Fisica.y.quimica. .mecanica.clasica

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Mecánica clásica con ejemplos y teoría

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Fisica.y.quimica. .mecanica.clasica

  1. 1. ´ E SCUELA T E CNICA ´ U NIVERSIDAD P OLIT E CNICA DE M ADRID S UPERIOR DE I NGENIEROS DE C AMINOS , C ANALES Y P UERTOS ´ CURSO DE MECANICA (Volumen I) e o Jos´ Mar´a Goicolea Ruig´ mez ı noviembre 2001
  2. 2. Segunda edici´ n, noviembre 2001 o c 2001 por Jos´ M.a Goicolea Ruig´ mez. e o ´ Este material puede ser distribuido unicamente sujeto a e los t´ rminos y condiciones definidos en la Licencia de Publicaciones Abiertas (“Open Publication License”), ´ v1.0 o posterior (la ultima versi´ n est´ disponible en o a http://www.opencontent.org/openpub/). Queda prohibida la distribuci´ n de versiones de este docuo mento modificadas sustancialmente sin el permiso expl´cito ı del propietario del derecho de copia (“copyright”). o La distribuci´ n de este trabajo o de derivaciones de este trabajo en cualquier forma de libro est´ ndar (papel) queda a prohibida a no ser que se obtenga previamente permiso del propietario del derecho de copia (“copyright”). ISBN: o Dep´ sito Legal: Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos o Servicio de Publicaciones - Colecci´ n Escuelas
  3. 3. ´ Indice general 1. Principios de la Mec´nica a 1.1. La Mec´nica como Teor´ Cient´ a ıa ıfica . . . . 1.2. Sistemas de Referencia; Espacio y Tiempo 1.3. Principio de la Relatividad de Galileo . . . 1.4. Las Leyes de Newton . . . . . . . . . . . . 1.5. Conceptos de Masa y Fuerza . . . . . . . . 1.6. La Ley de la Gravitaci´n Universal . . . . o 1.6.1. Masa Gravitatoria y Masa Inerte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 1.1 1.5 1.6 1.7 1.10 1.14 1.15 2. Din´mica de la Part´ a ıcula 2.1. Principios y Teoremas Generales . . . . . . . . . . 2.1.1. Cantidad de Movimiento . . . . . . . . . . 2.1.2. Momento Cin´tico . . . . . . . . . . . . . e 2.1.3. Energ´ Cin´tica . . . . . . . . . . . . . . ıa e 2.2. Expresiones de Velocidad y Aceleraci´n . . . . . . o 2.2.1. Coordenadas Cartesianas. . . . . . . . . . 2.2.2. Coordenadas Cil´ ındricas / Polares. . . . . 2.2.3. Coordenadas Esf´ricas. . . . . . . . . . . . e 2.2.4. Triedro Intr´ ınseco. . . . . . . . . . . . . . 2.3. Movimiento de una Part´ ıcula Libre . . . . . . . . 2.3.1. Proyectil Pesado en el Vac´ . . . . . . . . ıo. 2.3.2. Proyectil Pesado en Medio Resistente . . . 2.4. Movimiento de una Part´ ıcula sobre una Curva . . 2.5. Movimiento de una Part´ ıcula sobre una Superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 2.2 2.2 2.3 2.5 2.10 2.10 2.11 2.12 2.13 2.16 2.16 2.19 2.22 2.24 3. Oscilaciones Lineales con 1 Grado de Libertad 3.1. El Oscilador Arm´nico Simple . . . . . . . . . . o 3.1.1. Ecuaci´n del Movimiento . . . . . . . . . o 3.1.2. Energ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa 3.1.3. Integraci´n de la Ecuaci´n . . . . . . . . o o 3.2. Oscilaciones en 2 Dimensiones . . . . . . . . . . 3.3. Oscilaciones con amortiguamiento . . . . . . . . 3.3.1. Ecuaci´n del movimiento . . . . . . . . . o 3.3.2. Integraci´n de la ecuaci´n . . . . . . . . o o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 3.2 3.2 3.3 3.3 3.6 3.7 3.7 3.9 i . . . . . . . .
  4. 4. 3.4. Oscilaciones Forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Ecuaci´n del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.4.2. Integraci´n de la ecuaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . o o 3.5. Amplificaci´n din´mica y resonancia . . . . . . . . . . . . . . o a 3.6. El Espacio de las Fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. An´lisis mediante Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . a 3.7.1. Car´cter Lineal de las Ecuaciones . . . . . . . . . . . . a 3.7.2. An´lisis de Series de Arm´nicos . . . . . . . . . . . . . a o 3.7.3. Desarrollo en Serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 3.8. An´lisis de Transitorios mediante la Funci´n de Green . . . . a o 3.8.1. Respuesta a una Funci´n Impulso . . . . . . . . . . . . o 3.8.2. An´lisis de Transitorios para una Excitaci´n Arbitraria a o 3.9. M´todos Num´ricos para Integraci´n Directa . . . . . . . . . . e e o 3.9.1. M´todo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.9.2. M´todo de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4. Cinem´tica de Sistemas R´ a ıgidos 4.1. Derivaci´n de Vectores en Sistemas M´viles . . . . o o 4.2. Velocidad y Aceleraci´n en Sistemas M´viles . . . . o o 4.3. Campo de Velocidades del S´lido R´ o ıgido . . . . . . 4.3.1. Movimiento Helicoidal Tangente . . . . . . . 4.3.2. Axoides del Movimiento . . . . . . . . . . . 4.4. Campo de Aceleraciones del S´lido R´ o ıgido . . . . . 4.5. Composici´n de Movimientos . . . . . . . . . . . . o 4.5.1. Composici´n del Movimiento de 2 Sistemas . o 4.5.2. Composici´n del Movimiento de n Sistemas o 4.5.3. Movimiento de S´lidos Tangentes . . . . . . o 4.6. Movimiento Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1. Centro Instant´neo de Rotaci´n . . . . . . . a o 4.6.2. Curvas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.3. Aceleraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 5. Fuerzas Centrales y Orbitas Gravitatorias 5.1. Reducci´n del Sistema Binario . . . . . . . o 5.1.1. Sistema Binario Gravitatorio . . . . 5.2. Movimiento bajo Fuerzas centrales . . . . 5.2.1. Propiedades del Movimiento . . . . 5.2.2. Ecuaciones del Movimiento . . . . . 5.2.3. F´rmula de Binet . . . . . . . . . . o ´ 5.3. Orbitas Gravitatorias . . . . . . . . . . . . 5.4. Energ´ de las ´rbitas gravitatorias . . . . ıa o 5.4.1. Potencial Efectivo . . . . . . . . . . 5.5. Leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Ecuaciones Horarias . . . . . . . . . . . . ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12 3.12 3.13 3.17 3.20 3.22 3.22 3.23 3.24 3.26 3.26 3.27 3.29 3.29 3.31 . . . . . . . . . . . . . . 4.1 4.1 4.6 4.8 4.9 4.12 4.14 4.15 4.15 4.16 4.18 4.20 4.20 4.21 4.23 . . . . . . . . . . . 5.1 5.1 5.3 5.5 5.5 5.6 5.8 5.8 5.13 5.15 5.17 5.19
  5. 5. 5.6.1. Trayectoria el´ ıptica . . . . . . . . 5.6.2. Movimiento hiperb´lico . . . . . . o 5.6.3. Movimiento parab´lico . . . . . . o 5.7. Estudio del Sistema Ternario . . . . . . . 5.7.1. Planteamiento de las Ecuaciones . 5.7.2. Movimiento Alineado . . . . . . . 5.7.3. Movimiento Equil´tero . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.19 5.21 5.22 5.23 5.23 5.24 5.25 6. Sistemas de Varias Part´ ıculas. 6.1. Morfolog´ de los Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa 6.1.1. Sistema mec´nico . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 6.1.2. Fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3. Enlaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Principios y Teoremas de la Din´mica de Newton-Euler . a 6.2.1. Principio de la Cantidad de Movimiento . . . . . 6.2.2. Principio del Momento Cin´tico . . . . . . . . . . e 6.2.3. Teorema de la Energ´ Cin´tica . . . . . . . . . . ıa e 6.2.4. Teorema del Virial . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. El Sistema del Centro de Masas . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1. Cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2. Momento cin´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 6.3.3. Energ´ cin´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa e 6.3.4. Constantes del Movimiento en Sistemas Aislados . 6.4. Trabajos Virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1. El Principio de los Trabajos Virtuales . . . . . . . 6.4.2. El Principio de D’Alembert . . . . . . . . . . . . 6.5. Din´mica en Sistemas no Inerciales. . . . . . . . . . . . . a 6.5.1. Din´mica de la Part´ a ıcula . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2. Din´mica de Sistemas de varias Part´ a ıculas . . . . 6.5.3. Ejes Ligados a la Superficie de la Tierra . . . . . 6.6. Sistemas de masa variable . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1. Sistema puntual: ecuaci´n fundamental . . . . . . o 6.6.2. Sistema con masa distribuida . . . . . . . . . . . 6.6.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 6.1 6.1 6.2 6.3 6.8 6.8 6.10 6.13 6.18 6.19 6.20 6.20 6.23 6.24 6.25 6.26 6.28 6.29 6.29 6.31 6.32 6.37 6.37 6.38 6.40 7. Din´mica Anal´ a ıtica 7.1. Coordenadas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1. El Principio de D’Alembert en Coordenadas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2. Forma b´sica de las Ecuaciones de Lagrange . . . . . a 7.2.3. Caso en que las fuerzas provienen de un potencial. Funci´n Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 7.2.4. Desarrollo expl´ ıcito de las ecuaciones del movimiento iii 7.1 . 7.1 . 7.5 . 7.5 . 7.7 . 7.8 . 7.11
  6. 6. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.2.5. Integrales Primeras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.6. Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.7. Sistemas naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.8. Sistemas Girosc´picos . . . . . . . . . . . . . . . . . o Potencial dependiente de la velocidad . . . . . . . . . . . . . Sistemas con Ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1. M´todo de los Multiplicadores de Lagrange . . . . . e Introducci´n al C´lculo de Variaciones . . . . . . . . . . . . o a 7.5.1. Los Principios Variacionales . . . . . . . . . . . . . . 7.5.2. El Problema Fundamental del C´lculo de Variaciones a El Principio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1. Las Ecuaciones de Lagrange a Partir del Principio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.2. Generalizaci´n del principio de Hamilton . . . . . . . o La Din´mica a Partir del Principio de Hamilton . . . . . . . a 7.7.1. Estructura de la Funci´n Lagrangiana . . . . . . . . o 7.7.2. Teoremas de Conservaci´n . . . . . . . . . . . . . . . o 8. Din´mica del S´lido R´ a o ıgido 8.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1. Ecuaciones Cardinales de la din´mica . . . . . . . . . a 8.2. Expresi´n de las magnitudes cin´ticas . . . . . . . . . . . . . o e 8.2.1. Movimiento de rotaci´n instant´nea . . . . . . . . . . o a 8.2.2. Movimiento general (rotaci´n y traslaci´n) . . . . . . o o 8.2.3. Din´mica del s´lido con un eje fijo . . . . . . . . . . a o 8.3. El tensor de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Propiedades del Tensor de Inercia . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1. Momentos y Productos de Inercia . . . . . . . . . . . 8.4.2. Elipsoide de Inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.3. Ejes Principales de Inercia . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.4. Simetr´ de Masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıas 8.5. Campo Tensorial de Inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6. Rotaci´n Finita del S´lido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 8.6.1. Rotaciones infinitesimales y su composici´n . . . . . o 8.6.2. Composici´n de rotaciones finitas . . . . . . . . . . . o 8.6.3. La Rotaci´n finita como cambio de base . . . . . . . o 8.6.4. La Rotaci´n finita como transformaci´n ortogonal . . o o 8.6.5. Teorema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.6. Relaci´n entre rotaciones finitas e infinitesimales . . . o 8.6.7. Parametrizaci´n de la rotaci´n; f´rmula de Rodrigues o o o y par´metros de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . a ´ 8.6.8. Angulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.9. Expresiones de la velocidad de rotaci´n . . . . . . . . o 8.7. Ecuaciones de la Din´mica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a iv . . . . . . . . . . . 7.13 7.16 7.17 7.19 7.21 7.24 7.25 7.30 7.30 7.31 7.34 . . . . . 7.35 7.36 7.38 7.38 7.41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 8.1 8.2 8.4 8.4 8.6 8.7 8.7 8.11 8.11 8.14 8.14 8.17 8.20 8.24 8.24 8.26 8.27 8.29 8.30 8.32 . . . . 8.34 8.36 8.39 8.41
  7. 7. 8.7.1. Ecuaciones de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7.2. Ecuaciones de Euler derivando respecto al triedro intermedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7.3. Ecuaciones de Euler derivando respecto al triedro fijo 8.7.4. Ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7.5. C´lculo de Reacciones en los Enlaces . . . . . . . . . a 9. Aplicaciones de la Din´mica del S´lido a o 9.1. Movimiento por inercia; Descripci´n de Poinsot. . o 9.1.1. Propiedades del movimiento . . . . . . . . 9.1.2. Ejes permanentes de rotaci´n . . . . . . . o 9.1.3. Ecuaciones del movimiento . . . . . . . . . 9.2. Din´mica del s´lido en sistemas no inerciales . . . a o 9.3. El Gir´scopo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 9.3.1. Ecuaciones del movimiento de una peonza 9.3.2. Efecto girosc´pico . . . . . . . . . . . . . . o 9.3.3. Estabilidad de la peonza dormida . . . . . 9.4. El P´ndulo Esf´rico . . . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.41 . . . . 8.43 8.44 8.45 8.46 . . . . . . . . . . 9.1 9.1 9.1 9.6 9.8 9.11 9.14 9.14 9.18 9.22 9.23 10.Din´mica de Impulsiones a 10.1 10.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1 o 10.2. Teor´ de impulsiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1 ıa 10.2.1. Impulsi´n sobre una part´ o ıcula . . . . . . . . . . . . . . 10.1 10.2.2. Fuerzas impulsivas; Funci´n Delta de Dirac . . . . . . . 10.2 o 10.2.3. Axiom´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 a 10.2.4. Teorema Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 10.2.5. Aplicaci´n del Principio de los Trabajos Virtuales . . . 10.6 o 10.2.6. Aplicaci´n del Principio de la Cantidad de Movimiento 10.7 o 10.2.7. Aplicaci´n del Principio del Momento Cin´tico . . . . . 10.8 o e 10.3. Consideraciones Energ´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.9 e 10.3.1. Energ´ Cin´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.9 ıa e 10.3.2. Coeficiente de Restituci´n . . . . . . . . . . . . . . . . 10.10 o 10.3.3. Teorema de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.12 10.4. Choque Entre S´lidos R´ o ıgidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.13 10.4.1. La Deformabilidad de los s´lidos . . . . . . . . . . . . . 10.13 o 10.4.2. Caso general de choque entre dos s´lidos . . . . . . . . 10.14 o 10.4.3. Choque directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.16 10.4.4. Impulsiones tangenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.17 10.5. Din´mica Anal´ a ıtica de Impulsiones . . . . . . . . . . . . . . . 10.17 11.Oscilaciones Lineales con varios Grados de Libertad 11.1. Ecuaciones del Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1. Linealizaci´n de las Ecuaciones . . . . . . . . . . . . o 11.1.2. Formulaci´n Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . o v 11.1 . 11.1 . 11.1 . 11.4
  8. 8. 11.2. Oscilaciones Libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1. Oscilaciones sin amortiguamiento; problema de autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2. Frecuencias propias y modos normales de vibraci´n . o 11.2.3. Caso de autovalores m´ltiples . . . . . . . . . . . . . u 11.2.4. An´lisis Modal; Coordenadas normales . . . . . . . . a 11.2.5. Condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.6. Oscilaciones libres con amortiguamiento . . . . . . . 11.3. Oscilaciones Forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1. Oscilaciones sin amortiguamiento; Resonancia . . . . 11.3.2. Oscilaciones con amortiguamiento; r´gimen transitorio e y permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4. M´todos para la obtenci´n de modos y frecuencias propias . e o . 11.7 . . . . . . . . 11.7 11.8 11.13 11.14 11.18 11.19 11.22 11.22 . 11.24 . 11.25 12.Ecuaciones de Hamilton 12.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 12.2. La Transformada de Legendre y sus propiedades . . . . . . . 12.3. Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4. Obtenci´n pr´ctica de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . o a 12.5. Integrales Primeras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6. Generalizaci´n para fuerzas no conservativas . . . . . . . . . o 12.7. El M´todo de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 12.8. El principio de Hamilton aplicado a la funci´n Hamiltoniana o 12.9. Estructura de las ecuaciones can´nicas . . . . . . . . . . . . o 12.9.1. Transformaciones Can´nicas . . . . . . . . . . . . . . o 12.10. jemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 12.1 . 12.1 . 12.2 . 12.3 . 12.6 . 12.7 . 12.7 . 12.8 . 12.10 . 12.11 . 12.12 . 12.14 13.Est´tica a 13.1. Consideraciones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2. Condiciones Anal´ ıticas del Equilibrio . . . . . . . . . . . . . 13.2.1. Unicidad del Equilibrio. Condici´n de Lipschitz . . . o 13.3. Estabilidad del Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.1. Concepto de Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.2. Condiciones de Estabilidad: Teorema de LejeuneDirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4. Equilibrio de una part´ ıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.1. Part´ ıcula libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.2. Part´ ıcula ligada a una superficie . . . . . . . . . . . . 13.4.3. Part´ ıcula ligada a una curva . . . . . . . . . . . . . . 13.5. Equilibrio de un sistema de part´ ıculas . . . . . . . . . . . . . 13.5.1. Ecuaciones cardinales de la est´tica . . . . . . . . . . a 13.5.2. Principio de los Trabajos Virtuales . . . . . . . . . . 13.6. Equilibrio del S´lido R´ o ıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.6.1. Aplicaci´n del Principio de los Trabajos Virtuales . . o 13.1 . 13.1 . 13.3 . 13.5 . 13.6 . 13.6 vi . . . . . . . . . . 13.7 13.10 13.10 13.11 13.13 13.15 13.15 13.17 13.18 13.18
  9. 9. 13.6.2. Sistemas isost´ticos e hiperest´ticos . . . . . a a 13.7. Reacciones en los enlaces . . . . . . . . . . . . . . . 13.7.1. Enlaces lisos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.7.2. Enlaces con resistencias pasivas; Rozamiento 13.8. Sistemas de barras articuladas . . . . . . . . . . . . 13.8.1. Clasificaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 13.8.2. M´todo de los nudos . . . . . . . . . . . . . e 13.8.3. M´todo de las secciones . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.20 13.22 13.22 13.26 13.31 13.31 13.34 13.35 14.Est´tica de Hilos a 14.1 14.1. Consideraciones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1 14.2. Ecuaciones de equilibrio bajo cargas continuas . . . . . . . . . 14.2 14.2.1. Ecuaci´n vectorial del equilibrio . . . . . . . . . . . . . 14.2 o 14.2.2. Ecuaciones en coordenadas intr´ ınsecas . . . . . . . . . 14.3 14.2.3. Ecuaciones en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . 14.5 14.2.4. Casos de fuerzas conservativas . . . . . . . . . . . . . . 14.5 14.2.5. Casos de Fuerzas centrales o paralelas . . . . . . . . . . 14.7 14.2.6. Analog´ din´mica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.9 ıa a 14.3. Configuraciones de equilibrio de hilos . . . . . . . . . . . . . . 14.10 14.3.1. Hilo homog´neo sometido a peso propio (Catenaria) . . 14.10 e 14.3.2. Hilo sometido a carga constante por unidad de abscisa (par´bola) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.14 a 14.3.3. Efecto de cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . 14.20 14.3.4. Algunos tipos de condiciones de apoyo en los extremos 14.21 14.4. Hilos apoyados sobre superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.25 14.4.1. Superficie lisa sin cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.25 14.4.2. Superficie lisa con cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.25 14.4.3. Enrollamiento sobre tambor rugoso . . . . . . . . . . . 14.28 ´ A. Algebra vectorial y tensorial A.1. Escalares, puntos y vectores . . . . . . . . . . . A.2. Producto escalar y vectorial . . . . . . . . . . . A.3. Bases y coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . A.4. Tensores de orden dos . . . . . . . . . . . . . . A.5. Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.6. Operaciones y clases especiales de tensores . . . A.7. Cambio de coordenadas de un tensor . . . . . . A.8. Coeficientes de permutaci´n . . . . . . . . . . . o A.9. Forma cuadr´tica asociada a un tensor . . . . . a A.10.Vector axial asociado a un tensor hemisim´trico e A.11.Traza y determinante . . . . . . . . . . . . . . . vii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1 A.1 A.1 A.2 A.3 A.5 A.6 A.6 A.7 A.8 A.8 A.9
  10. 10. Cap´ ıtulo 1 Principios de la Mec´nica a Este cap´ ıtulo desarrolla algunos principios fundamentales sobre los que se basa la teor´ de la mec´nica cl´sica, en la que se centra este curso. Conoıa a a cer dicho punto de partida, as´ como las limitaciones de la teor´ empleada, ı ıa resulta imprescindible para una asimilaci´n adecuada de la materia. o 1.1. La Mec´nica como Teor´ Cient´ a ıa ıfica ´ Definicion: La mec´nica es una teor´ cient´ a ıa ıfica que estudia el movimiento de los cuerpos y sus causas, o bien el equilibrio, es decir, la falta de movimiento. Se trata de una teor´ cient´ ıa ıfica porque pretende interpretar fen´menos o f´ ısicos que se observan experimentalmente. Para ello la mec´nica parte de a unos postulados o principios fundamentales, sobre los que se basa una teor´ ıa a trav´s de modelos matem´ticos, dando as´ una interpretaci´n coherente a e a ı o las observaciones experimentales. En la actualidad existen diversas teor´ ıas de la mec´nica, y a lo largo del tiempo han existido muchas m´s que han a a quedado obsoletas bien por no ser pr´cticas en su aplicaci´n, o bien por no a o adecuarse sus predicciones a la realidad f´ ısica observada. Para juzgar las teor´ cient´ ıas ıficas, y en concreto la mec´nica, no tiene a a sentido emplear criterios de veracidad absoluta. A pesar de que la mec´nica tenga un elevado contenido de modelos matem´ticos, habiendo sido a a lo largo de la historia una de las motivaciones principales para el desarrollo de las matem´ticas, no es la elegancia ni el rigor formal de estos modelos a matem´ticos un criterio adecuado para valorar una teor´ de la mec´nica. a ıa a Cada teor´ (y sus principios subyacentes) es tan buena como la interpreıa taci´n que realiza de las observaciones experimentales de la realidad f´ o ısica. 1.1
  11. 11. 1.2 ´ Cap´ ıtulo 1. PRINCIPIOS DE LA MECANICA Si las predicciones te´ricas se corresponden adecuadamente con las obsero vaciones experimentales, la teor´ ser´ adecuada, independientemente de su ıa a elegancia matem´tica. Por el contrario, si los resultados no se correspona den con las observaciones, llegaremos a la conclusi´n de que se precisa otra o teor´ distinta para el fen´meno en cuesti´n. ıa o o As´ las tres teor´ principales de la mec´nica existentes en la actualidad ı, ıas a son: La Mec´nica Cl´sica, cuyo desarrollo moderno se considera generalmena a te iniciado por Newton (1686: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) y continuado hasta nuestros d´ por diversos matem´ıas a ticos y cient´ ıficos: Juan, Daniel y Jacobo Bernouilli, L. Euler, J. D’Alembert, J.L. Lagrange, W. Hamilton, etc. Los modelos newtonianos, enunciados por Isaac Newton, y desarrollados algo m´s tarde por a Euler, fueron los primeros que lograron explicar satisfactoriamente al mismo tiempo el movimiento de los cuerpos celestes (observaciones de Kepler y otros sobre el movimiento de los planetas) y el de los cuerpos a escala humana (observaciones de Galileo sobre la ca´ de ıda los cuerpos). La Mec´nica Relativista, que suple la inexactitud de la mec´nica cl´sia a a ca para velocidades pr´ximas a la de la luz (teor´ de la relatividad o ıa restringida) o para campos gravitatorios muy intensos (teor´ de la reıa latividad generalizada). Ha sido propuesta por Albert Einstein en este mismo siglo, e involucra una complejidad matem´tica notablemente a mayor. La Mec´nica Cu´ntica, que surge de las observaciones de las part´ a a ıculas elementales, en las que intervienen acciones —productos de energ´ ıa por tiempo— tan peque˜as que son comparables a la constante de n Planck (Et ∼ h). En estos casos se aplica el principio de indeterminaci´n de Heisenberg, que establece la imposibilidad de medir de manera o precisa la posici´n y velocidad de la part´ o ıcula al mismo tiempo, valores que conocemos tan s´lo de manera probabilista. Tambi´n ha sido o e propuesta este mismo siglo (Congreso de Solvay de Bruselas en 1927), por un grupo de cient´ ıficos entre los que destacan L. de Broglie, E. Schr¨dinger y P. Dirac. o A pesar de las nuevas teor´ de la mec´nica surgidas recientemente, ıas a a a se puede afirmar que la mec´nica cl´sica constituye una teor´ coherenıa te, capaz de proporcionar interpretaciones suficientemente precisas para la mayor´ de los fen´menos que observamos. ıa o
  12. 12. Aptdo. 1.1. La Mec´nica como Teor´ Cient´ a ıa ıfica 1.3 La teor´ de la relatividad es de un orden m´s general que la mec´ıa a a nica cl´sica. Cuando la velocidad es peque˜a en relaci´n con la de la luz a n o y los campos gravitatorios no son muy intensos, sus predicciones corresponden con las de la mec´nica cl´sica. Sin embargo, es capaz interpretar a a correctamente otros fen´menos que la mec´nica cl´sica no explica de maneo a a 1 . Ser´ posible por tanto estudiar el movimiento de los objetos ra adecuada ıa cotidianos como un autom´vil o un bal´n, por ejemplo, mediante la teor´ o o ıa de la relatividad. Sin embargo, los modelos y los desarrollos matem´ticos a resultar´ de una complejidad extraordinaria, por lo que este m´todo es ıan e pr´cticamente inviable. a La mec´nica cl´sica, a pesar de lo que su nombre parece indicar, no a a constituye una teor´ muerta ni agotada en su desarrollo. En nuestros d´ ıa ıas se contin´a investigando, especialmente en campos como la mec´nica de u a medios continuos, o en los m´todos cualitativos para el estudio de sistee mas din´micos complejos (estabilidad de sistemas din´micos no lineales y a a movimientos de tipo ca´tico). o La Mec´nica de Medios Continuos es un subconjunto especializado de a la mec´nica cl´sica. En ella se estudia el movimiento y la deformaci´n de los a a o medios continuos (es decir, aqu´llos que no se pueden representar mediante e idealizaciones discretas con un n´mero finito de grados de libertad, como el u punto material o el s´lido r´ o ıgido). Los modelos m´s simples de la mec´nica a a de medios continuos son la teor´ de la elasticidad lineal y la de los fluidos ıa newtonianos, permitiendo estudiar respectivamente la deformaci´n de los o s´lidos el´sticos y las estructuras en r´gimen lineal y el flujo de los fluidos. o a e Recientemente, se han propuesto modelos m´s generales para comportaa mientos no lineales, as´ como m´todos y algoritmos muy potentes para su ı e resoluci´n num´rica mediante el ordenador (m´todo de los elementos finio e e tos). Es necesario tambi´n una investigaci´n experimental constante para e o conocer las propiedades mec´nicas de los nuevos materiales (o incluso de a los tradicionales, ya que algunos como el hormig´n o los suelos son todav´ o ıa insuficientemente conocidos). La Din´mica de sistemas no lineales complejos permite estudiar el coma portamiento de sistemas que no pueden ser caracterizados de manera de1 Un ejemplo lo constituye el corrimiento del perihelio (punto de la ´rbita m´s cercano o a al Sol) observado para algunos planetas, especialmente el de Mercurio, el planeta m´s a cercano al Sol y cuya ´rbita es la m´s exc´ntrica (salvo la de Plut´n). En efecto, se o a e o observa un avance de su perihelio de unos 574 segundos de arco por siglo, y considerando el efecto gravitacional de los restantes planetas, la din´mica cl´sica s´lo predice unos 531 a a o segundos por siglo. Los restantes 43 segundos son obtenidos de manera muy precisa por la teor´ de la relatividad, lo que constituye una contundente confirmaci´n de la misma. ıa o
  13. 13. 1.4 ´ Cap´ ıtulo 1. PRINCIPIOS DE LA MECANICA terminista. La aparente falta absoluta de orden en su respuesta es debida a menudo a una sensibilidad extrema a la variaci´n de las condiciones inio ciales u otros par´metros del sistema, lo que conduce a la denominaci´n de a o sistemas ca´ticos. Estos sistemas precisan ser analizados mediante m´o e todos cualitativos, propuestos a final del siglo pasado por H. Poincar´ y e Liapounov, en lugar de los m´todos cuantitativos y deterministas habituae les. Tambi´n en este caso el ordenador es una herramienta de gran utilidad. e Este curso est´ basado en la Mec´nica Cl´sica, desarrollada a partir de a a a los principios y teoremas newtonianos. Esta se aplicar´ fundamentalmente a a sistemas discretos formados por part´ ıculas o masas puntuales, s´lidos r´ o ıgidos, resortes, etc., aunque se har´ alguna incursi´n en medios deformables, a o como por ejemplo los cables. La mec´nica de medios continuos se tratar´ en a a otras asignaturas de cursos posteriores, como la resistencia de materiales, elasticidad y plasticidad, la geotecnia, el c´lculo de estructuras, la hidr´ulia a ca, etc. Sin embargo los conceptos b´sicos para todas estas asignaturas son a los mismos que se estudian en este curso de mec´nica. a Como se ha dicho, en la mec´nica juegan un papel importante las maa tem´ticas, ya que se basa en modelos matem´ticos que interpreten las oba a servaciones experimentales. El aparato matem´tico en algunos casos puede a resultar de cierta complejidad. Es importante no perder de vista, sin embargo, el sentido f´ ısico de los conceptos: Las matem´ticas no son un fin en a s´ sino un medio para interpretar conceptos y fen´menos f´ ı, o ısicos. Aunque los modelos matem´ticos empleados aqu´ puedan ser m´s generales (y m´s a ı a a complejos por tanto) que los estudiados en cursos anteriores, no conviene que oscurezcan nunca la interpretaci´n f´ o ısica intuitiva de los conceptos. Uno de los postulados esenciales de la mec´nica es la causalidad detera minista, lo que ha permitido superar interpretaciones m´gicas o religiosas a existentes anta˜o para algunos fen´menos, como el movimiento de los astros n o y otros fen´menos del firmamento celeste. A´n en nuestros d´ existen pero u ıas sonas que creen en dicho tipo de interpretaciones (por ejemplo los astr´logos o y sus seguidores), fruto por lo general de la ignorancia o del miedo a la verdad cient´ ıfica. Sin embargo, conviene admitir que, en ciertas situaciones, el postulado de la causalidad determinista en sentido estricto es cuestionable, siendo necesario acudir a m´todos probabilistas para describir los fen´mee o nos (como en la mec´nica estad´ a ıstica, basada en la causalidad probabilista) o a m´todos cualitativos de an´lisis (por ejemplo en los sistemas ca´ticos, e a o en los que no es posible predecir el movimiento como ecuaciones horarias, ya que cualquier peque˜a perturbaci´n inicial lo modifica). En cualquier n o caso, es conveniente evitar un exceso de celo en la aplicaci´n de los modeo los deterministas de la mec´nica, ya que no debemos olvidar que nuestra a
  14. 14. Aptdo. 1.2. Sistemas de Referencia; Espacio y Tiempo 1.5 percepci´n de la realidad f´ o ısica es necesariamente subjetiva. Por otra parte, se postula tambi´n la capacidad de definir un conjunto e de causas suficientemente reducido para explicar los fen´menos. Las cauo sas muy alejadas en el espacio o en el tiempo no tienen efecto sobre las observaciones de fen´menos presentes. Esto tambi´n es cuestionable para o e interpretaciones muy generales: No es posible prescindir de la estructura del cosmos en el instante posterior a la primera gran explosi´n (big-bang) para o explicar la existencia de las galaxias, estrellas y planetas actuales; asimismo parece que algunos fen´menos cosmol´gicos no se pueden interpretar o o sin recurrir a la materia oscura existente en el universo, de naturaleza a´n u desconocida (agujeros negros, neutrinos,. . . ). 1.2. Sistemas de Referencia; Espacio y Tiempo Los fen´menos mec´nicos se describen mediante sistemas de refereno a cia2 , basados en los conceptos de espacio y tiempo. Por su importancia conviene enunciar los postulados que asume la mec´nica cl´sica para estos a a conceptos. El espacio, y por tanto su m´trica, tiene las propiedades siguientes. e 1. Independencia de los objetos en ´l inmersos. (La m´trica del espacio e e no se ve afectada por los mismos.) 2. Constancia a lo largo del tiempo. 3. Homogeneidad: es igual en todos los puntos, no existiendo puntos privilegiados. 4. Isotrop´ es igual en todas las direcciones, no existiendo direcciones ıa: privilegiadas. El espacio se caracteriza por una m´trica Eucl´ 3 , lo que lo convierte e ıdea en un espacio puntual Eucl´ ıdeo en 3 dimensiones, R3 . El tiempo se caracteriza a su vez por las siguientes propiedades. 1. Homogeneidad, al no existir instantes privilegiados. e a ıculas o cuerpos 2 No se debe confundir el t´rmino sistema mec´nico (conjunto de part´ cuyo movimiento se desea estudiar) con sistema de referencia (triedro de ejes, coordenadas o par´metros que sirven para describir dicho movimiento). a 3 La distancia entre dos puntos definidos por sus coordenadas cartesianas rectangulares p (x1 , y1 , z1 ) y (x2 , y2 , z2 ) viene dada por d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
  15. 15. ´ Cap´ ıtulo 1. PRINCIPIOS DE LA MECANICA 1.6 2. Fluye constantemente en un sentido, por lo que no se puede retroceder ni volver al pasado (desgraciadamente para algunos). Asimismo, los fen´menos futuros no pueden condicionar los presentes. No se cumple o por tanto la isotrop´ existiendo un unico sentido en el que puede ıa, ´ discurrir el tiempo. 3. Simultaneidad absoluta: Los fen´menos considerados simult´neos pao a ra dos observadores en sendos sistemas de referencia, lo son asimismo para cualquier otro observador ligado a cualquier otro sistema de referencia. En mec´nica cl´sica, el tiempo se considera una variable de naturaleza a a distinta de las variables espaciales, y la m´trica eucl´ e ıdea no est´ influenciada a por ´l. e Algunos de estos postulados b´sicos no son aceptados por la mec´nica a a relativista. La teor´ de la relatividad restringida establece una referencia ıa en cuatro dimensiones espacio-tiempo. La teor´ de la relatividad general ıa establece un espacio curvado, con m´trica Riemanniana no Eucl´ e ıdea, debido a la presencia de masas que condicionan dicha m´trica. De esta forma el e espacio no ser´ independiente de los objetos en ´l inmersos. ıa e 1.3. Principio de la Relatividad de Galileo El principio de la relatividad galileana4 establece que: ‘Dos sistemas de referencia en movimiento relativo de traslaci´n o rectil´ ınea uniforme son equivalentes desde el punto de vista mec´nico; es decir, los experimentos mec´nicos se desarrollan de a a igual manera en ambos, y las leyes de la mec´nica son las misa mas.’ Uno de los ejemplos puestos por Galileo es el de un observador viajando en un barco que navega pl´cidamente sobre un r´ en contraste con un a ıo, observador fijo en la orilla. Ambos interpretan de la misma manera la ca´ ıda de un cuerpo hacia el suelo en su propio sistema, que como sabemos sigue un movimiento vertical uniformemente acelerado. 4 Galileo Galilei, Discursos y demostraciones en torno a dos ciencias nuevas relacionadas con la mec´nica, 1602. Galileo, que vivi´ entre 1564 y 1642, realiz´ contribuciones a o o importantes a la mec´nica y a la astronom´ estudiando por primera vez los cielos mea ıa, diante el telescopio que dise˜o ´l mismo. Fue condenado como hereje por la inquisici´n n´ e o cat´lica, que no aceptaba su teor´ seg´n la cual la tierra gira alrededor del sol. o ıa u
  16. 16. Aptdo. 1.3. Principio de la Relatividad de Galileo 1.7 Transformaci´n de Galileo5 .— Sea un sistema m´vil (O x y z ), que se o o traslada respecto a otro fijo (Oxyz) con velocidad v, manteni´ndose paralee los los ejes de ambos. Puesto que podemos elegir las direcciones del triedro T T y y v ¨ ¨¨ O ¨ ¨ % ¨¨ z x E E x ¨ ¨¨ O ¨ E ¨ ¨¨ z % (Oxyz) (O x y z ) ıneo y uniFigura 1.1: Sistemas de referencia en movimiento relativo rectil´ o forme, con velocidad v en la direcci´n de Ox de referencia, elegimos la direcci´n Ox seg´n la direcci´n de la velocidad o u o de traslaci´n (recordemos que el espacio es es is´tropo, por lo que es l´ o o ıcito elegir una orientaci´n arbitraria para los ejes, sin p´rdida de generalidad). o e Consideraremos tambi´n que Inicialmente (para t = 0) O y O coinciden. e Sean (x, y, z) las coordenadas de un punto en el sistema fijo, (x , y , z ) en el m´vil y v el m´dulo de la velocidad. Las ecuaciones de transformaci´n o o o para las coordenadas son:   x = x − vt y =y  z =z (1.1) Derivando sucesivamente6 , obtenemos las velocidades y aceleraciones en 5 En el apartado 6.3.5 se ofrece una generalizaci´n de esta transformaci´n y se discute o o la relaci´n de las simetr´ que expresa (invariancias cuando se produce la transformaci´n) o ıas o con las constantes del movimiento y los principios de conservaci´n. o 6 En lo sucesivo se emplear´ la notaci´n de uno o dos puntos superpuestos para indicar a o def def e ˙ ¨ derivadas (totales) respecto al tiempo: x = dx/dt, x = d2 x/dt2 . Tambi´n emplearemos la notaci´n mediante negritas para identificar vectores o tensores: a ≡ {ai }, I ≡ [Ikl ]. o
  17. 17. ´ Cap´ ıtulo 1. PRINCIPIOS DE LA MECANICA 1.8 ambos sistemas:  ˙ ˙  x =x−v y =y ˙ ˙  z =z ˙ ˙  ¨ ¨  x =x y =y ¨ ¨  z =z ¨ ¨ Se observa por tanto que las derivadas segundas (aceleraciones) coinciden. Esto nos permite intuir —admitiendo como postulado el principio de la relatividad galileana— que las leyes de la din´mica est´n basadas a a en las derivadas segundas respecto al tiempo, unica forma de que las leyes ´ sean invariantes cumpli´ndose dicho principio. En efecto, seg´n sabemos, el e u estado de un sistema formado por un part´ ıcula en movimiento seg´n una u direcci´n fija se caracteriza en un instante dado por su posici´n y su veloo o cidad (x, x). La evoluci´n del movimiento viene gobernada por la ecuaci´n ˙ o o din´mica (F = m¨). a x 1.4. Las Leyes de Newton Formuladas por Isaac Newton en su obra Philosophiae Naturalis Principia Matematica (1686), constituyen el primer intento de formular una base axiom´tica para una teor´ cient´ a ıa ıfica de la mec´nica. Debe aclararse a que no fueron formuladas por Newton de forma precisa como se suelen recoger hoy en d´ en los libros de texto. Tambi´n debe advertirse que en sentido ıa e riguroso no recogen de forma completa toda la axiom´tica necesaria para a la mec´nica cl´sica, siendo necesario incorporar aportaciones adicionales de a a Euler, Cauchy y otros. A pesar de esto, la publicaci´n de los principia o constituye un hito monumental de enorme valor, sobre el que se cimienta la mec´nica cl´sica. a a Para aclarar el modelo axiom´tico de Newton citaremos aqu´ textuala ı 7 . Newton parte en primer lugar de cuatro definimente de los Principia ciones: ‘DEFINICION PRIMERA. La cantidad de materia es la medida de la misma originada de su densidad y volumen conjuntamente.’ ‘DEFINICION II. La cantidad de movimiento es la medida del mismo obtenida de la velocidad y de la cantidad de materia conjuntamente.’ ‘DEFINICION III. La fuerza ´ ınsita de la materia es una capacidad de resistir por la que cualquier cuerpo, por cuanto 7 Las citas han sido extra´ ıdas de Isaac Newton, Principios Matem´ticos de la Filosof´ a ıa Natural (2 tomos), traducci´n espa˜ola de Eloy Rada, Alianza Editorial, 1987. o n
  18. 18. Aptdo. 1.4. Las Leyes de Newton 1.9 de ´l depende, perservera en su estado de reposo o movimiento e uniforme y rectil´ ıneo.’ ‘DEFINICION IV. La fuerza impresa es la acci´n ejercida o sobre un cuerpo para cambiar su estado de reposo o movimiento uniforme y rectil´ ıneo.’ La definici´n primera (cantidad de materia de un cuerpo) equivale a lo o que conocemos por masa. La tercera caracteriza las denominadas fuerzas de inercia, mientras que la cuarta se refiere a las fuerzas propiamente dichas. Realizadas estas definiciones, Newton enuncia sus conocidas tres leyes o principios fundamentales: ‘LEY PRIMERA. Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento rectil´ ıneo y uniforme a no ser en tanto que sea obligado por fuerzas impresas a cambiar su estado.’ Esta ley constituye el llamado principio de la inercia. Admitiendo tambi´n el principio de Galileo, nos permite definir los llamados sistemas inere ciales, como aquellos en los que se cumple dicho principio. Las leyes de la mec´nica se formulan en un sistema inercial de referencia. Por el principio a de Galileo, admitiendo que existe al menos un tal sistema inercial, existir´n a infinitos sistemas inerciales en los que se cumplen las mismas leyes mec´a nicas y en concreto la ley primera de Newton: todos aquellos relacionados entre s´ mediante transformaciones de Galileo (1.1), es decir, que se mueven ı con velocidad rectil´ ınea y uniforme respecto al primero. Este principio nos permite tambi´n definir, como condiciones iniciales e del movimiento, las que caracterizan a un movimiento estacionario o consdef ˙ tante: la posici´n r y la velocidad v = r. o Conviene observar tambi´n que Newton emplea el t´rmino cuerpo e e para referirse en realidad a una part´ ıcula, o punto material, caracterizada por la posici´n y velocidad de un solo punto8 . o ‘LEY II. El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre seg´n la l´ u ınea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.’ Esta ley indica claramente una relaci´n lineal (proporcional) entre o fuerzas y variaciones de la cantidad de movimiento, de tipo vectorial (seg´n u 8 El tratamiento de los s´lidos r´ o ıgidos, as´ como el de sistemas generales formados ı por varias part´ ıculas, requiere de diversos principios y teoremas adicionales que fueron propuestos por L. Euler. De esto se tratar´ en los cap´ a ıtulos 6 y 8.
  19. 19. ´ Cap´ ıtulo 1. PRINCIPIOS DE LA MECANICA 1.10 la l´ ınea recta). Se denomina en ocasiones ley fundamental de la din´mica, a permitiendo obtener las ecuaciones b´sicas de la misma. Expresada como a ecuaci´n, equivale a: o ∆ (mv) = F ∆t . cant. de movto. impulsi´n o Pasando al l´ ımite, para un incremento infinitesimal de tiempo, obtenemos la relaci´n diferencial siguiente: o d(mv) = F dt. def O bien, llamando cantidad de movimiento a p = mv, ˙ p= dp = F. dt Admitiremos en principio que la masa de un cuerpo se conserva. As´ pues, ı se llega a la conocida expresi´n que define la ley del movimiento de una o part´ ıcula: F = ma, (1.2) def ˙ o o donde a = v = dv/dt. Cabe realizar en relaci´n con esta f´rmula las siguientes Observaciones: – La aceleraci´n, derivada segunda del vector posici´n, es asimismo un o o vector. La ecuaci´n (1.2) tiene por tanto car´cter vectorial, lo que o a identifica a las fuerzas como vectores, e impl´ ıcitamente supone la aditividad vectorial para las mismas (ley del paralelogramo de fuerzas). – La expresi´n (1.2) da lugar a ecuaciones diferenciales de segundo oro den, ya que intervienen derivadas segundas de la inc´gnita r respecto o al tiempo. ‘LEY III. Con toda acci´n ocurre siempre una reacci´n igual y o o contraria. O sea, las acciones mutuas de los cuerpos siempre son iguales y dirigidas en direcciones opuestas.’ Se trata del llamado principio de acci´n y reacci´n. Todas las fuerzas o o deben de tener contrapartida, siendo imposible ejercer una fuerza desde el vac´ sin apoyo. Es siempre necesario apoyarse en alg´n cuerpo o medio ıo, u material que absorba la reacci´n (modificando a su vez el movimiento de o este otro cuerpo, seg´n la segunda ley). u
  20. 20. Aptdo. 1.5. Conceptos de Masa y Fuerza 1.11 Ejemplo 1.1: Fuerza ejercida desde la superficie de la Tierra. Todo cuerpo cercano a la tierra, tanto en estado de movimiento (ca´ libre) o en reposo ıda sobre el suelo, recibe una fuerza (denominada peso) ejercida por la tierra, que lo mueve en el primer caso o lo mantiene inm´vil en el segundo. El o cuerpo a su vez ejerce sobre la tierra una fuerza igual y contraria, aunque esta ultima, debido a la gran masa de la tierra, produce un efecto muy ´ peque˜o sobre nuestro planeta. n Ejemplo 1.2: Movimiento de un cohete en el vac´ Una fuerza no se puede ıo. ejercer sobre el vac´ necesitando siempre aplicarse sobre otro cuerpo (que ıo, a su vez producir´ una reacci´n igual sobre el primero). Para moverse —o a o m´s bien acelerar o frenar, es decir, variar el movimiento— en el vac´ a ıo, un cohete o sonda espacial necesita apoyarse sobre alg´n medio. Esto se u consigue mediante masa expulsada por la tobera, medio en el cual se apoya el cohete, a trav´s de la expulsi´n de los gases del combustible quemado, e o propulsi´n i´nica, plasma, u otros medios. De este tema se tratar´ en el o o a cap´ ıtulo 6.6. 1.5. Conceptos de Masa y Fuerza; Discusi´n de o las Leyes de Newton Las leyes de Newton reposan sobre las definiciones b´sicas de masa y a fuerza. Sin embargo, examinando dichas leyes con esp´ ıritu cr´ ıtico, es f´cil a ver que las definiciones realizadas por Newton de estos conceptos adolecen de algunas deficiencias. La definici´n de fuerza (definici´n IV, p´g. 1.9) es claramente circular o o a con la primera ley. En efecto, se podr´ entender ´sta como una definici´n ıa e o de fuerza, obviando la definici´n anterior dada por Newton. A´n aceptando o u esto, tampoco se puede considerar esta ley como una definici´n precisa o de fuerza, ya que no proporciona una manera de medir su valor de forma cuantitativa. En realidad tan s´lo se podr´ deducir de la primera ley cu´ndo o ıa a la fuerza es nula o cu´ndo no lo es. La segunda ley sin embargo s´ se puede a ı interpretar como una definici´n cuantitativa de fuerza, pero ´sto la privar´ o e ıa a su vez de su consideraci´n como principio. o En cuanto a la definici´n de masa (definici´n I, p´g 1.8), Newton la o o a refiere a la densidad (ρ) y volumen (V ) que integran un cuerpo (M = ρV ). ¿Cu´l ser´ entonces la definici´n de densidad? Es dif´ aceptar que la a ıa o ıcil densidad sea un concepto m´s fundamental que el de masa. a Un procedimiento aparentemente m´s riguroso para definir la masa es a
  21. 21. ´ Cap´ ıtulo 1. PRINCIPIOS DE LA MECANICA 1.12 el debido a E. Mach9 (1858-1916), que resumimos a continuaci´n. o Sean dos part´ ıculas, a y b, formando un sistema binario aislado. Expresando la segunda ley de Newton para la part´ ıcula a: ma aa = F ab , donde F ab es la fuerza ejercida sobre a por b. An´logamente para b, a mb ab = F ba = −F ab , por la 3.a ley de Newton. As´ ı, ma aa = −mb ab , y empleando los m´dulos de las aceleraciones aa y ab , o mb aa =− . ma ab Suponiendo la masa ma como valor de referencia o definici´n de unio dad de masa, este procedimiento nos permite medir la masa de cualquier part´ ıcula b a partir de la medici´n de las aceleraciones ab y aa . o Aunque aqu´ por clarificar la explicaci´n, se ha llegado a esta definici´n ı, o o partiendo de las leyes de Newton, ser´ posible considerarla como definici´n ıa o b´sica de masa, para comprobar posteriormente que, efectivamente, es cona sistente con las leyes de Newton. De esta forma, con el esp´ ıritu cr´ ıtico mencionado, cabr´ considerar las ıa leyes primera y segunda de Newton como definiciones de fuerza, con lo que la unica ley que expresa un postulado b´sico de la mec´nica ser´ la ley ´ a a ıa tercera. Seg´n Mach por tanto, es la ley tercera de Newton (principio de u acci´n y reacci´n) la que reviste mayor importancia en la axiom´tica de la o o a mec´nica cl´sica. a a En relaci´n con esta ultima ley, puede ser objeto de cierta pol´mica la o ´ e consecuencia impl´ ıcita de existencia de acciones a distancia, es decir acciones que se propagan de manera instant´nea (con velocidad infinita). En a efecto, si se suponen dos cuerpos alejados entre s´ con fuerzas de interacı ci´n centrales (dirigidas seg´n la recta que las une), y uno de ellos sufre o u un cambio de posici´n, la ley de acci´n y reacci´n obligar´ a que la fuero o o ıa za de reacci´n sobre la otra part´ o ıcula modificase su direcci´n de manera o 9 E. Mach, The science of mechanics, traducci´n al ingl´s, Open Court, 1902. o e
  22. 22. Aptdo. 1.5. Conceptos de Masa y Fuerza 1.13 instant´nea10 . a En la realidad f´ ısica parece que no existen tales interacciones instant´a neas; respondiendo a ello la teor´ de la relatividad restringida establece un ıa l´ ımite a la velocidad de propagaci´n de las interacciones, que es la velocidad o de la luz en el vac´ (c). Esto origina una cierta inexactitud de la mec´nica ıo a cl´sica, error que sin embargo es muy peque˜o para las fuerzas gravitatorias a n o el´sticas en objetos cotidianos. a Conviene observar tambi´n que de la tercera ley se pueden hacer dos e e enunciados. En su forma d´bil, ci˜´ndose estrictamente al enunciado Newne toniano, establece que las fuerzas son iguales en magnitud y direcci´n y de o sentido opuesto. Sin embargo, no presupone que tengan la misma direcci´n o que la recta que une a las dos part´ ıculas sobre las que act´an. En el caso u en que s´ se verifique esta ultima hip´tesis m´s restrictiva, se dice que se ı ´ o a cumple el principio de acci´n y reacci´n en su forma fuerte, siendo las fuero o zas centrales. En numerosos casos pr´cticos se verifican ambos enunciados a del principio de acci´n y reacci´n, como son las fuerzas gravitatorias, el´so o a ticas, o electrost´ticas. Sin embargo, existen fen´menos importantes en los a o que no se verifica en ninguna de sus dos formas. Estos casos corresponden a fuerzas que dependen de la velocidad, ligadas por lo general a campos que se propagan con velocidad finita, como son las fuerzas electrodin´micas a debidas a cargas en movimiento. En resumen, podemos clasificar las fuerzas citadas esquem´ticamente a como sigue. Fuerzas centrales: Est´n asociadas a campos que suponen una acci´n a o a distancia, propag´ndose por tanto de manera instant´nea. Se trata a a de fuerzas dirigidas hacia las part´ ıculas que las originan, cumpliendo la tercera ley de Newton en su forma fuerte. En mec´nica cl´sica se a a admite esta hip´tesis como adecuada para algunos de los tipos m´s o a usuales de fuerzas: • Fuerzas gravitatorias. La hip´tesis de fuerza central e instant´o a nea se considera adecuada para las mediciones en escalas usuales. Sin embargo, para mediciones a escalas astron´micas o cosmol´o o gicas se trata de una hip´tesis cuestionable. Ser´ m´s correcto o ıa a 10 Hist´ricamente ha existido siempre, antes y despu´s de Newton, una contestaci´n a o e o la posibilidad de tales acciones a distancia. Antiguamente se defend´ que todo el espacio ıa ´ estaba lleno de una sustancia invisible, llamada Eter, veh´ ıculo transmisor de las fuerzas. Este concepto sobrevivi´ a Newton, alcanzando su mayor predicamento dos siglos despu´s o e para explicar el campo electromagn´tico, siendo la Teor´ de la Relatividad la que acab´ e ıa o de desterrarlo.
  23. 23. ´ Cap´ ıtulo 1. PRINCIPIOS DE LA MECANICA 1.14 z ¨¨ ¨ % ¨ F ba   b z   b    F © ba F ab F ab B ¨ ¨ z¨ ¨   z   a     a a) Fuerzas centrales b) Fuerzas no centrales Figura 1.2: Las fuerzas centrales est´n dirigidas seg´n la recta que une los a u cuerpos, mientras que las fuerzas no centrales no verifican esta hip´tesis, o a´n siendo iguales en magnitud y direcci´n y de sentido opuesto. u o interpretarlas mediante ondas de gravedad, que se propagan con la velocidad de la luz. • Fuerzas electrost´ticas o magnetost´ticas, de atracci´n o repula a o si´n debidas a cargas el´ctricas o magn´ticas en reposo. Al igual o e e que en el caso gravitatorio, de forma rigurosa para escalas astron´micas puede ser necesario considerar la transmisi´n de dichas o o fuerzas a trav´s de ondas electromagn´ticas. e e • Fuerzas el´sticas, ejercidas entre las part´ a ıculas en contacto de un medio continuo. Por lo general, podr´ admitirse que son maniıa festaciones macrosc´picas de las fuerzas electrost´ticas entre las o a mol´culas. e Fuerzas no centrales: ocurren, por lo general, cuando las interacciones dependen de la velocidad, estando asociadas a campos que se propagan con velocidad finita: • Fuerzas Electromagn´ticas; cuando son debidas a cargas m´viles e o pueden no cumplir tampoco el principio de acci´n y reacci´n en o o su forma d´bil. e Debe quedar claro que en este curso admitiremos la hip´tesis de fuerzas o centrales, por lo que ser´ v´lido el principio de acci´n y reacci´n en su a a o o forma fuerte. La definici´n de masa seg´n el procedimiento de Mach arriba descrito o u no proporciona sin embargo un m´todo viable para medirla. Ser´ pr´ce ıa a ticamente imposible aislar completamente un sistema binario y al mismo
  24. 24. Aptdo. 1.6. La Ley de la Gravitaci´n Universal o 1.15 tiempo realizar mediciones. Una forma m´s pr´ctica de medir la masa, auna a que de forma indirecta, es con una balanza de resorte. En ´sta lo que se e mide directamente es el peso, o atracci´n gravitatoria hacia el centro de la o Tierra. Basta dividir el peso (w) por la aceleraci´n de la gravedad en la o superficie de la Tierra (g) para obtener la masa11 : w = mg 1.6. ⇒ m= w . g La Ley de la Gravitaci´n Universal o Newton fue el primero en explicar el movimiento, tanto de los cuerpos celestes —proporcionando la explicaci´n matem´tica de las leyes observao a das por Kepler para el movimiento de los planetas en ´rbitas el´ o ıpticas—, como de los terrestres —la famosa ca´ de la manzana—, a partir de una ıda unica ley para las fuerzas: la ley de la gravitaci´n universal. Anteriormente, ´ o los estudios y teor´ de la mec´nica hab´ buscado explicaciones separaıas a ıan das para ambos fen´menos. Kepler hab´ deducido del an´lisis minucioso o ıa a de las observaciones experimentales que los planetas describ´ elipses con ıan foco en el Sol, as´ como la constancia de la velocidad areolar y el per´ ı ıodo de estos movimientos orbitales (aptdo. 5.5). A su vez, Galileo hab´ caracteıa rizado el movimiento de ca´ uniformemente acelerado de los graves, por ıda —seg´n la leyenda— experimentos desde la torre inclinada de Pisa. Todas u estas descripciones eran emp´ ıricas, sin una justificaci´n basada en modelos o matem´ticos coherentes. a La ley de la gravitaci´n universal propuesta por Newton establece que o 12 cualesquiera se produce una fuerza gravitatoria de entre dos cuerpos atracci´n, proporcional al producto de las masas respectivas y al inverso o del cuadrado de la distancia entre los mismos. La expresi´n de esta fuerza, o en m´dulo, es o Mm F =G 2 , r 11 No debe originar confusi´n la existencia de dos unidades con el mismo nombre para o caracterizar magnitudes distintas: el kg de masa, y el kg de fuerza o kilopondio (kp), definido como el peso de 1 kg de masa en la superficie de la tierra, considerando un valor medio constante de la aceleraci´n de la gravedad (1 kg fuerza o 9,81 N). Ello permite hablar —afortunadamente para los tenderos, fruteros, pescaderos y dem´s gremios poco a interesados en la filosof´ de la mec´nica durante su quehacer cotidiano— simplemente ıa a de kg, sin necesitar especificar si se trata de masa o de peso, ya que en la superficie de la tierra ambos son equivalentes, al menos en una primera aproximaci´n en que g se o suponga constante. 12 Debe entenderse cuerpo en el sentido de part´ ıcula, tal y como emplea Newton este t´rmino (p´g. 1.9). e a
  25. 25. ´ Cap´ ıtulo 1. PRINCIPIOS DE LA MECANICA 1.16 y en forma vectorial Mm (1.3) r, r3 donde F representa la fuerza ejercida por la masa M sobre m, y r es el vector que las une, con origen en M y extremo en m. En la mec´nica cl´sica, la fuerza gravitatoria es una acci´n a distancia a a o que, de manera muy aproximada, podemos suponer se transmite de forma instant´nea, sin necesitar de ning´n medio material para ello. As´ cada maa u ı, sa M crea un campo de fuerzas gravitatorio, campo vectorial caracterizado en cada punto por una intensidad i: F = −G def i = −G M r; r3 a e La fuerza ejercida sobre un cuerpo de masa m ser´ el producto de ´sta por la intensidad del campo, F = mi = −G Mm r. r3 T m u r     ¨¨ ¨ ¨¨ % x   ¨¨           ©     i= F   Figura 1.3: Atracci´n gravitatoo ria entre dos masas M y m, situadas a distancia r m   E M La teor´ de la relatividad general elimina las fuerzas gravitatorias; para ıa ello, interpreta el efecto de las masas como una modificaci´n a la m´trica o e espacio-tiempo, que resulta ser Riemanniana en lugar de Eucl´ ıdea. As´ en ı, esta nueva m´trica, las trayectorias de las part´ e ıculas corresponden a las geod´sicas del espacio-tiempo, que vendr´ a ser las ecuaciones horarias e ıan del movimiento13 . 13 En la mec´nica cl´sica la trayectoria seguida por una part´ a a ıcula sometida a la acci´n o gravitatoria de otra es una c´nica, como se ver´ en el cap´ o a ıtulo 5. Podr´ ıamos plantearnos,
  26. 26. Aptdo. 1.6. La Ley de la Gravitaci´n Universal o 1.6.1. 1.17 Masa Gravitatoria y Masa Inerte. En principio, el concepto de masa que interviene en la ley de la gravitaci´n no tendr´ porqu´ coincidir con la masa empleada para la ley II de o ıa e Newton; en el primer caso sirve para definir la fuerza gravitatoria, mientras que en el segundo define la fuerza de inercia. Podemos distinguirlas por tanto denomin´ndolas mg (masa gravitatoria) y mi (masa inerte). a Existe, sin embargo, una observaci´n experimental: en la superficie de o la tierra todos los cuerpos caen en el vac´ hacia el suelo con la misma ıo aceleraci´n (g). Sea un cuerpo cualquiera en la superficie de la tierra; su o peso es Mg mg w=G , R2 donde Mg y mg son las masas respectivas (gravitatorias) de la Tierra y del cuerpo, R es el radio de la tierra (suponemos el cuerpo a una altura n h peque˜a, por lo que R + h ≈ R), y G es la constante de la gravitaci´n o universal. Empleando la segunda ley de Newton, se puede relacionar el peso con la aceleraci´n que experimenta el cuerpo: o w = mi g, siendo mi la masa (inercial) del mismo. Igualando ambas expresiones de w se obtiene: Mg G mi = . mg gR2 constante As´ el cociente mi /mg permanece constante. Ya que G es una constante ı, cuyo valor puede ser cualquiera, es posible elegir el mismo de forma que este cociente sea la unidad. De esta forma, ambas masas tendr´ siempre ıan igual valor: mi ≡ mg . Para ello, el valor de la constante de la gravitaci´n universal ha de ser o G= gR2 . M en la teor´ de la relatividad general, qu´ trayectoria seguir´ un cuerpo en un universo ıa e ıa homog´neo, pero en cualquier caso no resulta ser una c´nica. En un caso sencillo, con una e o unica masa aislada, la m´trica de Schwarzschild creada por ´sta conduce a ´rbitas que no ´ e e o se cierran, lo que puede explicar algunos fen´menos bien conocidos como el corrimiento o del perihelio de Mercurio.
  27. 27. 1.18 ´ Cap´ ıtulo 1. PRINCIPIOS DE LA MECANICA Consideraciones sobre el universo.— Supongamos que el universo tiene un tama˜o finito, y que, de forma aproximada, se puede idealizar n como una esfera, con una distribuci´n de masa de densidad media ρ. Sea o un cuerpo de masa m, situado a una distancia R del centro de dicha esfera; este experimentar´ una fuerza atractiva hacia el centro del universo de ıa valor: mG 4 4 3 πR ρ = πρmGR. F = 3 R2 3 masa esfera As´ todos los cuerpos del universo experimentar´n una aceleraci´n hacia el ı, a o centro de aqu´l de valor creciente proporcionalmente a su distancia R. Si e esto fuese as´ desde un punto distinto del centro del universo se observar´ ı, ıa un movimiento diferente de las estrellas y galaxias seg´n las distintas direcu ciones de observaci´n; en la direcci´n del radio creciente, la aceleraci´n ser´ o o o ıa mayor, mientras que en la opuesta disminuir´ Sin embargo, esto no parece ıa. concordar con las observaciones experimentales medidas desde la Tierra. ¿C´mo se puede explicar esto, admitiendo que el universo es finito? o u Una posible explicaci´n ser´ una teor´ antropoc´ntrica, seg´n la que o ıa ıa e el planeta Tierra tendr´ el inmenso privilegio de estar situado justo en ıa el centro del universo. De esta forma, nuestras observaciones deber´ ser ıan iguales en cualquier direcci´n, ya que todas ser´ radiales. Sin embargo, o ıan fuera de creencias pseudo-religiosas, la teor´ antropoc´ntrica parece poco ıa e probable. M´s bien, la observaci´n anterior podr´ explicarse por una de a o ıa las siguientes dos hip´tesis: o 1. El universo es homog´neo, is´tropo e infinito. Sin embargo, esta sue o posici´n es incompatible con la teor´ generalmente aceptada en la o ıa, actualidad, del Big-Bang como origen del universo. Esta primera explosi´n primigenia ocurri´ al parecer hace unos diez mil millones o o de a˜os, lo que establece un l´ n ımite para el tama˜o del universo. n 2. El universo es finito, pero con una m´trica no eucl´ e ıdea, en la que todos los puntos pueden considerarse el centro de los dem´s. Esta ultima a ´ hip´tesis es la que parece m´s plausible, quedando por discutir el tipo o a de m´trica, para lo cual existen a su vez distintas teor´ e ıas. E. Mach interpret´ la acci´n gravitatoria del resto del universo como o o responsable de la inercia de los cuerpos. As´ ser´ la masa del universo lejaı, ıa no la encargada de mantener un cuerpo con velocidad uniforme y rectil´ ınea o en reposo ante la ausencia de otras fuerzas cercanas. Esto podr´ ser una ıa
  28. 28. Aptdo. 1.6. La Ley de la Gravitaci´n Universal o 1.19 bonita teor´ pero Mach lo dej´ planteado tan s´lo como una especulaci´n, ıa, o o o que carece de una justificaci´n rigurosa. o Tipos de fuerzas en el universo.— Las fuerzas gravitatorias no son las unicas que existen en el universo f´ ´ ısico. De forma esquem´tica se pueden a distinguir cuatro tipos fundamentales de fuerzas, siendo las dem´s manifesa taciones macrosc´picas de ´stas. o e 1. Fuerzas gravitatorias. Aunque en la mec´nica cl´sica se consideran a a como acciones a distancia, de propagaci´n instant´nea, en la realidad o a parece que se propagan con velocidad finita. Esta propagaci´n se reao liza mediante las llamadas ondas gravitatorias. En la interpretaci´n o dual onda/corp´sculo equivalen a las part´ u ıculas llamadas Gravitones14 . 2. Fuerzas electromagn´ticas. Est´n gobernadas por las ecuaciones de e a Maxwell del campo electromagn´tico. Se propagan mediante las One das electromagn´ticas, que incluyen la luz, ondas de radio, etc. Las e part´ ıculas equivalentes son los Fotones. 3. Fuerzas nucleares fuertes. Son las fuerzas que unen a las part´ ıculas en el n´cleo at´mico. Intervienen unicamente en la mec´nica cu´ntica. u o ´ a a Est´n asociadas a las part´ a ıculas denominadas Gluones. 4. Fuerzas nucleares d´biles. Son las fuerzas que intervienen en la desine tegraci´n nuclear. Asimismo intervienen en la mec´nica cu´ntica, y o a a las part´ ıculas asociadas son los Bosones. La publicaci´n por Newton de los Principia con la teor´ de la gravitao ıa ci´n universal supuso en su tiempo un avance importante para la mec´nica o a y para las matem´ticas, al interpretar de forma coherente y unificada dos a tipos de fen´menos que antes se consideraban obedecientes a leyes distino tas: el movimiento de los objetos terrestres y el de los objetos celestes. De manera similar, se busca hoy en d´ por parte de los f´ ıa, ısicos te´ricos y mao tem´ticos, una teor´ unificada que permita explicar, a partir de una causa a ıa com´n, los cuatro tipos de fuerzas que se observan en el universo. Sin emu bargo, es de prever que esta teor´ a´n en el improbable caso de poderse ıa, u obtener, ser´ mucho m´s compleja y engorrosa de utilizar que la mec´nica ıa a a cl´sica o los m´todos newtonianos. Por ello, a´n en la hip´tesis de que se a e u o 14 Aunque se han establecido diversos experimentos para detectar las ondas gravitatorias, a´n no se han llegado a medir de forma fehaciente, debido a su intensidad extremau damente baja.
  29. 29. 1.20 ´ Cap´ ıtulo 1. PRINCIPIOS DE LA MECANICA logre alg´n avance importante en esta l´ u ınea, es improbable que tenga repercusiones pr´cticas en la mec´nica aplicada a la ingenier´ campo que a a ıa, nos ocupa y en el cual la mec´nica cl´sica seguir´ teniendo plena vigencia. a a a
  30. 30. Cap´ ıtulo 2 Din´mica de la Part´ a ıcula o a a La part´ ıcula, o punto material, es la idealizaci´n m´s simple de la mec´nica, defini´ndose como un punto dotado de masa. Por lo general se puede e emplear este modelo cuando las dimensiones de un cuerpo sean lo suficientemente peque˜as como para suponer toda su masa concentrada en un n punto. Sin embargo, el criterio del tama˜o peque˜o no es siempre suficiente n n para establecer la validez de esta idealizaci´n. El modelo del punto mateo rial puede ser inadecuado en algunas situaciones, aunque las dimensiones del cuerpo sean peque˜as. Para ilustrar esta afirmaci´n, supongamos como n o ejemplo la ca´ de una bolita peque˜a por un plano inclinado bajo dos ıda n hip´tesis distintas: o ω = v/R ¨ ¨¨ ¨¨ u¨ ¨ ¨ ¨¨ ¨ ¨ ¨ ' ¨¨ u v ¨¨ ¨¨ % ¨¨ ¨¨ h ¨ ¨ 1) Rodando sin deslizar u v ¨ ¨¨ % ¨¨ ¨ ¨¨ ¨¨ ¨ ¨ u¨ ¨ ¨ ¨ ¨¨ ¨ 2) Deslizando Figura 2.1: Bolita cayendo por un plano inclinado, en las hip´tesis de roo dadura perfecta o deslizamiento sin rodadura 1) Rodando sin deslizar.— Planteamos la conservaci´n de la enero g´ al bajar una altura h. Para ello se tiene en cuenta la energ´ cin´tica ıa ıa e 2.1 h ¨ ¨
  31. 31. ´ Cap´ ıtulo 2. DINAMICA DE LA PART´ ıCULA 2.2 correspondiente a una esfera rodando, sumando el t´rmino correspondiente e a la traslaci´n del centro de masa, y el de rotaci´n como s´lido r´ o o o ıgido: 1 12 v mgh = mv 2 + mR2 2 25 R v= 10 gh = 1,195 7 2 gh 2) Deslizando.— En esta hip´tesis s´lo hay energ´ cin´tica de traso o ıa e laci´n: o 1 mgh = mv 2 2 v= 2gh = 1,414 gh En este segundo caso, que ser´ el correspondiente a la idealizaci´n como ıa o part´ ıcula, la velocidad de ca´ resulta ser un 18,32 % mayor. Esta diferencia ıda se manifiesta independientemente del tama˜o de la bolita, por peque˜a que n n ´sta sea. Baste este ejemplo para hacer notar que el concepto de part´ e ıcula es una idealizaci´n, no necesariamente v´lida en todos los casos aunque el o a cuerpo sea peque˜o. n Sin embargo, el modelo del punto material es una idealizaci´n sumao mente util, ya que en muchos casos se pueden estudiar independientemente ´ el movimiento de traslaci´n de un cuerpo (traslaci´n del centro de masas), o o y el movimiento de rotaci´n del mismo (alrededor del centro de masas). o Tambi´n es util para aplicar los m´todos de la mec´nica a partes elementae ´ e a les de sistemas mayores (part´ ıculas de un sistema, elementos diferenciales de volumen en un medio continuo, etc.). As´ en este cap´ ı, ıtulo se exponen los teoremas generales y se desarrollan los m´todos de c´lculo que m´s tarde e a a se generalizar´n a sistemas de varias part´ a ıculas. 2.1. Principios y Teoremas Generales 2.1.1. Cantidad de Movimiento Se llama cantidad de movimiento1 de una part´ ıcula a def p = mv. 1 En Ingl´s se emplea el t´rmino linear momentum o simplemente momentum, por e e lo que algunos autores emplean el t´rmino momento lineal (traducci´n literal del ingl´s) e o e en lugar de cantidad de movimiento.
  32. 32. Aptdo. 2.1. Principios y Teoremas Generales 2.3 El principio de la cantidad de movimiento se deduce como consecuencia directa de la segunda ley de Newton (apto 1.4): F = d ˙ (mv) = p. dt (2.1) En el caso usual de que la masa de la part´ ıcula no var´ 2 , se obtiene la ıe expresi´n cl´sica de la ley fundamental de la din´mica (1.2), Fuerza = o a a masa × aceleraci´n: o F = ma = m¨. r (2.2) Conviene recordar que, en esta expresi´n, F representa la resultante de o todas las fuerzas aplicadas sobre la part´ ıcula. Se deben incluir, mediante suma vectorial, tanto las fuerzas activas como las reacciones de apoyo o reacciones del medio. Cuando la fuerza total se anula, se obtiene el correspondiente teorema de conservaci´n: o si F = 0, p = cte. (2.3) Por lo tanto, el movimiento de una part´ ıcula aislada es tal que se conserva su cantidad de movimiento; es decir, su velocidad se mantiene constante, describiendo un movimiento rectil´ ıneo uniforme. 2.1.2. Momento Cin´tico e Sea una part´ ıcula m, dotada de una velocidad v y situada en un punto P . El momento cin´tico3 respecto a un punto fijo O, H O 4 , se define como el e momento de la cantidad de movimiento respecto a dicho punto. Tomando O como origen del sistema de referencia (inercial) Oxyz, def H O = r ∧ mv; derivando respecto del tiempo: dH O ˙ ˙ = r ∧ mv + r ∧ mv dt =0+r∧F MO 2 Estrictamente hablando, la masa de una part´ ıcula es siempre invariable; al hablar de ıculas casos en los que m sea variable, nos referimos a cuerpos que pierdan o ganen part´ de masa (ver cap´ ıtulo 6.6). 3 En las traducciones literales de la terminolog´ anglosajona se emplea el t´rmino ıa e momento angular. 4 Otros autores emplean notaciones distintas para referirse al momento cin´tico: OK e (M. Roy, Fern´ndez Palacios), LO (Marion, Goldstein, Griffiths) a
  33. 33. ´ Cap´ ıtulo 2. DINAMICA DE LA PART´ ıCULA 2.4 T z HO P um  f r = OP   f   fv   f   ff x     i €€ €€ €  ¨ ¨¨ O ¨¨ ¨¨ x % Figura 2.2: Momento cin´tie co de una part´ ıcula respecto al punto O. y E def siendo M O = r ∧ F el momento de la fuerza F respecto a O. Resulta por tanto la ecuaci´n: o dH O MO = . (2.4) dt El correspondiente teorema de conservaci´n que se deduce de (2.4) es: o si M O = 0, H O = cte. (2.5) Esta conservaci´n se verificar´ en el caso de la part´ o a ıcula aislada, y tambi´n e en el caso de fuerzas centrales que se describe m´s abajo. a Momento ´xico.— a He $ X $$ $$$ $$ O $$$$ HO b b e Figura 2.3: Momento ´xico resa pecto a un eje (O, e) Sea un eje de direcci´n fija e, pasando por el punto O. Se define coo mo momento ´xico respecto de este eje la proyecci´n del momento cin´tico a o e respecto de un punto cualquiera del eje sobre la direcci´n del mismo. Emo pleando la notaci´n o def Me = M O · e, def He = H O · e,
  34. 34. Aptdo. 2.1. Principios y Teoremas Generales 2.5 multiplicando escalarmente ambos miembros de (2.4) por e se deduce directamente la igualdad: dHe Me = . dt Esta f´rmula se puede aplicar entre otros casos al movimiento plano de o rotaci´n alrededor de un eje fijo. o Fuerzas centrales.— Se denominan centrales a las fuerzas que pasan constantemente por un punto dado, centro de las fuerzas. Es evidente que respecto de este punto el momento de las fuerzas es nulo, por lo que aplicando (2.5) se deduce que el momento cin´tico se conserva: e H O = cte. Se obtienen inmediatamente 2 caracter´ ısticas importantes del movimiento: 1. La trayectoria es plana; ya que al ser H O = r ∧ mv, r es constantemente perpendicular a una direcci´n H O fija, definiendo por tanto un plano. o 2. La velocidad areolar es constante; puesto que el ´rea barrida por unidad de tiempo (figura 2.4) es: a 1 |r ∧ dr| 1 1 dS = 2 = |r ∧ v| = |H O | dt dt 2 2m F + dF £ # O b 2.1.3. A r ' F dr ££ £ £ P P cte. Figura 2.4: Fuerzas centrales, dirigidas hacia un centro de fuerzas O. El ´rea barrida en a el intervalo infinitesimal dt es dS = OP P = 1 |r ∧ dr|. 2 Energ´ Cin´tica ıa e Sea una part´ ıcula de masa m, que se mueve seg´n una trayectoria Γ, u bajo la acci´n de fuerzas con resultante F (recordemos que ´sta incluye o e todas las fuerzas, activas y pasivas). El trabajo elemental realizado por
  35. 35. ´ Cap´ ıtulo 2. DINAMICA DE LA PART´ ıCULA 2.6 b 2 m Γ u d I dr d dF ‚ d Figura 2.5: Trabajo realizado por F al recorrer la curva Γ entre 1 y 2. b 1 F en un desplazamiento infinitesimal dr se define por el producto escalar siguiente5 def dW = F · dr; considerando que F = m dv/dt y dr = vdt, 1 mv 2 2 dW = mv · dv = d (2.6) El trabajo realizado al recorrer Γ entre los dos puntos extremos 1 y 2 resulta de la integral curvil´ ınea: W12 = F · dr = Γ 2 1 mv 2 . 2 1 Se define como energ´ cin´tica T de la part´ ıa e ıcula: def T = 1 mv 2 ; 2 as´ la expresi´n anterior equivale a ı, o W12 = T2 − T1 (2.7) Podemos enunciar entonces: ‘El trabajo realizado por la resultante de las fuerzas sobre una part´ ıcula es igual al incremento de su energ´ cin´tica.’ ıa e Este resultado se suele llamar tambi´n el teorema de las fuerzas vivas. e 5 La notaci´n empleada, dW , no indica aqu´ una diferencial exacta de una determio ı nada funci´n W , sino unicamente un incremento infinitesimal de trabajo producido por o ´ o F a lo largo de dr. Tan s´lo resulta ser una diferencial exacta cuando las fuerzas son conservativas.
  36. 36. Aptdo. 2.1. Principios y Teoremas Generales 2.7 Caso de fuerzas conservativas.— Se denomina campo de fuerzas conservativas aqu´l en el que el trabajo e realizado por la fuerza, para recorrer el camino entre dos puntos dados, es independiente de la trayectoria seguida Γ para ir de uno al otro. As´ para ı u distintos caminos Γ1 , Γ2 , Γ3 que tengan en com´n el origen (1) y el final (2), b Γ1 2 Γ3 Γ2 Figura 2.6: Trayectorias distintas en un campo conservativo para ir de 1 a 2. b 1 F · dr = Γ1 F · dr = F · dr. Γ3 Γ2 Es f´cil ver que esta condici´n es equivalente a que el trabajo realizado para a o recorrer cualquier trayectoria cerrada sea nulo. En efecto, sea una curva ´ cerrada cualquiera Γ, a la que pertenecen los puntos 1 y 2. Esta puede + descomponerse en dos curvas abiertas con extremos en 1 y 2: Γ = Γ1 ∪ Γ− , 2 − teniendo Γ+ el sentido de 1 a 2 y Γ2 el sentido de 2 a 1. La integral curvil´ ınea 1 sobre Γ es pues F · dr = Γ F · dr + + Γ1 F · dr = Γ− 2 F · dr − Γ+ 1 F · dr = 0. Γ+ 2 (2.8) como quer´ ıamos demostrar. No son conservativas las fuerzas debidas a resistencias pasivas, como el rozamiento o las fuerzas de tipo viscoso. En ´stas el integrando (F · dr) e es siempre negativo, puesto que la fuerza de resistencia (F ) se opone al movimiento (dr), por lo que la integral (2.8) no se puede anular nunca. Se produce necesariamente una disipaci´n de energ´ no pudiendo recobrarse o ıa, el nivel energ´tico inicial despu´s de un trayecto cerrado. e e Un teorema b´sico del c´lculo vectorial establece que la condici´n necea a o saria y suficiente para que un campo vectorial F tenga circulaci´n nula para o cualquier curva cerrada es que sea un campo de gradientes. Recordemos en
  37. 37. ´ Cap´ ıtulo 2. DINAMICA DE LA PART´ ıCULA 2.8 primer lugar la definici´n de gradiente de un campo escalar; en un sisteo ma de coordenadas cartesianas ortonormal con versores {ei } ≡ {i, j, k} la expresi´n es6 o 3 def grad V = i=1 ∂V ∂V ∂V ∂V ei = i+ j+ k ∂xi ∂x ∂y ∂z La afirmaci´n anterior quiere decir que existir´ un campo escalar V (r), o a funci´n de la posici´n, tal que: o o F = − grad V. Al campo escalar V se le denomina potencial de las fuerzas, energ´ potenıa cial, o simplemente potencial. Una tercera forma de caracterizar un campo F como conservativo, admitiendo las exigencias adicionales de que F tenga derivada continua y que el dominio sea simplemente conexo, es que sea irrotacional. Esta condici´n o es equivalente a su vez a las dos anteriores. Recordemos la definici´n de o rotacional de un campo vectorial7 : 3 def rot F = ijk i,j,k=1 = ∂Fj ek ∂xi ∂Fy ∂Fz − ∂y ∂z ∂Fx ∂Fz − ∂z ∂x i+ j+ ∂Fy ∂Fx − ∂x ∂y k Por lo que la condici´n para que el campo F sea conservativo es o rot F = 0. (2.9) En este caso, la funci´n potencial V (r) de la que proviene F debe ser al o menos C 2 . Al expresarse F como un gradiente, el trabajo elemental resulta ser una diferencial exacta: F · dr = − grad V · dr = −dV 6 En cuanto a notaci´n, emplearemos indistintamente los ´ o ındices o los nombres propios de vectores (i ≡ e1 , j ≡ e2 , k ≡ e3 ) y coordenadas (x ≡ x1 , y ≡ x2 , z ≡ x3 ). Asimismo, a veces emplearemos tambi´n notaciones alternativas para el gradiente, grad V = e P = 3 ∂/∂xi ei = ∂/∂x i + ∂/∂y j + ∂/∂z k. dV /dr = V , empleando el operador i=1 7 Empleando el operador , el rotacional se puede expresar tambi´n mediante la noe taci´n rot F = ∧ F . o r r r r
  38. 38. Aptdo. 2.1. Principios y Teoremas Generales 2.9 Si integramos para obtener el trabajo realizado entre dos puntos 1 y 2, y empleando el principio de la energ´ cin´tica (2.7): ıa e 2 W12 = 1 F · dr = V1 − V2 = T2 − T1 , es decir, se conserva la suma de la energ´ cin´tica m´s la potencial: ıa e a T1 + V1 = T2 + V2 . ıa e o bien, definiendo como energ´ total 8 a la suma de energ´ cin´tica y poıa tencial, def E = T + V, se obtiene la siguiente expresi´n para el teorema de conservaci´n de la o o energ´ ıa: si F = − grad V (conservativa), E = T + V = cte. (2.10) En lo anterior se ha supuesto que el potencial V (r) es constante. Pudiera darse el caso de que F provenga de una funci´n potencial no constante, es o decir que dependa expl´ ıcitamente del tiempo, V (r, t): F =− ∂V , con ∂r ∂V = 0. ∂t En este caso, no se conservar´ la energ´ total E, puesto que el trabajo ıa ıa elemental ya no ser´ una diferencial exacta del potencial: ıa dV = ∂V ∂V · dr + dt, ∂r ∂t ∂V · dr = −dV. ∂r Estar´ ıamos, pues, ante un campo de fuerzas no conservativas a pesar de que provengan de un potencial. F · dr = − Integraci´n de la ecuaci´n fundamental de la din´mica.— Parte o o a de lo expuesto arriba se puede interpretar como distintos procedimientos de integraci´n de la ecuaci´n fundamental de la din´mica (2.2). Se˜alemos o o a n tres procedimientos generales para ello, que permiten obtener los teoremas de conservaci´n (2.3), (2.5) y (2.10) como casos particulares. o 8 Se sobreentiende que ´sta es unicamente la energ´ mec´nica , excluyendo a otros e ´ ıa a tipos de energ´ como la calor´ ıa ıfica, qu´ ımica, . . .
  39. 39. ´ Cap´ ıtulo 2. DINAMICA DE LA PART´ ıCULA 2.10 a) Integraci´n directa en el tiempo.— Integrando entre dos inso tantes t1 y t2 , t2 t2 F dt = t1 t2 m¨ dt = r t1 t1 dp = p|2 1 se obtiene la ecuaci´n del balance de la cantidad de movimiento, o t2 t1 F dt = p|2 . 1 Como caso particular de esta ecuaci´n de balance se desprende el teorema o de conservaci´n de la cantidad de movimiento (2.3) o b) Integraci´n directa seg´ n la trayectoria.— Realizando ahora o u la integral curvil´ ınea entre dos puntos de la trayectoria r 1 y r 2 , 2 2 2 m¨ · dr = r F · dr = 1 d 1 1 1 mv 2 2 1 = mv 2 2 2 1 de donde se obtiene la ecuaci´n del balance de la energ´ o ıa, 2 F · dr = 1 2 1 mv 2 . 2 1 An´logamente, para el caso de fuerzas conservativas (F = −gradV ), se a desprende el teorema de conservaci´n (2.10). o c) Integraci´n del momento en el tiempo.— Integrando el moo mento de F entre dos instantes t1 y t2 , t2 t2 r ∧ F dt = t1 t2 r ∧ m¨ dt = r t1 t1 d 2 ˙ (r ∧ mr) dt = H O |1 dt HO se obtiene la ecuaci´n del balance del momento cin´tico, o e t2 t1 r ∧ F dt = H O |2 . 1 Si las fuerzas son centrales o se trata de una part´ ıcula aislada, an´logamente a a los dos casos anteriores se desprende el teorema de conservaci´n (2.5). o
  40. 40. Aptdo. 2.2. Expresiones de Velocidad y Aceleraci´n o 2.2. 2.11 Expresiones de Velocidad y Aceleraci´n o Antes de proseguir en la aplicaci´n de los principios y teoremas generales o expuestos para ejemplos concretos de din´mica de la part´ a ıcula, conviene detenerse en el desarrollo de las expresiones de la velocidad y aceleraci´n o que habr´n de emplearse. a Seg´n las caracter´ u ısticas geom´tricas de cada problema, ser´ conveniente e a en cada caso escoger uno u otro sistema de coordenadas. La elecci´n obvia en o el caso m´s general ser´ un sistema de coordenadas cartesianas ortonormal; a a sin embargo en ocasiones es ventajoso emplear otras coordenadas, como las coordenadas cil´ ındricas (o polares en el caso plano), esf´ricas, o el triedro e intr´ ınseco a la trayectoria. En cada uno de estos casos, el aspecto que nos ocupa es obtener las com˙ o ¨ ponentes de los vectores velocidad, r = dr/dt y aceleraci´n, r = d2 r/dt2 . 2.2.1. Coordenadas Cartesianas. a El triedro Oxyz est´ asociado a los versores (i, j, k) seg´n cada direcu ci´n coordenada (figura 2.7). Puesto que los versores del triedro son conso tantes, para obtener la velocidad y aceleraci´n basta derivar directamente o las coordenadas: r = xi + yj + zk ˙ r = xi + yj + zk ˙ ˙ ˙ ¨ ¨ r = xi + y j + z k ¨ ¨ r k T ¨¨ r        j O b   E i ¨¨ ¨ % ¨ ¨¨ y     Figura 2.7: Coordenadas cartesianas z ¨ a¨ ¨ ¨x
  41. 41. ´ Cap´ ıtulo 2. DINAMICA DE LA PART´ ıCULA 2.12 2.2.2. Coordenadas Cil´ ındricas / Polares. En este caso, las coordenadas que definen la posici´n son (ρ, θ, z), siendo o ρ la distancia desde un punto fijo O, θ el ´ngulo que forma la proyecci´n a o del radio vector sobre un plano fijo con una direcci´n dada del mismo, y z o la altura del punto sobre dicho plano (figura 2.8). T z T k X u U s θ r uρ r O b ¨ ¨¨ x ¨¨ ¨ θ Figura 2.8: Coordenadas cil´ ındricas y X ρ E ¨ % El triedro de vectores unitarios asociado (o base f´ ısica) es (uρ , uθ , k). El versor uρ queda definido como un vector unitario en la direcci´n de la o proyecci´n de r sobre el plano; k es el versor perpendicular al mismo, y uθ es o ıan perpendicular a los dos anteriores. En este triedro tanto uρ como uθ var´ de punto a punto, constituyendo un sistema de coordenadas curvil´ ıneas. La posici´n de un punto queda definida mediante o r = ρuρ + zk (2.11) expresi´n que engloba tambi´n a las coordenadas polares para el movimieno e to plano, sin m´s que hacer z = 0. a Es inmediato establecer las relaciones con las coordenadas cartesianas, tomando el plano de referencia Oxy de forma que se comparte la coordenada z: x = ρ cos θ y = ρ sen θ Mientras que entre los versores de ambos triedros la relaci´n es o uρ = cos θi + sen θj uθ = − sen θi + cos θj
  42. 42. Aptdo. 2.2. Expresiones de Velocidad y Aceleraci´n o 2.13 Derivando estas expresiones respecto del tiempo se obtiene ˙ ˙ ˙ uρ = −θ sen θi + θ cos θj ˙ = θuθ ˙ ˙ ˙ uθ = −θ cos θi − θ sen θj ˙ = −θuρ ˙ k=0 Empleando estas igualdades y derivando el vector posici´n (2.11) se o obtiene la velocidad, ˙ ˙ r = ρuρ + ρθuθ + zk; ˙ ˙ repitiendo la operaci´n, se obtiene la aceleraci´n: o o ˙ ¨ ¨ r = (¨ − ρθ2 )uρ + (2ρθ + ρθ)uθ + z k. ρ ˙˙ ¨ 2.2.3. Coordenadas Esf´ricas. e La posici´n de un punto queda ahora referida a las dos coordenadas o angulares en una esfera de radio r: la longitud ϕ y la latitud θ (figura 2.9). T z uθ y s r 0 O b sθ ¨ ¨¨ x ¨¨ ¨ ϕ 0 ur X uϕ Figura 2.9: Coordenadas esf´e ricas y E X ¨ % El triedro f´ ısico es ahora (uϕ , uθ , ur ). La l´ ınea coordenada de longitud ϕ constante define el meridiano, al cual es tangente el versor uθ . Asimismo la l´ ınea de latitud θ constante define un paralelo, al cual es tangente el versor ´ o uϕ . Por ultimo, el versor ur lleva la direcci´n y sentido del radio vector r. Proyectando sobre las direcciones del triedro cartesiano se obtienen las
  43. 43. ´ Cap´ ıtulo 2. DINAMICA DE LA PART´ ıCULA 2.14 relaciones con los versores del mismo: ur = cos θ cos ϕ i + cos θ sen ϕ j + sen θ k uθ = − sen θ cos ϕ i − sen θ sen ϕ j + cos θ k uϕ = uθ ∧ ur = − sen ϕ i + cos ϕ j En este caso los tres versores son variables, funci´n del punto. Para obteo ner sus derivadas temporales, expresaremos primero sus derivadas parciales respecto de las coordenadas: ∂ur = 0; ∂r ∂uθ = 0; ∂r ∂uϕ = 0; ∂r ∂ur = uθ ; ∂θ ∂uθ = −ur ; ∂θ ∂uϕ = 0; ∂θ ∂ur = cos θ uϕ ∂ϕ ∂uθ = − sen θ uϕ ∂ϕ ∂uϕ = sen θ uθ − cos θ ur ∂ϕ Empleando estas relaciones, se obtiene ∂ur ˙ ∂ur ∂ur r+ θ+ ϕ ˙ ˙ ∂r ∂θ ∂ϕ ˙ ˙ = θ uθ + ϕ cos θ uϕ ˙ ˙ uθ = −ϕ sen θ uϕ − θ ur ˙ ˙ ur = ˙ uϕ = ϕ sen θ uθ − ϕ cos θ ur ˙ ˙ Por ultimo, utilizamos estas expresiones en las derivadas temporales de r, ´ para obtener: ˙ ˙ r = rur + rθuθ + rϕ cos θuϕ ˙ ˙ 2 2 ˙ ¨ ¨ r r = (¨ − rϕ cos θ − rθ2 )ur + (2rθ + rϕ2 sen θ cos θ + rθ)uθ ˙ ˙˙ ˙ ˙˙ + (2rϕ cos θ − 2rθϕ sen θ + rϕ cos θ)uϕ ˙˙ ¨ 2.2.4. Triedro Intr´ ınseco. La propia curva definida por la trayectoria din´mica, r(t), permite dea finir un triedro denominado intr´ ınseco, que a menudo resulta de gran utilidad para describir el movimiento. Se resumen aqu´ algunas definiciones ı y propiedades fundamentales de dicho triedro. Para un mayor detalle puede consultarse alg´n texto de geometr´ diferencial9 . u ıa 9 a D.J. Struik: Geometr´ Diferencial Cl´sica, Aguilar 1973; J.A. Fern´ndez Palacios: ıa a Mec´nica Te´rica de los Sistemas de S´lidos R´ a o o ıgidos, (Anejo 1A), 1989.
  44. 44. Aptdo. 2.2. Expresiones de Velocidad y Aceleraci´n o 2.15 Vectores y planos del triedro.— Los versores que constituyen el trie´ dro intr´ ınseco est´n definidos por la trayectoria misma. Esta puede consia ˙ derarse parametrizada bien por el tiempo (r(t), con derivada √ = dr/dt), r bien por la longitud del arco de curva s, sabiendo que ds = dr · dr. El sentido positivo del arco coincide con el avance real sobre la curva a lo largo del tiempo. ˙ r o ƒ ƒ ƒt U ƒ o ƒ b ƒs % ¨¨ n Figura 2.10: Vectores del triedro intr´ ınseco def – tangente t = dr/ds, vector unitario con igual direcci´n y sentido que o ˙ la velocidad r. – normal principal n, vector unitario normal a la curva (dr · n = 0), y perteneciente al plano osculador (plano definido por dos tangentes o sucesivas a la curva, t y t + dt). Su direcci´n y sentido lo tomaremos por tanto seg´n dt, es decir, hacia el lado c´ncavo de la misma. u o def – binormal b = t ∧ n, perpendicular por tanto a la curva (dr · b = 0), y tambi´n a la normal principal (n · b = 0). e Los versores n y b definen el plano normal, cualquier recta contenida en este plano es normal a la curva. Por otra parte, el plano osculador queda definido por (t, n), siendo la binormal perpendicular al mismo. F´rmulas de Frenet.— Al ser un versor de m´dulo unidad, la derivada o o del vector tangente es normal al mismo: dt d ( t · t ) = 2t · = 0. ds ds (2.12) =1 Por la definici´n hecha de n, la derivada dt/ds lleva la direcci´n de n, y el o o m´dulo se denomina curvatura: o def κ = dt . ds
  45. 45. ´ Cap´ ıtulo 2. DINAMICA DE LA PART´ ıCULA 2.16 Se puede interpretar de forma intuitiva razonando que cuanto m´s se doa ble la curva (por unidad de arco), mayor es su curvatura κ. Dada la definici´n realizada de n, por la que su sentido es siempre hacia el lado c´ncavo, o o dicha curvatura resulta siempre positiva. Asimismo, se define el radio de def ı, curvatura como su inversa: R = 1/κ. As´ dt 1 = κn = n ds R (1.a f´rmula de Frenet). o (2.13) Veamos ahora la variaci´n de la binormal b. Si la curva es plana, el plano o osculador es fijo y db/ds = 0. En un caso general, esta derivada constituye una medida del alabeo de la curva que denominaremos torsi´n. En cuanto o a la direcci´n de esta derivada, razonamos en primer lugar, por los mismos o argumentos esgrimidos en (2.12), que es normal al propio b. Por otra parte, dt db db d (b · t ) = ·t+b· = · t + b · (κ n) = 0. ds ds ds ds =0 =0 o Deducimos pues que db/ds = 0 es normal a b y a t, es decir, lleva la direcci´n de n, mientras que su m´dulo lo llamaremos torsi´n τ . Estableciendo de o o forma convencional el signo negativo en esta relaci´n, puede escribirse o 1 db = −τ n = − n ds T o (2.a f´rmula de Frenet). (2.14) def (El radio de torsi´n resulta, an´logamente al de curvatura, T = 1/τ .) o a Por ultimo, derivando la normal principal, ´ d d n= (b ∧ t) = (−τ n) ∧ t + b ∧ (κ n), ds ds es decir: dn = τ b − κt ds o (3.a f´rmula de Frenet). (2.15) Expresiones de la velocidad y aceleraci´n.— Empleando las f´rmuo o las de Frenet es inmediato deducir las siguientes expresiones para velocidad y aceleraci´n: o ds ˙ r= t = v t, dt
  46. 46. Aptdo. 2.3. Movimiento de una Part´ ıcula Libre 2.17 relaci´n que expresa simplemente que la velocidad es tangente a la trayeco toria. Derivando de nuevo, ¨ r = vt+v ˙ v2 dt ds = vt + n ˙ ds dt R Se identifican en esta expresi´n claramente dos t´rminos de la aceleraci´n: o e o   vt ˙ aceleraci´n tangencial o 2 v  n aceleraci´n normal (centr´ o ıpeta) R 2.3. Movimiento de una Part´ ıcula Libre El principio de la cantidad de movimiento o 2.a ley de Newton (2.2) proporciona una ecuaci´n vectorial, que equivale a 3 ecuaciones escalares. o Llamando (X, Y, Z) a las componentes cartesianas de la fuerza F ,  x  X = m¨ ¨ Y = m¨ y F = mr ⇔  Z = m¨ z Integrando estas 3 ecuaciones, ser´ posible obtener las 3 inc´gnitas (x, y, z) a o que definen la posici´n de la part´ o ıcula en cada instante. Las dificultades que puedan surgir para esta integraci´n resultar´n de las expresiones de o a (X, Y, Z) que por lo general no tienen porqu´ ser constantes. e Consideraremos como aplicaci´n dos casos particulares relacionados con o el movimiento de proyectiles. 2.3.1. Proyectil Pesado en el Vac´ ıo. Admitimos en este caso que no existen resistencias del medio, por lo que la unica fuerza actuante sobre la part´ ´ ıcula es la gravedad terrestre, que suponemos definida por el campo gravitatorio simplificado (−mgk). Las ecuaciones son: x z m¨ = 0; m¨ = 0; m¨ = −mg. y Si tomamos unos ejes en los que el plano vertical Oxz contenga a la velocidad inicial v 0 , es f´cil comprobar que el movimiento se desarrollar´ dentro a a del mismo plano vertical: y=y=0 ˙ ¨ ⇒ y = 0.
  47. 47. ´ Cap´ ıtulo 2. DINAMICA DE LA PART´ ıCULA 2.18 T z v   ϕ Figura 2.11: trayectoria parab´lica de un proyeco til pesado en el vac´ ıo b   v0 ¡ ! ¡ ¡ ϕ0 O¡ x E Denominando ϕ0 el ´ngulo de la velocidad en el lanzamiento con la a horizontal (figura 2.11) las ecuaciones en x y z se integran de manera trivial: ˙ x = v0 cos ϕ0 , z = −gt + v0 sen ϕ0 ; ˙ (2.16) 1 (2.17) z = − gt2 + v0 sen ϕ0 t. 2 Las expresiones (2.17) son las llamadas ecuaciones horarias de la trayectoria, es decir, las ecuaciones que permiten obtener la posici´n en funci´n del o o tiempo. La trayectoria descrita por la part´ ıcula queda definida por las ecuaciones horarias de forma param´trica, mediante el par´metro t. Se puede obtener e a la ecuaci´n impl´ o ıcita de la trayectoria eliminando el par´metro t de las a ecuaciones horarias: despejando t en (2.171 ) y sustituyendo en la expresi´n o (2.172 ) de z: x2 1 z=− g + x tg ϕ0 , (2.18) 2 (v0 cos ϕ0 )2 x = v0 cos ϕ0 t, o ecuaci´n que representa una par´bola de eje vertical (movimiento parab´o a lico). El alcance horizontal se obtiene haciendo z = 0 en (2.18), L = sen(2ϕ0 ) 2 v0 , g de donde se deduce inmediatamente que el alcance m´ximo se produce para a 2 ϕ0 = π/4, valiendo Lmax = v0 /g. Por otra parte, para distancias inferiores, existen dos soluciones posibles de tiro para obtener un mismo alcance: tiro directo y por elevaci´n: o 1 L = sen 2ϕ0 Lmax ⇒ 2 soluciones ϕ1 π/4 (tiro directo), ϕ2 π/4 (tiro por elevaci´n). o
  48. 48. Aptdo. 2.3. Movimiento de una Part´ ıcula Libre 2.19 El tiro por elevaci´n es el caracter´ o ıstico de los morteros, mientras que el tiro directo es el normal de los proyectiles denominados bal´ ısticos. T L/L max b 1 b b ϕ0 ϕ1 E ϕ2 π/4 Figura 2.12: Alcance del tiro parab´lico en funci´n del o o ´ngulo inicial ϕ0 : L = a 2 v0 2g sen 2ϕ0 . Para distancias inferiores al alcance m´ximo a 2 (Lmax = v0 /g, para ϕ0 = π/4), existen dos posibilidades, el tiro directo (ϕ0 = ϕ1 ), y por elevaci´n (ϕ0 = ϕ2 ). o La envolvente de las posibles par´bolas de tiro para v0 dada, es decir a para una energ´ dada, es otra par´bola, denominada par´bola de seguridad. ıa a a Para determinarla, expresamos la condici´n de que la trayectoria (2.18) pase o z T Figura 2.13: Par´a bola de seguridad, envolvente de las diversas trayectorias (1, 2, 3) para una energ´ ıa de lanzamiento dada 1 2 3 x E por un punto (a, b) dado: 1 a2 b=− g + a tg ϕ0 ; 2 (v0 cos ϕ0 )2 haciendo tg ϕ0 = u, obtenemos la ecuaci´n: o u2 − 2 2bv 2 2v0 u + 1 + 2 0 = 0; ag a g 2 2 para que tenga soluci´n real en u, ha de ser b v0 /2g − ga2 /2v0 . Por tanto, o la ecuaci´n de la par´bola de seguridad es o a z= 2 gx2 v0 − 2. 2g 2v0
  49. 49. 2.20 ´ Cap´ ıtulo 2. DINAMICA DE LA PART´ ıCULA La altura m´xima en una trayectoria se obtiene haciendo z = 0 en a ˙ (2.16): v0 sen ϕ0 0 = −gt + v0 sen ϕ0 ⇒ t = , g y entrando con este valor de t en (2.17), zmax = 2 1 v0 sen2 ϕ0 . 2 g Es obvio que la m´xima altura de todas las trayectorias posibles se obtiene a para ϕ0 = π/2, es decir para tiro vertical: zmax = 2 1 v0 . 2 g Mediante consideraciones energ´ticas se podr´ haber obtenido algunos e ıan de estos mismos resultados de forma muy sencilla. Por ejemplo, la altura m´xima para un tiro vertical resulta de igualar la energ´ total en el punto a ıa de altura m´xima con la inicial: a 1 mv 2 + 0 = 0 + mgzmax 2 0 ⇒ zmax = 2 1 v0 . 2 g Asimismo, para una trayectoria inclinada, podemos obtener la velocidad en el punto de m´xima altura igualando la energ´ con la del instante inicial: a ıa 1 1 mv 2 + 0 = mv 2 + mg 2 0 2 2 1 v0 sen2 ϕ0 2 g o ıamos haber realizado tambi´n e De donde v = v0 cos ϕ0 , deducci´n que podr´ ˙ al considerar que, al ser z = 0 en ese instante, la velocidad no tiene componente vertical, reduci´ndose a la velocidad horizontal que es constante. e 2.3.2. Proyectil Pesado en Medio Resistente Complicamos ahora el problema anterior al considerar una resistencia del medio, cuya direcci´n es la de la velocidad y cuya magnitud depende del o m´dulo de la misma de forma mon´tonamente creciente (es decir, a mayor o o velocidad, mayor resistencia): v R = −R(v) . v o La funci´n de resistencia R(v) tiene por lo general una caracterizaci´n como pleja, habiendo de determinarse mediante ensayos aerodin´micos en t´nea u les de viento o simulaciones en el ordenador. Como simplificaci´n se suele o
  50. 50. Aptdo. 2.3. Movimiento de una Part´ ıcula Libre 2.21 aceptar la aproximaci´n como una funci´n proporcional al cuadrado de la o o velocidad, R(v) = αv 2 , o para velocidades muy bajas, proporcional a la velocidad, R(v) = αv. En un caso general, llamando (Rx , Ry , Rz ) a las componentes cartesianas de R, las ecuaciones son: m¨ = Rx ; x y m¨ = Ry ; m¨ = Rz − mg. z (2.19) En primer lugar, demostraremos que la trayectoria es plana, manteni´ndose e dentro de un plano vertical. En efecto, puesto que R v, R Rx = − x; ˙ v R Ry = − y; ˙ v R Rz = − z ˙ v Eliminando Rx y Ry con las ecuaciones (2.19) resulta ¨ x ¨ y R = =− . ˙ ˙ mv x y Integrando cada miembro de esta ecuaci´n en variables separadas se obtiene o log y = log C x ˙ ˙ ⇒ y = Cx ˙ ˙ ⇒ y = Cx + D, ecuaci´n que define un plano vertical. o A continuaci´n expondremos un m´todo de soluci´n general, para una o e o resistencia R(v) cualquiera. Para ello, expresemos las ecuaciones en las direcciones tangencial y normal a la trayectoria: dv = −mg sen ϕ − R(v) dt v2 m = mg cos ϕ ρ m (2.20) (2.21) donde ρ es el radio de curvatura de la misma. La relaci´n de ´ste con los o e a incrementos infinitesimales de arco (ds) y ´ngulo girado (dϕ) es dϕ 1 =− , ρ ds donde se toma convencionalmente el signo negativo, lo que equivale a establecer que ϕ decrece al crecer s, siendo ρ siempre positivo. Queremos obtener la ecuaci´n que relaciona el m´dulo de la velocidad o o con el ´ngulo de la trayectoria, v(ϕ), llamada hod´grafa. Para ello, elia o minamos ρ de la ecuaci´n (2.21), quedando: o −mv 2 dϕ = mg cos ϕ ds (2.22)
  51. 51. ´ Cap´ ıtulo 2. DINAMICA DE LA PART´ ıCULA 2.22 Dividiendo (2.20) y (2.22) t´rmino a t´rmino, y considerando que e e dv dv ds =v dt dϕ dϕ se obtiene: mg sen ϕ + R(v) R(v) 1 dv = = tg ϕ + v dϕ mg cos ϕ mg cos ϕ (2.23) Se trata de una ecuaci´n diferencial de primer orden que, integrada, proporo cionar´ la soluci´n v(ϕ) buscada. Esta integraci´n puede no ser inmediata, ıa o o al menos por m´todos anal´ e ıticos, habiendo de recurrir entonces a procedimientos num´ricos. Una vez calculada esta soluci´n de la hod´grafa v(ϕ), e o o la ecuaci´n de la trayectoria en funci´n de t se hallar´ mediante una simple o o ıa cuadratura. En efecto, de (2.22): −mv 2 dϕ dt = mg cos ϕ dt ds por lo que dt = − v(ϕ)dϕ g cos ϕ ⇒ t=− 1 g ϕ ϕ0 v(ϕ) dϕ cos ϕ (2.24) obteni´ndose as´ t(ϕ), e invirtiendo ´sta, ϕ(t). Las ecuaciones par´metricas e ı e a de x(t), z(t), se obtendr´ mediante nuevas cuadraturas: ıan v2 dϕ g ⇒ v2 tg ϕ dϕ g ⇒ dx = v cos ϕdt = − dz = v sen ϕ dt = − x=− z=− 1 g 1 g ϕ v 2 (ϕ) dϕ (2.25) v 2 (ϕ) tg ϕ dϕ (2.26) ϕ0 ϕ ϕ0 A´n sin solucionar expl´ u ıcitamente las ecuaciones anteriores, se puede extraer de ellas algunas conclusiones cualitativas. De (2.20) se deduce que la velocidad permanece acotada. En efecto, si no fuera as´ la resistencia ı, R(v) que es una funci´n mon´tona tampoco estar´ acotada, lleg´ndose a o o ıa a una aceleraci´n negativa infinita: o v→∞ ⇒ R(v) → ∞ ⇒ dv → −∞ dt Por otra parte, de (2.24), si v est´ acotado, para t → ∞ ser´ ϕ → −π/2, a a por lo que la trayectoria tiene una as´ ıntota vertical.
  52. 52. Aptdo. 2.3. Movimiento de una Part´ ıcula Libre 2.23 T z v   ϕ   mg sen ϕ   b   mg v0 ¡ ! u c ¡ ¡ ϕ0 x E ¡     © €

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