daqueles que buscam a adequadas para estabelecer relações mais certificação nesse nível de ensino, abrangentes e mais próximas das teorias propõe-se uma prova que apresenta uma científicas. Não se pode perder de vista temática atualizada, em nível pertinente que, em nível fundamental, ele necessita aos jovens e adultos que, para realizá-la, de orientação clara e concisa, além de um se inscrevem. Deve representar um tempo maior para a observação das desafio consistente, mas possível, representações de fenômenos, para as exeqüível e motivador, para que os comparações, as análises, a produção de participantes exercitem suas sínteses ou outros procedimentos. potencialidades lógicas e sua capacidade Com esses cuidados, é desejável propor crítica em questões de cidadania, aos jovens e adultos uma variedade de reconhecendo e formulando valores questões, envolvendo temas das áreas de essenciais à cultura brasileira, ao convívio conhecimento, sempre explicitando democrático e ao desenvolvimento conceitos mais complexos e pessoal. 17 Matem∙tica 9-38.pmd 17 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor B. A PROPOSTA DO ENCCEJA Desse modo, a função reparadora da EJA, PARA CERTIFICAÇÃO no limite, significa não só a entrada no circuito dos direitos civis pela restauração DO ENSINO MÉDIO de um direito negado: o direito a uma Pode-se afirmar que são múltiplos e escola de qualidade, mas também o diversos os fatores que estimulam a reconhecimento daquela igualdade busca de certificação do ensino médio na ontológica de todo e qualquer ser humano. Educação de Jovens e Adultos. Desta negação, evidente na história brasileira, resulta uma perda: o acesso a Dentre eles, destaca-se a exigência do um bem real, social e simbolicamente mundo do trabalho, pois, atualmente, a importante. Logo, não se deve confundir a necessidade da certificação no ensino noção de reparação com a de suprimento. médio se faz presente em diferentes atividades e setores profissionais. Ressaltam-se, também, os fatores É muito provável que, com as elevadas pessoais da busca do cidadão pela taxas de repetência e evasão nas últimas certificação: a vontade de continuar os décadas do século XX, muitos alunos estudos e a vontade política de obter o que não tiveram sucesso no sistema direito da cidadania plena. Esses educacional regular optem por essa aspectos são mais significativos do modalidade de ensino. Soma-se a esse ponto de vista daqueles que discutem a fato o difícil acesso à escola básica por Educação de Jovens e Adultos para motivos socioeconômicos diversos. certificação no ensino médio. Ela é Segundo o IBGE, em 1999, havia cerca direcionada para jovens e adultos com de 13,3% de analfabetos acima de 15 mais de dezenove anos que, por motivos anos. Em 2000, a distorção idade/série, diversos, não puderam freqüentar a no ensino médio, de acordo com dados escola no seu tempo regular. do MEC/INEP, é da ordem de 50,4%. No Tal fato é previsto na LDB 9.394/96 mesmo ano, os dados registram, quando considera o ensino médio como aproximadamente, 3 milhões de alunos etapa final da educação básica e a EJA matriculados em cursos da EJA. A oferta como uma das modalidades de da Educação de Jovens e Adultos para o escolarização. O direito político ensino médio (EM) está principalmente subjetivo do cidadão de completar essa a cargo dos sistemas estaduais, em etapa e, por sua vez, o dever de oferta parceria, muitas vezes, com redes educacional pública que permita superar privadas. as diferenças e aponte para uma Nesse sentido, as Secretarias de eqüidade possível são princípios que Educação têm-se mobilizado para criar não podem ser relegados, como afirma uma rede de atendimento e uma o Parecer da Câmara de Educação proposta de escola média coerente com Básica do Conselho Nacional de as necessidades previstas para essa Educação - Parecer CNE/CEB 11/2000, população, diversificando o Diretrizes Curriculares Nacionais para a atendimento no País. Educação de Jovens e Adultos: Deve ser também ressaltada a 18 Matem∙tica 9-38.pmd 18 11/7/2003, 09:21
    • I. As bases educacionais do ENCCEJA importância da avaliação e certificação Por sua vez, o Art. 4º da Resolução nessa modalidade de ensino. De acordo CNE/CEB 1/2000 diz que as Diretrizes com o Art. 10 da Resolução CNE/CEB 1/ Curriculares Nacionais (DCN), 2000, que estabelece as diretrizes estabelecidas na Resolução CNE/CEB 3/98 curriculares nacionais para a Educação e vigentes a partir da sua publicação, se de Jovens e Adultos: no caso de cursos estendem para a modalidade da semi-presenciais e a distância, os alunos Educação de Jovens e Adultos no só poderão ser avaliados, para fins de ensino médio, sua organização e certificados de conclusão, em exames processos de avaliação. supletivos presenciais oferecidos por A direção curricular proposta pelas instituições especificamente autorizadas, DCN-EM destaca o desenvolvimento de credenciadas e avaliadas pelo poder competências e habilidades distribuídas público, dentro das competências dos em áreas de conhecimento: Linguagens, respectivos sistemas... Códigos e suas Tecnologias, Ciências O Exame Nacional de Certificação de Humanas e suas Tecnologias, Ciências da Competências de Jovens e Adultos do Natureza e Matemática e suas Ensino Médio (ENCCEJA/EM) está Tecnologias. O caráter interdisciplinar articulado tanto para atender a essa das áreas está relacionado ao contexto prerrogativa quanto para responder à de vida social e de ação solidária, demanda, em sintonia com a lógica da visando à cidadania e ao trabalho. avaliação nacional. Nesse sentido, o Vale a pena lembrar que a LDB é a base Encceja/EM constitui uma possibilidade das DCNEM. No Art. 36, a LDB destaca de avaliação que, ao mesmo tempo, que o currículo do ensino médio deve respeita a diversidade e estabelece uma observar as seguintes diretrizes: a unidade nacional, ao apontar o que é educação tecnológica básica; a basicamente requerido para a compreensão do significado da ciência, certificação no ensino médio que faz das letras e das artes; o processo parte atualmente da educação básica. histórico de transformação da sociedade A Constituição de 1988, no Inciso II do e da cultura; a língua portuguesa como Art. 208, já apontava para a garantia da instrumento de comunicação, acesso ao institucionalização dessa etapa de conhecimento e exercício da cidadania. escolarização como direito de todo Além disso, dois aspectos merecem cidadão. A LDB estabeleceu, por sua vez, menção especial, pois marcam a a condição em norma legal, quando diferença em relação à organização atribuiu ao EM o estatuto de educação curricular do ensino médio: o eixo da básica (Art. 21), definindo suas tecnologia e dos processos cognitivos finalidades, ou seja, desenvolver o de compreensão do conhecimento. educando, assegurar-lhe a formação Assim, a caracterização das áreas procura comum para o exercício da cidadania e ser uma forma de estabelecer relações fornecer-lhe meios para progredir no internas e externas entre os trabalho e em estudos posteriores. (Art. conhecimentos, de abordá-los sob o 22) ângulo das correspondências próprias à sua divulgação para o público que 19 Matem∙tica 9-38.pmd 19 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor necessita dos saberes escolares para a como ator no contexto de preservação e vida social, o trabalho, a continuidade transformação social. dos estudos e o desenvolvimento pessoal. A noção de desenvolvimento e A definição na LDB do que é próprio aos avaliação de competências pode ensinos fundamental e médio não é permitir alguma compreensão desse colocada como forma de ruptura, mas sim processo de diversidade e unidade. de aprofundamento (compreensão) e O foco sobre a noção de competência, contexto (produção e tecnologia). Se, no nos documentos oficiais referentes à ensino fundamental, o caráter básico dos educação básica e no discurso saberes sociais públicos foi desenvolvido, acadêmico educacional, principalmente cabe, no ensino médio, aprofundá-los ou, a partir de 1990, instaura um eixo para então, desenvolvê-los. Essa consideração, reestruturação dos conteúdos escolares para EJA/EM, se deve ao fato de que a e de suas formas de transmissão e certificação no ensino médio não está, por avaliação, ou seja, é uma proposta de lei, atrelada à certificação no ensino mudança que procura aproximar a fundamental, havendo, no entanto, uma educação escolar da vida social continuidade entre as duas etapas da contemporânea. Nessa proposta, educação básica. De qualquer forma, ao destaca-se a perspectiva da término do EM, espera-se que o cidadão flexibilização da organização da tenha desenvolvido competências educação escolar, em respeito à cognitivas e sociais inseridas em um diversidade e identidade dos sujeitos da determinado sistema de valores e juízos, aprendizagem. Quais são as ou seja, aquele referente à ética e ao competências comuns que devem ser mundo do trabalho. socializadas para todos? A resposta a No caso do público participante da EJA/ essa pergunta fundamenta a educação EM, isso se torna mais evidente. A básica. Em seqüência, há outra questão idade, a participação no mundo do não menos relevante: como avaliá-las? trabalho, as responsabilidades sociais e O respeito à diversidade não deve ser civis são outras, diferentes daquelas dos identificado com o caos. Daí, a alunos da escola regular que se necessidade da responsabilização preparam para a vida. O público da EJA/ política e institucional em traçar um fio EM está na vida atuando como condutor que delimite os saberes e as trabalhador, pai de família, provedor. competências gerais com os quais todo Entretanto, se o ponto de partida é e qualquer processo deve comprometer- diferente, o ponto de chegada não o é. se, principalmente o de avaliação. Ao final do EM, espera-se que esse As diretrizes legais para a organização público possa dar continuidade aos da educação básica estão expressas em estudos com qualificação, disputar uma um conjunto de princípios que indica a posição no mercado de trabalho e transição de um ensino centrado em participar plenamente da cidadania, conteúdos disciplinares (didáticos) compartilhando os princípios éticos, seriados e sem contexto para um ensino políticos e estéticos da unidade e da voltado ao desenvolvimento de diversidade nacionais, colocando-se competências verificáveis em situações 20 Matem∙tica 9-38.pmd 20 11/7/2003, 09:21
    • I. As bases educacionais do ENCCEJA específicas. A avaliação assume um uma educação de qualidade para todos. papel fundamental nessa perspectiva, Educação básica e avaliação, portanto, definindo o sentido da escolarização. têm por objetivo promover a eqüidade na A ação prevista pelos sujeitos envolvidos participação social. na educação básica extrapola A proposta do ENCCEJA para certificação determinados padrões de pensamento até do Ensino Médio assume parte desse então valorizados pela escolarização papel institucional, procurando, por meio acrítica (identificar, reproduzir, de uma prova escrita, aferir, em condições memorizar, repetir) e aponta para a observáveis e com exigências definidas, necessidade de a escola sistematicamente as competências previstas para a realizar, em situações de aprendizagem, o educação básica. desenvolvimento de movimentos de O foco do ENCCEJA é a situação- pensamento mais complexos (analisar, problema para cuja resolução o comparar, confrontar, sintetizar). Tal participante deve mobilizar saberes proposição, amparada pelos estudos da cognitivos e conceituais (competências). Psicologia Cognitiva, Sociologia, A aprendizagem é destacada como Lingüística, Antropologia, exerce um referência à autonomia intelectual do efeito de reestruturação na Didática. O sujeito ao final da educação básica, saber, que por si só já é ação do sujeito, mediada pelos princípios da cidadania e ganha o status de uma intenção racional e do trabalho, na atualidade. As intelectual situada socialmente. O sujeito competências para a participação social desse saber é compreendido como um ser incluem a criatividade, a capacidade de único no contexto social. O saber fazer solucionar problemas, o senso crítico, a envolve o conhecimento do contexto, das informação, ou seja, o aprender a ideologias e de sua superação, em prol de conhecer, a fazer, a conviver e a ser. uma democracia desejada, para que o A Matriz de Competências indicada para homem possa conquistar de fato seus a avaliação do ENCCEJA/EM é um direitos. produto de discussão coletiva de O poder público e a administração inúmeros profissionais da educação, central assumem a responsabilidade de buscando contemplar os princípios indicar a formação requerida para os legais que regem a educação básica sujeitos na educação básica, na (Brasil,1999a; Brasil,1996; CNE, 1998; modalidade de EJA/EM, e mais, CNE, 2000). propõem formas de avaliação das O ENCCEJA/EM está estruturado com aprendizagens. base em Matrizes de referência que A avaliação é assumida como diálogo consideram a associação de cinco com a sociedade, garantindo o direito competências do sujeito com nove democrático da população interessada em competências previstas na Base saber o que de fato deve ser aprendido (e Nacional Comum para as áreas de aquilo que deveria ter sido aprendido), conhecimento (Linguagens, Códigos e para que possa compreender a função do suas Tecnologias; Ciências Humanas e processo educativo e exigir os direitos de suas Tecnologias; Ciências da Natureza 21 Matem∙tica 9-38.pmd 21 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor e Matemática e suas Tecnologias), cujos da aprendizagem que se apropriam dos cruzamentos definem as habilidades a conhecimentos e os transpõem para a serem avaliadas. As competências vida pessoal e social. No elenco das cognitivas básicas a serem avaliadas habilidades de cada área, estão são: o domínio das linguagens, a valorizadas as experiências extra- compreensão dos fenômenos, a seleção escolares e os vínculos entre a educação, e organização de fatos, dados e o mundo do trabalho e outras práticas conceitos para resolver problemas, a sociais, de tal maneira que o exame, argumentação e a proposição. estruturado a partir das matrizes, não Essas competências cognitivas são perca de vista a pluralidade de realidades articuladas com os conhecimentos e brasileiras e não deixe de considerar a competências sociais construídos e diversidade de experiências dos jovens e requeridos nas diferentes áreas, tendo adultos que a ele se submetem. por referência os sujeitos/interlocutores BIBLIOGRAFIA BRASIL. Constituição (1988). Constituição da República Federativa do Brasil: promulgada em 5 de outubro de 1988: atualizada até a Emenda Constitucional nº 20, de 15/12/1988. 21. ed. São Paulo: Saraiva, 1999a. ______. Lei n° 9.394, de 20 de dezembro de 1996. Estabelece as Diretrizes e Bases da Educação Nacional. Diário Oficial [da] República Federativa do Brasil. Poder . Executivo, Brasília, DF, v. 134, n. 248, p. 27.833-27.841, 23 dez. 1996. Seção 1. Lei Darcy Ribeiro. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais. 2. ed. Brasília, DF, c2000. 10 v. ______. Parâmetros Curriculares Nacionais: Língua Portuguesa. 2.ed. Brasília, DF, : 2000. v. 2. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação a Distância. Educação de Jovens e Adultos: salto para o futuro. Brasília, DF, 1999c. (Estudos. Educação a distância; v. 10) BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio. Brasília, DF, 1999d. 4v. CONSELHO NACIONAL DE EDUCAÇÃO (Brasil). Câmara de Educação Básica. Parecer nº 11, de 10 de maio de 2000. Diretrizes Curriculares Nacionais para Educação de Jovens e Adultos. Documenta Brasília, DF, n. 464, p. 3-83, maio 2000. Documenta, ______. Parecer n° 15, de junho de 1998. Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Documenta Brasília, DF, n. 441, p. 3-71, jun. 1998. Documenta, OLIVEIRA, M. K. de. Vygotsky: aprendizado e desenvolvimento, um processo sócio- histórico. 4. ed. São Paulo: Scipione, 1999. 111p. (Pensamento e ação no magistério). 22 Matem∙tica 9-38.pmd 22 11/7/2003, 09:21
    • II. Eixos conceituais que estruturam o ENCCEJA O ENCCEJA se vincula a um conceito constata é que alguns pressupostos mais estrutural e abrangente do aceitos no passado tornaram-se desenvolvimento da inteligência e gradativamente questionáveis e, até construção do conhecimento. Essa mesmo, abandonados diante de concepção, de inspiração fortemente investigações mais cuidadosas. construtivista, acha-se já amplamente Em que pese os processos avaliativos contemplada nos textos legais que escolares no Brasil caracterizarem-se, estruturam a educação básica no Brasil. ainda, por uma excessiva valorização da Tal concepção privilegia a noção de que memória e dos conteúdos em si, aos há um processo dinâmico de poucos essas práticas sustentadas pela desenvolvimento cognitivo mediado pela psicometria clássica vêm sendo interação do sujeito com o mundo que o substituídas por concepções mais cerca. A inteligência é encarada não como dinâmicas que, de um modo geral, levam uma faculdade mental ou como expressão em consideração os processos de de capacidades inatas, mas como uma construção do conhecimento, o estrutura de possibilidades crescentes de processamento de informações, as construção de estratégias básicas de ações experiências e os contextos socioculturais e operações mentais com as quais se nos quais o indivíduo se encontra. constroem os conhecimentos. A teoria de desenvolvimento cognitivo, Nesse contexto, o foco da avaliação proposta e desenvolvida por Jean Piaget recai sobre a aferição de competências e com cuidadosa fundamentação em dados habilidades com as quais transformamos empíricos, empresta contribuições das informações, produzimos novos mais relevantes para a compreensão da conhecimentos, reorganizando-os em avaliação que se estrutura com o Encceja. arranjos cognitivamente inéditos que Para Piaget (1936), a inteligência é um permitem enfrentar e resolver novos “termo genérico designando as formas problemas. superiores de organização ou de Estudos mais avançados sobre a avaliação equilíbrio das estruturas cognitivas (…) a da inteligência, no sentido da estrutura inteligência é essencialmente um que permite aprender, ainda são pouco sistema de operações vivas e atuantes”. praticados na educação brasileira. Envolve uma construção permanente do Ressalte-se, também, que a própria sujeito em sua interação com o meio definição de inteligência e a maneira físico e social. Sua avaliação consiste na como tem sido investigada constituem investigação das estruturas do pontos dos mais controvertidos nas áreas conhecimento, que são as competências da Psicologia e da Educação. O que se cognitivas. 23 Matem∙tica 9-38.pmd 23 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor Para Piaget, as operações cognitivas mental e sistematicamente testem cada possuem continuidade do ponto de uma delas para determinar qual é a vista biológico e podem ser divididas combinação que os levará a um em estágios ou períodos que possuem resultado desejado. características estruturais próprias, as Em muitos dos seus trabalhos, Piaget quais condicionam e qualificam as enfatizou o caráter de generalidade das interações com o meio físico e social. operações formais. Enquanto as Deve-se ressaltar que o estágio de operações concretas se aplicavam a desenvolvimento cognitivo que contextos específicos, as operações corresponde ao término da escolaridade formais, uma vez atingidas, seriam gerais básica no Brasil denomina-se período das e utilizadas na compreensão de qualquer operações formais, marcado pelo fenômeno, em qualquer contexto. advento do raciocínio hipotético- As competências gerais que são dedutivo. avaliadas no ENCCEJA estão É nesse período que o pensamento estruturadas com base nas científico torna-se possível, competências descritas nas operações manifestando-se pelo controle de formais da Teoria de Piaget, tais como a variáveis, teste de hipóteses, verificação capacidade de considerar todas as sistemática e consideração de todas as possibilidades para resolver um possibilidades na análise de um problema; a capacidade de formular fenômeno. hipóteses; de combinar todas as Para Piaget, ao atingir esse período, os possibilidades e separar variáveis para jovens passam a considerar o real como testar a influência de diferentes fatores; uma ocorrência entre múltiplas e o uso do raciocínio hipotético-dedutivo, exaustivas possibilidades. O raciocínio da interpretação, análise, comparação e pode agora ser exercido sobre enunciados argumentação, e a generalização dessas puramente verbais ou sobre proposições. operações a diversos conteúdos. O ENCCEJA foi desenvolvido com base Outra característica desse período de nessas concepções, e procura avaliar para desenvolvimento, segundo Piaget, certificar competências que expressam consiste no fato de as operações formais um saber constituinte, ou seja, as serem operações à segunda potência, ou possibilidades e habilidades cognitivas seja, enquanto a criança precisa operar por meio das quais as pessoas conseguem diretamente sobre os objetos, se expressar simbolicamente, estabelecendo relações entre elementos compreender fenômenos, enfrentar e visíveis, no período das operações resolver problemas, argumentar e elaborar formais, o jovem torna-se capaz de propostas em favor de sua luta por uma estabelecer relações entre relações. sobrevivência mais justa e digna. As operações formais constituem, também, uma combinatória que permite A. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS que os jovens considerem todas as possibilidades de combinação de Desde o princípio de sua existência, o elementos de uma dada operação homem enfrentou situações-problema para poder sobreviver e, ainda, em seu 24 Matem∙tica 9-38.pmd 24 11/7/2003, 09:21
    • II. Eixos conceituais que estruturam ENCCEJA estado mais primitivo, desprovido de conhecimentos que haviam sido qualquer recurso tecnológico, já buscava construídos e adquiridos no passado, à conhecer a natureza e compreender seus medida que ele podia contar com a fenômenos para dominá-la e, assim, tradição ditada pelos hábitos e garantir sua sobrevivência como espécie. costumes da sociedade de sua época, No entanto, à medida que, em seu com aquilo que sua cultura já processo histórico, foi alcançando formas determinava como certo. As mais evoluídas de organização social, características culturais, sociais, morais seus problemas de sobrevivência imediata e religiosas, entre outras, serviam-lhe foram sendo substituídos por outros. A como referências, indicando-lhe cada novo passo de evolução, o homem caminhos ou respostas. superou certos problemas abrindo novas Dessa maneira, ele orientava seu possibilidades de melhor qualidade de presente pelo passado, tendo neste vida, mas, ao mesmo tempo, abriu as passado o organizador de suas novas portas para novos desafios, importantes ações. Como resultado, ele podia para sua continuidade e sobrevivência. planejar seu futuro como se este já A história do homem registra o estivesse escrito e determinado em enfrentamento de contínuos desafios e função de suas ações presentes. situações-problema, sempre superados O avanço tecnológico dos dias atuais em nome de novas formas de desencadeou uma nova ordem de organização social, política, econômica transformações sociais, culturais, políticas e científica, cada vez mais evoluídas e e econômicas, imprimindo ao mundo complexas. Pode-se dizer que o novas relações numa velocidade tal, que enfrentamento de situações-problema traz para o homem, neste século, uma constitui uma condição que acompanha outra necessidade: a de se pautar não só a vida humana desde sempre. nas referências que o passado oferece Cada vez mais tecnológica e globalizada, como garantias ou tradições, mas, a sociedade que atravessou os portais do também, naquilo que diz respeito ao século XXI convida o homem à resolução futuro. de grandes problemas em virtude das Quanto mais as sociedades contínuas transformações em todas as contemporâneas avançam em seus áreas do conhecimento. Exige, ainda, conhecimentos tecnológicos e constantes atualizações, seja no mundo científicos, mais distanciado parece estar do trabalho ou da escola, seja no ritmo e o homem de sua humanidade. Quanto nas atribuições de enfrentamento do mais conforto e comodidade a vida cotidiano da vida, como, também, uma moderna pode oferecer, mais se outra qualidade de respostas, à proporção acentuam as diferenças sociais, culturais que assume características bem e econômicas, criando verdadeiros diferenciadas daquelas que, abismos entre os povos e entre as anteriormente, percorreram a história. populações de um mesmo país. Quanto Durante muitos séculos, o homem, para mais se conhece e se aprende, mais fica resolver problemas, contou com a distanciada uma boa parte da população possibilidade de se orientar a partir dos mundial do acesso à escolaridade, de 25 Matem∙tica 9-38.pmd 25 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor modo que, muito antes de se erradicar o da sociedade contemporânea, uma analfabetismo da face da Terra, já há a sociedade que, em termos de preocupação com a exclusão digital. conhecimento, está aberta para todos os Quanto mais se vivencia a globalização, possíveis, para todas as possibilidades. mais complicadas ficam as possibilidades O homem do século XXI, portanto, está de entendimento e comunicação, pois os diante de quatro grandes situações- ideais e valores – que preconizam a problema que implicam necessidades de liberdade do homem, a solidariedade resolução: aprender a conhecer, entre os povos, a convivência entre as aprender a ser, aprender a fazer e pessoas e o exercício de uma verdadeira aprender a conviver. Como conhecer ou cidadania – não correspondem a ações adquirir novos conhecimentos? Como concretas e efetivas. Dessa forma, o aprender a interpretar a realidade em mundo se debate entre guerras, um contexto de contínuas terrorismo, drogas, doenças, ignorância e transformações científicas, culturais, miséria. Essa é a natureza das situações- políticas, sociais e econômicas? Como problema que o homem contemporâneo aprender a ser, resgatando a sua enfrenta. Então, como preparar as humanidade e construindo-se como crianças e jovens com condições para pessoa? Como realizar ações em uma que possam aprender a enfrentar e prática que seja orientada solucionar tais problemas, superando-os simultaneamente pelas tradições do em nome de um futuro melhor? passado e pelo futuro que ainda não é? Como conviver em um contexto de Pensando na educação dessas crianças e tantas diversidades, singularidades e jovens, tal realidade traz sérias diferenças e em que o respeito e o amor implicações e a necessidade de estejam presentes? profundas modificações no âmbito escolar. Cada vez mais é preciso que os Em uma perspectiva psicológica, e, alunos saibam como aprender, como portanto, do desenvolvimento, conhecer e ser são duas formas de compreender fatos e fenômenos, como compreensão, à medida que se estabelecer suas relações interpessoais, expressam como maneiras de interpretar como analisar, refletir e agir sobre essa ou atribuir significados a algo, de saber nova ordem de coisas. Hoje, por as razões de algo, do ponto de vista do exemplo, um conhecimento científico, raciocínio e do pensamento, exigindo uma tecnologia ensinada na escola é do ser humano a construção de rapidamente substituída por outra mais ferramentas adequadas a uma leitura moderna, mais sofisticada e atualizada, compreensiva da realidade. Fazer e às vezes, antes mesmo que os alunos conviver são formas de realizaçâo, pois tenham percorrido um único ciclo de se expressam como procedimentos, escolaridade. Dessa maneira, vivem-se como ações que visam a um certo tempos nos quais os mais diferentes objetivo. Por sua vez, realizar e países revisam seus modelos conviver implicam que o ser humano educacionais, discutem e implementam saiba escrever o mundo, construindo reformas curriculares que sejam mais modos adequados de proceder em suas apropriadas para atender às demandas ações. Por isso, é preciso que 26 Matem∙tica 9-38.pmd 26 11/7/2003, 09:21
    • II. Eixos conceituais que estruturam ENCCEJA preparemos as crianças e jovens para aptidão, idoneidade. um mundo profissional e social que os Recentemente, competência tornou-se coloque continuamente em situações de uma palavra difundida, com freqüência, desafio, às quais requerem cada vez nos discursos sociais e científicos. mais saberes de valor universal que os Entretanto, Isambert-Jamati (1997) preparem para serem leitores de um afirma que não se trata simplesmente de mundo em permanente transformação. modismo porque o caráter É preciso, ainda, que os preparemos relativamente duradouro do uso dessa como escritores de um mundo que pede noção e a existência de uma certa a participação efetiva de todos os seus congruência em relação ao seu cidadãos na construção de novos significado, em esferas como as da projetos sociais, políticos e econômicos. educação e do trabalho, podem ser Portanto, do ponto de vista reveladores de mudanças na sociedade e educacional, tais necessidades implicam na forma como um grupo social partilha o compromisso com uma revisão certos significados. Nesse sentido, o curricular e pedagógica que supere o termo competência não é só revelador modelo da simples memorização de de certas mudanças como também pode conteúdos escolares que hoje se mostra contribuir para modelá-las, ou seja, insuficiente para o enfrentamento da comparece no lugar de certas noções, realidade contemporânea. Os novos ao mesmo tempo em que modifica seus tempos exigem um outro modelo significados. Pode-se dizer que, no educacional, voltado para o geral, o termo competência vem desenvolvimento de um conjunto de substituindo a idéia de qualificação no competências e de habilidades essenciais, domínio do trabalho, e as idéias de a fim de que crianças e jovens possam saberes e conhecimento no campo da efetivamente compreender e refletir educação. sobre a realidade, participando e agindo As razões da invasão do termo no contexto de uma sociedade competência, segundo Tanguy (1997), comprometida com o futuro. nas diferentes esferas da atividade social, são difíceis de precisar, embora, B. AS ORIGENS DO TERMO no caso da educação e do trabalho, COMPETÊNCIA possam estar associadas a uma série de movimentos geradores de concepções O sentido original da palavra nesses dois campos, bem como das competência é de natureza jurídica, ou inter-relações entre eles. Dentre tais seja, diz respeito ao poder que tem uma concepções ou crenças, podemos certa jurisdição de conhecer e decidir destacar: necessidade de superar o sobre uma causa. Gradativamente, o aspecto da instrução pelo da educação; significado estendeu-se, passando o reconhecimento da importância do termo a designar a capacidade de poder do conhecimento por todos os alguém para se pronunciar sobre meios sociais e de que a transmissão do determinado assunto, fazer determinada conhecimento não é tarefa exclusiva da coisa ou ter capacidade, habilidade, escola; institucionalização e 27 Matem∙tica 9-38.pmd 27 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor sistematização de princípios sobre de leitura, ou a condução de um formação contínua fora do âmbito automóvel. Mesmo tendo consciência escolar; exigência de superar a dessa série, não conseguiremos encontrar qualificação profissional precária e algo que possa traduzir a totalidade mecânica; necessidade de rever o ensino desses atos. disciplinar e o saber academicista ou Por outro lado, do ponto de vista descontextualizado; preocupação de externo, quando observamos os outros, colocar o aluno no centro do processo conseguimos, com relativa facilidade, educativo, como sujeito ativo. concluir sobre a existência desta ou A intervenção desses elementos sobre a daquela competência. Ao fazê-lo, no problemática da formação e entanto, ultrapassamos a mera descrição aprendizagens profissionais, além da dos atos, significando que aquela série necessidade de novas adaptações ao de ações é interpretada na sua mundo do trabalho e da escola, totalidade ou no conjunto que a traduz. acabaram por proporcionar uma Supõe-se, portanto, que há algo interno apropriação geral da noção de que articula e rege as ações, competência em vários países, possibilitando que sejam eficazes e provavelmente na expectativa de adequadas à situação, conforme atribuir novos significados às noções descreve Rey (1998). que ela pretende substituir nas Ao observarmos um bom patinador no atividades pedagógicas. Mais gelo, diz o autor, bastam alguns especificamente, no entanto, esse minutos para concluirmos se ele sabe referencial sobre a noção de patinar, ou seja, se ele é competente. competência tem-se imposto nas Em outras palavras, interpretamos que a escolas, inicialmente, por meio da sucessão de seus movimentos não é avaliação. Essas inter-relações meramente uma série qualquer, mas que produziram uma contaminação de ela é coordenada por um princípio significados, e o termo competência dominado pelo sujeito, residindo aí sua passou a ser usado com freqüência no competência. Ao atribuirmos esse poder sistema educativo, no qual ganhou ao patinador, assumimos a idéia de que outras conotações. seus futuros movimentos serão Dado esse caráter polissêmico da noção previsíveis, no sentido de que serão de competência, trata-se de precisar em adequados e eficazes. que sentido pretendemos utilizá-la. O que o autor quer mostrar é que a A NOÇÃO DE COMPETÊNCIA: A QUE SE APLICA? competência revela um poder interno e se Embora o uso do termo competência seja define pela anterioridade, ou seja, a comum, é difícil precisar o seu possibilidade de enfrentar uma situação significado. Se tentarmos descrever uma problema está, de certa forma, dada pelas das nossas competências, condições anteriores do sujeito. Ao conseguiremos, no máximo, elencar uma mesmo tempo, essa previsibilidade dá-nos série de ações que realizamos para a impressão de continuidade. A enfrentar uma situação-problema, tais competência não é algo passageiro, é algo como uma análise de fenômeno, um ato que parece decorrer natural e espontaneamente. 28 Matem∙tica 9-38.pmd 28 11/7/2003, 09:21
    • II. Eixos conceituais que estruturam ENCCEJA Em síntese, a idéia de competência mais restrito, competência é tida como retrata dois aspectos antagônicos mas comportamento objetivo e observável e solidários, que podem ser traduzidos de que se realiza como resposta a uma várias maneiras: interno e externo, situação. Essa forma de entender implícito e explícito, o da visibilidade competência se manifesta no campo da social e o da organização interna, o que formação profissional quando pressupõe na ação é observável e mais que a cada posto de trabalho estandardizado e o que é mais ligado ao corresponda uma lista de tarefas sujeito, portanto, singular e obscuro. específicas. No campo da educação, essa Esses aspectos podem ser encontrados noção de competência comparece nas teorias que fundamentam a noção associada à pedagogia por objetivos de competência, as quais abordam essa (Bloom,1972 e Mager, 1975), cuja idéia questão em dois pólos opostos. No central é a de que, para ensinar, é preciso primeiro pólo, estão as teorias que usam traçar objetivos claros e específicos, sem o termo competência como referência a ambigüidades, de tal forma que o atos observáveis ou comportamentos professor possa prever que seus alunos específicos, empregados, sobretudo, na serão capazes de alcançá-los. Para tanto, formação profissional e na concepção as competências devem-se confundir da aprendizagem por objetivos. No com o comportamento observável. Tal segundo pólo encontram-se, autores concepção está, portanto, diretamente que analisam as capacidades do sujeito associada às idéias de performance e resultantes de organização interna e eficácia (Ropé e Tanguy, 1997), bem não-observáveis diretamente: como acaba por fomentar a elaboração de listagens de comportamentos Assim, tanto a competência é concebida exigíveis em diferentes níveis dos como uma potencialidade invisível, programas de ensino. Na medida em que interna, pessoal, susceptível de engendrar a competência se reduz ao uma infinidade de “performances”, tanto comportamento observável, elimina-se ela se define por componentes do mesmo o seu caráter implícito. observáveis, exteriores, impessoais. Esse mesmo modelo, no sentido mais (Rey, 1998, p. 26) amplo, toma uma outra forma: a da ação funcional, ou seja, ser competente não é Esses dois sentidos do termo apenas responder a um estímulo e realizar competência são usados e convivem uma série de comportamentos, mas, alternadamente, tanto no mundo do sobretudo, ser capaz de, voluntariamente, trabalho como no mundo da escola. selecionar as informações necessárias para regular sua ação ou mesmo inibir as A concepção de competência como reações inadequadas. Na realidade, essa comportamento é a manifestação de um concepção pretende superar a falta de modelo teórico que guarda parentesco sentido produzida na consecução de com o behaviorismo, o qual tem objetivos. Ao introduzir a idéia de embasado o uso da noção de finalidade ao comportamento, fato que a competência de duas formas. No sentido pedagogia por objetivos desconsiderou, 29 Matem∙tica 9-38.pmd 29 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor acentua-se que, subjacente a um conhecimento é possível sem haver uma comportamento observável, consciente ou organização interna. automaticamente, existe uma organização Para Chomsky (1983), a competência realizada pelo sujeito, da qual se depreende lingüística não se confunde com a existência de um equipamento cognitivo comportamento. Ela deriva de um poder que organiza, seleciona e hierarquiza seus interno (núcleo fixo inato), expresso por movimentos em função dos objetivos a um conjunto de regras do qual o sujeito alcançar. Em outras palavras, a não tem consciência, que possibilita a competência não é redutível aos produção de comportamentos lingüísticos. comportamentos estritamente objetivos, Na abordagem piagetiana, a idéia de mas está vinculada sempre a uma atividade competência está atrelada à organização humana que, ligada à escola ou ao interna e complexa das ações humanas, trabalho, caracteriza-se por sua relação mas, diferentemente de Chomsky, funcional a tais atividades definidas Piaget (1983) discorda do caráter inato socialmente. dessa organização e enfatiza a sua Em síntese, embora existam essas dimensão adaptativa. Sustenta que a variações no sentido de competência progressividade do desenvolvimento como comportamento, em ambos ela é mental se apóia em um processo de vista no seu caráter específico e construção, no qual interferem o determinado: no primeiro caso, é limitada mínimo de “pré-formações” e o máximo pelos estímulos que a provocam; no de auto-organização. A competência, segundo, pela função que apresenta na nesse sentido, diz respeito à construção situação ou contexto que a exige. endógena das estruturas lógicas do Como já dissemos, um outro pólo da pensamento que, à medida que se análise teórica sobre competência não a estabelecem, modificam o padrão da identifica com comportamento; ela é ação ou adaptação ao meio e que considerada como uma capacidade geral Malglaive (1995) denomina de estrutura que torna o indivíduo apto a das capacidades. desenvolver uma variedade de ações A abordagem piagetiana, como que respondem a diferentes situações. sabemos, teve como preocupação Competência, nesse caso, refere-se ao mostrar as estruturas lógicas como funcionamento cognitivo interno do universais. Mesmo afirmando que todo sujeito. Essa concepção de competência conhecimento se dá em um contexto foi formulada em contraposição à idéia social e descrevendo o papel da de competências como comportamentos interação entre os pares como específicos, a partir das teorias de fundamental para o desenvolvimento do competência lingüística, proposta por raciocínio lógico, essa investigação não Chomsky (1983) e da auto-regulação do privilegiou a forma de atuação do desenvolvimento cognitivo, proposta contexto social ou das situações no por Piaget (1976). Embora divergindo a desenvolvimento das competências respeito da origem das competências cognitivas. A partir de contribuições da cognitivas, esses autores têm em sociologia e da antropologia, vários comum a crença de que nenhum estudos têm sido realizados no sentido 30 Matem∙tica 9-38.pmd 30 11/7/2003, 09:21
    • II. Eixos conceituais que estruturam ENCCEJA de mostrar as relações entre contextos mentais permite colocar a aprendizagem culturais e cognição, conforme descrito no contexto das operações e não apenas por Dias (2002). Nesse sentido, vale no do conhecimento ou do ressaltar as reflexões de Bordieu (1994), comportamento. quando afirma que a compreensão não é só o reconhecimento de um sentido C. AS COMPETÊNCIAS DO ENEM invariante, mas a apreensão da NA PERSPECTIVA DAS AÇÕES OU singularidade de uma forma que só OPERAÇÕES DO SUJEITO existe em um contexto particular. COMPETÊNCIAS COMO MODALIDADES Considerando as características do ESTRUTURAIS DA INTELIGÊNCIA mundo de hoje, quais os recursos A ressignificação da noção competência cognitivos que um jovem, concluinte da – nos meios educacionais e acadêmicos – educação básica, deve ter construído ao está muito provavelmente atrelada à longo desse período? A matriz de necessidade de encontrar um termo que competências do ENEM expressa uma substituísse os conceitos usados para hipótese sobre isso, ou seja, assume o pressuposto de que os conhecimentos descrever a inteligência, os quais se adquiridos ao longo da escolarização mostraram inadequados, quer pela deveriam possibilitar ao jovem domínio abrangência, quer pela limitação. No de linguagens, compreensão de primeiro caso, sabemos das dificuldades fenômenos, enfrentamento de de trabalhar com termos como situações-problema, construção de capacidade para expressar aquilo que argumentações e elaboração de deve ser objeto de desenvolvimento, até propostas. De fato, tais competências mesmo porque essa idéia carrega parecem sintetizar os principais conotações de aptidão, difíceis de aspectos que habilitariam um jovem a precisar. No segundo caso, a vinculação enfrentar melhor o mundo, com todas da inteligência à aquisição de as suas responsabilidades e desafios. comportamentos produziu uma visão Quais são as ações e operações pontual e molecular que reduz o valorizadas na proposição das desenvolvimento a uma listagem de competências da matriz? Como analisar saberes a serem adquiridos. Como esses instrumentos cognitivos em sua contraponto, a noção de competência função estruturante, ou seja, surgiu no discurso dos profissionais da organizadora e sistematizadora de um educação como uma forma de pensar ou um agir com sentido circunscrever o termo capacidade e individual e coletivo? Em outras alargar a idéia de saber específico. palavras, o que significam dominar e Nesse sentido, o construtivismo fazer uso (competência I); construir, contribuiu, de forma significativa, para aplicar e compreender (competência II); pensar a inteligência humana como selecionar, organizar, relacionar, interpretar, tomar decisões, enfrentar resultado de um processo de adaptações (competência III); relacionar, construir progressivas, portanto não polarizado argumentações (competência IV); no meio ou nas estruturas genéticas. Por recorrer, elaborar, respeitar e considerar outro lado, o conceito de operações (competência V)? 31 Matem∙tica 9-38.pmd 31 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor DOMINAR E FAZER USO domínio lingüístico para outro. Assim, A competência I tem como propósito tal competência requer do sujeito, por avaliar se o estudante demonstra exemplo, a capacidade de transitar da “dominar a norma culta da Língua dominar linguagem matemática para a linguagem Portuguesa e fazer uso da linguagem da história ou da geografia, e dessas, matemática, artística e científica”. para a linguagem artística ou para a linguagem científica. Significa ainda ser Dominar, segundo o dicionário, significa competente para reconhecer diferentes “exercer domínio sobre; ter autoridade tipos de discurso, sabendo usá-los de ou poder em ou sobre; ter autoridade, acordo com cada contexto. ascendência ou influência total sobre; prevalecer; ocupar inteiramente”. Fazer O domínio de linguagens implica um uso, pois, é sinônimo de dominar, já que sujeito competente como leitor do expressa ou confirma seu exercício na mundo, ou seja, capaz de realizar prática. leituras compreensivas de textos que se expressam por diferentes estilos de Dominar a norma culta tem significados comunicação, ou que combinem diferentes nas tarefas de escrita ou conteúdos escritos com imagens, leitura avaliadas. No primeiro caso, o charges, figuras, desenhos, gráficos, etc. domínio da norma culta pode ser Da mesma forma, essa leitura inferido, por exemplo, pela correção da compreensiva implica atribuir escrita, coerência e consistência textual, significados às formas de linguagem que manejo dos argumentos em favor das são apropriadas a cada domínio de idéias que o aluno quer defender ou conhecimento, interpretando seus criticar. Quanto às tarefas de leitura, tal conteúdos. Ler e interpretar significa domínio pode ser inferido pela atribuir significado a algo, apropriar-se compreensão do problema e de um texto, estabelecendo relações aproveitamento das informações entre suas partes e tratando-as como presentes nos enunciados das questões. elementos de um mesmo sistema. Além disso, sabemos hoje que o mundo Dominar linguagens implica ainda um contemporâneo se caracteriza por uma sujeito competente como escritor da pluralidade de linguagens que se realidade que o cerca, um sujeito que entrelaçam cada vez mais. Vivemos na saiba fazer uso dessa multiplicidade de era da informação, da comunicação, da linguagens para produzir diferentes informática. Basicamente, todas as textos que comuniquem uma proposta, nossas interações com o mundo social, uma reflexão, uma linha de com o mundo do trabalho, com as argumentação clara e coerente. outras pessoas, enfim, dependem dessa multiplicidade de linguagens para que Por isso, dominar linguagens implica possamos nos beneficiar das tecnologias trabalhar com seus conteúdos na modernas e dos progressos científicos, dimensão de conjecturas, proposições e realizar coisas, aprender a conviver, etc. símbolos. Nesse sentido, a linguagem constitui o instrumento mais poderoso Dominar linguagens significa, portanto, de nosso pensamento, à medida que ela saber atravessar as fronteiras de um lhe serve de suporte. 32 Matem∙tica 9-38.pmd 32 11/7/2003, 09:21
    • II. Eixos conceituais que estruturam ENCCEJA Por exemplo, pensar a realidade como Hoje, a compreensão de fenômenos, um possível, como é próprio do naturais ou não, tornou-se raciocínio formal (Inhelder e Piaget, imprescindível ao ser humano que se 1955), seria impraticável sem a quer participante ativo de um mundo linguagem, pois é ela que nos permite complexo, onde coabitam diferentes transitar do presente para o futuro, povos e nações, marcados por uma antecipando situações, formulando enorme diversidade cultural, científica, proposições. Não seria possível também política e econômica e, ao mesmo tempo, fazer o contrário, transitar do presente desafiados para uma vida em comum, para o passado, que só existe como uma interdependente ou globalizada. lembrança ou como uma imagem. Da Compreender fenômenos significa ser mesma maneira, raciocinar de uma competente para formular hipóteses ou forma hipotético-dedutiva também idéias sobre as relações causais que os depende da linguagem, pois sem ela não determinam. Ou seja, é preciso saber que teríamos como elaborar hipóteses, idéias um dado procedimento ou ação provoca e suposições que existem apenas em um uma certa conseqüência. Assim, se o plano puramente representacional e desmatamento desenfreado ocorre em virtual. todo o planeta, é possível supor que esse CONSTRUIR, APLICAR E COMPREENDER evento, em pouco tempo, causará desastres climáticos e ecológicos, por O objetivo da competência II é avaliar se o exemplo. estudante sabe “construir e aplicar construir conceitos das várias áreas do Além disso, a compreensão de conhecimento para a compreensão de fenômenos requer competência para fenômenos naturais, de processos formular idéias sobre a explicação causal histórico-geográficos, da produção de um certo fenômeno, atribuindo tecnológica e das manifestações sentido às suas conseqüências. Voltando artísticas”. ao exemplo anterior, não basta ao sujeito construir e aplicar seus conhecimentos Construir é uma forma de domínio que, para saber que as conseqüências do no caso das questões das provas, pode desmatamento serão os desastres implicar o exercício ou uso de muitas climáticos ou ecológicos, mas é preciso habilidades: estimar, calcular, também que ele compreenda as razões relacionar, interpretar, comparar, medir, que esse fato implica, ou seja, que observar etc. Em quaisquer delas, o estabeleça significados para ele. desafio é realizar operações que possibilitem ultrapassar uma dada Para isso, é necessário determinar situação ou problema, alcançando relações entre as coisas, inferir sobre aquilo que significa ou indica sua elementos que não estão presentes em conclusão. Construir, portanto, é uma situação, mas que podem ser articular um tema com o que qualifica deduzidos por aquelas que ali estão, sua melhor resposta ou solução, tendo trabalhar com fórmulas e conceitos. que, para isso, realizar procedimentos Nesse sentido, também fazemos uso da ou dominar os meios requeridos, linguagem, à medida que formulamos considerando as informações hipóteses para compreender um disponíveis na questão. fenômeno ou fato, ou elaboramos 33 Matem∙tica 9-38.pmd 33 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor conjecturas, idéias e suposições em um problema ou questão, seja encontrar relação a ele. Nesse jogo de elaborações ou produzir sua solução, a ação ou e suposições, trabalhamos, do ponto de operação que se quer destacar é a de vista operatório, com a lógica da saber enfrentar, sendo o resolver, por combinatória (Inhelder e Piaget, 1955), a certo, seu melhor desfecho, mas não o partir da qual é preciso considerar, ao único. Ou seja, o enfrentamento de mesmo tempo, todos os elementos situações-problema relaciona-se à presentes em uma dada situação. capacidade de o sujeito aceitar desafios que lhe são colocados, percorrendo um SELECIONAR, ORGANIZAR, RELACIONAR, processo no qual ele terá que vencer INTERPRETAR, TOMAR DECISÕES E ENFRENTAR obstáculos, tendo em vista um certo SITUAÇÕES-PROBLEMA objetivo. Quando bem sucedido nesse O objetivo da Competência III é avaliar enfrentamento, pode-se afirmar que o se o aluno sabe “selecionar organizar selecionar organizar, selecionar, sujeito chegou à resolução de uma relacionar interpretar dados e relacionar, situação-problema. Produzir resultados informações representados de diferentes com êxito no contexto de uma situação- formas, para tomar decisões e enfrentar problema pressupõe o enfrentamento da situações-problema”. situações-problema mesma. Pressupõe encarar dificuldades e Talvez a melhor forma de analisarmos as obstáculos, operando nosso raciocínio ações ou operações avaliadas nessa dentro dos limites que a situação nos competência seja fazermos a leitura em coloca. Tal como em um jogo de sua ordem oposta: enfrentar uma tabuleiro, enfrentar uma partida situação-problema implica selecionar, pressupõe o jogar dentro das regras – o organizar, relacionar e interpretar dados jogar certo –, sendo as regras aquilo que para tomar uma decisão. De fato, assim nos fornecem as coordenadas e os é. Tomar uma decisão implica fazer um limites para nossas ações, a fim de recorte significativo de uma realidade, às percorrermos um certo caminho durante vezes, complexa, ou seja, que pode ser a realização da partida. No entanto, nem analisada de muitos modos e que pode sempre o jogar certo é o suficiente para conter fatores concorrentes, no sentido que joguemos bem, isto é, para que de que nem sempre é possível dar vençamos a partida, seja porque nosso prioridade a todos eles ao mesmo adversário é mais forte, seja porque não tempo. Selecionar é, pois, recortar algo soubemos, ao longo do caminho, destacando o que se considera colocar em prática as melhores significativo, tendo em vista um certo estratégias para vencer. (Macedo, Petty critério, objetivo ou valor. Além disso, e Passos, 2000) tomar decisão significa organizar ou Da mesma maneira, uma situação – reorganizar os aspectos destacados, problema traz um conjunto de relacionando-os e interpretando-os em informações que, por analogia, funcionam favor do problema enfrentado. como as regras de um jogo, as quais, de Reparem que enfrentar uma situação- maneira explícita, impõem certos limites problema não é o mesmo que resolvê- ao jogador. É a partir desse dado real – as la. Ainda que nossa intenção, diante de regras – que o jogador enfrentará o jogo, 34 Matem∙tica 9-38.pmd 34 11/7/2003, 09:21
    • II. Eixos conceituais que estruturam ENCCEJA mobilizando seus recursos, selecionando Consideremos que convencer significa certos procedimentos, organizando suas vencer junto, ou seja, implica aceitar ações e interpretando informações para que o melhor argumento pode vir de tomar decisões que considere as melhores muitas fontes e que nossas idéias de naquele momento. partida podem ser confirmadas ou Tendo em vista esses aspectos, o que a reformuladas total ou parcialmente no competência III busca valorizar é a jogo das argumentações. Assim, saber possibilidade de o sujeito, ao enfrentar argumentar é convencer o outro ou a si situações-problema, considerar o real mesmo sobre uma determinada idéia. como parte do possível (Inhelder e Convencer o outro porque, quando Piaget, 1955). Se, para ele, as adotamos diferentes pontos de vista informações contidas no problema forem sobre algo, é preciso elaborar a melhor consideradas como um real dado que justificativa para que o outro apóie delimita a situação, pode transformá-lo nossa proposição. Convencer a si em uma abertura para todos os possíveis. mesmo porque, ao tentarmos resolver um determinado problema, RELACIONAR E ARGUMENTAR necessitamos relacionar informações, O objetivo da competência IV é verificar conjugar diversos elementos presentes relacionar se o aluno sabe “relacionar informações, em uma determinada situação, representadas em diferentes formas, e estabelecendo uma linha de conhecimentos disponíveis em situações argumentação mental sem a qual se concretas, para construir torna impossível uma solução argumentação consistente”. satisfatória. Nesse sentido, construir Relacionar refere-se às ações ou argumentação significa utilizar a melhor operações por intermédio das quais estratégia para apresentar e defender pensamos ou realizamos uma coisa em uma idéia; significa coordenar meios e função de outra. Ou seja, trata-se de fins, ou seja, utilizar procedimentos que coordenar pontos de vista em favor de apresentem os aspectos positivos da uma meta, por exemplo, defender ou idéia defendida. criticar uma hipótese ou afirmação. Para Por isso, a competência IV é muito isso, é importante sabermos descentrar, valorizada no mundo atual, tendo em ou seja, considerar uma mesma coisa vista que vivemos tempos nos quais as segundo suas diferentes perspectivas ou sociedades humanas, cada vez mais focos. Dessa forma, a conclusão ou abertas, perseguem ideais de democracia solução resultante da prática relacional e de igualdade. Em certo sentido, a vida expressa a qualidade do que foi analisado. pede o exercício dessa competência, pois Saber construir uma argumentação hoje a maioria das situações que consistente significa, pois, saber mobilizar enfrentamos requerem que saibamos conhecimentos, informações, experiências considerar diversos ângulos de uma de vida, cálculos, etc. que possibilitem mesma questão, compartilhando defender uma idéia que convence alguém diferentes pontos de vista, respeitando as (a própria pessoa ou outra com quem diferenças presentes no raciocínio de sediscute) sobre alguma coisa. cada pessoa. De certa forma, essa 35 Matem∙tica 9-38.pmd 35 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor competência implica o exercício da articular meios e fins, pensar e atuar cidadania, pois argumentar hoje se refere coletivamente. a uma prática social cada vez mais A sociedade contemporânea diferencia- necessária, à medida que temos que se de outras épocas por suas estabelecer diálogos constantes, transformações contínuas em todos os defender idéias, respeitar e compartilhar setores. Dessa maneira, as mudanças diferenças. sociais, políticas, econômicas, científicas RECORRER, ELABORAR, RESPEITAR E CONSIDERAR e tecnológicas de hoje se fazem com uma rapidez enorme, exigindo do O objetivo da competência V é valorizar a homem atualizações constantes. Não possibilidade de o aluno “recorrer aos recorrer mais é possível que solucionemos os conhecimentos desenvolvidos na escola problemas apenas recorrendo aos para elaboração de propostas de conhecimentos e à sabedoria que a intervenção solidária na realidade, humanidade acumulou ao longo dos respeitando os valores humanos e tempos, pois estes muitas vezes se considerando a diversidade mostram obsoletos. A realidade nos sociocultural”. impõe hoje a necessidade de criar novas Recorrer significa levar em conta as soluções a cada situação que situações anteriores para definir ou enfrentamos, sem que nos pautemos calcular as seguintes até chegar a algo apenas por esses saberes tradicionais. que tem valor de ordem geral. Uma das Por essas razões, elaborar propostas é conseqüências, portanto, da recorrência é uma competência essencial, à medida sua extrapolação, ou seja, podermos que ela implica criar o novo, o atual. aplicá-la a outras situações ou encontrar Mas, para criar o novo, é preciso que o uma fórmula ou procedimento que sujeito saiba criticar a realidade, sintetiza todo o processo. Elaborar compreender seus fenômenos, propostas, nesse sentido, é uma forma de comprometer e envolver-se ativamente extrapolação de uma recorrência. Propor com projetos de natureza coletiva. Vale supõe tomar uma posição, traduzir uma dizer que tal competência exige a crítica em uma sugestão, arriscar-se a capacidade do sujeito exercer sair de um papel passivo. Por extensão, verdadeiramente sua cidadania, agindo acarreta a mobilização de novas sobre a realidade de maneira solidária, recorrências, tornando-se solidário, isso envolvendo-se criticamente com os é, agindo em comum com outras pessoas problemas da sua comunidade, propondo ou instituições. Este agir em comum novos projetos e participando das implica aprender a respeitar, ou seja, decisões comuns. considerar o ponto de vista do outro, BIBLIOGRAFIA BLOOM, B. S.; KRATHWHL, D. R.; MASIA, B. Taxionomia de objetos educacionais. Porto Alegre: Globo, 1972. v. 1. Domínio Cognitivo. 36 Matem∙tica 9-38.pmd 36 11/7/2003, 09:21
    • II. Eixos conceituais que estruturam ENCCEJA BORDIEU, P. A economia das trocas simbólicas. In: ORTIZ, Pierre (Org.). Sociologia. 2. ed. São Paulo: Ática, 1994. p.156-183. (Grandes cientistas sociais; v. 39). Tradução de Paula Monteiro, Alícia Auzemendi. BRASIL. Leis etc. Lei n° 9.394, de 20 de dezembro de 1996. Estabelece as Diretrizes e Bases da Educação Nacional. Diário Oficial [da] República Federativa do Brasil, Brasília, DF, v. 134, n. 248, p. 27.833-27.841, 23 dez. 1996. Seção 1. CHOMSKY, N. A propósito das estruturas cognitivas e de seu desenvolvimento: uma resposta a Jean Piaget. In: PIATTELLI-PALMARINI, Massimo (Org.). Teorias da linguagem, teorias da aprendizagem: o debate entre Jean Piaget & Noan Chomsky. Tradução de Álvaro Alencar. São Paulo: Cultrix: Ed. Universidade São Paulo, 1983. FERREIRA, A. B. de H. Novo dicionário da língua portuguesa. 2. ed. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1986. 1.838 p. INHELDER, B.; PIAGET, J. De la logica del niño a la logica del adolescente. Buenos Aires: Piados, 1972. INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS. ENEM – Exame Nacional do Ensino Médio: documento básico, 2000. Brasília, DF, 1999. ISAMBERT-JAMARTI, V. O apelo à noção de competência na revista L’Orientation Scolaire et Professionnelle: da sua criação aos dias de hoje. In: ROPÉ, F.; TANGUY, Lucie (Org.). Saberes e competências: o uso de tais noções na escola e na empresa. Campinas: Papiros, 1997. p. 103-133. Tradução de Patrícia Chittonni Ramos e equipe do ILA da PUC/RS. MACEDO, L; TORRES, M. Z. Lógica operatória e competências do sujeito. In: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS. Certificação de competências na educação de jovens e adultos: fundamentos. Brasília, DF, 2002. Capítulo 3. MAGER, R. F. A formação de objetivos de ensino. Porto Alegre: Globo, 1975. 138 p. Tradução de Casete Ramos com a colaboração de Débora Karam Galarza. MALGLAIVE, G. Ensinar adultos: trabalho e pedagogia. Porto, Port.: Ed. Porto, 1995. 271p. (Coleção Ciências da Educação; v. 16). Tradução de Maria Luiza Alvares Pereira et al. PIAGET, J. A equilibração das escrituras cognitivas problema central do cognitivas: desenvolvimento. Rio de Janeiro: Zahar, 1976. 175 p. (Ciências da Educação). Tradução de Marion Merlone dos Santos Penna. ______. Fazer e compreender São Paulo: Melhoramentos, 1978. 186 p. (Biblioteca compreender. de Educação Melhoramentos). Tradução de Christina Larroude de Paula Leite. ______. Psicogênese dos conhecimentos e seu significado epistemológico. In: PIATTELLI-PALMARIM, Massimo (Org.). Teorias da linguagem, teorias da aprendizagem: o debate entre Jean Piaget & Noan Chomsky. São Paulo: Cultrix, 1983. Tradução de Álvaro Alencar. 37 Matem∙tica 9-38.pmd 37 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor PIAGET, Jean; GARCIA, R. Psicogénesis e história de la ciência. México, DF: Siglo XXI, 1984. RAMOZZI-CHIAROTTINO, Z. Psicologia e epistemologia genética de Jean Piaget. São Paulo: EPU, 1988. REY, B. Les compétences transversales en question Paris: ESF, 1998. question. ROPÉ, F. Dos saberes às competências? o caso do francês. In: ROPÉ, Françoise; TANGUY, Lucie (Org.). Saberes e competências: o uso de tais noções na escola e na empresa. Campinas: Papirus, 1997. p. 69-100. Tradução de Patrícia Chittoni Ramos e equipe ILA da PUC/RS. ______. Racionalização pedagógica e legitimidade política. In: ROPÉ, Françoise; TANGUY, Lucie (Org.). Saberes e competências: o uso de tais noções na escola e na empresa. Campinas: Papirus, 1997. p. 25-67. Tradução de Patrícia Chittoni Ramos e equipe ILA da PUC/RS. 38 Matem∙tica 9-38.pmd 38 11/7/2003, 09:21
    • III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA A Matemática no Ensino Fundamental Célia Maria Carolino Pires Este texto tem a finalidade de cada vez mais do conhecimento contribuir para o trabalho de tecnológico. Explicitar essa necessidade professores e especialistas em é uma das contribuições deste material. Educação de Jovens e Adultos. Ele A proposta de construção autônoma de está organizado em duas partes. conhecimentos por estudantes, com ou sem Inicialmente apresentamos alguns a interferência da escola, nos remete ao que elementos sobre o conhecimento Dowbor (1994) aponta como matemático e seu papel na formação do transformações significativas em termos do cidadão do novo milênio, para, em chamado “espaço do conhecimento” que seguida, relacionar essa reflexão à caracteriza sociedades contemporâneas: formulação das diferentes competências • é necessário repensar de forma mais que devem ser constituídas por um dinâmica a questão do universo de jovem ou adulto ao final do Ensino conhecimentos a trabalhar; Fundamental. • neste universo de conhecimentos, Como aprender Matemática é um direito assumem maior importância relativa às básico desses jovens e adultos, a linha metodologias, reduzindo-se ainda mais orientadora deste trabalho evidencia o a dimensão “estoque” de conhecimentos papel dessa área de conhecimento na a transmitir; formação de todas as pessoas, atendendo • aprofunda-se a transformação da a suas necessidades individuais e sociais. cronologia do conhecimento: a visão de Sabemos que a falta de recursos para homem que primeiro estuda, depois obter e interpretar informações impede a trabalha e depois se aposenta, torna-se participação efetiva e a tomada de cada vez mais anacrônica e a decisões em relação aos problemas complexidade das diversas cronologias sociais e dificulta o acesso às posições de aumenta; trabalho numa sociedade que depende 39 Matem∙tica 39-75.pmd 39 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental • modifica-se profundamente a função do compatível com os saberes que educando, em particular do adulto, como construíram ao longo de sua vivência. sujeito da própria formação diante da Assim, a Matemática a ser ensinada e diferenciação da riqueza dos espaços de avaliada deve ter, por um lado, um conhecimento nos quais deverá participar; caráter prático, na medida em que ajuda • a luta pelo acesso aos espaços de a resolver problemas do cotidiano das conhecimento vincula-se ainda mais pessoas, não só permite que não sejam profundamente ao resgate da cidadania , enganadas, mas também possibilita o em particular para a maioria pobre da exercício de sua cidadania. Por outro população, como parte integrante das lado, também deve contribuir para o condições de vida e de trabalho; desenvolvimento do raciocínio, da • finalmente, longe de tentar ignorar as lógica, da coerência, o que transcende transformações, ou de atuar de forma os aspectos práticos. defensiva, precisamos penetrar nas Quanto maiores forem a gama e a novas dinâmicas para entender sob que diversidade de conhecimentos trabalhados forma os seus efeitos podem ser por jovens e adultos, maior poderá ser a invertidos, levando a um processo sua compreensão da Matemática. Desse reequilibrador da sociedade, ao passo modo, diferentes campos da Matemática que hoje apenas reforçam as devem integrar, de forma articulada, as polarizações e desigualdades atividades e experiências matemáticas em (Dowbor, p.119). qualquer projeto educativo. Não apenas as questões aritméticas e algébricas devem MATEMÁTICA, OS JOVENS E OS ADULTOS merecer atenção, mas também são fundamentais os trabalhos geométricos e As pessoas e os grupos sociais têm o métricos e os trabalhos que envolvem o direito de serem iguais quando a raciocínio combinatório, o probabilístico e diferença os inferioriza e o direito de as análises estatísticas. serem diferentes quando a igualdade os Essa população deve compreender a descaracteriza. atividade matemática como inserida no (Santos, 1988) mundo contemporâneo ao trabalhar com estimativa tanto quanto com cálculos Quando se discute a educação exatos, ao fazer bom uso dos matemática e sua apropriação por jovens equipamentos tecnológicos (como por e adultos com pouca escolarização, a exemplo, a calculadora), ao explorar o afirmação acima é bastante cálculo mental e dominar procedimentos esclarecedora, pois: para a validação de resultados etc. Isso • jovens e adultos têm direito de se pressupõe superar formas de trabalho apropriar de conhecimentos empobrecedoras em que se manipulam matemáticos para não serem resultados, fórmulas, regras, na resolução discriminados, inferiorizados; mecânica de exercícios padronizados. • jovens e adultos têm o direito de se Aspectos importantes, especialmente apropriar de conhecimentos para jovens e adultos que não matemáticos, de forma coerente e concluíram o ensino fundamental, são a 40 Matem∙tica 39-75.pmd 40 11/7/2003, 09:21
    • III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA seleção e a organização de informações problemas e para a aprendizagem/ relevantes. Num mundo em que há uma construção de novos conceitos. grande massa de informações, algumas Perrenoud explicita essa idéia. contraditórias, outras pouco relevantes, é A supremacia do conhecimento necessário que o cidadão consiga fazer fragmentado de acordo com as uma triagem e uma avaliação constantes. disciplinas impede freqüentemente que Outro aspecto fundamental é o uso da se opere o vínculo entre as partes e a língua materna e de suas relações com a totalidade, e deve ser substituída por um linguagem e as representações modo de conhecer capaz de apreender os matemáticas. Os textos matemáticos objetos em seu contexto, sua são, geralmente, os grandes ausentes complexidade, seu conjunto. nos estudos dessa disciplina. Assim, é Para dimensionar o papel da Matemática importante que esses jovens e adultos na formação de um jovem ou de um possam ler e escrever pequenos textos adulto é importante que se discuta, de relatando suas conclusões, justificando um lado, a natureza desse conhecimento, as hipóteses que levantam - não suas características principais e seus importa se de forma correta ou não. métodos particulares; de outro, é Também o auto-conceito que cada fundamental discutir suas articulações pessoa faz de sua “capacidade com outras áreas de conhecimento e matemática” é um dos fatores suas efetivas contribuições para a relevantes do sucesso ou do fracasso de formação da cidadania e para a sua aprendizagem. Por esse motivo, é constituição de sujeitos da necessário que os estudantes percebam aprendizagem. que são capazes de resolver problemas, de raciocinar, como fazem, MATEMÁTICA: A NATUREZA DE cotidianamente, na sua luta pela UM CONHECIMENTO MILENAR sobrevivência, e que relacionem suas A Matemática compõe-se de um estratégias de solução com as propostas conjunto de conceitos e procedimentos pelas formas canônicas da matemática. que engloba métodos de investigação e Finalmente, o significado da raciocínio, formas de representação e Matemática para um jovem ou um comunicação. Compõem-na tanto os adulto deve ser ampliado para que ele seus modos próprios de compreender, compreenda que o mesmo resulta de atuar, organizar e indagar o mundo, conexões entre os diferentes temas construídos historicamente, como o matemáticos e as demais áreas do conhecimento gerado nesses processos conhecimento e as situações do de interação do homem com os cotidiano. contextos naturais, sociais e culturais. Assim, o estabelecimento de relações é A Matemática tem sido considerada fundamental para que o estudante muitas vezes como um corpo de compreenda efetivamente os conteúdos conhecimento imutável e verdadeiro, que matemáticos, pois, abordados de forma deve ser assimilado pelo sujeito. No isolada, eles não se tornam uma entanto, ela é uma ciência viva, tanto no ferramenta eficaz para resolver cotidiano dos cidadãos, como nos 41 Matem∙tica 39-75.pmd 41 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental centros de pesquisa ou de produção de independente da mente que as novos conhecimentos, os quais têm-se contempla. No entanto, a qualquer constituído instrumentos úteis na tempo, os matemáticos têm somente solução de problemas científicos e uma visão incompleta e fragmentária tecnológicos, em diferentes áreas do deste mundo das idéias (ibid, p. 360). conhecimento. Jovens e adultos precisam Já para o Formalismo, não há objetos de informações adequadas que lhes matemáticos. A Matemática consiste permitam conceber a Matemática dessa somente de axiomas, definições e forma, para encará-la sem medo e sem os teoremas, em outras palavras, fórmulas. preconceitos tão comuns. Eles podem Em uma visão extrema, existem regras construir uma relação mais rica com o por meio das quais se deduz uma conhecimento matemático na medida em fórmula da outra, mas as fórmulas não que descobrirem que a Matemática se se referem à coisa alguma, eles são aplica às mais variadas atividades somente cadeias de símbolos. humanas – das mais simples utilizações Se por um lado, formalistas e platonistas na vida cotidiana às mais complexas estão em extremos opostos do problema elaborações de outras ciências. da existência e da realidade, por outro, É interessante observar que, mesmo entre ambos não discutem por que os matemáticos, nem sempre há consenso princípios de raciocínio deveriam ser quanto à natureza do conhecimento da admissíveis na prática matemática. área. A esse respeito, podemos destacar o Opostos a ambos estão os construtivistas que Davis & Hersh (1986) apresentam que consideram matemática genuína sobre os dogmas-padrão presentes em somente o que pode ser obtido por uma qualquer discussão sobre os fundamentos construção finita. da matemática, ou seja, o Platonismo, o Há, portanto, maneiras diferentes e Formalismo e o Construtivismo. controversas no que diz respeito ao que Segundo o Platonismo, os objetos vêm a ser a matemática e o pensamento matemáticos são reais. Sua existência é matemático. Evidentemente, também não fato objetivo, totalmente independente há concordância absoluta quando se de nosso conhecimento sobre eles. Estes discutem propostas para o ensino e a objetos não são, naturalmente, físicos ou aprendizagem dessa disciplina. materiais. Existem fora do espaço e do A ATIVIDADE MATEMÁTICA COMO CRIAÇÃO, tempo da experiência física. São PRODUÇÃO, FABRICAÇÃO imutáveis - não foram criados e não mudarão ou desaparecerão. Citando Em parte significativa da produção Thom (1971), adepto entusiasta do didática para o ensino de Matemática, platonismo, aqueles autores destacam a podem-se perceber alguns consensos. seguinte afirmação: Em primeiro lugar, a atividade Levando tudo em conta, os matemáticos matemática da sala de aula passa a ser deveriam ter a coragem de suas vista não mais como o olhar e o convicções mais profundas ao afirmar desvelar, mas como a criação, a assim que as formas matemáticas têm, produção, a fabricação. com efeito, uma existência que é 42 Matem∙tica 39-75.pmd 42 11/7/2003, 09:21
    • III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA Em segundo lugar, os conceitos processos pelos quais os conceitos matemáticos não são mais entendidos matemáticos se formam e se como sendo transmitidos hereditariamente, desenvolvem, fornecendo o quadro das como dom, ou socialmente, como capital características próprias da atividade cultural, mas, sim, como o resultado de um matemática na história. De outro lado, trabalho do pensamento – o dos buscam a compreensão dos processos matemáticos, no curso da história, e o do gerais do pensamento presentes na aluno, no curso de sua aprendizagem. construção do conhecimento Um outro aspecto que agrega um grande matemático de cada indivíduo. número de adeptos refere-se ao Desse modo, quer na explicitação da compromisso com a democratização do formação histórica dos conceitos e ensino dessa disciplina, o que supõe o processos matemáticos, de suas rompimento com uma concepção elitista contradições, rupturas, reestruturações, de um universo matemático que existiria do desenvolvimento e interrelações dos em si mas que só seria acessível a vários campos da matemática, quer na algumas pessoas. Hoje se pensa a explicação da formação dos conceitos atividade matemática como um trabalho pelos indivíduos, a presença da acessível a todos, desde que se atendam Epistemologia no campo da Didática da certas orientações pedagógicas. Matemática fica patente e mostra que Há, atualmente, uma grande preocupação são dois campos inseparáveis em no sentido de desfazer dois mitos: o qualquer reflexão sobre o ensino. primeiro, do tipo biológico/genético, Ainda sobre essa questão, Charlot segundo o qual “Matemática é algo para (1987) considera que as concepções quem tem dom”, para quem é tradicionais de aprendizagem da geneticamente dotado de certas qualidades; Matemática baseavam-se em um outro, do tipo sociológico, segundo o qual é conjunto de crenças que resume da preciso ter um capital cultural para atingir o seguinte forma: universo matemático. O matemático revela as verdades e o Contrapor o “trabalho” à dupla “dom/ professor deve dirigir o ‘olhar da alma’ capital” é um desafio a que se responde do estudante para essas verdades. Em pela idéia de que fazer matemática é conseqüência, o que o professor retira fundamental. Isso significa não mais da atividade do matemático não é mais receber coisas prontas para memorizar, e a atividade, ela mesma, que muito mais sim desenvolver um trabalho em que o freqüentemente ele próprio ignora, ou pensamento constrói conceitos. Ao quando não silencia, mas são os resolver problemas partindo de conceitos resultados dessa atividade, os teoremas, já construídos, levantando hipóteses, as demonstrações, as definições, os testando-as, fazendo transferências, é que axiomas. O professor é também levado a os conceitos matemáticos se constroem. supervalorizar a forma na qual esses Nesse contexto, as investigações resultados são apresentados. predominantes hoje são as que buscam, De acordo com as tendências mais de um lado, explicações sobre os recentes, o rigor de pensamento e a 43 Matem∙tica 39-75.pmd 43 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental correção do vocabulário não se colocam desenvolver nos alunos a capacidade de se como exigências impostas ao estudante. posicionar diante das estatísticas, das Eles continuam sendo um dos objetivos pesquisas, dos índices, das tabelas, dos essenciais da aprendizagem matemática, gráficos, da utilização da argumentação mas adquirem novos contornos: o rigor, matemática nos discursos sociais e em si mesmo não faz sentido, ou seja, políticos, fazendo com que não sejam espera-se que o estudante possa usar a levados a conceber a Matemática como linguagem matemática não de forma um universo muito particular e inacessível. arbitrária mas como uma necessidade de É, enfim, a aprendizagem matemática quem deseja comunicar os resultados de repousando sobre uma concepção de sua atividade e também defendê-los homem e de suas relações diante do saber, diante das contestações. da cultura, da história e dos outros Outro aspecto relevante e homens. Como afirma Santos (1988): constantemente reforçado é o de que o Todo conhecimento é autoconhecimento: ponto de partida da atividade a ciência moderna consagrou o homem matemática não é a definição, mas o enquanto sujeito epistêmico mas problema. Esse problema não é expulsou-o, tal como a Deus, enquanto certamente um exercício em que o aluno sujeito empírico. Um conhecimento deve aplicar, de forma quase mecânica, objetivo, factual e rigoroso não tolerava a uma fórmula ou um procedimento. interferência dos valores humanos ou Espera-se que o aluno possa enfrentar o religiosos. Foi nessa base que se construiu problema interpretando-o e estruturando a distinção dicotômica sujeito/objeto. a situação em que é apresentado. Além Hoje o objeto é a continuação do sujeito, disso, é preciso que ele não só encontre por outros meios (...). No futuro não se respostas para uma questão mas também tratará tanto de sobreviver como de saber e, principalmente, saiba formular a viver. Para isso, é necessária uma outra questão pertinente quando se encontra forma de conhecimento, um diante de uma situação problemática. conhecimento compreensivo e íntimo que A recompensa de um problema resolvido não nos separe e antes nos una não é apenas a sua solução, mas a pessoalmente ao que estudamos. satisfação do indivíduo em resolvê-lo por seus próprios meios, é a imagem COMPETÊNCIAS E HABILIDADES que ele pode ter de si mesmo, como MATEMÁTICAS EM DISCUSSÃO alguém capaz de resolver problemas, de fazer matemática, de aprender. As reflexões sobre o conhecimento Portanto, importa também que o aluno matemático, sua natureza, seu papel na forme uma imagem positiva de si diante sociedade hoje, sua construção da Matemática, do saber escolar, do individual e coletiva trazem para a mundo adulto, do futuro. educação de jovens e adultos o desafio Desse modo, destacam-se além dos de refletir a respeito da colaboração que aspectos psicológicos e culturais, o a Matemática tem a oferecer com vistas enfoque social e político, na medida em à formação da cidadania. Ou seja, sua que se ressalta a importância de contribuição para a constituição de 44 Matem∙tica 39-75.pmd 44 11/7/2003, 09:21
    • III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA condições humanas de sobrevivência, constituídos, como também relacioná- para a inserção das pessoas no mundo los à utilização em outros contextos do trabalho, das relações sociais e da internos da própria matemática e em cultura, com o desenvolvimento de problemas históricos. posicionamento crítico e propositivo O reconhecimento desses saberes é diante das questões sociais. fundamental para compor a malha de Nesse sentido, é fundamental que significados de muitos conteúdos a serem jovens e adultos sejam estimulados a estudados, embora seja importante construir competências como as que considerar que esses significados também serão destacadas e comentadas a seguir. devem ser explorados em outros 1. Compreender a matemática como contextos, como por exemplo, nas construção humana, relacionando o seu questões internas da própria Matemática e desenvolvimento com a transformação em problemas históricos. da sociedade. 2. Ampliar formas de raciocínio e A importância da constituição desta processos mentais por meio de intuição, competência tem como justificativa a dedução, analogia e estimativa, utilizando necessidade de que o conhecimento conceitos e procedimentos matemáticos. matemático seja percebido pelo estudante No geral, acredita-se que a Matemática é como historicamente construído. No a ciência do certo ou errado, em que entanto, não basta o estudante aquilo que conta é saber antecipadamente compreender os fatos históricos. É como resolver um dado problema. Ao também necessário que ele faça ligações e valorizar a prática dos processos tome como referência os conceitos heurísticos de pensamento, pretende-se decorrentes das vivências pessoais e que o estudante desenvolva a autonomia interações sociais. Jovens e adultos têm para pensar e resolver problemas. conhecimentos bastante diversificados e Nas situações gerais de aprendizagem, podem enriquecer a abordagem escolar mas principalmente na EJA, o formulando questionamentos, desenvolvimento dessa competência confrontando possibilidades, propondo depende do envolvimento do estudante alternativas a serem consideradas. em processos de raciocínio e No que se refere à Matemática, muitos argumentação lógica que permitem criar jovens e adultos, mesmo com pouca uma cultura positiva em relação à escolarização, dominam noções matemática, muito diferente daquela em matemáticas que foram aprendidas de que se valorizam apenas procedimentos maneira informal ou intuitiva nas suas algorítmicos e respostas rápidas e certas. vivências práticas. Espera-se que 3. Construir significados e ampliar os já possam ressignificar essas noções, existentes para os números naturais, utilizando representações simbólicas inteiros e racionais. convencionais, e construindo relações O pensamento numérico é sem dúvida mais amplas. uma das importantes balizas do Os estudantes devem reconhecer a conhecimento matemático. Desse relevância dos saberes assim modo, é necessário que o sujeito não 45 Matem∙tica 39-75.pmd 45 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental apenas amplie mas também construa A percepção dos aspectos estéticos da novos significados para os números geometria e a sua relação com contextos naturais, inteiros e racionais. ricos e estimulantes, como os da natureza, Essa ampliação se verifica tanto quando da arte e da arquitetura, devem o estudante realiza a exploração de possibilitar o estabelecimento de vínculos situações presentes no contexto social, positivos entre o aluno e matemática. como pela análise de alguns problemas 5. Construir e ampliar noções de grandezas históricos que motivaram sua e medidas para a compreensão da realidade construção. Espera-se que o aluno e a solução de problemas do cotidiano. construa significados numéricos Talvez um dos mais férteis assuntos mediante resolução de situações- para o estabelecimento de conexões problema (articuladas ao cotidiano) que seja o estudo de grandezas e medidas. envolvem números naturais, inteiros, Por um lado os estudantes devem, com racionais, ampliando suas formas de base em contextos práticos que raciocínio. Essa competência refere-se envolvam a atividade matemática, usar também à possibilidade que tem o aluno estratégias de estimativa, de julgamento de identificar, interpretar e utilizar as sobre o grau de exatidão, utilização diferentes representações dos números adequada de instrumentos específicos naturais, racionais e inteiros indicados (como balanças, relógios, escalímetro, por diferentes noções. transferidor, esquadro, trenas, 4. Utilizar o conhecimento geométrico cronômetros) e seleção de instrumentos para realizar a leitura, a representação e de unidades de medida adequadas à da realidade e agir sobre ela. exatidão desejada. Por outro lado A constituição de um pensamento devem estabelecer articulações com geométrico a partir de contextos que outros temas matemáticos, sejam eles envolvam a leitura de guias, plantas e geométricos, algébricos, numéricos, mapas e a exploração de conceitos e estatísticos etc. procedimentos (tais como direção e 6. Construir e ampliar noções de sentido, ângulo, paralelismo e variação de grandezas para a perpendicularismo, figuras geométricas, compreensão da realidade e a solução relações entre figuras espaciais e suas de problemas do cotidiano. representações planas, decomposição e A idéia de proporcionalidade, ao lado de composição de figuras, transformação outras idéias, como, por exemplo, a de de figuras, ampliação e redução de equivalência e a de igualdade, figuras) é de enorme importância para o constituem verdadeiros eixos exercício da cidadania. vertebradores do conhecimento O estudo do espaço e das formas deve matemático. A proporcionalidade levar o estudante à observação, à aparece na resolução de problemas compreensão de relações e à utilização multiplicativos, nos estudos de das noções geométricas para resolver porcentagem, de semelhança de figuras, problemas e não à simples memorização na matemática financeira, na análise de de fatos e de um vocabulário específico. tabelas, gráficos e funções. 46 Matem∙tica 39-75.pmd 46 11/7/2003, 09:21
    • III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA Desenvolver a capacidade de analisar a pensamento algébrico pelo estudante é natureza da interdependência de duas primordial. grandezas em situações-problema em 8. Interpretar informações de natureza que elas sejam diretamente científica e social obtidas da leitura de proporcionais, inversamente gráficos e tabelas, realizando previsão proporcionais, ou não proporcionais é de tendência, extrapolação, uma competência fundamental para interpolação e interpretação. resolver problemas diversos. Além disso, No mundo atual, é fundamental que os é também importante saber explorar estudantes compreendam as informações esses problemas e expressar sua variação estatísticas representadas de diferentes por meio de uma sentença algébrica, formas e possam interpretar evidenciando uma das importantes adequadamente seus significados, funções da álgebra. permitindo tomar decisões diante de 7. Construir e utilizar conceitos algébricos questões políticas e sociais que dependem para modelar e resolver problemas. da leitura crítica e interpretação de índices A abordagem de determinados conceitos divulgados pelos meios de comunicação. fundamentais na construção/aquisição de 9. Compreender conceitos e estratégias conhecimentos matemáticos é muitas e situações matemáticas numéricas para vezes suprimida ou excessivamente aplicá-los a situações diversas no abreviada sob a alegação de que “não contexto das ciências e da tecnologia e fazem parte da realidade dos alunos ou da atividade cotidiana. não têm uma aplicação prática imediata”. Saber Matemática, hoje, é cada vez mais Tal alegação muitas vezes se baseia numa necessário, pois ela se faz presente tanto visão estereotipada da “realidade”, do na quantificação do real – contagem, potencial de jovens e adultos, e numa medição de grandezas – como criando concepção reducionista da própria sistemas abstratos que organizam, inter- Matemática, cuja importância parece ficar relacionam e revelam fenômenos do restrita à sua “utilidade prática”. espaço, do movimento, das formas e dos É importante que o conhecimento números associados quase sempre a matemático construído ao longo da vida fenômenos do mundo físico. de cada pessoa não fique vinculado apenas Com o advento das calculadoras e a um contexto concreto e único, mas que computadores que permitem maior possa ser generalizado e transferido a rapidez na realização dos cálculos outros contextos. Um conhecimento só é numéricos ou algébricos, torna-se cada pleno se for mobilizado em situações vez mais ampla a gama de problemas diferentes daquelas que serviram para lhe que podem ser resolvidos por meio do dar origem, sendo transferível para novas conhecimento matemático. situações, em outras palavras, os estudantes devem perceber que os A educação matemática para a cidadania conhecimentos podem ser supõe tornar os indivíduos capazes de descontextualizados, e novamente usar metodologias que enfatizem a contextualizados em outras situações. Para construção de estratégias, a comprovação tanto, o desenvolvimento de um e justificativa de resultados, a 47 Matem∙tica 39-75.pmd 47 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental criatividade, a iniciativa pessoal, o Da mesma forma, educadores matemáticos trabalho coletivo e a autonomia advinda devem estar atentos ao fato de que, no da confiança na própria capacidade para ensino dessa disciplina, as prioridades enfrentar desafios. também mudam. Inovar os currículos, as práticas, as formas de abordar os ALGUMAS CONCLUSÕES conteúdos pode evitar o risco de que Matemáticos em todo o mundo têm jovens e adultos vejam a Matemática chamado atenção para o fato de que há como conhecimento alienado e uma mudança de suas prioridades na desinteressante. medida em que o mundo passa por transformações e as sociedades tomam outros rumos passando a requerer do sujeito novas competências. BIBLIOGRAFIA BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Proposta curricular para educação de jovens e adultos: 5ª a 8ª série. Brasília, DF, MEC: 2002. CHARLOT, B. Qu’est-ce que faire des maths? l’épistemologie implicite des pratiques d’enseignement des mathématiques. Bulletin APMEP, n. 359, 1987. D’AMBROSIO, U. Globalização, educação multicultural e etnomatemática. Texto apresentado na: JORNADA DE REFLEXÃO E CAPACITAÇÃO SOBRE MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO BÁSICA DE JOVENS E ADULTOS. Brasília, DF: MEC, 1997. ______. Da realidade à ação: reflexões sobre educação e matemática. Campinas, Ed. da Unicamp, 1986. DAVIS, P. J.; HERSH, R. A experiência matemática. Tradução de João Bosco Pitombeira. 3. ed. Rio de Janeiro: F. Alves, c1986. ______. O sonho de Descartes: o mundo de acordo com a matemática. Rio de : Janeiro: F. Alves, 1988. Tradução de Mário C. Moura. DOWBOR, L. O espaço do conhecimento: a revolução tecnológica e os novos paradigmas da sociedade. Belo Horizonte: Ipso: Oficina de Livros, 1994. FREUDENTHAL, H. Matemática nova ou educação nova? Revista Perspectivas, v. 9, , n. 3, 1979. ______. Problemas mayores de la educación matematica. Dordrecht: D. Reidel,1981. Versão do espanhol de Alejandro López Yánez. GARDNER, H. Estruturas da mente: a teoria das inteligências múltiplas. Porto Alegre: Artes Médicas, c1994. Tradução de Sandra Costa. GINZBURG, C. Mitos, emblemas, sinais: morfologia e história. São Paulo: Companhia das Letras, 1989. Tradução de Frederico Carotti. 48 Matem∙tica 39-75.pmd 48 11/7/2003, 09:21
    • III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA IFRAH, G. História universal dos algarismos: a inteligência dos homens contada pelos números e pelo cálculo. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1997. Tradução de Alberto Munoz e Ana Maria Beatriz Katinsky. JAPIASSU, H. Interdisciplinaridade e patologia do saber. Rio de Janeiro: Imago, 1976. (Logoteca). LÉVY, P. As tecnologias da inteligência: o futuro do pensamento na era da informática. Rio de Janeiro: Ed. 34, c1993. Tradução de Carlos Irineu da Costa. MACHADO, N. J. Epistemologia e didática: a alegoria como norma e o conhecimento como rede. 1994. Tese (Livre Docência) – Faculdade de Educação, Universidade de São Paulo, São Paulo, 1994. PIRES, C. M. C. Currículos de matemática: da organização linear à idéia de rede. São Paulo: FTD, 2000. SANTOS, B. S. Um discurso sobre as ciências na transição para uma ciência pós- moderna. Revista do I. E. A., São Paulo, 1988. 49 Matem∙tica 39-75.pmd 49 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental 50 Matem∙tica 39-75.pmd 50 11/7/2003, 09:21
    • III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA A Matemática no Ensino Médio Maria Silvia B. Sentelhas A Matemática é uma criação cultural da documentos oficiais como entre humanidade ligada à necessidade de o educadores matemáticos brasileiros. homem resolver problemas cotidianos, Passou-se do que ensinar ao como problemas advindos do ensinar, bem como ao porquê ensinar desenvolvimento cultural e tecnológico em uma perspectiva sociocultural e problemas internos à própria visando à formação da cidadania: Matemática. É uma ciência que possui um vasto corpo de práticas e conceitos Defende-se a necessidade de que se mantêm em construção. contextualizar o conhecimento Como criação cultural, a Matemática é, matemático a ser transmitido, buscar suas em essência, resultado da reflexão do origens, acompanhar sua evolução, homem sobre a realidade que permite explicitar sua finalidade ou seu papel na melhor compreender essa realidade. Daí, realidade do aluno. É claro que não se considerar-se como elementos quer negar a compreensão, nem tampouco predominantes no conhecimento desprezar a aquisição de técnicas, mas matemático, a ser desenvolvido no ampliar a repercussão que o aprendizado Ensino Médio, uma maior reflexão sobre daquele conhecimento possa ter na vida fatos reais e a realização de abstrações social daquele que o aprende. decorrentes dessas reflexões, de modo a (Fonseca,1995, p. 53) garantir a funcionalidade desse conhecimento. A contextualização evoca os elementos A posição de que o ensino de presentes na vida pessoal, social e Matemática tem como função preparar cultural mobilizando conhecimentos cidadãos para agir de maneira crítica e disponíveis, possibilitando o consciente em uma sociedade altamente desenvolvimento de competências. A complexa é a que prevalece tanto nos necessidade da contextualização do 51 Matem∙tica 39-75.pmd 51 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio conhecimento matemático coloca em OS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS PARA O evidência o fato de que muitas das ENSINO MÉDIO EXPLICITAM A NECESSIDADE DO questões originárias da Matemática TRATAMENTO INTEGRADO DAS DISCIPLINAS DA ÁREA: surgiram de questões não matemáticas e que parte importante de sua produção Os objetivos do Ensino Médio em cada tem utilização em todos os ramos do área do conhecimento devem envolver, conhecimento. de forma combinada, o desenvolvimento Destaca-se a importância de, no ensino de conhecimentos práticos, e na avaliação, não tratar a Matemática contextualizados, que respondam às de modo isolado e desvinculado das necessidades da vida contemporânea, e o exigências de ação do sujeito fora da desenvolvimento de conhecimentos mais escola. Tanto assim que a Lei 9394/96, amplos e abstratos, que correspondam a que estabelece as diretrizes e bases da uma cultura geral e a uma visão de Educação Nacional (LDB), ao apresentar mundo. Para a área das Ciências da as diretrizes específicas para os Natureza, Matemática e Tecnologias, isto currículos do ensino médio (Art.36, é particularmente verdadeiro, pois a incisos e parágrafos), estabelece a crescente valorização do conhecimento e inserção da Matemática na área de da capacidade de inovar demanda Ciências da Natureza. cidadãos capazes de aprender continuamente, para o que é essencial O PARECER CEB 15/98 QUE ESTABELECE AS uma formação geral e não apenas um DIRETRIZES CURRICULARES NACIONAIS PARA O treinamento específico. (MEC, 1998, p. 6) ENSINO MÉDIO EXPLICA ESSA INSERÇÃO: A contextualização do conhecimento matemático e o tratamento O agrupamento das ciências da natureza interdisciplinar proposto para seu ensino e tem ainda o objetivo de contribuir para a aprendizagem são imprescindíveis quando compreensão do significado da ciência e se tem por objetivo o desenvolvimento de da tecnologia na vida humana e social de competências humanas relacionadas a modo a gerar protagonismo diante das esse conhecimento, tal como proposto inúmeras questões políticas e sociais para pela LDB/96. cujo entendimento e solução as ciências da natureza são uma referência relevante. A ÁREA MATEMÁTICA NO ENCCEJA A presença da Matemática nessa área se As discussões realizadas pelos justifica pelo que de ciência tem a proponentes do ENCCEJA quanto à matemática, pela sua afinidade com as realização de uma prova, com questões de ciências da natureza, conhecimentos múltipla escolha, visando a avaliar as destas últimas, e finalmente pela competências relativas às áreas de importância de integrar a matemática conhecimento ou disciplinas que com os conhecimentos que lhe são mais compõem a educação básica, sempre afins. (p. 59) esbarravam na dificuldade – pelo número excessivo de questões – de se considerar nessa avaliação a área de Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. 52 Matem∙tica 39-75.pmd 52 11/7/2003, 09:21
    • III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA A especificidade própria da Educação de assegurem aos seus estudantes Jovens e Adultos (EJA) e os princípios identidade formativa comum aos demais que norteiam o Exame Nacional de participantes da escolarização básica. Certificação de Competências de Jovens Esta separação se dá apenas do ponto e Adultos – (ENCCEJA) levaram à de vista prático para viabilizar a constituição da área Matemática, Encceja realização das provas pelos alunos. O – Ensino Médio separada da área das tratamento dado à área Matemática Ciências da Natureza. O parágrafo único nesse projeto respeita e mantém as do artigo 5º da Resolução CNE/CBE 1/ características propostas nos 2000, que estabelece as Diretrizes documentos oficiais referentes ao Curriculares Nacionais da EJA, Ensino Médio. fundamenta essa alteração: O tratamento de caráter interdisciplinar Parágrafo único: como modalidade dado neste trabalho procura estimular a destas etapas da Educação Básica, a percepção da contribuição da identidade própria da Educação de Matemática para a compreensão da Jovens e Adultos considerará as problemática ambiental e para o situações, os perfis dos estudantes, as desenvolvimento de uma visão faixas etárias e se pautará pelos articulada do ser humano em seu meio princípios de eqüidade, diferença e natural como construtor e proporcionalidade na apropriação e transformador deste meio. Desse modo, contextualização das diretrizes há uma estreita relação entre as áreas de curriculares nacionais e na proposição Ciências da Natureza, Ciências Humanas de um modelo pedagógico próprio, de e Linguagens e Códigos e a visão de modo a assegurar: formação integral do sujeito. O I - quanto à eqüidade, a distribuição desenvolvimento de competências e específica dos componentes curriculares habilidades é um meio de proporcionar a fim de propiciar um patamar essa formação integral. igualitário de formação e restabelecer a Ao defender a aprendizagem de igualdade de direitos e de oportunidades conteúdos de Matemática articulada com face ao direito à educação; o desenvolvimento de competências, II - quanto à diferença, a identificação e o assumimos que trabalhar para o reconhecimento da alteridade própria e desenvolvimento de competências não se inseparável dos jovens e dos adultos em limita a torná-las desejáveis propondo seu processo formativo, da valorização do uma imagem convincente de seu mérito de cada qual e do desenvolvimento possível uso, nem ensinando a teoria, de seus conhecimentos e valores; deixando entrever sua colocação em III - quanto à proporcionalidade, a prática. Trata-se de “aprender, fazendo, o disposição e alocação adequadas dos que não se sabe fazer”. (Perrenoud, componentes curriculares face às 1999, p. 55) necessidades próprias da Educação de Consideramos que a resolução de Jovens e Adultos com espaços e tempos problemas é a abordagem metodológica nos quais as práticas pedagógicas que pode potencializar o desenvolvimento de competências: 53 Matem∙tica 39-75.pmd 53 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio No campo da educação escolar, praticar Os jovens e adultos envolvidos nesse mais e mais não é o suficiente. Até no processo trazem uma carga de campo das artes, dos esportes ou dos experiências e de expectativas de ofícios, em que o exercício constante é inserção ou de ascensão no mercado de indispensável, é preciso confrontar-se trabalho que devem ser consideradas, ao com dificuldades específicas, bem se pensar a contextualização dos dosadas, para aprender a superá-las. No problemas. Predomina neste trabalho o campo dos aprendizados gerais, um contexto de vivência cotidiana da estudante será levado a construir maioria das pessoas. Aproveitamos o que competências de alto nível somente aprenderam no convívio da família, nos confrontando-se, regular e intensamente, agrupamentos sociais, com a televisão e com problemas numerosos que mobilizem com outros meios de comunicação para diversos recursos cognitivos. colocar em relevo as ações de cunho (Parrenoud, 1999, p. 57) matemático que ocorrem no cotidiano das pessoas. Da valorização desses É preciso, no entanto, evitar confusões saberes partimos para uma proposta em sobre a noção de problema. Nessa que são possibilitadas ao sujeito proposta, é considerado problema uma melhores condições de decodificar, situação que coloca o aprendiz diante de analisar o que os meios de comunicação uma série de decisões a serem tomadas e as demais instâncias ensinam. para alcançar um objetivo proposto, Colocamos em relevo a relação devendo oferecer uma resistência pragmática com o saber, seu uso suficiente de modo que o sujeito invista imediato prevalece sobre a organização não só seus conhecimentos disponíveis metódica dos conhecimentos. como também suas representações. Entendemos que esse é um modo da Os problemas também podem ser Matemática contribuir para a inserção do situações de aprendizagem organizadas jovem ou adulto na sociedade que o de modo a possibilitar a aquisição de marginalizou porque, para essa novos conhecimentos. Deve ser um sociedade, não dispunha de problema imerso em uma situação que competências para participar de seu lhe dê sentido, não um problema processo produtivo. artificial e descontextualizado: Nessa ótica, procuramos evidenciar a importância de se desenvolver o Os problemas escolares tendem a ser conhecimento matemático, ligando-o a apresentados, efetivamente, como uma verdadeira necessidade de sua enunciados perfeitamente elaborados cujos utilização para responder a questões ou textos costumam esconder a problemática para realizar tarefas exigidas pela que lhes deu origem. Isso acontece a tal sociedade complexa na qual estamos ponto que poderíamos falar de um autêntico inseridos. “desaparecimento” das questões ou das É preciso mudar radicalmente o ponto tarefas reais que originaram as obras de vista: sair da 3ª série do 2º grau matemáticas estudadas na escola. (especialmente do interesse real ou (Chevallard, Bosch e Gascon, 2001, p. 130) presumido dos alunos que vão fazer um 54 Matem∙tica 39-75.pmd 54 11/7/2003, 09:21
    • III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA curso técnico ou, então cursos recurso matemático utilizado pelo superiores de “exatas”) para se pôr no homem, ao longo da história, para lugar dos alunos que deixam a escola, enfrentar e resolver problemas. por uma razão ou por outra, antes de A contribuição da Matemática no chegar até lá, coisa que ocorre com 88% desenvolvimento de outras áreas do dos que ingressam juntos na escola a conhecimento, sempre que a cada ano. Para essa imensa maioria, é humanidade tem seu interesse voltado necessário que a Matemática tenha para o estudo dos fenômenos que aplicação prática e que esta seja tão observa ocorrerem ao seu redor, também imediata e diretamente percebida deve ser avaliada, bem como questões quanto possível, como, aliás, o que surgiram dentro da própria aprendizado da leitura e da escrita. Matemática que impulsionaram seu (Cunha, 1993, p. 181) desenvolvimento e de outras áreas, No entanto, ressaltamos que o ensino e permitindo ao estudante reconhecer a a aprendizagem de Matemática, na contribuição da Matemática na Educação de Jovens e Adultos do Ensino compreensão e análise de fenômenos Médio, mesmo que envolvidos com a naturais, e da produção tecnológica ao realidade, não devem prescindir de longo da história. reflexões, abstrações e definições. Situações-problema em que se valoriza a utilização de conteúdos matemáticos COMPETÊNCIAS DA ÁREA como recurso para a argumentação e viabilização de intervenção na As nove competências de área indicam comunidade permitem que se identifique os conhecimentos matemáticos a serem a Matemática como importante recurso avaliados nas provas do ENCCEJA. para a construção de argumentação e 1. Compreender a Matemática como que se reconheça, a partir da leitura de construção humana, relacionando seu textos apropriados, a importância da desenvolvimento com a transformação Matemática na elaboração de proposta da sociedade. de intervenção solidária na realidade. O reconhecimento da evolução dos 2. Ampliar formas de raciocínio e registros e conhecimentos matemáticos processos mentais por meio de indução, usados nas soluções de problemas que o dedução, analogia e estimativa, utilizando homem enfrentou em seu cotidiano desde conceitos e procedimentos matemáticos. o início de sua história e a identificação A importância dessa competência na do conteúdo matemático que permitiu sua atividade matemática reside na habilidade solução e como esse conteúdo é aplicado de formular hipóteses e conjecturas para nas situações cotidianas de nosso tempo, depois examinar sua validade e, se é um modo de avaliar essa competência. necessário, reformulá-las. Trata-se de Em situações propostas o estudante deve raciocinar com o provável para saber identificar e interpretar, a partir da desenvolver o pensamento matemático leitura de textos apropriados, diferentes plausível. Este complementa o raciocínio registros do conhecimento matemático ao dedutivo que utiliza leis lógicas para longo do tempo, e, também, identificar o demonstrar resultados matemáticos. 55 Matem∙tica 39-75.pmd 55 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio Para avaliar essa competência algumas naturais, inteiros, racionais e reais. situações são apresentadas com o O conhecimento que as pessoas objetivo de verificar se o estudante adquirem ao resolverem os problemas utiliza procedimentos matemáticos em que se apresentam em diferentes diferentes circunstâncias, de modo a situações da atividade humana deve ser identificar e interpretar conceitos e ampliado. Situações nas quais a procedimentos matemáticos expressos compreensão dos conceitos e das em diferentes formas. relações envolvidas e a identificação de Outras situações são propostas para regularidades possibilitam construir e permitir ao estudante utilizar conceitos e aplicar conceitos de números naturais, procedimentos matemáticos para inteiros, racionais e reais, para explicar explicar fenômenos ou fatos do fenômenos de qualquer natureza, são cotidiano. adequadas para verificar essa ampliação. O emprego de procedimentos Da análise de experiências práticas matemáticos na construção de emergem noções intuitivas dos números raciocínios pode ser avaliado pela e suas operações. A familiaridade do habilidade do estudante em utilizar estudante com diferentes representações conceitos e procedimentos matemáticos dos números pode levá-lo a perceber para construir formas de raciocínio que qual é mais adequada para expressar um permitam aplicar estratégias para a resultado, evitando-se desenvolver um resolução de problemas. tratamento exclusivamente formal. No Destacando-se a diferença entre as entanto, a verificação da irracionalidade conclusões obtidas de modo formal em de um dado número só é possível no Matemática e as conclusões e decisões âmbito da própria Matemática. Nenhuma do cotidiano que são aceitáveis, verificação empírica, nenhuma medição possibilita-se a avaliação da habilidade de grandezas, por mais precisa que seja, de identificar e utilizar conceitos e provará que uma medida tem valor procedimentos matemáticos na irracional. Porém, para o número p, uma construção de argumentação consistente. discussão sobre a razão entre o comprimento de uma circunferência e Situações-problema de realidade seu diâmetro é uma possibilidade de cotidiana permitem aferir a habilidade conduzir o leitor na interpretação desse do estudante em reconhecer a adequação resultado. Com essa abordagem o que se da proposta de ação solidária, utilizando busca verificar é se o aluno sabe conceitos e procedimentos matemáticos. interpretar informações e operar com 3. Construir significados e ampliar os já números naturais, inteiros, racionais e existentes para os números naturais, reais, para tomar decisões e enfrentar inteiros, racionais e reais. situações-problema. O uso cotidiano dos números deve ser Situações de estimativa ou de avaliado na forma como são expressos enquadramento de resultados são uma nas situações socioculturais. O objetivo forma de desenvolver e avaliar a é verificar se o aluno sabe identificar, habilidade de utilizar os números interpretar e representar os números 56 Matem∙tica 39-75.pmd 56 11/7/2003, 09:21
    • III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA naturais, inteiros, racionais e reais, na O reconhecimento de semelhanças entre construção de argumentos sobre objetos do mundo real com os entes afirmações quantitativas de qualquer geométricos, a percepção das relações natureza. Discussões nas quais as entre representações planas e os objetos comparações numéricas são destacadas que lhes deram origem e suas possibilitam a compreensão de expressões propriedades a partir dessas como “os números falam por si”. representações são essenciais para a Diversos problemas que a humanidade leitura do mundo. Ações envolvendo enfrenta hoje são quantificados e essas relações permitem ao estudante apresentados numericamente. A análise de interpretar informações e aplicar problemas dessa natureza a partir da estratégias geométricas na solução de avaliação dos números envolvidos é uma problemas do cotidiano. Além disso, o forma de se indicar ao estudante qual pode conhecimento de propriedades dos entes ser sua ação no sentido de contribuir para geométricos fornece segurança nas a alteração da situação estudada. Desse justificativas das soluções. As modo, propõe-se a verificação do justificativas são o ponto chave das desenvolvimento da habilidade: recorrer à discussões realizadas sobre as soluções compreensão numérica para avaliar dos problemas propostos. Essa é uma propostas de intervenção frente a forma de se aquilatar se o estudante problemas da realidade. utiliza conceitos geométricos na seleção de argumentos propostos como solução 4. Utilizar o conhecimento geométrico de problemas do cotidiano. para realizar a leitura e a representação da realidade, e agir sobre ela. Outro objetivo dessa competência é o de indicar como a geometria pode ser A quarta competência da área refere-se útil na solução de problemas do ao uso de formas e propriedades cotidiano das pessoas, não importando geométricas na representação e a comunidade a que pertençam. Seu visualização de partes do mundo em que estudo pode fornecer os elementos estamos inseridos. Também se refere à necessários para uma intervenção na compreensão e ampliação da percepção realidade de modo a melhorar as das relações existentes entre situações condições de vida das pessoas e, assim, que rotineiramente vivemos e a poder recorrer a conceitos geométricos geometria, cujos argumentos justificam para avaliar propostas de intervenção alguns usos e costumes adquiridos. A sobre problemas do cotidiano. construção de modelos é um dos recursos que se tem para interpretar 5. Construir e ampliar noções de questões e visualizar soluções. O objetivo grandezas e medidas para a é avaliar se o estudante sabe identificar compreensão da realidade e a solução e interpretar fenômenos de qualquer de problemas do cotidiano. natureza expressos em linguagem Nesta competência valoriza-se o fato de geométrica e construir e identificar que as medidas quantificam grandezas conceitos geométricos no contexto da do mundo físico, e que conhecê-las e atividade cotidiana. saber tratar por meio delas as situações 57 Matem∙tica 39-75.pmd 57 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio abundantes em nossa sociedade é de referentes a estimativas ou outras fundamental importância. formas de mensuração de fenômenos de Para utilizar bem as medidas é qualquer natureza com a construção de necessário que a pessoa saiba recorrer a argumentação que possibilitem sua registros das diversas unidades que compreensão. podem ser úteis no cotidiano, de modo a Outro aspecto fundamental no trabalho identificar e interpretar registros de tal com medidas é o de colocar o estudante modo que a notação convencional de em situação na qual com o emprego de medidas possa ser desenvolvida. medidas e estimativas delas decorrentes As possibilidades de integração da ele possa vislumbrar possibilidades de Matemática com outras áreas do ensino interferir na realidade para modificá-la, são muitas quando se trata do assunto ou seja, reconhecer propostas grandezas e medidas. As grandezas de adequadas de ação sobre a realidade, fenômenos físicos ou sociais como utilizando medidas e estimativas. densidade, velocidade, energia elétrica, 6. Construir e ampliar noções de densidade demográfica, escalas de mapas variação de grandeza para a e guias são exemplos dessas compreensão da realidade e a solução possibilidades. Resolver situações- de problemas do cotidiano. problema dessa natureza permite Comparações de grandezas como os estabelecer relações adequadas entre os preços no supermercado, os ingredientes diversos sistemas de medida. A de uma receita, a velocidade média e o representação de fenômenos naturais e tempo são muito comuns em nosso dia- do cotidiano são fundamentais para a a-dia. Situações-problema desse tipo são sua interpretação. apresentadas de modo a permitir ao Situações em que o sujeito escolhe a estudante estabelecer comparações e unidade de medida mais adequada para perceber que existem formas de se prever cada grandeza considerada, em que a variação de uma das grandezas se tenha de estabelecer relações entre as conhecermos o comportamento de outra. medidas fornecidas e operar com essas Outras situações são propostas para uso medidas são as que possibilitam avaliar de porcentagens. Essas situações se ele sabe selecionar, compatibilizar e permitem verificar se o estudante operar com informações métricas de identifica grandezas direta e diferentes sistemas ou unidades de inversamente proporcionais, interpreta a medida na resolução de problemas do notação usual de porcentagem, identifica cotidiano. e avalia variações de grandezas para A exploração dos significados e usos explicar fenômenos naturais, processos adequados de diferentes formas de socioeconômicos e da produção mensuração, inclusive as não tecnológica. padronizadas, em situações de tomada Problemas de contexto variado de decisão e justificativas de escolha, envolvendo grandezas de diversas permitem verificar a habilidade de naturezas, direta ou inversamente selecionar e relacionar informações proporcionais, têm o objetivo de 58 Matem∙tica 39-75.pmd 58 11/7/2003, 09:21
    • III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA ampliar a percepção do estudante sobre estudante reconhece diferentes funções as diferentes situações nas quais esses da álgebra e sabe, assim, modelar e conceitos são aplicados e, com isso, resolver problemas utilizando equações e avaliar o desenvolvimento da habilidade inequações com uma ou mais variáveis. de resolver problemas envolvendo A percepção da possibilidade de grandezas direta e inversamente representar fenômenos na forma algébrica proporcionais e porcentagem. e na forma gráfica é colocada em Para compreender, avaliar e decidir destaque. O uso de representações sobre algumas situações da vida gráficas em problemas de localização é cotidiana, tais como qual a melhor explorado como um conhecimento já forma de pagar uma compra ou de adquirido para se partir para as escolher um financiamento, é necessário representações analíticas em Matemática. conhecimento de juros simples e A partir de discussões sobre a leitura compostos. Problemas com esses dessas representações é possível avaliar se contextos devem ser apresentados com o o estudante é capaz de identificar e objetivo de verificar se o aluno sabe interpretar representações analíticas de utilizar esses conhecimentos para agir processos naturais ou da produção com segurança em situações semelhantes tecnológica e de figuras geométricas que venha a viver. Esses problemas como pontos, retas e circunferências, o possibilitam ainda avaliar se ele sabe que constitui uma habilidade fundamental identificar e interpretar variações não só para a Matemática como também percentuais de variável socioeconômica para as áreas de Ciências Humanas e de ou técnico-científica como importante Ciências da Natureza. recurso para a construção de Com situações-problema bastante argumentação consistente. diversificadas o estudante pode O conhecimento de cálculos com desenvolver a capacidade de integrar os porcentagem e de relações entre grandezas conhecimentos relativos às tabelas, é um recurso bastante poderoso em nossa expressões algébricas e representações sociedade. Para avaliar isso pode ser analíticas e, por esse meio, indicar se interessante apresentar ao aluno situações compreende o significado e sabe realizar em que deve analisar dados e informações operações com o uso dessas ferramentas. reais, verificando se percebe sua Problemas nos quais o estudante possa importância como elemento participativo expressar-se de forma gráfica ou escrita, da comunidade. nos quais valoriza a precisão da 7. Aplicar expressões analíticas para linguagem matemática e o modelar e resolver problemas, reconhecimento de representações envolvendo variáveis socioeconômicas equivalentes de um mesmo conceito, ou técnico-científicas. relacionando procedimentos associados Partindo de situações vividas pela às diferentes representações, são um maioria das pessoas, busca-se dar modo de avaliar a utilização da significado à linguagem e às idéias modelagem analítica como recurso matemáticas. Situações-problema importante na elaboração de variadas vão permitir observar se o argumentação consistente. 59 Matem∙tica 39-75.pmd 59 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio Situações nas quais o estudante A análise de dados de situações reais necessita interpretar informações apresentados em gráficos e tabelas com utilizando-se de ferramentas analíticas o intuito de interpretar, criticar e prever para formar uma opinião própria que lhe resultados, além de ser um modo de permita expressar-se criticamente sobre aplicar conhecimentos e métodos problemas da atualidade permitem aferir matemáticos em situações reais, o desenvolvimento da habilidade de possibilita o desenvolvimento da avaliar, com auxílio de ferramentas habilidade de analisar o comportamento analíticas, a adequação de propostas de de variável, expresso em gráficos ou intervenção na realidade. tabelas, como importante recurso para a 8. Interpretar informações de natureza construção de argumentação científica e social obtidas da leitura de consistente. Essa análise crítica e a gráficos e tabelas, realizando previsão capacidade de inferir e prever resultados de tendência, extrapolação, também possibilitam ao estudante interpolação e interpretação. avaliar, com auxílio de dados apresentados em gráficos ou tabelas, a Situações-problema cujo contexto está adequação de propostas de intervenção em estreita relação com o todo social e na realidade. cultural da maioria das pessoas são usadas para situar a linguagem das 9. Compreender o caráter aleatório e não tabelas e gráficos apresentados como determinista dos fenômenos naturais e instrumentos de expressão e raciocínio, sociais, e utilizar instrumentos favorecendo a verificação do adequados para medidas e cálculos de desenvolvimento das habilidades de probabilidade, para interpretar reconhecer e interpretar as informações, informações de variáveis apresentadas de natureza científica ou social, em uma distribuição estatística. expressas em gráficos ou tabelas. O cidadão comum se vê hoje imerso em A leitura e interpretação das informações uma enorme quantidade de informações contidas nas tabelas e gráficos serve como de natureza estatística ou probabilística, instrumentos de elaboração e compreensão difundidas em grande escala pelos meios de estimativas e de previsão. Isso de comunicação. Desenvolver habilidades possibilita que a habilidade de identificar que permitam ao estudante ler, interpretar ou inferir aspectos relacionados a e saber utilizar-se desses recursos torna-se fenômenos de natureza científica ou social, imprescindível a uma educação que a partir de informações expressas em pretende inseri-lo na sociedade como gráficos ou tabelas, seja avaliada. Também membro atuante. Nessa competência, as permite observar se o aluno sabe retirar situações-problema propostas valorizam dos gráficos ou tabelas as informações discussões sobre o caráter aleatório dos pertinentes ao problema proposto, fenômenos para possibilitar ao aluno indicando, assim, que sabe selecionar e identificar, interpretar e produzir registros interpretar informações expressas em de informações sobre fatos ou fenômenos gráficos ou tabelas para a resolução de de caráter aleatório. Diferentes fenômenos problemas. devem ser analisados quanto a sua chance 60 Matem∙tica 39-75.pmd 60 11/7/2003, 09:21
    • III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA de ocorrência, nas condições propostas, variável, expresso por meio de uma de modo que o aluno aplique as idéias de distribuição estatística, como probabilidade e análise combinatória a importante recurso para a construção de fenômenos naturais e do cotidiano e argumentação consistente. Por outro possa resolver problemas envolvendo lado, essas técnicas e raciocínios processos de contagem, medida e cálculo estatísticos são, sem dúvida, de probabilidades. instrumentos tanto das Ciências da Situações que envolvam grande Natureza quanto das Ciências Humanas quantidade de dados exigem do que, cada vez mais, se utilizam, em estudante inferências e predições. Daí, é questões do mundo real, de dados importante avaliar se ele sabe apresentados na forma de distribuição caracterizar ou fazer inferências sobre estatística. O domínio desse aspectos relacionados a fenômenos de conhecimento é fator imprescindível natureza científica ou social, a partir de para que um cidadão possa desenvolver informações expressas por meio de uma a habilidade de avaliar, com auxílio de distribuição estatística. dados apresentados em distribuições estatísticas, a adequação de propostas Técnicas e raciocínios estatísticos são de intervenção na realidade. empregados como instrumentos de análise de distribuição estatística para As competências propostas para essa realizar inferências e previsões fazendo certificação possibilitam ao jovem ou uma avaliação crítica dos resultados. adulto atuar na sociedade tendo a Desse modo, pode-se observar se o Matemática como instrumento de aluno sabe analisar o comportamento de mediação. BIBLIOGRAFIA BRASIL. Leis etc. Lei nº 9.394, de 20 de dezembro de 1996. Estabelece as Diretrizes e Bases da Educação Nacional. Diário Oficial [da] República Federativa do Brasil, , Poder Executivo, Brasília, DF, v. 134, n. 248, p. 27.833-27.841, 23 dez. 1996. Seção 1. Lei Darcy Ribeiro. ______. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio. Brasília, DF, 1999. 4 v. CHEVALLARD, Y.; BOSCH, M.; GASCON, J. Estudar matemáticas: o elo perdido entre o ensino e a aprendizagem. Porto Alegre: Artes Médicas, 2001. Traduçao de Daisy Vaz de Moraes. CONSELHO NACIONAL DE EDUCAÇÃO (Brasil). Câmara de Educação Básica. Parecer nº 15, de junho de 1998. Diretrizes curriculares manuais para o ensino médio. Documenta, Brasília, DF, n. 441, p. 3-71, jun. 1998. ______. CBE. Resolução nº1 de 2000. 61 Matem∙tica 39-75.pmd 61 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio CUNHA, L. A. Ensino da matemática na escola pública de 1º e 2º graus: pela matemática: mudança de ponto de vista. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 3., 1993, Natal. Anais... Anais...Natal: Universidade Federal do Rio Grande do Norte, 1993. FONSECA, M. C. F. R. Por que ensinar Matemática. PRESENÇA PEDAGÓGICA, Belo Horizonte, v. 11, n. 46-54, 1995. PERRENOUD, P. Construir as competências desde a escola Porto Alegre: Artes escola. Médicas, 1999. Tradução de Bruno Charles Magne; consultoria, superv. e rev. técnica de Maria Carmen Silveira Barbosa. 62 Matem∙tica 39-75.pmd 62 11/7/2003, 09:21
    • IV. As matrizes que estruturam as avaliações Matem∙tica 39-75.pmd 63 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental CI - Dominar a norma culta CII - Construir e aplicar da Língua Portuguesa e fazer conceitos das várias áreas do uso das linguagens conhecimento para a matemática, artística e compreensão de fenômenos científica. naturais, de processos histórico-geográficos, da produção tecnológica e das manifestações artísticas. H1 - Identificar e interpretar, a H2 - Reconhecer a contribuição M1 - Compreender a partir da leitura de textos da Matemática na compreensão Matemática como construção apropriados, diferentes e análise de fenômenos humana, relacionando o seu registros do conhecimento naturais, e da produção desenvolvimento com a matemático ao longo do tecnológica, ao longo da transformação da sociedade. tempo. história. M2 - Ampliar formas de raciocínio e processos H6 - Identificar e interpretar H7 - Utilizar conceitos e mentais por meio de conceitos e procedimentos procedimentos matemáticos indução, dedução, analogia matemáticos expressos em para explicar fenômenos ou e estimativa, utilizando diferentes formas. fatos do cotidiano. conceitos e procedimentos matemáticos. H12 - Construir e aplicar M3 - Construir significados H11 - Identificar, interpretar e conceitos de números naturais, e ampliar os já existentes representar os números inteiros e racionais, para para os números naturais, naturais, inteiros e racionais. explicar fenômenos de inteiros e racionais. qualquer natureza. 64 Matem∙tica 39-75.pmd 64 11/7/2003, 09:21
    • IV. As matrizes que estruturam as avaliações CIII - Selecionar, organizar, CIV - Relacionar informações, CV - Recorrer aos relacionar, interpretar dados e representadas em diferentes conhecimentos desenvolvidos informações representados de formas, e conhecimentos para elaboração de propostas diferentes formas, para tomar disponíveis em situações de intervenção solidária na decisões e enfrentar concretas, para construir realidade, respeitando os situações-problema. argumentação consistente. valores humanos e considerando a diversidade sociocultural. H5 - Reconhecer, pela leitura H3 - Identificar o recurso de textos apropriados, a matemático utilizado pelo H4 - Identificar a Matemática importância da Matemática na homem, ao longo da história, como importante recurso para elaboração de proposta de para enfrentar e resolver a construção de argumentação. intervenção solidária na problemas. realidade. H8 - Utilizar conceitos e procedimentos matemáticos H9 – Identificar e utilizar H10 - Reconhecer a adequação para construir formas de conceitos e procedimentos da proposta de ação solidária, raciocínio que permitam matemáticos na construção de utilizando conceitos e aplicar estratégias para a argumentação consistente. procedimentos matemáticos. resolução de problemas. H13 - Interpretar informações e H14 - Utilizar os números H15 - Recorrer à compreensão operar com números naturais, naturais, inteiros e racionais, numérica para avaliar inteiros e racionais, para tomar na construção de argumentos propostas de intervenção frente decisões e enfrentar situações- sobre afirmações quantitativas a problemas da realidade. problema. de qualquer natureza. 65 Matem∙tica 39-75.pmd 65 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental CI - Dominar a norma culta CII - Construir e aplicar da Língua Portuguesa e fazer conceitos das várias áreas do uso das linguagens conhecimento para a matemática, artística e compreensão de fenômenos científica. naturais, de processos histórico-geográficos, da produção tecnológica e das manifestações artísticas. M4 - Utilizar o H16 - Identificar e interpretar H17 - Construir e identificar conhecimento geométrico fenômenos de qualquer conceitos geométricos no para realizar a leitura e a natureza expressos em contexto da atividade representação da linguagem geométrica. cotidiana. realidade, e agir sobre ela. M5 - Construir e ampliar H22 - Estabelecer relações noções de grandezas e H21 - Identificar e interpretar adequadas entre os diversos medidas para a registros, utilizando a notação sistemas de medida e a compreensão da realidade convencional de medidas. representação de fenômenos e a solução de problemas naturais e do cotidiano. do cotidiano. M6 - Construir e ampliar H27 - Identificar e avaliar a H26 - Identificar grandezas noções de variação de variação de grandezas para direta e inversamente grandeza para a compreensão explicar fenômenos naturais, proporcionais, e interpretar a da realidade e a solução de processos socioeconômicos e notação usual de porcentagem. problemas do cotidiano. da produção tecnológica. 66 Matem∙tica 39-75.pmd 66 11/7/2003, 09:21
    • IV. As matrizes que estruturam as avaliações CIII - Selecionar, organizar, CIV - Relacionar informações, CV - Recorrer aos relacionar, interpretar dados e representadas em diferentes conhecimentos desenvolvidos informações representados de formas, e conhecimentos para elaboração de propostas diferentes formas, para tomar disponíveis em situações de intervenção solidária na decisões e enfrentar concretas, para construir realidade, respeitando os situações-problema. argumentação consistente. valores humanos e considerando a diversidade sociocultural. H19 - Utilizar conceitos H18 - Interpretar informações e H20 - Recorrer a conceitos geométricos na seleção de aplicar estratégias geométricas geométricos para avaliar argumentos propostos como na solução de problemas do propostas de intervenção sobre solução de problemas do cotidiano. problemas do cotidiano. cotidiano. H24 - Selecionar e relacionar H23 - Selecionar, informações referentes a compatibilizar e operar estimativas ou outras formas H25 - Reconhecer propostas informações métricas de de mensuração de fenômenos adequadas de ação sobre a diferentes sistemas ou unidades de natureza qualquer, com a realidade, utilizando medidas e de medida na resolução de construção de argumentação estimativas. problemas do cotidiano. que possibilitem sua compreensão. H29 - Identificar e interpretar H30 - Recorrer a cálculos com variações percentuais de H28 - Resolver problemas porcentagem e relações entre variável socioeconômica ou envolvendo grandezas direta e grandezas proporcionais para técnico-científica como inversamente proporcionais e avaliar a adequação de importante recurso para a porcentagem. propostas de intervenção na construção de argumentação realidade. consistente. 67 Matem∙tica 39-75.pmd 67 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental CI - Dominar a norma culta CII - Construir e aplicar da Língua Portuguesa e fazer conceitos das várias áreas do uso das linguagens conhecimento para a matemática, artística e compreensão de fenômenos científica. naturais, de processos histórico-geográficos, da produção tecnológica e das manifestações artísticas. H32 - Caracterizar fenômenos H31 - Identificar, interpretar e naturais e processos da M7 - Construir e utilizar utilizar a linguagem algébrica produção tecnológica, conceitos algébricos para como uma generalização de utilizando expressões modelar e resolver conceitos aritméticos. algébricas e equações de 1° e problemas. 2° graus. M8 - Interpretar informações H37 - Identificar ou inferir de natureza científica e social H36 - Reconhecer e interpretar aspectos relacionados a obtidas da leitura de gráficos as informações de natureza fenômenos de natureza e tabelas, realizando previsão científica ou social expressas científica ou social, a partir de de tendência, extrapolação, em gráficos ou tabelas. informações expressas em interpolação e interpretação. gráficos ou tabelas. M9 - Compreender conceitos, H41 - Identificar e interpretar H42 - Construir e identificar estratégias e situações estratégias e situações conceitos matemáticos matemáticas numéricas para matemáticas numéricas numéricos na interpretação de aplicá-los a situações diversas aplicadas em contextos fenômenos em contextos no contexto das ciências, da diversos da ciência e da diversos da ciência e da tecnologia e da atividade tecnologia. tecnologia. cotidiana. 68 Matem∙tica 39-75.pmd 68 11/7/2003, 09:21
    • IV. As matrizes que estruturam as avaliações CIII - Selecionar, organizar, CIV - Relacionar informações, CV - Recorrer aos relacionar, interpretar dados e representadas em diferentes conhecimentos desenvolvidos informações representados de formas, e conhecimentos para elaboração de propostas diferentes formas, para tomar disponíveis em situações de intervenção solidária na decisões e enfrentar concretas, para construir realidade, respeitando os situações-problema. argumentação consistente. valores humanos e considerando a diversidade sociocultural. H34 - Analisar o H33 - Utilizar expressões comportamento de variável, H35 - Avaliar, com auxílio de algébricas e equações de 1° e 2° utilizando ferramentas ferramentas algébricas, a graus para modelar e resolver algébricas como importante adequação de propostas de problemas. recurso para a construção de intervenção na realidade. argumentação consistente. H39 - Analisar o H40 - Avaliar, com auxílio de H38 - Selecionar e interpretar comportamento de variável dados apresentados em gráficos informações expressas em expresso em gráficos ou ou tabelas, a adequação de gráficos ou tabelas para a tabelas, como importante propostas de intervenção na resolução de problemas. recurso para a construção de realidade. argumentação consistente. H44 - Utilizar conceitos e H43 - Interpretar informações H45 - Recorrer a conceitos estratégias matemáticas e aplicar estratégias matemáticos numéricos para numéricas na seleção de matemáticas numéricas na avaliar propostas de argumentos propostos como solução de problemas em intervenção sobre problemas de solução de problemas, em contextos diversos da ciência e natureza científica e contextos diversos da ciência e da tecnologia. tecnológica. da tecnologia. 69 Matem∙tica 39-75.pmd 69 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio CI - Dominar a norma culta CII - Construir e aplicar da Língua Portuguesa e fazer conceitos das várias áreas do uso das linguagens conhecimento para a matemática, artística e compreensão de fenômenos científica. naturais, de processos histórico-geográficos, da produção tecnológica e das manifestações artísticas. M1 - Compreender a H1 - Identificar e interpretar, a H2 - Reconhecer a contribuição Matemática como partir da leitura de textos da Matemática na compreensão construção humana, apropriados, diferentes e análise de fenômenos relacionando o seu registros do conhecimento naturais e da produção desenvolvimento com a matemático ao longo do tecnológica, ao longo da transformação da sociedade. tempo. história. M2 - Ampliar formas de raciocínio e processos H6 - Identificar e interpretar H7 - Utilizar conceitos e mentais por meio de conceitos e procedimentos procedimentos matemáticos indução, dedução, analogia matemáticos expressos em para explicar fenômenos ou e estimativa, utilizando diferentes formas. fatos do cotidiano. conceitos e procedimentos matemáticos. H12 - Construir e aplicar M3 - Construir H11 - Identificar, interpretar e conceitos de números naturais, significados e ampliar os representar os números inteiros, racionais e reais, para já existentes para os naturais, inteiros, racionais e explicar fenômenos de números naturais, inteiros, reais. qualquer natureza. racionais e reais. 70 Matem∙tica 39-75.pmd 70 11/7/2003, 09:21
    • IV. As matrizes que estruturam as avaliações CIII - Selecionar, organizar, CIV - Relacionar informações, CV - Recorrer aos relacionar, interpretar dados e representadas em diferentes conhecimentos desenvolvidos informações representados de formas, e conhecimentos para elaboração de propostas diferentes formas, para tomar disponíveis em situações de intervenção solidária na decisões e enfrentar concretas, para construir realidade, respeitando os situações-problema. argumentação consistente. valores humanos e considerando a diversidade sociocultural. H5 - Reconhecer, pela leitura H3 - Identificar o recurso de textos apropriados, a matemático utilizado pelo H4 - Identificar a Matemática importância da Matemática na homem, ao longo da história, como importante recurso para elaboração de proposta de para enfrentar e resolver a construção de argumentação. intervenção solidária na problemas. realidade. H8 - Utilizar conceitos e procedimentos matemáticos H9 – Identificar e utilizar H10 - Reconhecer a adequação para construir formas de conceitos e procedimentos da proposta de ação solidária, raciocínio que permitam matemáticos na construção de utilizando conceitos e aplicar estratégias para a argumentação consistente. procedimentos matemáticos. resolução de problemas. H14 - Utilizar os números H13 - Interpretar informações naturais, inteiros, racionais e H15 - Recorrer à compreensão e operar com números reais, na construção de numérica para avaliar naturais, inteiros, racionais e argumentos sobre afirmações propostas de intervenção frente reais, para tomar decisões e quantitativas de qualquer a problemas da realidade. enfrentar situações-problema. natureza. 71 Matem∙tica 39-75.pmd 71 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio CI - Dominar a norma culta CII - Construir e aplicar da Língua Portuguesa e fazer conceitos das várias áreas do uso das linguagens conhecimento para a matemática, artística e compreensão de fenômenos científica. naturais, de processos histórico-geográficos, da produção tecnológica e das manifestações artísticas. M4 - Utilizar o H16 - Identificar e interpretar H17 - Construir e identificar conhecimento geométrico fenômenos de qualquer conceitos geométricos no para realizar a leitura e a natureza expressos em contexto da atividade representação da realidade e linguagem geométrica. cotidiana. agir sobre ela. M5 - Construir e ampliar H22 - Estabelecer relações noções de grandezas e H21 - Identificar e interpretar adequadas entre os diversos medidas para a registros, utilizando a notação sistemas de medida e a compreensão da realidade convencional de medidas. representação de fenômenos e a solução de problemas naturais e do cotidiano. do cotidiano. M6 - Construir e ampliar H27 - Identificar e avaliar a H26 - Identificar grandezas noções de variação de variação de grandezas para direta e inversamente grandeza para a explicar fenômenos naturais, proporcionais, e interpretar a compreensão da realidade processos socioeconômicos e notação usual de porcentagem. e a solução de problemas da produção tecnológica. do cotidiano. 72 Matem∙tica 39-75.pmd 72 11/7/2003, 09:21
    • IV. As matrizes que estruturam as avaliações CIII - Selecionar, organizar, CIV - Relacionar CV - Recorrer aos relacionar, interpretar dados e informações representadas conhecimentos desenvolvidos informações representados de em diferentes formas e para elaboração de propostas diferentes formas, para tomar conhecimentos disponíveis de intervenção solidária na decisões e enfrentar em situações concretas, realidade, respeitando os situações-problema. para construir valores humanos e argumentação consistente. considerando a diversidade sociocultural. H19 - Utilizar conceitos H18 - Interpretar informações H20 - Recorrer a conceitos geométricos na seleção de e aplicar estratégias geométricos para avaliar argumentos propostos como geométricas na solução de propostas de intervenção sobre solução de problemas do problemas do cotidiano. problemas do cotidiano. cotidiano. H24 - Selecionar e relacionar H23 - Selecionar, informações referentes a compatibilizar e operar estimativas ou outras formas H25 - Reconhecer propostas informações métricas de de mensuração de fenômenos adequadas de ação sobre a diferentes sistemas ou unidades de natureza quaisquer com a realidade, utilizando medidas e de medida na resolução de construção de argumentação estimativas. problemas do cotidiano. que possibilitem sua compreensão. H29 - Identificar e interpretar H30 - Recorrer a cálculos com H28 - Resolver problemas variações percentuais de variável porcentagem e relações entre envolvendo grandezas direta e socioeconômica ou técnico- grandezas proporcionais para inversamente proporcionais e científica como importante avaliar a adequação de porcentagem. recurso para a construção de propostas de intervenção na argumentação consistente. realidade. 73 Matem∙tica 39-75.pmd 73 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio CI - Dominar a norma culta CII - Construir e aplicar da Língua Portuguesa e fazer conceitos das várias áreas do uso das linguagens conhecimento para a matemática, artística e compreensão de fenômenos científica. naturais, de processos histórico-geográficos, da produção tecnológica e das manifestações artísticas. H32 - Interpretar ou aplicar M7 - Aplicar expressões H31 - Identificar e interpretar modelos analíticos, analíticas para modelar e representações analíticas de envolvendo equações resolver problemas, processos naturais ou da algébricas, inequações ou envolvendo variáveis produção tecnológica e de sistemas lineares, objetivando socioeconômicas ou figuras geométricas como a compreensão de fenômenos técnico-científicas. pontos, retas e circunferências. naturais ou processos de produção tecnológica. M8 - Interpretar informações H37 - Identificar ou inferir de natureza científica e social H36 - Reconhecer e interpretar aspectos relacionados a obtidas da leitura de gráficos as informações de natureza fenômenos de natureza e tabelas, realizando previsão científica ou social expressas científica ou social, a partir de de tendência, extrapolação, em gráficos ou tabelas. informações expressas em interpolação e interpretação. gráficos ou tabelas. M9 - Compreender o caráter aleatório e não H42 - Caracterizar ou inferir determinístico dos aspectos relacionados a fenômenos naturais e sociais, H41 - Identificar, interpretar e fenômenos de natureza e utilizar instrumentos produzir registros de científica ou social, a partir de adequados para medidas e informações sobre fatos ou informações expressas por cálculos de probabilidade, fenômenos de caráter aleatório. meio de uma distribuição para interpretar informações estatística. de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística. 74 Matem∙tica 39-75.pmd 74 11/7/2003, 09:21
    • IV. As matrizes que estruturam as avaliações CIII - Selecionar, organizar, CIV - Relacionar CV - Recorrer aos relacionar, interpretar dados e informações representadas conhecimentos desenvolvidos informações representados de em diferentes formas e para elaboração de propostas diferentes formas, para tomar conhecimentos disponíveis de intervenção solidária na decisões e enfrentar em situações concretas, realidade, respeitando os situações-problema. para construir valores humanos e argumentação consistente. considerando a diversidade sociocultural. H33 - Modelar e resolver H34 - Utilizar modelagem H35 - Avaliar, com auxílio de problemas utilizando equações analítica como recurso ferramentas analíticas, a e inequações com uma ou mais importante na elaboração de adequação de propostas de variáveis. argumentação consistente. intervenção na realidade. H39 - Analisar o H40 - Avaliar, com auxílio de H38 - Selecionar e interpretar comportamento de variável dados apresentados em informações expressas em expresso em gráficos ou gráficos ou tabelas, a gráficos ou tabelas para a tabelas como importante adequação de propostas de resolução de problemas. recurso para a construção de intervenção na realidade. argumentação consistente. H44 - Analisar o comportamento de variável H45 - Avaliar, com auxílio de H43 - Resolver problemas expresso por meio de uma dados apresentados em envolvendo processos de distribuição estatística como distribuições estatísticas, a contagem, medida e cálculo de importante recurso para a adequação de propostas de probabilidades. construção de argumentação intervenção na realidade. consistente. 75 Matem∙tica 39-75.pmd 75 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 76 Matem∙tica 76-150.pmd 76 11/7/2003, 09:21
    • V. Orientação para o trabalho do professor Matemática Ensino Fundamental Capítulos I ao IX Neste bloco, são apresentadas sugestões de trabalho para que o professor possa orientar-se no sentido de favorecer aos seus alunos o desenvolvimento das competências e habilidades que estruturam a avaliação do ENCCEJA – Fundamental. Matemática – Ensino Fundamental Estes textos complementam o material de orientação de estudos dos estudantes e ambos podem ganhar seu real significado se incorporados à experiência do professor e à bibliografia didática já consagrada nesta área. 77 Matem∙tica 76-150.pmd 77 11/7/2003, 09:21
    • Matem∙tica 76-150.pmd 78 11/7/2003, 09:21
    • COMPREENDER A MATEMÁTICA COMO CONSTRUÇÃO HUMANA, Matemática - Ensino Fundamental Capítulo I RELACIONANDO O SEU DESENVOLVIMENTO COM A TRANSFORMAÇÃO DA SOCIEDADE. Matemática: uma construção humana Vinício de Macedo Santos Partimos da suposição de que qualquer educadores, a idéia de que aprender pessoa tem interesse e curiosidade Matemática, além de incluir o domínio relativamente à Matemática, não só de certas noções e processos, para se porque faz parte da natureza humana saber utilizá-los em diferentes observar, fazer perguntas, resolver contextos, inclui também conhecer problemas que conduzam ao sobre a Matemática. Isto porque, entre conhecimento matemático, como as perguntas que qualquer estudante faz também porque é necessário sobre os conhecimentos que podem desenvolvermos certas competências auxiliá-lo na resolução de problemas para enfrentarmos situações-problema matemáticos ou não-matemáticos, há que envolvam tal conhecimento nas indagações nossas atividades cotidianas. que dizem respeito à origem e Apesar disso, percebe-se um desenvolvimento das nossas idéias e distanciamento e resistência de grande conhecimentos em Matemática, ao parte das pessoas em relação às tipo de raciocínio e às motivações que situações de aprendizagem dessa área levaram o homem a inventar do conhecimento. Esse fato revela-se a Matemática. contraditório com a importância que a Assim, é necessário proporcionar ao Matemática passou a ter na vida das estudante a oportunidade de travar pessoas. Soma-se a isso a compreensão, contato e interagir com situações em que hoje alcançada, de que estudar e perceba que o conhecimento aprender fazem parte dos direitos de matemático, do mesmo modo que todo qualquer cidadão. conhecimento, decorre da atividade do No que se refere a ensinar e aprender homem empenhado em observar, Matemática, tem ganhado força, entre compreender e transformar a natureza e a realidade. 79 Matem∙tica 76-150.pmd 79 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental DESENVOLVENDO A (noções como número, medida etc.). COMPETÊNCIA • Apresentar diferentes contextos em No texto “A Matemática: uma que a Matemática está presente (na construção humana”, procura-se fazer escola, nos jornais, nas profissões etc.) uma aproximação do estudante com • Caracterizar, de modo rápido e algumas dessas questões, informando-o compreensível, que a Matemática é sobre diferentes aspectos da constituída de diferentes campos Matemática que utilizamos hoje, no (Aritmética, Geometria, Estatística, nosso dia-a-dia, e que, muitas vezes, Probabilidades etc.) nem percebemos. Procura-se também • Traduzir e apresentar essas idéias em informá-lo sobre situações e problemas situações-problema e contextos cuja cujas soluções no passado permitiram análise e esforço de resolução ao homem adquirir novos possibilitem o desenvolvimento das conhecimentos e chegar ao seguintes habilidades: desenvolvimento científico e . identificar e interpretar diferentes tecnológico atual. registros matemáticos utilizados Discutir com o estudante essa dimensão pelo homem ao longo do tempo; da Matemática, mais especificamente, . reconhecer a contribuição da significa: Matemática na compreensão e • Caracterizar esse conhecimento como análise de fenômenos naturais e da uma construção humana decorrente produção tecnológica no decorrer da da interação do homem com a história; natureza, da observação de . identificar a Matemática como regularidades oferecidas por vários recurso utilizado pelo homem para fenômenos naturais (o movimento dos enfrentar problemas; astros, da terra, as fases da lua) e de . identificar a Matemática como meio padrões para a construção de argumentos; (o fato de termos dez dedos das mãos, a presença de duas asas nos pássaros . reconhecer a importância da etc.). Matemática na elaboração de propostas para a intervenção • Recuperar alguns registros solidária na realidade. matemáticos históricos (números, diferentes desenhos, figuras e motivos O texto constitui-se como uma geométricos etc.), procurando traduzir orientação de estudos e, como tal, o seu significado. contém informações e problematizações que evidenciam a presença da • Apresentar alguns dos problemas Matemática em fenômenos e situações enfrentados pelo homem e cujo interpretados pelos estudantes. Tal processo de resolução levou-o a orientação tem o propósito de auxiliar o construir conhecimento matemático 80 Matem∙tica 76-150.pmd 80 11/7/2003, 09:21
    • V - Orientação para o trabalho do professor estudante a recuperar, organizar e tipos. Há aquelas que promovem a aplicar noções matemáticas já busca e aproximação de conhecimentos adquiridas. A abordagem dos conceitos matemáticos, mediante a realização de matemáticos e a aplicação dos mesmos pesquisas, a observação e interpretação pelo estudante são guiadas pelo de situações e fenômenos. Há também conjunto das habilidades pretendidas, questões objetivas, algumas em forma definidas no âmbito global do projeto, de testes de múltipla escolha, que que prevê a abordagem das dimensões requerem do aluno certa agilidade e o histórica, social e cultural da manejo de conhecimentos matemáticos Matemática e sua relação com o em contextos bem particulares. conhecimento científico e tecnológico. O estudante será solicitado, em cada Pretende-se que as situações-problema situação-problema, a ler um texto e e as atividades apresentadas cativem o interpretá-lo, a observar e analisar uma interesse do aluno para estudar e figura, colher informações e registrar aprender mais Matemática, para se suas idéias e soluções. sentir sujeito do seu próprio Devido à natureza deste trabalho, conhecimento ao realizar pesquisas e grande parte das atividades e exercícios relacionar idéias que lhe permitam do texto são, posteriormente, compreender certos fenômenos, comentados, indicando-se informações resolver problemas e tirar conclusões. adicionais e elementos que sirvam de A abordagem das noções matemáticas referência para o estudante validar suas no texto leva em conta, portanto, que a conclusões e respostas. Aqueles itens eficiência dessa orientação depende de que demandam uma resposta objetiva quanto o estudante for motivado para são contemplados com os resultados ao seguir a leitura e se envolver nas final do texto. atividades propostas, já que ele mesmo É necessário que o estudante, a partir do conduzirá grande parte desse processo. estudo do texto e do incentivo do Neste caso, o professor tem o professor, compreenda a relação direta inestimável papel de somar esforços ao que existe entre sua participação e trabalho pretendido com o texto, envolvimento nas atividades e o seu criando, potencializando e aproveitamento. desencadeando o interesse e a O texto contém, ainda, uma bibliografia capacidade desse estudante para o que serviu de apoio à sua elaboração e estudo da Matemática. cujos textos principais estão aqui Como se pretende que o estudante relacionados por se constituírem de desenvolva competências matemáticas material de suporte ao trabalho do e se qualifique como estudante do professor. Alguns dos títulos, a critério Ensino Fundamental, participando de do professor, poderão ser utilizados nos avaliações com bom aproveitamento em estudos que o estudante fará a partir do Matemática, as atividades são de dois texto. Porém, as fontes para pesquisas 81 Matem∙tica 76-150.pmd 81 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental dos estudantes dependem daquilo a que professor pode contribuir apresentando cada um tem acesso. Nesse sentido, sugestões de livros, materiais e fontes dada a proximidade com o estudante, o acessíveis a ele. BIBLIOGRAFIA ALSINA, C. et al. Invitación a la didactica de la geometria. Madrid: Sintesis, 1995. BOYER, C. B. História da matemática. 2. ed. São Paulo: E. Blücher, 1998. Tradução de Elza F. Gomide. CERQUETTI; ABERKANE, F.; BERDONNEAU, C. O ensino de matemática na educação infantil. Porto Alegre: Armed, 1997. DAVIS, P. J.; HERSH, R. A experiência matemática. 2. ed. Rio de Janeiro: F. Alves, 1985.Tradução de João Bosco Pitombeira. Folha de S. Paulo, 500 receitas. São Paulo: Revista folha, dez. 1994. IFRAH, G. Os números: história de uma grande invenção. 2. ed. Rio de Janeiro: Globo, 1989. Tradução de Stella M. Freitas Senra. KOESTLER, A. Os sonâmbulos: história das concepções do homem sobre o universo. Tradução de Alberto Denis. São Paulo: IBRASA, 1961. (Biblioteca História; v.7). a LOPES, A. J. Matemática hoje é feita assim: 6 série. São Paulo: FTD, 2000. STEWART, I. Os números da natureza: a realidade irreal da imaginação matemática. Rio de Janeiro: Rocco, 1996. (Ciência Atual e Mestres da Ciência). Tradução de Alexandre Torres. SOLOMON, C. Matemática. 2. ed. São Paulo: Melhoramentos, 1977. (Prisma, v. 22). Tradução de Maria Pia Brito de Macedo Charlier e Rene François Joseph Charlier. TOLEDO, M. Didática de matemática: como dois e dois: a construção da matemática. São Paulo: FTD, 1997. (Conteúdo e metodologia). 82 Matem∙tica 76-150.pmd 82 11/7/2003, 09:21
    • AMPLIAR FORMAS DE RACIOCÍNIO E PROCESSOS MENTAIS POR Matemática - Ensino Fundamental Capítulo II MEIO DE INDUÇÃO, DEDUÇÃO, ANALOGIA E ESTIMATIVA, UTILIZANDO CONCEITOS E PROCEDIMENTOS MATEMÁTICOS. A arte de raciocinar Célia Maria Carolino Pires Na Educação de Jovens e Adultos, como formular e testar hipóteses, de nas demais modalidades de ensino, a generalizar e de inferir dentro de atividade matemática deve estar determinada lógica. orientada para integrar, de forma equilibrada, seu papel formativo de DESENVOLVENDO A desenvolvimento de capacidades COMPETÊNCIA intelectuais para a estruturação do Assim sendo, podemos sintetizar a pensamento e seu papel funcional de finalidade deste texto como sendo a de aplicação na vida prática e de resolução estimular o aluno a ampliar formas de de problemas nas diferentes áreas de raciocínio e processos mentais por meio conhecimento. de intuição, dedução, analogia e Neste texto, além da aplicabilidade dos estimativa, utilizando conceitos e conhecimentos matemáticos, o papel procedimentos matemáticos. Essa formativo merece destaque, na medida competência materializa-se em diferentes em que se pretende que o aluno perceba habilidades: que pode usar diferentes procedimentos • Identificar e interpretar conceitos e de raciocínio, na solução de um procedimentos matemáticos expressos problema matemático. A intenção é a de em diferentes formas. estimular o aluno a observar regularidades, a elaborar conjecturas e • Utilizar conceitos e procedimentos validá-las e a formular argumentos para matemáticos para explicar fenômenos defender seus pontos de vista. ou fatos do cotidiano. Pretende-se que ele observe que o • Utilizar conceitos e procedimentos exercício da indução e da dedução são matemáticos para construir formas de importantes no desenvolvimento da raciocínio que permitam aplicar capacidade de resolver problemas, de estratégias para a resolução de problemas. 83 Matem∙tica 76-150.pmd 83 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental • Utilizar conceitos e procedimentos elaboração de estratégias e na resolução de matemáticos para identificar a problemas, em que o aluno possa consistência de uma argumentação. desenvolver processos importantes como • Reconhecer a adequação da proposta intuição, analogia, indução e dedução, e de ação solidária, utilizando conceitos não atividades voltadas para a e procedimentos matemáticos. memorização, desprovidas de compreensão ou de um trabalho que No capítulo, os conteúdos conceituais e privilegie a formalização de conceitos, sem procedimentais têm papel ilustrativo de significados. conteúdos de natureza atitudinal. O que se pretende é mostrar situações em que As atividades propostas caracterizam-se o que está em jogo é a capacidade de pela problematização de situações em investigar, de perseverar na busca de que o aluno precisa identificar e soluções e, principalmente, de valorizar interpretar alguns conceitos e o uso de estratégias de verificação e procedimentos matemáticos, controle de resultados. relacionados a fatos do cotidiano e também a fenômenos da natureza, das Analisando diferentes estratégias para ciências humanas e das ciências sociais. resolver uma situação-problema e Elas fazem referência a alguns aspectos reconhecendo que existem diversas históricos do conhecimento formas de resolução que podem ser matemático, buscando elucidar empregadas, o aluno poderá ir estratégias usadas para a resolução de modificando suas representações sobre problemas. Destacam ainda alguns a atividade matemática e sobre o papel aspectos da lógica matemática, como as dos conteúdos. À medida que o aluno é falácias, as implicações que podem ser capaz de dizer se uma regra matemática utilizadas pelos alunos para identificar a se aplica em diversos exemplos e consistência de uma argumentação e a contra-exemplos, ele se mostra capaz adequação de propostas de ação de utilizar conceitos como instrumentos solidária, usando ferramentas de ação, mesmo que ainda não possa matemáticas. formulá-los. Partimos do princípio de que o A resolução de problemas é a estratégia pensamento matemático de um aluno metodológica privilegiada; desse modo, as avança quando ele é estimulado a utilizar soluções das situações apresentadas não seus conhecimentos prévios para estão disponíveis de início, mas podem ser resolver outros problemas, o que exige construídas pelo aluno, ao colocar em ação transferências, retificações, rupturas, habilidades de análise e interpretação das novas informações que possibilitam a situações e ao buscar estratégias de constituição de “novos” conhecimentos. solução, usando diferentes formas de raciocínio. Para tanto, é fundamental que o aluno seja estimulado a ler textos, a As situações de aprendizagem estão interpretar significados, a pensar de centradas na construção de significados, na forma criativa. 84 Matem∙tica 76-150.pmd 84 11/7/2003, 09:21
    • V - Orientação para o trabalho do professor Assim sendo, ao utilizar este texto, esse É fundamental ainda que o trabalho não processo de lançar mão de se limite aos textos e às propostas de conhecimentos prévios e ampliá-los atividades apresentadas, mas que este deve nortear os estudos tanto em texto seja um roteiro de estudo, a ser situações de trabalho individual, como ampliado pela consulta de outras fontes em grupo, de modo que o aluno possa bibliográficas. desenvolver o raciocínio, perceber É interessante que o aluno vá registrando formas indutivas ou dedutivas de possíveis dúvidas em relação às organização do pensamento, estabelecer atividades comentadas e também aos analogias, argumentar, ampliando, exercícios propostos em que são assim, significativamente, sua fornecidas as respostas. O processo de capacidade para abstrair elementos auto-avaliação deve ser orientador de comuns a várias situações, fazer quais conceitos ou procedimentos conjecturas, generalizações e deduções precisam ser melhor trabalhados com simples. ajuda do professor. BIBLIOGRAFIA D’AMBROSIO, U. Globalização, educação multicultural e etnomatematica. 1997. Brasília, DF: MEC: SEF. Texto apresentado na: JORNADA DE REFLEXÃO E CAPACITAÇÃO SOBRE MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO BÁSICA DE JOVENS E ADULTOS, 1997. ______. Da realidade à ação: reflexões sobre educação e matemática. Campinas, Unicamp, 1986. DAVIS, P. J.; HERSH, R. A experiência matemática. 3. ed. Rio de Janeiro: F. Alves, 1986. Tradução de João B. Pitombeira. DUVAL, R. Argumenter, démontrer, expliquer: continuité ou rupture cognitive. Strasbourg: IREM, n. 31, 1993. FREUDENTHAL, H. Problemas mayores de la educación matematica. Dordrecht: D. Reidel, 1981. Versão ao espanhol: Alejandro López Yánez. GARDNER, H. Estruturas da mente: a teoria das inteligências múltiplas. Tradução de Sandra Costa. Porto Alegre: Artes Médicas, 1994. JAPIASSU, H. Interdisciplinaridade e patologia do saber. Rio de Janeiro: Imago, 1976. (Logoteca). LÉVY, P. As tecnologias da inteligência: o futuro do pensamento na era da informática. Rio de Janeiro: Ed. 34, 1993. (Trans). Tradução de Carlos Irineu da Costa. 85 Matem∙tica 76-150.pmd 85 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental MACHADO, N. J. Epistemologia e didática: a alegoria como norma e o conhecimento como rede. São Paulo, 1994. Tese (Livre Docência)- Faculdade de Educação, Universidade de São Paulo. PIRES, C. M. C. Currículos de matemática: da organização linear à idéia de rede. São Paulo: FTD, 2000. PIRES, C. M. C. et al. Educação matemática. São Paulo: Atual, 2002. SCHOENFELD, A. H. Mathematical problem solving. New a York: Academic Press, 1985. 86 Matem∙tica 76-150.pmd 86 11/7/2003, 09:21
    • CONSTRUIR SIGNIFICADOS E AMPLIAR OS JÁ EXISTENTES PARA Matemática - Ensino Fundamental Capítulo III OS NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS E RACIONAIS. Os números: seus usos e seus significados Wanda Silva Rodrigues Construir significados e ampliar os já • Identificar, interpretar e representar os existentes para os números naturais, números naturais, inteiros e racionais. inteiros e racionais, a partir de seus usos • Construir e aplicar conceitos de e significados e também relacionando- números naturais, inteiros e racionais, os ao seu desenvolvimento histórico, é para explicar fenômenos de qualquer uma das competências mais importante natureza. a ser desenvolvida no Ensino • Interpretar informações e operar com Fundamental. números naturais, inteiros e racionais, A importância desse tema é bastante para tomar decisões e enfrentar reconhecida por professores e alunos, situações-problema. pelo seu uso no cotidiano das pessoas. • Utilizar os números naturais, inteiros e Os números estão presentes nas notícias racionais, na construção de veiculadas em jornais e revistas, em argumentos sobre afirmações textos científicos, históricos, quantitativas de qualquer natureza. geográficos, nas compras e vendas, nas • Recorrer à compreensão numérica expressões de medidas, nas estatísticas. para avaliar propostas de intervenção frente a problemas da realidade. DESENVOLVENDO A Os números naturais são explorados nas COMPETÊNCIA diferentes situações em que aparecem O propósito deste texto é, portanto, com a finalidade de representar os possibilitar ao leitor construir, ampliar resultados de contagens ou de e/ou reconstruir significados para os ordenações, e também para codificar. É números naturais, inteiros e racionais, importante que o aluno tenha por meio de sua inserção em contextos oportunidade de realizar a leitura e significativos de modo a desenvolver as escrita de números “grandes” e seguintes habilidades: 87 Matem∙tica 76-150.pmd 87 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental desenvolver uma compreensão mais vista expressos, cada vez com mais consistente das regras que caracterizam clareza, permitem ao leitor fazer o sistema de numeração que utiliza. interpretações de significados, Já os números inteiros negativos são conjecturas, generalizações e deduções explorados pela análise de situações em simples. Com isso, desenvolvem-se o que representam diferença, “falta”, pensamento indutivo e o dedutivo. Essa apoiando-se em idéias intuitivas que os conexão com a realidade torna possível alunos já têm sobre esses números por a leitura e a interpretação dos números vivenciarem situações de perdas e em textos jornalísticos, científicos, ganhos num jogo, débitos e créditos histórico-geográficos, e em gráficos e bancários ou outras situações. O estudo tabelas, possibilitando tomadas de dos números racionais, nas suas decisão e uma intervenção frente a representações fracionária e decimal, problemas da realidade. partem da exploração de alguns de seus Parte significativa das atividades significados, tais como: a relação propostas envolve a leitura e parte/todo, quociente, razão. interpretação de textos adaptados de jornais e revistas em que os dados Ao longo do texto, a resolução de numéricos desempenham importante situações - problema com números papel. naturais, racionais e inteiros permite a ampliação do sentido operacional, que se Os textos foram selecionados de modo a desenvolve simultaneamente à explicitar a relação dos conhecimentos compreensão dos significados dos matemáticos com temas de interesse números. social, ligados às questões ambientais, ao trabalho e ao consumo, ao Em algumas atividades explora-se a desenvolvimento tecnológico, entre compreensão de regras do cálculo com outros. naturais, inteiros e racionais pela observação de regularidades. Outras atividades têm como finalidade chamar a atenção sobre os aspectos A resolução de problemas é a estratégia matemáticos que envolvem os estudos metodológica privilegiada. Essa opção dos números, tão importantes quanto os traz implícita a convicção de que o que tratam de seus usos e significados conhecimento matemático ganha sociais. Dentre essas atividades, significado quando, diante de situações destacam-se as que estimulam o aluno a desafiadoras, são desenvolvidas perceber regularidades, a estabelecer estratégias de resolução possibilitando a semelhanças e diferenças entre escritas mobilização de conhecimentos e o numéricas, a analisar definições. desenvolvimento da capacidade para generalizar informações e argumentar É fundamental que o estudo não se sobre elas. limite aos textos e propostas de atividades apresentadas, mas que este É na argumentação dos problemas do capítulo seja um roteiro de estudo, a ser dia-a-dia que as idéias e os pontos de 88 Matem∙tica 76-150.pmd 88 11/7/2003, 09:21
    • V - Orientação para o trabalho do professor ampliado pela consulta de outras fontes oportunidade para que o aluno confira bibliográficas. As atividades suas respostas e retome, se for o caso, apresentadas em forma de teste, com pontos que ainda não foram claramente respostas ao final, são uma compreendidos. BIBLIOGRAFIA BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática: séries iniciais. Brasília, DF, 1997. ______. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática: séries finais. Brasília, DF, 1997. BOYER, C. B. História da matemática. São Paulo: Blücher, 1974. Tradução: Elza F. Gomide. FAYOL, M. A criança e o número: da contagem à resolução de problemas. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996. Tradução de Rosana Severino di Leone. FONSECA, M. da C. F. R. Educação matemática de jovens e adultos: especificidades, desafios e contribuições. Belo Horizonte: Autêntica, 2002. IFRAH, G. História universal dos algarismos: a inteligência dos homens contada pelos números e pelo cálculo. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1997. Tradução: Alberto Muñoz e Ana Beatriz Katinsky. LERNER DE ZUNINO, D. A matemática na escola: aqui e agora. 2. ed. Tradução de Juan Acuma Llorens. Porto Alegre: Artes Médicas, 1995. PARRA, C. et al. Didática da matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996. Tradução de Juan Acuna Llorens. PERRENOUD, P. Construir as competências desde a escola. Porto Alegre: Artmed, 1999. Tradução de Bruno Charles Magne. PIRES, C. M. C. Currículos de matemática: da organização linear à idéia de rede. São Paulo: F.T.D., 2000. RODRIGUES, W. S. Base dez: o grande tesouro matemático e sua aparente simplicidade. 2001. Dissertação (Mestrado)-Pontifícia Universidade Católica, São Paulo, 2001. VYGOTSKY, L. S. Pensamento e linguagem. Lisboa: Antídoto, 1979. Tradução de M. Resende. 89 Matem∙tica 76-150.pmd 89 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental 90 Matem∙tica 76-150.pmd 90 11/7/2003, 09:21
    • UTILIZAR O CONHECIMENTO GEOMÉTRICO Matemática - Ensino Fundamental Capítulo IV PARA REALIZAR A LEITURA E A REPRESENTAÇÃO DA REALIDADE E AGIR SOBRE ELA. Geometria – leitura e representação da realidade Norma Kerches de Oliveira Rogeri O pensamento geométrico é um recurso DESENVOLVENDO A extremamente importante para COMPETÊNCIA resolução de muitos problemas da nossa A finalidade deste texto é possibilitar ao vida cotidiana. Muitas vezes, no aluno a utilização do conhecimento entanto, nos deparamos com geométrico para realizar a leitura e a dificuldades na busca da solução desses representação da realidade e agir sobre problemas por “ausência” de habilidades ela. Para isso, o aluno será estimulado a geométricas que podem ser construir conceitos geométricos e a desenvolvidas a partir de situações onde utilizá-los por meio de atividades que a percepção, representação, construção possibilitem os desenvolvimentos das e concepção estão presentes. habilidades: O professor, ao trabalhar com a • Identificar e interpretar fenômenos de geometria, precisa estruturar o trabalho qualquer natureza expressos em de tal forma que possibilite ao aluno linguagem geométrica. desenvolver um tipo especial de pensamento que lhe permita • Construir e identificar conceitos compreender, descrever e representar, de geométricos no contexto da atividade forma organizada, o mundo em que vive. cotidiana. No capítulo, as atividades valorizam a • Interpretar informações e aplicar percepção espacial para que o aluno estratégicas geométricas na solução possa estabelecer conexões entre a de problemas do cotidiano. Matemática e as outras áreas do • Utilizar conceitos geométricos na conhecimento, na busca de argumentos seleção de argumentos propostos como lógicos e de procedimentos de solução de problemas do cotidiano. generalização. • Recorrer a conceitos geométricos para avaliar propostas de intervenção sobre problemas do cotidiano. 91 Matem∙tica 76-150.pmd 91 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental As idéias e conceitos geométricos são medidas, possibilitando a articulação abordados neste texto, principalmente, entre os eixos temáticos da matemática. através de situações do cotidiano onde Neste texto, as atividades foram aparecem como um poderoso recurso estruturadas de tal forma que para solucionar as questões propostas. possibilitem ao aluno perceber, Além disso, a geometria será associada representar, construir e conceber idéias não apenas a essas dimensões práticas, e formas geométricas e, assim, mas, também, em suas relações com a desenvolver habilidades de Arte e a Arquitetura, ou seja, em suas visualização, percepção espacial, relações com a estética e a harmonia. análise, criatividade, principalmente, A resolução de problemas é a estratégia para resolver problemas geométricos da metodológica privilegiada, pois sua vida cotidiana. No entanto, a possibilita ao aluno a análise e a aprendizagem não decorre das interpretação de situações e, atividades propostas ao aluno, mas sim, principalmente, a aplicação das idéias e das relações que ele estabelece a nível conceitos geométricos na busca de de pensamento entre significados e soluções dessas situações. conceitos. Assim, o texto deve As atividades propostas caracterizam-se representar uma estratégia que pela problematização de situações em possibilite e promova a reflexão do que o aluno precisa identificar e aluno sobre aspectos importantes de interpretar conceitos e procedimentos determinados conceitos que estão sendo geométricos, usando a percepção desenvolvidos e não se limite, apenas, espacial para compreender e representar aos textos e às propostas de atividades. os fenômenos da natureza, gerando, Ele deve ser um fio condutor do com isso, possibilidades de intervenção trabalho, a ser ampliado também pela na realidade e na busca de melhor consulta de outras fontes bibliográficas. qualidade de vida. É importante que o aluno registre dúvidas e questionamentos em relação Além disso, algumas situações às atividades do texto e que possa, com propostas sugerem o uso de conceitos isso, ter orientação do professor para geométricos como ferramentas para garantir sua aprendizagem. resolver problemas de grandezas e 92 Matem∙tica 76-150.pmd 92 11/7/2003, 09:21
    • V - Orientação para o trabalho do professor BIBLIOGRAFIA BOYER, C.B. História da Matemática. São Paulo: Blucher, 1974. Tradução de Elza F. Gomide. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental: Matemática. Brasília, DF, 1998. IMENES, L. M. Geometria dos mosaicos. São Paulo: Scipione, 1987. (Vivendo a Matemática). JAKUBO, I.; LELLIS, M. C. Para que serve matemática?: geometria. 4. ed. São Paulo: Atual, 1992. MACHADO, N. J. Os poliedros de Platão e os dedos da mão. Ilustrações de Rogério Nunes Borges. 3. ed. São Paulo: Scipione, 1992. (Vivendo a Matemática). ______. Epistemologia e didática: as concepções de conhecimento e inteligência e a prática docente. 2. ed. São Paulo: Cortez, 1996. PIRES, C. M. C.; CURI, E. Transformando a prática das aulas de matemática. São Paulo: Proem, 2001. Pires, C. M. C. Currículos de matemática: da organização linear à idéia de rede. São Paulo: Edusp, 1995. SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Experiências matemáticas de 5ª a 8ª série. Colaboração de Célia Maria Carolino Pires et al. São Paulo, 1996. (CENP, v. 446). 93 Matem∙tica 76-150.pmd 93 11/7/2003, 09:21
    • Matem∙tica 76-150.pmd 94 11/7/2003, 09:21
    • CONSTRUIR E AMPLIAR NOÇÕES DE GRANDEZAS E MEDIDAS Matemática - Ensino Fundamental Capítulo V PARA A COMPREENSÃO DA REALIDADE E A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO COTIDIANO. As medidas e a compreensão da realidade Dulce Satiko Onaga Para aprender Matemática com gradativamente a vida nômade e significado, é importante desenvolver tornaram-se, aos poucos, cada vez mais competências que permitam estabelecer sedentários. conexões entre estes temas e as demais Os egípcios antigos, por exemplo, áreas do conhecimento e entre estes cultivavam as terras nas margens do rio temas e as situações do cotidiano. Nilo. Elas eram demarcadas de acordo Muitos dos fatos com os quais com cada grupo de agricultores. As convivemos ou podemos observar no cheias do rio destruíam essas dia-a-dia envolvem medidas e demarcações, o que os obrigavam a grandezas. Elas nos dão informações refazê-las todos os anos. sobre as distâncias que percorremos, o Para usar essas terras, os agricultores tamanho da nossa casa, a capacidade da pagavam impostos ao Faraó. Hoje, nossa caixa d’água, a quantidade de pagamos IPTU (Imposto Predial e alimentos que necessitamos, o nosso Territorial Urbano), imposto que a gasto com energia elétrica, a Prefeitura da maioria das grandes organização do nosso tempo e outras cidades recolhe dos contribuintes que coisas mais. possuem um imóvel ou terreno no A necessidade de medir é muito antiga. município. Depois que os homens foram deixando No início, é possível que as pessoas de ser apenas caçadores e coletores de apenas comparassem grandezas. alimentos, foram se fixando no solo, Quando pensaram em construir suas como agricultores. Deixaram casas, fazer suas plantações, armazenar 95 Matem∙tica 76-150.pmd 95 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental seus produtos, controlar sua produção, formas de mensuração de fenômenos elas se depararam com problemas de de natureza qualquer com a medidas. Para resolver aqueles que construção de argumentação que envolviam comprimentos, criaram possibilite sua compreensão. unidades de medidas que, em geral, • Reconhecer propostas adequadas de eram provenientes do tamanho das ação sobre a realidade, utilizando partes do corpo do governante de cada medidas e estimativas. país. Como elas não eram comuns a No capítulo, as atividades com medidas todos, foram surgindo dificuldades, são desenvolvidas estabelecendo principalmente nas trocas comerciais. relações com os conceitos geométricos Começou-se então, a busca por uma e numéricos, com proporcionalidade e padronização de unidades, o que as representações gráficas, pretendendo, caracterizou melhor o desenvolvimento assim, vincular Medidas com Números, da noção de medir. Geometria e Tratamento da Informação, de modo que o trabalho com esses DESENVOLVENDO A quatro temas se dê simultaneamente. COMPETÊNCIA Os temas abordam situações do A finalidade do capítulo é auxiliar o cotidiano em que são propostos leitor no desenvolvimento da problemas que propiciem a reflexão, a competência de construir e ampliar discussão e a resolução dos mesmos, de noções de grandezas e medidas para a forma a constituir o ponto de partida compreensão da realidade e a solução para a construção dos conceitos. de problemas do cotidiano. No primeiro momento, os alunos são Esta competência é traduzida por meio convidados a opinarem sobre a situação das seguintes habilidades: proposta. O professor, se preferir, poderá • Identificar e interpretar registros pedir pedir-lhes que leiam os textos com utilizando a notação convencional de antecedência, ou que façam uma leitura medidas. silenciosa em classe, e depois promover • Estabelecer relações adequadas entre uma discussão, encerrando com uma diversos sistemas de medidas e a primeira síntese do tema tratado. representação de fenômenos naturais Acreditamos que melhorar a capacidade e do cotidiano. de ler, interpretar e resolver problemas • Selecionar, compatibilizar e operar faz parte da construção do informações métricas de diferentes conhecimento matemático. Além disso, sistemas ou unidades de medidas na explorar assuntos do interesse dos resolução de problemas do cotidiano. alunos despertará sua curiosidade, envolvendo-os numa busca de novos • Selecionar e relacionar informações conhecimentos e enriquecendo aqueles referentes a estimativas ou outras que já possuem. 96 Matem∙tica 76-150.pmd 96 11/7/2003, 09:21
    • V - Orientação para o trabalho do professor As atividades procuram explicitar as para que por meio de uma série de diferenças da natureza entre medidas de observações sistemáticas, o professor comprimento, massa, capacidade, possa emitir um juízo valorativo sobre a tempo, área, volume e energia elétrica e evolução dos alunos e tomar as atitudes pretendem que os alunos justifiquem a necessárias. necessidade da unidade padrão. É O procedimento de registro pode ser importante observar que a necessidade simples, exigindo pouco tempo para de trabalhar com as unidades anotá-lo e levando em conta: convencionais está relacionada com um • as respostas dos estudantes, quando problema de comunicação. Para efetuar eles manifestam de forma implícita ou uma medição escolhemos uma unidade explícita suas certezas, dúvidas e de medida de mesma natureza da erros; grandeza que queremos medir. • as observações das ações e discussões Apresentando as unidades padrão para efetuadas durante as tarefas essas grandezas, são propostas situações individuais, em grupos pequenos ou que possibilitam aos alunos com a classe toda; estabelecerem relações entre unidades de medidas e utilizarem múltiplos e • análise de provas, tarefas feitas em casa, diários e trabalhos escritos. submúltiplos das unidades fundamentais, com ênfase apenas nas Outras sugestões que poderão auxiliar o unidades mais comuns no dia-a-dia. Ao professor: construírem as unidades legais espera-se • Sugerir uma leitura complementada que eles percebam que certos com pesquisas e discussão em sala de comprimentos, ou outros tipos de aula ou exposição dos resultados das medidas, não são mensuráveis com pesquisas realizadas. apenas uma determinada unidade e que • Organizar palestras, sessões de vídeos, a partir desta pode-se criar outras visita a exposições e museus. unidades. Assim, eles começam a • Promover um trabalho integrado com adequar as unidades de medida às outras áreas: Ciências, Geografia, grandezas que se deseja medir, e a Educação Artística, explorando descobrir a equivalência entre as notícias locais, e também, matérias de unidades criadas em um mesmo sistema jornais e revistas. de medida. • Utilizar a História da Matemáticas As habilidades para o uso e a leitura de pois ela poderá despertar o interesse instrumentos apropriados para medir dos alunos. Incentivá-los a diversas grandezas vão se refinando pesquisarem outras unidades de gradativamente. medida que foram usadas ao longo da A avaliação precisa ser contínua, História da humanidade. dinâmica e, com freqüência, informal, 97 Matem∙tica 76-150.pmd 97 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental • Propiciar outras atividades de • Explorar outros instrumentos medição, utilizando unidades não utilizados na medição de padronizadas, nas quais os alunos comprimento, massa, capacidade e poderão perceber medidas diferentes, fazendo-os perceber a adequação de decorrentes da diferença entre as cada um às situações de medição. unidades utilizadas. BIBLIOGRAFIA BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática: 1º e 2º ciclos. Brasília, DF, 1997. ______. Parâmetros Curriculares Nacionais: temas transversais, 3º e 4º ciclos. Brasília, DF, 1998. ______. Parâmetros curriculares nacionais: terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental: Matemática. Brasília, DF, 1998. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio: ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília, DF, 1999. CAMPOS, T. M. (Coord.). Transformações no ensino da matemática: a experiência positiva de professores do Pólo 4. São Paulo: PUC, 1998. (Coleção PROEM). COLEÇÃO MATEMÁTICA SEM PROBLEMAS. São Paulo: Melhoramentos, 1972. D’ AMBROSIO, U. Da realidade à ação: reflexões sobre educação e matemática. Campinas: Unicamp, 1986. FUNDAÇÃO PARA O DESENVOLVIMENTO DA EDUCAÇÃO. Diário de classe: matemática. São Paulo: FDE, 1994. v. 5. INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA E CIÊNCIAS DA COMPUTAÇÃO. Geometria experimental Brasília, DF: MEC, 1980. experimental. KRULIK, S.; REYS, R. E. Resolução de problemas na Matemática escolar. São Paulo: Atual, 1998. Tradução de Higino H. Domingues. LINDQUIST, M.M.; SHULTE, A.P. Aprendendo e ensinando geometria. Tradução de Higino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1984. LOPES, M. L.; NASSER, L. (Coord.) Geometria na era da imagem e do movimento. Rio de Janeiro: Ed. da UFRJ, 1996. 98 Matem∙tica 76-150.pmd 98 11/7/2003, 09:21
    • V - Orientação para o trabalho do professor MACHADO, N. J. Matemática e língua materna: Análise de uma impregnação mútua. São Paulo: Cortez, 1990. (Educação contemporânea). ______. Matemática e realidade. São Paulo: Cortez, 1987. (Educação contemporânea). ______. Medindo comprimentos. 4. ed. São Paulo: Scipione, 1988. (Vivendo a Matemática). MORI, I.; ONAGA, D. S. Matemática: idéias e desafios. São Paulo: Saraiva, 2000. v. 5, 6, 7, 8. REVISTA DO ENEM. Brasília, DF: Inep. v. 1, n. 1. REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. São Paulo: Sociedade Brasileira de Matemática, v. 6, n. 32, 35. SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Experiências Matemáticas São Paulo, SE: CENP, 1984. Matemáticas. ______.Matemática 1° grau: 5ª a 8ª séries. São Paulo, 1993. (A prática pedagógica, Matemática: Matemática v. 428). SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. A educação Matemática em revista n. 1-2, 1999. revista, 99 Matem∙tica 76-150.pmd 99 11/7/2003, 09:21
    • Matem∙tica 76-150.pmd 100 11/7/2003, 09:21
    • CONSTRUIR E AMPLIAR NOÇÕES DE VARIAÇÃO DE GRANDEZA Matemática - Ensino Fundamental Capítulo VI PARA A COMPREENSÃO DA REALIDADE E A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO COTIDIANO. Proporcionalidade: uma idéia fundamental Ruy César Pietropaolo A aprendizagem de noções, conceitos e de outras áreas do conhecimento, como procedimentos matemáticos é Física, Biologia, Psicologia, Geografia fundamental para a formação do cidadão, etc. pois permite a aquisição de ferramentas básicas para que ele possa resolver DESENVOLVENDO A situações da vida diária, compreender COMPETÊNCIA melhor o próprio ambiente, comunicar O capítulo está voltado para o idéias e mesmo entender assuntos das desenvolvimento da competência de diversas áreas do conhecimento. Mas, construir e ampliar noções de variação para isso, esse processo não pode limitar- de grandezas direta e inversamente se a uma simples memorização de regras proporcionais para a compreensão da e técnicas e nem ao conhecimento formal realidade e a solução dos problemas do de definições. cotidiano. Mas, para isto, é fundamental Entre as diversas noções matemáticas que os jovens e adultos desenvolvam que devem ser desenvolvidas pelos um conjunto de habilidades que jovens e adultos, destaca-se a de expressem essa competência. São elas: proporcionalidade, o tema central deste • Identificar grandezas direta e texto. Essa noção é fundamental, pois inversamente proporcionais e está presente no dia-a-dia das pessoas interpretar a notação usual de em diversas situações, tais como a porcentagem. interpretação de um mapa ou da planta de um edifício, a ampliação de uma foto, • Identificar e avaliar variação de a receita de uma torta, a leitura de um grandezas para explicar fenômenos gráfico em jornais, estimativas de preços naturais, processos socioeconômicos e etc. da produção tecnológica. Além disso, a noção de • Resolver problemas envolvendo proporcionalidade é necessária para grandezas direta e inversamente estudar diversos temas da Matemática e proporcionais e porcentagens. 101 Matem∙tica 76-150.pmd 101 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental • Identificar e interpretar variações raciocínio como intuição, indução, percentuais de variável dedução e estimativa. socioeconômica ou técnico-científica Desse modo, a abordagem como importante recurso para a metodológica deste texto é a resolução construção de argumentação de problemas em contextos diversos, convincente. como aqueles do cotidiano, e de outras • Recorrer a cálculos com porcentagens áreas do conhecimento, como física e e relações entre grandezas economia. proporcionais para avaliar a adequação A elaboração deste texto levou em de propostas de intervenção na conta que, para o desenvolvimento da realidade. noção de proporcionalidade, é Assim, procurou-se sugerir ao aluno fundamental a exploração de situações que, mediante uma situação-problema de aprendizagem que levem o estudante envolvendo variação de grandezas, faça a observar a variação entre grandezas, as seguintes perguntas: estabelecer relação entre elas e construir • Uma grandeza depende da outra? estratégias de solução para resolver situações que envolvam esta importante • Se sim, como se dá essa dependência? noção. • Por que é importante saber como elas No texto, é apresentada, de início, uma se relacionam? situação cujas grandezas envolvidas não • É importante identificar o tipo de variam proporcionalmente. O aluno, por variação? meio de seus conhecimentos prévios, • No que isso pode me ajudar a resolver poderá responder à questão proposta. o problema? Em seguida, é apresentada outra Para isso, foram propostas situações em situação, mas envolvendo grandezas que há proporcionalidade direta ou diretamente proporcionais. Depois, é inversa entre grandezas, além de feita uma breve sistematização do que situações em que não há foi discutido nessas duas situações: proporcionalidade. grandezas diretamente proporcionais e Há um significativo consenso entre os grandezas não proporcionais. educadores de que a utilização da Ainda na primeira parte, o aluno situação-problema como ponto de aprenderá a identificar grandezas partida da atividade matemática é uma inversamente proporcionais e calcular forma de possibilitar o desenvolvimento porcentagens por meio da de capacidades fundamentais, como proporcionalidade. Ou seja, observação, estabelecimento de conhecendo-se quanto é 10% de um relações, comunicação, argumentação e valor, ele pode calcular qualquer outra validação de processos. A resolução de porcentagem. problemas possibilita, assim, o Na segunda parte do texto, procurou-se desenvolvimento de formas do destacar a representação gráfica de 102 Matem∙tica 76-150.pmd 102 11/7/2003, 09:21
    • V - Orientação para o trabalho do professor grandezas diretamente proporcionais e a argumentações, bem como elaborar representação de grandezas outras. inversamente proporcionais. Na última parte, os alunos deverão O destaque da terceira parte do texto é utilizar as noções que foram para a propriedade fundamental das desenvolvidas para analisar propostas proporções. Para a resolução das de intervenção na realidade. diversas situações propostas, A maneira pela qual os conteúdos são envolvendo tanto as grandezas direta abordados neste capítulo pode quanto as inversamente proporcionais, favorecer o processo de compreensão discute-se a utilização da regra de três. do estudante sobre os conceitos e Na quarta parte do texto, os jovens procedimentos desenvolvidos e terão oportunidade de analisar um incentivá-lo à aplicação destes em problema sobre variação de grandezas situações de sua realidade. envolvendo geometria e medidas. No Sugerimos o uso de calculadoras nas texto, discute-se que a área do situações em que há muitos cálculos, quadrado é diretamente proporcional para agilizar os resultados e permitir não ao seu lado, mas sim, ao quadrado que o aluno se dedique mais tempo às deste. Os estudantes são convidados a questões relevantes da situação analisar a validade de algumas proposta. BIBLIOGRAFIA BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: temas transversais: 3º e 4º ciclos. Brasília, DF, 1998. ______.Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática: 3º e 4º ciclos. Brasília, DF, 1998. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio: ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília, DF, MEC, 1999. BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais para o ensino fundamental para o segmento de jovens e adultos. Brasília, DF, 2002. CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais da matemática. 6. ed. Lisboa: Brás Monteiro, 1975. CURI, E.; PIRES, C. M.C.; PIETROPAOLO, R.C. Educação matemática. São Paulo: Atual, 2002. D’AMBROSIO, U. Globalização, educação multicultural e etnomatemática. Brasília, DF. MEC, 1997. TEXTO APRESENTADO NA JORNADA DE REFLEXÃO E CAPACITAÇÃO SOBRE MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO BÁSICA DE JOVENS E ADULTOS, 1997. 103 Matem∙tica 76-150.pmd 103 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental PIRES, C. M. C. Currículos de matemática: da organização linear à idéia de rede. São Paulo: Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo, 2000. SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Experiências matemáticas. São Paulo, 1994. SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Educação Matemática em Revista São Paulo. v. 7-12. Revista. 104 Matem∙tica 76-150.pmd 104 11/7/2003, 09:21
    • CONSTRUIR E UTILIZAR CONCEITOS ALGÉBRICOS Matemática - Ensino Fundamental Capítulo VII PARA MODELAR E RESOLVER PROBLEMAS. A Álgebra, suas funções e seus usos Angélica da Fontoura Garcia Silva Neste texto, procuraremos enfatizar • resolver problemas difíceis do ponto diferentes funções da álgebra, para que de vista aritmético. o aluno da Educação de Jovens e Adultos, além de ampliar sua visão DESENVOLVENDO A sobre ela, possa construir um COMPETÊNCIA pensamento algébrico que, juntamente, O capítulo tem como finalidade estimular com o pensamento aritmético e o aluno a construir e utilizar conceitos geométrico, lhe permita resolver algébricos para modelar e resolver problemas. problemas. Essa competência concretiza- A Álgebra será apresentada com as se por meio de diferentes habilidades: funções de: • Identificar, interpretar e utilizar a • generalizar dados aritméticos as aritméticos: linguagem algébrica como uma variáveis teriam a função de generalização de conceitos representar a generalidade de uma aritméticos. propriedade ou característica que é • Caracterizar fenômenos naturais e sempre observada; processos da produção tecnológica, • representar a relação entre utilizando expressões algébricas e grandezas aqui, as variáveis grandezas: equações do 1º e 2º graus. modificam-se com a alteração da • Utilizar expressões algébricas e quantidade de grandeza; equações do 1º e 2º graus para • servir para manipulação modelar e resolver problemas. simbólica: essa função, muito • Analisar o comportamento de uma importante na Matemática, encontra, variável, utilizando ferramentas hoje, aplicação prática em diversas algébricas como importante recurso áreas, dentre elas a eletricidade e a para a construção de argumentação informática; consistente. 105 Matem∙tica 76-150.pmd 105 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental • Avaliar, com auxílio de ferramentas conhecimentos algébricos em suas algébricas, a adequação de propostas argumentações, apresentamos uma de intervenção na realidade. situação-problema: duas opções de Os conteúdos são abordados tomando preços que serão vantajosas ou não, como eixo as funções da álgebra e a sua dependendo do número de dias durante linguagem, até a modelização e a os quais se pretende alugar bicicletas. solução de problemas. Essa situação, quando tratada na sala de aula, poderá ser complementada Essa modelização se dará, num primeiro também com uma solução gráfica. momento, com a interpretação de situações dadas, que devem ser Para a construção de propostas de traduzidas por uma equação: isso levará intervenção, decidimos tratar de uma os alunos a compreenderem os situação real, que é a do Imposto de princípios multiplicativos e aditivos da Renda, onde os valores da parcela a igualdade e do significado da raiz. deduzir existem para corrigir as Desse modo, procurou-se não insistir possíveis “distorções” dos impostos sobre aspectos puramente mecânicos e devidos nos intervalos próximos aos mnemônicos da álgebra, mas sim, sobre limites das diferentes faixas - para uma seus significados, a fim de que o situação em que um empregador quer estudante saiba utilizá-los na resolução dar um aumento escalonado aos seus de problemas. funcionários. Evidentemente, todo este trabalho Enfim, a proposta é levar o estudante a inicial deverá ser enriquecido pelo observar regularidades e identificar a lei professor, com as discussões que fará de formação de seqüência, padrões, em sua sala, de onde partirão também, observação de tabelas e propriedades por exemplo, sugestões de outras aritméticas, utilizando-se de análise de propriedades numéricas e geométricas situações-problema e comparando que poderão ser citadas e generalizadas. possibilidades de resolução (aritméticas As traduções para a linguagem algébrica e algébricas) com as respostas obtidas, poderão ser trabalhadas utilizando-as construindo argumentações e propostas em situações de jogos, como o da de intervenção. memória ou dominó, dentre outros. Dentre as atividades propostas, A opção por este enfoque leva em conta destacamos algumas situações que estudos recentes que mostram que podem ser introduzidas com um jogo do apenas a repetição mecânica de mágico envolvendo a classe toda, onde procedimentos, prática comum até bem se coloca uma tabela com o número pouco tempo na escola, contribuiu falado pelo aluno e o respondido pelo muito pouco para o desenvolvimento professor. Essa regra pode ser simples, do pensamento algébrico do aluno. inicialmente, e depois chegar a outras que possam encontrar mais que uma Para que o estudante utilize 106 Matem∙tica 76-150.pmd 106 11/7/2003, 09:21
    • V - Orientação para o trabalho do professor tradução, como, por exemplo, y = 3x + Evidentemente, esta proposta deverá ser 3 ou Y = 3 ( x+1), ou até mesmo a enriquecida de modo a tornar este texto tabelas que incluam números racionais plenamente adequado aos alunos. O ou negativos. O mesmo pode ser feito papel do professor é fundamental, com a atividade da adivinhação. ampliando ou reduzindo as atividades. Generalizamos, também, alguns padrões Seu trabalho é crucial no geométricos e algumas seqüências encaminhamento metodológico numéricas. Utilizamos a análise proposto, baseado na metodologia da geométrica da propriedade distributiva resolução de problemas, cujo enfoque para desenvolver o quadrado da soma. recai, principalmente, sobre o processo Os fenômenos naturais e processos de e o trabalho em grupo. produção tecnológica foram Quanto à questão da avaliação, na caracterizados por expressões perspectiva do trabalho aqui proposto, algébricas, no exemplo dos satélites e ela ganha outros contornos, já que não da queda de corpos. Outros exemplos seria possível acontecer numa única simples, como o da densidade ou prova. É importante que o professor se velocidade média, poderiam ser utilize de diferentes instrumentos de analisados pela turma. avaliação, e que procure observar, Nos problemas do cotidiano, continuamente, o desenvolvimento do procuramos enfocar situações que seu aluno, nas produções escritas e nas envolvam equações e cujo principal discussões orais. Embora não tenham o objetivo é fazer o estudante aplicar os mesmo peso que lhes era conferido conhecimentos algébricos para resolvê- anteriormente, as avaliações individuais las. Aqui, as diferentes formas de devem continuar como parte do resolver os problemas poderão ser um processo geral de avaliação da atrativo maior para o exercício aprendizagem do aluno, só que constante da reflexão crítica, acrescida de uma outra fase, em que o desenvolvendo habilidades de aluno prepara um relatório de análise raciocínio, tais como investigação, desta avaliação, garantindo um inferência, reflexão e exploração. momento de reflexão sobre o que foi avaliado anteriormente. BIBLIOGRAFIA BOYER, C. B. História da matemática. 2. ed. São Paulo: Blücher, 1974.Tradução de Elza F. Gomide. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais, 1997. 10 v. 107 Matem∙tica 76-150.pmd 107 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental CAMPOS, T. M. M. (Coord. de); PIRES, C. M. C.; CURI, E. Transformando a prática das aulas de matemática: textos preliminares 5ª a 8ª série. São Paulo: Proem, 2001. GUELLI, O. Contando a história da matemática: equação: o idioma da álgebra. 2. ed. São Paulo: Ática, 1993. IMENES, JAKUBO, LELLIS . Álgebra e equação do 2º grau. 2. ed. São Paulo: Atual, 1993. (Pra que serve a Matemática). SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Proposta curricular para o ensino de Matemática: 1º grau. 4. ed. São Paulo, 1992. SOUZA, E. R. de; DINIZ, M. I. de S. V. Álgebra: das variáveis às equações e funções. 2. ed. São Paulo: IME-USP, 1994. (Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática; Caem, v. 5). 108 Matem∙tica 76-150.pmd 108 11/7/2003, 09:21
    • INTERPRETAR INFORMAÇÕES DE NATUREZA CIENTÍFICA E Matemática - Ensino Fundamental Capítulo VIII SOCIAL OBTIDAS DA LEITURA DE GRÁFICOS E TABELAS, REALIZANDO PREVISÃO DE TENDÊNCIA, EXTRAPOLAÇÃO, INTERPOLAÇÃO E INTERPRETAÇÃO. A Estatística e sua importância no mundo da informação Edda Curi O exercício da cidadania pressupõe que DESENVOLVENDO A as pessoas desenvolvam sua capacidade COMPETÊNCIA de aprender, tendo como meios o O capítulo está voltado para o domínio da leitura, da escrita e do desenvolvimento da competência conhecimento matemático, de tal forma destacando o estudo de Estatística, que que lhes seja permitido compreender o tem especial relevância no mundo de mundo, o ambiente natural, cultural e hoje, tendo em vista que conceitos e político à sua volta, as artes, a procedimentos estatísticos são de tecnologia e os valores que importância fundamental às tomadas de fundamentam a sociedade, para nela decisão diante de incertezas. atuar de forma crítica e participativa. Espera-se que os jovens e adultos A Matemática pode contribuir para que desenvolvam um conjunto de jovens e adultos tenham melhor habilidades que traduzam essa compreensão do mundo em que vivem, competência: pois, mesmo excluídos do processo educacional, jovens e adultos precisam • Reconhecer e interpretar informações compreender informações muitas vezes de natureza científica ou social contraditórias, que incluem dados expressas em gráficos ou tabelas. estatísticos e tomadas de decisões • Identificar ou inferir aspectos diante de questões políticas e sociais relacionados a fenômenos de natureza que dependam da leitura crítica e da científica ou social, a partir de interpretação de índices divulgados informações expressas em gráficos ou pelos meios de comunicação. tabelas. • Selecionar e interpretar informações expressas em gráficos ou tabelas para 109 Matem∙tica 76-150.pmd 109 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental a resolução de problemas: analisar o abstrato. comportamento de variável expressa É importante destacar que a resolução de em gráficos ou tabelas, como problemas vem se tornando um recurso importante recurso para a construção indispensável no processo de ensino e de argumentação consistente. aprendizagem. O problema é o ponto de • Avaliar, com auxílio de dados partida para a atividade matemática, é apresentados em gráficos ou tabelas, a uma situação que demanda a realização adequação de propostas de de uma seqüência de ações para se obter intervenção na realidade. um resultado, ou seja, a solução não está Em todo o capítulo, foram utilizados disponível, mas é possível construí-la. textos de jornais e revistas, pois são Outra preocupação foi a de dar recursos didáticos ricos em informações, significado à atividade matemática, com uma organização que utiliza estabelecendo conexões entre os diferentes representações: tipos de letras, diferentes temas matemáticos e, fotos, tabelas, gráficos etc. Eles foram também, entre esses temas e as demais utilizados não apenas para a leitura e áreas do conhecimento e as situações interpretação de gráficos e tabelas, mas do cotidiano. O estabelecimento de para a leitura e análise de textos. relações é fundamental para que o Como acontece com outras estudante compreenda, efetivamente, os aprendizagens, a aquisição de novos conteúdos matemáticos. Abordados de conhecimentos deve considerar os forma isolada, eles não se tornam uma conhecimentos prévios dos alunos. No ferramenta eficaz para resolver caso deste capítulo, foram considerados problemas e para a aprendizagem ou conceitos decorrentes das vivências dos construção de novos conceitos. jovens e adultos, de suas interações Na primeira parte do capítulo, discute- sociais e de sua experiência pessoal, pois se a necessidade de se estudarem os adultos têm conhecimentos bastante algumas noções de Estatística. diversificados que enriquecem a Na segunda parte, os jovens têm a aprendizagem. oportunidade de ler dados (apresentados O capítulo privilegiou o enfoque de em diferentes tipos de gráficos e de resolução de problemas na abordagem tabelas simples) e de reconhecer dos conteúdos. O trabalho com a informações. Além dos problemas metodologia de resolução de problemas discutidos no texto, têm a oportunidade favorece o aprendizado, pois engloba a de resolver mais cinco problemas e de exploração do contexto da situação; a escrever um pequeno texto, no qual possibilidade de desenvolver atitudes de descrevem suas observações em relação perseverança, nos jovens e adultos, em a alguns gráficos estudados. busca de resultados; a capacidade de Na terceira parte, os jovens têm a comunicar-se matematicamente e de oportunidade de interpretar dados utilizar processos de pensamento apresentados em tabelas de dupla 110 Matem∙tica 76-150.pmd 110 11/7/2003, 09:21
    • V - Orientação para o trabalho do professor entrada e em diferentes tipos de As atividades propostas podem ser gráficos, além de fazer inferências, a desenvolvidas com os alunos partir da interpretação de dados, como organizados em pequenos grupos, pois no caso do gráfico que apresenta a o trabalho em grupos gera um ambiente média de filhos por mulher, nos que se caracteriza pela proposição, últimos anos. Além dos problemas investigação e exploração de diferentes resolvidos no texto, os jovens têm a idéias por parte dos alunos, bem como oportunidade de resolver mais oito pela interação entre eles, pela atividades. Nessa parte do texto, há socialização de procedimentos indicações para que o jovem aprofunde encontrados para solucionar uma seus conhecimentos sobre construções questão e pela troca de informações. de gráficos. As reportagens propostas foram Na quarta parte do texto, os jovens têm utilizadas com a finalidade de a oportunidade de resolver problemas desenvolver a leitura e análise de para os quais precisam interpretar os textos. Considerando-se que jovens e dados apresentados em tabelas ou adultos com pouca escolarização nem gráficos. Além dos problemas resolvidos sempre lêem com autonomia, a no corpo do texto, têm a oportunidade estratégia que pode ser utilizada é a de de resolver mais sete problemas para discutir previamente o tema, o título do aprofundamento e de escrever um texto, o significado de algumas palavras pequeno texto a respeito da distribuição com que eles possam ter menos de renda no país. familiaridade. Na quinta parte do texto, os jovens têm Além das atividades propostas, é a oportunidade de utilizar os dados possível desenvolver outras noções de apresentados em gráficos e tabelas Estatística, como amostra, população, como recurso de argumentação. média aritmética, moda e mediana. O Também nessa parte, além das trabalho com gráficos pode ser atividades discutidas no texto, há mais aprofundado, com uma discussão de quatro situações nas quais os jovens situações onde possam ser usados os podem exercitar sua argumentação. diferentes tipos de gráfico. Outro Na última parte, a Estatística é usada trabalho que pode ser realizado é o de para analisar intervenções na realidade. aprofundamento na construção dos tipos Os jovens são convidados a analisar de gráficos mais comuns. A construção indicadores sociais no Brasil e em dos gráficos permite o trabalho com alguns países da América Latina, algumas idéias matemáticas, como analisando a intervenção de uma ONG. porcentagem e escala. A construção do Depois têm a oportunidade de propor gráfico de setores permite o trabalho uma intervenção, partindo da análise do com medidas de ângulos, raio e diâmetro indicador escolhido. de uma circunferência e alguns 111 Matem∙tica 76-150.pmd 111 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental conteúdos procedimentais, como a situações da realidade brasileira. A construção de uma circunferência com sugestão é que o aluno registre suas compasso, construção de ângulos com dúvidas em relação às atividades do transferidor. texto e, a partir desses registros, Ao final do texto, o aluno deverá ser selecione os conceitos/procedimentos capaz de organizar e analisar que precisam ser melhor trabalhados informações, construir e interpretar com ajuda do professor. tabelas e gráficos, formular argumentos A proposta é que este texto seja um convincentes, tendo por base a análise roteiro de estudo, possível de ser de dados organizados em ampliado pela consulta de outras fontes representações matemáticas sobre bibliográficas. BIBLIOGRAFIA LOPES, P. A. Probabilidade e estatística. Rio de Janeiro: Reichman & Affonso, 1999. BERENSON, M. L.; Elevine, D. M. Basic business statistics: concepts and applications. 7. ed. New Jersey: Prentice-Hall, 1996. MEYER, R.D.; LIND, D.A. Statistical techniques in business & economics. [s. l.], 1996. BRASIL.Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais para o ensino fundamental para o segmento de jovens e adultos. Brasília, DF: MEC, 2002. CURI, E.; PIRES, C. M. C; PIETROPAOLO, R. C. Educação matemática. São Paulo: Atual, 2002. D´AMBROSIO,U. Globalização, educação multicultural e etnomatemática. Campinas: Unicamp, 1986. Texto apresentado na JORNADA DE REFLEXÃO E CAPACITAÇÃO SOBRE MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO BÁSICA, 1986. PIRES, C. M. C. Currículos de matemática: da organização linear à idéia de rede. São Paulo: FTD, 2000. SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Educação Matemática em Revista São Paulo, v. 7-12, [199?]. Revista, 112 Matem∙tica 76-150.pmd 112 11/7/2003, 09:21
    • COMPREENDER CONCEITOS, ESTRATÉGIAS E SITUAÇÕES Matemática - Ensino Fundamental Capítulo IX MATEMÁTICAS NUMÉRICAS PARA APLICÁ-LOS A SITUAÇÕES DIVERSAS NO CONTEXTO DAS CIÊNCIAS, DA TECNOLOGIA E DA ATIVIDADE COTIDIANA. Explorando situações numéricas Cláudio Saiani Falar de Matemática na Educação de No capítulo, focalizamos determinadas Jovens e Adultos é um tanto diferente situações retiradas de contextos de tratar da mesma disciplina para diversos da ciência e da tecnologia. A crianças. Permanecem os objetivos de intenção é dupla. Por um lado, longo alcance, conforme expressos nos instrumentalizar o aluno para a leitura Parâmetros Curriculares Nacionais: a de textos em que compareçam números matemática desenvolve o raciocínio que, normalmente, ele não vê em suas lógico, a capacidade de abstrair, atividades cotidianas. Por outro, generalizar, transcender o que é propiciar pretextos para que ele imediatamente sensível (PCN, p. 9). pesquise sobre conceitos científicos, sua Por outro lado, lidando com medição, aplicação e adequação. Em suma, contagem e técnicas de cálculo, ela é colaborar para que ele se torne um leitor uma importante ferramenta para tratar do mundo mais proficiente e de aspectos práticos da realidade. competente e para que as fronteiras de seu mundo se ampliem, de modo a Para uma criança, esses aspectos práticos ultrapassar os limites de seu dia-a-dia. podem ser direcionados de modo a introduzi-la no “mundo dos adultos”. Certas situações são novidade para ela e, DESENVOLVENDO A daí, vem seu poder motivador. Ao lidar COMPETÊNCIA com a Educação de Jovens e Adultos, A competência deste capítulo se devemos ter em mente que o estudante já materializa nas seguintes habilidades: traz uma bagagem tácita de • Identificar e interpretar estratégias e conhecimentos e habilidades, diferentes situações matemáticas numéricas dos de uma criança e, possivelmente, aplicadas em contextos diversos da dentro de um trajeto distinto daquele que, ciência, da tecnologia e da vida em geral é ditado pela educação formal. cotidiana. 113 Matem∙tica 76-150.pmd 113 11/7/2003, 09:21
    • Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental • Construir e identificar conceitos tempo, procurando apresentar assuntos matemáticos numéricos na potencialmente passíveis de um interpretação de fenômenos em desenvolvimento mais amplo, a critério contextos diversos da ciência, da do professor. A escolha recaiu sobre a tecnologia e da vida cotidiana. notação científica, as porcentagens, o • Interpretar informações e aplicar Princípio Fundamental da Contagem e estratégias matemáticas numéricas na as probabilidades. solução de problemas em contextos Enfatizamos conceitos e habilidades diversos da ciência, da tecnologia e da numéricas de determinadas situações, vida cotidiana. de modo que o estudante pudesse lidar • Utilizar conceitos e estratégias com elas, prescindindo, por exemplo, de matemáticas numéricas na seleção de conhecimentos algébricos, que são argumentos propostos como solução objeto de outro capítulo. Dessa forma, a de problemas em contextos diversos resolução de problemas, que apenas se da ciência, da tecnologia e da vida anuncia nos itens 1 e 2, é assumida cotidiana. plenamente a partir do item 3. Procuramos situações com que o aluno • Recorrer a conceitos matemáticos pudesse lidar, utilizando apenas as numéricos para avaliar propostas de quatro operações, privilegiando um intervenção em contextos diversos da raciocínio aritmético. ciência, da tecnologia e da vida cotidiana. As atividades propostas caracterizam-se pela busca da importância dos números Quando procuramos matemática nos em aplicações científicas e tecnológicas. campos da ciência, da tecnologia e da vida Dessa forma, procuramos ampliar o cotidiana, logo nos deparamos com uma leque de situações, mesmo correndo o tal variedade de escolhas que a simples risco de apresentar situações não opção por um conteúdo específico já é familiares ao leitor. O que poderia uma tarefa difícil. Por outro lado, se as constituir um obstáculo, no entanto, aplicações da matemática em qualquer pode servir como instrumento em favor âmbito já apresentam forte potencial do crescimento do estudante. O fato de motivador, muitas vezes os obstáculos ele conseguir lidar com tais situações, inerentes à própria matemática somam-se apenas com seus conhecimentos as dificuldades próprias da situação matemáticos, reforça o caráter da científica ou tecnológica em foco. matemática como linguagem Tendo em vista esse fato, procuramos unificadora na descrição de fenômenos. abordar conteúdos com aplicações em Por outro lado, cada uma das atividades vários ramos da ciência (e, também, em pode servir como pretexto para uma menor grau, da vida cotidiana), de pesquisa mais aprofundada, sob modo a revelar a aplicabilidade dos orientação do professor e quem sabe conceitos e estratégias, ao mesmo dentro de um projeto multidisciplinar. 114 Matem∙tica 76-150.pmd 114 11/7/2003, 09:22
    • V - Orientação para o trabalho do professor Uma vez que o conteúdo do presente sobre jogos de dados, baralhos e texto necessita apenas das quatro loterias. É importante ressaltar que os operações, pode ser utilizado com jogos comparecem, aqui, apenas como proveito a qualquer momento do tema de estudos, bem de acordo como desenvolvimento do curso. Sugere-se seu importante papel na história da sua utilização para trabalhos em grupo, Matemática. como instigador de pesquisas Dependendo das possibilidades da multidisciplinares, em conjunto com as escola e da comunidade, o professor áreas de Ciências e Geografia, por poderá orientar a amplificação dos exemplo. Por outro lado, as temas abordados, mediante a utilização probabilidades podem lançar uma ponte de livros, jornais, revistas de divulgação para assuntos normalmente abordados científica e Internet. Mais do que isso, no Ensino Médio, propiciando pode ajudar a desenvolver o hábito de interessantes temas para pesquisas freqüentar bibliotecas. BIBLIOGRAFIA BATSCHELET, E. Introdução à matemática para biocientistas. Rio de Janeiro: Interferência, 1978. Tradução de Vera Maria Abud Pacífico da Silva e Junia Maria Penteado de Araújo Quitete. BELL, E. T. Historia de las matematicas. Mexico, DF: Fondo de Cultura Económica, 1995. BOLT, B. Matemáquinas: o ponto de encontro da Matemática com a tecnologia. Lisboa: Gradiva, 1989. Tradução de Leonor Moreira. BURRELL, B. Guide to everyday math. Springfield: Merriam-Webster, 1998. CARAÇA, B. de J. Conceitos fundamentais da matemática. 9. ed. Lisboa: S. Costa, 1989. COLLINS, W. et al. Mathematics: applications and conections. New York: McGraw Hill, 1998. COSTA, M. A. As idéias fundamentais da matemática e outros ensaios. 3. ed. São Paulo: Convívio/Edusp, 1981. (Biblioteca do pensamento brasileiro. Textos, v. 4). DANTZIG, T. Número: a linguagem da ciência. Rio de Janeiro: Zahar. 1970. Tradução de Sergio Goes de Paula. GIOVANNI, J. R. et al. Matemática fundamental: uma nova abordagem. São Paulo: FTD, 1994. KARLSON, P. A magia dos números. Porto Alegre: Globo. 1961. il. (Tapete mágico). 115 Matem∙tica 76-150.pmd 115 11/7/2003, 09:22
    • Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental KLINE, M. Matematicas para los estudiantes de humanidades. Mexico, DF: Fondo de Cultura Económica, 1998. LARSON, R. et. al. Passport to algebra and geometry. Boston, Mass: McDougall Littel, 1999. LIPSCHITZ, S. Teoria e problemas de probabilidade: incluindo 500 problemas resolvidos. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1974. Tradução de Ruth Ribas Itacarali. OSSERMAN, R. A magia dos números no universo. São Paulo: Mercuryo, 1997. STEWART, I. Os números na natureza: a realidade irreal da imaginação matemática. Rio de Janeiro: Rocco, 1996. (Ciência atual. Mestre da Ciência). Tradução de Alexandre Torto. 116 Matem∙tica 76-150.pmd 116 11/7/2003, 09:22
    • V. Orientação para o trabalho do professor Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio Capítulos I ao IX Neste bloco, são apresentadas sugestões de trabalho para que o professor possa orientar-se no sentido de favorecer aos seus alunos o desenvolvimento das competências e habilidades que estruturam a avaliação do ENCCEJA – Matemática e suas Tecnologias – Ensino Médio. Estes textos complementam o material de orientação de estudos dos estudantes e ambos podem ganhar seu real significado se incorporados à experiência do professor e à bibliografia didática já consagrada nesta área. Matem∙tica 76-150.pmd 117 11/7/2003, 09:22
    • Matem∙tica 76-150.pmd 118 11/7/2003, 09:22
    • COMPREENDER A MATEMÁTICA COMO CONSTRUÇÃO HUMANA, Matemática - Ensino Médio Capítulo I RELACIONANDO O SEU DESENVOLVIMENTO COM A TRANSFORMAÇÃO DA SOCIEDADE. A Matemática: uma construção da humanidade Suzana Candido O capítulo trata de alguns aspectos que a humanidade enfrenta no decorrer ligados à construção do conhecimento de sua história, as questões propostas matemático ao longo da história da pelos outros campos do conhecimento e humanidade. suas próprias A escolha desses aspectos está questões internas. intimamente ligada a certas habilidades Assim, os exemplos referentes à que os alunos deverão desenvolver ao construção do conhecimento longo da aprendizagem da Matemática. matemático para resolver problemas do A idéia central é levá-los a perceber que cotidiano estão, de certa maneira, mais a Matemática não foi contruída por essa diretamente ligados à realidade do ou aquela pessoa, mas sim pela aluno. São exemplos: a troca de uma humanidade como um todo. É claro que, certa quantidade de peixes por outra de nesse processo, as pessoas desempenham aves ou a busca de um modelo que papéis diversos como, por exemplo, o descreva a despesa do freguês da poceiro desejando saber que volume de padaria. terra vai obter ao escavar um poço de Por outro lado, as situações propostas “2m de boca” por “5m de fundura” e o para mostrar o desenvolvimento do matemático construindo um conhecimento matemático a partir de conhecimento que lhe permita suas questões internas não são de determinar o volume de qualquer modo algum ligadas à realidade do cilindro. aluno, ao seu cotidiano. Por exemplo, Salientamos ainda que o texto tem não há trocas de mercadorias, nem também a intenção de mostrar que o compras em supermercados que dêem processo de construção do conta da questão da criação dos conhecimento matemático se números complexos! Sua criação e desenvolveu a partir de diferentes aceitação dependem muito mais de motivações: as questões do dia-a-dia questões filosóficas do que de matemáticas. 119 Matem∙tica 76-150.pmd 119 11/7/2003, 09:22
    • Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio Já são um pouco mais concretas as uma resolução descrita no próprio situações que nos levam aos exemplos texto, enquanto que, para outros, ligados à construção de conceitos e idéias apresentamos apenas a solução na folha matemáticas para responder às questões de respostas. propostas por outros campos do Sempre que possível, também, foram conhecimento, como a trigonometria escolhidos exemplos ligados ao dando subsídios à arquitetura ou à interesse dos leitores como, por geometria fornecendo modelos para a exemplo, as situações ligadas a química. compras, a segurança, a corrupção, à Essas três motivações, decorrentes dos participação comunitária. problemas que aparecem no cotidiano Assim, a sugestão de trabalho com esse do homem, nos outros campos do capítulo também tem por base a conhecimento e nas questões internas resolução de problemas. da própria matemática, levaram a humanidade à construção do DESENVOLVENDO A conhecimento matemático; elas COMPETÊNCIA constituem tema de boa parte deste capítulo e estão de certa maneira As habilidades a serem desenvolvidas e sintetizadas num item final – Usando a o trabalho com este texto levaram em Matemática para modificar o conta: mundo –, cuja finalidade é modificar o • o conhecimento sobre a realidade aluno, levando-o a perceber que ele faz em que os alunos do Ensino de parte da construção histórica desse Jovens e Adultos possuem. conhecimento para modificar a • a concepção de ensino e realidade à sua volta. aprendizagem, que deve estar A abordagem metodológica utilizada no consubstanciada na proposta deste capítulo foi desenvolvida numa projeto, que, por sua vez, tem por perspectiva da resolução de problemas. base as diretrizes dos Parâmetros Sempre que possível e conveniente, o Curriculares Nacionais para o aluno é colocado diante de uma Ensino Médio; situação-problema inicial, para que se • criatividade e a experiência didático- defronte com o que sabe a respeito do pedagógica do professor; assunto ou mesmo comece a se • a leitura do texto com o qual o familiarizar com ele. professor poderá criar novas situações A seguir, o texto oferece apoio aos de aprendizagem a serem propostas a problemas apresentados, visando à seus alunos, para que possam complementação do que o aluno já desenvolver algumas habilidades, conhece ou à compreensão de conceitos conferindo a estes jovens ou adultos a e procedimentos desconhecidos e competência maior de compreender requeridos em sua resolução. a Matemática como construção Uma grande parte desses problemas têm humana, relacionando o 120 Matem∙tica 76-150.pmd 120 11/7/2003, 09:22
    • V - Orientação para o trabalho do professor desenvolvimento dela com a conveniente levar o aluno a argumentar sociedade. tranformação da sociedade antes de generalizar. As habilidades que, no capítulo, Outra habilidade que poderá ser pretendemos que o aluno desenvolva desenvolvida, a partir do trabalho com não são tratadas uma a uma, em uma este capítulo, é a de identificar e seqüência linear; muitas vezes, elas se interpretar, a partir da leitura de misturam, mesmo porque a linha textos apropriados, diferentes divisória entre elas é difusa pela sua registros do conhecimento própria natureza. matemático ao longo do tempo Otempo. A habilidade de identificar a próprio texto já se presta a tal Matemática como importante recurso desenvolvimento. para a contrução de argumentação, por Contamos, ainda, com os textos dos exemplo, é desenvolvida em todos os problemas sobre os quais é possível temas deste texto. Não há como não desenvolver um trabalho de construir argumentos matemáticos para interpretação, confrontando, por resolver um problema do cotidiano que exemplo, os vários pontos de vista dos envolva idéias matemáticas. Só para alunos que lêem o problema. Além disso, citar dois exemplos: modificar alguma condição ou restrição • logo no início do texto, a dos enunciados, ou mesmo a pergunta de argumentação do pescador e do um problema, proporciona ao aluno a caçador exemplifica a utilização de tal chance de novas interpretações, bem habilidade; como a oportunidade de se defrontar com novos problemas. • do mesmo modo, toda vez que o leitor é solicitado a justificar suas Há, ainda, os textos que envolvem não só a respostas para os problemas que lhe linguagem simbólico-algébrica, mas são propostos, ele também estará também os que envolvem uma “linguagem construindo ou utilizando essa gráfica”, como o da matemática sobre as habilidade, como ocorre, por exemplo, demissões por corrupção na polícia civil de no quebra-cabeça com 1 unidade a São Paulo. Nesse sentido, os jornais e mais de área; na questão dos gráficos revistas fornecem ao professor um material sobre as demissões por corrupção; na didático farto, interessante e rico em análise dos moldes da maquete etc. significados. Muitas outras situações poderão derivar Ainda é possível desenvolver um das apresentadas no texto, no sentido trabalho com textos retirados de livros de levar os alunos a construírem sobre história da Matemática, argumentações válidas e consistentes. inadequados aos propósitos da aprendizagem que os alunos estão Por exemplo, na contrução de processos desenvolvendo num determinado de generalização que acabam por momento. desembocar na linguagem algébrica utilizada para descrever funções, é Além das habilidades mencionadas, 121 Matem∙tica 76-150.pmd 121 11/7/2003, 09:22
    • Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio outras mais podem ser desenvolvidas a e das situações a serem modificadas. partir do texto: Por outro lado, é conveniente propor • reconhecer a contribuição da aos alunos atividades que os levem a Matemática na compreensão e análise reconhecer que ferramentas de fenômenos naturais e de produção matemáticas o homem tem utilizado tecnológica ao longo da história; para resolver problemas. • identificar o recurso matemático Nos exemplos discutidos nestas utilizado pelo homem ao longo da orientações, bem como nas situações história, para enfrentar e resolver propostas no capítulo, é possível problemas; reconhecer que a contribuição da • reconhecer, a partir de textos Matemática é essencial para a apropriados, a importância da compreensão e análise de inúmeros Matemática na elaboração de proposta fenômenos, sejam eles de natureza social, de intervenção solidária natural ou tecnológica (as técnicas de na realidade. construção de telhados não nos deixam As situações no item Usando mentir). matemática para modificar o Finalizamos, aqui, nossas mundo exemplificam um tipo de considerações, na certeza de que o atividade que pode ser feita com os professor desenvolverá um trabalho alunos para desenvolver essa última significativo com seus alunos, para que habilidade. A realidade em que eles estão eles possam, antes de mais nada, inseridos e o momento em que esse adquirir sua própria autonomia trabalho está sendo desenvolvido são intelectual, pensando e agindo sobre as aspectos importantes para subsidiá-los questões que enfrentam ao longo de sua na escolha dos temas a serem estudados vida, seja no âmbito particular, seja no âmbito profissional. BIBLIOGRAFIA BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnologia. Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio: ciência da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília, MEC, 1999. v. 3. BOYER, C. B. História da matemática. 2. ed. São Paulo: E. Blücher, 1996. Tradução de Elza F. Gomide. D’AMBROSIO, U. Etnomatemática: arte ou tecnologia de explicar e conhecer. São Paulo: Ática, 1990. (Fundamentos, v. 74). KARLSON, P. A magia dos números. Rio de Janeiro: Globo, 1961. Tradução de Henrique Carlos Pfeifer et al. SMOLE, K. S., DINIZ, M. I. Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender Matemática. Porto Alegre: ArtMed, 2001. 122 Matem∙tica 76-150.pmd 122 11/7/2003, 09:22
    • AMPLIAR FORMAS DE RACIOCÍNIO E PROCESSOS MENTAIS POR Matemática - Ensino Médio Capítulo II MEIO DE INDUÇÃO, DEDUÇÃO, ANALOGIA E ESTIMATIVA, UTILIZANDO CONCEITOS E PROCEDIMENTOS MATEMÁTICOS. Lógica e argumentação: da prática à Matemática Fábio Orfali Uma das maiores virtudes do ensino da O desenvolvimento desse projeto é feito Matemática consiste em utilizar de maneira a respeitar o perfil do leitor conceitos e procedimentos dessa a que se destina o trabalho, procurando- disciplina para auxiliar o estudante a se, sempre que possível, lidar com ampliar suas formas de raciocínio e situações que não lhe sejam totalmente processos mentais, permitindo a ele usar estranhas e evitando-se um exagero na ferramentas como a dedução e a indução linguagem que possa desmotivar sua em situações cada vez mais complexas. leitura, sem perder o rigor exigido em O capítulo sobre o desenvolvimento um texto matemático. dessa competência tem como objetivo principal apresentar um possível DESENVOLVENDO A caminho a ser percorrido pelo leitor para COMPETÊNCIA atingir esse propósito. As análises de argumentos procuram Partindo de fatos da vida cotidiana, sempre partir de fatos do cotidiano, para como o uso de argumentação que as aproveitar a experiência do leitor e pessoas fazem diariamente quando se envolvê-lo nas discussões. Assim, outros relacionam com outras pessoas, chega- exemplos relacionados ao grupo se à discussão do que significa um específico com que se trabalha podem argumento válido em Matemática. Com enriquecer bastante a aula. isso, pretende-se desenvolver Paralelamente, porém, são colocadas habilidades, tais como elaborar e situações dentro do contexto verificar conjecturas, justificar fatos e matemático, pois é muito importante que conceitos matemáticos e do cotidiano, e se faça uma comparação entre o rigor identificar erros provenientes de usado no dia-a-dia e o exigido na processos dedutivos não rigorosos. matemática. 123 Matem∙tica 76-150.pmd 123 11/7/2003, 09:22
    • Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio Diante desse cenário, são trabalhadas, causa-efeito). A inversão de uma de forma mais intensa, habilidades implicação constitui-se em uma fonte de relacionadas à construção de erro comum quando da construção de argumentação consistente e intervenção argumentos. Por isso, as atividades solidária na realidade. devem ser tratadas com bastante Na atividade 1, é importante que o leitor cuidado. perceba que analisar alguns exemplos é Um exemplo que costuma ser bem primordial em Matemática, pois isso nos ilustrativo, podendo ser utilizado dá base para formular conjecturas. Essas durante a explicação do tema, é o conjecturas, porém, precisam ser seguinte: demonstradas, o que nem sempre ocorre “Se João é paulista, então, João é nos fatos do cotidiano. Esse aspecto é brasileiro. Podemos afirmar que se João reforçado nas atividades 2 e 3: a diferença é brasileiro, então, João é paulista? Não, entre um fato provável e um fato certo pois ele pode ser carioca, baiano etc. (pode-se aqui fazer uma ligação com o Mas se João NÃO é brasileiro, então, estudo de probabilidade e estatística). João certamente NÃO é paulista.” Nas atividades 4 e 5, o foco se localiza na Novamente, nas atividades 9 e 10, a discussão sobre o que é válido concluir a habilidade mais marcante a ser partir de uma ou mais informações. Essa trabalhada é a construção de discussão pode ser estendida a argumentação consistente. interpretações de textos de jornais e Na atividade 10 (exercício 2), são comerciais, incentivando o leitor a utilizados conceitos geométricos que, posicionar-se criticamente diante de dependendo da turma, devem ser certas argumentações mal relembrados. fundamentadas. A dedução e a indução são analisadas Os diagramas de Venn são utilizados com o leitor como importantes nesse ponto como um método para ferramentas do processo de pensamento organização do raciocínio em problemas matemático e, por extensão, das envolvendo números de elementos de ciências em geral. A observação de diferentes conjuntos. Assim, determinado comportamento se repete habilidades, tais como identificação e nas condições consideradas. interpretação de conceitos matemáticos As demonstrações de alguns fatos em diferentes formas e aplicação de estratégias para resolução de equações, matemáticos são colocadas de maneira são utilizadas nos problemas. Portanto, simples, para que o leitor tenha noções de sua importância dentro da sugere-se, dependendo da turma, que se faça uma pequena revisão dos tópicos Matemática. A ênfase do trabalho não necessários. deve ser, em hipótese alguma, desenvolver a habilidade de realizar Trata-se, no capítulo, de um conceito demonstrações mais complexas muito importante em argumentações, em rigorosamente. geral, que é a implicação (relação de 124 Matem∙tica 76-150.pmd 124 11/7/2003, 09:22
    • V - Orientação para o trabalho do professor Assim, nesta parte do trabalho, as Um trabalho mais sistematizado baseado habilidades de utilizar conceitos no raciocínio indutivo é feito no item de matemáticos para explicar fatos do seqüências, no qual novamente são cotidiano, de construir argumentação desenvolvidas habilidades que utilizam consistente e de identificar conceitos conceitos matemáticos para explicar fatos matemáticos em diferentes formas são do cotidiano e identificar conceitos as mais desenvolvidas. matemáticos em diferentes formas, além A realização da atividade 12 pode ser de aplicar estratégias para resolver um bom momento para fazer uma problemas. retomada de produtos notáveis, assunto O estudo da notação de seqüências (an) em que os alunos normalmente pode ser uma boa introdução para o encontram bastante dificuldade. estudo de progressões aritméticas e Durante a atividade 14, outras geométricas, o que não é feito neste seqüências de figuras relacionadas com capítulo (apenas informalmente para as números podem ser utilizadas, como a progressões aritméticas). seqüência dos números triangulares. BIBLIOGRAFIA ARANHA, M. L. A.; MARTINS, M. H. P. Filosofando: introdução à filosofia. São Paulo: Moderna, 1999. v. 1, 2 e 4. CARRAHER, D. W. Senso crítico: do dia-a-dia às ciências humanas. São Paulo: Pioneira, 2000. v. 1, 2, 4 e 5. CARVALHO, M. C. C. S. Padrões numéricos e seqüências. São Paulo: Moderna, 2000. v. 6 e 7. MACHADO, N. J. Lógica? é lógico! São Paulo: Scipione, 1997. SOMINSKI, I. S. Método de indução matemática. São Paulo: Atual, 1996. 125 Matem∙tica 76-150.pmd 125 11/7/2003, 09:22
    • Matem∙tica 76-150.pmd 126 11/7/2003, 09:22
    • CONSTRUIR SIGNIFICADOS E AMPLIAR OS JÁ EXISTENTES PARA Matemática - Ensino Médio Capítulo III OS NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS E REAIS. Convivendo com os números Elynir Maria Garrafa Borges No capítulo, utilizando situações- números naturais, inteiros, racionais e problema, pretendemos envolver o irracionais, na medida em que os leitor em contextos do cotidiano e problemas estão sendo desenvolvidos. mostrar sua relação com a Matemática, Por meio da discussão de gráficos, trabalhando as habilidades propostas pretendemos indicar o uso dos números para a competência. também nessa forma de linguagem. Iniciamos com a exploração de um texto, em que aparecem vários registros DESENVOLVENDO A numéricos (números naturais, inteiros, COMPETÊNCIA racionais e irracionais), na intenção de Para permitir o desenvolvimento da orientar o leitor na observação das habilidade Construir e aplicar conceitos diferentes escritas relacionadas aos de números naturais inteiros, racionais diferentes números. e reais, para explicar fenômenos de Em seguida, propomos situações- qualquer natureza, propusemos problema utilizando esses números e situações-problema do cotidiano, para alguns algoritmos necessários para cuja resolução os números naturais não resolvê-los. Aproveitamos para são suficientes, havendo a necessidade apresentar, nas diferentes situações, a de se recorrer aos números racionais ou linguagem matemática, expressa em inteiros, acrescentando-os aos números textos ou gráficos. naturais, ampliando, assim, o campo Na seqüência, encaminhamos atividades numérico para os estudantes. com o objetivo de permitir aos De modo a introduzir os números estudantes a percepção de alguns irracionais, recorremos à Geometria, com critérios para a classificação dos o teorema de Pitágoras, para resolver números. Para isso, propomos que problemas, como o da menor distância observem as características dos entre dois pontos. 127 Matem∙tica 76-150.pmd 127 11/7/2003, 09:22
    • Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio Sem explorar toda a estrutura dos natureza, apresentamos problemas que campos numéricos, trabalhamos com os levam o leitor a buscar soluções, usando números racionais e irracionais em comparações numéricas, necessitando situações envolvendo fenômenos de de maior reflexão para poder ordem socioeconômica, e sua aplicação argumentar e decidir, apoiando-se em a problemas em que eles representem a dados quantitativos. solução mais adequada. Para a habilidade Recorrer à Para a habilidade Interpretar compreensão numérica para avaliar informações e operar com números propostas de intervenção frente a naturais inteiros, racionais, irracionais e problemas da realidade, propomos reais, para tomar decisões e enfrentar situações que encaminham o leitor a situações–problema, utilizamos a avaliar propostas de solução de análise de dados de tabelas e de textos problemas da realidade, possibilitando a extraídos de jornais, e propomos percepção de que desconhecer os situações-problema para cuja resolução números e suas operações impede a é necessário operar com os números interpretação correta das informações naturais e inteiros. numéricas às quais está exposto Para os números racionais, propomos diariamente, o que dá amplas situações-problema, ligadas ao possibilidades de ele ser manipulado e cotidiano, que enfocam a fração como: levado a tomar decisões que, na maior parte das vezes, não o favorecem. • quociente de dois números; A metodologia para desenvolver as • relação parte – todo; habilidades é a “resolução de • razão. problemas” proposta nos PCN. Essa Exploramos, ainda, a relação de ordem metodologia não significa que o no conjunto dos números racionais por estudante deva responder a uma lista de meio de comparações entre escritas exercícios, usando um modelo, mas sim numéricas ou de observações de a situações desafiadoras nas quais o gráficos. professor trabalha com o grupo as Os irracionais foram explorados com o diferentes estratégias de resolução, objetivo de que os estudantes aproveitando os conhecimentos prévios reconheçam a existência desses que o estudante tem sobre o assunto. números e sua aplicação em problemas Dessa forma, o conhecimento vai sendo aos quais eles representem a solução construído como resposta a questões mais adequada. identificadas em situações reais, isto é, Para a habilidade Utilizar os números o conteúdo deve ser desenvolvido à naturais inteiros, racionais e reais na medida que for sendo necessário para a construção de argumentos sobre resolução das situações-problema. afirmações quantitativas de qualquer 128 Matem∙tica 76-150.pmd 128 11/7/2003, 09:22
    • V - Orientação para o trabalho do professor Segundo a proposta dos PCN, a aluno observe as transferências nos avaliação acontece em processo, diversos contextos. São fundamentais considerando vários instrumentos, os diferentes códigos (verbal, gráfico, através de situações que possibilitem pictórico, numérico), a fim de avaliar as habilidades desenvolvidas, considerar as diferentes aptidões como bem como as diferentes capacidades e também as estratégias de resoluções conteúdos em questão, de modo que o frente aos problemas da realidade. BIBLIOGRAFIA BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília, DF: MEC, 1998. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio. Brasília, DF: MEC, 1998. IMENES, L. M.; LELLIS, M. Matemática para todos: novo ensino de Matemática. São Paulo: Ática, 1997. ISTO É. São Paulo: Abril, n. 1679, 5 dez. 2001. MARCONDES, S. G. Matemática: novo ensino médio. São Paulo: Ática, 1997. SÃO PAULO (Estado). Secretaria de Educação. Proposta curricular para o ensino da Matemática: 1º grau. São Paulo, 1990. TOLEDO, M. Dois e dois. São Paulo: [s.n.], 1997. VEJA. São Paulo: Abril, n. 35 e n. 22, 5 jun. 2002. Sites na Internet: www.terravista.pt/ilhadomel/4148/musica.htm - 17k. Sites na Internet: www.apple.com/br/ibook/music.html - 19k. Sites na Internet: conhecimentosgerais.hypermart.net/matemática/Geometria- classica.shtml - 20k. Sites na Internet: www.terravista.pt/ilhadomel/4148/musica.htm - 17k fração. Sites na Internet: www.start.com.br/matematica/fracoes.htm - Frações. 7k. 129 Matem∙tica 76-150.pmd 129 11/7/2003, 09:22
    • Matem∙tica 76-150.pmd 130 11/7/2003, 09:22
    • UTILIZAR O CONHECIMENTO GEOMÉTRICO PARA REALIZAR A Matemática - Ensino Médio Capítulo IV LEITURA E A REPRESENTAÇÃO DA REALIDADE, E AGIR SOBRE ELA. Nossa realidade e as formas que nos rodeiam Mariília Barros de A. Toledo A tarefa de planejar um curso de prévio dos alunos, tema que tem Geometria para jovens e adultos nos mobilizado educadores, em especial na leva a procurar um ponto de equilíbrio última década, é particularmente entre dois extremos: relevante para o aprendizado científico • realizar um trabalho de cunho e matemático. Os alunos chegam à axiomático, em que cada novo escola trazendo conceitos próprios para conceito ou propriedade deve estar as coisas por eles observadas e modelos relacionado com propriedades e elaborados autonomamente para teoremas anteriores, dando um explicar a realidade pessoal vivida, encadeamento lógico que permita a inclusive para os fatos de interesse construção do “edifício lógico” científico. É importante levarem-se em representado por esta disciplina; conta tais conhecimentos, no processo pedagógico, porque: o efetivo diálogo • trabalhar fatos e conceitos isolados, pedagógico só se verifica quando há respeitando o interesse e uma compreensão verdadeira de visões conhecimento intuitivo que os alunos e opiniões; o aprendizado da ciência é possuem, o que acaba por limitar as um processo de transição da visão possibilidades de um aprofundamento intuitiva, de senso comum ou de auto- dos conhecimentos e métodos elaboração, pela visão de caráter geométricos, cerceando o científico construída pelo aluno, como desenvolvimento e crescimento dos produto do embate de visões. alunos pela ausência de instrumentos próprios que lhes permitam enfrentar situações novas. DESENVOLVENDO A A proposta para a área de Ciências da COMPETÊNCIA Natureza, da Matemática e das suas Assim, é fundamental que o aluno tenha Tecnologias no Ensino Médio (SEMTEC/ oportunidade de exercer sua elaboração MEC) recomenda que o conhecimento 131 Matem∙tica 76-150.pmd 131 11/7/2003, 09:22
    • Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio pessoal apoiada nos seus debates com a ter interesse na busca de explicações colegas e com o professor; nas para essas questões e para as soluções experimentações, em que ele possa que elas podem ter suscitado. Desse verificar a veracidade ou não de modo, são apresentados alguns hipóteses por ele desenvolvidas; na conceitos e propriedades, oferecendo construção de modelos que lhe uma fundamentação teórica adequada permitam avaliar e compreender melhor ao nível de conhecimentos esperado as questões apresentadas; na busca do desse estudante. melhor encaminhamento para a Procurando aproximar os conceitos resolução de um problema. escolares das questões do mundo real, O capítulo não tem a pretensão de pretende-se valorizar esses conceitos desenvolver um “curso completo” de como produto de uma construção da Geometria, mas apenas de apontar Humanidade, na tentativa de alguns caminhos para os jovens e compreender e atuar em sua realidade. adultos que buscam completar seus Desse modo, a utilização da História da estudos de nível médio. Matemática é um importante recurso, Assim, partindo de questões do mostrando, também, como surgiram e se cotidiano, procurou-se levar o estudante desenvolveram os diversos conceitos estudados. BIBLIOGRAFIA BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino básico. Matemática. Brasília, DF: MEC, 1998. v. 3. CÂNDIDO, S. L. Formas num mundo de formas. São Paulo: Moderna, 1997. IMENES, L. M. Descobrindo o teorema de Pitágoras. São Paulo: Scipione. 1987. (Vivendo Matemática). TOLEDO, M.; TOLEDO, M. Como dois e dois: a construção da matemática. São Paulo: FTD, 1997. 132 Matem∙tica 76-150.pmd 132 11/7/2003, 09:22
    • CONSTRUIR E AMPLIAR NOÇÕES DE GRANDEZAS E MEDIDAS Matemática - Ensino Médio Capítulo V PARA A COMPREENSÃO DA REALIDADE E A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO COTIDIANO. Medidas e seus usos José Luiz Pastore Esperamos do estudante de nível médio a 2- Desenvolvendo Competências – compreensão do conceito de medida, bem Exercícios resolvidos com a devida como o domínio de habilidades contextualização na teoria. Muitas relacionadas ao cálculo com medidas. vezes, a teoria é reelaborada, ou Nesse sentido, o capítulo do estudante mesmo, construída ao longo da trata, em linhas gerais, dos seguintes resolução de um problema. Algumas temas: natureza do processo de medida em atividades deixam questões em uma comparação com determinado padrão aberto, para que o estudante estabelecido; identificação de alguns complete o raciocínio desenvolvido atributos mensuráveis de um determinado (o gabarito dessas questões se objeto; sistemas, processos de medidas; encontra no final do texto para o unidades de medida, submúltiplos e estudante). subdivisões; escalas, plantas e mapas, áreas 3- Sua vez de praticar – Esta seção e volumes. conta com testes de múltipla escolha, Os assuntos citados acima são apresentados para que o estudante pratique o que no capítulo do estudante em três aprendeu, simulando uma situação de momentos: prova. Todas as questões desta 1- Breve apresentação de um atividade têm gabarito disponível ao determinado assunto – Interessa- final do texto. nos aqui que o estudante compreenda O texto para o estudante foi concebido de a natureza de uma medida em tal forma que possa ser consultado com comparação com um determinado autonomia por parte do leitor. Contudo, padrão estabelecido, que ele reflita algumas orientações metodológicas podem sobre dificuldades inerentes à auxiliar o trabalho do professor no dia-a- utilização de padrões pouco precisos dia com o estudante. de medidas e que conheça o Sistema Internacional de Medidas (SI). 133 Matem∙tica 76-150.pmd 133 11/7/2003, 09:22
    • Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio submúltiplos das principais unidades de DESENVOLVENDO A medida é pré-requisito para a resolução COMPETÊNCIA de muitos exercícios. Nesse contexto, o É importante que o leitor desenvolva estudante deverá saber, de antemão, competência na conversão de um que 1 km = 1000 m , 1 dm = 0,1 m, 1 sistema de medidas para outro, mas não cm = 0,01 m, 1 mm = 0,001 m, 1 kg = é necessário que conheça os fatores de 1000 g, 1 hora = 60 minutos, 1 minuto conversão. Por exemplo, o estudante = 60 s, 1 litro = 1000 ml. deverá estar apto a converter metros Em relação ao trabalho com plantas e em polegadas (e vice-versa), mas não mapas, é importante que o professor precisará decorar que 1 polegada = insista na discussão sobre a 2,540 cm (esse tipo de informação compreensão do significado de uma estará disponível no exercício). O escala e sua aplicação na resolução de professor deverá sempre respeitar a problemas. Em problemas envolvendo forma particular de o aluno conduzir o plantas, mapas e outras situações, o raciocínio em um processo de professor deverá trabalhar cálculos de conversões de medidas ou unidades; comprimentos, áreas e volumes; para contudo, poderá também sistematizar tanto, é necessário que motive os procedimentos junto com o estudante, estudantes por meio de situações tais como, regra de três, práticas, tais como, o cálculo da área proporcionalidade, princípio das paredes de uma casa para estimar a multiplicativo etc. quantidade de tinta necessária para Cabe também ao professor orientar os pintá-las; o volume de água que pode estudantes no sentido de que a conter um poço ou um açude etc. utilização correta de subdivisões e BIBLIOGRAFIA BUSHAW, D. et al. Aplicações da matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997. CARAÇA, B. de J. Conceitos fundamentais de matemática. Lisboa: Gradiva, 1998. KENNEDY, E. S. Trigonometria: tópicos de história da matemática para uso em sala de aula. São Paulo: Atual, 1992. LIMA, E. L. Medida e forma em geometria: comprimento, área, volume e semelhanças. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1991. LINDQUIST, M. M.; SHULTE, A. P. (Org.). Aprendendo e ensinando geometria. São Paulo: Atual, 1994. MACHADO, N. J. Medindo comprimentos. São Paulo: Scipione, 1993. 134 Matem∙tica 76-150.pmd 134 11/7/2003, 09:22
    • CONSTRUIR E AMPLIAR NOÇÕES DE VARIAÇÃO DE GRANDEZA Matemática - Ensino Médio Capítulo VI PARA A COMPREENSÃO DA REALIDADE E A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO COTIDIANO. A grandeza no dia-a-dia Luci M. Loreto Rodrigues Este capítulo tem como finalidade DESENVOLVENDO A subsidiar os estudos de um leitor jovem COMPETÊNCIA ou adulto que não pôde concluir ou Construir e ampliar noções de variação freqüentar o processo escolar. Por isso, de grandeza para compreensão da as atividades propostas contemplam as realidade e a solução de problemas do competências e habilidades e abordam cotidiano. as idéias matemáticas sobre variação de grandezas, porcentagem e juros, por Através da análise de situações- meio de uma linguagem simples, problema envolvendo grandezas, busca- motivadora e relacionada à realidade, se aproximar conceitos e realidades, permitindo que ele possa pensar o seu fazendo com que o leitor perceba que já cotidiano a partir de diferentes pontos utilizava informalmente esses conceitos de vista, incentivando-o a raciocinar, matemáticos, e, com isso, construa buscar conhecimentos adquiridos em conhecimentos com significado e suas experiências de vida e encontrar amplie as noções de variação de soluções corretas. grandeza, para que possa usá-las com mais confiança na solução de problemas Espera-se que a leitura do capítulo seja do cotidiano e na compreensão da agradável e desperte nesse leitor o realidade. hábito da leitura, da busca de informações sobre os fatos. E que essas Para desenvolver a habilidade – informações, aliadas aos seus Identificar grandezas direta e conhecimentos, lhe permita construir inversamente proporcionais e uma argumentação consistente para que interpretar a notação usual de possa entender, explicar e participar dos porcentagem, apresentam-se situações diversos processos que vivencia. simples e contextualizadas em que o leitor deve analisar e identificar as grandezas e suas variações e também 135 Matem∙tica 76-150.pmd 135 11/7/2003, 09:22
    • Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio situações que lhe permitam relacionar a-dia sobre juros simples e compostos, sua linguagem diária com a linguagem e em que se procura mostrar ao leitor os os símbolos matemáticos, como %. conhecimentos necessários para • Comparar grandezas é muito comum argumentar, avaliar e decidir com em nosso dia-a-dia. Por isso, é muito mais segurança sobre a melhor forma importante saber identificar e avaliar de pagar uma compra, fazer um as variações das grandezas e efetuar financiamento etc. ou vivenciar e agir corretamente cálculos matemáticos com confiança em situações para prever resultados. Esses semelhantes. procedimentos permitem ao leitor • Analisar situações e avaliar dados e desenvolver a habilidade Identificar e informações envolvendo porcentagem avaliar variações de grandezas para e relações entre grandezas explicar fenômenos naturais, possibilitam ao leitor criar formas de processos socioeconômicos e da se posicionar criticamente diante de produção tecnológica e obter mais uma sociedade regida pelo poder confiança e consistência para socioeconômico, bem como formas e entender e aplicar esses cálculos em mecanismos de se proteger contra a situações reais. propaganda enganosa e os • Resolver problemas envolvendo estratagemas de marketing. Recorrer a grandezas direta e inversamente cálculos com porcentagem e relações proporcionais e porcentagem é uma entre grandezas proporcionais para habilidade vista por meio da avaliar a adequação de propostas de apresentação de situações-problema, intervenção na realidade é uma envolvendo grandezas direta e habilidade que ajuda a tornar o leitor inversamente proporcionais, incluindo um cidadão presente, participativo as porcentagens. Enfrentar e resolver dentro da comunidade, com condições problemas conhecidos ou novos sobre de intervir e lutar por uma sociedade diferentes situações amplia os mais justa e igualitária. conceitos matemáticos e estabelece Alguns tópicos foram priorizados: uma ligação entre conceitos e • Razão e proporção realidade, facilitando sua Os conceitos da razão e proporção e compreensão. suas aplicações são retomados com • Identificar e interpretar variações uma abordagem voltada para o percentuais de variável contexto do aluno do ensino médio. socioeconômica ou técnico-científica Exploram-se o significado e sua como importante recurso para a aplicação no cotidiano e não as construção de argumentação definições formais e as propriedades. consistente é uma habilidade • Grandezas direta e inversamente desenvolvida com a apresentação de proporcionais e Regra de três simples. situações-problema presentes no dia- 136 Matem∙tica 76-150.pmd 136 11/7/2003, 09:22
    • V - Orientação para o trabalho do professor Com situações presentes no cotidiano, A avaliação deve ser contínua, realizada analisou-se e interpretou-se a variação a cada instante, fornecendo informações das grandezas, identificando-as como ao professor sobre os conhecimentos e grandezas diretamente ou habilidades dos alunos e sobre suas inversamente proporcionais. E, com dificuldades. Deve também permitir ao esses conceitos, resolveram-se professor que acompanhe seu trabalho problemas, utilizando a Regra de três. pedagógico e verifique se os objetivos • Porcentagem traçados estão sendo alcançados. A partir da resolução e da Podem ser propostos problemas interpretação de situações cotidianas contextualizados para avaliar o que tratam de porcentagem, desenvolvimento das competências e exploram-se os conceitos habilidades presentes no capítulo. A matemáticos envolvidos no cálculo de resolução pode ser feita inicialmente de porcentagem. forma individual e depois em grupo, para que os alunos discutam e • Juros simples e composto comparem os resultados e A interpretação e resolução de procedimentos matemáticos utilizados problemas do dia-a-dia relacionados a na resolução. atividades comerciais e financeiras Algumas atividades são resolvidas, fornecem ao leitor os conhecimentos comentadas e questionadas com o matemáticos sobre juros necessários leitor, que deve refletir sobre o tema, os para aplicação em situações reais, conhecimentos matemáticos que possui como a forma de pagar uma conta e e o modo utilizado na resolução. de fazer um financiamento. As atividades estão divididas em duas Exploramos os conceitos matemáticos por categorias: meio da análise, interpretação e resolução de problemas e situações 1. Questões fechadas, com respostas no presentes no cotidiano, pois, quando final do capítulo, que devem ser conceitos e realidade ficam próximos, o resolvidas pelo leitor como forma de leitor percebe que já utilizava verificar seu aprendizado e fixar os informalmente esses conceitos, que conceitos matemáticos. agora passam a adquirir significado e a 2. Questões abertas, sem resposta, que, serem usados com mais confiança em de modo geral, levam o leitor à novas situações. reflexão, à leitura,à busca de idéias e Os questionamentos e reflexões argumentações consistentes presentes no capítulo exigem do leitor o permitindo a elaboração de propostas exercício do pensamento, da busca de concretas e solidárias de intervenção experiências vividas, com o propósito na realidade. de servirem de suporte na organização dos conhecimentos adquiridos e dos que estão sendo construídos. 137 Matem∙tica 76-150.pmd 137 11/7/2003, 09:22
    • Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio BIBLIOGRAFIA ALVAREZ, M. T. S. Seu problema é dinheiro? São Paulo: PEC, 2000. BIGODE, A. J. L. Matemática: hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2000. EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Educação Matemática. GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática fundamental. São Paulo: FTD, 2000. KRULIK, S.; REYS, R. E. (Org.). A resolução de problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual, 1998. Tradução de Higino H. Domingues e Olga Cordo. MACHADO, S. D. A. (Org.). Educação matemática: uma introdução. São Paulo: Educ - PUC-SP, 1999. MACEDO, L. de. Situação-problema: forma e recurso de avaliação, desenvolvimento de competências e aprendizagem escolar. [s.n.t.]. IMENES, L. M.; JAKUBO, J.; LELLIS, M. Matemática: novas questões para avaliação e aprofundamento. São Paulo: Scipione, 1999. ______. Proporções. Ilustrações de Cecília Iwashita. 11. ed. São Paulo: Atual, 1992. (Para que serve a Matemática?). REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. São Paulo. Sociedade Brasileira de Matemática. SMOOTHEY, M. Atividades e jogos com razão e proporção. Ilustrações de Ann Baum. São Paulo: Scipione, 1998. (Investigação Matemática). Tradução de Antonio Carlos Brolezzi. ZAMPIROLO, M. J. C. As razões da Matemática. São Paulo: PEC, 2000. ______. Quantos por cento? São Paulo: PEC: Ed. do Brasil, 2000. ______. O que é, o que é. São paulo: PEC: Ed. do Brasil, 2000. Sites na Internet: www.tvcultura.com.br/aloescola/ciencias Sites na Internet: www.desenvolvimento.gov.br/progacoes/PAB Sites na Internet: www.nib.unicamp.br/svol Sites na Internet: http://www.educ.fc.ul.pt/ Sites na Internet: http://athena.mat.ufrgs.br/~portosil/matdinhe.html Sites na Internet: http://www.mat-no-sec.org/criar/propor/proporcionalidade.htm 138 Matem∙tica 76-150.pmd 138 11/7/2003, 09:22
    • APLICAR EXPRESSÕES ANALÍTICAS PARA MODELAR E Matemática - Ensino Médio Capítulo VII RESOLVER PROBLEMAS, ENVOLVENDO VARIÁVEIS SOCIOECONÔMICAS OU TÉCNICO-CIENTÍFICAS. A Matemática por trás dos fatos Wilson Roberto Rodrigues A proposta do capítulo para o estudante recebe a cada instante, não se é, através de textos que explorem fatos restringindo a recebê-las interpretadas do cotidiano, despertar no leitor a ou manipuladas por terceiros. curiosidade para descobrir leis O tema central do texto é conduzir o matemáticas simples que estão por trás leitor a desenvolver a competência de das pequenas coisas do dia-a-dia e aplicar expressões analíticas para motivá-lo a conhecê-las para explicar modelar e resolver problemas, melhor o mundo a seu redor. envolvendo variáveis socioeconômicas Juntamente com a aplicação dessas leis, ou técnico-científicas. é preocupação permanente do texto Para atingir esse objetivo, as atividades mostrar o papel generalizador que têm são graduadas segundo um conjunto de os procedimentos matemáticos, habilidades que devem ser preocupando-se, constantemente, em desenvolvidas e constituem as etapas de fazer analogias para mostrar que que se compõe o trabalho. problemas de contextos muito diferentes podem ser resolvidos por DESENVOLVENDO A ferramentas matemáticas muito COMPETÊNCIA parecidas. O capítulo inicia propondo situações A busca dessa “lei” ou modelo muito simples em que o leitor é matemático que está por trás dos fatos conduzido a identificar e interpretar que analisamos no dia-a-dia é a tônica representações analíticas associadas a da atividade do capítulo, que tenta fatos do cotidiano ou a figuras mostrar ao leitor que seu conhecimento geométricas, como os pontos e as retas, o tornará crítico, melhor capacitado a dentro de situações contextualizadas e a compreender o mundo à sua volta e a fazer analogias entre essas fazer suas próprias análises e interpretações das informações que 139 Matem∙tica 76-150.pmd 139 11/7/2003, 09:22
    • Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio representações de modo a perceber o algébricas básicas, os conceitos de caráter generalizador que a modelagem função linear, função afim, coordenadas matemática pode conferir à resolução cartesianas no plano e equação da reta, dos problemas. embora não seja objetivo da obra tratar Na fase seguinte, convida-se o leitor a esses conteúdos de maneira formal, mas interpretar ou aplicar os modelos usá-los como elementos que fortaleçam identificados, associando-os a novos procedimentos mentais que permitam problemas contextualizados. As associar leis matemáticas a descrições aplicações envolvem o uso de de fatos, gráficos ou tabelas, sempre na procedimentos algébricos simples como direção da competência e das equações algébricas, inequações e habilidades. sistemas lineares, objetivando a A proposta de trabalho com situações- compreensão dos fenômenos descritos problema consiste, basicamente, na nas situações propostas. Espera-se que, criação de uma situação didática que o ao final desta fase, o estudante esteja aprendiz não pode realizar sem agregar apto a estabelecer as relações que uma nova aprendizagem, e essa possibilitem que ele próprio crie os aprendizagem se constitui no modelos matemáticos. verdadeiro objetivo da atividade. Vencida essa etapa, novas situações são Ela deve ser vista como um desafio para apresentadas ao leitor, entregando o aluno que formulará hipóteses e agora a ele a tarefa de modelar e aplicar conjecturas para sua resolução. A os modelos obtidos na resolução de necessidade de transpor o obstáculo equações e inequações. proposto o levará a elaborar ou se Nas fases seguintes, privilegia-se mais apropriar coletivamente dos ainda o contexto. As situações- instrumentos intelectuais necessários à problema propostas encaminham o construção da solução. leitor a dar mais ênfase à interpretação e É importante que a situação leve o à utilização dos resultados, procurando aluno a mobilizar seus conhecimentos motivá-lo a usar os conceitos cognitivos, afetivos e sociais anteriores trabalhados como ferramentas, e que não seja vista por eles como um argumentar de maneira segura e desafio intransponível. Os alunos devem consistente e também de avaliar a se sentir intelectualmente desafiados e adequação de propostas de intervenção ter consciência de sua capacidade de na realidade. Em última análise, busca a vencer os desafios. Isso lhes trará a construção de elementos que o ajudarão motivação e a autoconfiança a se transformar num indivíduo necessárias para prosseguir nos autônomo, crítico e mais preparado para trabalhos. exercer em plenitude sua cidadania. No item “Matemática no café da As situações-problema trabalhadas manhã” pretende-se que o leitor associe envolvem a manipulação de ferramentas leis matemáticas a fatos simples e 140 Matem∙tica 76-150.pmd 140 11/7/2003, 09:22
    • V - Orientação para o trabalho do professor perceba que essas leis estão presentes oportunidade de fazer interpolações e em nosso cotidiano. No item extrapolações para argumentar ou “Matemática ao sair de casa”, criou-se responder a questões referentes ao uma situação geométrica que conduz, contexto. O uso da calculadora de maneira contextualizada, à idéia de permitirá que se construam situações coordenadas cartesianas, como mais realistas, para vencer o obstáculo preparação para a busca das leis dos cálculos demorados. Um trabalho matemáticas em situações geométricas, mais personalizado pode até conduzir à o que é feito no item “viajando com as construção de uma regra prática para coordenadas”. obter a equação de uma reta a partir de Uma vez obtidas essas leis, o item seu gráfico. O desenvolvimento dessas “tabela, gráfico ou lei matemática” tenta ferramentas adicionais não deve perder levar ao leitor a idéia de que situações de vista, porém, que esse trabalho só muito diferentes como a compra do pão tem sentido se direcionado para a ou a descrição de uma trajetória num construção das habilidades a que o mapa são descritos por ferramentas texto se propõe. matemáticas muito parecidas, como Nas atividades de avaliação, o professor expressões do tipo y=kx ou retas deve estar atento ao fato de que o passando pela origem, instigando-o a conteúdo, embora presente no trabalho, fazer uso desse caráter generalizador não deve ser o objeto da avaliação, mas que têm os procedimentos matemáticos. a ferramenta para o desenvolvimento As atividades seguintes se valem dessas das habilidades. As provas devem generalizações para que o aluno continuar proporcionando ao aluno desenvolva as competências através de oportunidades de aprender, por problemas que exploram temas como questões bem formuladas e instigantes economia de energia, propostas de que requeiram análise, compreensão e emprego, problemas ambientais, crítica tomadas de decisão. a leituras, educação para o consumo, Embora não seja uma tarefa fácil dentre outros. elaborar questões com essas Como proposta ao professor para características, o esforço em investir aprofundamento do tema, sugerimos a nelas certamente será compensador, criação de situações que envolvam a pois estaremos criando também, com exploração de gráficos com essas atividades, mais oportunidades de comportamento linear extraídos de crescimento. publicações, em que o aluno tenha a 141 Matem∙tica 76-150.pmd 141 11/7/2003, 09:22
    • Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio BIBLIOGRAFIA CÂNDIDO, S. L. Quando a álgebra e a geometria se encontram. São Paulo: Ed. do Brasil, 2000. EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Educação Matemática. MACEDO, L. de. Situação-problema: forma e recurso de avaliação, desenvolvimento de competências e aprendizagem escolar. MACHADO, S. D. A. (Org.). Educação matemática: uma introdução. São Paulo: Ed. PUC-SP, 1999. KRULIK, S.; REYS, R. E. (Org.). A resolução de problemas na Matemática escolar. São Paulo: Atual, 1998. REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. São Paulo: Sociedade Brasileira de Matemática. ZAMPIROLLO, M. J. C. Não saia da linha. São Paulo: Ed. do Brasil, 2000. 142 Matem∙tica 76-150.pmd 142 11/7/2003, 09:22
    • INTERPRETAR INFORMAÇÕES DE NATUREZA CIENTÍFICA E Matemática - Ensino Médio Capítulo VIII SOCIAL OBTIDAS DA LEITURA DE GRÁFICOS E TABELAS, REALIZANDO PREVISÃO DE TENDÊNCIA, EXTRAPOLAÇÃO, INTERPOLAÇÃO E INTERPRETAÇÃO. Gráficos e tabelas do dia-a-dia Jayme do Carmo Macedo Leme Procuramos mostrar para o aluno que os “saber fazer” que levam a um “saber gráficos e tabelas são encontrados no ser” perpassam pelas atividades, sendo a cotidiano das pessoas com o intuito de aquisição delas o objetivo das facilitar atividades rotineiras ou situações-problema propostas. transmitir informações de forma Discutiremos a seguir as habilidades. sintetizada. Como nosso público alvo é de jovens e DESENVOLVENDO A adultos, acreditamos que atividades COMPETÊNCIA elaboradas a partir de conhecimentos Utilizamos os primeiros capítulos para adquiridos no dia a dia serão grandes desenvolver a habilidade, Reconhecer e aliadas para o envolvimento, interpretar as informações de natureza participação, compreensão e interesse científica ou social expressas em gráficos dos leitores. ou tabelas, propondo situações nas As situações-problema pretendem quais o leitor faz inferências durante a propiciar o desenvolvimento da leitura e leitura, localizando dados em tabelas e interpretação de gráficos e tabelas, além gráficos. Trabalhamos com valores de propiciar a manipulação desses discretos e contínuos, levando o dados, criar uma argumentação estudante a fazer aproximações e consistente e intervir na realidade, interpolações. Como as situações utilizando as informações lidas e propostas podem ser encontradas no interpretadas de gráficos e tabelas. cotidiano, acreditamos que o estudante Para o desenvolvimento dessa venha a utilizar um procedimento competência, é fundamental que os próprio de solução para depois, estudantes desenvolvam um conjunto apresentarmos nosso modo de de habilidades. Essas habilidades que resolução, com a sugestão de que podem ser interpretadas como um compare com o que foi pensado por ele. 143 Matem∙tica 76-150.pmd 143 11/7/2003, 09:22
    • Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio Para a habilidade, Identificar ou inferir exemplo, a variação em dois momentos. aspectos relacionados a fenômenos de A construção de argumentação natureza científica ou social, a partir de consistente é pautada no informações expressas em gráficos ou reconhecimento e uso dessa variação. tabelas, a leitura dos gráficos e tabelas As situações-problema propostas para deixa de ser o objeto de estudo esse fim apresentam gráficos e tabelas passando a ser uma ferramenta para a sobre os quais discutimos a interpretação pretendida. É por meio da possibilidade de se medir a variação organização e reflexão sobre a leitura entre seus dados, propiciando a que procuramos desenvolver a elaboração de argumentação interpretação das informações. consistente. A proposta de questões de As situações-problema apresentadas múltipla escolha visa a colocar o leitor para esse fim foram as que envolviam a frente a problemas de ordem social, taxa de natalidade e a leitura de econômica ou política nos quais terá temperaturas. Nessas atividades, que fazer uma análise crítica dos apresentamos um texto contendo argumentos apresentados para escolher informações de caráter socioeconômico ou considerar qual é o mais apropriado e sobre fenômenos naturais, para que para aquela situação, fossem comparados com os dados Avaliar, com auxílio de dados obtidos pela leitura do gráfico e tabela apresentados em gráficos ou tabelas, a proposto. adequação de propostas de intervenção Ao selecionar, organizar e relacionar os na realidade. dados apresentados na forma de tabela O capítulo é todo permeado de situações ou gráfica para a resolução das retiradas de nossa realidade com o intuito situações propostas, estamos de sinalizar ao estudante que é possível possibilitando ao estudante que sua participação e intervenção na desenvolva a habilidade de selecionar sociedade em que está inserido para e interpretar informações desfrutar seus direitos ou para lutar por expressas, em gráficos ou tabelas, eles de modo consciente e consistente, para resolução de problemas. respaldado por conhecimentos que lhe Outra habilidade é a de analisar o possibilitem o poder que o domínio da comportamento de variável informação garante. expresso em gráficos ou tabelas, A metodologia que propomos é a de como importante recurso para a resolução de problemas e, dessa forma, construção de argumentação o professor terá vários papéis nesse consistente. trabalho, como: A variação é um quantificador das • Organizar a classe em grupos, mudanças que ocorrem nos dados de propondo a eles situações-problema, gráficos e tabelas. Ela mede, por auxiliando-os, caso seja necessário, na interpretação do enunciado (lembre-se 144 Matem∙tica 76-150.pmd 144 11/7/2003, 09:22
    • V - Orientação para o trabalho do professor de que interpretar o problema é bem O professor, apoiado pelas habilidades e diferente de resolver o problema). competência apresentadas pelo • Criar debates partindo das propostas capítulo, poderá avaliar os alunos de resolução levantadas pelos grupos, propondo, adaptando ou criando direcionando-as a uma resolução situações semelhantes às apresentadas, pertinente. que necessitem, para sua resolução, das habilidades que se buscou desenvolver. • Formalizar aquele conhecimento gerado pelas discussões. BIBLIOGRAFIA BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica: ensino médio. Parâmetros curriculares nacionais para o ensino médio. Brasília, DF: Semtec, 1998. CARAÇA, B. de J. Conceitos fundamentais da matemática. 9. ed. Lisboa: S. Costa, . . 1989. FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS. Índice geral de preços: Mercado. Disponível em: <http:/ /www. fgv.br. Acesso em: 15 abr. 2002. INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA – IBGE. Disponível em: <http:// www.ibge.gov.br. Acesso em: 27 abr. 2002. OLIVEIRA, S. S. Planos econômicos brasileiros. Disponível em: <http:// www.zemoleza.com.br. Acesso em: 12 maio 2002. SOUZA. Brasil na Copa. Disponível em: <http://www.geocities.com/Colosseum/Loge/ 9160/copa.htm. Acesso em: 27 abr. 2002. TROTA, F.; IMENES, L. M.; JAKUBOVIC, J. Matemática aplicada. São Paulo: Moderna, . 1980. v. 1. 145 Matem∙tica 76-150.pmd 145 11/7/2003, 09:22
    • Matem∙tica 76-150.pmd 146 11/7/2003, 09:22
    • COMPREENDER O CARÁTER ALEATÓRIO E NÃO DETERMINÍSTICO Matemática - Ensino Médio Capítulo IX DOS FENÔMENOS NATURAIS E SOCIAIS, E UTILIZAR INSTRUMENTOS ADEQUADOS PARA MEDIDAS E CÁLCULOS DE PROBABILIDADE, PARA INTERPRETAR INFORMAÇÕES DE VARIÁVEIS APRESENTADAS EM UMA DISTRIBUIÇÃO ESTATÍSTICA. Uma conversa sobre fatos de nosso dia-a-dia Helenalda Nazareth Iniciamos o capítulo discutindo que pode gerar uma amostra viciada. atividades que incentivam a observação Com exemplos, trabalhamos a validade e propiciam o desenvolvimento de do resultado de uma pesquisa. habilidades para a discriminação, A Estatística surge com exemplos interpretação e produção de registros de simulados de situações do cotidiano e fenômenos aleatórios e determinísticos. os conceitos abordados anteriormente É feito o encaminhamento para a vão sendo utilizados gradativamente, de explicação informal de fenômenos modo que o leitor possa solucionar as aleatório e determinístico e do conceito questões propostas e adquirir condições de probabilidade, sendo apresentadas para caracterizar ou inferir aspectos questões que, depois da reflexão dos relacionados a fenômenos de qualquer alunos leitores, serão respondidas. Não natureza, a partir de informações há um aprofundamento deste tema. expressas por meio de uma distribuição Pretendemos apenas focalizar o estatística. raciocínio probabilístico, a contagem e A porcentagem é apresentada como um o cálculo de probabilidade que número racional, que pode ser envolvem a compreensão da representado, utilizando a escrita amostragem, na presença do caráter decimal ou a forma de fração. aleatório de determinados fenômenos. Acreditamos que alguns índices representados por porcentagens DESENVOLVENDO A poderão ser aprendidos com COMPETÊNCIA compreensão e poderão ser Já, no início, abordamos a questão da memorizados, conforme forem sendo escolha da amostra e da possibilidade utilizados. É o caso, por exemplo, de: da manipulação de dados que poderá 25% • 1/4 = 25/100 ou 0,25 80% • 4/5 estar camuflada na própria amostragem, = 80/100 ou 0,8 147 Matem∙tica 76-150.pmd 147 11/7/2003, 09:22
    • Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 20% • 1/5 = 20/100 ou 0,20 75% • 3/4 = 75/100 ou 0,75. Sugerimos que o professor trabalhe com Ao avaliar o trabalho do aluno, convém reportagens de jornais e revistas da lembrar que pessoas diferentes poderão época, propondo discussões sobre os ter raciocínios diferentes para obter a temas abordados e sobre a validade ou solução do mesmo problema. não dos fatos anunciados em Procuramos apresentar soluções que manchetes. julgamos mais fáceis, mas não podemos Vivemos, hoje, em um mundo cercado deixar de valorizar as soluções de Estatísticas. Os Parâmetros apresentadas pelos alunos, que, Curriculares Nacionais recomendam a certamente, serão mais fáceis para eles. Estatística como parte integrante da Observemos alguns possíveis própria alfabetização, citando-a como raciocínios: um conhecimento primordial para a Primeiro Exemplo formação do cidadão que se pretende O salário mensal de uma pessoa é de formar. R$800,00. Se houver um aumento de Aqui abordamos a Estatística, 12%, quanto passará a ser este salário? procurando apresentar ao aluno leitor o A solução mais comum, feita por caminho da elaboração de uma pesquisa, pessoas que já têm alguma escolaridade, partindo da amostragem, sugerindo uma é calculando primeiro o aumento que, coleta de dados e sua representação por depois, será acrescido ao salário atual: meio de tabelas e gráficos. As tabelas e gráficos são apresentadas de maneira x = 800 x 12 / 100 • x = 96 reais informal, sem nos preocuparmos muito O salário passará a ser de 800 + 96 = com o rigor da Estatística. Trabalhar sem 896 reais o rigor e sem grande formalização não É comum que professores ensinem a implica incorrer em erros. Procuramos, regra de três para a solução de sempre, apresentar tabelas e quadros, problemas que envolvem porcentagem. gráficos de diferentes tipos, sem Não foi este o encaminhamento que explicitar a sua relação com os tipos de demos no capítulo. Mas a solução é variáveis. O histograma só deve ser válida e deverá ser discutida no grupo, utilizado com variáveis contínuas. Foi para que possa ser socializada, assim este o tratamento que demos aos salários como toda solução diferente que surgir. na página 17. Já para variáveis discretas, Uma solução é viável quando sabemos a representação conveniente deve ser representar a porcentagem, usando a feita com gráficos de barras ou de escrita decimal do número, e que colunas. No exemplo sobre a facilita o uso da calculadora é: escolaridade da população da cidade de 1,12 x 800 = 896 reais São Paulo apresentamos o gráfico de barras e, no exemplo sobre a preferência por sabonetes, na mesma página, o 148 Matem∙tica 76-150.pmd 148 11/7/2003, 09:22
    • V - Orientação para o trabalho do professor gráfico de colunas. Não há necessidade que a média seja maior que o salário da de nos aprofundarmos nestes detalhes maioria dos trabalhadores. Quase com os alunos jovens e adultos, mas é sempre, os trabalhadores pensam na essencial que eles tenham oportunidade maioria como sendo a média ou a moda. de conhecer os diversos tipos de Com o problema apresentado, ou outro gráficos. do mesmo tipo, o professor poderá Das medidas de uma distribuição, encaminhar uma discussão sobre os apresentamos, neste capítulo, apenas as significados de: de tendência central (média aritmética, • maioria (metade mais um) mediana e moda). Houve uma • moda (o mais freqüente) preocupação em diferenciar as três, com • média ( distribuição eqüitativa). o auxílio de propostas que visam à Se o professor tiver acesso aos dados compreensão de seus conceitos, uma sobre a distribuição de renda no Brasil, vez que é comum cometermos erros na interpretação de afirmações que poderá verificar que ela ocorre mais ou menos seguindo o padrão da envolvem estas três medidas. É comum distribuição dos salários do exemplo as pessoas entenderem média como sendo a moda. Na última página, aqui proposto. propomos um problema que poderá É inquestionável a importância da gerar uma discussão sobre esse assunto. compreensão de conceitos básicos para que as pessoas entendam o significado Segundo Exemplo de seus cálculos e possam discutir Quando os funcionários de uma empresa questões pertinentes a seu dia-a-dia estavam reivindicando melhores com argumentos consistentes, podendo salários, o dono argumentou que a defender seus direitos, enquanto média dos salários era de cidadãos, e intervir na sociedade da aproximadamente R$1.485,00 Os qual fazem parte. funcionários acharam-se enganados porque, com certeza, estavam pensando Cabe ao professor não apenas ensinar os na moda, ou então na maioria dos cálculos mas promover movimentos de discussão e reflexão em sua sala de salários. aula. Em nosso exemplo, a mediana é o 51º A Matemática (e, em especial, a salário, que é 500 reais. Logo, a maioria recebe salários menores ou iguais a 500 Estatística) vai muito além dos cálculos, reais. Talvez, por esse motivo, os envolvendo o desenvolvimento da autonomia, na medida em que o trabalhadores da empresa pensassem que o dono não dizia a verdade ao indivíduo é capaz de questionar, afirmar que a média dos salários era de discutir e apresentar soluções ou perceber quando suas soluções podem aproximadamente 1.485,00 reais. ser substituídas por outras apresentadas Há poucos salários altos que fazem com por seus interlocutores. 149 Matem∙tica 76-150.pmd 149 11/7/2003, 09:22
    • Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio BIBLIOGRAFIA ABRANTES, P. et al. A Matemática na escola básica. Lisboa: Ministério da Educação, 1999. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica: ensino médio: Matemática. Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília, DF: MEC, 1996. NAZARETH, H. R. S. Curso básico de estatística. 12. ed. São Paulo: Ática, 1997. LIBERMAM, M. et al. Fazendo e compreendendo matemática. São Paulo: Solução, 1993. v. 8. 150 Matem∙tica 76-150.pmd 150 11/7/2003, 09:22