1. MODULO: 1
Matemáticas Discretas
NOMBRE DEL TRABAJO:
ANTOLOGÍA DE LAS UNIDADES SISTEMAS DE
NUMERACIÓN Y LÓGICA PROPOSICIONAL.
PROFESOR:
Iván Azamar Palma
ALUMNO:
Martínez Contreras Cristian Yovani
GRUPO:4151 TURNO:VespertinoSEMESTRE:En curso 1°
CARRERA:
ING. En sistemas Computacionales
A 11 de Octubre de 2011
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2. Objetivó: 2
Eh aquí una muestra del conocimiento adquirido durante el certamen
delasUnidades por esa razón se le considera unos de los pilares fundamentales
tanto el examen, con el proyecto (antología), que se realizara a fin de llegar al
punto donde reunamos todos nuestros conocimientos, y así poderlos poner en
práctica, se sabe de ante mano que no todo, es teoría por tal razón debemos de
dar a conocer, lo que aprendimos...
Mi principal objetivoes; conocer las partes que conformar nuestraLógica y saber
hasta dónde llega nuestro conocimiento por tal razón, formado por las
conversiones y Lógicas, propuestas.
Propósito.
Mi propósito es poner bien en claro cada parte de conversión, asi como ejercicios
de cómo hacer una práctica así, se toma en cuenta que no es importante entregar
la tarea si no lo que importa es el saber lo que estoy entregando.
Me he fijado que debemos de tomar en cuenta cada ejercicio cada tema para
poder, realizar éste tipo de trabajo así mismo, se considera, un ejemplo para que
si algún día llegase a ocupar de nuevo este trabajo me sea de utilidad y así poder
hacer más rápido lo que se busca.
Además de que todo esto me lleva a la experiencia formando un base de
conocimientos que ya deberías de saber en sí.
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3. Índice General N°. pág. 3
Sistemas de Numeración...…………….…………………………………………… …………………… (3)
Conversión del sistema binario al decimal. ……………………………….……………………………. (4)
Conversión del decimal al binario. ……………………… ..…………………………………………….. (5)
Conversión del binario al hexadecimal..………..…………………………………………………….… ( )
Conversión del binario al octal. …………………………………………………………………….……. ( )
Sistema hexadecimal. ………………………………………………………………….…………………. ( )
Conversión del hexadecimal al binario. ……………………………………….………………………... ( )
Conversión del decimal al hexadecimal…..……………….……………………………………………. ( )
Conversión del hexadecimal al decimal. ……………………………………………….………………. ( )
Conversión del hexadecimal al octal. ……………………………….………………………………….. ( )
Sistema octal. ……………………………………………………………..……………………………….. ( )
Conversión del decimal al octal. ……………………………………….………………………………... ( )
Conversión del octal al decimal. ……………………………………..…………………………............. ( )
Conversión del octal al binario. …………………………………………………………………...….... ( )
Conversión del octal al hexadecimal. ………….……………………………………………………..… ( )
Suma en binario. ………………………..……………………….…………………………………………... ( )
Resta en binario. ……………………………………..………………….…………………………….……... ( )
Complemento a dos………………………………………………………………………………….( )
Complemento a uno…………………………………………………………………………………( )
Resta utilizando el complemento a dos……………………………………………………………...( )
Multiplicación en binario. ……………………...………………………………………………………….. ( )
División en binario. ……………………...………………………………………………………………… ( )
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4. SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL:
Este Sistema de numeración lo utilizamos muy comúnmente, es el decimal, que 4
se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga
un valor dependiendo de la posición que
ocupen en la cifra: unidades, decenas, Sistema de numeración.
centenas, millares, etc. Son símbolos o letras que
representan un dato.
SISTEMA DE NUMERACIÓN
BINARIO:
El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el
cero (0) y el uno (1), bueno en pocas palabras es como si
fue un foco encendido y otro apagado.
En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor
dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada
posición es el de una potencia de base 2, elevada a un
exponente igual a la posición del dígito menos uno.
Ahora veamos la interacción entre Ambos sistemas,
el valor representado y asignado.
Numeración binaria Numeración decimal
0000 0
0001 1
0010 2
0011 3
0100 4
0101 5
0110 6
0111 7
1000 8
1001 9
1010 A
1011B
1100 C
1101 D
1110 E
1111 F
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5. CONVERSIÓN DEL SISTEMA BINARIO AL DECIMAL
Para la conversión de un número binario, a uno decimal es necesario 5
seguir algunos pasos por el cual yo lo entendí.
Solo se da valores a cada 1 o 0 iniciando de
derecha a izquierda comenzando por el 1 a) Tenemos nuestro numero
binario 1110
después el 2, 4, 8,16, 32, 64... Si te das cuenta el
valor va al doble así sucesivamente dependiendo
b) Tenemos el, 1110. Se le va a dar
de la cantidad de dígitos que se manejen, luego
valores de la siguiente manera el 0=1, el
se multiplica el valor por el digito al que
representa y posteriormente se suman 1=2, 1=4,1=8 de derecha a izquierda
todos. c) Únicamente se toman en cuenta para
realizar una suma aquellos valores, que tiene
el valor 1.
d) Entonces; se sumarian únicamente los
valores: 2 + 4 + 8, site das cuenta el 0 =1 no
se toma en cuenta ya que es cero.
e) Entonces la suma daría la siguiente
cantidad;2 + 4 + 8=14
CONVERSIÓN DEL SISTEMA DECIMAL AL BINARIO
Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar
divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en
orden inverso al que han sido obtenidos.
Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número 7710 haremos una serie
de divisiones que arrojarán los restos siguientes:
77/ 2 = 38 Resto: 1<mcd
38/ 2 = 19 Resto: 0
19/ 2 = 9Resto: 1
¿Por qué entre 2?
9 / 2 = 4Resto: 1 Ya que el sistema binario
4 / 2 = 2Resto: 0 representa la base 2
2 / 2 = 1Resto: 0 Siempre los restos de la
1 / 2 = 0Resto: 1<lcd división entre 2 será; 0 ó 1
Y tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria:
7710 = 10011012
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6. CONVERSIÓN DEL SISTEMA BINARIO AL HEXADECIMAL
6
En el sistema hexadecimal los números
se representan con dieciséis símbolos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y
F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D,
E y F representando las cantidades
decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15
respectivamente, SE REPRESENTA
COMO BASE 16
La conversión entre números binarios a
Hexadecimal se realiza agrupando cada
dígito hexadecimal a cuatro dígitos
binarios. Por ejemplo, para expresar en
hexadecimal el número binario 1010011100112 bastará con tomar grupos de
cuatro bits, empezando por la derecha, y reemplazarlos por su equivalente
hexadecimal, puedes ver la tabla:
1010-0111-00112
10102 = A1601112 = 71600112 = 316
Posteriormente únicamente se acomodan los dígitos A73, como se muestra:
Y, por tanto: 1010011100112 = A7316
En caso de que los dígitos binarios no formen grupos completos de cuatro dígitos,
se deben añadir ceros a la izquierda hasta completar el último grupo.
Por ejemplo:
1011102 = 001011102 = 2E16
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7. CONVERSIÓN DEL SISTEMA BINARIO AL OCTAL 7
En el sistema de numeración octal,
los números se representan
mediante ocho dígitos diferentes: 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene,
naturalmente, un valor distinto
dependiendo del lugar queocupen.
Se representa como base 8.
El método que utilizaremos es similar al
hexadecimal solo que aquí únicamente se agrupan de 3 en 3.
Cada dígito de un número octal se representa con tres dígitos en el sistema
binario. Por tanto, el modo de convertir un número entre estos sistemas de
numeración equivale a "expandir" cada dígito octal a tres dígitos binarios, o en
"contraer" grupos de tres caracteres binarios a su correspondiente dígito octal.
Por ejemplo, para convertir el número binario 1010010112 a octal tomaremos
grupos de tres bits y los sustituiremos por su equivalente octal:
101-001-011
1012 = 580012 = 180112 = 38
Esta forma es un poco más fácil, posteriormente se acomodan de acuerdo a su
posición derecha a izquierda.
Y de ese modo: 1010010112 = 5138
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8. SISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMAL: 8
En el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis símbolos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F
representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente,
porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno
de estos símbolos depende, como es lógico, de su posición, que se calcula
mediante potencias de base 16.
En el sistema hexadecimal los números
se representan con dieciséis símbolos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y
F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D,
E y F representando las cantidades
decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15
respectivamente, SE REPRESENTA
COMO BASE 16
¿Por qué se crearon estos dos sistemas?
Algunos números resultan muy largos. Por este motivo se
utilizan otros sistemas de numeración que resulten más
cómodos de escribir: el sistema octal y el sistema
hexadecimal.
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9. CONVERSIÓN DEL SISTEMA HEXADECIMAL AL BINARIO 9
La conversión de números hexadecimales a
binarios se hace del mismo modo,
reemplazando cada dígito hexadecimal por
los cuatro bits equivalentes de la tabla. Para
convertir a binario, por ejemplo, el número
hexadecimal 1F616hallaremos en la tabla las
siguientes equivalencias:
1-F-6
116 = 00012
F16 = 11112
616 = 01102
Únicamente se acomodan de orden consiguiente,
de tal forma que sea
Y, por tanto: 1F616 = 0001111101102
CONVERSIÓN DEL SISTEMA DECIMAL AL HEXADECIMAL
Utilizando la técnica habitual de divisiones sucesivas, la conversión de un
número decimal a hexadecimal. Por ejemplo, para convertir a hexadecimal el
número 173510 será necesario hacer las siguientes divisiones:
1735 / 16 = 108 Resto: 716
108 /16 = 6 Resto: C16 es decir, 1210
6 / 16 = 0 Resto: 616
De ahí que, tomando los restos en orden inverso, resolvemos el número en
hexadecimal:
173510 = 6C716
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10. CONVERSIÓN DEL SISTEMA HEXADECIMAL AL DECIMAL 10
Calculemos, a modo de ejemplo, el valor del Se tendrá que multiplicar, cada valor
número hexadecimal 1A3F16 hexadecimal por 16, y posteriormente
de derecha a izquierda elevar
potencias desde, 0, 1, 2, 3, 4, etc.,
Bueno esta es otra forma de encontrar el sucesivamente dependiendo de
cuantos dígitos hexadecimales allá.
valor decimal;
Se tendrá que multiplicar, cada valor hexadecimal
por 16, y posteriormente de derecha a izquierda elevar
potencias desde, 0, 1, 2, 3, 4, etc., sucesivamente
dependiendo de cuantos dígitos hexadecimales allá.
1A3F16 = 1*163 + A*162 + 3*161 + F*160
De ante mano sabemos que los valores como A y F tienen
un valor decimal y por tanto se sustituyen
Se tienen que aplicar las potencias, y multiplicaciones y finalmente se realizan la
suma que nos dará, el valor decimal.
1A3F16 = 1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719
1A3F16 = 671910
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11. SISTEMA DE NUMERACIÓN OCTAL:
El inconveniente de la codificación binaria es que la representación de algunos 11
números resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de
numeración que resulten más cómodos de escribir: el sistema octal y el sistema
hexadecimal. Afortunadamente, resulta
muy fácil convertir un número binario a
octal o a hexadecimal.
En el sistema de numeración octal,
los números se representan
mediante ocho dígitos diferentes: 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene,
naturalmente, un valor distinto
dependiendo del lugar queocupen.
Se representa como base 8.
En el sistema de numeración octal, los números se representan mediante ocho
dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. El valor de cada una de las posiciones
viene determinado por las potencias de base 8, y por esta misma razón las
divisiones o multiplicaciones empleadas en la conversión son 8.
CONVERSIÓN DEL SISTEMA DECIMAL AL OCTAL
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12. La conversión de un número decimal a octal se hace con la misma técnica que ya 12
hemos utilizado en la conversión a binario, mediante divisiones sucesivas por 8 y
colocando los restos obtenidos en orden inverso. Por ejemplo, para escribir en
octal el número decimal 12210 tendremos que hacer las siguientes divisiones:
122 / 8 = 15 Resto: 2
15 / 8 = 1 Resto: 7
1 /8=0 Resto: 1
Tomando los restos obtenidos en orden inverso tendremos la cifra octal:
12210 = 1728
CONVERSIÓN DEL SISTEMA OCTAL AL DECIMAL
Por ejemplo, el número octal 2738 tiene un valor que se calcula así:
Este método es parecido en la conversión de hexadecimal a octal;
Se tendrá que multiplicar, cada valor octal por 8, y posteriormente de derecha a
izquierda elevar potencias desde, 0, 1, 2, 3, 4, etc., sucesivamente dependiendo
de cuantos dígitos octales allá.
2738 = 2*83 + 7*82 + 3*81 =
Se tienen que aplicar las potencias, y multiplicaciones y finalmente se realizan la
suma que nos dará, el valor decimal.
2738 = 2*512 + 7*64 + 3*8 = 149610
2738 = 149610
CONVERSIÓN DEL SISTEMA OCTAL AL BINARIO
La conversión de números octales a binarios se hace, siguiendo el mismo
método, reemplazando cada dígito octal por los tres bits equivalentes. Por
ejemplo, para convertir el número octal 7508 a binario, tomaremos el equivalente
binario de cada uno de sus dígitos:
78 = 1112
58 = 1012
08 = 0002
Y, por tanto: 7508 = 1111010002
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13. SUMA EN BINARIA
13
Tratare de ser lo más explícito que se pueda para aprender a sumar, La tabla de
sumar, en binario, es mucho más sencilla que en decimal. Sólo hay que recordar
cuatro combinaciones posibles para facilitar un poco conseguí esta pequeña
tablita:
+ 0 1
0 0 1
1 1 0+1
De ante mano las sumas 0 + 0, 0 + 1 y 1 + 0 son evidentes:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
Pero qué pasa con las suma de 1+1, que sabemos que es 2 en el sistema
decimal, debe escribirse en binario con dos cifras (10) y, por tanto 1+1 es 0 y se
arrastra una unidad, que se suma a la posición siguiente a la izquierda.
0102 = 210
+
Toma en cuenta que 1012 = 510
1+1=10 se deja el 0 y 1112 = 710
llevamos 1. Se coloca
11 arriba del siguiente
valor a sumar, y se 1112 = 710
+
realiza lo mismo, 11112 = 710
1+1=0 llevamos 1 11102 = 1410
ahora se suma con el
siguiente valor 0+1
=1
Veamos algunos ejemplos:
001101 + 100101 = 110010 1310 + 3710 = 5010
1011011 + 1011010 = 10110101 9110 + 9010 = 18110
110111011 + 100111011 = 1011110110 44310 + 31510 = 75810
RESTA BINARIA
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14. La técnica de la resta en binario es, nuevamente, igual que la misma operación en el sistema
decimal. Ahora aquí al igual que la suma tiene
14
Las restas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:
0–0=0
1–0=1
1–1=0
La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de
la posición siguiente: 10 - 1, es decir, 210 – 110 = 1. Esa unidad prestada debe devolverse,
sumándola, a la posición siguiente.
1112 = 710
--
1012 = 510
010 2 = 210
En esta resta se ve una 1112 = 7
--
complicación cuando 112 = 3
tenemos 0-1, en esta 1002 = 4
parte se deja 1 y
1 llevamos 1, a la
siguiente resta.
1012 = 510
--
102 = 210
0112 = 310
Veamos algunos ejemplos:
10001 – 01010 = 00111 1710 – 1010 = 710
11011001 – 10101011 = 00101110 21710 – 17110 = 4610
111101001 – 101101101 = 001111100 48910 – 36510 = 12410
COMPLEMENTO A DOS
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15. El complemento a dos de un número N, compuesto por n bits, se define como:
15
C2N = 2n – N
Veamos un ejemplo: tomemos el número N = 1011012, que tiene 6 bits, y
calculemos su complemento a dos:
N = 4510 n=6 26 = 64 y, por tanto: C2N = 64 – 45 = 19 = 0100112
Otro ejemplo es el siguiente: N=111012
= 2n – N
Nuestra formula: C2N
N=2910 n= 5 25=32 entonces:C2N= 32-29 =3 = 000112
COMPLEMENTO A UNO
Esta es una forma de saltar el paso de complemento a dos únicamente se invierte los
valores de N y posteriormente se le suma 1.
Veamos otro ejemplo de cálculo de complementos. Sea:
N = 0110110101
N = 1011012
El complemento a uno es:
C1N = 1001001010
C1n = 010010
Y el complemento a dos es:
C2N = 1001001011
C2N = 010011
RESTA UTILIZANDO EL COMPLEMENTO A DOS
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16. Ahora trataremos que la resta sea más fácil, y te
preguntaras por que utilizar el complemento 2, ya que hay
menores posibilidades de equivocación, al restar, ahora 16
veamos cómo se aplica.
Tenemos:
Ahora aplicare el complemento
- 10101012 =85 a dos al sustraendo
01111112 =63 sustraendo
22
Como te diste cuanta
n
C2N=2 – N aplique el complemento
a 2, es un poco más
N= 63 n= 7 27=128 complicado ahora para
verificar lo hare con el
C2N=27- 63 =128-63=65= 1000001 complemento a1.
Veamos otro ejemplo de cálculo de complementos.
N = 01111112 Para mi forma de ver es más
rápido aplicar el complemento
El complemento a uno es:
a 1 y como vez llegamos a un
C1n = 1000000 más rápido que aplicando el
Recuerda que se le suma 1 al complemento a 1 complemento a dos, llegando al
Y el complemento a dos es:
mismo resultado.
C2N =1000001
Ahora el resultado que nos da del sustraendo ya aplicado el complemento a 2 se
le hace la suma al valor de arriba:
1
10101012 =85 Bueno ya haciendo la suma, se da cuenta
+ 110000012 =65 que efectivamente, da el resultado. NOTA:
10010110 = 22 el último valor de la suma de la izquierda
jamás se toma en cuenta.
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17. MULTIPLICACION BINARIA
La multiplicación en binario es más fácil que en cualquier otro sistema de 17
numeración. Como los factores de la multiplicación sólo pueden ser CEROS o
UNOS, el producto sólo puede ser CERO o UNO. En otras palabras, las tablas de
multiplicar del cero y del uno son muy fáciles de aprender:
En un ordenador, sin embargo, la operación de multiplicar se realiza mediante
sumas repetidas. Eso crea algunos problemas en la programación porque cada
suma de dos UNOS origina un arrastre, que se resuelven contando el número de
UNOS y de arrastres en cada columna. Si el número de UNOS es par, la suma es
un CERO y si es impar, un UNO. Luego, para determinar los arrastres a la
posición superior, se cuentan las parejas de UNOS.
Bueno encontré este ejemplo: complicado no está solo es cuestión de realizar las
sumas correctamente.
Para comprobar que el resultado es correcto, convertimos los factores y el
resultado al sistema decimal:
3349 * 13 = 43537
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18. DIVISIÓN BINARIA
Igual que en el producto, la división es muy fácil de realizar, porque no son posibles en el
18
cociente otras cifras que UNOS y CEROS.
Consideremos el siguiente ejemplo, 42 / 6 = 7, en binario:
Se intenta dividir el dividendo por el divisor, empezando por tomar en ambos el
mismo número de cifras (100 entre 110, en el ejemplo). Si no puede dividirse, se
intenta la división tomando un dígito más (1001 entre 100).
Si la división es posible, entonces, el divisor sólo podrá estar contenido una vez
en el dividendo, es decir, la primera cifra del cociente es un UNO. En ese caso, el
resultado de multiplicar el divisor por 1 es el propio divisor. Restamos las cifras del
dividendo del divisor y bajamos la cifra siguiente.
El procedimiento de división continúa del mismo modo que en el sistema decimal.
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19. LOGICA PROPOSICIONAL
19
Conectivas lógicas
A continuación hay una tabla que despliega todas las conectivas lógicas que ocupan a la
lógica proposicional, incluyendo ejemplos de su uso en el lenguaje natural y los símbolos
que se utilizan para representarlas.
Expresión en el Símbolo en
Símbolos
Conectiva lenguaje Ejemplo este
alternativos
natural artículo
Negación no No está lloviendo.
Conjunción y Está lloviendo y está nublado. .
Disyunción o Está lloviendo o está soleado.
Condicional material si... entonces Si está soleado, entonces es de día.
Está nublado si y sólo si hay nubes
Bicondicional si y sólo si
visibles.
Negación conjunta ni... ni Ni está soleado ni está nublado.
Disyunción O bien está soleado, o bien está
o bien... o bien
excluyente nublado.
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20. En la lógica proposicional, las conectivas lógicas son tratados como funciones de verdad.
Es decir, como funciones que toman conjuntos de valores de verdad y devuelven valores de
verdad. Por ejemplo, la conectiva lógica no es una función que si toma el valor de verdad 20
V, devuelve F, y si toma el valor de verdad F, devuelve V. Por lo tanto, si se aplica la
función no a una letra que represente una proposición falsa, el resultado será algo
verdadero. Si es falso que «está lloviendo», entonces será verdadero que «no está
lloviendo».
El significado de las conectivas lógicas no es nada más que su comportamiento como
funciones de verdad. Cada conectiva lógica se distingue de las otras por los valores de
verdad que devuelve frente a las distintas combinaciones de valores de verdad que puede
recibir. Esto quiere decir que el significado de cada conectiva lógica puede ilustrarse
mediante una tabla que despliegue los valores de verdad que la función devuelve frente a
todas las combinaciones posibles de valores de verdad que puede recibir.
TABLAS DE VERDAD
La tabla de verdad de una fórmula es una tabla en la que se presentan todas las posibles
interpretaciones de las variables proposicionales que constituye la fórmula y el valor de
verdad de la fórmula completa para cada interpretación. Por ejemplo, la tabla de verdad
para la fórmula sería:
Como se ve, esta fórmula tiene 2n interpretaciones posibles —una por cada línea de la
tabla—, donde n es el número de variables proposicionales (en este caso 3, es decir p, q, r) ,
y resulta ser una tautología, es decir que bajo todas las interpretaciones posibles de las
variables proposicionales, el valor de verdad de la fórmula completa termina siendo V.
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21. Debido a que los computadores trabajan con información binaria, la herramienta 21
matemática adecuada para el análisis y diseño de su funcionamiento es el Álgebra
de Boole. El Álgebra de Boole fue desarrollada inicialmente para el estudio de la
lógica. Ha sido a partir de 1938, fecha en que Claude Shannon publicó un libro
llamado "Análisis simbólico de circuitos con relés", estableciendo los primeros
conceptos de la actual teoría de la conmutación, cuando se ha producido un
aumento considerable en el número de trabajos de aplicación del Álgebra de
Boole a los computadores digitales. Hoy en día, esta herramienta resulta
fundamental para el desarrollo de los computadores ya que, con su ayuda, el
análisis y síntesis de combinaciones complejas de circuitos lógicos puede
realizarse con rapidez.
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